Страница 1

Изготвувањето равенки што ја рефлектираат хемиската интеракција на оксидирачки агенс и редукционо средство се сведува на одредување на коефициентите во формулите на почетните супстанции и производите на реакцијата, чиј состав е одреден од искуство.

Се препорачува да се состават равенки за одредување на бројот на критериуми така што секоја од равенките вклучува три променливи величини ab a2, a3, а останатите величини a4 и i се вклучени во равенките една по една.

Изготвувањето равенки е можно само за наједноставните предмети. Покомплексните објекти, кои ги вклучуваат повеќето објекти на нафтената индустрија, сè уште се истражуваат експериментално. Својствата на објектот што се користат во проучувањето на системите за автоматска контрола се самонивелирање, капацитет и доцнење.

Ќе составиме равенки во форма на разлика за спроводен медиум и за диелектрик, како и за еднодимензионални и дводимензионални проблеми во кои промената на вредностите на полето на растојание се случува во една или две координатни насоки, соодветно.

Составот на равенките за виртуелни варијации се демонстрира со користење на примерот на земање предвид нехолономски врски. Се покажува дека холономската равенка за спојување со параметар е идеална спојка кога го опишува обвивката. Се дискутираат правилата за виртуелна варијација на врски за две независни променливи.

Составувањето равенки има многу заедничко со овој вид на превод. Во благи случаи, вербалната формулација се распаѓа речиси механички на голем број последователни делови, од кои секој може директно да се изрази во математички симболи. Во потешки случаи, состојбата се состои од делови кои не можат директно да се преведат во математички симболи. Во овој случај, треба да посветиме помалку внимание на вербалната формулација и да го фокусираме нашето внимание на значењето на оваа формулација. Пред да продолжиме со математичката нотација, можеби ќе треба да ги формулираме условите поинаку, секогаш имајќи ги предвид математичките средства за пишување на оваа нова формулација.

Изготвувањето равенки за такви хемиски процеси не претставува никакви тешкотии.

Составот на варијационите равенки во општа форма е дискутиран подолу.

Изработка на равенка за агли на пресврт Q и определување на неговите деривати.

Изготвувањето равенки е можно само за наједноставните предмети. Покомплексните објекти, кои ги вклучуваат повеќето објекти на нафтената индустрија, сè уште се истражуваат експериментално. Својствата на објектот што се користат во проучувањето на системите за автоматска контрола се самонивелирање, капацитет и доцнење.

Аналитички изготвување равенки е можно само за релативно едноставни предмети, процеси или физички феномени во кои се доволно добро проучени. Во општиот случај, динамичките својства на контролираните објекти се опишани со диференцијални равенки кои ја изразуваат зависноста помеѓу излезните и влезните количини во времето. Овие равенки се составени врз основа на физички закони кои одредуваат минливи процеси во објектите.

Изготвување равенки (6 - 58) и нивно решавање за А и Б. Може да се наведе општ метод за решавање на овој проблем под услов А и Б да влезат во равенката линеарно.

Решенија за текстуални проблеми кои вклучуваат составување равенкиќе биде корисно пред се за учениците од училиштата. Наставната програма за 9 и 10 одделение опфаќа широка класа на проблеми кои бараат идентификување на непознати, создавање равенка и нивно решавање. Подолу е само мал дел од можните проблеми и методологијата за нивните пресметки.

Пример 1. Првиот велосипедист секоја минута патува 50 метри помалку од вториот, па на патувањето од 120 километри поминува 2 часа повеќе од вториот. Најдете ја брзината на вториот велосипедист (во км на час).
Решение: Задачата е тешка за многумина, но во реалноста сè е едноставно.
Под фразата „Патува 50 метри помалку секоја минута“ се крие брзина од 50 m/min. Бидејќи останатите податоци се во км и часови, 50 m/min ги претвораме во km/h.
50/1000*60=3000/1000=3 (км/ч).
Да ја означиме брзината на вториот велосипедист со V, а времето на движење со t.
Помножувајќи ја брзината со времето на движење, ја добиваме патеката
V*t=120.
Првиот велосипедист вози побавно и затоа трае подолго. Ја составуваме соодветната равенка на движење
(V-3) (t+2)=120.
Имаме систем од две равенки со две непознати.
Од првата равенка го изразуваме времето на движење и го заменуваме со втората
t=120/V; (V-3) (120/V+2)=120.
По множење со V/2 и групирање слични членови, можеме да ја добиеме следната квадратна равенка
V^2-3V-180=0.
Ја пресметуваме дискриминантата на равенката
Д=9+4*180=729=27*27
и корени
V=(3+27)/2=15;
V=(3-27)/2=-12.
Ние го отфрламе вториот, тој нема физичко значење. Пронајдената вредност V = 15 km/h е брзината на вториот велосипедист.
Одговор: 15 km/h.

Пример 2. Морската вода содржи 5% сол по маса. Колку свежа вода треба да се додаде на 30 кг морска вода за да се намали концентрацијата на сол за 70%?
Решение: Најдете колку сол има во 30 кг морска вода
30*5/100=1,5 (кг).
Во новото решение ова ќе биде
(100%-70%) = 30% од 5%, сочинуваат пропорции
5% – 100%
X – 30%.
Спроведување на пресметки
X=5*30/100=150/100=1,5%.
Така, 1,5 kg сол одговара на 1,5% во новиот раствор. Повторно собирање на пропорциите
1,5 – 1,5% Y – 100% .
Наоѓање на масата на растворот на морската вода
Y=1,5*100/1,5=100 (kg).
Одземете ја масата на солена вода за да ја пронајдете количината на свежа вода
100-30=70 (кг).
Одговор: 70 кг свежа вода.

Пример 3. Мотоциклистот доцнеше на бариерата 24 минути. Потоа, зголемувајќи ја брзината за 10 километри на час, доцнеше на потегот од 80 километри. Одредете ја брзината на мотоциклистот пред да успорите (во км на час).
Решение: Задача на составување равенка за брзина. Почетната брзина на мотоциклистот да ја означиме со V, а времето за кое требаше да патува со т. Има две непознати, затоа мора да има и 2 равенки. Според условот, за ова време морал да помине 80 километри.
V*t=80 (km) .
Одложеното значи дека времето е намалено за 24 минути. Исто така, вреди да се напомене дека при вакви проблеми времето мора да се претвори во часови или минути (во зависност од состојбата) и потоа да се реши. Ја составуваме равенката на движење земајќи го предвид помалку време и поголема брзина
(V+10)(t-24/60)=80.
Постојат две равенки за одредување на времето и брзината. Бидејќи проблемот бара брзина, ќе го изразиме времето од првата равенка и ќе го замениме со втората
t=80/V;
(V+10) (80/V-24/60)=80.
Нашата цел е да ве научиме како да креирате равенки за проблеми од кои можете да ги одредите потребните количини.
Затоа, без да навлегуваме во детали, добиената равенка со множење со 60 * V и делење со 24 може да се намали на следната квадратна равенка
V^2+10*V-2000=0.
Пронајдете ги сами дискриминаторот и корените на равенката. Треба да ја добиете вредноста
V=-50;
V=40.
Ја отфрламе првата вредност, таа нема физичко значење. Вториот V = 40 km/h е саканата брзина на мотоциклистот.
Одговор: 40 km/h.

Пример 4. Товарниот воз на пат доцнел 12 минути, а потоа на оддалеченост од 112 километри го надополнил изгубеното, зголемувајќи ја брзината за 10 км/ч. Најдете ја почетната брзина на возот (во km/h).
Решение: Имаме проблем во кој непознати се брзината на возот V и времето на патување т.
Бидејќи проблемот според шемата со равенки одговара на претходната, пишуваме две равенки за непознатите
V*t=112;
(V+10)*(t-12/60)=112.
Равенките треба да бидат напишани токму со оваа нотација. Ова ни овозможува да го изразиме времето на едноставен начин од првата равенка
t =112/V
и, заменувајќи го вториот, ја добиваме равенката само за брзина
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
Ако изберете погрешна нотација, можете да добиете равенка за непознатите од овој тип
V*(t+12)=112;
(V+10)*t=112.
Овде t одговара на времето по зголемувањето на брзината за 10 km/h, но тоа не е поентата. Дадените равенки се исто така точни, но не се погодни од пресметковна гледна точка.
Обидете се да ги решите првите две равенки и последните и ќе разберете дека втората шема треба да се избегнува при составување равенки. Затоа, размислете добро каква нотација внесувате за да го минимизирате бројот на пресметки.
Добиената равенка
(V+10)*(112/ V -12/60)=112.
сведе на квадратна равенка (множи со 60*V/12)
V^2+10*V-5600=0.
Без да навлегуваме во средни пресметки, корените ќе бидат
V=-80;
V=70.
Кај проблемите од овој тип секогаш добиваме негативен корен (V=-80) кој треба да се отфрли. Брзината на возот е 70 km/h.

Пример 5. Откако тргнал од автобуската станица 10 минути подоцна, автобусот возел до првата станица со брзина од 16 км/ч повеќе од предвидената и пристигнал на време. Колкава брзина (во км/час) треба да има автобусот според распоредот ако растојанието од автобуската станица до првата станица е 16 километри?
Решение: Непознатите се брзината на магистралата V и времето t.
Создаваме равенка, земајќи предвид дека времето на доцнење е одредено во минути, а не во часови
V * t = 16 - вака автобусот требаше да патува како и обично;
(V + 16) (t-10/60) = 16 е равенката на движење поради доцното поаѓање на автобусот.
Има две равенки и две непознати.
Да го изразиме времето од првата равенка и да го замениме со втората
t=16/V;
(V+16) (16/V-1/6)=16.
Добиената равенка за брзина е сведена на квадратна (*6*V)
V^2+16*V-1536=0.
Корените на квадратната равенка се
V=32; V=-48.
Потребната брзина на автобусот е 32 km/h.
Одговор: 32 km/h.

Пример 6. Возачот на автомобилот застанал да смени гума 12 минути. После тоа, со зголемување на брзината за 15 km/h го надополни времето поминато на 60 километри. Со која брзина (во км/ч) се движеше откако застана?
Решение: Алгоритмот за решавање на проблемот беше даден неколку пати во претходните примери. Брзината и времето стандардно ги означуваме со V, t.
Кога ја пишувате равенката, не заборавајте да ги претворите минутите во часови. Системот на равенки ќе изгледа вака
V*t=60;
(V+15)(t-12/60)=60.
Исто така, треба да знаете или запаметите понатамошни манипулации.
t=60/V;
(V+15)(60/V -12/60)=60.
Оваа равенка може да се сведе на квадратна равенка
V^2+15*V-4500=0.
Откако ја решивме квадратната равенка, ги добиваме следните вредности на брзината
V=60; V=-75.
Брзината не може да биде негативна, така што единствениот точен одговор е V=60 km/h.

Пример 7. Одреден двоцифрен број е 4 пати поголем од збирот и 3 пати поголем од производот на неговите цифри. Најдете го овој број.
Решение: Проблемите со броеви заземаат важно место меѓу проблемите за составување равенки и не можат да бидат помалку интересни во конструирањето решенија од задачите со брзина. Сè што ви треба е добро да го разберете проблемот. Да го означиме бројот со ab, односно бројот е еднаков на 10 * a + b. Врз основа на условот, создаваме систем на равенки
10*а+б=4*(а+б);
10*а+б=3*а*б.
Бидејќи непознатите влегуваат во првата равенка линеарно, ја запишуваме и изразуваме една од непознатите преку друга
10*а+б-4*а-4*б=0;
6*а-3*б=0; b=2*a.
Заменете го b = 2 * a во втората равенка
10*а+2*а=3*а*2*а;
6*a2-12*a=0; a(a-2)=0.
Оттука a=0; a=2. Нема смисла да се земе предвид првата вредност ако a=2, втората цифра е еднаква на b=2*a=2*2=4, а потребниот број е 24.
Одговор: бројот е 24.

Ајде да разговараме за тоа како да создадеме хемиска равенка, бидејќи тие се главните елементи на оваа дисциплина. Благодарение на длабокото разбирање на сите модели на интеракции и супстанции, можете да ги контролирате и да ги примените во различни области на активност.

Теоретски карактеристики

Составувањето хемиски равенки е важна и одговорна фаза, која се разгледува во осмо одделение во средните училишта. Што треба да ѝ претходи на оваа фаза? Пред наставникот да им каже на своите ученици како да креираат хемиска равенка, важно е да ги запознае учениците со поимот „валентност“ и да ги научи да ја одредат оваа вредност за металите и неметалите користејќи го периодниот систем на елементи.

Компилација на бинарни формули по валентност

За да разберете како да креирате хемиска равенка по валентност, прво треба да научите како да креирате формули за соединенија што се состојат од два елементи користејќи валентност. Предлагаме алгоритам кој ќе помогне да се справите со задачата. На пример, треба да креирате формула за натриум оксид.

Прво, важно е да се земе предвид дека хемискиот елемент што се споменува последен во името треба да биде на прво место во формулата. Во нашиот случај, прво во формулата ќе се напише натриум, второ кислород. Да потсетиме дека оксидите се бинарни соединенија во кои последниот (втор) елемент мора да биде кислород со состојба на оксидација од -2 (валентност 2). Следно, користејќи го периодниот систем, неопходно е да се одреди валентноста на секој од двата елементи. За да го направите ова, користиме одредени правила.

Бидејќи натриумот е метал кој се наоѓа во главната подгрупа од групата 1, неговата валентност е константна вредност, таа е еднаква на I.

Кислородот е неметал, бидејќи е последниот во оксидот што ја одредува неговата валентност, од осум (бројот на групи) одземаме 6 (групата во која се наоѓа кислородот), ја добиваме таа валентност на кислородот; е II.

Помеѓу одредени валенции го наоѓаме најмалиот заеднички множител, а потоа го делиме со валентноста на секој од елементите за да ги добиеме нивните индекси. Ја запишуваме готовата формула Na 2 O.

Упатство за составување равенка

Сега да разговараме подетално за тоа како да напишете хемиска равенка. Прво, да ги погледнеме теоретските аспекти, а потоа да преминеме на конкретни примери. Значи, составувањето хемиски равенки претпоставува одредена процедура.

• 1-ва фаза. Откако ќе ја прочитате предложената задача, треба да одредите кои хемикалии треба да бидат присутни на левата страна од равенката. Знакот „+“ е поставен помеѓу оригиналните компоненти.
• 2-та фаза. По знакот за еднаквост, треба да креирате формула за производот на реакцијата. При извршување на такви дејства, ќе ви треба алгоритам за составување формули за бинарни соединенија, за кој разговаравме погоре.
• 3-та фаза. Го проверуваме бројот на атоми на секој елемент пред и по хемиската интеракција, доколку е потребно, ставаме дополнителни коефициенти пред формулите.

Пример за реакција на согорување

Ајде да се обидеме да откриеме како да создадеме хемиска равенка за согорување на магнезиум користејќи алгоритам. На левата страна од равенката го запишуваме збирот на магнезиум и кислород. Не заборавајте дека кислородот е диатомска молекула, затоа мора да му се даде индекс 2. По знакот за еднаквост, ја составуваме формулата за производот добиен по реакцијата. Тоа ќе биде во кое прво се пишува магнезиум, а второ кислородот во формулата. Следно, користејќи ја табелата со хемиски елементи, ги одредуваме валентите. Магнезиумот, кој е во групата 2 (главната подгрупа), има константна валентност II за кислород, со одземање 8 - 6 добиваме и валентност II.

Записот за процесот ќе изгледа вака: Mg+O 2 =MgO.

За да може равенката да се усогласи со законот за зачувување на масата на супстанции, неопходно е да се подредат коефициентите. Прво, ја проверуваме количината на кислород пред реакцијата, откако ќе заврши процесот. Бидејќи имаше 2 атоми на кислород, но беше формиран само еден, мора да се додаде коефициент од 2 на десната страна пред формулата за магнезиум оксид Следно, го броиме бројот на атоми на магнезиум пред и по процесот. Како резултат на интеракцијата, добиени се 2 магнезиум, затоа, на левата страна пред едноставната супстанција магнезиум, потребен е и коефициент 2.

Краен тип на реакција: 2Mg+O 2 =2MgO.

Пример за реакција на замена

Секое резиме на хемијата содржи опис на различни типови на интеракции.

За разлика од соединението, во замена ќе има две супстанции и од левата и од десната страна на равенката. Да речеме дека треба да ја напишеме реакцијата на интеракција помеѓу цинкот и Го користиме стандардниот алгоритам за пишување. Прво, на левата страна преку збирот ги запишуваме цинкот и хлороводородната киселина, а на десната страна ги запишуваме формулите за добиените производи од реакцијата. Бидејќи цинкот се наоѓа пред водородот во електрохемиската напонска серија на метали, во овој процес тој го поместува молекуларниот водород од киселината и формира цинк хлорид. Како резултат на тоа, го добиваме следниот запис: Zn+HCL=ZnCl 2 +H 2.

Сега преминуваме кон изедначување на бројот на атоми на секој елемент. Бидејќи на левата страна на хлорот имаше еден атом, а по интеракцијата имаше два, потребно е да се стави фактор 2 пред формулата на хлороводородна киселина.

Како резултат на тоа, добиваме готова равенка за реакција која одговара на законот за зачувување на масата на супстанциите: Zn+2HCL=ZnCl 2 +H 2 .

Заклучок

Типична хемиска белешка нужно содржи неколку хемиски трансформации. Ниту еден дел од оваа наука не е ограничен на едноставен вербален опис на трансформациите, процесите на растворање, испарување, сè е нужно потврдено со равенки. Специфичноста на хемијата лежи во фактот дека сите процеси што се случуваат помеѓу различни неоргански или органски супстанции може да се опишат со користење на коефициенти и индекси.

Како инаку хемијата се разликува од другите науки? Хемиските равенки помагаат не само да се опишат трансформациите што се случуваат, туку и да се извршат квантитативни пресметки врз основа на нив, благодарение на што е можно да се изврши лабораториско и индустриско производство на различни супстанции.

54. Проблеми кои вклучуваат составување равенки со една непозната:

Можеме да ги примениме вештините за решавање равенки за решавање проблеми. Следниве примери ќе ви покажат како да го направите тоа.

Задача 1. Куќата беше на продажба. Еден купувач имал сума на пари еднаква на ¾ од неговата вредност, а другиот имал сума еднаква на 5/6 од неговата вредност. Ако се соберат заедно, би имале вишок од 7.000 рубли. Која е цената на куќата?

Да претпоставиме дека куќата чини x рубли. Потоа (во согласност со почетокот на проблемот) првиот купувач имаше (x · ¾) рубли. или, што е исто, 3x/4 рубли, а вториот имаше 5x/6 рубли. Следната фраза е состојбата на проблемот, имено, „ако се соберат заедно, би имале вишок од 7.000 рубли“. - е равенка изразена со зборови: сега е неопходно да се изрази не со зборови, туку со математички симболи. Прво, да земеме слична фраза во поедноставена форма: „ако ги додадете броевите a и b, тогаш добиената сума ќе даде вишок m во однос на бројот c“ - оваа фраза може да се препише во математички симболи како ова: a + b = c + m.

Равенката во нашиот проблем може да се напише на ист начин: ако ги собереме броевите 3x/4 и 5x/6, добиената сума ќе даде вишок од 7000 над бројот x, или
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.

Добиената равенка треба да се поедностави: 1) да се помножат двете страни на равенката со заедничкиот именител 12 - добиваме

9x + 10x = 12x + 84000

2) Поместете ги непознатите поими на левата страна:

9x + 10x – 12x = 84000

Сега можеме да одговориме на проблемот:

Цената на куќата беше 12.000 рубли.

Задача 2. Од настава во понеделник отсуствувале 13 ученици, а во вторник 5 ученици. Односот на бројот на присутни студенти во понеделник со бројот на присутни студенти во вторник беше 7/9. Колку ученици имаше во овој клас?

Да претпоставиме дека во класот има вкупно x ученици. Потоа во понеделникот присуствуваа (x – 13), а во вторник (x – 5) студенти. Фразата „односот на бројот на присутни ученици во понеделник со бројот присутни во вторник беше 7/9“ е равенка изразена со зборови и може да се препише со математички симболи:

(x – 13) / (x – 5) = 7/9.

Да ја решиме оваа равенка:

9 (x – 13) = 7 (x – 5) или 9x – 117 = 7x – 35.

Од тука добиваме: 2x = 82 и x = 41.
Значи, во оваа паралелка имало 41 ученик.

Задача 3. Најдете дропка чиј именител е за 3 повеќе од броителот и кој станува 4/5 ако од неговиот броител и именителот одземе 1.

Оваа задача е малку поинаква од претходните. Потребно е „пронаоѓање на дропка“, но би било невозможно да се започне со решавање на проблемот како што тоа го правеа во 1-ви и 2-ри задачи: да претпоставиме дека бараната дропка е еднаква на x. Би било невозможно да се започне вака бидејќи проблемот се занимава одделно со броителот и одделно со именителот: треба да одземете 1 одделно од броителот и одделно од именителот. Затоа, потребно е да се означи дропката на таков начин што и неговиот броител и именител се видливи. Бидејќи се вели дека именителот е за 3 повеќе од броителот, со буквата x можеме да го означиме или броителот или именителот - тогаш лесно е да се најде израз за другиот член на дропката и за самата дропка.

Еве го решението на проблемот.

Да претпоставиме дека броителот на саканата дропка е еднаков на x. Тогаш неговиот именител е x + 3, а саканата дропка е x/(x+3). Фразата „која (т.е. дропка) станува 4/5 кога 1 ќе се одземе од неговиот броител и именител“ е равенка и може да се напише математички:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 или (x – 1) / (x + 2) = 4/5.

5 (x – 1) = 4 (x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.

Тогаш именителот на дропката е 16, а саканата дропка е 13/16.

Задача 4. Едниот брат е 14 години постар од другиот, а за 6 години ќе биде 2 пати постар. Колку години има секој брат?

Овде треба да дадете два одговора: колку години има помалиот брат и колку години е постариот, но проблемот може да се реши со равенка со 1 непозната, бидејќи се вели дека постариот брат е 14 години постар од помалиот еден. Ајде да го решиме проблемот вака:

Да претпоставиме дека помалиот брат има x години; тогаш најстариот има (x + 14) години.

За 6 години, помалиот брат ќе има (x + 6) години, а постариот ќе има (x + 14 + 6) години или (x + 20) години.

Се вели дека постариот тогаш (за 6 години) ќе биде 2 пати постар од помладиот, т.е. бројот x + 20 мора да биде 2 пати поголем од x + 6, а тоа може да се напише како

(x + 20) / (x + 6) = 2 или x + 20 = 2 (x + 6) или (x + 20) / 2 = x + 6.

Најприродната нотација е првата: за да откриете колку пати еден број е поголем од друг, треба да се подели; треба да откриеме колку пати бројот (x + 20) е поголем од бројот (x + 6) - за ова треба да се подели (x + 20) со (x + 6) и да ни го кажеме одговорот “ двапати“. Затоа, пишуваме дека од оваа поделба го добиваме бројот 2, односно (x + 20) / (x + 6) = 2.

Вториот запис може да се објасни на следниов начин: ни е кажано дека бројот (x + 20) мора да биде 2 пати поголем од бројот (x + 6). За да се изедначат овие броеви, потребно е помалиот од нив, т.е. x + 6, да се помножи со 2. Потоа x + 20 = 2(x + 6).

Потоа ознаката се објаснува на следниов начин: за да ги изедначите броевите x + 20 и x + 6, треба да го намалите поголемиот од нив за 2 пати, а потоа (x + 20) / 2 = x + 6.

Ако го земеме првиот запис

(x + 20) / (x + 6) = 2

и помножете ги двете страни на равенката со x + 6, добиваме

x + 20 = 2 (x + 6)

односно вториот запис. Исто така, лесно е да се добие 2-ри или 1-ви записи од третиот запис, итн.

Во секој случај, откако ќе ја ослободиме равенката од дропки, добиваме

x + 20 = 2 (x + 6)

и лесно решете ја равенката:

x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x или x = 8.

Значи, помалиот брат има 8 години, а постариот е 8 + 14 = 22 години.

Задача 5. Купивме шеќер и кафе, вкупно 28 фунти; за килограм шеќер платиле 15 копејки, а за фунта кафе 80 копејки, но за целокупното купување платиле 12 рубли. Колку шеќер купивте и колку кафе купивте?

Тешкотијата овде може да биде што во услови на проблемот, бројките се дадени или во копејки или во рубли. Мора однапред да се утврди во кои единици, во рубли или копејци, ќе се донесе одлуката. Ајде да го решиме проблемот во рубли. Тогаш решението е:

Да речеме дека сте купиле x фунти шеќер. Потоа купивме (28 – x) килограми кафе.

За шеќер плаќале (15x) копејки или (3/20) x рубли (бидејќи 15 копејки се еднакви на 3/20 рубли), а за кафе плаќале 80 (28 – x) копејки. или 4/5 (28 – x) тријте. (од 80 копејци = 4/5 рубли).
Фразата „платиле 12 рубли за целото купување“. може да се напише:

3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12

[Ако се реши во копејци, равенката би била 15x + 80(28 – x) = 1200].

Да ја ослободиме равенката од дропки, за кои ги множиме двата дела со 20 и добиваме:

3x + 16(28 – x) = 240

3x + 448 - 16x = 240

3x – 16x = 240 – 448

–13x = –208,

Значи, купивме 16 фунти шеќер и 12 фунти кафе (28 – 16 = 12).

Равенка на права линија на рамнина.
Векторот на насоката е правилен. Нормален вектор

Правата линија на рамнина е една од наједноставните геометриски фигури, позната ви од основно училиште, а денес ќе научиме како да се справиме со неа користејќи ги методите на аналитичка геометрија. За да го совладате материјалот, мора да бидете во можност да изградите права линија; знаете која равенка дефинира права линија, особено права линија што минува низ потеклото на координатите и прави паралелни со координатните оски. Оваа информација може да се најде во прирачникот Графикони и својства на елементарните функции, го создадов за Mathan, но делот за линеарната функција се покажа како многу успешен и детален. Затоа, драги чајници, прво загрејте се таму. Покрај тоа, треба да имате основни познавања за вектори, во спротивно разбирањето на материјалот ќе биде нецелосно.

Во оваа лекција ќе разгледаме начини на кои можете да креирате равенка на права линија на рамнина. Препорачувам да не се занемаруваат практичните примери (дури и да изгледаат многу едноставни), бидејќи ќе им дадам елементарни и важни факти, технички техники што ќе бидат потребни во иднина, вклучително и во другите делови од вишата математика.

• Како да се напише равенка на права линија со коефициент на агол?
• Како ?
• Како да се најде вектор на насока користејќи ја општата равенка на права линија?
• Како да се напише равенка на права линија дадена точка и нормален вектор?

и започнуваме:

Равенка на права линија со наклон

Се нарекува добро познатата „училишна“ форма на равенка на права линија равенка на права линија со наклон. На пример, ако со равенката е дадена права линија, тогаш нејзиниот наклон е: . Да го разгледаме геометриското значење на овој коефициент и како неговата вредност влијае на локацијата на линијата:

На курс по геометрија тоа е докажано наклонот на правата линија е еднаков на тангента на аголотпомеѓу насоката на позитивната оскаи оваа линија: , а аголот се „одвртува“ спротивно од стрелките на часовникот.

За да не го натрупувам цртежот, нацртав агли само за две прави линии. Да ја разгледаме „црвената“ линија и нејзиниот наклон. Според горенаведеното: (аголот „алфа“ е означен со зелен лак). За „сината“ права линија со коефициентот на аголот, еднаквоста е точно (аголот „бета“ е означен со кафеав лак). И ако тангентата на аголот е позната, тогаш ако е потребно лесно е да се најде и самиот аголкористејќи ја инверзната функција - арктангенс. Како што велат, тригонометриска табела или микрокалкулатор во ваши раце. Така, аголниот коефициент го карактеризира степенот на наклонетост на правата линија кон оската на апсцисата.

Можни се следниве случаи:

1) Ако наклонот е негативен: тогаш линијата, грубо кажано, оди од врвот до дното. Примери се правите линии „сини“ и „малини“ на цртежот.

2) Ако наклонот е позитивен: тогаш линијата оди од дното кон врвот. Примери - „црни“ и „црвени“ прави линии на цртежот.

3) Ако наклонот е нула: , тогаш равенката добива форма , а соодветната права линија е паралелна со оската. Пример е „жолтата“ права линија.

4) За фамилија на прави паралелни на оска (нема пример на цртежот, освен самата оска), аголниот коефициент не постои (тангента од 90 степени не е дефинирана).

Колку е поголем коефициентот на наклон во апсолутна вредност, толку е поостар графикот на права линија..

На пример, разгледајте две прави линии. Овде, значи, правата линија има поостра падина. Дозволете ми да ве потсетам дека модулот ви овозможува да го игнорирате знакот, само ние сме заинтересирани апсолутни вредностиаголни коефициенти.

За возврат, правата линија е поостра од правите линии .

Спротивно на тоа: колку е помал коефициентот на наклон во апсолутна вредност, толку е порамна правата линија.

За прави линии нееднаквоста е вистинита, така што правата линија е порамна. Детски тобоган, за да не си задавате модрици и испакнатини.

Зошто е ова потребно?

Продолжете го вашето мачење Познавањето на горенаведените факти ви овозможува веднаш да ги видите вашите грешки, особено грешките при конструирање графикони - ако цртежот се покаже дека „очигледно нешто не е во ред“. Препорачливо е дека вие веднашбеше јасно дека, на пример, правата линија е многу стрмна и оди од дното кон врвот, а правата е многу рамна, притисната блиску до оската и оди од врвот до дното.

Во геометриските проблеми, често се појавуваат неколку прави линии, па затоа е погодно да се назначат некако.

Ознаки: правите линии се означени со мали латински букви: . Популарна опција е да се назначат со користење на истата буква со природни претплати. На пример, петте линии што штотуку ги погледнавме може да се означат со .

Бидејќи секоја права линија е уникатно одредена со две точки, таа може да се означи со овие точки: итн. Ознаката јасно имплицира дека точките припаѓаат на линијата.

Време е малку да се загрееме:

Како да се напише равенка на права линија со коефициент на агол?

Ако точка која припаѓа на одредена права и аголниот коефициент на оваа права се познати, тогаш равенката на оваа права се изразува со формулата:

Пример 1

Напиши равенка на права линија со аголен коефициент ако се знае дека точката припаѓа на оваа права линија.

Решение: Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи ја формулата . Во овој случај:

Одговори:

Испитувањесе прави едноставно. Прво, ја гледаме добиената равенка и се уверуваме дека нашиот наклон е на место. Второ, координатите на точката мора да ја задоволуваат оваа равенка. Ајде да ги приклучиме во равенката:

Се добива точно еднаквост, што значи дека точката ја задоволува добиената равенка.

Заклучок: Равенката е пронајдена правилно.

Посложен пример за решавање самостојно:

Пример 2

Напишете равенка за права линија ако се знае дека нејзиниот агол на наклон кон позитивната насока на оската е , а точката припаѓа на оваа права линија.

Ако имате какви било тешкотии, повторно прочитајте го теоретскиот материјал. Поточно, попрактично, прескокнувам многу докази.

Заѕвони последното ѕвонче, заврши церемонијата на дипломирање, а пред портите на нашето родно училиште не очекува самата аналитичка геометрија. Шегите завршија... Или можеби тие само што почнуваат =)

Носталгично мавтаме со пенкалото кон познатото и се запознаваме со општата равенка на права линија. Бидејќи во аналитичката геометрија се користи токму ова:

Општата равенка на права линија има форма: , каде има некои бројки. Во исто време, коефициентите истовременоне се еднакви на нула, бидејќи равенката го губи своето значење.

Ајде да се облечеме во костум и да ја врземе равенката со коефициентот на наклон. Прво, да ги преместиме сите поими на левата страна:

Терминот со „Х“ мора да се стави на прво место:

Во принцип, равенката веќе ја има формата , но според правилата на математичката бонтон, коефициентот на првиот член (во овој случај) мора да биде позитивен. Промена на знаци:

Запомнете ја оваа техничка карактеристика!Првиот коефициент (најчесто) го правиме позитивен!

Во аналитичката геометрија, равенката на права линија речиси секогаш ќе биде дадена во општа форма. Па, доколку е потребно, лесно може да се сведе на „училишна“ форма со аголен коефициент (со исклучок на прави линии паралелни на оската на ординатите).

Да се ​​запрашаме што доволнознаете да изградите права линија? Две точки. Но, повеќе за овој инцидент од детството, сега владее со стрелките. Секоја права линија има многу специфичен наклон, на кој лесно се „прилагоди“. вектор.

Вектор кој е паралелен на права се нарекува вектор на насока на таа права. Очигледно е дека секоја права линија има бесконечен број на вектори на насока и сите ќе бидат колинеарни (конасочни или не - не е важно).

Векторот на насока ќе го означам на следниов начин: .

Но, еден вектор не е доволен за да се изгради права линија, векторот е слободен и не е врзан за ниту една точка на рамнината. Затоа, дополнително е неопходно да се знае некоја точка што припаѓа на линијата.

Како да се напише равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока?

Ако се знае одредена точка што припаѓа на права и векторот на насоката на оваа права, тогаш равенката на оваа линија може да се состави со формулата:

Понекогаш се нарекува канонска равенка на правата .

Што да се прави кога една од координатитее еднакво на нула, ќе разбереме во практични примери подолу. Патем, забележете - и двете одеднашкоординатите не можат да бидат еднакви на нула, бидејќи нултиот вектор не одредува одредена насока.

Пример 3

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока

Решение: Ајде да ја составиме равенката на права линија користејќи ја формулата. Во овој случај:

Користејќи ги својствата на пропорцијата, се ослободуваме од фракциите:

И ја доведуваме равенката во нејзината општа форма:

Одговори:

Како по правило, нема потреба да се прави цртеж во такви примери, туку заради разбирање:

На цртежот ја гледаме почетната точка, оригиналниот вектор на насока (може да се нацрта од која било точка на рамнината) и конструираната права линија. Патем, во многу случаи најзгодно е да се изгради права линија користејќи равенка со аголен коефициент. Лесно е да се трансформира нашата равенка во форма и лесно да се избере друга точка за да се изгради права линија.

Како што беше забележано на почетокот на параграфот, права линија има бесконечно многу вектори на насока, и сите од нив се колинеарни. На пример, нацртав три такви вектори: . Без оглед на векторот на насоката што ќе го избереме, резултатот секогаш ќе биде иста равенка на права линија.

Ајде да создадеме равенка на права линија користејќи точка и вектор на насока:

Решавање на пропорцијата:

Поделете ги двете страни со –2 и добијте ја познатата равенка:

Заинтересираните можат да тестираат вектори на ист начин или кој било друг колинеарен вектор.

Сега да го решиме инверзниот проблем:

Како да се најде вектор на насока користејќи ја општата равенка на права линија?

Многу едноставно:

Ако правата е дадена со општа равенка во правоаголен координатен систем, тогаш векторот е векторот на насоката на оваа права.

Примери за наоѓање на вектори на правци:

Изјавата ни овозможува да најдеме само еден вектор на насока од бесконечен број, но не ни треба повеќе. Иако во некои случаи се препорачува да се намалат координатите на векторите на насоката:

Така, равенката одредува права линија која е паралелна со оската и координатите на добиениот векторот на насока се погодно поделени со –2, добивајќи го токму основниот вектор како вектор на насока. Логично.

Слично на тоа, равенката одредува права линија паралелна на оската, и со делење на координатите на векторот со 5, го добиваме единечниот вектор како вектор на насока.

Сега ајде да го направиме тоа проверка на Пример 3. Примерот отиде нагоре, па ве потсетувам дека во него ја составивме равенката на права линија користејќи вектор на точка и насока

Прво, користејќи ја равенката на правата линија, го реконструираме неговиот вектор на насока: – сè е во ред, го добивме оригиналниот вектор (во некои случаи резултатот може да биде колинеарен вектор на оригиналниот, а тоа обично лесно се забележува според пропорционалноста на соодветните координати).

Второ, координатите на точката мора да ја задоволуваат равенката. Ги заменуваме во равенката:

Добиена е правилна еднаквост, за што сме многу среќни.

Заклучок: Задачата е правилно завршена.

Пример 4

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока

Ова е пример за да го решите сами. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата. Многу е препорачливо да се провери користејќи го штотуку дискутираниот алгоритам. Обидете се секогаш (ако е можно) да проверувате нацрт. Глупаво е да се прават грешки каде што може 100% да се избегнат.

Во случај една од координатите на векторот на насоката да биде нула, постапете многу едноставно:

Пример 5

Решение: Формулата не е соодветна бидејќи именителот на десната страна е нула. Има излез! Користејќи ги својствата на пропорцијата, ја препишуваме формулата во форма, а остатокот се тркала по длабока рутина:

Одговори:

Испитување:

1) Вратете го насочувачкиот векторот на линијата:
– добиениот вектор е колинеарен со оригиналниот вектор на насока.

2) Заменете ги координатите на точката во равенката:

Се добива точната еднаквост

Заклучок: задачата е правилно завршена

Се поставува прашањето, зошто да се замарате со формулата ако постои универзална верзија која ќе функционира во секој случај? Постојат две причини. Прво, формулата е во форма на дропка многу подобро запаметен. И второ, недостаток на универзалната формула е тоа ризикот од збунетост значително се зголемувапри замена на координати.

Пример 6

Напишете равенка за права линија користејќи точка и вектор на насока.

Ова е пример за да го решите сами.

Да се ​​вратиме на сеприсутните две точки:

Како да се напише равенка на права линија користејќи две точки?

Ако се познати две точки, тогаш равенката на права линија што минува низ овие точки може да се состави со формулата:

Всушност, ова е еден вид формула и еве зошто: ако се познати две точки, тогаш векторот ќе биде векторот на насоката на дадената права. На лекцијата Вектори за куклиго разгледавме наједноставниот проблем - како да се најдат координатите на векторот од две точки. Според оваа задача, координатите на векторот на насоката се:

Забелешка : точките може да се „заменат“ и формулата може да се користи . Таквото решение ќе биде еквивалентно.

Пример 7

Напишете равенка на права линија користејќи две точки .

Решение: Ја користиме формулата:

Чешлање на именители:

И измешајте ја палубата:

Сега е време да се ослободите од дробните броеви. Во овој случај, треба да ги помножите двете страни со 6:

Отворете ги заградите и донесете ја равенката на ум:

Одговори:

Испитувањее очигледно - координатите на почетните точки мора да ја задоволат добиената равенка:

1) Заменете ги координатите на точката:

Вистинска еднаквост.

2) Заменете ги координатите на точката:

Вистинска еднаквост.

Заклучок: Равенката на правата е правилно напишана.

Ако барем еденод точките не ја задоволува равенката, барај грешка.

Вреди да се напомене дека графичката проверка во овој случај е тешка, бидејќи конструирајте права линија и видете дали точките припаѓаат на неа , не толку едноставно.

Ќе забележам уште неколку технички аспекти на решението. Можеби во овој проблем е попрофитабилно да се користи формулата за огледало и во истите точки направи равенка:

Помалку фракции. Ако сакате, можете да го спроведете решението до крај, резултатот треба да биде иста равенка.

Втората точка е да се погледне конечниот одговор и да се открие дали може дополнително да се поедностави? На пример, ако ја добиете равенката , тогаш препорачливо е да ја намалите за два: – равенката ќе ја дефинира истата права линија. Сепак, ова е веќе тема на разговор релативна положба на линиите.

Откако го доби одговорот во Пример 7, за секој случај, проверив дали СИТЕ коефициенти од равенката се деливи со 2, 3 или 7. Иако најчесто таквите намалувања се прават при решавањето.

Пример 8

Напишете равенка за права што минува низ точките .

Ова е пример за независно решение, кое ќе ви овозможи подобро да ги разберете и практикувате техниките за пресметување.

Слично на претходниот став: ако во формулата еден од именителот (координатата на векторот на насока) станува нула, а потоа го препишуваме во форма . Повторно, забележи колку таа изгледа непријатно и збунето. Не гледам многу смисла да давам практични примери, бидејќи ние всушност го решивме овој проблем (види бр. 5, 6).

Директен нормален вектор (нормален вектор)

Што е нормално? Со едноставни зборови, нормалата е нормална. Односно, нормалниот вектор на правата е нормален на дадена права. Очигледно, секоја права линија има бесконечен број од нив (како и вектори на насока), и сите нормални вектори на правата линија ќе бидат колинеарни (конасочни или не, нема разлика).

Справувањето со нив ќе биде уште полесно отколку со водечките вектори:

Ако правата е дадена со општа равенка во правоаголен координатен систем, тогаш векторот е нормалниот вектор на оваа права.

Ако координатите на векторот на насоката треба внимателно да се „извлечат“ од равенката, тогаш координатите на нормалниот вектор може едноставно да се „отстранат“.

Нормалниот вектор е секогаш ортогонален на векторот на насоката на правата. Дозволете ни да ја потврдиме ортогоналноста на овие вектори користејќи производ со точки:

Ќе дадам примери со истите равенки како за векторот на насока:

Дали е можно да се конструира равенка на права линија дадена една точка и нормален вектор? Го чувствувам тоа во стомакот, можно е. Ако нормалниот вектор е познат, тогаш насоката на самата права линија е јасно дефинирана - ова е „цврста структура“ со агол од 90 степени.

Како да се напише равенка на права линија дадена точка и нормален вектор?

Ако се знае одредена точка што припаѓа на права и нормалниот вектор на оваа права, тогаш равенката на оваа права се изразува со формулата:

Овде сè функционираше без фракции и други изненадувања. Ова е нашиот нормален вектор. Го сакам. И почит =)

Пример 9

Напиши равенка на права линија дадена точка и нормален вектор. Најдете го векторот на насоката на правата.

Решение: Ја користиме формулата:

Општата равенка на правата линија е добиена, ајде да провериме:

1) „Отстранете ги“ координатите на нормалниот вектор од равенката: – да, навистина, оригиналниот вектор е добиен од условот (или треба да се добие колинеарен вектор).

2) Ајде да провериме дали точката ја задоволува равенката:

Вистинска еднаквост.

Откако ќе се увериме дека равенката е правилно составена, ќе го завршиме вториот полесен дел од задачата. Го вадиме насочувачкиот вектор на права линија:

Одговори:

На цртежот ситуацијата изгледа вака:

За целите на обуката, слична задача за самостојно решавање:

Пример 10

Напиши равенка на права линија дадена точка и нормален вектор. Најдете го векторот на насоката на правата.

Последниот дел од лекцијата ќе биде посветен на поретки, но и важни типови равенки на права на рамнина

Равенка на права линија во отсечки.
Равенка на права во параметарска форма

Равенката на права линија во отсечки има форма , каде што се ненула константи. Некои видови равенки не можат да се претстават во оваа форма, на пример, директна пропорционалност (бидејќи слободниот член е еднаков на нула и не постои начин да се добие еден на десната страна).

Ова е, фигуративно кажано, „технички“ тип на равенка. Вообичаена задача е да се претстави општата равенка на права како равенка на права во отсечки. Како е погодно? Равенката на права во отсечки ви овозможува брзо да ги пронајдете точките на пресек на правата со координатни оски, што може да биде многу важно во некои проблеми од вишата математика.

Да ја најдеме точката на пресек на правата со оската. Го ресетираме „y“ на нула, а равенката добива форма . Посакуваната точка се добива автоматски: .

Исто и со оската – точката во која правата линија ја пресекува оската на ординатите.