Продолжуваме да ги проучуваме логаритмите. Во оваа статија ќе зборуваме за пресметување на логаритми, овој процес се нарекува логаритам. Прво ќе го разбереме пресметувањето на логаритмите по дефиниција. Следно, ајде да погледнеме како се наоѓаат вредностите на логаритмите користејќи ги нивните својства. После ова, ќе се фокусираме на пресметување на логаритми преку првично наведените вредности на другите логаритми. Конечно, да научиме како да користиме логаритамски табели. Целата теорија е дадена со примери со детални решенија.
Навигација на страницата.
Пресметување на логаритми по дефиниција
Во наједноставните случаи можно е да се изврши доста брзо и лесно наоѓање на логаритам по дефиниција. Ајде внимателно да погледнеме како се случува овој процес.
Неговата суштина е да го претстави бројот b во форма a c, од кој, според дефиницијата за логаритам, бројот c е вредноста на логаритамот. Односно, по дефиниција, следниот синџир на еднаквости одговара на наоѓање на логаритамот: log a b=log a a c =c.
Значи, пресметувањето на логаритам по дефиниција се сведува на наоѓање број c таков што a c = b, а самиот број c е саканата вредност на логаритамот.
Земајќи ги предвид информациите од претходните параграфи, кога бројот под знакот на логаритам е даден со одредена моќност на логаритамската основа, можете веднаш да покажете на што е еднаков логаритамот - тој е еднаков на експонентот. Ајде да покажеме решенија за примери.
Пример.
Најдете го логот 2 2 −3, а исто така пресметајте го природниот логаритам на бројот e 5,3.
Решение.
Дефиницијата на логаритамот ни овозможува веднаш да кажеме дека log 2 2 −3 =−3. Навистина, бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата 2 до моќноста -3.
Слично, го наоѓаме вториот логаритам: lne 5.3 =5.3.
Одговор:
log 2 2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3.
Ако бројот b под знакот за логаритам не е наведен како моќност на основата на логаритамот, тогаш треба внимателно да погледнете дали е можно да се дојде до претстава за бројот b во форма a c. Честопати ова претставување е сосема очигледно, особено кога бројот под знакот на логаритам е еднаков на основата со моќност од 1, или 2, или 3, ...
Пример.
Пресметај ги логаритмите log 5 25 и .
Решение.
Лесно е да се види дека 25=5 2, ова ви овозможува да го пресметате првиот логаритам: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Ајде да продолжиме со пресметување на вториот логаритам. Бројот може да се претстави како моќност од 7: 
(видете ако е потребно). Оттука, 
.
Да го преработиме третиот логаритам во следната форма. Сега можете да го видите тоа 
, од што заклучуваме дека 
. Според тоа, по дефиниција за логаритам 
.
Накратко, решението би можело да се напише вака: .
Одговор:
дневник 5 25=2 , 
И .
Кога има доволно голем природен број под знакот на логаритам, не е повредено да се факторинг во прости фактори. Често помага да се претстави таков број како некоја моќност на основата на логаритмот, и затоа се пресметува овој логаритам по дефиниција.
Пример.
Најдете ја вредноста на логаритамот.
Решение.
Некои својства на логаритмите ви овозможуваат веднаш да ја одредите вредноста на логаритмите. Овие својства го вклучуваат својството на логаритамот на еден и својството на логаритамот на број еднаков на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a 1 =1. Односно, кога под знакот на логаритмот има број 1 или број a еднаков на основата на логаритмот, тогаш во овие случаи логаритмите се еднакви на 0 и 1, соодветно.
Пример.
На што се еднакви логаритмите и log10?
Решение.
Бидејќи , тогаш од дефиницијата за логаритам следува 
.
Во вториот пример, бројот 10 под знакот логаритам се совпаѓа со неговата основа, така што декадниот логаритам од десет е еднаков на еден, односно lg10=lg10 1 =1.
Одговор:
И lg10=1.
Забележете дека пресметувањето на логаритмите по дефиниција (за кое разговаравме во претходниот пасус) подразбира употреба на логот за еднаквост a a p =p, што е едно од својствата на логаритмите.
Во пракса, кога број под знакот логаритам и основата на логаритамот лесно се претставени како моќност на одреден број, многу е погодно да се користи формулата 
, што одговара на едно од својствата на логаритмите. Ајде да погледнеме пример за наоѓање логаритам кој ја илустрира употребата на оваа формула.
Пример.
Пресметај го логаритамот.
Решение.
Одговор:
.
Својствата на логаритмите кои не се споменати погоре се користат и во пресметките, но за ова ќе зборуваме во следните параграфи.
Наоѓање логаритми преку други познати логаритми
Информациите во овој став ја продолжуваат темата за користење на својствата на логаритмите при нивното пресметување. Но, тука главната разлика е во тоа што својствата на логаритмите се користат за изразување на оригиналниот логаритам во однос на друг логаритам, чија вредност е позната. Да дадеме пример за појаснување. Да речеме дека знаеме дека log 2 3≈1.584963, тогаш можеме да го најдеме, на пример, log 2 6 со правење мала трансформација користејќи ги својствата на логаритмот: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Во горниот пример, доволно ни беше да го искористиме својството на логаритам на производ. Меѓутоа, многу почесто е потребно да се користи поширок арсенал на својства на логаритмите за да се пресмета оригиналниот логаритам преку дадените.
Пример.
Пресметајте го логаритамот од 27 до основата 60 ако знаете дека log 60 2=a и log 60 5=b.
Решение.
Значи треба да го најдеме дневникот 60 27 . Лесно е да се види дека 27 = 3 3 , а оригиналниот логаритам, поради својството на логаритамот на моќноста, може да се препише како 3·log 60 3 .
Сега да видиме како да го изразиме логот 60 3 во однос на познатите логаритми. Својството на логаритам на број еднаков на основата ни овозможува да го напишеме логот за еднаквост 60 60=1. Од друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= лог 60 2 2 + дневник 60 3 + лог 60 5= 2·лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5 . Така, 2 лог 60 2+лог 60 3+лог 60 5=1. Оттука, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Конечно, го пресметуваме оригиналниот логаритам: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Одговор:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Одделно, вреди да се спомене значењето на формулата за премин кон нова основа на логаритмот на формата 
. Ви овозможува да се движите од логаритми со која било основа до логаритми со одредена основа, чии вредности се познати или е можно да се најдат. Обично, од оригиналниот логаритам, користејќи ја формулата за транзиција, тие се префрлаат на логаритми во една од базите 2, e или 10, бидејќи за овие бази постојат табели на логаритми кои овозможуваат нивните вредности да се пресметаат со одреден степен на точност. Во следниот пасус ќе покажеме како се прави ова.
Логаритмски табели и нивна употреба
За приближна пресметка на логаритамските вредности може да се користат логаритамски табели. Најчесто користена табела со логаритам со основа 2, табела со природен логаритам и децимална логаритамска табела. Кога работите во децимален броен систем, погодно е да се користи табела со логаритми заснована на основата десет. Со негова помош ќе научиме да ги наоѓаме вредностите на логаритмите.
Презентираната табела ви овозможува да ги пронајдете вредностите на децималните логаритми на броеви од 1.000 до 9.999 (со три децимални места) со точност од десет илјадити дел. Ќе го анализираме принципот на пронаоѓање на вредноста на логаритам користејќи табела со децимални логаритми користејќи конкретен пример - вака е појасно. Ајде да го најдеме log1.256.
Во левата колона од табелата со децимални логаритми ги наоѓаме првите две цифри од бројот 1,256, односно наоѓаме 1,2 (овој број е заокружен со сино за јасност). Третата цифра од бројот 1.256 (цифра 5) се наоѓа во првата или последната линија лево од двојната линија (овој број е заокружен со црвено). Четвртата цифра од оригиналниот број 1.256 (цифра 6) се наоѓа во првата или последната линија десно од двојната линија (овој број е заокружен со зелена линија). Сега ги наоѓаме броевите во ќелиите на табелата со логаритам на пресекот на означениот ред и означените колони (овие бројки се означени со портокалова боја). Збирот на означените броеви ја дава саканата вредност на декадниот логаритам точна до четвртото децимално место, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Дали е можно, користејќи ја горната табела, да се најдат вредностите на децималните логаритми на броеви кои имаат повеќе од три цифри по децималната точка, како и оние што го надминуваат опсегот од 1 до 9,999? Да ти можеш. Ајде да покажеме како се прави ова со пример.
Ајде да пресметаме lg102.76332. Прво треба да запишете број во стандардна форма: 102,76332=1,0276332·10 2. По ова, мантисата треба да се заокружи на третото децимално место, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, додека оригиналниот децимален логаритам е приближно еднаков на логаритамот на добиениот број, односно земаме log102.76332≈lg1.028·10 2. Сега ги применуваме својствата на логаритмот: lg1,028·10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Конечно, ја наоѓаме вредноста на логаритмот lg1.028 од табелата со децимални логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Како резултат на тоа, целиот процес на пресметување на логаритам изгледа вака: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.
Како заклучок, вреди да се напомене дека користејќи табела со децимални логаритми можете да ја пресметате приближната вредност на кој било логаритам. За да го направите ова, доволно е да ја користите формулата за транзиција за да отидете до децимални логаритми, да ги пронајдете нивните вредности во табелата и да ги извршите преостанатите пресметки.
На пример, да го пресметаме дневникот 2 3 . Според формулата за премин кон нова основа на логаритамот, имаме . Од табелата со децимални логаритми наоѓаме log3≈0.4771 и log2≈0.3010. Така, 
.
Библиографија.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други.Алгебра и почетоците на анализа: Учебник за 10 - 11 одделение на општообразовните установи.
- Гушев В.А., Мордкович А.Г. Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта).
Денес ќе разговараме за логаритамски формулиа ние ќе дадеме индикативно примери за решенија.
Тие самите имплицираат шеми на решенија според основните својства на логаритмите. Пред да примените логаритамски формули за решавање, да ве потсетиме на сите својства:
Сега, врз основа на овие формули (својства), ќе покажеме примери за решавање логаритми.
Примери за решавање на логаритми врз основа на формули.
ЛогаритамПозитивен број b за основата a (означен со лог a b) е експонент на кој мора да се подигне a за да се добие b, со b > 0, a > 0 и 1.
Според дефиницијата, log a b = x, што е еквивалентно на x = b, затоа log a a x = x.
Логаритми, примери:
дневник 2 8 = 3, бидејќи 2 3 = 8
дневник 7 49 = 2, бидејќи 7 2 = 49
дневник 5 1/5 = -1, бидејќи 5 -1 = 1/5
Децимален логаритам- ова е обичен логаритам, чија основа е 10. Се означува како lg.
дневник 10 100 = 2, бидејќи 10 2 = 100
Природен логаритам- исто така обичен логаритам, логаритам, но со основа e (e = 2,71828... - ирационален број). Означено како ln.
Препорачливо е да се запаметат формулите или својствата на логаритмите, бидејќи тие ќе ни требаат подоцна при решавање на логаритми, логаритамски равенки и неравенки. Ајде да работиме низ секоја формула повторно со примери.
- Основен логаритамски идентитет
а дневник a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите
log a (bc) = log a b + log a cдневник 3 8,1 + дневник 3 10 = дневник 3 (8,1*10) = дневник 3 81 = 4
- Логаритмот на количникот е еднаков на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c9 дневник 5 50 /9 лог 5 2 = 9 дневник 5 50- лог 5 2 = 9 лог 5 25 = 9 2 = 81
- Својства на моќноста на логаритамскиот број и основата на логаритамот
Експонент на логаритамскиот број log a b m = mlog a b
Експонент на основата на логаритамот log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ако m = n, добиваме log a n b n = log a b
дневник 4 9 = дневник 2 2 3 2 = дневник 2 3
- Транзиција кон нова основа
log a b = log c b/log c a,ако c = b, добиваме log b b = 1
тогаш log a b = 1/log b a
лог 0,8 3*лог 3 1,25 = лог 0,8 3*лог 0,8 1,25/лог 0,8 3 = лог 0,8 1,25 = лог 4/5 5/4 = -1
Како што можете да видите, формулите за логаритми не се толку комплицирани како што изгледаат. Сега, гледајќи во примери за решавање логаритми, можеме да преминеме на логаритамски равенки. Ќе разгледаме примери за решавање на логаритамски равенки подетално во статијата: "". Не пропуштајте!
Ако сè уште имате прашања за решението, напишете ги во коментарите на статијата.
Забелешка: решивме да добиеме поинаков степен на образование и да студираме во странство како опција.
Еден од елементите на алгебрата на примитивно ниво е логаритамот. Името доаѓа од грчкиот јазик од зборот „број“ или „моќ“ и значи моќност до која треба да се подигне бројот во основата за да се најде конечниот број.
Видови логаритми
- log a b – логаритам на бројот b до основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – децимален логаритам (логаритам до основата 10, a = 10);
- ln b – природен логаритам (логаритам до основата e, a = e).
Како да се решат логаритми?
Логаритмот од b до основата a е експонент кој бара b да се подигне на основата a. Добиениот резултат се изговара вака: „логаритам од b до основата a“. Решението за логаритамските проблеми е тоа што треба да ја одредите дадената моќност во бројки од наведените броеви. Постојат некои основни правила за одредување или решавање на логаритам, како и конвертирање на самата нотација. Користејќи ги, се решаваат логаритамски равенки, се наоѓаат изводи, се решаваат интеграли и се вршат многу други операции. Во основа, решението на самиот логаритам е неговата поедноставена нотација. Подолу се дадени основните формули и својства:
За било кој а ; a > 0; a ≠ 1 и за кој било x; y > 0.
- a log a b = b – основен логаритамски идентитет
- логирај а 1 = 0
- лога a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула за преместување во нова база
- log a x = 1/log x a
Како да решавате логаритми - чекор-по-чекор инструкции за решавање
- Прво, запишете ја потребната равенка.
Ве молиме имајте предвид: ако основниот логаритам е 10, тогаш записот е скратен, што резултира со децимален логаритам. Ако има природен број e, тогаш го запишуваме, сведувајќи го на природен логаритам. Ова значи дека резултатот на сите логаритми е моќноста на која се подига основниот број за да се добие бројот b.
Директно, решението лежи во пресметувањето на овој степен. Пред да се реши изразот со логаритам, тој мора да се поедностави според правилото, односно со користење на формули. Главните идентитети можете да ги најдете ако се вратите малку назад во статијата.
Кога собирате и одземате логаритми со два различни броеви, но со исти основи, заменете со еден логаритам со производот или делењето на броевите b и c, соодветно. Во овој случај, можете да ја примените формулата за преместување во друга база (види погоре).
Ако користите изрази за поедноставување на логаритам, има некои ограничувања што треба да се земат предвид. А тоа е: основата на логаритмот a е само позитивен број, но не е еднаков на еден. Бројот b, како a, мора да биде поголем од нула.
Има случаи каде што, со поедноставување на изразот, нема да можете нумерички да го пресметате логаритамот. Се случува таквиот израз да нема смисла, бидејќи многу сили се ирационални броеви. Под овој услов, оставете ја моќноста на бројот како логаритам.
Инструкции
Напиши го дадениот логаритамски израз. Ако изразот користи логаритам од 10, тогаш неговата нотација е скратена и изгледа вака: lg b е декаден логаритам. Ако логаритамот го има како основа бројот e, тогаш напиши го изразот: ln b – природен логаритам. Разбирливо е дека резултатот од било која е моќноста до која мора да се подигне основниот број за да се добие бројот b.
Кога го наоѓате збирот на две функции, едноставно треба да ги разликувате една по една и да ги додадете резултатите: (u+v)" = u"+v";
При наоѓање на изводот на производот на две функции, потребно е да се помножи изводот на првата функција со втората и да се додаде изводот на втората функција помножен со првата функција: (u*v)" = u"*v +v"*u;
За да се најде изводот на количникот на две функции, потребно е да се одземе од производот на изводот на дивидендата помножен со функцијата на делител, производот од изводот на делителот помножен со функцијата на дивидендата и да се подели сето тоа со функцијата делител на квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ако е дадена сложена функција, тогаш потребно е да се помножи изводот на внатрешната функција и изводот на надворешната. Нека y=u(v(x)), потоа y"(x)=y"(u)*v"(x).
Користејќи ги резултатите добиени погоре, можете да разликувате речиси секоја функција. Значи, да погледнеме неколку примери:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Исто така, има проблеми со пресметување на изводот во одредена точка. Нека е дадена функцијата y=e^(x^2+6x+5), треба да ја пронајдете вредноста на функцијата во точката x=1.
1) Најдете го изводот на функцијата: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Пресметај ја вредноста на функцијата во дадена точка y"(1)=8*e^0=8
Видео на темата
Корисен совет
Научете ја табелата со елементарни деривати. Ова значително ќе заштеди време.
Извори:
- дериват на константа
Значи, која е разликата помеѓу ирационална равенка и рационална? Ако непознатата променлива е под знакот на квадратен корен, тогаш равенката се смета за ирационална.
Инструкции
Главниот метод за решавање на вакви равенки е методот на конструирање на двете страни равенкиво квадрат. Сепак. ова е природно, првото нешто што треба да направите е да се ослободите од знакот. Овој метод не е технички тежок, но понекогаш може да доведе до проблеми. На пример, равенката е v(2x-5)=v(4x-7). Со квадратирање на двете страни се добива 2x-5=4x-7. Решавањето на таква равенка не е тешко; x=1. Но, бројот 1 нема да биде даден равенки. Зошто? Заменете еден во равенката наместо вредноста на x. А десната и левата страна ќе содржат изрази кои немаат смисла, т.е. Оваа вредност не важи за квадратен корен. Според тоа, 1 е надворешен корен и затоа оваа равенка нема корени.
Значи, ирационална равенка се решава со методот на квадратирање на двете негови страни. И откако ќе ја решите равенката, неопходно е да се отсечат надворешни корени. За да го направите ова, заменете ги пронајдените корени во оригиналната равенка.
Размислете за уште еден.
2х+vх-3=0
Се разбира, оваа равенка може да се реши со користење на истата равенка како претходната. Премести соединенија равенки, кои немаат квадратен корен, на десната страна и потоа се користи методот на квадрат. решете ја добиената рационална равенка и корени. Но и уште една, поелегантна. Внесете нова променлива; vх=y. Според тоа, ќе добиете равенка од формата 2y2+y-3=0. Односно, обична квадратна равенка. Најдете ги неговите корени; y1=1 и y2=-3/2. Следно, реши две равенки vх=1; vх=-3/2. Втората равенка нема корени, од првата откриваме дека x=1. Не заборавајте да ги проверите корените.
Решавањето на идентитетите е прилично едноставно. За да го направите ова, неопходно е да се извршат идентични трансформации додека не се постигне поставената цел. Така, со помош на едноставни аритметички операции ќе се реши поставениот проблем.
Ќе ви треба
- - хартија;
- - пенкало.
Инструкции
Наједноставните од таквите трансформации се алгебарските скратени множење (како што е квадратот на збирот (разлика), разликата на квадратите, сумата (разликата), коцката на збирот (разликата)). Покрај тоа, постојат многу тригонометриски формули, кои во суштина се исти идентитети.
Навистина, квадратот на збирот на два члена е еднаков на квадратот на првиот плус двапати од производот на првиот за вториот и плус квадратот на вториот, односно (a+b)^2= (a+ б)(а+б)=а^2+аб +ба+б ^2=а^2+2аб+б^2.
Поедноставете ги и двете
Општи принципи на решението
Повторете од учебник по математичка анализа или виша математика што е определен интеграл. Како што е познато, решението на определен интеграл е функција чиј извод ќе даде интегранд. Оваа функција се нарекува антидериватив. Врз основа на овој принцип, се конструираат главните интеграли.Одредете според типот на интеградот кој од интегралите на табелата е погоден во овој случај. Не е секогаш можно ова веднаш да се одреди. Честопати, табеларната форма станува забележлива само по неколку трансформации за да се поедностави интеграндот.
Метод за замена на променлива
Ако интеграндот е тригонометриска функција чиј аргумент е полином, тогаш обидете се да го користите методот на промена на променливите. За да го направите ова, заменете го полиномот во аргументот на интеградот со некоја нова променлива. Врз основа на односот помеѓу новите и старите променливи, утврдете ги новите граници на интеграција. Со диференцирање на овој израз, пронајдете го новиот диференцијал во . Така, ќе добиете нова форма на претходниот интеграл, блиска или дури соодветна на некој табеларен.Решавање интеграли од втор вид
Ако интегралот е интеграл од вториот вид, векторска форма на интеграндот, тогаш ќе треба да ги користите правилата за премин од овие интеграли во скаларните. Едно такво правило е релацијата Остроградски-Гаус. Овој закон ни овозможува да се движиме од роторскиот флукс на одредена векторска функција до тројниот интеграл над дивергенцијата на дадено векторско поле.Замена на границите за интеграција
По наоѓањето на антидериватот, потребно е да се заменат границите на интеграција. Прво, заменете ја вредноста на горната граница во изразот за антидериватот. Ќе добиете некој број. Следно, од добиениот број одземете друг број добиен од долната граница во антидериватот. Ако една од границите на интеграцијата е бесконечност, тогаш кога се заменува во антидеривативната функција, потребно е да се оди до границата и да се најде кон што се стреми изразот.Ако интегралот е дводимензионален или тридимензионален, тогаш ќе треба геометриски да ги претставите границите на интеграцијата за да разберете како да го оцените интегралот. Навистина, во случај на, да речеме, тродимензионален интеграл, границите на интеграцијата можат да бидат цели рамнини што го ограничуваат волуменот што се интегрира.
Со ова видео започнувам долга серија лекции за логаритамските равенки. Сега имате три примери пред вас, врз основа на кои ќе научиме да ги решаваме наједноставните проблеми, кои се нарекуваат - протозои.
log 0,5 (3x − 1) = −3
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам дека наједноставната логаритамска равенка е следнава:
log a f (x) = b
Во овој случај, важно е променливата x да е присутна само внатре во аргументот, односно само во функцијата f (x). И броевите a и b се само броеви и во никој случај не се функции што ја содржат променливата x.
Основни методи на решение
Постојат многу начини за решавање на такви структури. На пример, повеќето наставници во училиштето го нудат овој метод: Веднаш изразете ја функцијата f (x) користејќи ја формулата f ( x) = а б . Односно, кога ќе наидете на наједноставната конструкција, можете веднаш да преминете на решението без дополнителни дејства и конструкции.
Да, се разбира, одлуката ќе биде правилна. Меѓутоа, проблемот со оваа формула е што повеќето студенти не разбираат, од каде доаѓа и зошто буквата а ја подигаме на буквата б.
Како резултат на тоа, често гледам многу досадни грешки кога, на пример, овие букви се заменуваат. Оваа формула мора или да се разбере или да се преполни, а вториот метод води до грешки во најнеповолните и најклучните моменти: за време на испити, тестови итн.
Затоа им предлагам на сите мои ученици да ја напуштат стандардната училишна формула и да го користат вториот пристап за решавање логаритамски равенки, кој, како што веројатно претпоставувате од името, се нарекува канонска форма.
Идејата за канонската форма е едноставна. Ајде повторно да го разгледаме нашиот проблем: лево имаме лог a, а под буквата a мислиме број, а во никој случај функција која ја содржи променливата x. Следствено, ова писмо подлежи на сите ограничувања што се наметнуваат врз основа на логаритамот. имено:
1 ≠ a > 0
Од друга страна, од истата равенка гледаме дека логаритамот мора да биде еднаков на бројот b, а на оваа буква не се наметнуваат никакви ограничувања, бидејќи може да земе каква било вредност - и позитивна и негативна. Сè зависи од тоа кои вредности ги зема функцијата f(x).
И тука се сеќаваме на нашето прекрасно правило дека кој било број b може да се претстави како логаритам на основата a на a со моќност од b:
b = log a a b
Како да се запамети оваа формула? Да, многу едноставно. Ајде да ја напишеме следната конструкција:
b = b 1 = b log a a
Се разбира, во овој случај произлегуваат сите ограничувања што ги запишавме на почетокот. Сега да го искористиме основното својство на логаритмот и да го воведеме множителот b како моќност на a. Добиваме:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Како резултат на тоа, оригиналната равенка ќе биде препишана на следниов начин:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Тоа е се. Новата функција повеќе не содржи логаритам и може да се реши со помош на стандардни алгебарски техники.
Се разбира, некој сега ќе се спротивстави: зошто воопшто беше неопходно да се дојде до некаква канонска формула, зошто да се извршат два дополнителни непотребни чекори ако беше можно веднаш да се пресели од оригиналниот дизајн до конечната формула? Да, само затоа што повеќето студенти не разбираат од каде доаѓа оваа формула и, како резултат на тоа, редовно прават грешки при примената.
Но, оваа низа на дејства, која се состои од три чекори, ви овозможува да ја решите оригиналната логаритамска равенка, дури и ако не разбирате од каде доаѓа конечната формула. Патем, овој запис се нарекува канонска формула:
log a f (x) = log a a b
Практичноста на канонската форма лежи и во фактот што може да се користи за решавање на многу широка класа на логаритамски равенки, а не само за наједноставните што ги разгледуваме денес.
Примери на решенија
Сега да ги погледнеме вистинските примери. Значи, да одлучиме:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Ајде да го преработиме вака:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Многу студенти брзаат и се обидуваат веднаш да го подигнат бројот 0,5 на моќта што ни дојде од првичниот проблем. Навистина, кога веќе сте добро обучени за решавање на вакви проблеми, можете веднаш да го извршите овој чекор.
Меѓутоа, ако сега само што почнувате да ја проучувате оваа тема, подобро е да не брзате никаде за да избегнете правење навредливи грешки. Значи, ја имаме канонската форма. Ние имаме:
3x − 1 = 0,5 −3
Ова повеќе не е логаритамска равенка, туку линеарна во однос на променливата x. За да го решиме, прво да го погледнеме бројот 0,5 со моќност од −3. Забележете дека 0,5 е 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Претворете ги сите децимални дропки во обични дропки кога решавате логаритамска равенка.
Ние препишуваме и добиваме:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Тоа е тоа, го добивме одговорот. Првиот проблем е решен.
Втора задача
Ајде да преминеме на втората задача:
Како што гледаме, оваа равенка повеќе не е наједноставна. Ако само затоа што има разлика лево, а ниту еден логаритам до една основа.
Затоа, треба некако да се ослободиме од оваа разлика. Во овој случај, сè е многу едноставно. Да ги погледнеме подетално основите: лево е бројот под коренот:
Општа препорака: во сите логаритамски равенки, обидете се да се ослободите од радикалите, т.е., од записите со корени и да преминете на функциите на моќност, едноставно затоа што експонентите на овие моќи лесно се вадат од знакот на логаритамот и, на крајот, таквите записот значително ги поедноставува и забрзува пресметките. Ајде да го запишеме вака:
Сега да се потсетиме на извонредното својство на логаритмот: моќите може да се изведат од аргументот, како и од основата. Во случај на основа, се случува следново:
log a k b = 1/k лога b
Со други зборови, бројот што бил во основната моќност се носи напред и во исто време се превртува, односно станува реципрочен број. Во нашиот случај, основниот степен беше 1/2. Затоа, можеме да го извадиме како 2/1. Добиваме:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Ве молиме запомнете: во никој случај не треба да се ослободите од логаритмите на овој чекор. Запомнете математика од 4-5 одделение и редоследот на операциите: прво се врши множење, а дури потоа собирање и одземање. Во овој случај, одземаме еден од истите елементи од 10 елементи:
9 дневник 5 x = 18
дневник 5 x = 2
Сега нашата равенка изгледа како што треба. Ова е наједноставната конструкција и ја решаваме користејќи ја канонската форма:
дневник 5 x = дневник 5 5 2
x = 5 2
x = 25
Тоа е се. Вториот проблем е решен.
Трет пример
Да преминеме на третата задача:
дневник (x + 3) = 3 + 2 дневник 5
Дозволете ми да ве потсетам на следнава формула:
лог б = дневник 10 б
Ако поради некоја причина сте збунети од дневникот за нотација b, тогаш кога ги извршувате сите пресметки можете едноставно да напишете дневник 10 b. Можете да работите со децимални логаритми на ист начин како и со другите: земете моќи, собирајте и претставувајте ги сите броеви во форма lg 10.
Токму овие својства сега ќе ги користиме за да го решиме проблемот, бидејќи не е наједноставниот што го запишавме на самиот почеток на нашата лекција.
Прво, забележете дека факторот 2 пред lg 5 може да се додаде и да стане моќност на основата 5. Покрај тоа, слободниот член 3 може да се претстави и како логаритам - ова е многу лесно да се набљудува од нашата нотација.
Проценете сами: кој било број може да се претстави како дневник до основата 10:
3 = дневник 10 10 3 = дневник 10 3
Ајде да го преработиме оригиналниот проблем земајќи ги предвид добиените промени:
лог (x − 3) = лог 1000 + лог 25
лог (x − 3) = лог 1000 25
лог (x − 3) = лог 25.000
Повторно ја имаме канонската форма пред нас и ја добивме без да поминеме низ фазата на трансформација, односно никаде не се појави наједноставната логаритамска равенка.
Токму за ова зборував на самиот почеток на лекцијата. Канонската форма ви овозможува да решите поширока класа на проблеми од стандардната училишна формула што ја даваат повеќето училишни наставници.
Па, тоа е сè, се ослободуваме од знакот на децималниот логаритам и добиваме едноставна линеарна конструкција:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Сите! Проблемот е решен.
Забелешка за опсегот
Овде би сакал да направам важна забелешка во однос на опсегот на дефиницијата. Сега сигурно ќе има ученици и наставници кои ќе речат: „Кога ги решаваме изразите со логаритми, мора да запомниме дека аргументот f (x) мора да биде поголем од нула!“ Во овој поглед, се поставува логично прашање: зошто не баравме оваа нееднаквост да биде задоволена во ниту еден од разгледаните проблеми?
Не се грижи. Во овие случаи, нема да се појават дополнителни корени. И ова е уште еден одличен трик кој ви овозможува да го забрзате решението. Само знајте дека ако во проблемот променливата x се појавува само на едно место (или подобро, во еден аргумент на еден логаритам), и никаде на друго место во нашиот случај не се појавува променливата x, тогаш запишете го доменот на дефиниција нема потреба, бидејќи ќе се изврши автоматски.
Проценете сами: во првата равенка добивме дека 3x − 1, т.е. аргументот треба да биде еднаков на 8. Ова автоматски значи дека 3x − 1 ќе биде поголемо од нула.
Со истиот успех можеме да напишеме дека во вториот случај x треба да биде еднакво на 5 2, односно сигурно е поголемо од нула. И во третиот случај, каде што x + 3 = 25.000, т.е., повторно, очигледно поголемо од нула. Со други зборови, опсегот се задоволува автоматски, но само ако x се појавува само во аргументот на само еден логаритам.
Тоа е се што треба да знаете за да ги решите наједноставните проблеми. Само ова правило, заедно со правилата за трансформација, ќе ви овозможи да решите многу широка класа на проблеми.
Но, да бидеме искрени: за конечно да се разбере оваа техника, да се научи како да се примени канонската форма на логаритамската равенка, не е доволно само да се гледа една видео лекција. Затоа, токму сега, преземете ги опциите за независни решенија кои се прикачени на оваа видео лекција и започнете да решавате барем една од овие две независни дела.
Ќе ви одземе буквално неколку минути. Но, ефектот од таквата обука ќе биде многу поголем отколку ако едноставно ја гледавте оваа видео лекција.
Се надевам дека оваа лекција ќе ви помогне да ги разберете логаритамските равенки. Користете ја канонската форма, поедноставете ги изразите користејќи ги правилата за работа со логаритми - и нема да се плашите од никакви проблеми. Тоа е се што имам за денес.
Земајќи го предвид доменот на дефиниција
Сега да зборуваме за доменот на дефинирање на логаритамската функција и како тоа влијае на решавањето на логаритамските равенки. Размислете за конструкција на формата
log a f (x) = b
Таквиот израз се нарекува наједноставен - содржи само една функција, а броевите a и b се само броеви и во никој случај функција која зависи од променливата x. Тоа може да се реши многу едноставно. Вие само треба да ја користите формулата:
b = log a a b
Оваа формула е едно од клучните својства на логаритмот, а при замена во нашиот оригинален израз го добиваме следново:
log a f (x) = log a a b
f (x) = a b
Ова е позната формула од училишните учебници. Многу студенти веројатно ќе имаат прашање: бидејќи во оригиналниот израз функцијата f (x) е под знакот за дневник, на неа се наметнуваат следните ограничувања:
f(x) > 0
Ова ограничување се применува бидејќи логаритамот на негативни броеви не постои. Значи, можеби, како резултат на ова ограничување, треба да се воведе проверка на одговорите? Можеби тие треба да се вметнат во изворот?
Не, во наједноставните логаритамски равенки дополнителна проверка е непотребна. И затоа. Погледнете ја нашата конечна формула:
f (x) = a b
Факт е дека бројот a е во секој случај поголем од 0 - ова барање го наметнува и логаритамот. Бројот а е основа. Во овој случај, не се наметнуваат ограничувања за бројот б. Но, ова не е важно, бидејќи без разлика на која моќност ќе подигнеме позитивен број, сепак ќе добиеме позитивен број на излезот. Така, барањето f (x) > 0 се задоволува автоматски.
Она што навистина вреди да се провери е доменот на функцијата под знакот за дневник. Може да има доста сложени структури и дефинитивно треба да внимавате на нив за време на процесот на решавање. Ајде да погледнеме.
Прва задача:
Прв чекор: претворете ја дропот десно. Добиваме:
Се ослободуваме од знакот логаритам и ја добиваме вообичаената ирационална равенка:
Од добиените корени ни одговара само првиот, бидејќи вториот корен е помал од нула. Единствениот одговор ќе биде бројот 9. Тоа е тоа, проблемот е решен. Не се потребни дополнителни проверки за да се осигура дека изразот под знакот логаритам е поголем од 0, бидејќи не е само поголем од 0, туку според условот на равенката е еднаков на 2. Затоа, барањето „поголемо од нула “ се задоволува автоматски.
Ајде да преминеме на втората задача:
Сè е исто овде. Ја препишуваме конструкцијата, заменувајќи ја тројната:
Се ослободуваме од логаритамските знаци и добиваме ирационална равенка:
Ги квадратуваме двете страни земајќи ги предвид ограничувањата и добиваме:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Добиената равенка ја решаваме преку дискриминантата:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Но, x = −6 не ни одговара, бидејќи ако го замениме овој број во нашата неравенка, добиваме:
−6 + 4 = −2 < 0
Во нашиот случај, потребно е да биде поголемо од 0 или, во екстремни случаи, еднакво. Но, x = −1 ни одговара:
−1 + 4 = 3 > 0
Единствениот одговор во нашиот случај ќе биде x = −1. Тоа е решението. Да се вратиме на самиот почеток на нашите пресметки.
Главната работа од оваа лекција е дека не треба да ги проверувате ограничувањата на функцијата во едноставни логаритамски равенки. Бидејќи во текот на процесот на решавање сите ограничувања се задоволуваат автоматски.
Сепак, ова во никој случај не значи дека можете целосно да заборавите на проверката. Во процесот на работа на логаритамска равенка, таа може добро да се претвори во ирационална, која ќе има свои ограничувања и барања за десната страна, што ги видовме денес во два различни примери.
Слободно решавајте ги ваквите проблеми и бидете особено внимателни доколку има корен во расправијата.
Логаритамски равенки со различни основи
Продолжуваме да ги проучуваме логаритамските равенки и гледаме уште две доста интересни техники со кои е модерно да се решаваат посложени конструкции. Но, прво, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми:
log a f (x) = b
Во овој запис a и b се броеви, а во функцијата f (x) променливата x мора да биде присутна, а само таму, односно x мора да биде само во аргументот. Ваквите логаритамски равенки ќе ги трансформираме користејќи ја канонската форма. За да го направите ова, забележете дека
b = log a a b
Покрај тоа, a b е токму аргумент. Ајде да го преработиме овој израз на следниов начин:
log a f (x) = log a a b
Токму тоа се обидуваме да го постигнеме, за да има логаритам да го засноваме a и на лево и на десно. Во овој случај, можеме, фигуративно кажано, да ги прецртаме знаците на дневникот и од математичка гледна точка можеме да кажеме дека едноставно ги изедначуваме аргументите:
f (x) = a b
Како резултат на тоа, ќе добиеме нов израз кој ќе биде многу полесен за решавање. Ајде да го примениме ова правило за нашите проблеми денес.
Значи, првиот дизајн:
Најпрво, забележувам дека десно е дропка чиј именител е лог. Кога ќе видите ваков израз, добро е да се сетите на прекрасното својство на логаритмите:
Преведено на руски, тоа значи дека секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со која било основа c. Секако 0< с ≠ 1.
Значи: оваа формула има еден прекрасен посебен случај, кога променливата c е еднаква на променливата б. Во овој случај добиваме конструкција како:
Токму оваа конструкција ја гледаме од знакот десно во нашата равенка. Да ја замениме оваа конструкција со log a b , добиваме:
Со други зборови, во споредба со првичната задача, ги заменивме аргументите и основата на логаритмот. Наместо тоа, моравме да ја смениме дропот.
Потсетуваме дека кој било степен може да се изведе од основата според следново правило:
Со други зборови, коефициентот k, кој е моќност на основата, се изразува како превртена дропка. Да го прикажеме како превртена дропка:
Дробниот фактор не може да се остави напред, бидејќи во овој случај нема да можеме да ја претставиме оваа нотација како канонска форма (на крајот на краиштата, во канонската форма нема дополнителен фактор пред вториот логаритам). Затоа, да ја додадеме дропот 1/4 на аргументот како моќност:
Сега ги изедначуваме аргументите чии основи се исти (а нашите основи се навистина исти) и пишуваме:
x + 5 = 1
x = −4
Тоа е се. Го добивме одговорот на првата логаритамска равенка. Ве молиме имајте предвид: во оригиналниот проблем, променливата x се појавува само во еден дневник и се појавува во нејзиниот аргумент. Затоа, нема потреба да се провери доменот, а нашиот број x = −4 е навистина одговорот.
Сега да преминеме на вториот израз:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Овде, покрај вообичаените логаритми, ќе треба да работиме и со log f (x). Како да се реши таква равенка? На неподготвен ученик може да му се чини дека ова е некаква тешка задача, но всушност сè може да се реши на елементарен начин.
Погледнете внимателно на терминот lg 2 log 2 7. Што можеме да кажеме за него? Основите и аргументите на log и lg се исти, и ова треба да даде некои идеи. Да се потсетиме уште еднаш како се вадат моќите под знакот на логаритамот:
log a b n = nlog a b
Со други зборови, она што беше моќ на b во аргументот станува фактор пред самиот лог. Да ја примениме оваа формула за изразот lg 2 log 2 7. Не плашете се од lg 2 - ова е најчестиот израз. Можете да го преработите на следниов начин:
За него важат сите правила кои важат за кој било друг логаритам. Конкретно, факторот напред може да се додаде на степенот на аргументот. Ајде да го запишеме:
Многу често, учениците не ја гледаат оваа акција директно, бидејќи не е добро да се внесе еден дневник под знакот на друг. Всушност, нема ништо криминално во ова. Покрај тоа, добиваме формула што е лесно да се пресмета ако се сеќавате на важно правило:
Оваа формула може да се смета и како дефиниција и како едно од нејзините својства. Во секој случај, ако конвертирате логаритамска равенка, треба да ја знаете оваа формула исто како што би ја знаеле логистичката репрезентација на кој било број.
Да се вратиме на нашата задача. Го препишуваме земајќи го предвид фактот дека првиот член десно од знакот за еднаквост ќе биде едноставно еднаков на lg 7. Имаме:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Да го поместиме lg 7 налево, добиваме:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Ги одземаме изразите лево затоа што имаат иста основа:
lg (56/7) = -3lg (x + 4)
Сега да ја разгледаме подетално равенката што ја добивме. Тоа е практично канонската форма, но има фактор −3 на десната страна. Ајде да го додадеме во вистинскиот аргумент на lg:
лог 8 = лог (x + 4) −3
Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, па ги пречкртавме знаците lg и ги изедначуваме аргументите:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
Тоа е се! Ја решивме втората логаритамска равенка. Во овој случај, не се потребни дополнителни проверки, бидејќи во оригиналниот проблем x беше присутен само во еден аргумент.
Дозволете ми повторно да ги наведам клучните точки од оваа лекција.
Главната формула што се учи во сите лекции на оваа страница посветена на решавање на логаритамски равенки е канонската форма. И не плашете се од фактот дека повеќето училишни учебници ве учат да ги решавате ваквите проблеми поинаку. Оваа алатка работи многу ефикасно и ви овозможува да решите многу поширока класа на проблеми од наједноставните што ги проучувавме на самиот почеток на нашата лекција.
Покрај тоа, за решавање на логаритамски равенки ќе биде корисно да се знаат основните својства. Имено:
- Формулата за преместување во една база и специјалниот случај кога го реверзираме дневникот (ова ни беше многу корисно во првиот проблем);
- Формула за собирање и одземање моќи од знакот логаритам. Овде, многу студенти заглавуваат и не гледаат дека извадената и воведена диплома може сама по себе да содржи лог f (x). Ништо лошо во тоа. Можеме да воведеме еден дневник според знакот на другиот и во исто време значително да го поедноставиме решението на проблемот, што е она што го забележуваме во вториот случај.
Како заклучок, би сакал да додадам дека не е неопходно да се провери доменот на дефиниција во секој од овие случаи, бидејќи секаде променливата x е присутна само во еден знак на лог, а во исто време е и во нејзиниот аргумент. Како последица на тоа, сите барања од опсегот се исполнуваат автоматски.
Проблеми со променлива основа
Денес ќе ги разгледаме логаритамските равенки, кои за многу студенти изгледаат нестандардни, ако не и целосно нерешливи. Зборуваме за изрази кои не се засноваат на бројки, туку на променливи, па дури и функции. Ваквите конструкции ќе ги решаваме користејќи ја нашата стандардна техника, имено преку канонската форма.
Прво, да се потсетиме како се решаваат наједноставните проблеми, врз основа на обични броеви. Значи, наједноставната конструкција се нарекува
log a f (x) = b
За да ги решиме ваквите проблеми, можеме да ја користиме следната формула:
b = log a a b
Го препишуваме нашиот оригинален израз и добиваме:
log a f (x) = log a a b
Потоа ги изедначуваме аргументите, т.е. пишуваме:
f (x) = a b
Така, се ослободуваме од знакот за дневник и го решаваме вообичаениот проблем. Во овој случај, корените добиени од решението ќе бидат корените на првобитната логаритамска равенка. Дополнително, записот кога и левата и десната страна се во ист логаритам со иста основа, прецизно се нарекува канонска форма. До таков рекорд ќе се обидеме да ги намалиме денешните дизајни. Значи, да одиме.
Прва задача:
лог x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Заменете го 1 со лог x − 2 (x − 2) 1 . Степенот што го набљудуваме во аргументот е всушност бројот b што стои десно од знакот за еднаквост. Така, да го преработиме нашиот израз. Добиваме:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Што гледаме? Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка, за да можеме безбедно да ги изедначуваме аргументите. Добиваме:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Но, решението не завршува тука, бидејќи оваа равенка не е еквивалентна на првобитната. На крајот на краиштата, добиената конструкција се состои од функции кои се дефинирани на целата бројна линија, а нашите оригинални логаритми не се дефинирани насекаде и не секогаш.
Затоа, ние мора да го запишеме доменот на дефиниција одделно. Да не се делиме влакна и прво да ги запишеме сите барања:
Прво, аргументот на секој од логаритмите мора да биде поголем од 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
Второ, основата не само што треба да биде поголема од 0, туку и да се разликува од 1:
x − 2 ≠ 1
Како резултат, го добиваме системот:
Но, не плашете се: кога се обработуваат логаритамски равенки, таков систем може значително да се поедностави.
Проценете сами: од една страна, од нас се бара квадратната функција да биде поголема од нула, а од друга страна, оваа квадратна функција е изедначена со одреден линеарен израз, кој исто така се бара да биде поголем од нула.
Во овој случај, ако бараме дека x − 2 > 0, тогаш барањето 2x 2 − 13x + 18 > 0 автоматски ќе биде исполнето. Затоа, можеме безбедно да ја пречкртаме неравенката што ја содржи квадратната функција. Така, бројот на изрази содржани во нашиот систем ќе се намали на три.
Се разбира, со истиот успех би можеле да ја пречкртаме линеарната неравенка, односно да прецртаме x − 2 > 0 и да бараме 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но, ќе се согласите дека решавањето на наједноставната линеарна неравенка е многу побрзо и поедноставно, отколку квадратно, дури и под услов како резултат на решавање на целиот овој систем да ги добиеме истите корени.
Во принцип, обидете се да ги оптимизирате пресметките секогаш кога е можно. И во случај на логаритамски равенки, пречкртајте ги најтешките неравенки.
Ајде да го преработиме нашиот систем:
Еве еден систем од три изрази, од кои два, всушност, веќе се занимававме. Ајде да ја запишеме квадратната равенка одделно и да ја решиме:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Пред нас е намален квадратен трином и, според тоа, можеме да ги користиме формулите на Виета. Добиваме:
(x − 5) (x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Сега се враќаме на нашиот систем и откриваме дека x = 2 не ни одговара, бидејќи од нас се бара x да биде строго поголем од 2.
Но, x = 5 ни одговара совршено: бројот 5 е поголем од 2, а во исто време 5 не е еднаков на 3. Затоа, единственото решение за овој систем ќе биде x = 5.
Тоа е тоа, проблемот е решен, вклучително и земајќи го предвид ОДЗ. Да преминеме на втората равенка. Повеќе интересни и информативни пресметки не очекуваат овде:
Првиот чекор: како и минатиот пат, целата оваа работа ја доведуваме во канонска форма. За да го направите ова, можеме да го напишеме бројот 9 на следниов начин:
Не мора да ја допирате основата со коренот, но подобро е да го трансформирате аргументот. Да преминеме од коренот кон моќта со рационален експонент. Ајде да запишеме:
Да не ја препишувам целата наша голема логаритамска равенка, туку веднаш да ги изедначам аргументите:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Пред нас е ново намален квадратен трином, да ги искористиме формулите на Виета и да напишеме:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Значи, ги добивме корените, но никој не ни гарантира дека ќе одговараат на првобитната логаритамска равенка. На крајот на краиштата, знаците за дневници наметнуваат дополнителни ограничувања (тука требаше да го запишеме системот, но поради гломазната природа на целата структура, решив да го пресметам доменот на дефиниција одделно).
Пред сè, запомнете дека аргументите мора да бидат поголеми од 0, имено:
Тоа се барањата наметнати од опсегот на дефиницијата.
Веднаш да забележиме дека со оглед на тоа што ги поистоветуваме првите два изрази на системот еден со друг, можеме да прецртаме кој било од нив. Ајде да го пречкртаме првиот бидејќи изгледа позаканувачки од вториот.
Дополнително, забележете дека решението за втората и третата неравенка ќе бидат истите множества (коцката на некој број е поголема од нула, ако самиот овој број е поголем од нула; слично, со корен од третиот степен - овие неравенки се целосно аналогни, па можеме да го пречкртаме).
Но, со третата нееднаквост ова нема да функционира. Ајде да се ослободиме од радикалниот знак лево со подигање на двата дела на коцка. Добиваме:
Значи, ги добиваме следниве барања:
− 2 ≠ x > −3
Кој од нашите корени: x 1 = −3 или x 2 = −1 ги исполнува овие барања? Очигледно, само x = −1, бидејќи x = −3 не ја задоволува првата неравенка (бидејќи нашата неравенка е строга). Значи, враќајќи се на нашиот проблем, добиваме еден корен: x = −1. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Уште еднаш, клучните точки на оваа задача:
- Слободно применувајте и решавајте логаритамски равенки користејќи канонска форма. Учениците кои прават таква ознака, наместо директно да се префрлат од оригиналниот проблем на конструкција како log a f (x) = b, прават многу помалку грешки од оние кои брзаат некаде, прескокнувајќи ги средните чекори на пресметките;
- Штом променлива основа се појави во логаритам, проблемот престанува да биде наједноставен. Затоа, при неговото решавање, потребно е да се земе предвид доменот на дефиниција: аргументите мора да бидат поголеми од нула, а основите не само што треба да бидат поголеми од 0, туку не смеат да бидат и еднакви на 1.
Конечните барања може да се применат на конечните одговори на различни начини. На пример, можете да решите цел систем кој ги содржи сите барања за доменот на дефиниција. Од друга страна, прво можете да го решите самиот проблем, а потоа да го запомните доменот на дефиниција, одделно да го разработите во форма на систем и да го примените на добиените корени.
Кој метод да го изберете при решавање на одредена логаритамска равенка зависи од вас. Во секој случај, одговорот ќе биде ист.