Министерство за образование на Република Белорусија
Образовна институција
„Гомел Државниот универзитетнив. Ф. Скорина“
Математички факултет
Одделение за МПМ
Идентични трансформации на изрази и методи на учење на учениците како да ги изведат
Извршител:
Студентката Стародубова А.Ју.
Канд. физика и математика науки, вонреден професор Лебедева М.Т.
Гомел 2007 година
Вовед
1 Главните видови трансформации и фази на нивното проучување. Фази на совладување на употребата на трансформации
Заклучок
Литература
Вовед
Наједноставните трансформации на изрази и формули, врз основа на својствата на аритметичките операции, се вршат во основно училиштеи 5-то и 6-то одделение. Формирањето на вештини и способности за извршување на трансформации се одвива во алгебарски курс. Ова се должи и на наглото зголемување на бројот и разновидноста на трансформациите што се вршат, и на компликацијата на активностите за нивно оправдување и разјаснување на условите за применливост, за идентификација и проучување на генерализираните концепти на идентитетот, идентична трансформација, еквивалентна трансформација.
1. Главни видови трансформации и фази на нивното проучување. Фази на совладување на употребата на трансформации
1. Почетоци на алгебрата
Се користи неподелен систем на трансформации, претставен со правила за извршување на дејства на еден или двата дела од формулата. Целта е да се постигне флуентност во исполнувањето на задачите за решавање едноставни равенки, поедноставување на формули кои ги дефинираат функциите и рационално извршување на пресметките врз основа на својствата на дејствата.
Типични примери:
Решавање на равенки:
А) ; б) ; V) .
Идентична трансформација (а); еквивалентни и идентични (б).
2. Формирање на вештини за примена на специфични видови трансформации
Заклучоци: скратени формули за множење; трансформации поврзани со експоненцијација; трансформации поврзани со различни класи на елементарни функции.
Организација целиот системтрансформации (синтеза)
Целта е да се создаде флексибилен и моќен уред погоден за употреба при решавање на различни образовни задачи . Преминот во оваа фаза се врши при конечното повторување на курсот во текот на разбирањето на познат материјалнаучени во делови, од одредени видовитрансформациите додаваат трансформации на тригонометриски изрази на претходно проучуваните типови. Сите овие трансформации можат да се наречат „алгебарски“; „аналитичките“ трансформации ги вклучуваат оние што се засноваат на правилата за диференцијација и интеграција и трансформација на изрази што содржат премини до граници. Разликата од овој тип е во природата на множеството низ кое поминуваат променливите во идентитети (одредени множества на функции).
Идентитетите што се проучуваат се поделени во две класи:
I – идентитети на скратено множење важечки во комутативен прстен и идентитети
фер на терен.
II – идентитети кои поврзуваат аритметички операциии основни елементарни функции.
2 Карактеристики на организацијата на системот на задачи при проучување на идентитетските трансформации
Главниот принцип на организирање на системот на задачи е да се прикажат од едноставни до сложени.
Циклус на вежбање– комбинирање во низа вежби на неколку аспекти на изучување и техники за средување на материјалот. При проучувањето на идентитетските трансформации, циклус на вежби се поврзува со проучување на еден идентитет, околу кој се групирани други идентитети кои се во природна врска со него.Циклусот, заедно со извршните, вклучува задачи, барајќи признавање на применливоста на предметниот идентитет. Идентитетот што се проучува се користи за извршување на пресметки на различни нумерички домени. Задачите во секој циклус се поделени во две групи. ДО првоТука спаѓаат задачите извршени за време на првичното запознавање со идентитетот. Тие служат едукативен материјалза неколку последователни часови обединети со една тема.
Втора групавежби го поврзува идентитетот што се изучува со различни апликации. Оваа група не формира композициско единство - вежбите овде се расфрлани на различни теми.
Опишаните циклусни структури се однесуваат на фазата на развивање вештини за примена на специфични трансформации.
Во фазата на синтеза, циклусите се менуваат, групите задачи се комбинираат во насока на компликација и спојување на циклуси поврзани со различни идентитети, што помага да се зголеми улогата на дејствата за да се препознае применливоста на одреден идентитет.
Пример.
Циклус на задачи за идентитет:
I група задачи:
а) присутен во форма на производ:
б) Проверете ја еднаквоста:
в) Прошири ги заградите во изразот:
.
г) Пресметајте:
д) Факторизирај:
ѓ) поедностави го изразот:
.
Студентите штотуку се запознаа со формулирањето на идентитетот, неговото пишување во форма на идентитет и неговото докажување.
Задачата а) е поврзана со фиксирање на структурата на идентитетот што се проучува, со воспоставување врска со нумерички множества(споредба на знаковни структури на идентитет и трансформиран израз; замена на буква со број во идентитет). ВО последен примерсè уште е неопходно да се сведе на видот што се проучува. Во следните примери (д и г) постои компликација предизвикана од применета улогаидентитет и компликација на знаковната структура.
Задачите од типот б) се насочени кон развивање на вештини за замена 
на . Улогата на задачата в) е слична.
Примери од типот г), во кои е неопходно да се избере една од насоките на трансформација, да се заврши развојот на оваа идеја.
Задачите на групата I се фокусирани на совладување на структурата на идентитетот, операцијата на замена во наједноставните, фундаментално најважните случаи и идејата за реверзибилност на трансформациите извршени од идентитетот. Многу важноима и збогатување јазични средствапокажувајќи различни аспектиидентитети. Текстовите на задачите даваат идеја за овие аспекти.
II група задачи.
е) Користејќи го идентитетот за , множете го полиномот .
ж) Отстранете ја ирационалноста во именителот на дропката.
з) Докажи дека ако - чуден број, тогаш се дели со 4.
ѕ) Дадена е функцијата аналитичко изразување
.
Ослободете се од знакот на модул со разгледување на два случаи: , .
и) Решете ја равенката 
.
Овие задачи се насочени колку што е можно повеќе целосна употребаи земајќи ги предвид спецификите на овој конкретен идентитет, претпоставуваат формирање на вештини за користење на идентитетот што се проучува за разликата на квадратите. Целта е да се продлабочи разбирањето на идентитетот со разгледување на неговите различни примени во различни ситуации, во комбинација со употреба на материјал поврзан со други теми од предметот по математика.
или 
.
Карактеристики на циклуси на задачи поврзани со идентитети за елементарни функции:
1) се изучуваат врз основа на функционален материјал;
2) идентитетите на првата група се појавуваат подоцна и се изучуваат со користење на веќе развиени вештини за извршување на идентитетски трансформации.
Првата група задачи во циклусот треба да вклучува задачи за воспоставување врски помеѓу овие нови нумерички области и оригиналната област на рационални броеви.
Пример.
Пресметајте:
;
.
Целта на ваквите задачи е да се совладаат карактеристиките на записите, вклучително и симболите на нови операции и функции и да се развијат математички говорни вештини.
Голем дел од употребата на идентитетските трансформации поврзани со елементарни функции, паѓа на решение на ирационални и трансцендентални равенки. Редоследот на чекори:
а) најдете ја функцијата φ за која дадена равенка f(x)=0 може да се претстави како:
б) замени y=φ(x) и реши ја равенката
в) да се реши секоја од равенките φ(x)=y k, каде што y k е множество корени на равенката F(y)=0.
Кога се користи опишаниот метод, чекорот б) често се изведува имплицитно, без да се воведе нотација за φ(x). Покрај тоа, студентите често претпочитаат различни начиништо води кон наоѓање на одговорот, побрзо и полесно изберете го оној што води до алгебарската равенка.
Пример. Решете ја равенката 4 x -3*2=0.
2)(2 2) x -3*2 x =0 (чекор а)
(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (чекор б)
Пример. Реши ја равенката:
а) 2 2x -3*2 x +2=0;
б) 2 2x -3*2 x -4=0;
в) 2 2x -3*2 x +1=0.
(Предложете за независно решение.)
Класификација на задачи во циклуси поврзани со решавање на трансцендентални равенки, вклучувајќи експоненцијална функција:
1) равенки кои се сведуваат на равенки од формата x =y 0 и имаат едноставен, општ одговор:
2) равенки кои се сведуваат на равенки од формата a x = a k, каде што k е цел број, или a x = b, каде што b≤0.
3) равенки кои се сведуваат на равенки од формата a x =y 0 и бараат експлицитна анализаформа во која експлицитно е напишан бројот y 0.
Задачи во кои идентитетски трансформациисе користат за конструирање графикони при поедноставување на формули кои дефинираат функции.
а) Графиконирајте ја функцијата y=;
б) Решете ја равенката lgx+lg(x-3)=1
в) на кое множество формулата log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) е идентитет?
Употребата на идентитетските трансформации во пресметките (Journal of Mathematics at School, бр. 4, 1983, стр. 45)
Задача бр. 1. Функцијата е дадена со формулата y=0,3x 2 +4,64x-6. Најдете ги вредностите на функцијата на x=1,2
y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.
Задача бр. 2. Пресметајте ја должината на ногата правоаголен триаголник, ако должината на неговата хипотенуза е 3,6 cm, а другиот крак е 2,16 cm.
Задача бр.3. Која е површината на парцелата правоаголна форма, со димензии а) 0,64 m и 6,25 m; б) 99,8m и 2,6m?
а)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;
б)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.
Овие примери овозможуваат да се идентификуваат практична употребаидентитетски трансформации. Студентот треба да се запознае со условите за изводливост на трансформацијата (види дијаграми).
| |
- слика на полином, каде што било кој полином се вклопува во тркалезни контури. (дијаграм 1)
-
даден е условот за изводливост на трансформација на производ на моном и израз кој овозможува трансформација во разлика на квадрати. (шема 2)
-
овде сенките значат еднакви мономи и даден е израз кој може да се претвори во разлика од квадрати.(шема 3)
| |
| |
- израз кој овозможува заеднички фактор.
Вештините на учениците за идентификација на состојби може да се развијат користејќи ги следниве примери:
Кој од следниве изрази може да се трансформира со вадење на заедничкиот фактор од загради:
2) 
3) 0,7a 2 +0,2b 2;
5) 6,3*0,4+3,4*6,3;
6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;
7) 0,21+0,22+0,23.
Повеќето пресметки во пракса не ги задоволуваат условите на задоволување, па на студентите им требаат вештини за да ги сведеат на форма која овозможува пресметување на трансформациите. Во овој случај, следните задачи се соодветни:
кога проучувате вадење на заедничкиот фактор од загради:
претворете го овој израз, ако е можно, во израз што е прикажан на дијаграмот 4:
4) 2а*а 2 *а 2;
5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;
8) 15ab 2 +5a 2 b;
10) 12,4*-1,24*0,7;
11) 4,9*3,5+1,7*10,5;
12) 10,8 2 -108;
13) 
14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;
15) 2*3 4 -3*2 4 +6;
18) 3,2/0,7-1,8*
При формирањето на концептот на „идентична трансформација“, треба да се запомни дека тоа значи не само дека дадениот и добиениот израз како резултат на трансформацијата добиваат еднакви вредности за која било вредност на буквите вклучени во него, но и дека при идентичната трансформација преминуваме од изразот кој дефинира еден начин на пресметување на израз кој дефинира друг начин на пресметување на истата вредност.
Шемата 5 (правилото за претворање на производ на моном и полином) може да се илустрира со примери
0,5a (b+c) или 3,8 (0,7+).
Вежби за да научите како да извадите заеднички фактор од заградите:
Пресметајте ја вредноста на изразот:
а) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;
б) a+bc на a=0,96; b=4,8; c=9,8.
в) a(a+c)-c(a+b) со a=1,4; b=2,8; c=5,2.
Да го илустрираме со примери формирањето на вештини во пресметките и трансформациите на идентитетот (Journal of Mathematics at School, бр. 5, 1984, стр. 30)
1) вештините и способностите се стекнуваат побрзо и се задржуваат подолго доколку нивното формирање се случува на свесна основа ( дидактички принципсвест).
1) Можете да формулирате правило за собирање дропки со слични именители или прелиминарно конкретни примериразгледајте ја суштината на додавање еднакви акции.
2) При факторинг со вадење на заедничкиот фактор од загради, важно е да се види ова заеднички мултипликатора потоа го применуваат дистрибутивниот закон. При изведување на првите вежби, корисно е секој член од полиномот да се напише како производ, чиј еден од факторите е заеднички за сите поими:
3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .
Особено е корисно да се направи ова кога еден од мономите на полиномот е изваден од загради:
II. Прва фазаформирање на вештина – совладување на вештина (се изведуваат вежби со детални објаснувањаи евиденција)
(прво се решава прашањето за знакот)
Втора фаза– фаза на автоматизирање на вештината со елиминирање на некои средни операции
III. Јачината на вештините се постигнува со решавање на примери кои се различни и по содржина и по форма.
Тема: „Ставување на заедничкиот фактор надвор од загради“.
1. Запиши го факторот што недостасува наместо полиномот:
2. Факторизирај така што пред заградите да има моном со негативен коефициент:
3. Фактор така што полиномот во загради има целобројни коефициенти:
4. Решете ја равенката:
IV. Развојот на вештини е најефективен кога некои средни пресметки или трансформации се вршат усно.
(усно);
V. Вештините и способностите што се развиваат мора да бидат дел од претходно формираниот систем на знаења, вештини и способности на учениците.
На пример, кога се учи како да се множат полиноми користејќи скратени формули за множење, се нудат следниве вежби:
Факторизирај:
VI. Потребата од рационално извршување на пресметките и трансформациите.
V)поедностави го изразот:
Рационалноста лежи во отворањето на заградите, бидејќи
VII. Конвертирање на изрази кои содржат експоненти.
Бр. 1011 (Алг.9) Поедностави го изразот:
Бр. 1012 (Алг.9) Отстранете го множителот под знакот за корен:
Бр. 1013 (Alg.9) Внесете фактор под знакот за корен:
Бр. 1014 (Алг.9) Поедностави го изразот:
Во сите примери, прво направете размножување или одземање на заедничкиот фактор или „видете“ ја соодветната формула за намалување.
бр. 1015 (Алг.9) Намали ја дропката:
Многу студенти доживуваат одредени тешкотии во трансформирањето на изразите што содржат корени, особено кога ја проучуваат еднаквоста:
Затоа, или детално опишете ги изразите на формата или 
или оди до степен со рационален експонент.
бр.1018 (Алг.9) Најдете ја вредноста на изразот:
Бр. 1019 (Алг.9) Поедностави го изразот:
2.285 (Сканави) Поедностави го изразот
а потоа исцртај ја функцијата yЗа
Бр. 2.299 (Сканави) Проверете ја валидноста на еднаквоста:
Трансформацијата на изразите што содржат диплома е генерализација на стекнатите вештини и способности во проучувањето на идентични трансформации на полиноми.
бр. 2.320 (Сканави) Поедностави го изразот:
Курсот Алгебра 7 ги дава следните дефиниции.
Деф. Два изрази чии соодветни вредности се еднакви за вредностите на променливите се вели дека се идентично еднакви.
Деф. Еднаквоста е вистинита за сите вредности на променливите наречени. идентитет.
Бр. 94 (Алг.7) Дали е еднаквоста:
а) 
в) 
г) 
Дефиниција за опис: Замената на еден израз со друг идентично еднаков израз се нарекува идентична трансформација или едноставно трансформација на израз. Идентични трансформации на изрази со променливи се вршат врз основа на својствата на операциите на броеви.
бр.(Алг.7) Меѓу изразите
најдете ги оние кои се идентично еднакви.
Тема: „Идентични трансформации на изрази“ (техника на прашања)
Првата тема на „Алгебра-7“ - „Изрази и нивните трансформации“ помага да се консолидираат пресметковните вештини стекнати во оценките 5-6, да се систематизираат и генерализираат информациите за трансформации на изрази и решенија на равенки.
Наоѓање на вредностите на нумерички и буквални изразиовозможува да се повторат со учениците правилата на дејствување со рационални броеви. Способноста да се вршат аритметички операции со рационални броеви е фундаментална за целиот алгебарски курс.
Кога се разгледуваат трансформациите на изразите, формалните и оперативните вештини остануваат на истото ниво што беше постигнато во 5-6 одделение.
Меѓутоа, овде студентите се издигнуваат на ново ниво во совладувањето на теоријата. Воведени се концептите на „идентично еднакви изрази“, „идентитет“, „идентични трансформации на изразите“, чија содржина постојано ќе се открива и продлабочува при проучувањето на трансформациите на различни алгебарски изрази. Се нагласува дека основата на идентитетските трансформации се својствата на операциите на броеви.
При изучување на темата „Полиноми“ се формираат формални оперативни вештини на идентични трансформации на алгебарски изрази. Скратените формули за множење придонесуваат за понатамошен процес на развивање на способноста да се вршат идентични трансформации на цели изрази; способноста да се применат формули и за скратено множење и за размножување на полиноми се користи не само при трансформација на цели изрази, туку и во операции со дропки, корени. , моќи со рационален експонент .
Во 8-мо одделение се вежбаат стекнатите вештини на идентитетски трансформации во акции со алгебарски дропки, квадратен корени изрази кои содржат моќи со цел број експонент.
Во иднина, техниките на идентитетски трансформации се рефлектираат во изрази кои содржат степен со рационален експонент.
Посебна група на идентитетски трансформации се состои од тригонометриски изразии логаритамски изрази.
Задолжителните резултати од учењето за курсот за алгебра во 7-9 одделение вклучуваат:
1) идентитетски трансформации на изрази со цели броеви
а) загради за отворање и затворање;
б) доведување слични членови;
в) собирање, одземање и множење на полиноми;
г) факторингирање на полиноми со ставање на заедничкиот фактор надвор од заградите и скратените формули за множење;
д) распаѓање квадратен триномсо множители.
„Математика на училиште“ (Б.У.М.) стр.110
2) идентитетски трансформации рационални изрази: собирање, одземање, множење и делење на дропки, како и примена на наведените вештини при вршење едноставни комбинирани трансформации [стр. 111]
3) учениците треба да бидат способни да вршат трансформации на едноставни изрази кои содржат степени и корени. (стр. 111-112)
Беа разгледани главните видови проблеми, способноста за решавање што му овозможува на ученикот да добие позитивна оценка.
Еден од најважните аспекти на методологијата за проучување на идентитетските трансформации е развивањето на целите на студентот за извршување на идентитетски трансформации.
1) 
- поедноставување нумеричка вредностизрази
2) која од трансформациите треба да се изврши: (1) 
или (2) Анализата на овие опции е мотивација (пожелно е (1), бидејќи во (2) опсегот на дефиницијата е стеснет)
3) Решете ја равенката:
Факторирање при решавање равенки.
4) Пресметајте:
Да ја примениме скратената формула за множење:
(101-1) (101+1)=100102=102000
5) Најдете ја вредноста на изразот:
За да ја пронајдете вредноста, помножете ја секоја дропка со нејзиниот конјугат:
6) Графиконирајте ја функцијата:
Да го одбереме целиот дел: .
Спречувањето на грешки при извршувањето на идентитетските трансформации може да се добие со различни примери за нивна имплементација. Во овој случај се практикуваат „мали“ техники кои како компоненти се вклучени во поголем процес на трансформација.
На пример:
Во зависност од насоките на равенката, може да се разгледаат неколку проблеми: множење на полиномите од десно кон лево; од лево кон десно - факторизација. Лева странае множител на еден од факторите на десната страна итн.
Во прилог на различни примери, можете да користите извинување меѓу идентитети и нумерички еднаквости.
Следната техника е објаснување на идентитетите.
За да го зголемиме интересот на учениците, можеме да вклучиме наоѓање на различни начинирешавање на проблем.
Лекциите за проучување на идентитетските трансформации ќе станат поинтересни ако им се посветите барајќи решение за проблемот .
На пример: 1) намалете ја дропот:
3) докажете ја формулата на „комплексниот радикал“
Да се разгледа:
Ајде да ја трансформираме десната страна на еднаквоста:
-
збирот на конјугирани изрази. Тие би можеле да се множат и поделат со нивниот конјугат, но таквата операција би нè доведе до дропка чиј именител е разликата на радикалите.
Забележете дека првиот член во првиот дел од идентитетот е број поголем од вториот, така што можеме да ги квадратиме двата дела:
Тема: Идентични трансформации на изрази (техника за прашања).
Литература: „Работилница за МПМ“, стр.87-93.
Потпишете висока културапресметки и идентитетски трансформации за учениците се солидно знаењесвојства и алгоритми на операции на точни и приближни големини и нивна вешто примена; рационални техникипресметки и трансформации и нивна верификација; способноста да се оправда употребата на методи и правила на пресметки и трансформации, автоматски вештини за извршување без грешки на пресметковните операции.
Од кое одделение учениците треба да почнат да работат на развивање на наведените вештини?
Линијата на идентични трансформации на изразите започнува со употреба на техники рационална пресметказапочнува со употреба на техники за рационално пресметување на вредностите на нумеричките изрази. (5-то одделение)
При проучување на вакви теми училишен курстреба да им се даде математика Посебно внимание!
Свесното спроведување на идентитетските трансформации кај учениците е олеснето со разбирањето на фактот дека алгебарските изрази не постојат сами по себе, туку во нераскинлива врска со одредено нумеричко множество, тие се генерализирани записи на нумерички изрази. Аналогиите помеѓу алгебарските и нумеричките изрази (и нивните трансформации) се логични; нивната употреба во наставата помага да се спречат учениците да прават грешки.
Идентичните трансформации не се посебна тема во училишниот курс по математика, тие се изучуваат во текот на целиот курс на алгебрата и почетоците на математичката анализа.
Програмата по математика за 1-5 одделение е пропедевтски материјал за изучување на идентични трансформации на изрази со променлива.
Во курсот алгебра за 7 одделение. се воведува дефиницијата за идентитетски и идентитетски трансформации.
Деф.Се повикуваат два изрази чии соодветни вредности се еднакви за која било вредност на променливите. идентично еднакви.
ОДА. Еднаквоста што е вистинита за која било вредност на променливите се нарекува идентитет.
Вредноста на идентитетот лежи во тоа што дозволува даден израз да се замени со друг што е идентично еднаков на него.
Деф.Се нарекува замена на еден израз со друг идентично еднаков израз идентична трансформацијаили едноставно трансформацијаизрази.
Идентични трансформации на изрази со променливи се вршат врз основа на својствата на операциите на броеви.
Основата на идентитетските трансформации може да се сметаат за еквивалентни трансформации.
ОДА. Се нарекуваат две реченици, од кои секоја е логична последица на другата. еквивалент.
ОДА. Се нарекува реченица со променливи А. последица на реченица со променливи Б, ако доменот на вистината Б е подмножество од доменот на вистината А.
Може да се даде друга дефиниција за еквивалентни реченици: две реченици со променливи се еквивалентни ако нивните домени на вистинитост се совпаѓаат.
а) Б: x-1=0 над R; О: (x-1) 2 над R => A~B, бидејќи областите на вистината (решение) се совпаѓаат (x=1)
б) A: x=2 над R; B: x 2 =4 над R => домен на вистината A: x = 2; домен на вистината B: x=-2, x=2; бидејќи доменот на вистинитоста на А е содржан во Б, тогаш: x 2 =4 е последица на предлогот x = 2.
Основата на идентитетските трансформации е способноста да се претставува ист број во различни форми. На пример,
-
Ова претставување ќе помогне при проучување на темата „основни својства на дропките“.
Вештините за извршување на идентитетски трансформации почнуваат да се развиваат при решавање на примери слични на следниов: „Најдете ја бројната вредност на изразот 2a 3 +3ab+b 2 со a = 0,5, b = 2/3“, кои им се нудат на учениците во одделение 5 и овозможуваат пропедевтички концепт на функцијата.
Кога ги проучувате скратените формули за множење, треба да обрнете внимание на нивното длабоко разбирање и силната асимилација. За да го направите ова, можете да ја користите следнава графичка илустрација:
| |
(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)
Прашање: Како да им се објасни на учениците суштината на дадените формули врз основа на овие цртежи?
Честа грешка е да се мешаат изразите „квадрат на збирот“ и „збир на квадрати“. Укажувањето на наставникот дека овие изрази се разликуваат по редоследот на работа не изгледа значајно, бидејќи учениците веруваат дека овие дејства се изведуваат на исти броеви и затоа резултатот не се менува со менување на редоследот на дејствата.
Задача: Создадете усни вежби за да ги развиете вештините на учениците за користење на горенаведените формули без грешки. Како можеме да објасниме како овие два изрази се слични и како се разликуваат еден од друг?
Широката разновидност на идентични трансформации им отежнува на учениците да се ориентираат кон целта за која се изведуваат. Нејасно познавање на целта на извршувањето на трансформациите (во секоја конкретен случај) негативно влијае на нивната свест, служи како извор масивни грешкиучениците. Ова сугерира дека е важно да им се објасни на учениците целите за извршување на различни идентитетски трансформации. составен делметоди за нивно проучување.
Примери на мотивации за трансформации на идентитетот:
1. поедноставување на локацијата нумеричка вредностизрази;
2. избор на трансформација на равенката што не води до губење на коренот;
3. Кога вршите трансформација, можете да ја означите нејзината пресметковна област;
4. употреба на трансформации во пресметките, на пример, 99 2 -1=(99-1)(99+1);
За управување со процесот на одлучување, важно е наставникот да има способност да даде точен опис на суштината на грешката што ја направил ученикот. Точната карактеризација на грешката е клучна за вистинскиот изборпоследователни дејствија што ги презема наставникот.
Примери на ученички грешки:
1. вршење множење: ученикот добил -54abx 6 (7 ќелии);
2. Со подигање на моќност (3x 2) 3 ученикот доби 3x 6 (7 оценки);
3. трансформирајќи го (m + n) 2 во полином, ученикот добил m 2 + n 2 (7 одделение);
4. Со намалување на дропката што ја добил ученикот (8 оценки);
5. вршење одземање: 
, ученикот запишува (8 одделение)
6. Претставувајќи ја дропката во вид на дропки, ученикот добил: 
(8 оценки);
7. Отстранување аритметички коренученикот доби х-1 (оценка 9);
8. решавање на равенката (9-то одделение);
9. Со трансформирање на изразот ученикот добива: (9-то одделение).
Заклучок
Проучувањето на идентитетските трансформации се врши во тесна врска со нумерички множества што се изучуваат во одредена класа.
Најпрво, треба да побарате од ученикот да го објасни секој чекор од трансформацијата, да ги формулира правилата и законите што се применуваат.
При идентични трансформации на алгебарски изрази се користат две правила: замена и замена со еднакви. Најчесто се користи замена, бидејќи Пресметката со користење на формули се заснова на тоа, т.е. најдете ја вредноста на изразот a*b со a=5 и b=-3. Многу често, учениците ги занемаруваат заградите при извршувањето на операциите за множење, сметајќи дека знакот за множење е имплициран. На пример, можен е следниот запис: 5*-3.
Литература
1. А.И. Азаров, С.А. Барвенов „Функционални и графички методирешавање на испитни проблеми“, Мн..Аверсев, 2004 г
2. О.Н. Пирјутко „Типични грешки во централизирано тестирање“, Мн..Аверсев, 2006 г
3. А.И. Азаров, С.А. Барвенов „Тапски задачи во централизирано тестирање“, Мн.. Аверсев, 2006 г
4. А.И. Азаров, С.А. Барвенов „Методи на решение тригонометриски проблеми“, Мн..Аверсев, 2005 г
Меѓу различните изрази што се разгледуваат во алгебрата, збировите на мономи заземаат важно место. Еве примери на такви изрази:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Збирот на мономи се нарекува полином. Поимите во полиномот се нарекуваат членови на полиномот. Мономите исто така се класифицираат како полиноми, сметајќи дека мономот е полином кој се состои од еден член.
На пример, полином
\(8b^5 - 2b \cточка 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cточка (-12)b + 16 \)
може да се поедностави.
Да ги претставиме сите поими во форма на мономи стандарден поглед:
\(8b^5 - 2b \cточка 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cточка (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Да претставиме слични поими во добиениот полином:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Резултатот е полином, чии сите членови се мономи од стандардната форма, а меѓу нив нема слични. Таквите полиноми се нарекуваат полиноми со стандардна форма.
Зад степен на полиномод стандардна форма ги преземаат најголемите овластувања на нејзините членови. Така, биномот \(12a^2b - 7b\) има трет степен, а триномот \(2b^2 -7b + 6\) го има вториот.
Вообичаено, поимите на полиномите од стандардна форма кои содржат една променлива се подредени по опаѓачки редослед на експоненти. На пример:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Збирот на неколку полиноми може да се трансформира (поедностави) во полином со стандардна форма.
Понекогаш термините на полиномот треба да се поделат во групи, затворајќи ја секоја група во загради. Бидејќи затворањето заграда е инверзна трансформација на отворањето загради, лесно е да се формулира правила за отворање на загради:
Ако пред заградите се става знакот „+“, тогаш термините затворени во загради се пишуваат со истите знаци.
Ако пред заградите се става знакот „-“, тогаш термините затворени во заградите се пишуваат со спротивни знаци.
Трансформација (поедноставување) на производот од моном и полином
Користејќи го дистрибутивното својство на множење, можете да го трансформирате (поедноставите) производот од моном и полином во полином. На пример:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Производот на моном и полином е идентично еднаков на збирот на производите од овој моном и секој од членовите на полиномот.
Овој резултат обично се формулира како правило.
За да помножите моном со полином, мора да го помножите тој моном со секој од членовите на полиномот.
Ние веќе го користевме ова правило неколку пати за да се множиме со збир.
Производ на полиноми. Трансформација (поедноставување) на производот од два полиноми
Општо земено, производот на два полиноми е идентично еднаков на збирот на производот на секој член на еден полином и секој член на другиот.
Обично се користи следново правило.
За да помножите полином со полином, треба да го помножите секој член од еден полином со секој член на другиот и да ги додадете добиените производи.
Скратени формули за множење. Збирни квадрати, разлики и разлика на квадрати
Со некои изрази во алгебарски трансформациимора да се занимаваат почесто од другите. Можеби најчестите изрази се \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.е. квадратот на збирот, квадратот на разликата и разликата на квадратите. Забележавте дека имињата на овие изрази се чини дека се нецелосни, на пример, \((a + b)^2 \) не е, се разбира, само квадратот на збирот, туку квадратот на збирот a и b . Меѓутоа, квадратот на збирот a и b не се појавува многу често; по правило, наместо буквите a и b, содржи различни, понекогаш прилично сложени изрази.
Изразите \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) може лесно да се претворат (поедностават) во полиноми од стандардната форма; всушност, веќе сте се сретнале со оваа задача при множење полиноми:
\((а + б)^2 = (а + б)(а + б) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Корисно е да се запаметат добиените идентитети и да се применат без посредни пресметки. Кратките вербални формулации помагаат во тоа.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат од збирот еднаков на збиротквадрати и двојно го зголемуваме производот.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадратот на разликата е еднаков на збирот на квадрати без удвоениот производ.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разликата на квадратите е еднаква на производот од разликата и збирот.
Овие три идентитети овозможуваат да се заменат неговите леви делови со десни во трансформациите и обратно - десните делови со левите. Најтешко е да се видат соодветните изрази и да се разбере како во нив се заменуваат променливите a и b. Ајде да погледнеме неколку примери за користење на скратени формули за множење.
Важни забелешки!
1. Ако видите gobbledygook наместо формули, исчистете го кешот. Како да го направите ова во вашиот прелистувач е напишано овде:
2. Пред да започнете да ја читате статијата, најмногу обрнете внимание на нашиот навигатор корисен ресурсЗа
Често го слушаме ова непријатна фраза: „Поедноставете го изразот“.Обично гледаме некакво чудовиште како ова:
„Многу е поедноставно“, велиме, но таквиот одговор обично не функционира.
Сега ќе ве научам да не се плашите од такви задачи.
Покрај тоа, на крајот од лекцијата ќе го поедноставите овој пример на (само!) редовен број(да, по ѓаволите со овие букви).
Но, пред да ја започнете оваа активност, треба да бидете во можност се справува со фракцииИ факторски полиноми.
Затоа, ако не сте го направиле ова претходно, не заборавајте да ги совладате темите „“ и „“.
Дали сте го прочитале? Ако одговорот е да, тогаш сега сте подготвени.
Ајде да одиме! (Ајде да одиме!)
Операции за поедноставување на основните изрази
Сега да ги погледнеме основните техники што се користат за поедноставување на изразите.
Наједноставниот е
1. Донесување слично
Кои се слични? Го земавте ова во 7-мо одделение, кога првпат во математиката се појавија букви наместо бројки.
Слично- тоа се поими (мономи) со ист буковен дел.
На пример, вкупно слични термини- ова сум јас.
Дали се сеќаваш?
Дајте слично- значи додавање на неколку слични поими еден на друг и добивање на еден член.
Како можеме да ги споиме буквите? - прашуваш ти.
Ова е многу лесно да се разбере ако замислите дека буквите се некој вид на предмети.
На пример, писмото е стол. Тогаш на што е еднаков изразот?
Две столчиња плус три столчиња, колку ќе бидат? Така е, столчиња: .
Сега пробајте го овој израз: .
За да се избегне забуна, нека различни буквипретставуваат различни предмети.
На пример, - е (како и обично) стол, и - е маса.
столчиња маси столчиња маси столчиња столчиња маси
Се повикуваат броевите со кои се множат буквите во таквите поими коефициенти.
На пример, во моном коефициентот е еднаков. И во него е еднакво.
Значи, правилото за носење слични е:
Примери:
Дајте слични:
Одговори:
2. (и слично, бидејќи, според тоа, овие поими имаат ист дел од буквите).
2. Факторизација
Ова е обично најмногу важен делво поедноставување на изрази.
Откако ќе дадете слични, најчесто е потребен добиениот израз факторизираат, односно претставен во форма на производ.
Особено ова важно во дропки:на крајот на краиштата, за да може да се намали дропот, Бројачот и именителот мора да бидат претставени како производ.
Детално ги поминавте методите на факторинг изрази во темата „“, така што овде треба само да запомните што сте научиле.
За да го направите ова, решете неколку примери (треба да ги факторизирате)
Примери:
Решенија:
3. Намалување на дропка.
Па, што може да биде попријатно од пречкртање на дел од броителот и именителот и исфрлање од вашиот живот?
Тоа е убавината на намалувањето.
Едноставно е:
Ако броителот и именителот ги содржат истите множители, тие можат да се намалат, односно да се отстранат од дропката.
Ова правило произлегува од основното својство на дропка:
Односно, суштината на операцијата за намалување е тоа Бротелот и именителот на дропката ги делиме со ист број (или со ист израз).
За да намалите дропка ви треба:
1) броител и именител факторизираат
2) ако броителот и именителот содржат заеднички фактори, тие можат да бидат пречкртани.
Примери:
Принципот, мислам, е јасен?
Би сакал да го свртам вашето внимание на една работа типична грешкапри договарање. Иако оваа тема е едноставна, многу луѓе прават се погрешно, не разбирајќи го тоа намали- ова значи поделиброителот и именителот се исти број.
Нема кратенки ако броителот или именителот е збир.
На пример: треба да поедноставиме.
Некои луѓе го прават ова: што е апсолутно погрешно.
Друг пример: намали.
„Најпаметните“ ќе го направат ова:
Кажи ми што не е во ред овде? Се чини: - ова е мултипликатор, што значи дека може да се намали.
Но не: - ова е фактор на само еден член во броителот, но самиот броител како целина не е факторизиран.
Еве уште еден пример: .
Овој израз е факторизиран, што значи дека можете да го намалите, односно да ги делите броителот и именителот со, а потоа со:
Можете веднаш да го поделите на:
За да избегнете такви грешки, запомнете лесен начинкако да се утврди дали изразот е факторизиран:
Аритметичката операција која се изведува последна при пресметување на вредноста на изразот е операцијата „господар“.
Односно, ако замените некои (било кои) броеви наместо букви и се обидете да ја пресметате вредноста на изразот, тогаш ако последната акцијаќе има множење, што значи дека имаме производ (изразот е факторизиран).
Ако последното дејство е собирање или одземање, тоа значи дека изразот не е факторизиран (и затоа не може да се намали).
За да го засилите ова, решете сами неколку примери:
Примери:
Решенија:
4. Собирање и одземање дропки. Намалување на дропките на заеднички именител.
Собирање и одземање обични дропки- операцијата е добро позната: бараме заеднички именител, ја множиме секоја дропка со факторот што недостасува и ги собираме/одземаме броителите.
Да се потсетиме:
Одговори:
1. Именителот и се релативно прости, односно немаат заеднички фактори. Според тоа, LCM на овие броеви е еднаков на нивниот производ. Ова ќе биде заедничкиот именител:
2. Тука заедничкиот именител е:
3. Првото нешто овде мешани фракцииги претвораме во неточни, а потоа ја следиме вообичаената шема:
Сосема друга работа е ако дропките содржат букви, на пример:
Да почнеме со нешто едноставно:
а) Именителот не содржи букви
Овде сè е исто како и кај обичните нумерички дропки: Најдете го заедничкиот именител, помножете ја секоја дропка со факторот што недостасува и собирајте/одземете ги броителите:
Сега во броителот можете да дадете слични, доколку ги има, и да ги земете предвид:
Пробајте го сами:
Одговори:
б) Именителот содржи букви
Да се потсетиме на принципот на наоѓање заеднички именител без букви:
· најнапред ги одредуваме заедничките фактори;
· потоа ги запишуваме сите заеднички фактори еден по еден;
· и множете ги со сите други невообичаени фактори.
За да ги одредиме заедничките множители на именители, најпрво ги факторинг во прости фактори:
Да ги нагласиме заедничките фактори:
Сега да ги напишеме заедничките фактори еден по еден и да ги додадеме на нив сите невообичаени (не подвлечени) фактори:
Ова е заедничкиот именител.
Да се вратиме на буквите. Именители се дадени на ист начин:
· факторизирајте ги именителот;
· утврдува заеднички (идентични) фактори;
· еднаш запишете ги сите заеднички фактори;
· помножете ги со сите други невообичаени фактори.
Значи, со цел:
1) пресметајте ги именителот:
2) утврдете заеднички (идентични) фактори:
3) еднаш запишете ги сите заеднички фактори и помножете ги со сите други (непотцртани) фактори:
Значи, тука има заеднички именител. Првата дропка мора да се помножи со, втората - со:
Патем, постои еден трик:
На пример: .
Истите фактори ги гледаме во именителот, само сите со различни индикатори. Заеднички именител ќе биде:
до одреден степен
до одреден степен
до одреден степен
до одреден степен.
Ајде да ја комплицираме задачата:
Како да направите дропките да имаат ист именител?
Да се потсетиме на основното својство на дропка:
Никаде не пишува дека истиот број може да се одземе (или додаде) од броителот и именителот на дропка. Затоа што не е вистина!
Видете сами: земете која било дропка, на пример, и додајте некој број на броителот и именителот, на пример, . Што научи?
Значи, уште едно непоколебливо правило:
Кога ги намалувате дропките на заеднички именител, користете само операција за множење!
Но, со што треба да се помножи за да се добие?
Затоа помножете се со. И множете се со:
Изразите што не можат да се факторизираат ќе ги нарекуваме „елементарни фактори“.
На пример, - ова е елементарен фактор. - Исто. Но, не: може да се факторизира.
Што е со изразот? Дали е елементарно?
Не, затоа што може да се факторизира:
(веќе прочитавте за факторизација во темата „“).
Значи, елементарните фактори во кои го проширувате изразот со букви се аналогни главните фактори, во која ги разложувате броевите. И ние ќе се справиме со нив на ист начин.
Гледаме дека и двата именители имаат множител. Ќе оди до заедничкиот именител до степен (се сеќавате зошто?).
Факторот е елементарен и немаат заеднички фактор, што значи дека првата дропка едноставно ќе треба да се помножи со него:
Друг пример:
Решение:
Пред да ги умножите овие именители во паника, треба да размислите како да ги факторингирате? И двајцата претставуваат:
Одлично! Потоа:
Друг пример:
Решение:
Како и обично, да ги факторизираме именителите. Во првиот именител едноставно го ставаме надвор од загради; во втората - разликата на квадратите:
Се чини дека нема заеднички фактори. Но, ако погледнете внимателно, тие се слични... И тоа е вистина:
Па ајде да напишеме:
Тоа е, испадна вака: внатре во заградата ги заменивме термините, а во исто време знакот пред дропот се смени во спротивното. Имајте предвид, ќе морате да го правите ова често.
Сега да го доведеме до заеднички именител:
Разбрав? Ајде да го провериме сега.
Задачи за независно решение:
Одговори:
5. Множење и делење на дропки.
Па, најтешкиот дел сега заврши. А пред нас е наједноставното, но во исто време и најважното:
Постапка
Која е постапката за пресметување на нумерички израз? Запомнете со пресметување на значењето на овој израз:
Дали броевте?
Треба да работи.
Значи, да ве потсетам.
Првиот чекор е да се пресмета степенот.
Вториот е множење и делење. Ако има неколку множење и делење во исто време, тие можат да се направат по кој било редослед.
И, конечно, вршиме собирање и одземање. Повторно, по кој било редослед.
Но: изразот во заграда се оценува надвор од ред!
Ако неколку загради се множат или поделат една со друга, прво го пресметуваме изразот во секоја од заградите, а потоа ги множиме или делиме.
Што ако има повеќе загради внатре во заградите? Па, ајде да размислиме: некој израз е напишан во заградите. Што треба прво да направите кога пресметувате израз? Така е, пресметај ги заградите. Па, сфативме: прво ги пресметуваме внатрешните загради, а потоа сè друго.
Значи, постапката за изразот погоре е следна (тековното дејство е означено со црвено, односно дејството што го извршувам во моментов):
Во ред, се е едноставно.
Но, ова не е исто како израз со букви?
Не, исто е! Само наместо аритметички операциитреба да направите алгебарски, односно дејства опишани во претходниот дел: носејќи слични, собирање дропки, намалување на дропки итн. Единствената разлика ќе биде дејството на факторинг полиноми (често го користиме ова кога работиме со дропки). Најчесто, за да се факторилизира, треба да користите I или едноставно да го ставите заедничкиот фактор надвор од загради.
Обично нашата цел е да го претставиме изразот како производ или количник.
На пример:
Ајде да го поедноставиме изразот.
1) Прво, го поедноставуваме изразот во загради. Таму имаме разлика на дропки, а целта ни е да ја прикажеме како производ или количник. Значи, ги доведуваме дропките до заеднички именител и додаваме:
Невозможно е дополнително да се поедностави овој израз; сите фактори овде се елементарни (сè уште се сеќавате што значи ова?).
2) Добиваме:
Множење дропки: што може да биде поедноставно.
3) Сега можете да скратите:
ОК сега е готово. Ништо комплицирано, нели?
Друг пример:
Поедноставете го изразот.
Прво, обидете се сами да го решите, па дури потоа погледнете го решението.
Решение:
Пред сè, да го одредиме редоследот на дејствата.
Прво, да ги собереме дропките во загради, па наместо две дропки да добиеме една.
Потоа ќе направиме делење на дропки. Па, да го додадеме резултатот со последната дропка.
Ќе ги нумерирам чекорите шематски:
Конечно ќе ти дадам две корисен совет:
1. Доколку има слични, мора веднаш да се донесат. Кога и да се појават слични кај нас, препорачливо е веднаш да се изнесат.
2. Истото важи и за редуцирачките дропки: штом се појави можноста за намалување, мора да се искористи. Исклучок е за дропките што ги собирате или одземате: ако сега имаат исти именители, тогаш намалувањето треба да се остави за подоцна.
Еве неколку задачи што треба да ги решите сами:
И што беше ветено на самиот почеток:
Одговори:
Решенија (кратко):
Ако сте се снашле барем со првите три примери, тогаш сте ја совладале темата.
Сега на учење!
КОНВЕРТИРАЊЕ НА ИЗРАЗИТЕ. РЕЗИМЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ
Основни операции за поедноставување:
- Донесување слично: за да додадете (намалите) слични поими, треба да ги додадете нивните коефициенти и да го доделите делот од буквите.
- Факторизација:ставање на заедничкиот фактор надвор од загради, негова примена итн.
- Намалување на дропка: Броителот и именителот на дропка може да се помножат или поделат со ист број што не е нула, што не ја менува вредноста на дропката.
1) броител и именител факторизираат
2) ако броителот и именителот имаат заеднички фактори, тие можат да бидат пречкртани.ВАЖНО: само множители може да се намалат!
- Собирање и одземање дропки:
; - Множење и делење дропки:
;
Па, темата заврши. Ако ги читате овие редови, тоа значи дека сте многу кул.
Затоа што само 5% од луѓето се способни да совладаат нешто сами. И ако читате до крај, тогаш сте во овие 5%!
Сега најважното нешто.
Ја разбравте теоријата на оваа тема. И, повторувам, ова... ова е само супер! Веќе сте подобри од огромното мнозинство ваши врсници.
Проблемот е што ова можеби не е доволно...
За што?
За успешно полагање на Единствен државен испит, за прием на факултет со буџет и, НАЈВАЖНО, доживотно.
Нема да те убедам во ништо, само едно ќе кажам...
Луѓе кои примиле добро образование, заработуваат многу повеќе од оние кои не го добиле. Ова е статистика.
Но, ова не е главната работа.
Главната работа е што тие се ПОСРЕЌНИ (има такви студии). Можеби затоа што има многу повеќе отворени пред нив повеќе можностии животот станува посветол? Не знам...
Но, размислете сами...
Што е потребно за да бидете сигурни дека ќе бидете подобри од другите на Единствениот државен испит и на крајот да бидете... посреќни?
ДОБИЈТЕ РАКА СО РЕШАВАЊЕ ПРОБЛЕМИ НА ОВАА ТЕМА.
Нема да ве прашаат за теорија за време на испитот.
Ќе ви треба решаваат проблеми наспроти времето.
И, ако не сте ги решиле (МНОГУ!), дефинитивно ќе направите глупава грешка некаде или едноставно нема да имате време.
Тоа е како во спортот - треба да го повторите многу пати за да победите сигурно.
Најдете ја колекцијата каде што сакате, нужно со решенија, детална анализа и одлучи, одлучува, одлучува!
Можете да ги користите нашите задачи (опционално) и ние, се разбира, ги препорачуваме.
Со цел да се подобрите во користењето на нашите задачи, треба да помогнете да го продолжите животниот век на учебникот YouClever што моментално го читате.
Како? Постојат две опции:
- Отклучете ги сите скриени задачи во оваа статија -
- Отклучете го пристапот до сите скриени задачи во сите 99 статии од учебникот - Купете учебник - 499 RUR
Да, имаме 99 вакви статии во нашиот учебник и пристапот до сите задачи и сите скриени текстови во нив може веднаш да се отвори.
Пристап до сите скриени задачи е обезбеден за ЦЕЛИОТ век на траење на страницата.
Во заклучок...
Ако не ви се допаѓаат нашите задачи, најдете други. Само не застанувај на теорија.
„Разбрано“ и „Можам да решам“ се сосема различни вештини. Ви требаат и двете.
Најдете проблеми и реши ги!
Основни својства на собирање и множење на броеви.
Комутативно својство на собирањето: преуредувањето на поимите не ја менува вредноста на збирот. За сите броеви a и b, еднаквоста е точно
Комбинативно својство на собирање: за да додадете трет број на збирот од два броја, можете да го додадете збирот на вториот и третиот на првиот број. За сите броеви a, b и c еднаквоста е точно
Комутативно својство на множење: преуредувањето на факторите не ја менува вредноста на производот. За сите броеви a, b и c еднаквоста е точно
Комбинативно својство на множење: за да го помножите производот од два броја со трет број, можете да го помножите првиот број со производот на вториот и третиот.
За сите броеви a, b и c еднаквоста е точно
Дистрибутивно својство: За да помножите број со збир, можете да го помножите тој број со секој член и да ги додадете резултатите. За сите броеви a, b и c еднаквоста е точно
Од комутативните и комбинативните својства на собирањето следува: во која било сума можете да ги преуредите поимите на кој било начин што сакате и произволно да ги комбинирате во групи.
Пример 1 Да го пресметаме збирот 1,23+13,5+4,27.
За да го направите ова, погодно е да се комбинира првиот термин со третиот. Добиваме:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Од комутативните и комбинативните својства на множењето следува: во кој било производ можете да ги преуредите факторите на кој било начин и произволно да ги комбинирате во групи.
Пример 2 Да ја најдеме вредноста на производот 1,8·0,25·64·0,5.
Комбинирајќи го првиот фактор со четвртиот, а вториот со третиот, имаме:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Дистрибутивното својство е точно и кога некој број се множи со збир од три или повеќе членови.
На пример, за сите броеви a, b, c и d еднаквоста е точно
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Знаеме дека одземањето може да се замени со собирање со додавање на минуендот на спротивниот број на подлогата:
Ова овозможува нумерички израз тип a-bда се смета за збир на броевите a и -b, нумерички израз од формата a+b-c-d да се смета збирот на броевите a, b, -c, -d итн. Разгледаните својства на дејствата важат и за такви збирови.
Пример 3 Да ја најдеме вредноста на изразот 3,27-6,5-2,5+1,73.
Овој израз е збир на броевите 3,27, -6,5, -2,5 и 1,73. Применувајќи ги својствата на собирањето, добиваме: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Пример 4 Да го пресметаме производот 36·().
Мултипликаторот може да се смета како збир од броевите и -. Користејќи го дистрибутивното својство на множење, добиваме:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Идентитети
Дефиниција. Два изрази чии соодветни вредности се еднакви за која било вредност на променливите се нарекуваат идентично еднакви.
Дефиниција. Еднаквоста што е вистинита за која било вредност на променливите се нарекува идентитет.
Да ги најдеме вредностите на изразите 3(x+y) и 3x+3y за x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Го добивме истиот резултат. Од својството распределба следува дека, генерално, за сите вредности на променливите, соодветните вредности на изразите 3(x+y) и 3x+3y се еднакви.
Сега да ги разгледаме изразите 2x+y и 2xy. Кога x=1, y=2 тие земаат еднакви вредности:
Сепак, можете да наведете вредности на x и y така што вредностите на овие изрази не се еднакви. На пример, ако x=3, y=4, тогаш
Изразите 3(x+y) и 3x+3y се идентично еднакви, но изразите 2x+y и 2xy не се идентично еднакви.
Равенството 3(x+y)=x+3y, точно за сите вредности на x и y, е идентитет.
Вистинските нумерички еднаквости исто така се сметаат за идентитети.
Така, идентитетите се еднаквости кои ги изразуваат основните својства на операциите на броеви:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Може да се дадат и други примери на идентитети:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Идентични трансформации на изрази
Замената на еден израз со друг идентично еднаков израз се нарекува идентична трансформација или едноставно трансформација на израз.
Идентични трансформации на изрази со променливи се вршат врз основа на својствата на операциите на броеви.
Да се најде вредноста на изразот xy-xz кога дадени вредности x, y, z, треба да извршите три дејства. На пример, со x=2,3, y=0,8, z=0,2 добиваме:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Овој резултат може да се добие со извршување на само два чекори, ако го користите изразот x(y-z), кој е идентично еднаков на изразот xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Ги поедноставивме пресметките со идентично замена на изразот xy-xz еднаков израз x(y-z).
Идентичните трансформации на изразите се широко користени при пресметување на вредностите на изразите и решавање на други проблеми. Веќе требаше да се извршат некои идентични трансформации, на пример, да се донесат слични термини, да се отворат загради. Да се потсетиме на правилата за извршување на овие трансформации:
за да донесете слични термини, треба да ги додадете нивните коефициенти и да го помножите резултатот со делот за заедничка буква;
ако има знак плус пред заградите, тогаш заградите може да се изостават, зачувувајќи го знакот на секој термин затворен во загради;
Ако има знак минус пред заградите, тогаш заградите може да се изостават со промена на знакот на секој член затворен во заградите.
Пример 1 Да претставиме слични поими во збирот 5x+2x-3x.
Да го искористиме правилото за намалување на слични поими:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Оваа трансформација се заснова на дистрибутивното својство на множење.
Пример 2 Да ги отвориме заградите во изразот 2a+(b-3c).
Користење на правилото за отворање загради на кое му претходи знакот плус:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Извршената трансформација се заснова на асоцијативно својствододавање.
Пример 3 Да ги отвориме заградите во изразот a-(4b-c).
Ајде да го користиме правилото за отворање на загради на кои му претходи знакот минус:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Извршената трансформација се заснова на дистрибутивното својство на множење и комбинираното својство на собирање. Ајде да го покажеме. Ајде да замислиме внатре овој изразвториот член -(4b-c) во форма на производ (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Со аплицирање наведените својстваакции, добиваме:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Броевите и изразите што го сочинуваат оригиналниот израз може да се заменат со идентично еднакви изрази. Ваквата трансформација на оригиналниот израз доведува до израз кој е идентично еднаков на него.
На пример, во изразот 3+x, бројот 3 може да се замени со збирот 1+2, што ќе резултира со изразот (1+2)+x, кој е идентично еднаков на оригиналниот израз. Друг пример: во изразот 1+a 5, моќноста a 5 може да се замени со идентично еднаков производ, на пример, од формата a·a 4. Ова ќе ни го даде изразот 1+a·a 4 .
Оваа трансформација е несомнено вештачка и обично е подготовка за некои понатамошни трансформации. На пример, во збирот 4 x 3 +2 x 2, земајќи ги предвид својствата на степенот, терминот 4 x 3 може да се претстави како производ 2 x 2 2 x. По оваа трансформација, оригиналниот израз ќе добие форма 2 x 2 2 x + 2 x 2. Очигледно, поимите во добиениот збир имаат заеднички фактор 2 x 2, така што можеме да ја извршиме следната трансформација - заграда. По него доаѓаме до изразот: 2 x 2 (2 x+1) .
Собирање и одземање на истиот број
Друга вештачка трансформација на израз е собирање и истовремено одземање на ист број или израз. Оваа трансформација е идентична бидејќи во суштина е еквивалентна на додавање нула, а додавањето нула не ја менува вредноста.
Ајде да погледнеме на пример. Да го земеме изразот x 2 +2·x. Ако додадете еден на него и одземете еден, ова ќе ви овозможи да извршите друга идентична трансформација во иднина - квадрат на биномот: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Библиографија.
- Алгебра:тетратка за 7 одделение општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 17-ти ед. - М.: Образование, 2008. - 240 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А.Г.Алгебра. 7-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 17. изд., додај. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 стр.: илустр. ISBN 978-5-346-02432-3.