Концептот на впишан и централен агол
Прво да го воведеме концептот на централен агол.
Забелешка 1
Забележи го тоа степенот на централниот агол е еднаков на степенот на лакот на кој се потпира.
Сега да го претставиме концептот на впишан агол.
Дефиниција 2
Аголот чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат истата кружница се нарекува впишан агол (сл. 2).
Слика 2. Впишан агол
Теорема за впишан агол
Теорема 1
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ.
Да ни биде даден круг со центар во точката $O$. Да го означиме впишаниот агол $ACB$ (сл. 2). Можни се следните три случаи:
- Зракот $CO$ се совпаѓа со која било страна од аголот. Нека ова е страната $CB$ (слика 3).
Слика 3.
Во овој случај, лакот $AB$ е помал од $(180)^(()^\circ )$, па оттука и централниот агол $AOB$ еднаков на лак$AB$. Бидејќи $AO=OC=r$, тогаш триаголникот $AOC$ е рамнокрак. Ова значи дека основните агли $CAO$ и $ACO$ се еднакви еден на друг. Според теоремата за надворешен аголтриаголник, имаме:
- Зракот $CO$ се дели внатрешен аголпод два агли. Нека го пресече кругот во точката $D$ (сл. 4).
Слика 4.
Добиваме
- Зракот $CO$ не го дели внатрешниот агол на два агли и не се совпаѓа со ниту една од неговите страни (сл. 5).
Слика 5.
Дозволете ни да ги разгледаме аглите $ACD$ и $DCB$ одделно. Според она што беше докажано во точка 1, добиваме
Добиваме
Теоремата е докажана.
Ајде да дадеме последицитеод оваа теорема.
Заклучок 1:Впишаните агли кои се потпираат на истиот лак се еднакви еден на друг.
Заклучок 2:Впишан агол што го поттегнува дијаметарот е прав агол.
Централен агол- е аголот формиран од два радиуси круг. Пример за централен агол е аголот AOB, BOC, COE итн.
ЗА централен аголИ лаксклучен меѓу нејзините страни се вели дека се одговараатедни со други.
1. ако централни агли лаковисе еднакви.
2. ако централни аглине се еднакви, тогаш поголемото од нив одговара на поголемото лак.
Нека AOB и COD се два централни агли,еднакви или нееднакви. Да го ротираме секторот AOB околу центарот во насока означена со стрелката, така што радиусот OA се совпаѓа со OC. Потоа, ако централните агли се еднакви, тогаш радиусот OA ќе се совпадне со OD и лакот AB со лакот CD .
Ова значи дека овие лакови ќе бидат еднакви.
Ако централни аглине се еднакви, тогаш радиусот OB нема да оди по OD, туку во некоја друга насока, на пример, по OE или OF. Во двата случаи, поголем агол очигледно одговара на поголем лак.
Теоремата што ја докажавме за еден круг останува точна еднакви кругови, бидејќи таквите кругови не се разликуваат едни од други по ништо освен по својата позиција.
Обратни понудиисто така ќе биде вистина . Во еден круг или во еднакви кругови:
1. ако лаковисе еднакви, тогаш нивните соодветни централни аглисе еднакви.
2. ако лаковине се еднакви, тогаш поголемото од нив одговара на поголемото централен агол.
Во еден круг или во еднакви кругови, централните агли се поврзани како нивни соодветни лакови. Или парафразирајќи, добиваме дека централниот агол пропорционаленнеговиот соодветен лак.
Инструкции
Ако се познати радиусот (R) на кругот и должината на лакот (L) што одговара на саканиот централен агол (θ), тој може да се пресмета и во степени и во радијани. Вкупниот број се одредува со формулата 2*π*R и одговара на централен агол од 360° или два Pi броја, доколку се користат радијани наместо степени. Затоа, продолжи од пропорцијата 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ. Изрази го од него централниот агол во радијани θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R или степени θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) и пресметајте користејќи ја добиената формула.
Врз основа на должината на акордот (m) што ги поврзува точките што го одредуваат централниот агол (θ), неговата вредност може да се пресмета и ако е познат радиусот (R) на кругот. За да го направите ова, разгледајте триаголник формиран од два радиуси и . Ова рамнокрак триаголник, сите се познати, но треба да го пронајдете аголот спроти основата. Синус на нејзината половина еднаков на односотдолжината на основата - акорд - до двапати поголема од должината на страната - радиусот. Затоа, користете ја функцијата инверзен синус за пресметки - лаксин: θ = 2*arcsin(½*m/R).
Централен аголможе да се специфицира во фракции на револуција или од ротирачки агол. На пример, ако треба да го пронајдете централниот агол што одговара на четвртина целосен пресврт, поделете 360° со четири: θ = 360°/4 = 90°. Истата вредност во радијани треба да биде 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57. Прав агол еднакво на половинацелосна револуција, затоа, на пример, централниот агол што одговара на четвртина од него ќе биде половина од вредностите пресметани погоре и во степени и во радијани.
Инверзната на синус се нарекува тригонометриска функција лаксин. Може да земе вредности во рамките на половина од Pi, и позитивни и негативни кога се мери во радијани. Кога се мерат во степени, овие вредности ќе бидат соодветно во опсег од -90° до +90°.
Инструкции
Некои „кружни“ вредности не треба да се пресметуваат, тие се полесни за паметење. На пример:- ако аргументот на функцијата еднаква на нула, тогаш вредноста на неговиот лак е исто така нула; - од 1/2 е еднаква на 30° или 1/6 Pi, ако се мери; - лак од -1/2 е еднаков на -30° или -1/ 6 од бројот Pi во - лак од 1 е еднаков на 90° или 1/2 од Pi во радијани; - лак од -1 е еднаков на -90° или -1/2 од Pi во радијани;
За да се измерат вредностите на оваа функција од други аргументи, најлесниот начин е да се користи стандардот Виндоус калкулатор, ако го имате при рака. За да започнете, отворете го главното мени на копчето „Старт“ (или со притискање на копчето WIN), одете во делот „Сите програми“, а потоа во потсекцијата „Додатоци“ и кликнете „Калкулатор“.
Префрлете го интерфејсот на калкулаторот на режимот на работа што ви овозможува да пресметувате тригонометриски функции. За да го направите ова, отворете го делот „Преглед“ во неговото мени и изберете „Инженерство“ или „Научно“ (во зависност од видот на операционен систем).
Внесете ја вредноста на аргументот од кој треба да се пресмета арктангенсот. Ова може да се направи со кликнување на копчињата на интерфејсот на калкулаторот со глувчето, или со притискање на копчињата на , или со копирање на вредноста (CTRL + C) и потоа ставање (CTRL + V) во полето за внесување на калкулаторот.
Изберете ги мерните единици во кои треба да го добиете резултатот од пресметката на функцијата. Под полето за внесување има три опции, од кои треба да изберете (со кликнување со глувчето) една - , радијани или ради.
Проверете го полето за избор што ги превртува функциите наведени на копчињата за интерфејс на калкулаторот. До него има краток натпис Inv.
Кликнете на копчето за грев. Калкулаторот ќе ја преврти функцијата поврзана со него, ќе ја изврши пресметката и ќе ви го претстави резултатот во наведените единици.
Видео на темата
Еден од заедничките геометриски проблемие пресметка на плоштината на кружен сегмент - дел од кругот ограничен со акорд и соодветната акорд со лак на круг.
Областа на кружен сегмент е еднаква на разликата помеѓу површината на соодветниот кружен сектор и површината на триаголникот формиран од радиусите на секторот што одговара на сегментот и акордот што го ограничува сегментот.
Пример 1
Должината на акордот што го потчинува кругот е еднаква на вредноста a. Мерката на степенот на лакот што одговара на акорд е 60°. Најдете ја областа на кружниот сегмент.
Решение
Триаголникот формиран од два радиуси и акорд е рамнокрак, така што висината извлечена од темето на централниот агол до страната на триаголникот е формирана со акорд, исто така ќе биде симетрала на централниот агол, делејќи го на половина, а медијаната, делејќи ја акордот на половина. Знаејќи дека синусот на аголот во е еднаков на односот спротивна странадо хипотенузата, можете да го пресметате радиусот:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, каде што h е висината извлечена од темето на централниот агол до акордот. Според Питагоровата теорема h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Според тоа, S▲=√3/4*a².
Областа на сегментот, пресметана како Sreg = Sc - S▲, е еднаква на:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Замена нумеричка вредностНаместо вредноста a, можете лесно да ја пресметате нумеричката вредност на областа на сегментот.
Пример 2
Кружен радиус еднаква на вредностаА. Мерката на степенот на лакот што одговара на сегментот е 60°. Најдете ја областа на кружниот сегмент.
Решение:
Областа на секторот што одговара даден аголможе да се пресмета со следнава формула:
Sc = πα²/360°*60° = πa²/6,
Областа на триаголникот што одговара на секторот се пресметува на следниов начин:
S▲=1/2*ah, каде што h е висината извлечена од темето на централниот агол до акордот. Според Питагоровата теорема h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Според тоа, S▲=√3/4*a².
И, конечно, површината на сегментот, пресметана како Sreg = Sc - S▲, е еднаква на:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Решенијата и во двата случаи се речиси идентични. Така, можеме да заклучиме дека за да се пресмета плоштината на сегмент во наједноставен случај, доволно е да се знае вредноста на аголот што одговара на лакот на сегментот и еден од двата параметри - или радиусот на кругот или должината на акордот што го потчинува лакот на кругот што го формира сегментот.
Извори:
- Сегмент - геометрија
Најчесто, процесот на подготовка за обединет државен испит по математика започнува со повторување на основните дефиниции, формули и теореми, вклучително и на темата „Централни и впишани агли во круг“. Обично, овој делпланиметријата се проучува оттогаш средно школо. Не е изненадувачки што многу студенти се соочуваат со потребата да се повторуваат основни концептии теореми на тема „Централен агол на круг“. Откако го разбрав алгоритмот за решение слични задачи, учениците ќе можат да сметаат на добивање конкурентни резултати врз основа на резултатите од полагањето унифициран државен испит.
Како лесно и ефикасно да се подготвите за полагање на тестот за сертификација?
Студирање пред да го положите синглот државен испит, многу средношколци се соочуваат со проблемот на пронаоѓање потребни информациина тема „Централни и впишани агли во круг“. Не секогаш училишен учебникдостапни при рака. А пребарувањето формули на Интернет понекогаш одзема многу време.
Нашиот тим ќе ви помогне да ги „засилите“ своите вештини и да го подобрите вашето знаење во толку тежок дел од геометријата како што е планиметријата едукативен портал. „Школково“ им нуди на средношколците и нивните професори нов начин да го изградат процесот на подготовка за унифициран државен испит. Целиот основен материјал е претставен од нашите специјалисти до максимум можен степен. достапна форма. Откако ќе ги прочитаат информациите во делот „Теоретска основа“, учениците ќе научат какви својства има централниот агол на кругот, како да ја најдат неговата вредност итн.
Потоа, за да се консолидираат стекнатите знаења и вештини за вежбање, препорачуваме изведување на соодветни вежби. Голем избор на задачи за пронаоѓање на големината на аголот впишан во круг и други параметри е претставен во делот „Каталог“. За секоја вежба, нашите експерти напишаа детално решение и го посочија точниот одговор. Списокот на задачи на страницата постојано се дополнува и ажурира.
Средношколците можат да се подготват за обединетиот државен испит со вежбање вежби, на пример, да ја пронајдат големината на централниот агол и должината на лакот на кругот, онлајн, од кој било руски регион.
Доколку е потребно, завршената задача може да се зачува во делот „Омилени“ за подоцна да се врати на неа и уште еднаш да се анализира принципот на неговото решение.
Ова е аголот формиран од два акорди, со потекло од една точка на кругот. Се вели дека е впишан агол почивана лакот затворен меѓу неговите страни.
Впишан аголеднаква на половина од лакот на кој се потпира.
Со други зборови, впишан аголвклучува онолку аголни степени, минути и секунди лак степени, минутите и секундите се содржани во половина од лакот на кој се потпира. За да го оправдаме ова, да анализираме три случаи:
Прв случај:
Центарот О се наоѓа на страна впишан агол ABC. Цртајќи го радиусот AO, добиваме ΔABO, во него OA = OB (како радиуси) и, соодветно, ∠ABO = ∠BAO. Во врска со ова тријаголник, агол AOC - надворешен. А тоа значи дека тој еднаков на збиротаглите ABO и BAO, или еднакви на двоен аголАБО. Значи ∠ABO е еднакво на половина централен агол AOC. Но, овој агол се мери со лак AC. Односно, впишаниот агол ABC се мери со половина од лакот AC.
Втор случај:
Центарот О се наоѓа помеѓу страните впишан агол ABC. Откако го нацртавме дијаметарот BD, го делиме аголот ABC на два агли, од кои, според првиот случај, еден се мери на половина лаковиАД, а другата половина од лакот ЦД. И соодветно, се мери аголот ABC (AD+DC) /2, т.е. 1/2 наизменична струја.
Трет случај:
Центарот О се наоѓа надвор впишан агол ABC. Цртајќи го дијаметарот BD, ќе имаме:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Но, аглите ABD и CBD се мерат врз основа на претходно оправданата половина лакАД и ЦД. И бидејќи ∠ABC се мери со (AD-CD)/2, односно половина од лакот AC.
Заклучок 1.Сите засновани на истиот лак се исти, односно еднакви еден на друг. Бидејќи секој од нив се мери со половина од истиот лакови .
Заклучок 2. Впишан агол, врз основа на дијаметарот - прав агол. Бидејќи секој таков агол се мери со половина полукруг и, соодветно, содржи 90 °.