\[(\Large(\text(Централни и впишани агли)))\]
Дефиниции
Централен агол е агол чие теме лежи во центарот на кругот.
Впишан агол е агол чие теме лежи на круг.
Степенот на лак на круг е степенот на мерката на централниот агол што го потпира.
Теорема
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ
Доказот ќе го извршиме во две фази: прво, ќе ја докажеме валидноста на исказот за случајот кога една од страните на впишаниот агол содржи дијаметар. Нека точката \(B\) е темето на впишаниот агол \(ABC\) и \(BC\) дијаметарот на кругот:
Триаголникот \(AOB\) е рамнокрак, \(AO = OB\) , \(\аголот AOC\) е надворешен, тогаш \(\агол AOC = \агол OAB + \агол ABO = 2\агол ABC\), каде \(\агол ABC = 0,5\cdot\агол AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Сега разгледајте произволен впишан агол \(ABC\) . Да го нацртаме дијаметарот на кругот \(BD\) од темето на впишаниот агол. Постојат два можни случаи:
1) дијаметарот го пресекува аголот на два агли \(\агол ABD, \агол CBD\) (за секој од нив теоремата е вистинита како што е докажано погоре, затоа е точно и за оригиналниот агол, што е збир од овие два и затоа еднаква на половина од збирот на лаците на кои се потпираат, односно еднаква на половина од лакот на кој се потпира). Ориз. 1.
2) дијаметарот не го пресече аголот на два агли, тогаш имаме уште два нови впишани агли \(\агол ABD, \агол CBD\), чија страна го содржи дијаметарот, затоа, теоремата е точна за нив, тогаш тоа важи и за оригиналниот агол (што е еднакво на разликата на овие два агли, што значи дека е еднаква на полуразликата на лаците на кои се потпираат, односно еднаква на половина од лакот на кој се потпира) . Ориз. 2.
Последици
1. Впишаните агли што го потпираат истиот лак се еднакви.
2. Впишан агол подвижен со полукруг е прав агол.
3. Впишан агол е еднаков на половина од централниот агол подвижен од истиот лак.
\[(\Large(\text(Тангента на кругот)))\]
Дефиниции
Постојат три вида релативни позиции на права и круг:
1) права линија \(a\) ја пресекува кружницата на две точки. Таквата линија се нарекува секантна линија. Во овој случај, растојанието \(d\) од центарот на кругот до правата линија е помало од радиусот \(R\) на кругот (сл. 3).
2) права линија \(b\) ја пресекува кружницата во една точка. Таквата права се нарекува тангента, а нивната заедничка точка \(B\) се нарекува точка на тангенција. Во овој случај \(d=R\) (сл. 4).
Теорема
1. Тангента на кружница е нормална на радиусот нацртан до точката на тангенција.
2. Ако правата минува низ крајот на радиусот на кружницата и е нормална на овој радиус, тогаш таа е тангента на кругот.
Последица
Тангентните отсечки нацртани од една точка до круг се еднакви.
Доказ
Да нацртаме две тангенти \(KA\) и \(KB\) на кругот од точката \(K\):
Ова значи дека \(OA\perp KA, OB\perp KB\) се како радиуси. Правоаголните триаголници \(\триаголник KAO\) и \(\триаголникот KBO\) се еднакви во кракот и хипотенузата, затоа, \(KA=KB\) .
Последица
Центарот на кружницата \(O\) лежи на симетралата на аголот \(AKB\) формирана од две тангенти нацртани од истата точка \(K\) .
\[(\Large(\text(Теореми поврзани со агли)))\]
Теорема за аголот помеѓу секантите
Аголот помеѓу два секанти извлечени од иста точка е еднаков на полу-разликата во мерките на степенот на поголемите и помалите лаци што ги сечат.
Доказ
Нека \(M\) е точката од која се цртаат два секанти како што е прикажано на сликата:
Да го покажеме тоа \(\агол DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\агол DAB\) е надворешниот агол на триаголникот \(MAD\), тогаш \(\агол DAB = \агол DMB + \агол MDA\), каде \(\агол DMB = \агол DAB - \агол MDA\), но аглите \(\агол DAB\) и \(\агол MDA\) се впишани, тогаш \(\агол DMB = \агол DAB - \агол MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), што требаше да се докаже.
Теорема за аголот помеѓу акордите што се сечат
Аголот помеѓу два пресечни акорди е еднаков на половина од збирот на степените мерки на лаците што ги пресекуваат: \[\агол CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\десно)\]
Доказ
\(\агол BMA = \агол CMD\) како вертикална.
Од триаголник \(AMD\) : \(\агол AMD = 180^\circ - \агол BDA - \агол CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Но \(\агол AMD = 180^\circ - \агол CMD\), од што заклучуваме дека \[\агол CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ насмевка\над(ЦД)).\]
Теорема за аголот помеѓу акорд и тангента
Аголот помеѓу тангентата и акордот што минува низ точката на тангенција е еднаков на половина од степенот на мерката на лакот што го подвигнува акордот.
Доказ
Нека правата \(a\) го допира кругот во точката \(A\), \(AB\) е акорд на овој круг, \(O\) е неговиот центар. Нека правата што содржи \(OB\) се сече \(a\) во точката \(M\) . Да го докажеме тоа \(\агол BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Да означиме \(\агол OAB = \алфа\) . Бидејќи \(OA\) и \(OB\) се радиуси, тогаш \(OA = OB\) и \(\агол OBA = \агол OAB = \алфа\). Така, \(\buildrel\smile\over(AB) = \агол AOB = 180^\circ - 2\алфа = 2(90^\circ - \алфа)\).
Бидејќи \(OA\) е радиусот нацртан до тангентата точка, тогаш \(OA\perp a\), односно \(\агол OAM = 90^\circ\), затоа, \(\агол BAM = 90^\circ - \агол OAB = 90^\circ - \алфа = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Теорема за лакови подредени со еднакви акорди
Еднакви акорди се наведнуваат еднакви лакови помали од полукруговите.
И обратно: еднаквите лакови се подредени со еднакви акорди.
Доказ
1) Нека \(AB=CD\) . Да докажеме дека помалите полукругови на лакот .
На три страни, значи, \(\агол AOB=\агол COD\) . Но затоа што \(\агол AOB, \агол COD\) - централни агли поддржани со лакови \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)соодветно, тогаш \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Ако \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Тоа \(\триаголник AOB=\триаголник COD\)на две страни \(AO=BO=CO=DO\) и аголот меѓу нив \(\агол AOB=\агол COD\) . Затоа, и \(AB=CD\) .
Теорема
Ако радиусот го преполовува акордот, тогаш тој е нормално на него.
Обратно е исто така точно: ако радиусот е нормален на акордот, тогаш во точката на пресек го преполовува.
Доказ
1) Нека \(AN=NB\) . Да докажеме дека \(OQ\perp AB\) .
Размислете за \(\триаголник AOB\) : тој е рамнокрак, бидејќи \(OA=OB\) – радиуси на кругот. Бидејќи \(ON\) е медијаната нацртана до основата, тогаш таа е и висината, затоа, \(ON\perp AB\) .
2) Нека \(OQ\perp AB\) . Да докажеме дека \(AN=NB\) .
Слично на тоа, \(\триаголникот AOB\) е рамнокрак, \(ON\) е висината, според тоа, \(ON\) е медијана. Затоа, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Теореми поврзани со должините на отсечките)))\]
Теорема за производ на отсечки на акорд
Ако се сечат два акорда од круг, тогаш производот на отсечките од едната акорд е еднаков на производот на отсечките од другата акорд.
Доказ
Нека акордите \(AB\) и \(CD\) се сечат во точката \(E\) .
Размислете за триаголниците \(ADE\) и \(CBE\) . Во овие триаголници, аглите \(1\) и \(2\) се еднакви, бидејќи тие се впишани и се наоѓаат на истиот лак \(BD\), а аглите \(3\) и \(4\) се еднакви како вертикална. Триаголниците \(ADE\) и \(CBE\) се слични (врз основа на првиот критериум за сличност на триаголниците).
Потоа \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), од каде \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Тангента и секантна теорема
Квадратот на тангента отсечка е еднаков на производот на секанта и нејзиниот надворешен дел.
Доказ
Оставете ја тангентата да помине низ точката \(M\) и допрете го кругот во точката \(A\) . Оставете ја секантата да помине низ точката \(M\) и да ја пресече кружницата во точките \(B\) и \(C\) така што \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Размислете за триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) : \(\аголот M\) е заеднички, \(\агол BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Според теоремата за аголот помеѓу тангента и секанта, \(\агол BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \агол BCA\). Така, триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) се слични под два агли.
Од сличноста на триаголниците \(MBA\) и \(MCA\) имаме: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), што е еквивалентно на \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Последица
Производот на секанта извлечена од точката \(O\) од нејзиниот надворешен дел не зависи од изборот на секантата извлечена од точката \(O\) .
Планиметријата е гранка на геометријата која ги проучува својствата на рамни фигури. Тука спаѓаат не само добро познатите триаголници, квадрати и правоаголници, туку и прави линии и агли. Во планиметријата, постојат и такви концепти како агли во круг: централен и впишан. Но, што значат тие?
Што е централен агол?
За да разберете што е централен агол, треба да дефинирате круг. Круг е збир на сите точки на еднакво растојание од дадена точка (центарот на кругот).
Многу е важно да се разликува од круг. Треба да запомните дека кругот е затворена линија, а кругот е дел од рамнината ограничена со неа. Многуаголник или агол може да се впише во круг.
Централен агол е агол чие теме се совпаѓа со центарот на кружницата и чии страни ја сечат кружницата во две точки. Лакот што аголот го ограничува со пресечните точки се нарекува лак на кој почива дадениот агол.
Да го погледнеме примерот бр. 1.
На сликата аголот AOB е централен, бидејќи темето на аголот и центарот на кругот се една точка O. Се потпира на лакот AB, кој не ја содржи точката C.
Како се разликува впишаниот агол од централниот агол?
Меѓутоа, покрај централните агли, има и впишани агли. Која е нивната разлика? Исто како и централниот агол, аголот впишан во кругот лежи на одреден лак. Но, неговото теме не се совпаѓа со центарот на кругот, туку лежи на него.
Да го земеме следниот пример.
Агол ACB се нарекува агол впишан во круг со центар во точката O. Точката C припаѓа на кругот, односно лежи на неа. Аголот лежи на лакот AB.
За успешно справување со геометриските проблеми, не е доволно да може да се направи разлика помеѓу впишани и централни агли. Како по правило, за да ги решите, треба точно да знаете како да го пронајдете централниот агол во круг и да можете да ја пресметате неговата вредност во степени.
Значи, централниот агол е еднаков на степенот мерка на лакот на кој се потпира.
На сликата, аголот AOB лежи на лакот AB еднаков на 66°. Ова значи дека аголот AOB е исто така 66°.
Така, централните агли подредени со еднакви лаци се еднакви.
На сликата, лакот DC е еднаков на лакот AB. Ова значи дека аголот AOB е еднаков на аголот DOC.
Може да изгледа дека аголот впишан во кругот е еднаков на централниот агол, кој се потпира на истиот лак. Сепак, ова е тешка грешка. Всушност, дури и само да го погледнете цртежот и да ги споредите овие агли едни со други, можете да видите дека нивните мерки за степен ќе имаат различни вредности. Значи, што е впишаниот агол во круг?
Мерката на степенот на впишаниот агол е еднаква на една половина од лакот на кој се потпира, или половина од централниот агол ако се потпираат на истиот лак.
Ајде да погледнеме на пример. Аголот ASV лежи на лак еднаков на 66°.
Ова значи агол ACB = 66°: 2 = 33°
Ајде да разгледаме некои последици од оваа теорема.
- Впишаните агли, ако се засноваат на ист лак, акорд или еднакви лаци, се еднакви.
- Ако впишаните агли се потпираат на една акорд, но нивните темиња лежат на спротивните страни од неа, збирот на мерките на степенот на таквите агли е 180°, бидејќи во овој случај и двата агли се потпираат на лакови чиишто мерки на степен се собираат до 360° ( цел круг) , 360°: 2 = 180°
- Ако впишаниот агол се заснова на дијаметарот на даден круг, неговата мерка на степен е 90°, бидејќи дијаметарот подтегнува лак еднаков на 180°, 180°: 2 = 90°
- Ако централните и впишаните агли во круг се наоѓаат на истиот лак или акорд, тогаш впишаниот агол е еднаков на половина од централниот.
Каде може да се најдат проблеми на оваа тема? Нивните видови и решенија
Со оглед на тоа што кругот и неговите својства се еден од најважните делови на геометријата, особено планиметријата, впишаните и централните агли во круг се тема што се проучува нашироко и детално во училишниот курс. Проблемите посветени на нивните својства се наоѓаат во главниот државен испит (OGE) и унифицираниот државен испит (USE). Како по правило, за да ги решите овие проблеми, треба да ги најдете аглите на кругот во степени.
Агли засновани на еден лак
Овој тип на проблем е можеби еден од најлесните, бидејќи за да го решите треба да знаете само две едноставни својства: ако двата агли се впишани и засновани на иста акорд, тие се еднакви, ако еден од нив е централен, тогаш соодветните впишан агол е еднаков на половина од него. Меѓутоа, кога ги решавате, треба да бидете исклучително внимателни: понекогаш е тешко да се забележи ова својство, а учениците доаѓаат во ќорсокак кога решаваат толку едноставни проблеми. Ајде да погледнеме на пример.
Задача бр. 1
Дадена е кружница со центар во точката O. Аголот AOB е 54°. Најдете степен на мерка на аголот ASV.
Оваа задача се решава во една акција. Единственото нешто што треба брзо да го најдете одговорот на него е да забележите дека лакот на кој се потпираат двата агли е заеднички. Откако ќе го видите ова, можете да примените веќе познато својство. Аголот ACB е еднаков на половина од аголот AOB. Средства,
1) AOB = 54 °: 2 = 27 °.
Одговор: 54°.
Агли подредени од различни лакови од ист круг
Понекогаш проблематичните услови не ја наведуваат директно големината на лакот на кој почива саканиот агол. За да го пресметате, треба да ја анализирате големината на овие агли и да ги споредите со познатите својства на кругот.
Проблем 2
Во круг со центар во точката O, аголот AOC е 120°, а аголот AOB е 30°. Најдете го аголот на ВАС.
За почеток, вреди да се каже дека е можно да се реши овој проблем користејќи ги својствата на рамнокракните триаголници, но за ова ќе бидат потребни поголем број математички операции. Затоа, овде ќе дадеме анализа на решението користејќи ги својствата на централните и впишаните агли во круг.
Значи, аголот AOS лежи на лакот AC и е централен, што значи дека лакот AC е еднаков на аголот AOS.
На ист начин, аголот AOB лежи на лакот AB.
Знаејќи го ова и степенот на мерката на целиот круг (360°), можете лесно да ја пронајдете големината на лакот BC.
BC = 360° - AC - AB
п.н.е. = 360° - 120° - 30° = 210°
Темето на аголот CAB, точка А, лежи на кругот. Ова значи дека аголот CAB е впишан агол и е еднаков на половина од лакот NE.
Агол CAB = 210°: 2 = 110°
Одговор: 110°
Проблеми засновани на односот на лаците
Некои проблеми воопшто не содржат податоци за вредностите на аголот, па затоа треба да се бараат само врз основа на познати теореми и својства на кругот.
Проблем 1
Најдете го аголот впишан во кругот што подтегнува акорд еднаков на радиусот на дадениот круг.
Ако ментално нацртате линии што ги поврзуваат краевите на сегментот со центарот на кругот, ќе добиете триаголник. Откако ќе го испитате, можете да видите дека овие линии се радиусите на кругот, што значи дека сите страни на триаголникот се еднакви. Познато е дека сите агли на рамностран триаголник се еднакви на 60°. Тоа значи дека лакот AB што го содржи темето на триаголникот е еднаков на 60°. Од тука го наоѓаме лакот AB на кој почива саканиот агол.
AB = 360° - 60° = 300°
Агол ABC = 300°: 2 = 150°
Одговор: 150°
Проблем 2
Во круг со центар во точката О, лаците се во сооднос 3:7. Најдете го најмалиот впишан агол.
За да решиме, да означиме еден дел како X, тогаш еден лак е еднаков на 3X, а вториот, соодветно, е 7X. Знаејќи дека степенот на мерката на кругот е 360°, ајде да создадеме равенка.
3X + 7X = 360°
Според условот, треба да најдете помал агол. Очигледно, ако големината на аголот е директно пропорционална со лакот на кој се потпира, тогаш саканиот (помал) агол одговара на лак еднаков на 3X.
Ова значи дека помалиот агол е (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°
Одговор: 54°
Во круг со центар во точката O, аголот AOB е 60°, а должината на помалиот лак е 50. Пресметај ја должината на поголемиот лак.
За да ја пресметате должината на поголем лак, треба да креирате пропорција - како помалиот лак се поврзува со поголемиот. За да го направите ова, ја пресметуваме големината на двата лака во степени. Помалиот лак е еднаков на аголот што лежи на него. Неговата мерка ќе биде 60°. Главниот лак е еднаков на разликата помеѓу степенот на мерката на кругот (тоа е еднаков на 360° без оглед на другите податоци) и малиот лак.
Главниот лак е 360° - 60° = 300°.
Од 300°: 60° = 5, поголемиот лак е 5 пати поголем од помалиот.
Голем лак = 50 * 5 = 250
Значи, се разбира, постојат и други пристапи за решавање на слични проблеми, но сите тие некако се засноваат на својствата на централните и впишаните агли, триаголници и кругови. За успешно да ги решите, треба внимателно да го проучите цртежот и да го споредите со податоците од проблемот, како и да можете да го примените вашето теоретско знаење во пракса.
Концептот на впишан и централен агол
Прво да го воведеме концептот на централен агол.
Забелешка 1
Забележи го тоа степенската мерка на централниот агол е еднаква на степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Сега да го претставиме концептот на впишан агол.
Дефиниција 2
Аголот чие теме лежи на круг и чии страни ја сечат истата кружница се нарекува впишан агол (сл. 2).
Слика 2. Впишан агол
Теорема за впишан агол
Теорема 1
Степената мерка на впишан агол е еднаква на половина од степенската мерка на лакот на кој се потпира.
Доказ.
Да ни биде даден круг со центар во точката $O$. Да го означиме впишаниот агол $ACB$ (сл. 2). Можни се следните три случаи:
- Зракот $CO$ се совпаѓа со која било страна од аголот. Нека ова е страната $CB$ (слика 3).
Слика 3.
Во овој случај, лакот $AB$ е помал од $(180)^(()^\circ )$, затоа централниот агол $AOB$ е еднаков на лакот $AB$. Бидејќи $AO=OC=r$, тогаш триаголникот $AOC$ е рамнокрак. Ова значи дека основните агли $CAO$ и $ACO$ се еднакви еден на друг. Според теоремата за надворешниот агол на триаголникот, имаме:
- Ray $CO$ дели внатрешен агол на два агли. Нека го пресече кругот во точката $D$ (сл. 4).
Слика 4.
Добиваме
- Зракот $CO$ не го дели внатрешниот агол на два агли и не се совпаѓа со ниту една од неговите страни (сл. 5).
Слика 5.
Дозволете ни да ги разгледаме аглите $ACD$ и $DCB$ одделно. Според она што беше докажано во точка 1, добиваме
Добиваме
Теоремата е докажана.
Ајде да дадеме последицитеод оваа теорема.
Заклучок 1:Впишаните агли кои се потпираат на истиот лак се еднакви еден на друг.
Заклучок 2:Впишан агол што го поттегнува дијаметарот е прав агол.
Ова е аголот формиран од два акорди, со потекло од една точка на кругот. Се вели дека е впишан агол почивана лакот затворен меѓу неговите страни.
Впишан аголеднаква на половина од лакот на кој се потпира.
Со други зборови, впишан аголвклучува онолку аголни степени, минути и секунди лак степени, минутите и секундите се содржани во половина од лакот на кој се потпира. За да го оправдаме ова, да анализираме три случаи:
Прв случај:
Центарот О се наоѓа на страна впишан агол ABC. Цртајќи го радиусот AO, добиваме ΔABO, во него OA = OB (како радиуси) и, соодветно, ∠ABO = ∠BAO. Во врска со ова тријаголник, агол AOC - надворешен. А тоа значи дека е еднаков на збирот на аглите ABO и BAO, или еднаков на двојниот агол ABO. Значи ∠ABO е еднакво на половина централен агол AOC. Но, овој агол се мери со лак AC. Односно, впишаниот агол ABC се мери со половина од лакот AC.
Втор случај:
Центарот О се наоѓа помеѓу страните впишан агол ABC Откако го нацртавме дијаметарот BD, го делиме аголот ABC на два агли, од кои, според првиот случај, еден се мери на половина. лаковиАД, а другата половина од лакот ЦД. И соодветно, се мери аголот ABC (AD+DC) /2, т.е. 1/2 наизменична струја.
Трет случај:
Центарот О се наоѓа надвор впишан агол ABC. Цртајќи го дијаметарот BD, ќе имаме:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Но, аглите ABD и CBD се мерат врз основа на претходно оправданата половина лакАД и ЦД. И бидејќи ∠ABC се мери со (AD-CD)/2, односно половина од лакот AC.
Заклучок 1.Сите засновани на истиот лак се исти, односно еднакви еден на друг. Бидејќи секој од нив се мери со половина од истиот лакови .
Заклучок 2. Впишан агол, врз основа на дијаметарот - прав агол. Бидејќи секој таков агол се мери со половина полукруг и, соодветно, содржи 90 °.
Прво, да ја разбереме разликата помеѓу круг и круг. За да се види оваа разлика, доволно е да се разгледаат кои се двете бројки. Тоа се бесконечен број точки на рамнината, лоцирани на еднакво растојание од една централна точка. Но, ако кругот се состои и од внатрешен простор, тогаш тој не припаѓа на кругот. Излегува дека кругот е и круг што го ограничува (круг(r)), и безброј точки што се наоѓаат во кругот.
За која било точка L што лежи на кругот, важи еднаквоста OL=R. (Должината на отсечката OL е еднаква на радиусот на кругот).
Отсечка што поврзува две точки на круг е нејзина акорд.
Акорд што минува директно низ центарот на кругот е дијаметаровој круг (Д). Дијаметарот може да се пресмета со формулата: D=2R
Обемпресметано со формулата: C=2\pi R
Површина на круг: S=\pi R^(2)
Лак од кругсе нарекува оној негов дел што се наоѓа помеѓу неговите две точки. Овие две точки дефинираат два лака на круг. ЦД-то на акордот подтегне два лака: CMD и CLD. Идентичните акорди наведнуваат еднакви лакови.
Централен аголАголот што лежи помеѓу два радиуси се нарекува.
Должина на лакотможе да се најде со помош на формулата:
- Користење на мерка за степен: CD = \frac(\pi R \алфа ^(\circ))(180^(\circ))
- Користење на радијанска мерка: CD = \alpha R
Дијаметарот, кој е нормален на акордот, ги дели на половина акордот и лаците што се стегаат од него.
Ако акордите AB и CD на кругот се сечат во точката N, тогаш производите на отсечките на акордите одделени со точката N се еднакви еден на друг.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Тангента на круг
Тангента на кругВообичаено е да се нарече права линија која има една заедничка точка со круг.
Ако правата има две заеднички точки, таа се нарекува секант.
Ако го нацртате радиусот до тангентата точка, тој ќе биде нормален на тангентата на кругот.
Ајде да нацртаме две тангенти од оваа точка до нашиот круг. Излегува дека тангентните отсечки ќе бидат еднакви една на друга, а центарот на кругот ќе се наоѓа на симетралата на аголот со темето во оваа точка.
AC = CB
Сега да нацртаме тангента и секанта на кругот од нашата точка. Добиваме дека квадратот на должината на тангентата отсечка ќе биде еднаков на производот на целата секантна отсечка и нејзиниот надворешен дел.
AC^(2) = CD \cdot BC
Можеме да заклучиме: производот на цел сегмент од првата секанта и неговиот надворешен дел е еднаков на производот на цел сегмент од втората секанта и нејзиниот надворешен дел.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Агли во круг
Мерките на степенот на централниот агол и лакот на кој се потпира се еднакви.
\агол COD = \шолја ЦД = \алфа ^(\circ)
Впишан аголе агол чие теме е на круг и чии страни содржат акорди.
Можете да го пресметате со познавање на големината на лакот, бидејќи е еднаква на половина од овој лак.
\агол AOB = 2 \агол АДБ
Врз основа на дијаметар, впишан агол, прав агол.
\агол CBD = \агол CED = \агол CAD = 90^ (\circ)
Впишаните агли што го наведнуваат истиот лак се идентични.
Впишаните агли што се потпираат на една акорд се идентични или нивниот збир е еднаков на 180^ (\circ) .
\агол ADB + \агол AKB = 180^ (\circ)
\агол ADB = \агол AEB = \агол AFB
На истиот круг се наоѓаат темињата на триаголниците со идентични агли и дадена основа.
Агол со теме во кругот и сместен помеѓу два акорди е идентичен со половина од збирот на аголните вредности на лаците на кругот што се содржани во дадените и вертикалните агли.
\агол DMC = \агол ADM + \агол DAM = \frac(1)(2) \лево (\чашка DmC + \шолја AlB \десно)
Агол со теме надвор од кругот и лоциран помеѓу два секанта е идентичен со половина од разликата во аголните вредности на лаците на кругот што се содржани во аголот.
\агол М = \агол CBD - \агол ACB = \frac(1)(2) \лево (\чашка DmC - \чашка AlB \десно)
Впишан круг
Впишан круге круг тангентен на страните на многуаголникот.
На местото каде што се сечат симетралите на аглите на многуаголникот, се наоѓа неговиот центар.
Круг не може да биде впишан во секој многуаголник.
Областа на многуаголник со впишан круг се наоѓа со формулата:
S = pr,
p е полупериметар на многуаголникот,
r е радиусот на впишаниот круг.
Следи дека радиусот на впишаниот круг е еднаков на:
r = \frac(S)(p)
Збировите на должините на спротивните страни ќе бидат идентични ако кругот е впишан во конвексен четириаголник. И обратно: круг се вклопува во конвексен четириаголник ако збировите на должините на спротивните страни се идентични.
AB + DC = AD + BC
Можно е да се впише круг во кој било од триаголниците. Само еден единствен. На местото каде што се сечат симетралите на внатрешните агли на фигурата, ќе лежи центарот на овој впишан круг.
Радиусот на впишаниот круг се пресметува со формулата:
r = \frac(S)(p) ,
каде што p = \frac(a + b + c) (2)
Круг
Ако круг поминува низ секое теме на многуаголник, тогаш таквата кружница обично се нарекува опишан за многуаголник.
На местото на пресекот на нормалните симетрали на страните на оваа фигура ќе биде центарот на кружниот круг.
Радиусот може да се најде со пресметување како радиус на кругот што е опкружен со триаголникот дефиниран со кои било 3 темиња на многуаголникот.
Постои следниов услов: круг може да се опише околу четириаголник само ако збирот на неговите спротивни агли е еднаков на 180^( \circ) .
\агол A + \агол C = \агол B + \агол D = 180^ (\circ)
Околу секој триаголник можете да опишете круг, и тоа само еден. Центарот на таков круг ќе се наоѓа на местото каде што се сечат нормалните симетрали на страните на триаголникот.
Радиусот на ограничениот круг може да се пресмета со помош на формулите:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c се должините на страните на триаголникот,
S е плоштината на триаголникот.
Птоломејова теорема
Конечно, разгледајте ја теоремата на Птоломеј.
Птоломејовата теорема вели дека производот на дијагоналите е идентичен со збирот на производите на спротивните страни на цикличниот четириаголник.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)