\[(\Large(\text(Централни и впишани агли)))\]
Дефиниции
Централен агол е агол чие теме лежи во центарот на кругот.
Впишан агол е агол чие теме лежи на круг.
Степенот на лак на круг е степенот на мерката на централниот агол што го потпира.
Теорема
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ
Доказот ќе го извршиме во две фази: прво, ќе ја докажеме валидноста на исказот за случајот кога една од страните на впишаниот агол содржи дијаметар. Нека точката \(B\) е темето на впишаниот агол \(ABC\) и \(BC\) дијаметарот на кругот:
Триаголникот \(AOB\) е рамнокрак, \(AO = OB\) , \(\аголот AOC\) е надворешен, тогаш \(\агол AOC = \агол OAB + \агол ABO = 2\агол ABC\), каде \(\агол ABC = 0,5\cdot\агол AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Сега разгледајте произволен впишан агол \(ABC\) . Да го нацртаме дијаметарот на кругот \(BD\) од темето на впишаниот агол. Постојат два можни случаи:
1) дијаметарот го пресекува аголот на два агли \(\агол ABD, \агол CBD\) (за секој од нив теоремата е вистинита како што е докажано погоре, затоа е точно и за оригиналниот агол, што е збир од овие два и затоа еднаква на половина од збирот на лаците на кои се потпираат, односно еднаква на половина од лакот на кој се потпира). Ориз. 1.
2) дијаметарот не го пресече аголот на два агли, тогаш имаме уште два нови впишани агли \(\агол ABD, \агол CBD\), чија страна го содржи дијаметарот, затоа, теоремата е точна за нив, тогаш тоа важи и за оригиналниот агол (што е еднакво на разликата на овие два агли, што значи дека е еднаква на полуразликата на лаците на кои се потпираат, односно еднаква на половина од лакот на кој се потпира) . Ориз. 2.
Последици
1. Впишаните агли што го потпираат истиот лак се еднакви.
2. Впишан агол подвижен со полукруг е прав агол.
3. Впишан агол е еднаков на половина од централниот агол подвижен од истиот лак.
\[(\Large(\text(Тангента на кругот)))\]
Дефиниции
Постојат три вида релативни позиции на права и круг:
1) права линија \(a\) ја пресекува кружницата на две точки. Таквата линија се нарекува секантна линија. Во овој случај, растојанието \(d\) од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот \(R\) на кругот (сл. 3).
2) права линија \(b\) ја пресекува кружницата во една точка. Таквата права се нарекува тангента, а нивната заедничка точка \(B\) се нарекува точка на тангенција. Во овој случај \(d=R\) (сл. 4).
Теорема
1. Тангента на кружница е нормална на радиусот нацртан до точката на тангенција.
2. Ако правата минува низ крајот на радиусот на кружницата и е нормална на овој радиус, тогаш таа е тангента на кругот.
Последица
Тангентните отсечки нацртани од една точка до круг се еднакви.
Доказ
Да нацртаме две тангенти \(KA\) и \(KB\) на кругот од точката \(K\):
Ова значи дека \(OA\perp KA, OB\perp KB\) се како радиуси. Правоаголните триаголници \(\триаголник KAO\) и \(\триаголникот KBO\) се еднакви во кракот и хипотенузата, затоа, \(KA=KB\) .
Последица
Центарот на кружницата \(O\) лежи на симетралата на аголот \(AKB\) формирана од две тангенти нацртани од истата точка \(K\) .
\[(\Large(\text(Теореми поврзани со агли)))\]
Теорема за аголот помеѓу секантите
Аголот помеѓу две секанти извлечени од иста точка е еднаков на полуразликата во мерките на степенот на поголемите и помалите лаци што ги сечат.
Доказ
Нека \(M\) е точката од која се цртаат два секанти како што е прикажано на сликата:
Да го покажеме тоа \(\агол DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\агол DAB\) е надворешниот агол на триаголникот \(MAD\), тогаш \(\агол DAB = \агол DMB + \агол MDA\), каде \(\агол DMB = \агол DAB - \агол MDA\), но аглите \(\агол DAB\) и \(\агол MDA\) се впишани, тогаш \(\агол DMB = \агол DAB - \агол MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), што требаше да се докаже.
Теорема за аголот помеѓу акордите што се сечат
Аголот помеѓу два пресечни акорди е еднаков на половина од збирот на степените мерки на лаците што ги пресекуваат: \[\агол CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\десно)\]
Доказ
\(\агол BMA = \агол CMD\) како вертикална.
Од триаголник \(AMD\) : \(\агол AMD = 180^\circ - \агол BDA - \агол CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Но \(\агол AMD = 180^\circ - \агол CMD\), од што заклучуваме дека \[\агол CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ насмевка\над(ЦД)).\]
Теорема за аголот помеѓу акорд и тангента
Аголот помеѓу тангентата и акордот што минува низ точката на тангенција е еднаков на половина од степенот на мерката на лакот што е подвижен од акордот.
Доказ
Нека правата \(a\) го допира кругот во точката \(A\), \(AB\) е акорд на овој круг, \(O\) е неговиот центар. Нека правата што содржи \(OB\) се сече \(a\) во точката \(M\) . Да го докажеме тоа \(\агол BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Да означиме \(\агол OAB = \алфа\) . Бидејќи \(OA\) и \(OB\) се радиуси, тогаш \(OA = OB\) и \(\агол OBA = \агол OAB = \алфа\). Така, \(\buildrel\smile\over(AB) = \агол AOB = 180^\circ - 2\алфа = 2(90^\circ - \алфа)\).
Бидејќи \(OA\) е радиусот нацртан до тангентата точка, тогаш \(OA\perp a\), односно \(\агол OAM = 90^\circ\), затоа, \(\агол BAM = 90^\circ - \агол OAB = 90^\circ - \алфа = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема за лакови подредени со еднакви акорди
Еднакви акорди се наведнуваат еднакви лакови помали од полукруговите.
И обратно: еднаквите лакови се подредени со еднакви акорди.
Доказ
1) Нека \(AB=CD\) . Да докажеме дека помалите полукругови на лакот .
На три страни, значи, \(\агол AOB=\агол COD\) . Но затоа што \(\агол AOB, \агол COD\) - централни агли поддржани со лакови \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)соодветно, тогаш \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Тоа \(\триаголник AOB=\триаголник COD\)на две страни \(AO=BO=CO=DO\) и аголот меѓу нив \(\агол AOB=\агол COD\) . Затоа, и \(AB=CD\) .
Теорема
Ако радиусот го преполовува акордот, тогаш тој е нормално на него.
Обратно е исто така точно: ако радиусот е нормален на акордот, тогаш во точката на пресек го преполовува.
Доказ
1) Нека \(AN=NB\) . Да докажеме дека \(OQ\perp AB\) .
Размислете за \(\триаголник AOB\) : тој е рамнокрак, бидејќи \(OA=OB\) – радиуси на кругот. Бидејќи \(ON\) е медијаната нацртана до основата, тогаш таа е и висината, затоа, \(ON\perp AB\) .
2) Нека \(OQ\perp AB\) . Да докажеме дека \(AN=NB\) .
Слично на тоа, \(\триаголникот AOB\) е рамнокрак, \(ON\) е висината, според тоа, \(ON\) е медијана. Затоа, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Теореми поврзани со должините на отсечките)))\]
Теорема за производ на отсечки на акорд
Ако се сечат два акорда од круг, тогаш производот на отсечките од едната акорд е еднаков на производот на отсечките од другата акорд.
Доказ
Нека акордите \(AB\) и \(CD\) се сечат во точката \(E\) .
Размислете за триаголниците \(ADE\) и \(CBE\) . Во овие триаголници, аглите \(1\) и \(2\) се еднакви, бидејќи тие се впишани и се наоѓаат на истиот лак \(BD\), а аглите \(3\) и \(4\) се еднакви како вертикална. Триаголниците \(ADE\) и \(CBE\) се слични (врз основа на првиот критериум за сличност на триаголниците).
Потоа \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), од каде \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Тангента и секантна теорема
Квадратот на тангента отсечка е еднаков на производот на секанта и нејзиниот надворешен дел.
Доказ
Оставете ја тангентата да помине низ точката \(M\) и допрете го кругот во точката \(A\) . Оставете ја секантата да помине низ точката \(M\) и да ја пресече кружницата во точките \(B\) и \(C\) така што \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Размислете за триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\аголот M\) е заеднички, \(\агол BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Според теоремата за аголот помеѓу тангента и секанта, \(\агол BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \агол BCA\). Така, триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) се слични под два агли.
Од сличноста на триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), што е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Последица
Производот на секанта извлечена од точката \(O\) од нејзиниот надворешен дел не зависи од изборот на секантата извлечена од точката \(O\) .
Денес ќе разгледаме друг вид проблеми 6 - овој пат со круг. Многу студенти не ги сакаат и им се тешки. И сосема залудно, бидејќи ваквите проблеми се решени елементарен, ако знаете некои теореми. Или воопшто не се осмелуваат ако не ги познавате.
Пред да зборувам за главните својства, дозволете ми да ве потсетам на дефиницијата:
Впишан агол е оној чие теме лежи на самиот круг, а чии страни отсекуваат акорд на овој круг.
Централен агол е секој агол со неговото теме во центарот на кругот. Неговите страни исто така го пресекуваат овој круг и издлабуваат акорд на него.
Значи, концептите на впишани и централни агли се нераскинливо поврзани со кругот и акордите во него. И сега главната изјава:
Теорема. Централниот агол е секогаш двојно поголем од впишаниот агол, врз основа на истиот лак.
И покрај едноставноста на изјавата, постои цела класа проблеми 6 што може да се решат користејќи ја - и ништо друго.
Задача. Најдете остар впишан агол подвижен со акорд еднаков на радиусот на кругот.
Нека AB е акордот што се разгледува, О центар на кругот. Дополнителна конструкција: ОА и ОБ се радиусите на кругот. Добиваме:
Размислете за триаголникот ABO. Во него AB = OA = OB - сите страни се еднакви на радиусот на кругот. Според тоа, триаголникот ABO е рамностран, а сите агли во него се 60°.
Нека M е темето на впишаниот агол. Бидејќи аглите О и М се наоѓаат на истиот лак AB, впишаниот агол М е 2 пати помал од централниот агол О. Ние имаме:
М = О: 2 = 60: 2 = 30
Задача. Централниот агол е за 36° поголем од впишаниот агол подвижен од истиот лак на кругот. Најдете го впишаниот агол.
Да ја воведеме следната нотација:
- AB е акорд на кругот;
- Точката O е центарот на кругот, така што аголот AOB е централниот агол;
- Точката C е темето на впишаниот агол ACB.
Бидејќи го бараме впишаниот агол ACB, да го означиме ACB = x. Тогаш централниот агол AOB е x + 36. Од друга страна, централниот агол е 2 пати поголем од впишаниот агол. Ние имаме:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x;
x = 36.
Така го најдовме впишаниот агол AOB - тој е еднаков на 36°.
Кругот е агол од 360°
Откако го прочитаа поднасловот, упатените читатели веројатно сега ќе речат: „Уф!“ Навистина, споредувањето на круг со агол не е сосема точно. За да разберете за што зборуваме, погледнете го класичниот тригонометриски круг:
За што е оваа слика? И покрај тоа, целосната ротација е агол од 360 степени. И ако го поделите, да речеме, на 20 еднакви делови, тогаш големината на секој од нив ќе биде 360: 20 = 18 степени. Токму тоа е потребно за да се реши проблемот Б8.
Точките A, B и C лежат на кругот и поделете го на три лака, чии степени мерки се во однос 1: 3: 5. Најдете го поголемиот агол на триаголникот ABC.
Прво, да ја најдеме мерката на степенот на секој лак. Нека помалото е x. На сликата овој лак е означен AB. Тогаш преостанатите лаци - BC и AC - може да се изразат во однос на AB: лак BC = 3x; AC = 5x. Вкупно, овие лакови даваат 360 степени:
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
x = 40.
Сега разгледајте голем лак AC што не содржи точка Б. Овој лак, како и соодветниот централен агол AOC, е 5x = 5 40 = 200 степени.
Аголот ABC е најголемиот од сите агли во триаголникот. Тоа е впишан агол подвижен од истиот лак како и централниот агол AOC. Ова значи дека аголот ABC е 2 пати помал од AOC. Ние имаме:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Ова ќе биде степенот мерка на поголемиот агол во триаголникот ABC.
Круг опкружен околу правоаголен триаголник
Многу луѓе ја забораваат оваа теорема. Но џабе, затоа што некои Б8 проблеми воопшто не можат да се решат без него. Поточно, тие се решени, но со толкав обем на пресметки што повеќе би сакале да заспиете отколку да стигнете до одговорот.
Теорема. Центарот на кругот опкружен околу правоаголен триаголник лежи на средината на хипотенузата.
Што следи од оваа теорема?
- Средината на хипотенузата е еднакво оддалечена од сите темиња на триаголникот. Ова е директна последица на теоремата;
- Средината нацртана до хипотенузата го дели првобитниот триаголник на два рамнокрак триаголници. Токму тоа е потребно за да се реши проблемот Б8.
Во триаголникот ABC го цртаме медијалниот ЦД. Аголот C е 90°, а аголот B е 60°. Најдете агол ACD.
Бидејќи аголот C е 90°, триаголникот ABC е правоаголен триаголник. Излегува дека ЦД е медијаната што е нацртана до хипотенузата. Ова значи дека триаголниците ADC и BDC се рамнокраки.
Особено, земете го предвид триаголникот ADC. Во него АД = ЦД. Но, во рамнокрак триаголник, аглите на основата се еднакви - видете „Проблем Б8: Линиски отсечки и агли во триаголници“. Затоа, саканиот агол ACD = A.
Значи, останува да откриеме на што е еднаков аголот А. За да го направите ова, да се свртиме повторно кон оригиналниот триаголник ABC. Да го означиме аголот A = x. Бидејќи збирот на аглите во кој било триаголник е 180°, имаме:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Се разбира, последниот проблем може да се реши поинаку. На пример, лесно е да се докаже дека триаголникот BCD не е само рамнокрак, туку рамностран. Значи аголот BCD е 60 степени. Оттука аголот ACD е 90 − 60 = 30 степени. Како што можете да видите, можете да користите различни рамнокрак триаголници, но одговорот секогаш ќе биде ист.
Планиметријата е гранка на геометријата која ги проучува својствата на рамни фигури. Тука спаѓаат не само добро познатите триаголници, квадрати и правоаголници, туку и прави линии и агли. Во планиметријата, постојат и такви концепти како агли во круг: централен и впишан. Но, што значат тие?
Што е централен агол?
За да разберете што е централен агол, треба да дефинирате круг. Круг е збир на сите точки на еднакво растојание од дадена точка (центарот на кругот).
Многу е важно да се разликува од круг. Треба да запомните дека кругот е затворена линија, а кругот е дел од рамнината ограничена со неа. Многуаголник или агол може да се впише во круг.
Централен агол е агол чие теме се совпаѓа со центарот на кружницата и чии страни ја сечат кружницата во две точки. Лакот што аголот го ограничува со пресечните точки се нарекува лак на кој почива дадениот агол.
Да го погледнеме примерот бр. 1.
На сликата аголот AOB е централен, бидејќи темето на аголот и центарот на кругот се една точка O. Се потпира на лакот AB, кој не ја содржи точката C.
Како се разликува впишаниот агол од централниот агол?
Меѓутоа, покрај централните агли, има и впишани агли. Која е нивната разлика? Исто како и централниот агол, аголот впишан во кругот лежи на одреден лак. Но, неговото теме не се совпаѓа со центарот на кругот, туку лежи на него.
Да го земеме следниот пример.
Агол ACB се нарекува агол впишан во круг со центар во точката O. Точката C припаѓа на кругот, односно лежи на неа. Аголот лежи на лакот AB.
За успешно справување со геометриските проблеми, не е доволно да може да се направи разлика помеѓу впишани и централни агли. Како по правило, за да ги решите, треба точно да знаете како да го пронајдете централниот агол во круг и да можете да ја пресметате неговата вредност во степени.
Значи, централниот агол е еднаков на степенот мерка на лакот на кој се потпира.
На сликата, аголот AOB лежи на лакот AB еднаков на 66°. Ова значи дека аголот AOB е исто така 66°.
Така, централните агли подредени со еднакви лаци се еднакви.
На сликата, лакот DC е еднаков на лакот AB. Ова значи дека аголот AOB е еднаков на аголот DOC.
Може да изгледа дека аголот впишан во кругот е еднаков на централниот агол, кој се потпира на истиот лак. Сепак, ова е тешка грешка. Всушност, дури и само да го погледнете цртежот и да ги споредите овие агли едни со други, можете да видите дека нивните мерки за степен ќе имаат различни вредности. Значи, што е впишаниот агол во круг?
Мерката на степенот на впишаниот агол е еднаква на една половина од лакот на кој се потпира, или половина од централниот агол ако се потпираат на истиот лак.
Ајде да погледнеме на пример. Аголот ASV лежи на лак еднаков на 66°.
Ова значи агол ACB = 66°: 2 = 33°
Ајде да разгледаме некои последици од оваа теорема.
- Впишаните агли, ако се засноваат на ист лак, акорд или еднакви лаци, се еднакви.
- Ако впишаните агли се потпираат на една акорд, но нивните темиња лежат на спротивните страни од неа, збирот на мерките на степенот на таквите агли е 180°, бидејќи во овој случај и двата агли се потпираат на лакови чиишто мерки на степен се собираат до 360° ( цел круг) , 360°: 2 = 180°
- Ако впишаниот агол се заснова на дијаметарот на даден круг, неговата мерка на степен е 90°, бидејќи дијаметарот подтегнува лак еднаков на 180°, 180°: 2 = 90°
- Ако централните и впишаните агли во круг се наоѓаат на истиот лак или акорд, тогаш впишаниот агол е еднаков на половина од централниот.
Каде може да се најдат проблеми на оваа тема? Нивните видови и решенија
Со оглед на тоа што кругот и неговите својства се еден од најважните делови на геометријата, особено планиметријата, впишаните и централните агли во круг се тема што се проучува нашироко и детално во училишниот курс. Проблемите посветени на нивните својства се наоѓаат во главниот државен испит (OGE) и унифицираниот државен испит (USE). Како по правило, за да ги решите овие проблеми, треба да ги најдете аглите на кругот во степени.
Агли засновани на еден лак
Овој вид на проблем е можеби еден од најлесните, бидејќи за да го решите, треба да знаете само две едноставни својства: ако и двата агли се испишани и се засноваат на истиот акорд, тие се еднакви, ако еден од нив е централен, тогаш соодветниот впишан агол е еднаков на половина од него. Меѓутоа, кога ги решавате, треба да бидете исклучително внимателни: Понекогаш е тешко да се забележи овој имот, а студентите достигнуваат ќорсокак при решавање на вакви едноставни проблеми. Ајде да погледнеме на пример.
Задача бр. 1
Дадена е кружница со центар во точката O. Аголот AOB е 54°. Најдете степен на мерка на аголот ASV.
Оваа задача се решава во една акција. Единственото нешто што треба брзо да го најдете одговорот на него е да забележите дека лакот на кој се потпираат двата агли е заеднички. Откако ќе го видите ова, можете да примените веќе познато својство. Аголот ACB е еднаков на половина од аголот AOB. Средства,
1) AOB = 54 °: 2 = 27 °.
Одговор: 54°.
Агли подредени од различни лакови од ист круг
Понекогаш проблематичните услови не ја наведуваат директно големината на лакот на кој почива саканиот агол. За да го пресметате, треба да ја анализирате големината на овие агли и да ги споредите со познатите својства на кругот.
Проблем 2
Во круг со центар во точката O, аголот AOC е 120°, а аголот AOB е 30°. Најдете го аголот на ВАС.
За почеток, вреди да се каже дека е можно да се реши овој проблем користејќи ги својствата на триаголниците на Изосели, но ова ќе бара поголем број математички операции. Затоа, овде ќе дадеме анализа на решението користејќи ги својствата на централните и впишаните агли во круг.
Значи, аголот AOS лежи на лакот AC и е централен, што значи дека лакот AC е еднаков на аголот AOS.
На ист начин, аголот AOB лежи на лакот AB.
Знаејќи го ова и степенот на мерката на целиот круг (360°), можете лесно да ја пронајдете големината на лакот BC.
BC = 360° - AC - AB
п.н.е. = 360° - 120° - 30° = 210°
Темето на аголот CAB, точка А, лежи на кругот. Ова значи дека аголот CAB е впишан агол и е еднаков на половина од лакот NE.
Агол CAB = 210°: 2 = 110°
Одговор: 110°
Проблеми засновани на односот на лаците
Некои проблеми воопшто не содржат податоци за вредностите на аголот, така што треба да се бараат засновани само на познати теореми и својства на кругот.
Проблем 1
Најдете го аголот впишан во кругот што подтегнува акорд еднаков на радиусот на дадениот круг.
Ако ментално цртате линии што ги поврзуваат краевите на сегментот со центарот на кругот, ќе добиете триаголник. Откако го испитале, можете да видите дека овие линии се радиуси на кругот, што значи дека сите страни на триаголникот се еднакви. Познато е дека сите агли на рамностран триаголник се еднакви на 60 °. Ова значи дека лакот АБ што го содржи темето на триаголникот е еднаков на 60 °. Оттука го наоѓаме лакот АБ на кој почива посакуваниот агол.
AB = 360° - 60° = 300°
Агол ABC = 300°: 2 = 150°
Одговор: 150°
Проблем 2
Во круг со центар во точка О, лаците се во сооднос 3: 7. Најдете го најмалиот впишан агол.
За да се реши, да назначиме еден дел како X, тогаш еден лак е еднаков на 3x, а вториот, соодветно, е 7x. Знаејќи дека мерката на степенот на кругот е 360 °, ајде да создадеме равенка.
3X + 7X = 360°
Според состојбата, треба да пронајдете помал агол. Очигледно, ако големината на аголот е директно пропорционална со лакот на кој се потпира, тогаш саканиот (помал) агол одговара на лак еднаков на 3X.
Ова значи дека помалиот агол е (36 ° * 3): 2 = 108 °: 2 = 54 °
Одговор: 54°
Во круг со центар во точка О, аголот AOB е 60 °, а должината на помалиот лак е 50. Пресметајте ја должината на поголемиот лак.
За да ја пресметате должината на поголемиот лак, треба да создадете пропорција - како помалиот лак се однесува на поголемиот. За да го направите ова, ја пресметуваме големината на двата лаци во степени. Помалиот лак е еднаков на аголот што почива на него. Неговата мерка ќе биде 60°. Главниот лак е еднаков на разликата помеѓу степенот на мерката на кругот (тоа е еднаков на 360° без оглед на другите податоци) и малиот лак.
Главниот лак е 360° - 60° = 300°.
Од 300 °: 60 ° = 5, поголемиот лак е 5 пати поголем од помалиот.
Голем лак = 50 * 5 = 250
Значи, се разбира, постојат и други пристапи за решавање на слични проблеми, но сите тие некако се засноваат на својствата на централните и впишаните агли, триаголници и кругови. За успешно да ги решите, треба внимателно да го проучите цртежот и да го споредите со податоците од проблемот, како и да можете да го примените вашето теоретско знаење во пракса.
Централен аголе агол чиј темел е во центарот на кругот.
Впишан агол- Агол чиј темелник лежи на круг и чии страни го пресекуваат.
Бројката покажува централни и испишани агли, како и нивните најважни својства.
Значи, Големината на централниот агол е еднаква на аголната големина на лакот на кој почива. Ова значи дека централниот агол од 90 степени ќе се одмори на лак еднаков на 90 °, односно круг. Централниот агол, еднаков на 60 °, лежи на лак од 60 степени, односно на шестиот дел од кругот.
Големината на впишаниот агол е два пати помала од централниот агол врз основа на истиот лак.
Исто така, за решавање на проблемите ќе ни треба концептот „акорд“.
Еднаквите централни агли поттекнуваат еднакви акорди.
1. Колкав е впишаниот агол подвижен од дијаметарот на кругот? Дајте го вашиот одговор во степени.
Впишан агол подвижен со дијаметар е прав агол.
2. Централниот агол е за 36° поголем од акутниот впишан агол подвижен од истиот кружен лак. Најдете го впишаниот агол. Дајте го вашиот одговор во степени.
Нека централниот агол е еднаков на x, а впишаниот агол подвижен од истиот лак е еднаков на y.
Знаеме дека x = 2y.
Оттука 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Радиусот на кругот е еднаков на 1. Најдете ја вредноста на тапиот впишан агол подвижен од акордот, еднаков на . Дајте го вашиот одговор во степени.
Нека акордот AB е еднаков на . Напишаниот агол на испишан заснован на овој акорд ќе биде означен со α.
Во триаголникот AOB, страните AO и OB се еднакви на 1, страничната АБ е еднаква на. Веќе наидовме на такви триаголници. Очигледно, триаголникот AOB е правоаголен и изосели, односно аголот AOB е 90 °.
Тогаш ACB ACB е еднаков на 90 °, а лакот AKB е еднаков на 360 ° - 90 ° = 270 °.
Напишаниот агол α почива на лакот AKB и е еднаков на половина од аголната вредност на овој лак, односно 135 °.
Одговор: 135.
4. Акордот АБ го дели кругот на два дела, чии вредности на степенот се во сооднос 5: 7. На кој агол е видлив овој акорд од точката Ц, кој припаѓа на помалиот лак на кругот? Дајте го вашиот одговор во степени.
Главната работа во оваа задача е правилното цртање и разбирање на условите. Како го разбирате прашањето: „Под кој агол е видлив акордот од точката Ц?“
Замислете дека седите во Точката Ц и треба да видите сè што се случува на акорд АБ. Се чини дека акорд АБ е екран во кино :-)
Очигледно, треба да го пронајдете аголот ACB.
Збирот на двата лаци во кои акорд АБ го дели кругот е еднаков на 360 °, тоа е
5x + 7x = 360 °
Оттука x = 30 °, а потоа испишаниот агол ACB почива на лак еднаков на 210 °.
Големината на впишаниот агол е еднаква на половина од аголната големина на лакот на кој се потпира, што значи дека аголот ACB е еднаков на 105°.
Централен агол- е аголот формиран од два радиуси круг. Пример за централен агол е аголот AOB, BOC, COE и така натаму.
ЗА Централен аголИ лаксклучен меѓу нејзините страни се вели дека се одговараатедни со други.
1. ако централни агли лаковисе еднакви.
2. ако централни аглине се еднакви, тогаш поголемите од нив одговараат на поголемите лак.
Нека AOB и COD се два централни агли,еднакви или нееднакви. Да го ротираме секторот AOB околу центарот во насока означена со стрелката, така што радиусот OA се совпаѓа со OC. Потоа, ако централните агли се еднакви, тогаш радиусот OA ќе се совпадне со OD и лакот AB со лакот CD .
Ова значи дека овие лакови ќе бидат еднакви.
Ако централни аглине се еднакви, тогаш радиусот OB нема да оди по OD, туку во некоја друга насока, на пример, по OE или OF. Во двата случаи, поголем агол очигледно одговара на поголем лак.
Теоремата што ја докажавме за еден круг останува точна еднакви кругови, бидејќи таквите кругови не се разликуваат едни од други по ништо освен по својата позиција.
Обратни понудиисто така ќе биде вистина . Во еден круг или во еднакви кругови:
1. ако лаковисе еднакви, тогаш нивните соодветни централни аглисе еднакви.
2. ако лаковине се еднакви, тогаш поголемото од нив одговара на поголемото централен агол.
Во еден круг или во еднакви кругови, централните агли се поврзани како нивни соодветни лакови. Или парафразирајќи, добиваме дека централниот агол пропорционаленнеговиот соодветен лак.