Коренот е еднаков на изразот. Корени формули

Честитки: денес ќе ги разгледаме корените - една од највозбудливите теми во 8-мо одделение. :)

Многу луѓе се збунуваат за корените, не затоа што се сложени (што е толку комплицирано во тоа - пар дефиниции и уште неколку својства), туку затоа што во повеќето училишни учебници корените се дефинирани низ таква џунгла што само авторите на учебниците самите можат да го разберат ова пишување. Па дури и тогаш само со шише добро виски. :)

Затоа, сега ќе ја дадам најточната и најкомпетентната дефиниција за корен - единствената што навистина треба да ја запомните. И тогаш ќе објаснам: зошто е потребно сето ова и како да се примени во пракса.

Но, прво, запомнете една важна точка што многу составувачи на учебници поради некоја причина ја „забораваат“:

Корените можат да бидат со парен степен (нашиот омилен $\sqrt(a)$, како и сите видови $\sqrt(a)$ и парни $\sqrt(a)$) и непарен степен (сите видови $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, итн.). И дефиницијата за корен од непарен степен е малку поинаква од парен.

Веројатно 95% од сите грешки и недоразбирања поврзани со корените се скриени во ова ебено „некако поинакво“. Ајде да ја расчистиме терминологијата еднаш засекогаш:

Дефиниција. Дури и корен nод бројот $a$ е било кој не-негативнибројот $b$ е таков што $((b)^(n))=a$. И непарниот корен на истиот број $a$ е генерално секој број $b$ за кој важи истата еднаквост: $((b)^(n))=a$.

Во секој случај, коренот е означен вака:

\(а)\]

Бројот $n$ во таква нотација се нарекува коренски експонент, а бројот $a$ се нарекува радикален израз. Конкретно, за $n=2$ го добиваме нашиот „омилен“ квадратен корен (патем, ова е корен од парен степен), а за $n=3$ добиваме кубен корен (непарен степен), што е исто така често се среќаваат во проблеми и равенки.

Примери. Класични примери на квадратни корени:

\[\begin(порамни) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \крај (порамни)\]

Патем, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Ова е сосема логично, бидејќи $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Корените од коцки се исто така вообичаени - нема потреба да се плашите од нив:

\[\begin(порамни) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \крај (порамни)\]

Па, неколку „егзотични примери“:

\[\begin(порамни) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \крај (порамни)\]

Ако не разбирате која е разликата помеѓу парен и непарен степен, повторно прочитајте ја дефиницијата. Тоа е многу важно!

Во меѓувреме, ќе разгледаме една непријатна карактеристика на корените, поради која требаше да воведеме посебна дефиниција за парни и непарни експоненти.

Зошто воопшто се потребни корени?

Откако ќе ја прочитаат дефиницијата, многу студенти ќе прашаат: „Што пушеле математичарите кога дошле до ова?“ И навистина: зошто воопшто се потребни сите овие корени?

За да одговориме на ова прашање, да се вратиме за момент во основното училиште. Запомнете: во тие далечни времиња, кога дрвјата беа позелени, а кнедлите повкусни, нашата главна грижа беше правилно да ги множиме броевите. Па, нешто како „пет по пет - дваесет и пет“, тоа е сè. Но, можете да множите броеви не во парови, туку во тројки, четворки и генерално цели множества:

\[\почеток(порамни) & 5\cточка 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5\cточка 5=15\ 625. \крај (порамни)\]

Сепак, тоа не е поентата. Трикот е поинаков: математичарите се мрзливи луѓе, па тешко им било вака да го запишат множењето на десет петки:

Затоа дојдоа до дипломи. Зошто да не го напишете бројот на фактори како надпис наместо долга низа? Нешто како ова:

Многу е погодно! Сите пресметки се значително намалени и не треба да трошите еден куп листови пергамент и тетратки за да запишете околу 5.183. Овој запис беше наречен моќ на број, во него беа пронајдени еден куп својства, но среќата се покажа како краткотрајна.

По една грандиозна забава за пиење, која беше организирана само за „откривање“ на дипломите, некој особено тврдоглав математичар одеднаш праша: „Што ако го знаеме степенот на некој број, но самиот број е непознат? Сега, навистина, ако знаеме дека одреден број $b$, да речеме, на 5-та сила дава 243, тогаш како можеме да погодиме на што е еднаков самиот број $b$?

Овој проблем се покажа како многу поглобален отколку што може да изгледа на прв поглед. Бидејќи се покажа дека за повеќето „готови“ сили нема такви „почетни“ бројки. Проценете сами:

\[\почеток(порамни) & ((б)^(3))=27\Десна стрелка b=3\cточка 3\cточка 3\Десна стрелка b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Десна стрелка b=4\cточка 4\cточка 4\Десна стрелка b=4. \\ \крај (порамни)\]

Што ако $((b)^(3))=50$? Излегува дека треба да најдеме одреден број кој, кога ќе се помножи со себе три пати, ќе ни даде 50. Но, кој е овој број? Тоа е јасно поголемо од 3, бидејќи 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Тоа е оваа бројка се наоѓа некаде помеѓу три и четири, но нема да разберете на што е еднаква.

Токму затоа математичарите дојдоа до $n$th корени. Токму затоа е воведен радикалниот симбол $\sqrt(*)$. Да го означиме самиот број $b$, кој во наведениот степен ќе ни даде претходно позната вредност

\[\sqrt[n](a)=b\Десна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не се расправам: често овие корени лесно се пресметуваат - видовме неколку такви примери погоре. Но, сепак, во повеќето случаи, ако мислите на произволен број, а потоа се обидете да го извлечете коренот на произволен степен од него, ќе бидете во страшна несреќа.

Што има таму! Дури и наједноставниот и најпознатиот $\sqrt(2)$ не може да биде претставен во нашата вообичаена форма - како цел број или дропка. И ако го внесете овој број во калкулатор, ќе го видите ова:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Како што можете да видите, по децималната точка има бескрајна низа од броеви кои не се покоруваат на никаква логика. Се разбира, можете да го заокружите овој број за брзо да се споредите со другите броеви. На пример:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приближно 1,4 \lt 1,5\]

Или еве уште еден пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приближно 1,7 \gt 1,5\]

Но, сите овие заокружувања, прво, се прилично груби; и второ, исто така треба да можеш да работиш со приближни вредности, инаку можеш да фатиш еден куп неочигледни грешки (патем, вештината за споредба и заокружување се бара да се тестира на профилот Unified State Examination).

Затоа, во сериозната математика не можете без корени - тие се истите еднакви претставници на множеството на сите реални броеви $\mathbb(R)$, исто како дропките и цели броеви кои ни се одамна познати.

Неможноста да се претстави коренот како дропка од формата $\frac(p)(q)$ значи дека овој корен не е рационален број. Таквите броеви се нарекуваат ирационални и не можат точно да се претстават освен со помош на радикални или други конструкции специјално дизајнирани за тоа (логаритми, моќи, граници итн.). Но повеќе за тоа друг пат.

Ајде да разгледаме неколку примери каде што, по сите пресметки, ирационалните броеви сè уште ќе останат во одговорот.

\[\begin(порамни) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приближно 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приближно -1,2599... \\ \крај (порамни)\]

Секако, од изгледот на коренот е речиси невозможно да се погоди кои броеви ќе дојдат по децималната точка. Сепак, можете да сметате на калкулатор, но дури и најнапредниот калкулатор за датум ни ги дава само првите неколку цифри од ирационален број. Затоа, многу поправилно е одговорите да се пишуваат во форма $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Токму затоа се измислени. За удобно снимање на одговорите.

Зошто се потребни две дефиниции?

Внимателниот читател веројатно веќе забележал дека сите квадратни корени дадени во примерите се земени од позитивни броеви. Па, барем од нула. Но, корените на коцките можат мирно да се извлечат од апсолутно секој број - било да е тоа позитивен или негативен.

Зошто се случува ова? Погледнете го графикот на функцијата $y=((x)^(2))$:

Графикот на квадратна функција дава два корени: позитивен и негативен

Ајде да се обидеме да пресметаме $\sqrt(4)$ користејќи го овој график. За да го направите ова, на графикот е нацртана хоризонтална линија $y=4$ (означена со црвено), која се вкрстува со параболата во две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Ова е сосема логично, бидејќи

Сè е јасно со првиот број - тој е позитивен, па затоа е коренот:

Но, тогаш што да се прави со втората точка? Како четири да имаат два корени одеднаш? На крајот на краиштата, ако го квадратиме бројот −2, добиваме и 4. Зошто тогаш да не напишете $\sqrt(4)=-2$? А зошто наставниците гледаат на вакви објави како да сакаат да те изедат? :)

Проблемот е што ако не наметнете никакви дополнителни услови, тогаш четворката ќе има два квадратни корени - позитивни и негативни. И секој позитивен број ќе има два од нив. Но, негативните броеви воопшто нема да имаат корени - ова може да се види од истиот графикон, бидејќи параболата никогаш не паѓа под оската y, т.е. не прифаќа негативни вредности.

Сличен проблем се јавува за сите корени со парен експонент:

  1. Строго кажано, секој позитивен број ќе има два корени со парен експонент $n$;
  2. Од негативни броеви, коренот со дури $n$ воопшто не се извлекува.

Затоа во дефиницијата за корен од парен степен $n$ конкретно е наведено дека одговорот мора да биде ненегативен број. Вака се ослободуваме од нејаснотијата.

Но, за непарни $n$ нема таков проблем. За да го видиме ова, да го погледнеме графикот на функцијата $y=((x)^(3))$:

Коцката парабола може да земе каква било вредност, така што коренот на коцката може да се земе од кој било број

Од овој графикон може да се извлечат два заклучоци:

  1. Гранките на кубната парабола, за разлика од обичната, одат до бесконечност во двете насоки - и нагоре и надолу. Затоа, без разлика на висината што ќе нацртаме хоризонтална линија, оваа линија сигурно ќе се вкрсти со нашиот график. Следствено, коренот на коцката секогаш може да се извлече од апсолутно секој број;
  2. Покрај тоа, таквото пресекување секогаш ќе биде единствено, така што не треба да размислувате кој број се смета за „точен“ корен и кој да го игнорирате. Затоа одредувањето корени за непарен степен е поедноставно отколку за парен степен (нема услов за ненегативност).

Штета што овие едноставни работи не се објаснети во повеќето учебници. Наместо тоа, нашиот мозок почнува да расте со секакви аритметички корени и нивните својства.

Да, не се расправам: исто така треба да знаете што е аритметички корен. И јас ќе зборувам за ова детално во посебна лекција. Денес, исто така, ќе зборуваме за тоа, бидејќи без него сите размислувања за корените на множеството $n$-ти би биле нецелосни.

Но, прво треба јасно да ја разберете дефиницијата што ја дадов погоре. Во спротивно, поради изобилството на термини, во вашата глава ќе започне таков хаос што на крајот нема да разберете воопшто ништо.

Сè што треба да направите е да ја разберете разликата помеѓу парните и непарните показатели. Затоа, ајде уште еднаш да собереме сè што навистина треба да знаете за корените:

  1. Корен од парен степен постои само од ненегативен број и самиот е секогаш ненегативен број. За негативни броеви таквиот корен е недефиниран.
  2. Но, коренот на непарниот степен постои од кој било број и самиот може да биде кој било број: за позитивните броеви е позитивен, а за негативните броеви, како што навестува капата, тој е негативен.

Дали е тешко? Не, не е тешко. Тоа е јасно? Да, тоа е сосема очигледно! Па сега ќе вежбаме малку со пресметките.

Основни својства и ограничувања

Корените имаат многу чудни својства и ограничувања - ова ќе се дискутира во посебна лекција. Затоа, сега ќе го разгледаме само најважниот „трик“, кој се однесува само на корените со рамномерен индекс. Ајде да го напишеме ова својство како формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\лево| x\десно|\]

Со други зборови, ако подигнеме број на парна моќност и потоа го извлечеме коренот на истата моќност, нема да го добиеме оригиналниот број, туку неговиот модул. Ова е едноставна теорема која лесно може да се докаже (доволно е да се разгледаат не-негативните $x$ одделно, а потоа негативните одделно). Наставниците постојано зборуваат за тоа, тоа е дадено во секој училишен учебник. Но, штом станува збор за решавање на ирационални равенки (т.е. равенки што содржат радикален знак), учениците едногласно ја забораваат оваа формула.

За да го разбереме проблемот подетално, да ги заборавиме сите формули за една минута и да се обидеме да пресметаме два броја директно напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \десно))^(4)))=?\]

Ова се многу едноставни примери. Повеќето луѓе ќе го решат првиот пример, но многу луѓе заглавуваат на вториот. За да ги решите сите такви глупости без проблеми, секогаш размислете за постапката:

  1. Прво, бројот е подигнат на четврта сила. Па, некако е лесно. Ќе добиете нов број што може да се најде дури и во табелата за множење;
  2. И сега од овој нов број потребно е да се извлече четвртиот корен. Оние. не се случува „намалување“ на корените и моќите - ова се последователни дејства.

Да го погледнеме првиот израз: $\sqrt((3)^(4)))$. Очигледно, прво треба да го пресметате изразот под коренот:

\[((3)^(4))=3\cточка 3\cточка 3\cточка 3=81\]

Потоа го извлекуваме четвртиот корен од бројот 81:

Сега да го сториме истото со вториот израз. Прво, го подигнуваме бројот −3 до четвртата моќност, што бара множење со себе 4 пати:

\[((\лево(-3 \десно))^(4))=\лево(-3 \десно)\cdot \лево(-3 \десно)\cdot \лево(-3 \десно)\cdot \ лево(-3 \десно)=81\]

Добивме позитивен број, бидејќи вкупниот број на минуси во производот е 4, и сите тие ќе се поништат (на крајот на краиштата, минус за минус дава плус). Потоа повторно го извлекуваме коренот:

Во принцип, оваа линија не можеше да биде напишана, бидејќи не е паметно дека одговорот ќе биде ист. Оние. рамномерен корен на истата рамномерна моќ ги „гори“ минусите, и во оваа смисла резултатот не се разликува од обичен модул:

\[\begin(порамни) & \sqrt((3)^(4)))=\лево| 3 \десно|=3; \\ & \sqrt(((\лево(-3 \десно))^(4)))=\лево| -3 \десно|=3. \\ \крај (порамни)\]

Овие пресметки се во добра согласност со дефиницијата за корен од парен степен: резултатот е секогаш ненегативен, а радикалниот знак исто така секогаш содржи ненегативен број. Во спротивно, коренот е недефиниран.

Забелешка за постапката

  1. Ознаката $\sqrt(((a)^(2)))$ значи дека прво го квадратиме бројот $a$, а потоа го земаме квадратниот корен од добиената вредност. Затоа, можеме да бидеме сигурни дека секогаш има ненегативен број под знакот за корен, бидејќи $((a)^(2))\ge 0$ во секој случај;
  2. Но ознаката $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, значи дека прво го земаме коренот на одреден број $a$ и дури потоа го квадратуваме резултатот. Затоа, бројот $a$ во никој случај не може да биде негативен - ова е задолжително барање вклучено во дефиницијата.

Така, во никој случај не треба непромислено да се намалуваат корените и степените, а со тоа наводно да се „поедностави“ оригиналниот израз. Затоа што ако коренот има негативен број, а неговиот експонент е парен, добиваме еден куп проблеми.

Сепак, сите овие проблеми се релевантни само за дури и индикатори.

Отстранување на знакот минус од под знакот на коренот

Природно, корените со непарни експоненти имаат и своја карактеристика, која во принцип не постои кај парните. Имено:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да го отстраните минусот од под знакот на корени од непарни степени. Ова е многу корисно својство што ви овозможува да ги „исфрлите“ сите недостатоци:

\[\begin(порамни) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \десно)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \крај (порамни)\]

Ова едноставно својство во голема мера поедноставува многу пресметки. Сега не треба да се грижите: што ако негативен израз е скриен под коренот, но степенот во коренот се покажа рамномерен? Доволно е само да ги „исфрлиме“ сите минуси надвор од корените, по што тие можат да се множат еден со друг, да се поделат и генерално да прават многу сомнителни работи, кои во случајот на „класичните“ корени гарантирано ќе не доведат до грешка.

И тука на сцена стапува друга дефиниција - истата со која во повеќето училишта започнуваат изучување на ирационални изрази. И без што нашето расудување би било нецелосно. Запознајте се!

Аритметички корен

Да претпоставиме за момент дека под знакот на коренот може да има само позитивни броеви или, во екстремни случаи, нула. Да заборавиме на парните/непарните показатели, да заборавиме на сите дефиниции дадени погоре - ќе работиме само со ненегативни броеви. Што тогаш?

И тогаш ќе добиеме аритметички корен - тој делумно се преклопува со нашите „стандардни“ дефиниции, но сепак се разликува од нив.

Дефиниција. Аритметички корен од $n$th степен на ненегативен број $a$ е ненегативен број $b$ таков што $((b)^(n))=a$.

Како што гледаме, повеќе не не интересира паритет. Наместо тоа, се појави ново ограничување: радикалниот израз сега е секогаш не-негативен, а самиот корен е исто така не-негативен.

За подобро да разберете како аритметичкиот корен се разликува од вообичаениот, погледнете ги графиконите на квадратната и кубната парабола со кои веќе ни се познати:

Областа за пребарување на аритметички корен - ненегативни броеви

Како што можете да видите, отсега нè интересираат само оние парчиња графикони што се наоѓаат во првата координатна четвртина - каде координатите $x$ и $y$ се позитивни (или барем нула). Повеќе не треба да го гледате индикаторот за да разберете дали имаме право да ставиме негативен број под коренот или не. Бидејќи негативните броеви повеќе не се разгледуваат во принцип.

Може да прашате: „Па, зошто ни е потребна таква кастрирана дефиниција? Или: „Зошто не можеме да се справиме со стандардната дефиниција дадена погоре?“

Па, ќе дадам само едно својство поради кое новата дефиниција станува соодветна. На пример, правилото за експоненција:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Ве молиме имајте предвид: можеме да го подигнеме радикалниот израз на која било моќност и во исто време да го помножиме коренскиот експонент со иста моќност - и резултатот ќе биде ист број! Еве примери:

\[\begin(порамни) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \крај (порамни)\]

Па што е голема работа? Зошто не можевме да го направиме ова порано? Еве зошто. Да разгледаме едноставен израз: $\sqrt(-2)$ - оваа бројка е сосема нормална во нашето класично разбирање, но апсолутно неприфатлива од гледна точка на аритметичкиот корен. Ајде да се обидеме да го конвертираме:

$\begin(порамни) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\лево(-2 \десно))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \крај (порамни)$

Како што можете да видите, во првиот случај го отстранивме минусот од под радикалот (имаме целосно право, бидејќи експонентот е непарен), а во вториот случај ја користевме горната формула. Оние. Од математичка гледна точка, сè е направено според правилата.

WTF?! Како може истиот број да биде и позитивен и негативен? Нема шанси. Само што формулата за степенување, која одлично функционира за позитивни броеви и нула, почнува да произведува целосна ерес во случај на негативни броеви.

За да се ослободи од таквата нејасност, беа измислени аритметички корени. Посебна голема лекција им е посветена, каде детално ги разгледуваме сите нивни својства. Затоа, нема да се задржиме на нив сега - лекцијата веќе се покажа како предолга.

Алгебарски корен: за оние кои сакаат да знаат повеќе

Долго размислував дали да ја ставам оваа тема во посебен пасус или не. На крајот решив да го оставам овде. Овој материјал е наменет за оние кои сакаат да ги разберат корените уште подобро - веќе не на просечно ниво на „училиште“, туку на ниво блиску до олимпијадата.

Значи: покрај „класичната“ дефиниција за $n$th корен на број и поврзаната поделба на парни и непарни експоненти, постои и „повозрасна“ дефиниција која воопшто не зависи од паритет и други суптилности. Ова се нарекува алгебарски корен.

Дефиниција. Алгебарскиот $n$th корен на кој било $a$ е множество од сите броеви $b$ така што $((b)^(n))=a$. Не постои утврдена ознака за такви корени, така што само ќе ставиме цртичка на врвот:

\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \десно. \десно\) \]

Фундаменталната разлика од стандардната дефиниција дадена на почетокот на часот е дека алгебарскиот корен не е одреден број, туку множество. И бидејќи работиме со реални броеви, овој сет доаѓа во само три вида:

  1. Празен сет. Се јавува кога треба да пронајдете алгебарски корен со парен степен од негативен број;
  2. Комплет кој се состои од еден единствен елемент. Сите корени на непарните сили, како и корените на парните сили од нула, спаѓаат во оваа категорија;
  3. Конечно, множеството може да вклучува два броја - истиот $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$ што ги видовме на графикон квадратна функција. Според тоа, таков распоред е возможен само кога се извлекува коренот на парен степен од позитивен број.

Последниот случај заслужува подетално разгледување. Ајде да наброиме неколку примери за да ја разбереме разликата.

Пример. Оценете ги изразите:

\[\ overline (\sqrt (4));\quad \overline (\sqrt (-27));\quad \overline (\sqrt (-16)).\]

Решение. Првиот израз е едноставен:

\[\ overline(\sqrt(4))=\лево\( 2;-2 \десно\)\]

Тоа се два броја кои се дел од множеството. Бидејќи секој од нив на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\лево\( -3 \десно\)\]

Овде гледаме множество кое се состои од само еден број. Ова е сосема логично, бидејќи коренскиот експонент е непарен.

Конечно, последниот израз:

\[\ overline (\sqrt (-16)) =\varnothing \]

Добивме празен сет. Бидејќи не постои ниту еден реален број кој, кога ќе се подигне на четврта (т.е. парен!) моќ, ќе ни го даде негативниот број −16.

Завршна белешка. Ве молиме имајте предвид: не случајно забележав насекаде дека работиме со реални бројки. Бидејќи има и сложени броеви - сосема е можно таму да се пресметаат $\sqrt(-16)$, и многу други чудни работи.

Сепак, сложените броеви речиси никогаш не се појавуваат во современите училишни курсеви по математика. Тие се отстранети од повеќето учебници бидејќи нашите службеници сметаат дека темата е „премногу тешка за разбирање“.

Тоа е се. Во следната лекција ќе ги разгледаме сите клучни својства на корените и конечно ќе научиме како да ги поедноставиме ирационалните изрази. :)

Повторно погледнав во знакот... И, одиме!

Да почнеме со нешто едноставно:

Само момент. ова, што значи дека можеме да го напишеме вака:

Разбрав? Еве го следниот за вас:

Дали корените на добиените броеви не се точно извлечени? Нема проблем - еве неколку примери:

Што ако нема два, туку повеќе множители? Исто! Формулата за множење корени работи со кој било број фактори:

Сега целосно самостојно:

Одговори:Добро сторено! Се согласувам, сè е многу лесно, главната работа е да се знае табелата за множење!

Поделба на коренот

Го средивме множењето на корените, сега да преминеме на својството на делење.

Дозволете ми да ве потсетам дека општата формула изгледа вака:

Што значи дека коренот на количникот е еднаков на количникот на корените.

Па, ајде да погледнеме неколку примери:

Тоа е сè што е науката. Еве еден пример:

Сè не е толку мазно како во првиот пример, но, како што можете да видите, нема ништо комплицирано.

Што ако наидете на овој израз:

Треба само да ја примените формулата во спротивна насока:

И еве еден пример:

Може да го сретнете и овој израз:

Сè е исто, само овде треба да запомните како да преведувате дропки (ако не се сеќавате, погледнете ја темата и вратете се!). Дали се сеќаваш? Сега да одлучиме!

Сигурен сум дека се справивте со сè, сега да се обидеме да ги подигнеме корените до степени.

Експоненцијација

Што се случува ако квадратниот корен е квадрат? Едноставно е, запомнете го значењето на квадратниот корен на број - ова е број чиј квадратен корен е еднаков на.

Значи, ако квадратиме број чиј квадратен корен е еднаков, што добиваме?

Па, се разбира,!

Ајде да погледнеме примери:

Едноставно е, нели? Што ако коренот е на различен степен? Во ред е!

Следете ја истата логика и запомнете ги својствата и можните дејства со степени.

Прочитајте ја теоријата на темата „“ и сè ќе ви стане исклучително јасно.

На пример, еве еден израз:

Во овој пример, степенот е парен, но што ако е непарен? Повторно, примени ги својствата на експонентите и факторизирај сè:

Се чини дека сè е јасно со ова, но како да се извлече коренот на број во моќност? Еве, на пример, ова е:

Прилично едноставно, нели? Што ако степенот е поголем од два? Ја следиме истата логика користејќи ги својствата на степените:

Па, дали е сè јасно? Потоа сами решете ги примерите:

А еве ги одговорите:

Влегување под знакот на коренот

Што не научивме да правиме со корените! Останува само да вежбате да го внесете бројот под знакот за корен!

Навистина е лесно!

Да речеме дека имаме запишан број

Што можеме да правиме со тоа? Па, се разбира, скријте ги трите под коренот, сеќавајќи се дека трите е квадратниот корен на!

Зошто ни треба ова? Да, само за да ги прошириме нашите можности при решавање на примери:

Како ви се допаѓа ова својство на корените? Дали тоа многу го олеснува животот? За мене, тоа е точно! Само Мора да запомниме дека можеме да внесеме само позитивни броеви под знакот на квадратен корен.

Решете го овој пример сами -
Дали се снајде? Ајде да видиме што треба да добиете:

Добро сторено! Успеавте да го внесете бројот под знакот за корен! Ајде да преминеме на нешто подеднакво важно - ајде да погледнеме како да споредиме броеви што содржат квадратен корен!

Споредба на корените

Зошто треба да научиме да споредуваме броеви што содржат квадратен корен?

Многу едноставно. Честопати, со големи и долги изрази што ги среќаваме на испитот, добиваме ирационален одговор (се сеќавате што е ова? Веќе разговаравме за ова денес!)

Добиените одговори треба да ги поставиме на координатната линија, на пример, за да одредиме кој интервал е погоден за решавање на равенката. И тука настанува проблемот: нема калкулатор на испитот, а без него како можете да замислите кој број е поголем, а кој помал? Тоа е тоа!

На пример, одреди што е поголемо: или?

Не можеш веднаш да кажеш. Па, ајде да го искористиме расклопуваното својство за внесување број под знакот за корен?

Потоа продолжи:

Па, очигледно, колку е поголем бројот под знакот на коренот, толку е поголем самиот корен!

Оние. ако тогаш, .

Од ова цврсто заклучуваме дека. И никој нема да не убеди во спротивното!

Извлекување корени од голем број

Пред ова, внесовме множител под знакот на коренот, но како да го отстраниме? Вие само треба да го вклучите во фактори и да го извлечете она што го извлекувате!

Беше можно да се земе поинаков пат и да се прошири во други фактори:

Не е лошо, нели? Било кој од овие пристапи е точен, одлучувајте како сакате.

Факторингот е многу корисен при решавање на такви нестандардни проблеми како што е овој:

Да не се плашиме, туку да дејствуваме! Ајде да го разложиме секој фактор под коренот на посебни фактори:

Сега пробајте сами (без калкулатор! Нема да биде на испит):

Дали е ова крајот? Да не застанеме на половина пат!

Тоа е сè, не е толку страшно, нели?

Се случи? Браво, така е!

Сега пробајте го овој пример:

Но, примерот е тврд орев за кршење, па не можете веднаш да сфатите како да му пристапите. Но, се разбира, можеме да се справиме со тоа.

Па, да почнеме со факторинг? Веднаш да забележиме дека можете да поделите број со (запомнете ги знаците на деливост):

Сега, обидете се сами (повторно, без калкулатор!):

Па, дали успеа? Браво, така е!

Ајде да го сумираме

  1. Квадратен корен (аритметички квадратен корен) на ненегативен број е ненегативен број чиј квадрат е еднаков на.
    .
  2. Ако едноставно земеме квадратен корен од нешто, секогаш добиваме еден ненегативен резултат.
  3. Својства на аритметички корен:
  4. Кога се споредуваат квадратните корени, неопходно е да се запамети дека колку е поголем бројот под знакот на коренот, толку е поголем самиот корен.

Како е квадратниот корен? Се е чисто?

Се обидовме без врева да ви објасниме се што треба да знаете на испитот за квадратниот корен.

Вие сте на ред. Пишете ни дали оваа тема ви е тешка или не.

Дали научи нешто ново или веќе се беше јасно?

Пишете во коментари и со среќа на вашите испити!

\(\sqrt(a)=b\), ако \(b^2=a\), каде \(a≥0,b≥0\)


Примери:

\(\sqrt(49)=7\), бидејќи \(7^2=49\)
\(\sqrt(0.04)=0.2\), бидејќи \(0.2^2=0.04\)

Како да се извлече квадратен корен од број?

За да го извлечете квадратниот корен на број, треба да си го поставите прашањето: кој број на квадрат ќе го даде изразот под коренот?

На пример. Извадете го коренот: a)\(\sqrt(2500)\); б) \(\sqrt(\frac(4)(9))\); в) \(\sqrt(0.001)\); г) \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)

а) Кој број на квадрат ќе даде \(2500\)?

\(\sqrt(2500)=50\)

б) Кој број на квадрат ќе даде \(\frac(4)(9)\) ?

\(\sqrt(\frac(4)(9))\) \(=\)\(\frac(2)(3)\)

в) Кој број на квадрат ќе даде \(0,0001\)?

\(\sqrt(0,0001)=0,01\)

г) Кој број на квадрат ќе даде \(\sqrt(1\frac(13)(36))\)? За да одговорите на прашањето, треба да го претворите во погрешно.

\(\sqrt(1\frac(13)(36))=\sqrt(\frac(49)(16))=\frac(7)(6)\)

Коментар: Иако \(-50\), \(-\frac(2)(3)\), \(-0.01\),\(- \frac(7)(6)\), исто така одговорете на прашањата, но тие не се земаат предвид, бидејќи квадратниот корен е секогаш позитивен.

Главното својство на коренот

Како што знаете, во математиката, секое дејство има инверзна. Собирањето има одземање, множењето делење. Инверзната вредност на квадратот го зема квадратниот корен. Затоа, овие активности се компензираат едни со други:

\((\sqrt(a))^2=a\)

Ова е главното својство на коренот, кое најчесто се користи (вклучително и во OGE)

Пример . (задача од OGE). Најдете ја вредноста на изразот \(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)\)

Решение :\(\frac((2\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot (\sqrt(6))^2)(36)=\frac(4 \cdot 6)(36 )=\frac(4)(6)=\frac(2)(3)\)

Пример . (задача од OGE). Најдете ја вредноста на изразот \((\sqrt(85)-1)^2\)

Решение:

Одговор: \(86-2\sqrt(85)\)

Се разбира, кога работите со квадратни корени, треба да користите други.

Пример . (задача од OGE). Најдете ја вредноста на изразот \(5\sqrt(11) \cdot 2\sqrt(2)\cdot \sqrt(22)\)
Решение:

Одговор: \(220\)

4 правила на кои луѓето секогаш забораваат

Коренот не се вади секогаш


Пример: \(\sqrt(2)\),\(\sqrt(53)\),\(\sqrt(200)\),\(\sqrt(0,1)\), итн. – Извлекувањето на коренот на број не е секогаш можно и тоа е нормално!


Корен на број, исто така и број

Нема потреба да се третираат \(\sqrt(2)\), \(\sqrt(53)\), на некој посебен начин. Тоа се бројки, но не и цели броеви, да, но не се во нашиот свет се мери со цели броеви.


Коренот се зема само од ненегативни броеви

Затоа, во учебниците нема да видите такви записи \(\sqrt(-23)\),\(\sqrt(-1)\), итн.

Да го земеме бројот 9. Девет се дели со 3 и резултатот е еднаков на делителот 3 => 9/3 = 3, односно 3,3 = 9 или 3 2 = 9. Да земеме друг број, на пример 27, 27 = 3.3.3 = 3 3. Така, откривме дека 9 и 27 се всушност бројот 3 со моќи 2 и 3.

Општо земено, аритметички корен (во натамошниот текст како корен) е функција која го наоѓа делителот на некој број, кој, кога ќе се подигне до моќта на коренот, повторно ни го дава резултатот тој број. Понекогаш, овој делител не е рационален број. Во принцип, коренот е инверзна функција на степенување. Но, може да се напише дури и со помош на диплома. Значи, во нашиот случај, квадратниот корен од 9 е 3, √9 и коцканиот корен од 27 е 3 = 3 √ 27

Ако a е позитивен реален број, тогаш равенката x 2 = a има две решенија: x = +√ аили x = -√ а.

$\sqrt(x)$ = $\sqrt(x)$

Ако a е реален број, тогаш равенката x 3 = a има само едно решение => x = 3√а. Квадратни и кубни равенки може да се решат со помош на равенките дадени погоре. Коренот може да се напише како степен користејќи го горенаведеното правило:

$x^(\frac(m)(n))=\sqrt[n](x^m)=(\sqrt[n](x))^m$

Формула за аритметички корен

Ако n дури:
$\sqrt[n](x^n)=x$

Ако n чудно:
$\sqrt[n](x^n)=|x|$

Пример: $\sqrt(x^3)=x$, но $\sqrt(x^4)=|x|$

$\sqrt[n](a \cdot b)=\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)$

Доказ:Ајде да го преземеме n√abшто е еднакво на (ab) 1/n, и кое, користејќи ја основната формула за моќност, може да се запише како 1/n .b 1/n, или n √ a n √ b

$\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))$

Доказ: n √ a/b = (a/b) 1/nи која, користејќи ја основната формула за степенот, може да се запише како 1/n /b 1/n , или n √ a / n √ b

$\sqrt[n](\sqrt[m](a))=\sqrt(a)$

Доказ:ако таму n√ m√aшто е еднакво на n √a 1/m, и која е еднаква на (a 1/m) 1/n и која, користејќи ја основната формула за степенот, може да се запише како 1/(m.n) , или n . m√a