Разновидност на броеви. Означување, евидентирање и претставување на нумерички множества


Од огромна разновидност од секаков вид множестваОд особен интерес се т.н множества на броеви, односно множества чии елементи се броеви. Јасно е дека за удобно работење со нив треба да можете да ги запишете. Ќе ја започнеме оваа статија со нотација и принципи на пишување нумерички множества. Следно, ајде да погледнеме како нумеричките множества се прикажани на координатна линија.

Навигација на страница.

Пишување нумерички множества

Да почнеме со прифатената нотација. Како што знаете, големите букви од латинската азбука се користат за означување на множества. Назначени се и нумеричките множества, како посебен случај на множества. На пример, можеме да зборуваме за множества на броеви A, H, W итн. Од особена важност се множествата природни, цели, рационални, реални, сложени броеви, итн., за нив се усвоени свои ознаки:

  • N – множество од сите природни броеви;
  • Z – множество од цели броеви;
  • Q – множество рационални броеви;
  • Ј – множество ирационални броеви;
  • R – множество од реални броеви;
  • C е множество од сложени броеви.

Оттука, јасно е дека не треба да означувате множество кое се состои, на пример, од два броја 5 и −7 како Q, оваа ознака ќе биде погрешна, бидејќи буквата Q обично го означува множеството од сите рационални броеви. За да го означите наведеното нумеричко множество, подобро е да користите некоја друга „неутрална“ буква, на пример, А.

Бидејќи зборуваме за нотација, овде да се потсетиме и на ознаката на празно множество, односно множество што не содржи елементи. Се означува со знакот ∅.

Да се ​​потсетиме и на ознаката дали некој елемент припаѓа или не припаѓа на множество. За да го направите ова, користете ги знаците ∈ - припаѓа и ∉ - не припаѓа. На пример, ознаката 5∈N значи дека бројот 5 припаѓа на множеството природни броеви, а 5,7∉Z - децималната дропка 5,7 не припаѓа на множеството цели броеви.

И, исто така, да се потсетиме на ознаката усвоена за вклучување на едно множество во друго. Јасно е дека сите елементи од множеството N се вклучени во множеството Z, така што множеството N е вклучено во Z, тоа се означува како N⊂Z. Можете да ја користите и ознаката Z⊃N, што значи дека множеството од сите цели броеви Z го вклучува множеството N. Релациите што не се вклучени и не се вклучени се означени со ⊄ и , соодветно. Се користат и нестроги знаци за вклучување од формата ⊆ и ⊇, што значи вклучено или се совпаѓа и вклучува или се совпаѓа, соодветно.

Зборувавме за нотација, ајде да продолжиме со описот на нумеричките множества. Во овој случај, ќе ги допреме само главните случаи кои најчесто се користат во пракса.

Да почнеме со нумерички множества кои содржат конечен и мал број елементи. Удобно е да се опишат нумерички множества што се состојат од конечен број елементи со наведување на сите нивни елементи. Сите елементи на броеви се напишани одделени со запирки и затворени во , што е во согласност со општото правила за опишување множества. На пример, множество кое се состои од три броја 0, −0,25 и 4/7 може да се опише како (0, −0,25, 4/7).

Понекогаш, кога бројот на елементи на нумеричко множество е доста голем, но елементите се покоруваат на одредена шема, се користи елипса за опис. На пример, множеството од сите непарни броеви од 3 до 99 вклучително може да се запише како (3, 5, 7, ..., 99).

Така, непречено пристапивме до описот на нумеричките множества, чиј број на елементи е бесконечен. Понекогаш тие можат да се опишат со користење на сите исти елипси. На пример, да го опишеме множеството од сите природни броеви: N=(1, 2. 3, ...) .

Тие исто така го користат описот на нумеричките множества со укажување на својствата на неговите елементи. Во овој случај, се користи ознаката (x| својства). На пример, ознаката (n| 8·n+3, n∈N) го одредува множеството природни броеви кои, кога се делат со 8, оставаат остаток од 3. Истиот сет може да се опише како (11,19, 27, ...).

Во посебни случаи, нумерички множества со бесконечен број елементи се познатите множества N, Z, R итн. или нумерички интервали. Во основа, нумеричките множества се претставени како Унијатанивните составни поединечни нумерички интервали и нумерички множества со конечен број елементи (за што зборувавме веднаш погоре).

Да покажеме пример. Нека множеството на броеви се состои од броевите −10, −9, −8,56, 0, сите броеви на отсечката [−5, −1,3] и броевите на отворената бројна линија (7, +∞). Поради дефиницијата за унија на множества, наведеното нумеричко множество може да се запише како {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Оваа нотација всушност значи множество кое ги содржи сите елементи од множествата (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] и (7, +∞).

Слично на тоа, со комбинирање на различни броевни интервали и множества на поединечни броеви, може да се опише кое било множество броеви (составено од реални броеви). Овде станува јасно зошто се воведени такви типови нумерички интервали како интервал, полу-интервал, сегмент, отворен нумерички зрак и нумерички зрак: сите тие, заедно со нотации за множества од поединечни броеви, овозможуваат да се опишат какви било нумерички множества преку нивниот сојуз.

Имајте предвид дека кога пишувате множество броеви, неговите составни броеви и нумеричките интервали се подредени во растечки редослед. Ова не е неопходен, но пожелен услов, бидејќи подреденото нумеричко множество е полесно да се замисли и отслика на координатна линија. Исто така, забележете дека таквите записи не користат нумерички интервали со заеднички елементи, бидејќи таквите записи може да се заменат со комбинирање нумерички интервали без заеднички елементи. На пример, заедницата на нумерички множества со заеднички елементи [−10, 0] и (−5, 3) е полуинтервалот [−10, 3) . Истото важи и за унијата на нумерички интервали со исти гранични броеви, на пример, унијата (3, 5]∪(5, 7] е множество (3, 7] , на ова ќе се задржиме посебно кога ќе научиме да најдете го пресекот и заедницата на нумерички множества

Претставување на множества на броеви на координатна права

Во пракса, погодно е да се користат геометриски слики на нумерички множества - нивните слики се вклучени. На пример, кога решавање на неравенки, во кој е потребно да се земе предвид ОДЗ, потребно е да се прикажат нумерички множества за да се најде нивното пресекување и/или унија. Така, ќе биде корисно добро да се разберат сите нијанси на прикажување нумерички множества на координатна линија.

Познато е дека постои кореспонденција еден на еден помеѓу точките на координатната права и реалните броеви, што значи дека самата координатна права е геометриски модел на множеството на сите реални броеви Р. Така, за да го прикажете множеството од сите реални броеви, треба да нацртате координатна линија со засенчување по целата должина:

И честопати тие дури и не го означуваат потеклото и сегментот на единицата:

Сега да зборуваме за сликата на нумерички множества, кои претставуваат одреден конечен број на поединечни броеви. На пример, да го прикажеме множеството броеви (−2, −0,5, 1,2) . Геометриската слика на ова множество, составена од три броја −2, −0,5 и 1,2, ќе биде три точки од координатната линија со соодветните координати:

Забележете дека обично за практични цели нема потреба точно да се изведува цртежот. Честопати, шематски цртеж е доволен, што подразбира дека не е неопходно да се одржува скалата; во овој случај, важно е само да се одржи релативната положба на точките една во однос на друга: секоја точка со помала координата мора да биде на лево од точка со поголема координата. Претходниот цртеж шематски ќе изгледа вака:

Одделно, од сите видови нумерички множества, се издвојуваат нумерички интервали (интервали, полуинтервали, зраци и сл.), кои ги претставуваат нивните геометриски слики; детално ги разгледавме во делот. Нема да се повторуваме овде.

И останува само да се задржиме на сликата на нумерички множества, кои се унија од неколку нумерички интервали и множества што се состојат од поединечни броеви. Нема ништо незгодно овде: според значењето на унијата во овие случаи, на координатната линија потребно е да се прикажат сите компоненти на множеството на дадено нумеричко множество. Како пример, да прикажеме слика на збир на броеви (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (лог 2 5, 5)∪(17, +∞) :

И да се задржиме на прилично вообичаени случаи кога прикажаното нумеричко множество го претставува целото множество реални броеви, со исклучок на една или неколку точки. Таквите множества често се специфицирани со услови како x≠5 или x≠−1, x≠2, x≠3.7 итн. Во овие случаи, тие геометриски ја претставуваат целата координатна линија, со исклучок на соодветните точки. Со други зборови, овие точки треба да се „отстранат“ од координатната линија. Тие се прикажани како кругови со празен центар. За јасност, дозволете ни да прикажеме нумеричко множество што одговара на условите (ова множество во суштина постои):

Сумирајте. Идеално, информациите од претходните параграфи треба да формираат ист поглед на снимањето и прикажувањето на нумеричките множества како приказот на поединечни нумерички интервали: снимањето на нумеричкото множество треба веднаш да ја даде својата слика на координатната линија, а од сликата на координатната линија треба да бидеме спремни лесно да го опишеме соодветното нумеричко множество преку соединување на поединечни интервали и множества составени од поединечни броеви.

Библиографија.

  • Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Мордкович А.Г.Алгебра. 9-то одделение. За 2 часа Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13. издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01752-3.

Броевите се поделени во класи. Позитивни цели броеви - N = (1, 2, 3, ...) - го сочинуваат множеството природни броеви. Често, 0 се смета за природен број.

Множеството цели броеви Z ги вклучува сите природни броеви, бројот 0 и сите природни броеви земени со знак минус: Z = (0, 1, -1, 2, -2, ...).

Секој рационален број x може да се определи како пар цели броеви (m, n), каде што m е броител, n е именителот на бројот: x = m/n. Еквивалентно претставување на рационален број е да се изрази како број напишан со позиционирана децимална нотација, каде што дробниот дел од бројот може да биде конечна или бесконечна периодична дропка. На пример, бројот x = 1/3 = 0,(3) е претставен како бесконечна периодична дропка.

Се повикуваат броевите дефинирани со бесконечни непериодични дропки ирационални броеви. Тоа се, на пример, сите броеви од формата vp, каде што p е прост број. Бројките познати на сите и е се ирационални.

Унијата на множества цели броеви, рационални и ирационални броеви го сочинува множеството реални броеви. Геометриската слика на множеството реални броеви е права линија - вистинската оска, каде што секоја точка на оската одговара на одреден реален број, така што реалните броеви густо и континуирано ја исполнуваат целата реална оска.

Рамнината ја претставува геометриската слика на збир од сложени броеви, каде што се воведени две оски - реални и имагинарни. Секој комплексен број, дефиниран со пар реални броеви, може да се претстави во форма: x = a+b*i, каде што a и b се реални броеви, кои може да се сметаат како Декартови координати на бројот на рамнината.

Делители и множители

Сега да разгледаме класификација која го дели множеството природни броеви на две подмножества - прости и композитни броеви. Оваа класификација се заснова на концептот на деливост на природните броеви. Ако n е делив со d, тогаш велиме дека d го „дели“ n и го пишуваме во форма: . Забележете дека оваа дефиниција можеби не одговара на интуитивното разбирање: d го „дели“ n ако n е делив со d, а не обратно. Бројот d се нарекува делител на n. Секој број n има два тривијални фактори - 1 и n. Разделители освен тривијалните се нарекуваат фактори од n. Бројот n се нарекува прост ако нема други делители освен тривијални. Простите броеви се деливи само со 1 и самите себе. Броевите кои имаат фактори се нарекуваат композитни броеви. Бројот 1 е посебен број бидејќи не е ниту прост ниту композитен број. Негативните броеви исто така не припаѓаат на прости или композитни броеви, но секогаш можете да го земете предвид модулот на бројот и да го класифицирате како прост или композитен број.

Секој композитен број N може да се претстави како производ на неговите фактори: . Оваа репрезентација не е единствена, на пример 96 = 8*12 = 2*3*16. Меѓутоа, за секој композитен број N постои единствена претстава во форма на производ на моќи на простите броеви: , каде се простите броеви и . Ова претставување се нарекува размножување на бројот N во прости множители. На пример .

Ако и , тогаш d е заеднички делител на броевите m и n. Меѓу сите заеднички делители, можеме да го разликуваме најголемиот заеднички делител, означен како gcd(m,n). Ако gcd(m,n) = 1, тогаш броевите m и n се нарекуваат сопрост. Простите броеви се прости броеви, па gcd(q,p) =1 ако q и p се прости броеви.

Ако и , тогаш A е заеднички множител на m и n. Меѓу сите заеднички множители, можеме да го разликуваме најмалиот заеднички множител, означен како LCM(m,n). Ако LCM(m,n) = m*n, тогаш броевите m и n се релативно прости. LCM(q, p) =q*p ако q и p се прости броеви.

Ако множествата на сите прости множители на броевите m и n ги означиме со и, тогаш

Ако се добие разложување на броевите m и n на прости множители, тогаш, користејќи ги дадените односи, лесно е да се пресметаат GCD(m,n) и LCM(m,n). Постојат и поефикасни алгоритми кои не бараат факторинг на број.

Евклидовиот алгоритам

Ефективен алгоритам за пресметување на GCD(m,n) беше предложен од Евклид. Се заснова на следните својства на GCD(m,n), чиј доказ е оставен на читателот:

Ако , тогаш според третото својство може да се намали за вредноста n. Ако, тогаш, според второто својство, аргументите може да се заменат и повторно да се дојде до претходно разгледаниот случај. Кога, како резултат на овие трансформации, вредностите на аргументите ќе станат еднакви, решението ќе се најде. Затоа, можеме да ја предложиме следната шема:

додека(m != n) (ако(m< n) swap(m,n); m = m - n; } return(m);

Овде постапката за замена ги разменува вредностите на аргументите.

Ако размислите малку, станува јасно дека воопшто не е неопходно да се разменуваат вредности - доволно е да го смените аргументот со максимална вредност на секој чекор од јамката. Како резултат, доаѓаме до дијаграмот:

while(m != n) ( if(m > n) m = m - n; друго n = n - m; ) return(m);

Ако размислите малку повеќе, можете да ја подобрите оваа шема со преместување во јамка со идентично вистинска состојба:

додека (точно) (ако (m > n) m = m - n; друго ако (n > m) n = n - m; друго враќање (m); )

Последниот дијаграм е добар бидејќи јасно ја покажува потребата да се докаже комплетноста на овој циклус. Не е тешко да се докаже комплетноста на јамката користејќи го концептот на варијанта на јамка. За оваа јамка, опција може да биде цел бројна функција - max(m,n) , која се намалува на секој чекор, останувајќи секогаш позитивна.

Предноста на оваа верзија на Евклидовиот алгоритам е што на секој чекор се користи елементарна и брза операција на цели броеви - одземање. Ако дозволите операција на пресметување на остатокот при делење со цел број, тогаш бројот на чекори на јамката може значително да се намали. Следното својство е точно:

Ова резултира со следниот дијаграм:

внатрешна температура; if(n>m) temp = m; m = n; n = температура; //swap(m,n) while(m != n) (темп = m; m = n; n = temp%n; )

Ако размислите малку за тоа, станува јасно дека воопшто не е неопходно да се изврши проверка пред да започне циклусот. Ова води до поедноставна шема за пресметка на GCD, која обично се користи во пракса:

внатрешна температура; while(m != n) (темп = m; m = n; n = температура%n; )

За да се пресмета LCM(m, n) можете да ја користите следнава релација:

Дали е можно да се пресмета LCM(m, n) без да се користат операциите за множење и делење? Излегува дека можете истовремено да пресметате LCM(m,n) додека пресметувате GCD(m,n). Еве го соодветниот дијаграм:

int x = v = m, y = u = n,; додека (x != y) ( ако (x > y) ( x = x - y; v = v + u;) друго (y = y - x; u = u + v;) ) GCD = (x + y )/2; LCM = (u+v)/2;

Доказот дека оваа шема правилно го пресметува GCD произлегува од претходно дадените својства на GCD. Точноста на пресметката на LCM е помалку очигледна. За да го докажете ова, забележете дека непроменливата јамка е следниов израз:

Оваа врска се задоволува откако променливите се иницијализираат пред циклусот да започне со извршување. На крајот од циклусот, кога x и y стануваат еднакви на gcd, точноста на шемата следи од вистинитоста на непроменливата. Лесно е да се потврди дека изјавите за телото на јамката ја оставаат изјавата вистинита. Деталите за доказот се препуштени на читателите.

Концептот на GCD и LCM може да се прошири со нивно дефинирање за сите цели броеви. Следниве односи се валидни:

Проширен Евклидов алгоритам

Понекогаш е корисно да се претстави gcd(m,n) како линеарна комбинација од m и n:

Конкретно, пресметката на коефициентите a и b е неопходна во алгоритмот RSA - шифрирање со јавен клуч. Ќе дадам алгоритамски дијаграм кој ви овозможува да го пресметате тројниот - d, a, b - најголемиот заеднички делител и коефициентите на проширување. Алгоритмот може погодно да се имплементира како рекурзивна процедура

ExtendedEuclid(int m, int n, ref int d, ref int a, ref int b),

кој, со оглед на влезните аргументи m и n, ги пресметува вредностите на аргументите d, a, b. Нерекурзивната гранка на оваа постапка одговара на случајот n = 0, враќајќи ги како резултат вредностите: d = m, a = 1, b = 0. Рекурзивната гранка повикува

ExtendedEuclid(n, m % n, ref d, ref a, ref b)

а потоа ги менува добиените вредности на a и b на следниов начин:

Не е тешко да се изгради доказ за исправноста на овој алгоритам. За нерекурзивната гранка, точноста е очигледна, а за рекурзивната гранка лесно е да се покаже дека од вистинитоста на резултатот вратен со рекурзивниот повик, произлегува дека тоа е точно за влезните аргументи по повторното пресметување на вредностите. на а и б.

Како функционира оваа постапка? Прво, се случува рекурзивно спуштање додека n не стане нула.

Во овој момент, за прв пат ќе се пресметаат вредноста на d и вредностите на параметрите a и b. По ова, порастот ќе започне и параметрите a и b повторно ќе се пресметаат.

Задачи
  • 49. Дадени m и n се природни броеви. Пресметајте gcd(m, n). Кога правите пресметки, не користете операции за множење и делење.
  • 50. Дадени m и n се природни броеви. Пресметајте LCM(m, n).
  • 51. Дадени m и n се природни броеви. Пресметајте LCM(m, n). Кога правите пресметки, не користете операции за множење и делење.
  • 52. Дадени m и n се цели броеви. Пресметајте gcd(m, n). Кога правите пресметки, не користете операции за множење и делење.
  • 53. Дадени m и n се цели броеви. Пресметајте LCM(m, n). Кога правите пресметки, не користете операции за множење и делење.
  • 54. Дадени m и n се цели броеви. Пресметајте gcd(m, n). Кога правите пресметки, користете ја операцијата за земање на остатокот од делењето со цел број.
  • 55. Дадени m и n се цели броеви. Пресметајте LCM(m, n). Кога правите пресметки, користете ја операцијата за земање на остатокот од делењето со цел број.
  • 56. Дадени m и n се цели броеви. Пресметајте тројка од броеви - (d, a, b) користејќи го проширениот Евклидов алгоритам.
  • 57. Дадени m и n се природни броеви. Размислете за GCD(m, n) како линеарна комбинација од m и n.
  • 58. Дадени m и n се цели броеви. Размислете за GCD(m, n) како линеарна комбинација од m и n.
  • 59. Дадени m и n се цели броеви. Проверете дали броевите m и n се сопрости.
примарни броеви

Меѓу парните броеви има само еден прост број - ова е 2. Прости непарни броеви има онолку колку што сакате. Не е тешко да се докаже дека бројот , каде што има последователни прости броеви, е прост. Значи, ако се конструирани прости броеви, тогаш можеме да конструираме друг прост број поголем од . Следи дека множеството прости броеви е неограничено. Пример: бројот N = 2*3*5*7 + 1 = 211 е прост број.

Сито на Ератостен

Како да се утврди дека N е прост број? Ако операцијата N % m е валидна, давајќи го остатокот кога се дели N со број m, тогаш наједноставниот алгоритам е да се провери дали остатокот не е еднаков на нула кога се дели N со сите броеви m помали од N. Очигледно подобрување на ова алгоритам е да се намали опсегот на тестирање - доволно е да се земат предвид броевите m во опсегот.

Уште во 3 век п.н.е. Грчкиот математичар Ератостен предложи алгоритам за пронаоѓање на прости броеви во опсег кој не бара операции за делење. Овој алгоритам се нарекува „Сито на Ератостен“. Во компјутерската верзија, идејата за овој алгоритам може да се опише на следниов начин. Ајде да изградиме низа Броеви, чии елементи содржат последователни непарни броеви, почнувајќи од 3. Првично, сите броеви во оваа низа се сметаат за непрекрстени. Ајде да го ставиме првиот непрекрстен број од оваа низа во низата SimpleNumbers - и ова ќе биде првиот непарен прост број (3). Потоа ќе извршиме просејување, поминувајќи низ низата Броеви со чекор еднаков на пронајдениот прост број, прецртувајќи ги сите броеви што ќе се сретнат за време на ова поминување. При првото додавање, бројот 3 и сите броеви кои се множители на 3 ќе се прецртаат. пречкртани од низата Броеви Процесот се повторува додека сите броеви во низата не се прецртаат Броеви. Како резултат на тоа, низата SimpleNumbers ќе содржи табела со првите прости броеви помали од N.

Овој алгоритам е добар за наоѓање релативно мали прости броеви. Но, ако треба да пронајдете прост број со дваесет значајни цифри, тогаш компјутерската меморија веќе нема да биде доволна за складирање на соодветните низи. Забележете дека современите алгоритми за шифрирање користат прости броеви кои содржат неколку стотици цифри.

Главна густина

Покажавме дека бројот на прости броеви е неограничен. Јасно е дека ги има помалку од непарните броеви, но колку помалку? Која е густината на простите броеви? Нека е функција која го враќа бројот на прости броеви помали од n. Не е можно прецизно да се одреди оваа функција, но има добра проценка за неа. Следната теорема е вистинита:

Функцијата асимптотички се приближува до својата граница одозгора, така што проценката дава малку потценети вредности. Оваа проценка може да се користи во алгоритмот Сито на Ератостен за да се избере димензијата на низата SimpleNumbers кога е дадена димензијата на низата Броеви и, обратно, со оглед на димензијата на табелата со прости броеви, може да се избере соодветната димензија за Низа на броеви.

Табеларен алгоритам за одредување на простаноста на броевите

Ако имате табела со прости броеви, SimpleNumbers, во која најголемиот прост број е M, тогаш можете едноставно да одредите дали бројот N помал од е прост. Ако N е помал од M, тогаш доволно е да се провери дали бројот N е во табелата SimpleNumbers. Ако N е поголем од M, тогаш доволно е да се провери дали бројот N е делив со броеви од табелата SimpleNumbers кои не ја надминуваат вредноста на vN. Јасно е дека ако бројот N нема прости множители помали од vN, тогаш бројот N е прост.

Користењето на табела со прости броеви бара соодветна компјутерска меморија и затоа ги ограничува можностите на алгоритмот, спречувајќи го да се користи за наоѓање големи прости броеви.

Тривијален алгоритам

Ако N е непарен број, тогаш можете да проверите дали е прост врз основа на дефиницијата за простаност на бројот. Во овој случај, не е потребна меморија за складирање на табели со броеви - но, како и секогаш, победувајќи во меморијата, губиме со време. Навистина, доволно е да се провери дали бројот N е делив со последователни непарни броеви во опсегот. Ако бројот N има барем еден фактор, тогаш тој е составен, во спротивно е прост.

Сите дискутирани алгоритми престануваат да работат ефективно кога броевите ја надминуваат битската мрежа на компјутерот за претставување на броеви, па ако има потреба да се работи со цели броеви надвор од опсегот System.Int64, тогаш задачата за одредување на примарноста на таков број станува далеку од едноставни. Постојат неколку рецепти за да се утврди дека одреден број е составен. Да се ​​потсетиме барем на алгоритмите познати од училишните времиња. Ако последната цифра од некој број е делива со 2, тогаш бројот се дели со 2. Ако последните две цифри од бројот се делат со 4, тогаш бројот се дели со 4. Ако збирот на цифрите се дели со 3 (со 9), тогаш бројот се дели со 3 (со 9). Ако последната цифра е 0 или 5, тогаш бројот се дели со 5. Математичарите вложиле многу труд за да докажат дека бројот е (или не е) прост број. Сега постојат специјални техники кои ви дозволуваат да докажете дека броевите од одреден тип се прости. Најпогодни кандидати за прост број се броевите од формата , каде што p е прост број. На пример, број со повеќе од 6000 цифри е докажано дека е прост, но не може да се каже кои прости броеви се најблиски соседи на тој број.

Задачи

Проекти

  • 67. Конструирајте класа „Температура“ која ви овозможува да поставите температура во различни мерни единици. Изградете проект за Windows кој поддржува интерфејс за работа со класата.
  • 68. Конструирајте класа „Distance“ која ви овозможува да користите различни системи на мерки. Изградете проект за Windows кој поддржува интерфејс за работа со класата.
  • 69. Изгради класа „Прости броеви“. Изградете проект за Windows кој поддржува интерфејс за работа со класата.
  • 70. Изградете класа „Бројни системи“. Направете Windows калкулатор кој поддржува пресметки во даден броен систем.
  • 71. Конструирај класа „Рационални броеви“. Направете Windows калкулатор кој поддржува пресметки со овие бројки.
  • 72. Конструирај ја класата „Сложени броеви“. Направете Windows калкулатор кој поддржува пресметки со овие бројки.

Најди ги точките на кружницата за броеви со дадената апсциса. Координати. Својство на координати на точки. Центар на кругот со броеви. Од круг до тригонометар. Најдете ги точките на кругот со броеви. Точки со апсциса. Тригонометар. Обележете точка на кругот со броеви. Круг на броеви на координатната рамнина. Круг со броеви. Точки со ординати. Наведете ја координатата на точката. Именувајте ја правата и координатата на точката.

„Деривати“ алгебра од 10-то одделение“ - Примена на деривати за изучување на функции. Дериватот е нула. Најдете ги точките. Ајде да ги сумираме информациите. Природата на монотонијата на функцијата. Примена на изводот за проучување на функции. Теоретско загревање. Пополнете ги изјавите. Изберете ја точната изјава. Теорема. Споредете. Дериватот е позитивен. Споредете ги формулациите на теоремите. Функцијата се зголемува. Доволни услови за екстрем.

„Тригонометриски равенки“ одделение 10“ - Вредности од интервалот. X= tan x. Обезбедете корени. Дали е вистина еднаквоста? Серија корени. Равенка cot t = a. Дефиниција. Кос 4x. Најдете ги корените на равенката. Равенка tg t = a. Грев х. Дали изразот има смисла? Sin x =1. Никогаш не го прави она што не го знаеш. Продолжи ја реченицата. Ајде да земеме примерок од корените. Решете ја равенката. Ctg x = 1. Тригонометриски равенки. Равенката.

„Деривати на алгебра“ - тангентна равенка. Потекло на термините. Решете проблем. Дериват. Материјална точка. Формули за диференцијација. Механичко значење на дериватот. Критериум за оценување. Изводна функција. Тангента на графикот на функцијата. Дефиниција на дериват. Равенка на тангента на графикот на функција. Алгоритам за наоѓање на изводот. Пример за наоѓање на дериватот. Структура на темата студија. Точката се движи во права линија.

„Најкраток пат“ - патека во диграф. Пример за два различни графикони. Насочени графикони. Примери на насочени графикони. Достапност. Најкратката патека од темето А до темето D. Опис на алгоритмот. Предности на хиерархиска листа. Пондерирани графикони. Патека во графиконот. Програма ProGraph. Соседни темиња и рабови. Врвен степен. Матрица на соседство. Должина на патеката во пондериран график. Пример за матрица за соседство. Наоѓање на најкраткиот пат.

„Историјата на тригонометријата“ - Џејкоб Бернули. Техники за работа со тригонометриски функции. Доктрината за мерење полиедри. Леонард Ојлер. Развојот на тригонометријата од 16 век до денес. Ученикот треба да ја исполни тригонометријата три пати. Досега тригонометријата беше формирана и развиена. Изградба на општ систем на тригонометриски и сродни знаења. Времето минува, а тригонометријата им се враќа на учениците.

Слика 3 Организациска шема

Додавањето на организациона шема се врши со помош на копчето Додај дијаграм или организациона шема, оригиналниот тест се заменува во неговите блокови, по што целиот објект се компресира вертикално.

1.1 Програма WordArt

Програмата е наменета за внесување уметнички натписи во документ, нивно уредување, нивно поставување во текст итн.

Вметнувањето на објектот се врши на следниов начин:

    лево-клик на копче Додадете објектзборчл, изберете го типот на натписот, притиснете го копчето ДОБРО;

    во прозорецот што се појавува Промена на текстWordArtпоставете го типот на фонтот, неговата големина и стил (задебелен, курзив), внесете го текстот и притиснете го копчето добро.

    ќе се појави панел WordArt, со форма (сл. 4):

Слика 4 Лента со алатки WordArt

Панелот содржи копчиња: Додадете објектWordArt,Промени текст..., КолекцијаWordArt,Објект форматWordArt(бои и линии, големина, позиција на екранот, обвивка, цртеж, натпис) Мени Текст-облик(форми на натписи) , Вертикален тексти сл.

Големината на текстот може да се смени со помош на белите кругови на прегледот на изборот. Поместувањето на текстот се врши со глувчето и треба да го зграпчите текстот за неговата средина или за линијата на контурата за избор. Вртењето на објектот се изведува со употреба на зелени кругови, наклонот на натписот е

користејќи жолти дијаманти. Бојата и другите параметри на објектот се менуваат со помош на копчето Формат на објектWordArtили од главниот панел Цртеж,со кој можете дополнително да поставите засенчување и волуметриски ефекти .

На пример, името на весникот „Znamya“ по внесување и прилагодување со помош на програмата WordArt може да изгледа вака (сл. 5):

Пример 3

Слика 5 Натписот „Банер“

2 Изработка на ѕиден оглас

Кога го развиваме ние користиме текстуални полиња,кои се креираат со помош на копче Натпис.Натписот е рамка, „лепенка“ што е надредена на документ и може да содржи какви било податоци - текст, табели, слики и други предмети. Таквата реклама обично се состои од слика, текст на огласот, име на организацијата и листови со „откинати телефонски броеви“. Сите рекламни елементи се внесуваат во нивните текстуални полиња бр. 1-бр. 5:

Пример 4: Редоследот на дејства (можни) при креирање ѕидна реклама со користење на текстуални полиња:

    Користење на копче Натписленти со алатки Цртежкреирајте поле за текст #1 што одговара на големината на рекламата.

    На менито Форматизберете ставка Граници и засенчувањеи креирајте рамка околу полето за текст бр. 1 - ова се димензионалните граници на рекламата. Рамката може да биде двојна, задебелена, со точки, итн.

    Во горниот лев агол на полето бр. 1, креирајте го полето бр. 2 (без граница), во

кој ќе го содржи името на организацијата.

    Во панелот Draw, изберете Add WordArt.

    На екранот ќе се појави прозорец WordArt, изберете го подигнатиот текст, кликнете OK. Во полето за внесување текст внесете го името на организацијата „студент“. Поставете го типот на фонтот на Arial, големина 18, стил - задебелен, курзив, кликнете OK. Името на организацијата ќе се појави во полето за текст бр. 2, закривено во лак, истегнете го вертикално.

    Направете текстуално поле број 3, чија големина се вклопува во лакот на зборот „ученик“. Ставете го цртежот во заоблениот текст. За да го направите ова во менито Вметнетеизберете ставка Цртеж\Слики, во полето за дијалог што се отвора, изберете ја соодветната слика во списокот со датотеки и кликнете на копчето добро. Вметнатата слика е опкружена со рамка со бели квадрати. Ако сликата не се совпаѓа со големината на полето бр. 3, тогаш може да се намали со поместување на овие квадрати со глувчето и сликата да се исече. За да биде сразмерно помала, треба да кликнете на сликата со глувчето, ќе се појави рамка со црни квадрати, со која можете да ја прилагодите големината на сликата без сечење.

    Направете текстуално поле бр. 4 и внесете го рекламниот текст „Апстракти, предмети, дисертации: ПЕЧАТЕЊЕ, ДИЗАЈН“. Изберете и форматирајте го текстот според големината на полето бр. 4, Arial Narrow фонт, големина на фонтот 16, задебелен, позициониран во ширина, бои темноцрвена, темно сина и автоцвет (црна).

    Направете поле за текст #5 во линијата каде што ќе се наоѓа првиот телефон за кинење лево. Додајте објект WordArt со вертикален текстуален ефект и внесете телефонски број.

    Копирајте го текстуалното поле бр. 5 со телефонскиот број користејќи го глувчето при притискање на копчето Ctrl онолку пати колку што ќе одговара во ширината во полето за текст бр. 1. Можете да ја користите таблата со исечоци, т.е. изберете објект, копирајте го во таблата со исечоци со командата Уреди\Копирајили копче Копирајна панелот Стандарден, потоа поставете го курсорот на точката за вметнување и извршете ја командата Уреди\Залепиили копче Вметнете, но при лепење, копии ќе се преклопуваат една со друга и ќе треба дополнително да се преместат во ред рачно.

    Групирање на сите објекти со цел подоцна да се користат како единствен објект, на пример, при копирање. Ако ова не е направено, тогаш секој објект (слика, кратенка на телефонот, име...) ќе се копира посебно. Групирањето објекти може да се направи на два начина:

Додека го држите клучот Смена, кликнете на секој од објектите, така што сите ќе бидат избрани во исто време. Потоа

прошири ја лентата со алатки Цртежи притиснете го копчето G група. Околу предметите ќе се појави заедничка рамка (тие ќе станат единствен објект);

притисни го копчето Избор на објектина панелот Цртежи истегнете ја решетката околу сите рекламни објекти, сите тие ќе бидат означени во исто време и притиснете го копчето Група. Доколку е потребно, предметите може да се одгрупираат со помош на копчето Одгрупирај.

    Глувче со клуч Ctrlили преку таблата со исечоци, како што е наведено во став 9.

Сега страницата за оглас може да се испечати и исече

Лист со формат А4 може да собере 8 огласи од оваа големина.

    Зачувајте ја добиената објава за ѕид (сл. 6) на флопи диск со командата Датотека\Зачувај како... .

Треба да се напомене дека сликите и полињата за текст може да се надредени едни на други во неколку слоеви во различни секвенци, а исто така да се постават на врвот или зад главното ниво - текстот. За таа цел се користат 6 команди на лентата со алатки Цртање/Нарачка.

ЗА Објектите создадени во WordArt може да се уредуваат подоцна. За да го направите ова, само кликнете на објектот, ќе се отвори менито WordArt и ќе го промените текстуалниот ефект, фонтот итн.

За да вметнете објект во текст, треба да го изберете објектот и во менито Формат, тим Граници и засенчување, во прозорецот Формат на објект

во јазичето Позицијаизберете

потребно завиткување текст.

Слика 6 Забелешка за ѕид

f Да се ​​форматира објектот и да се пополни околу рамката? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 За сл. 6 се изведува протокот „по контурата“.

Разгледуваната низа на дејства при креирање на ѕидна реклама не е единствената и оптимална. Сепак, тоа ви овозможува да стекнете искуство со користење на програмата WordArt

Цели броеви

Броевите што се користат при броењето се нарекуваат природни броеви. На пример, $1,2,3 $, итн. Природните броеви го формираат множеството природни броеви, што се означува со $N$. Оваа ознака доаѓа од латинскиот збор природен-природно.

Спротивни бројки

Дефиниција 1

Ако два броја се разликуваат само по знаци, тие се нарекуваат во математиката спротивни броеви.

На пример, броевите $5$ и $-5$ се спротивни броеви, бидејќи Тие се разликуваат само по знаци.

Забелешка 1

За секој број има спротивен број, и тоа само еден.

Забелешка 2

Бројот нула е спротивен на самиот себе.

Цели броеви

Дефиниција 2

Целиброеви се природните броеви, нивните спротивности и нула.

Множеството цели броеви го вклучува множеството природни броеви и нивните спротивности.

Означете цели броеви $Z.$

Дробни броеви

Броевите од формата $\frac(m)(n)$ се нарекуваат дропки или дробни броеви. Дробните броеви може да се пишуваат и во децимален облик, т.е. во форма на децимални дропки.

На пример: $\ \frac(3)(5)$ , $0,08$ итн.

Исто како и цели броеви, дробните броеви можат да бидат или позитивни или негативни.

Рационални броеви

Дефиниција 3

Рационални броевие збир на броеви што содржи множество од цели броеви и дропки.

Секој рационален број, и цел број и фракционо, може да се претстави како дропка $\frac(a)(b)$, каде што $a$ е цел број, а $b$ е природен број.

Така, истиот рационален број може да се запише на различни начини.

На пример,

Ова покажува дека секој рационален број може да се претстави како конечна децимална дропка или бесконечна децимална периодична дропка.

Множеството рационални броеви се означува со $Q$.

Како резултат на извршување на која било аритметичка операција на рационални броеви, добиениот одговор ќе биде рационален број. Тоа е лесно докажливо, поради фактот што при собирање, одземање, множење и делење на обични дропки се добива обична дропка.

Ирационални броеви

Додека студирате курс по математика, честопати треба да се справите со бројки кои не се рационални.

На пример, за да го потврдиме постоењето на множество други броеви освен рационалните, да ја решиме равенката $x^2=6$ Корените на оваа равенка ќе бидат броевите $\surd 6$ и -$\surd 6$ . Овие бројки нема да бидат рационални.

Исто така, кога ја наоѓаме дијагоналата на квадрат со страна $3$, ја применуваме Питагоровата теорема и наоѓаме дека дијагоналата ќе биде еднаква на $\сурд 18$. Оваа бројка исто така не е рационална.

Таквите броеви се нарекуваат ирационален.

Значи, ирационален број е бесконечна непериодична децимална дропка.

Еден од често сретнуваните ирационални броеви е бројот $\pi $

Кога се вршат аритметички операции со ирационални броеви, добиениот резултат може да биде или рационален или ирационален број.

Да го докажеме ова користејќи го примерот за наоѓање производ на ирационални броеви. Ајде да најдеме:

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6)$

    $\ \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)$

Со одлука

    $\ \sqrt(6)\cdot \sqrt(6) = 6$

    $\sqrt(2)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(6)$

Овој пример покажува дека резултатот може да биде или рационален или ирационален број.

Ако рационалните и ирационалните броеви се вклучени во аритметички операции во исто време, тогаш резултатот ќе биде ирационален број (освен, се разбира, множење со $0 $).

Реални бројки

Множеството реални броеви е множество кое го содржи множеството рационални и ирационални броеви.

Множеството реални броеви се означува со $R$. Симболично, множеството реални броеви може да се означи со $(-?;+?).$

Претходно рековме дека ирационален број е бесконечна децимална непериодична дропка и секој рационален број може да се претстави како конечна децимална дропка или бесконечна децимална периодична дропка, така што секоја конечна и бесконечна децимална дропка ќе биде реален број.

При извршување на алгебарски операции ќе се следат следниве правила:

  1. При множење и делење на позитивни броеви, добиениот број ќе биде позитивен
  2. При множење и делење на негативни броеви, добиениот број ќе биде позитивен
  3. При множење и делење негативни и позитивни броеви, добиениот број ќе биде негативен

Реалните броеви, исто така, може да се споредат едни со други.