Еден од елементите на алгебрата на примитивно ниво е логаритамот. Името доаѓа од грчкиот јазик од зборот „број“ или „моќ“ и значи моќност до која треба да се подигне бројот во основата за да се најде конечниот број.
Видови логаритми
- log a b – логаритам на бројот b до основата a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – децимален логаритам (логаритам до основата 10, a = 10);
- ln b – природен логаритам (логаритам до основата e, a = e).
Како да се решат логаритми?
Логаритмот од b до основата a е експонент кој бара b да се подигне на основата a. Добиениот резултат се изговара вака: „логаритам од b до основата a“. Решението за логаритамските проблеми е тоа што треба да ја одредите дадената моќност во бројки од наведените броеви. Постојат некои основни правила за одредување или решавање на логаритам, како и конвертирање на самата нотација. Користејќи ги, се решаваат логаритамски равенки, се наоѓаат изводи, се решаваат интеграли и се вршат многу други операции. Во основа, решението на самиот логаритам е неговата поедноставена нотација. Подолу се дадени основните формули и својства:
За било кој а ; a > 0; a ≠ 1 и за кој било x; y > 0.
- a log a b = b – основен логаритамски идентитет
- логирај а 1 = 0
- лога a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x, за k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула за преместување во нова база
- log a x = 1/log x a
Како да решавате логаритми - чекор-по-чекор инструкции за решавање
- Прво, запишете ја потребната равенка.
Ве молиме имајте предвид: ако основниот логаритам е 10, тогаш записот е скратен, што резултира со децимален логаритам. Ако има природен број e, тогаш го запишуваме, сведувајќи го на природен логаритам. Ова значи дека резултатот на сите логаритми е моќноста на која се подига основниот број за да се добие бројот b.
Директно, решението лежи во пресметувањето на овој степен. Пред да се реши изразот со логаритам, тој мора да се поедностави според правилото, односно со користење на формули. Главните идентитети можете да ги најдете ако се вратите малку назад во статијата.
При собирање и одземање логаритми со два различни броја, но со исти основи, заменете го со еден логаритам со производот или делењето на броевите b и c, соодветно. Во овој случај, можете да ја примените формулата за преместување во друга база (види погоре).
Ако користите изрази за поедноставување на логаритам, има некои ограничувања што треба да се земат предвид. А тоа е: основата на логаритмот a е само позитивен број, но не е еднаков на еден. Бројот b, како a, мора да биде поголем од нула.
Има случаи каде што, со поедноставување на изразот, нема да можете нумерички да го пресметате логаритамот. Се случува таквиот израз да нема смисла, бидејќи многу сили се ирационални броеви. Под овој услов, оставете ја моќноста на бројот како логаритам.
Следи од неговата дефиниција. И така логаритамот на бројот ббазирано на Асе дефинира како експонент до кој мора да се подигне број аза да го добиете бројот б(логаритам постои само за позитивни броеви).
Од оваа формулација произлегува дека пресметката x=log a b, е еквивалентно на решавање на равенката a x =b.На пример, дневник 2 8 = 3бидејќи 8 = 2 3 . Формулирањето на логаритмот овозможува да се оправда дека ако b=a c, потоа логаритам на бројот ббазирано на аеднакви Со. Исто така, јасно е дека темата за логаритми е тесно поврзана со темата за силите на бројот.
Со логаритми, како и со сите броеви, можете да направите операции собирање, одземањеи да се трансформираат на секој можен начин. Но, поради фактот што логаритмите не се сосема обични броеви, овде важат нивните посебни правила, кои се нарекуваат главните својства.
Собирање и одземање логаритми.
Да земеме два логаритами со исти основи: log a xИ најавите y. Тогаш е можно да се извршат операции за собирање и одземање:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
дневник а(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Од Теорема за логаритамски количникМоже да се добие уште едно својство на логаритмот. Општо познато е дека дневникот а 1= 0, значи
дневник а 1 /б= дневник а 1 - дневник а б= - дневник а б.
Ова значи дека постои еднаквост:
log a 1 / b = - log a b.
Логаритми од два реципрочни бројаод истата причина ќе се разликуваат едни од други исклучиво по знак. Значи:
Дневник 3 9= - дневник 3 1 / 9 ; дневник 5 1 / 125 = - дневник 5 125.
Задачата Б7 дава одреден израз што треба да се поедностави. Резултатот треба да биде редовен број што може да се запише на вашиот лист со одговори. Сите изрази се конвенционално поделени во три вида:
- Логаритмски,
- Индикативно,
- Комбинирани.
Експоненцијалните и логаритамските изрази во нивната чиста форма практично никогаш не се наоѓаат. Сепак, да се знае како се пресметуваат е апсолутно неопходно.
Општо земено, проблемот Б7 се решава прилично едноставно и е сосема во рамките на можностите на просечниот дипломец. Недостатокот на јасни алгоритми се компензира со неговата стандардизација и монотонија. Можете да научите да ги решавате ваквите проблеми едноставно преку многу обука.
Логаритамски изрази
Огромното мнозинство на Б7 проблеми вклучуваат логаритми во една или друга форма. Оваа тема традиционално се смета за тешка, бидејќи нејзиното изучување обично се случува во 11-то одделение - ерата на масовна подготовка за завршните испити. Како резултат на тоа, многу дипломирани студенти имаат многу нејасно разбирање за логаритмите.
Но, во оваа задача никој не бара длабоко теоретско знаење. Ќе се сретнеме само со наједноставните изрази кои бараат едноставно расудување и лесно можат да се совладаат самостојно. Подолу се основните формули што треба да ги знаете за да се справите со логаритмите:
Покрај тоа, мора да бидете во можност да ги замените корените и дропките со моќи со рационален експонент, инаку во некои изрази едноставно нема да има што да се извади од под знакот логаритам. Формули за замена:
Задача. Најдете го значењето на изразите:
лог 6 270 − лог 6 7.5
лог 5 775 − лог 5 6.2
Првите два изрази се претвораат како разлика на логаритми:
лог 6 270 − лог 6 7,5 = лог 6 (270: 7,5) = лог 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.
За да го пресметате третиот израз, ќе треба да ги изолирате моќите - и во основата и во аргументот. Прво, да го најдеме внатрешниот логаритам:
Потоа - надворешно:
Конструкциите на формата log a log b x изгледаат сложени и погрешно разбрани за многумина. Во меѓувреме, ова е само логаритам на логаритамот, т.е. log a (log b x ). Прво се пресметува внатрешниот логаритам (се става log b x = c), а потоа надворешниот: log a c.
Демонстративни изрази
Експоненцијален израз ќе ја наречеме секоја конструкција од формата k, каде што броевите a и k се произволни константи, а a > 0. Методите за работа со такви изрази се прилично едноставни и се дискутирани на часовите по алгебра од 8-мо одделение.
Подолу се основните формули кои дефинитивно треба да ги знаете. Примената на овие формули во пракса, по правило, не предизвикува проблеми.
- a n · a m = a n + m;
- a n / a m = a n − m ;
- (a n) m = a n · m;
- (a · b ) n = a n · b n ;
- (a : b ) n = a n : b n .
Ако наидете на сложен израз со моќи, а не ви е јасно како да му пристапите, користете универзална техника - распаѓање на едноставни фактори. Како резултат на тоа, големите броеви во основите на моќта се заменуваат со едноставни и разбирливи елементи. Тогаш останува само да се применат горенаведените формули - и проблемот ќе биде решен.
Задача. Најдете ги вредностите на изразите: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Решение. Ајде да ги разложиме сите основи на моќите на едноставни фактори:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Комбинирани задачи
Ако ги знаете формулите, тогаш сите експоненцијални и логаритамски изрази може да се решат буквално во една линија. Меѓутоа, во задачата Б7 моќите и логаритмите може да се комбинираат за да формираат прилично силни комбинации.
Дадени се основните својства на природниот логаритам, график, домен на дефиниција, множество вредности, основни формули, извод, интеграл, проширување на сериите на моќност и претставување на функцијата ln x со помош на сложени броеви.
Дефиниција
Природен логаритаме функцијата y = во x, инверзна на експоненцијалот, x = e y, и е логаритам на основата на бројот e: ln x = log e x.
Природниот логаритам е широко користен во математиката бидејќи неговиот дериват ја има наједноставната форма: (ln x)′ = 1/ x.
Врз основа дефиниции, основата на природниот логаритам е бројот д:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
График на функцијата y = во x.
График на природен логаритам (функции y = во x) се добива од експоненцијалниот график со огледало одраз во однос на правата y = x.
Природниот логаритам е дефиниран за позитивните вредности на променливата x. Монотоно се зголемува во својот домен на дефиниција.
На x → 0 границата на природниот логаритам е минус бесконечност (-∞).
Како x → + ∞, границата на природниот логаритам е плус бесконечност (+ ∞). За голем x, логаритмот се зголемува прилично бавно. Секоја функција на моќност x a со позитивен експонент a расте побрзо од логаритамот.
Својства на природниот логаритам
Домен на дефиниција, збир на вредности, екстреми, зголемување, намалување
Природниот логаритам е монотоно растечка функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на природниот логаритам се претставени во табелата.
ln x вредности
ln 1 = 0
Основни формули за природни логаритми
Формули кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:
Главното својство на логаритмите и неговите последици
Формула за замена на основата
Секој логаритам може да се изрази во однос на природни логаритми користејќи ја формулата за замена на основата:
Доказите за овие формули се претставени во делот „Логаритам“.
Инверзна функција
Инверзната на природниот логаритам е експонентот.
Ако тогаш
Ако тогаш.
Извод ln x
Извод на природниот логаритам:
.
Извод на природниот логаритам на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >
Интегрален
Интегралот се пресметува со интеграција по делови:
.
Значи,
Изрази кои користат сложени броеви
Размислете за функцијата на сложената променлива z:
.
Да ја изразиме сложената променлива zпреку модул ри аргумент φ
:
.
Користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или
.
Аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде што n е цел број,
ќе биде ист број за различни n.
Според тоа, природниот логаритам, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.
Проширување на серијата на моќност
Кога ќе се изврши проширување:
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
Задачи чие решение е конвертирање на логаритамски изрази, се доста чести на обединетиот државен испит.
За успешно да се справите со нив со минимално време, покрај основните логаритамски идентитети, треба да знаете и правилно да користите уште неколку формули.
Ова е: a log a b = b, каде што a, b > 0, a ≠ 1 (Тоа следи директно од дефиницијата на логаритамот).
log a b = log c b / log c a или log a b = 1/log b a
каде a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |б|
каде што a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
а дневник c b = b log c a
каде a, b, c > 0 и a, b, c ≠ 1
За да ја покажеме валидноста на четвртата еднаквост, да го земеме логаритамот на левата и десната страна до основата a. Добиваме log a (a log со b) = log a (b log со a) или log со b = log со a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); дневник со б = дневник со б.
Ја докажавме еднаквоста на логаритмите, што значи дека и изразите под логаритмите се еднакви. Формула 4 е докажана.
Пример 1.
Пресметај 81 лог 27 5 лог 5 4 .
Решение.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
дневник 27 5 = 1/3 дневник 3 5, дневник 5 4 = дневник 3 4 / дневник 3 5. Затоа,
дневник 27 5 дневник 5 4 = 1/3 дневник 3 5 (лог 3 4 / дневник 3 5) = 1/3 дневник 3 4.
Потоа 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Можете сами да ја завршите следната задача.
Пресметај (8 лог 2 3 + 3 1/ лог 2 3) - лог 0,2 5.
Како навестување, 0,2 = 1/5 = 5 -1; дневник 0,2 5 = -1.
Одговор: 5.
Пример 2.
Пресметајте (√11) дневник √3 9- дневник 121 81 .
Решение.
Да ги промениме изразите: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, лог √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, дневник 121 81 = 2 лог 11 3 (се користела формула 3).
Потоа (√11) дневник √3 9- лог 121 81 = (11 1/2) 4-2 дневник 11 3 = (11) 2- лог 11 3 = 11 2 / (11) лог 11 3 = 11 2 / ( 11 лог 11 3) = 121/3.
Пример 3.
Пресметајте дневник 2 24 / дневник 96 2 - дневник 2 192 / дневник 12 2.
Решение.
Логаритмите содржани во примерот ги заменуваме со логаритми со основа 2.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
дневник 2 192 = дневник 2 (2 6 3) = (лог 2 2 6 + дневник 2 3) = (6 + дневник 2 3);
дневник 2 24 = дневник 2 (2 3 3) = (лог 2 2 3 + дневник 2 3) = (3 + дневник 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Потоа дневник 2 24 / дневник 96 2 – дневник 2 192 / дневник 12 2 = (3 + дневник 2 3) / (1/(5 + дневник 2 3)) – ((6 + дневник 2 3) / (1/( 2 + дневник 2 3)) =
= (3 + дневник 2 3) · (5 + дневник 2 3) – (6 + дневник 2 3) (2 + дневник 2 3).
Откако ќе ги отвориме заградите и ќе донесеме слични поими, го добиваме бројот 3. (При поедноставување на изразот, можеме да го означиме log 2 3 со n и да го поедноставиме изразот
(3 + n) · (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).
Одговор: 3.
Можете сами да ја завршите следната задача:
Пресметај (дневник 3 4 + дневник 4 3 + 2) дневник 3 16 дневник 2 144 3.
Овде е неопходно да се направи премин кон логаритми со основа 3 и размножување на големите броеви во прости множители.
Одговор: 1/2
Пример 4.
Дадени се три броја A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Подреди ги во растечки редослед.
Решение.
Да ги трансформираме броевите A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = лог 0,5 12 – лог 0,5 3 = лог 0,5 12/3 = лог 0,5 4 = -2.
Ајде да ги споредиме
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 и log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Или 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Одговори. Според тоа, редоследот на поставување на броевите е: C; А; ВО.
Пример 5.
Колку цели броеви има во интервалот (лог 3 1 / 16 ; дневник 2 6 48).
Решение.
Дозволете ни да одредиме помеѓу кои сили на бројот 3 се наоѓа бројот 1/16. Добиваме 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Бидејќи функцијата y = log 3 x се зголемува, тогаш log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
дневник 6 48 = дневник 6 (36 4 / 3) = дневник 6 36 + дневник 6 (4 / 3) = 2 + дневник 6 (4 / 3). Да ги споредиме дневникот 6 (4/3) и 1/5. И за ова ги споредуваме броевите 4/3 и 6 1/5. Да ги подигнеме двата броја на 5-та сила. Добиваме (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
дневник 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Затоа, интервалот (log 3 1 / 16 ; log 6 48) го вклучува интервалот [-2; 4] и на него се ставаат цели броеви -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Одговор: 7 цели броеви.
Пример 6.
Пресметајте 3 lglg 2 / lg 3 - lg20.
Решение.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
Потоа 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Одговор: -1.
Пример 7.
Познато е дека log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Најдете го дневникот 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).
Решение.
Броеви (√3 + 1) и (√3 – 1); (√6 – 2) и (√6 + 2) се конјугирани.
Да ја извршиме следната трансформација на изразите
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
Потоа дневник 2 (√3 – 1) + дневник 2 (√6 + 2) = дневник 2 (2/(√3 + 1)) + дневник 2 (2/(√6 – 2)) =
Дневник 2 2 – дневник 2 (√3 + 1) + дневник 2 2 – дневник 2 (√6 – 2) = 1 – дневник 2 (√3 + 1) + 1 – дневник 2 (√6 – 2) =
2 – дневник 2 (√3 + 1) – дневник 2 (√6 – 2) = 2 – А.
Одговор: 2 – А.
Пример 8.
Поедноставете ја и пронајдете ја приближната вредност на изразот (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Решение.
Да ги намалиме сите логаритми на заедничка основа 10.
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Приближната вредност на lg 2 може да се најде со помош на табела, правило за слајд или калкулатор).
Одговор: 0,3010.
Пример 9.
Пресметајте го log a 2 b 3 √(a 11 b -3) ако log √ a b 3 = 1. (Во овој пример, a 2 b 3 е основата на логаритамот).
Решение.
Ако log √ a b 3 = 1, тогаш 3/(0,5 log a b = 1. И log a b = 1/6.
Потоа log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Имајќи предвид дека тој лог a b = 1/ 6 добиваме (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.
Одговор: 2.1.
Можете сами да ја завршите следната задача:
Пресметајте го дневникот √3 6 √2.1 ако лог 0.7 27 = а.
Одговор: (3 + а) / (3а).
Пример 10.
Пресметај 6,5 4/ лог 3 169 · 3 1/ лог 4 13 + лог125.
Решение.
6,5 4/ дневник 3 169 · 3 1/ дневник 4 13 + дневник 125 = (13/2) 4/2 дневник 3 13 · 3 2/ лог 2 13 + 2 дневник 5 5 3 = (13/2) 2 дневник 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 дневник 13 3) 2) · (2 дневник 13 3) 2 + 6.
(2 дневник 13 3 = 3 дневник 13 2 (формула 4))
Добиваме 9 + 6 = 15.
Одговор: 15.
Сè уште имате прашања? Не сте сигурни како да ја пронајдете вредноста на логаритамскиот израз?
За да добиете помош од учител -.
Првата лекција е бесплатна!
blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.