Дадени се примери за пресметување на деривати со помош на формулата за извод на сложена функција.
Овде даваме примери за пресметување на деривати на следните функции:
;
;
;
;
.
Ако функцијата може да се претстави како сложена функција во следната форма:
,
тогаш неговиот дериват се одредува со формулата:
.
Во примерите подолу, оваа формула ќе ја напишеме на следниов начин:
.
Каде.
Овде, ознаките или , кои се наоѓаат под знакот за извод, ги означуваат променливите со кои се врши диференцијација.
Вообичаено, во табелите на изводи се дадени изводи на функции од променливата x. Сепак, x е формален параметар. Променливата x може да се замени со која било друга променлива. Затоа, при диференцирање на функција од променлива, едноставно ја менуваме, во табелата на изводи, променливата x во променливата u.
Едноставни примери
Пример 1
Најдете го изводот на сложена функција
.
Решение
Да ја запишеме дадената функција во еквивалентна форма:
.
Во табелата со деривати наоѓаме:
;
.
Според формулата за извод на сложена функција, имаме:
.
Еве .
Одговори
Пример 2
Најдете го изводот
.
Решение
Ја вадиме константата 5 од дериватниот знак и од табелата со деривати наоѓаме:
.
.
Еве .
Одговори
Пример 3
Најдете го изводот
.
Решение
Извадиме константа -1
за знакот на дериватот и од табелата на изводи наоѓаме:
;
Од табелата на деривати наоѓаме:
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција:
.
Еве .
Одговори
Покомплексни примери
Во посложени примери го применуваме правилото за диференцирање на сложена функција неколку пати. Во овој случај, ние го пресметуваме дериватот од крајот. Односно, ја разложуваме функцијата на нејзините составни делови и ги наоѓаме дериватите на наједноставните делови користејќи табела на деривати. Ние исто така користиме правила за разграничување на сумите, производи и фракции. Потоа правиме замени и ја применуваме формулата за извод на сложена функција.
Пример 4
Најдете го изводот
.
Решение
Ајде да го избереме наједноставниот дел од формулата и да го најдеме неговиот дериват. .
.
Овде ја користевме ознаката
.
Го наоѓаме изводот на следниот дел од оригиналната функција користејќи ги добиените резултати. Го применуваме правилото за диференцирање на збирот:
.
Уште еднаш го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
.
Еве .
Одговори
Пример 5
Најдете го изводот на функцијата
.
Решение
Ајде да го избереме наједноставниот дел од формулата и да го најдеме неговиот дериват од табелата со деривати. .
Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
.
Еве
.
И теоремата за изводот на сложена функција, чија формулација е како што следува:
Нека 1) функцијата $u=\varphi (x)$ има во одреден момент $x_0$ изводот $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) функцијата $y=f(u)$ имаат во соодветната во точката $u_0=\varphi (x_0)$ изводот $y_(u)"=f"(u)$. Тогаш сложената функција $y=f\left(\varphi (x) \right)$ во споменатата точка ќе има и извод еднаков на производот од изводите на функциите $f(u)$ и $\varphi ( x) $:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \десно)\cdot \varphi"(x_0) $$
или, пократко: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Во примерите во овој дел, сите функции имаат форма $y=f(x)$ (т.е., сметаме само функции на една променлива $x$). Според тоа, во сите примери се зема изводот $y"$ во однос на променливата $x$. За да се нагласи дека изводот се зема во однос на променливата $x$, $y"_x$ често се пишува наместо $y „$.
Примерите бр. 1, бр. 2 и бр. 3 го прикажуваат деталниот процес за пронаоѓање на изводот на сложените функции. Примерот бр. 4 е наменет за поцелосно разбирање на табелата со деривати и има смисла да се запознаете со неа.
Препорачливо е, по проучувањето на материјалот во примерите бр.1-3, да се премине на самостојно решавање на примерите бр.5, бр.6 и бр.7. Примерите #5, #6 и #7 содржат кратко решение за да може читателот да ја провери точноста на неговиот резултат.
Пример бр. 1
Најдете го изводот на функцијата $y=e^(\cos x)$.
Треба да го најдеме изводот на сложена функција $y"$. Бидејќи $y=e^(\cos x)$, тогаш $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. најдете го изводот $ \left(e^(\cos x)\right)"$ ја користиме формулата бр. 6 од деривативни табели. За да ја искористиме формулата бр. 6, треба да земеме предвид дека во нашиот случај $u=\cos x$. Понатамошното решение се состои во едноставно замена на изразот $\cos x$ наместо $u$ во формула бр. 6:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \ознака (1.1)$$
Сега треба да ја најдеме вредноста на изразот $(\cos x)"$. Повторно се свртуваме кон табелата со деривати, избирајќи ја формулата бр. 10 од неа. Заменувајќи ја $u=x$ во формулата бр. 10, имаме : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Сега да продолжиме со еднаквоста (1.1), дополнувајќи ја со пронајдениот резултат:
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \ознака (1.2) $$
Бидејќи $x"=1$, продолжуваме со еднаквоста (1.2):
$$ y"=\лево(e^(\cos x) \десно)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \ознака (1.3) $$
Значи, од еднаквоста (1.3) имаме: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Нормално, објаснувањата и средните еднаквости обично се прескокнуваат, запишувајќи го наодот на изводот во една линија. како во еднаквоста ( 1.3) Значи, изводот на сложена функција е најден, останува само да се запише одговорот.
Одговори: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Пример бр. 2
Најдете го изводот на функцијата $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
Треба да го пресметаме изводот $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За почеток, забележуваме дека константата (т.е. бројот 9) може да се извади од дериватниот знак:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)" \ознака (2.1) $$
Сега да се свртиме кон изразот $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. За да ја изберете саканата формула од деривативни табелибеше полесно, ќе го претставам дотичниот израз во оваа форма: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Сега е јасно дека потребно е да се користи формулата бр. 2 , т.е. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Во оваа формула ја заменуваме $u= \arctg(4\cdot \ ln x)$ и $\alpha=12$:
Дополнувајќи ја еднаквоста (2.1) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \ознака (2,2) $$
Во оваа ситуација, често се прави грешка кога решавачот на првиот чекор ја избира формулата $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ наместо формулата $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Поентата е дека изводот на надворешната функција мора да биде на прво место. За да разберете која функција ќе биде надворешна на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, замислете дека ја пресметувате вредноста на изразот $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ по некоја вредност $x$. Прво ќе ја пресметате вредноста на $5^x$, а потоа ќе го помножите резултатот со 4, добивајќи $4\cdot 5^x$. Сега ја земаме арктангентата од овој резултат, добивајќи $\arctg(4\cdot 5^x)$. Потоа го подигаме добиениот број до дванаесеттата сила, добивајќи $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Последната акција, т.е. подигањето на јачината од 12 ќе биде надворешна функција. И токму од ова мора да започнеме да го наоѓаме изводот, што беше направено во еднаквост (2.2).
Сега треба да најдеме $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Ја користиме формулата бр. 19 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=4\cdot \ln x$ во неа:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Ајде малку да го поедноставиме добиениот израз, земајќи го предвид $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Еднаквоста (2.2) сега ќе стане:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \ознака (2,3) $$
Останува да се најде $(4\cdot \ln x)"$. Да ја извадиме константата (т.е. 4) од знакот за извод: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. За За да најдеме $(\ln x)"$ ја користиме формулата бр. 8, заменувајќи ја $u=x$ во неа: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x „$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x) $ Заменувајќи го добиениот резултат во формулата (2.3), добиваме:
$$ y"=\лево(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \десно)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \десно)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $
Да ве потсетам дека изводот на сложена функција најчесто се наоѓа во една линија, како што е напишано во последната еднаквост. Затоа, при подготовка на стандардни пресметки или контролна работа, воопшто не е неопходно да се опише решението толку детално.
Одговори: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Пример бр. 3
Најдете $y"$ од функцијата $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
Прво, малку да ја трансформираме функцијата $y$, изразувајќи го радикалот (root) како моќност: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \десно)^(\frac(3)(7))$. Сега да почнеме да го наоѓаме дериватот. Бидејќи $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, тогаш:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\десно)" \ознака (3.1) $$
Ја користиме формулата бр. 2 од деривативни табели, заменувајќи ги $u=\sin(5\cdot 9^x)$ и $\alpha=\frac(3)(7)$ во него:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Да продолжиме со еднаквоста (3.1) користејќи го добиениот резултат:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \ознака (3.2) $$
Сега треба да најдеме $(\sin(5\cdot 9^x))"$. За ова ја користиме формулата бр. 9 од табелата со деривати, заменувајќи ја $u=5\cdot 9^x$ во неа:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Откако ја дополнивме еднаквоста (3.2) со добиениот резултат, имаме:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)" \ознака (3.3) $$
Останува да се најде $(5\cdot 9^x)"$. Прво, да ја земеме константата (бројот $5$) надвор од знакот за извод, т.е. $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. За да го пронајдете дериватот $(9^x)"$, примени ја формулата бр. 5 од табелата со деривати, заменувајќи ги $a=9$ и $u=x$ во неа: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Бидејќи $x"=1$, тогаш $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Сега можеме да продолжиме со еднаквоста (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
Можеме повторно да се вратиме од моќ до радикали (т.е. корени), пишувајќи $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ во форма $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Тогаш дериватот ќе биде напишан во оваа форма:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\десно)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$
Одговори: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Пример бр. 4
Покажете дека формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се посебен случај на формулата бр. 2 од оваа табела.
Формулата бр. 2 од табелата со деривати го содржи изводот на функцијата $u^\alpha$. Заменувајќи го $\alpha=-1$ во формула бр. 2, добиваме:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\таг (4.1)$$
Бидејќи $u^(-1)=\frac(1)(u)$ и $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, тогаш еднаквоста (4.1) може да се препише на следниов начин: $ \left(\frac(1)(u) \десно)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Ова е формула бр. 3 од табелата со деривати.
Да се свртиме повторно кон формулата бр. 2 од табелата со деривати. Ајде да го замениме $\alpha=\frac(1)(2)$ во него:
$$\лево(u^(\frac(1)(2))\десно)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\ознака (4.2) $$
Бидејќи $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ и $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac(1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, тогаш еднаквоста (4.2) може да се препише на следниов начин:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Добиената еднаквост $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ е формула бр. 4 од табелата со деривати. Како што можете да видите, формулите бр. 3 и бр. 4 од табелата со деривати се добиени од формулата бр. 2 со замена на соодветната вредност $\alpha$.