Решавање на стохастички диференцијални равенки. Анализа на експлицитни нумерички методи за решавање на стохастички диференцијални равенки

Ерешко Арт. Ф.,

Компјутерски центар именуван по. РАС,

Швиетокрзиска академија во Киелце, Полска

АНАЛИЗА НА ЕКСПЛИЦИТНИ НУМЕРИЧКИ МЕТОДИ

СТОХАСТИЧКИ РЕШЕНИЈА

ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ

Разгледани се основните принципи на конструирање на нумерички методи за решавање на стохастички диференцијални равенки (SDE). Анализиран е проблемот со ригидноста на ЦДС системите. За еднодимензионалниот Ito SDE, се споредува приближната точност на постоечките експлицитни нумерички методи.

1. Вовед

Анализата и синтезата на стохастичките динамички системи често се поврзуваат со употребата на нумеричко решение на SDE. За голем број задачи како што се филтрирање, идентификација, прогнозирање и оптимална контрола, интегрирањето на нумеричкото решение на SDE мора да се изврши во реално време и, згора на тоа, со одредена точност и стабилност. Во овој поглед, се појавуваат голем број проблеми. Од една страна, многу малку SDE имаат аналитички решенија (најчесто тоа се линеарни SDE со адитивен или мултипликативен шум или нелинеарни SDE сведени на линеарни), а од друга страна, физичките карактеристики на реалните динамички системи доведуваат до манифестација на ригидност , што има незадоволително влијание врз добиеното нумеричко решение. Затоа, особено важна фаза во дизајнирањето на стохастички динамички систем е изборот на шема за нумеричко решение на СДЕ.

2. Принципи на конструирање методи на нумеричко решение

стохастички диференцијални равенки

Во моментов, постојат неколку пристапи за креирање нумерички шеми за решавање на SDE. Една од можностите е да се прилагодат постоечките шеми за обични диференцијални кола (ODC) земајќи ги предвид својствата на стохастичките интеграли, друга е да се развијат посебни методи за решавање на ODE. Повеќето истражувачи го користат првиот пристап, бидејќи теоријата за нумеричко решение на ODE е добро развиена и е прилично лесно да се извлечат аналогии помеѓу ODE и SDE.

Наједноставниот метод за приближување на нумеричко решение на SDE (од пресметковна гледна точка) е методот на Ојлер, развиен од Марујама во 1955 година. Оваа шема задоволува многу од потребните својства потребни за нумеричките методи (има ред на конвергенција), но во исто време има голем број ограничувања (не е секогаш стабилна, грешката на приближување е доста висока итн.). За да се отстранат овие недостатоци, како и да се зголеми редоследот на конвергенција на нумеричките шеми за решавање на SDE, спроведено е и сè уште се спроведува истражување, чии насоки може да се претстават во форма на дијаграм (види Сл. 1).

По аналогија со развојот на шеми за нумеричко решение на ODE, за да се зголеми редоследот на конвергенција, точноста и стабилноста на приближување, може да се користи сериско проширување во точката на приближување, т.е., да се користат деривати од различен ред, и на променливата и на коефициенти на дрифт и дифузија. Во литературата, овој пристап се нарекува метод на Тејлор. Сепак, недостатокот на шемите на Тејлор е тоа што при секој чекор на приближување е неопходно да се пресметаат повеќе стохастички интеграли поврзани со горенаведените деривати. За да избегнете потешкотии во пресметката, можете да користите повеќекратни поделби на чекорот на приближување (методи Ранге-Кутта) или резултатите од приближувањето на претходните чекори (методи со повеќе чекори).

И обичните и стохастичките системи на диференцијални равенки кои опишуваат многу физички, биолошки или економски феномени, кога компјутерски се симулираат со користење на конвенционални нумерички шеми, покажуваат „непожелно“ однесување и може да се класифицираат како лошо поставени проблеми. Во повеќето случаи, „непожелно“ однесување се однесува на многу висока нестабилност на нумеричкото решение, поврзана со таканаречениот феномен на ригидност. Постојат неколку можни објаснувања за овој феномен.

Првата причина е поврзана со техничките можности на компјутерот. Значи, за да ја постигнете саканата точност, можете да примените повеќе поделби на чекорот на интеграција. Од една страна, ова води до акумулација на грешки за заокружување, и како резултат на тоа, се јавува прелевање на компјутерски регистри. Од друга страна, користењето на многу мали вредности на чекорот за интеграција бара огромни временски ресурси и исто така доведува до акумулација на грешки за заокружување. Втората причина е поврзана со физичката страна на системот што се разгледува. Ова значи дека системот опишува процеси со различни брзини или градиенти (првенствено ова е типично за лошо поставени проблеми). Овој феномен обично се појавува кај проблемите на граничниот слој (хидродинамика), ефектот на кожата (електромагнетизам), хемиските кинетички реакции итн. Конечно, ригидноста може да биде предизвикана од двете причини. Затоа, при развивање стабилни нумерички методи, неопходно е да се земат предвид горенаведените ситуации.

Анализата на модерната литература покажа дека создавањето на нумерички методи за решавање на крути системи во повеќето случаи се заснова на идеите презентирани од Hairer и Wanner. Во својата работа, тие постулираа дека крутите системи не можат да се решат со експлицитни методи и презентираа пристапи базирани само на употреба на имплицитни методи. Сепак, треба да се забележи дека директната примена на овие методи е секогаш поврзана со исклучително сложена процедура за одредување на параметрите на колото, врз основа на однапред доделен регион на стабилност само за системот што се разгледува. Оваа околност ги прави предложените пристапи неприфатливи за повеќето од горенаведените апликации, но ни овозможува да истакнеме две важни математички својства на ригидноста. Прво, сите крути системи имаат многу широк спектар (или присуство на многу различни експоненти на Љапунов). Второ, според теоремата за уникатност и постоење на решение, крутите системи се карактеризираат со големи вредности на Липшицовата константа.

Значи, анализата на принципите за креирање нумерички шеми за решавање на SDE ја покажа потребата од темелно проучување на постоечките и, можеби, барање нови методи при решавање на конкретни проблеми.

3. Експлицитни силни нумерички шеми

Дозволете ни да го напишеме SDE во претставата Ito во општа форма

каде - https://pandia.ru/text/78/507/images/image006_22.gif" width="80 height=28" height="28">; -https://pandia.ru/text/78/ 507/images/image009_18.gif" width="79 height=28" height="28">.gif" width="79" height="28 src="> - континуирано двојно диференцијабилни функции на дрифт и дифузија - димензионален вектор параметри.

Добивањето силно решение за СРД (3.1) е важна точка во многу практични проблеми, целта на работата е компаративна анализа на постојните силни експлицитни нумерички методи за решавање на СРД.

Да го разгледаме најчестиот случај во финансиската литература - случајот со еднодимензионалната равенка (3.1), користејќи ги следните шеми: Ојлер, Милштајн, Тејлор, Рунге-Кута и двостепен. Во еднодимензионалниот случај, Ојлеровата шема ја има формата:

Каде И (https://pandia.ru/text/78/507/images/image019_9.gif" width="55" height="24">, се појавува како

Шема за нарачки на Тејлор https://pandia.ru/text/78/507/images/image022_10.gif" width="484" height="212"> (3.4)

и шема на нарачки во два чекора:

https://pandia.ru/text/78/507/images/image025_10.gif" width="509" height="52 src=">

https://pandia.ru/text/78/507/images/image027_8.gif" width="355" height="52 src=">

Шема Runge-Kutta, каде што редоследот на конвергенција https://pandia.ru/text/78/507/images/image029_8.gif" width="384" height="119 src="> (3.6)

https://pandia.ru/text/78/507/images/image031_6.gif" width="100" height="28 src=">.gif" width="345" height="68">,

https://pandia.ru/text/78/507/images/image035_5.gif" width="44" height="28"> и аналитичкото решение на SDE (3.1) на крајот од интервалот на интеграција DIV_ADBLOCK220">

, (4.1)

каде е операторот за математичко очекување.

Да ја замениме теоретската вредност на критериумот „апсолутна грешка“ (4.1) со неговиот статистички аналог, базиран на симулација на Монте Карло..gif" width="44" height="28">..gif" width="29" height="27 src" =">, тогаш статистичкиот аналог на критериумот (4.1) е

(4.2)

Ајде да ги споредиме горенаведените шеми користејќи го критериумот на апсолутна грешка. Како прв тест пример, проучуваме линеарна SDE со постојани хомогени коефициенти

чие аналитичко решение ја има формата

.

Вториот пример за тестирање е нелинеарен Ito SDE на формата

со диференцијабилна функција и општо решение

https://pandia.ru/text/78/507/images/image049_5.gif" width="108" height="57 src=">.

Конкретно, за равенката

(4.4)

има аналитичко решение

https://pandia.ru/text/78/507/images/image052_2.gif" width="17" height="19">, број на траектории и точност на приближување (4.2). Резултатите од пресметката се дадени во табели 1 – 3, Дозволете ни да ги анализираме користејќи го просечниот критериум (4.2).

За првата и втората тест равенка (види Табела 1 и Табела 2), како што се намалува должината на чекорот на интеграција и се зголемува редоследот на конвергенција на нумеричката шема, точноста на приближување се зголемува за сите нумерички шеми што се испитуваат.

Сепак, ова не може да се наведе во третиот случај, кој претставува ригиден SDE (види Табела 3). Беше можно да се пресмета вредноста на апсолутната грешка за сите комбинации на должината на чекорот на интегрирање и бројот на траектории само за Ојлеровата шема и шемата со два чекора.

Табела 1.Точност на приближување на нумеричкото решение на равенката (4..gif" width="53" height="20 src=">.gif" width="93" height="28 src=">)

Шема

Должина на чекорот за интеграција,

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

За колата Milstein, Taylor и Runge-Kutta на , , https://pandia.ru/text/78/507/images/image068_3.gif" width="57" height="23">, , , ) регистрирајте прелевање се случи , што го оневозможи извршувањето на понатамошните пресметки.

Така, може да се забележи дека, за разлика од ODE, при нумеричка интеграција на решението на крути SDE, треба да се користат „едноставни“ експлицитни методи на решение, т.е., да се избегнуваат методи кои користат повеќекратни поделби на чекорот на приближување или деривати на функциите на дрифт и дифузија. . Ако има потреба од нумеричко решение на SDE во задачи како што се филтрирање или идентификација на SDE параметри користејќи ја процедурата Монте Карло, претпочитаната должина на чекорот е DIV_ADBLOCK222">

Табела 2.Точност на приближување на нумеричкото решение на равенката (4.4) (https://pandia.ru/text/78/507/images/image070_4.gif" width="100" height="25 src=">)

Шема

Должина на чекорот за интеграција,

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Табела 3.Точност на приближување на бројното решение на равенката

(4.3)(https://pandia.ru/text/78/507/images/image071_4.gif" width="55" height="20 src=">.gif" width="100" height="25 src="> )

шема

должина на чекорот на интеграција,

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Милштајн

двостепен

Рунге-Кутта

Литература

1. Оксендал Б.Стохастички диференцијални равенки. Берлин: Спрингер, 2000 година.

2. , Методи за решавање на лошо поставени проблеми. М.: Наука, 1986 година.

3. Клоден П. Е., Платен Е.Нумеричко решение на стохастички диференцијални равенки. Берлин: Спрингер, 1999 година.

4. Бураџ К., Тијан Т. Цврсто точни методи на Runge-Kutta за крути стохастички диференцијални равенки // Компјутерска физика комуникации. 2001. V. 142. стр. 186 – 190.

5. Бураџ К., Бураџ П., Мицуи Т.Нумерички решенија на стохастички диференцијални равенки – прашања за имплементација и стабилност // Весник за пресметковна и применета математика. 2000. V. 125. Стр. 171 – 182.

6. Кузњецов Д.Ф.Силни нумерички методи во три чекори на редот на точност 1.0 и 1.5 за Ito Stochastic диференцијални равенки // Journal of Automation and Information Sciences. 2002. V. 34. бр. 12. стр. 22 – 35.

7. Гејнс Ј.Г., Лајонс Т.Џ.Контрола на големината на променливиот чекор во нумеричкото решение на стохастички диференцијални равенки // SIAM Journal of Applied Mathematics. 1997. V. 57. бр. 5. стр. 1455 – 1484 г.

8. Фризер Е., Ванер Г.Решавање на обични диференцијални равенки II: крути и диференцијално-алгебарски задачи. Берлин: Спрингер-Верлаг, 1996 година.

9. Ламбертон Д., Лапејр Б.Вовед во стохастичка пресметка применета во финансии. Лондон: Чепмен и Хол. 2000 година.

10. Ширјаев А.Н. Основи на стохастичка финансиска математика. М.: ФАЗИС, 1998 година.

11. Милштајн Г.Н., Платен Е., Шурц Х.Балансирани имплицитни методи за крути стохастички системи // SIAM Journal of Numerical Analysis. 1998. V. 35. P. 1010 – 1019.

12. Филатова Д., Грживачевски М., Мекдоналд Д. Проценка на параметрите на стохастичките диференцијални равенки со помош на функција на критериум заснована на статистиката на Колмогоров-Смирнов // ACTA ET COMMENTATIONES UNIVERSITATIS TARTUENSIS DE MATHEMATICA. 2004. V. 8. – стр. 93 – 99.

13. Нилсен Ј.Н., Медсен Х.Примена на EKF на стохастички диференцијални равенки со ефекти на ниво // Automatica. 2001. V. 37. стр. 107 – 112.

14. Нилсен Ј.Н., Медсен Х., Јанг П.Параметриска проценка во стохастички диференцијални равенки: преглед // Годишни прегледи во контрола. 2000. V. 24. стр. 83 – 94.

Да се ​​вратиме на динамичката равенка од прв ред (систем со 1/2 степени на слобода), чиј пример беше равенката за мали амплитудни флуктуации во самоосцилатор [прва формула (29.1)], т.е., равенка на формата

Ние се занимаваме со истата равенка во проблемите за брзината и еднодимензионалното движење на масената честичка во средина со вискозно триење, или за поместувањето s на оваа честичка, но без маса и врзана за пружина со коефициент на еластичност, или за напонот V на капацитивноста-колото, или за струјата I во колото итн.

Во согласност со она што беше кажано во § 28, очекуваме дека кога врз динамичкиот систем (35.1) се делува со доволно „густи“ (во споредба со времето на воспоставување) хомогени удари, одговорот ќе биде континуиран хомоген.

Марков процес со преодна веројатност што ја задоволува равенката Ајнштајн-Фокер

т.е. равенка (29.2), но во еднодимензионалниот случај, кога нема зависност на v од втората променлива. Според методот мотивиран во § 28, коефициентот во (35.2) е еднаков на изразот за x, т.е. десната страна на равенката (35.1):

Под почетна состојба

решението на равенката (35.2) е изразено со нормалниот закон

[цм. (29.5) и (29.6)]. Во границата на , т.е. за t, формулата (35.3) се трансформира во стационарна дистрибуција независна од . Во проблемот на брзината и честичките во вискозна средина, кога распределбата мора да биде Максвелова:

па од каде може да се напишат слични изрази за B во останатите проблеми наведени погоре - едноставно како последица на теоремата за еднаква распределба на енергијата над степените на слобода: просечната енергија на систем со 1/2 степен на слобода треба да биде еднаква до (во овој случај

Ова е, според првичните претпоставки, чисто веројатна шема за решавање на проблемот на флуктуации. Сега ќе ги правиме работите поинаку. Да воведеме случајна (или флуктуациска) сила во равенката (35.1):

Ако, заради специфичност, разговараме за проблемот со движењето на честичката во неограничена вискозна средина, тогаш зборуваме за равенката на движење

во кој влијанието на околината врз честичката е поделено на два дела: систематска сила на триење и случајна сила

Под претпоставка дека систематската сила на триење е изразена со Стоксовиот закон (за сферична честичка со радиус a имаме , каде е вискозноста на течноста), правиме две претпоставки.

Прво, условот за ламинарен проток околу честичката мора да биде исполнет, т.е. Рејнолдсовиот број е мал:

каде е густината на течноста. Ако за и ја земеме вредноста на коренот средна квадратна брзина на топлинското движење [и е густината на супстанцијата на честичката], т.е., земете ги предвид најбрзите вибрации на честичката, тогаш

Кај имаме дека дури и за молекуларни големини a ја дава вредноста Така, условот за ламинарност е задоволен.

Второ, вкупната систематска сила што дејствува на топка што се движи во вискозна некомпресибилна течност е еднаква, според Бусинет,

каде е додадената маса, еднаква на половина од масата поместена од течната честичка. Во равенката (35.6), од вкупната сила F се задржува само првиот член. Но кога вториот и третиот член се од ист ред како . Во однос, ова не е значајно, бидејќи улогата на овој термин се сведува само на промена на ефективната маса на честичката. Поважен е третиот член, кој го изразува вискозниот хидродинамички последователен ефект (види §§ 15 и 21), кога ќе се земе предвид, системот добива бесконечен број на степени на слобода.

Во присуство на вискозен (а со тоа и веројатен) последователен ефект, средното квадратно поместување на честичката беше пронајдено од В.В. Владимирски и Ја.П. Вообичаениот израз се покажува како валиден само за временски интервали t кои се доволно големи во споредба со времето на релаксација Ќе се ограничиме на поедноставена формулација на проблемот врз основа на равенката (35.5).

Оваа стохастичка равенка ќе ја третираме како да е обична диференцијална равенка.

Интегрирајќи го под првичниот услов што го добиваме

Бидејќи, по претпоставка, просекот (35,7) над ансамбл од случајни сили дава

односно за x се добива истиот динамички закон како од равенката (35.1) и од равенката Ајнштајн-Фокер (35.2). Ајде сега да ја најдеме варијансата. Според (35.7) и (35.8)

и затоа, за да се добие потребно е да се постави функцијата за корелација на случаен јачина. Можете да наведете која било корелација функција дозволена со општите ограничувања на нејзината форма, но ние ќе направиме посебна претпоставка, имено, ќе претпоставиме дека -стационарен делта-корелиран процес:

каде што C е константа. Имајте на ум дека со тоа сила импулс

е континуирана случајна функција со независни зголемувања и затоа е нормално распределена за кое било t (§ 34).

Заменувајќи го (35.10) во (35.9), наоѓаме

(35.11)

Ако ставиме , тогаш ова ќе се совпадне со изразот (35.4) за добиен од равенката Ајнштајн-Фокер (35.2).

Најдовме само моменти, но може да се каже повеќе. Бидејќи зголемувањето на импулсот се распределува нормално за која било дадена вредност, разликата е, според (35.7), збир (или, поточно, граница на збирот) на нормално распределените величини. Следствено, распределбата е дадена и со Гаусовиот закон со дисперзија (35.11). Оваа условна дистрибуција (под услов ) едноставно се совпаѓа со (35.3). Понатаму, лесно е да се потврди со директна замена дека условните веројатности од овој тип ја задоволуваат равенката Смолучовски (тие се веројатности за транзиција), т.е. процесот се покажува како Марков. Така, ако во стохастичката диференцијална равенка (35.5) случајната сила ) е стационарна и делта-корелирана [види. (35.10)], тогаш одговорот е дифузен Марков процес чија транзициона веројатност ја задоволува равенката Ајнштајн-Фокер со

И двата пристапа - засновани на равенката Ајнштајн-Фокер и врз основа на стохастичката диференцијална равенка за случајна функција - се покажаа како еквивалентни во разгледуваниот проблем. Ова, се разбира, не значи дека тие се идентични надвор од оваа задача. Ајнштајн-Фокеровата равенка има, на пример, несомнена предност во случаи кога се наметнуваат одредени ограничувања на множеството можни вредности на случајната функција (присуство на рефлектирачки или апсорбирачки ѕидови, итн.), земени предвид едноставно со соодветните гранични услови. Во формулацијата на проблемот Langevin, воведувањето такви ограничувања е доста тешко. Од друга страна, како што веќе беше нагласено, методот Лангевин не бара силата да биде делта-корелирана.

Можеби вреди да се напомене дека токму во случај на сила поврзана со делта, дејствувањето со диференцијалната равенка (35.5) има, во одредена смисла, условен карактер. Оваа равенка не е напишана за x, туку за моменталната вредност . Но, со бескрајно чести шокови, одговорот не е диференцијабилна функција, односно не постои (во која било од веројатните сетила на концептот дериват). Така, целата „диференцијална равенка“ има само одредено симболично значење. Ова мора да се разбере на следниов начин.

Формалната интеграција на равенката (35.5) води до решението (35.7) за , кое веќе нема никакви проблеми бидејќи содржи делта-корелирана дила само под интегралот. Со други зборови, равенката (35.5) е

ова (во случајот со делта-корелирана сила што се разгледува) е математички неточна нотација за последователното - веќе доста значајно и, во крајна линија, единственото од нас интересно - решение на оваа равенка. Оправдувањето за овој пристап се добро познатите предности на работењето со диференцијални равенки при формулирање на проблем - способноста да се продолжи од општите динамички закони, способноста да се користи целиот постоечки арсенал на математички алатки за да се добие решение итн. дури и не зборуваме за фактот дека со сè што не е поврзано со делта, резервациите стануваат непотребни: стохастичките диференцијални равенки за самите случајни функции потоа добиваат сосема дефинитивна математичка содржина и, згора на тоа, дозволуваат да се оди подалеку од класата на процесите на Марков.

Константата C во функцијата на корелација (35.10) очигледно го карактеризира интензитетот на случајните удари. Да се ​​вратиме на променливите во кои силата и одговорот на системот се енергетски конјугирани, односно производот на силата и дериватот на одговорот ја претставува моќта дадена на системот. Ова е точно, на пример, за силата во равенката (35.6), бидејќи моќта пренесена на честичката е еднаква на . Равенката (35.6) станува (35.5), поделена со масата на честичката m Така, корелационата функција на сегашната сила во согласност со (35.10) е еднаква на

Погоре утврдивме што и што во проблемот на брзината на Браунова честичка. Според тоа, константата C во функцијата на корелација на силите е еднаква на

т.е., тој е поврзан само со коефициентот на систематско триење h. Во проблемот со струјата во колото, мора да ја разбереме случајната топлинска (§ 28) и h активниот отпор на колото R, така што константата на корелација за ќе биде

Стохастичка диференцијална равенка(SDE) - диференцијална равенка во која еден или повеќе поими се од стохастичка природа, односно претставуваат стохастички процес (другото име е случаен процес). Така, решенијата на равенката исто така испаѓаат како стохастички процеси. Најпознатиот и најчесто користен пример за SDE е равенка со термин кој го опишува белиот шум (кој може да се смета за пример за дериват на Винер процес). Сепак, постојат и други видови случајни флуктуации, како што е процес на скок (за повеќе детали, видете).

Приказна

Во литературата, првата употреба на SDE е традиционално поврзана со работата на описот на Брауновото движење, направено независно од Маријан Смолучовски (г.) и Алберт Ајнштајн (г.). Сепак, SDE беа користени малку порано (години) од францускиот математичар Луј Бушелие во неговата докторска дисертација „Теоријата на претпоставки“. Врз основа на идеите на ова дело, францускиот физичар Пол Ланжевин почнал да го користи SDE во дела за физиката. Подоцна, тој и рускиот физичар Руслан Стратонович развија поригорозно математичко оправдување за СДЕ.

Терминологија

Во физиката, SDE традиционално се пишуваат во форма на равенката Лангевин. И често, не сосема точно, тие ја нарекуваат самата равенка Лангевин, иако SDE може да се напише на многу други начини. SDE во форма на равенката Лангевин се состои од обична нестохастичка диференцијална равенка и дополнителен дел што го опишува белиот шум. Втората вообичаена форма е Фокер-Планковата равенка, која е парцијална диференцијална равенка и ја опишува еволуцијата на густината на веројатноста со текот на времето. Третата форма на SDE почесто се користи во математиката и финансиската математика, таа наликува на равенките на Лангевин, но е напишана со помош на стохастички диференцијали (види детали подолу).

Стохастичка пресметка

Нека, и нека

Потоа стохастичката диференцијална равенка за дадени почетни услови

За

има уникатно (во смисла на „речиси сигурно“) и -континуирано решение такво што - адаптиран процес за филтрирање, генериран од и , , и

Примена на стохастички равенки

Физика

Во физиката, SDE често се пишуваат во форма на равенката Лангевин. На пример, SDE систем од прв ред може да се напише како:

каде што е збир на непознати, и се произволни функции, и се случајни функции на времето, кои често се нарекуваат термини за бучава. Оваа форма на нотација се користи затоа што постои стандардна техника за трансформација на равенка со повисоки деривати во систем на равенки од прв ред со воведување нови непознати. Ако се константи, тогаш се вели дека системот е подложен на адитивен шум. Системите со мултипликативен шум се разгледуваат и кога . Од овие два разгледувани случаи, адитивната бучава е поедноставна. Решението за систем со адитивен шум често може да се најде користејќи само стандардни методи за математичка анализа. Конкретно, може да се користи вообичаениот метод на составување на непознати функции. Меѓутоа, во случај на мултипликативен шум, равенката Лангевин е слабо дефинирана во смисла на обична математичка анализа и мора да се толкува во однос на пресметката на Ито или пресметката на Стратонович.

Во физиката, главниот метод за решавање на SDE е да се најде решение во форма на густина на веројатност и да се трансформира првобитната равенка во Фокер-Планковата равенка. Фокер-Планковата равенка е парцијална диференцијална равенка без стохастички членови. Ја одредува временската еволуција на густината на веројатноста, исто како што Шредингеровата равенка ја одредува временската зависност на брановата функција на системот во квантната механика или равенката на дифузија ја одредува временската еволуција на хемиската концентрација. Решенија може да се бараат и нумерички, на пример користејќи го методот Монте Карло. Други техники за решение го користат интегралот на патеката, оваа техника се заснова на аналогија помеѓу статистичката физика и квантната механика (на пример, равенката Фокер-Планкова може да се претвори во равенката Шредингер користејќи некоја трансформација на променливи) или решавање на обични диференцијални равенки за моментите на густината на веројатноста.

Теорија на веројатност и финансиска математика

Биологија

Хемија

Врски

  • Стохастичкиот свет - едноставен вовед во стохастичките диференцијални равенки

Литература

  • Адомијан ЏорџСтохастички системи. - Орландо, Флорида: Academic Press Inc., 1983 година.
  • Адомијан ЏорџНелинеарни стохастички равенки на операторот. - Орландо, Флорида: Academic Press Inc., 1986 година.
  • Адомијан ЏорџТеорија на нелинеарни стохастички системи и примена во физиката. - Дордрехт: Група на академски издавачи на Клувер, 1989 година.
  • Оксендал Бернт К.Стохастички диференцијални равенки: Вовед со апликации. - Берлин: Спрингер, 2003. - ISBN ISBN 3-540-04758-1
  • Teugels, J. и Sund B. (уред.)Енциклопедија на актуарската наука. - Чичестер: Вајли, 2004. - стр. 523–527.
  • C. W. ГардинерПрирачник за стохастички методи: за физика, хемија и природни науки. - Springer, 2004. - стр. 415.
  • Томас МикошЕлементарна стохастичка пресметка: со финансии во поглед. - Сингапур: Светско научно издаваштво, 1998. - стр. 212. - ISBN ISBN 981-02-3543-7
  • Бешелиер, Л. Théorie de la speculation (на француски), докторски труд. - NUMDAM: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1900_3_17__21_0, 1900. - ISBN на англиски јазик во 1971 година книга „Случајниот карактер на берзата“ Изд. П.Х. Кутнер

1. Меѓу Ito процесите X = (Xt)t^o, кои имаат стохастички диференцијал
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
важна улога играат оние за кои коефициентите a(t, a>) и (3(t, u) зависат од a(t,u) = a(t,Xt(u>)), /3(t ,u> ) = b(t,Xt (si)), (2)
каде што a = a(t, x) и b = b(t, x) се мерливи функции на M+ x K. Така, на пример, процесот
St=S0eateaBt-4-\\ (3)
наречено геометриско или економско, Брауново движење (види § За), има (според формулата на Ито) стохастички диференцијал
dSt = aSt dt + aSt dBt. (4)
Процес
=f
Џо 3-ти
du (5)
има, како што е лесно да се потврди, повторно користејќи ја формулата на Ито, диференцијал
dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6)
(Процесот Y = (Yt)t^o игра важна улога во проблемите на брзо детектирање на промените во локалното движење на Брауновото движење; види.) Ако
Г, Г* du Г* dBu1
(7)
zt = ул
Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2
Џо Џо.
со некои константи c\\ и c2, потоа, повторно користејќи ја формулата на Ито, се потврдува дека
dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8)
Во дадените примери тргнавме од „експлицитната“ форма на процесите S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) и со помош на формулата Ito ги добивме нивните стохастички диференцијали (4), (6) и (8).
Сепак, можно е да се промени гледиштето, имено, да се разгледаат (4), (6) и (8) како стохастички диференцијални равенки во однос на непознати процеси S = ​​(St),Y = (Yt), Z = (Zt) и обидете се да утврдите дека нивните пронајдени решенија (3), (5) и (7) се (во одредена смисла) единствените решенија за овие равенки.
Природно, неопходно е да се даде прецизно значење на самиот концепт на „стохастичка диференцијална равенка“, да се утврди кое е неговото „решение“ и во која смисла треба да се разбере „единственоста“ на решението.
Во дефинирањето на сите овие концепти, дискутирани подолу, клучната улога ја игра концептот на стохастички интеграл претставен погоре.
2. Ќе претпоставиме дека филтрираниот простор на веројатност (стохастичка основа) (ft, (^t)t^Oi P) е даден со вообичаените услови (точка 2, §7a) и нека B = (Bt,&t)f^ o да биде Брауново движење.
Нека a = a(t, x) и b = b(t, x) се мерливи функции на K+ x M.
Дефиниција 1. Стохастичката диференцијална равенка се вели дека е
dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9)
со ^-мерлива почетна состојба Xo има континуирано силно решение (или едноставно решение) X = (Xt)t^o, ако за секој t > O
Xt се ^-мерливи,
P(^J* \\a(s,Xa)\\ds p(^J* b2(s,Xa)ds (12)
Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b(s,Xa)dBa. Џо Џо
Дефиниција 2. Два континуирани случајни процеси X = (Xt)t^o и Y = (Yt)t^0 се нарекуваат стохастички неразлични ако за било кој t > O
p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13)
Va и (R-p.n.)
Дефиниција 3. Ќе кажеме дека мерлива функција / ¦ f(t, x), дефинирана на R+ x K, ја задоволува (во однос на фазната променлива x) локалниот услов Липшиц ако за секој n ^ 1 има константа K (n) така што за сите t > 0 и |x| \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ Теорема 1 (К. Ито, ; види исто така, на пример, , ). Нека коефициентите a(t,x) ub(t,x) ја задоволуваат локалната состојба на Липшиц и условот за линеарен раст:
la(t,x)\\ + \\b(t,x)\\ и нека почетната состојба XQ е ^-мерлива.
Тогаш стохастичката диференцијална равенка (9) има единствено (до стохастичка неразличност) континуирано решение X = (Xt,&t), што е Марков процес.
Постојат генерализации на овој резултат во различни насоки: ослабена е локалната Липшицова состојба, дозволена е зависност (но од посебна природа) на коефициентите од u>, случаи на зависност на коефициентите a - a(t,Xt) и b = b(t,Xt) се разгледуваат од „минатото“ (во малку лабава нотација: a = a(t; Xs, s) Постојат и генерализации за повеќедимензионалниот случај, кога X = (X1,... ,Xd) е векторски процес, a = a(t,x) - вектор, b = b(t,x) - матрица и B = (B1,... ,Bd) - d-димензионално брауново движење Види на ова материја, на пример, , , .
Од различни генерализации прикажуваме само еден, по малку неочекуван, резултат на А.К
dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15)
Воопшто нема потреба да се бара исполнување на локалниот услов Липшиц, туку доволни се само мерливост во (?, x) и рамномерна граница на коефициентот a(t, x). (Повеќедимензионална генерализација на овој резултат беше добиена од А. Ју. Веретеников, .)
Така, на пример, стохастичката диференцијална равенка
dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16)
со „лош“ коефициент
G 1, x > O,
I. -1, x има и, згора на тоа, единствено, силно решение.
Забележете, сепак, дека ако наместо равенката (16) ја разгледаме равенката
dXt=a(Xt)dBt, Xo = 0, (18)
со истата функција ср(х), ситуацијата драматично се менува, бидејќи, прво, постојат простори на веројатност на кои оваа равенка очигледно има најмалку две силни решенија, и, второ, на некои простори на веројатност оваа равенка можеби нема силно решение. воопшто.
За да се прикаже валидноста на првата изјава, земете го предвид просторот на непрекинати функции u> = (u>t)t>o со Винер измери координативно даден Винерски процес W = (Wt)t^Oi, т.е., така што Wt( w)=wt,t>0.
Потоа, според теоремата на Леви (види точка 3 во §3б), процесот B = (Bt)t^o за
Bt= С o(Ws)dWa Jo
ќе биде и процес на Винер (брауново движење). И тоа е лесно да се види
[ o(Wa)dBa = [ o2(Wa)dWa=Wt, Jo Jo
бидејќи cr2(x) = 1.
Така, процесот W =¦ (Wt)t^o е (на просторот на веројатност што се разгледува) решение на равенката (18) со специјално избрано брауновско движење B¦ Но, бидејќи cr(-x) = -cr(x ), тогаш
[ o(Wa)dBa = -Wt, Jo
Г o(-Wa) dBa = - Jo
тие. заедно со W = (Wt)t^о процесот -W = (-Wt)t>о е исто така решение на равенката (18).
Што се однесува до втората изјава, претпоставуваме дека равенката 1
Xt= [ o(Xa)dBs Jo
има силно решение (во однос на текот на а-алгебрите (генерирано од Брауновото движење Б). Од Левиовата теорема произлегува дека тогаш процесот X = (Xt, o е Брауновско движење.
Според формулата на Таиак (види понатаму § 5в и спореди со примерот во § lb, Поглавје II):
\\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo
каде т
Lt(0) = лими- f I(\\Xa\\^e)da
еј.0 АЗ Јо
- локално време (Lévy) на Брауновото движење X, кое го поминува на нула на интервалот. Затоа (R-p.n.)
Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt(0) Jo
и, според тоа, Ц
Горенаведената претпоставка дека X е адаптиран во однос на флукс = (&t)t^o имплицира вклучување C\

Повеќе на темата § Зе. Стохастички диференцијални равенки:

  1. Поглавје 9. Елементи на теоријата на обични диференцијални равенки
  2. Во раните 70-ти, Ф. Блек и М. Сколс развија модел за проценка на премијата на европската опција за купување на акции кои не плаќаат дивиденди. Резултирачката формула беше резултат на нивното решение на диференцијалната равенка Блек-Шол. Оваа равенка ја разгледуваме во следниот пасус.
  3. Дел II Математичка анализа и диференцијални равенки
  4. 6. Равенка која ја поврзува цената на дериватот со пазарната цена на ризикот. Стохастички модели со континуирано време за краткорочни стапки и цени на обврзниците
  5. ПРИЛОГ 2. 2.1. Диференцијална равенка за деривативно средство по акција што плаќа континуирано сложена дивиденда
  6. Систем на меѓузависни равенки (систем на заеднички симултани равенки)
  7. Инкрементални (инкрементални или диференцијални) трошоци

- Авторско право - Адвокатство - Управно право - Управен процес - Антимонополско и право на конкуренција - Арбитражен (економски) процес - Ревизија - Банкарски систем - Банкарско право - Деловно - Сметководство - Имотно право - Државно право и администрација - Граѓанско право и процес - Монетарно право промет , финансии и кредит - Пари - Дипломатско и конзуларно право - Договорно право - Закон за домување - Земјиште - Изборно право - Инвестициско право - Информативно право - Извршна постапка - Историја на државата и правото - Историја на политички и правни доктрини -