Дефиниција на конвексен n триаголник. Доказ: Да ја нацртаме дијагоналата AC

Конвексен сет на точки на рамнина.

Многу точки на авион или во тридимензионален просторповикани конвексни, ако кои било две точки од ова множество може да се поврзат со отсечка што лежи целосно во ова множество.

Теорема 1. раскрсница конечен бројна конвексни множества е конвексно множество.

Последица.Пресекот на конечен број на конвексни множества е конвексно множество.

Аголни точки.

Гранична точка конвексен сетповикани аголна, доколку е можно низ него да се повлече отсечка чиишто точки не припаѓаат на даденото множество.

Множества од различни форми може да имаат конечни или бесконечен бројаголни точки.

Конвексен многуаголник.

Многуаголникповикани конвексни, ако лежи на едната страна од секоја права што минува низ две од нејзините соседни темиња.

Теорема: Збирот на аглите на конвексен n-аголник е 180˚ *(n-2)

6) Решение на системи m линеарни неравенкисо две променливи

Даден е систем на линеарни неравенки со две променливи

Знаците на некои или сите нееднаквости може да бидат ≥.

Да ја разгледаме првата неравенка во координатниот систем X1OX2. Ајде да изградиме права линија

која е граничната линија.

Оваа права линија ја дели рамнината на две полурамнини 1 и 2 (сл. 19.4).

Полурамнината 1 го содржи потеклото, полурамнината 2 не го содржи потеклото.

За да одредите на која страна од граничната линија се наоѓа дадена полурамнина, треба да земете произволна точкана рамнината (по можност потеклото) и заменете ги координатите на оваа точка во неравенство. Ако неравенството е точно, тогаш полурамнината е насочена кон оваа точка, ако не е точно, тогаш во насока спротивна на точката.

Насоката на полурамнината е прикажана на сликите со стрелка.

Дефиниција 15. Решението за секоја неравенка на системот е полурамнина што ја содржи граничната линија и се наоѓа на едната страна од неа.

Дефиниција 16. Пресекот на полурамнините, од кои секоја е определена со соодветната нееднаквост на системот, се нарекува домен на решение на системот (SO).

Дефиниција 17. Површината на решението на системот што ги задоволува условите на негативноста (xj ≥ 0, j =) се нарекува област на ненегативни или дозволени решенија (ADS).

Ако системот на неравенки е конзистентен, тогаш ИЛИ и ОДР може да бидат полиедар, неограничен полиедарски регион или една точка.

Ако системот на неравенки е неконзистентен, тогаш ИЛИ и ОДР се празно множество.

Пример 1. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки и определи ги координатите на аголните точки на ОДЕ

Решение. Да го најдеме ИЛИ на првата неравенка: x1 + 3x2 ≥ 3. Да ја конструираме граничната линија x1 + 3x2 – 3 = 0 (сл. 19.5). Да ги замениме координатите на точката (0,0) во неравенката: 1∙0 + 3∙0 > 3; бидејќи координатите на точката (0,0) не ја задоволуваат, тогаш решението на неравенката (19.1) е полурамнина што не ја содржи точката (0,0).

Слично да најдеме решенија за преостанатите нееднаквости на системот. Добиваме дека ИЛИ и ОД на системот на неравенки се конвексен полиедарА БЕ ЦЕ ДЕ.

Ќе најдеме аголни точкиполиедар. Точката А ја дефинираме како точка на пресек на правите

Решавајќи го системот, добиваме A(3/7, 6/7).

Точката Б ја наоѓаме како точка на пресек на правите

Од системот добиваме B(5/3, 10/3). Слично, ги наоѓаме координатите на точките C и D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Пример 2. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки

Решение. Да конструираме прави и да одредиме решенија за неравенки (19,5)-(19,7). OR и ODR се неограничени полиедарски региони ACFM и ABDEKM, соодветно (сл. 19.6).

Пример 3. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки

Решение. Да најдеме решенија за неравенки (19.8)-(19.10) (сл. 19.7). ИЛИ го претставува неограничениот полиедарски регион ABC; ОДР - точка Б.

Пример 4. Најдете ги OP и ODP на системот на неравенки

Решение. Со конструирање прави ќе најдеме решенија за нееднаквостите на системот. ИЛИ и ОДР се некомпатибилни (сл. 19.8).

ВЕЖБИ

Најдете ги ИЛИ и ОД на системите на неравенки

Теорема. Ако xn ® a, тогаш .

Доказ. Од xn ® a следува дека . Во исто време:

, т.е. , т.е. . Теоремата е докажана.

Теорема. Ако xn ® a, тогаш низата (xn) е ограничена.

Треба да се забележи дека обратното тврдење не е точно, т.е. границата на низата не подразбира нејзина конвергенција.

На пример, низата сепак нема ограничување

Проширување на функциите во енергетски серии.

Проширување на функциите во моќна серијаТоа има големо значењеза решенија различни задачиистражување на функции, диференцијација, интеграција, решенија диференцијални равенки, пресметка на граници, пресметка на приближни вредности на функција.

Во оваа лекција ќе започнеме нова темаи воведе нов концепт за нас: „полигон“. Ќе ги разгледаме основните концепти поврзани со многуаголниците: страни, агли на теме, конвексност и неконвексност. Тогаш ќе докажеме најважните фактикако што е теоремата за збир внатрешни аглимногуаголник, теорема за сума надворешни аглимногуаголник. Како резултат на тоа, ќе дојдеме блиску до проучување на посебни случаи на многуаголници, кои ќе бидат разгледани во понатамошните лекции.

Тема: Четириаголници

Лекција: Многуаголници

Во курсот по геометрија ги проучуваме својствата геометриски формии веќе ги разгледавме наједноставните од нив: триаголници и кругови. Во исто време, разговаравме и за конкретни посебни случаи на овие фигури, како што се правоаголни, рамнокраки и правилни триаголници. Сега е време да се зборува за поопшти и сложени фигури - многуаголници.

Со посебен случај многуаголницивеќе сме запознаени - ова е триаголник (види слика 1).

Ориз. 1. Триаголник

Самото име веќе нагласува дека се работи за фигура со три агли. Затоа, во многуаголникможе да ги има многу, т.е. повеќе од три. На пример, да нацртаме пентагон (види слика 2), т.е. фигура со пет агли.

Ориз. 2. Пентагон. Конвексен многуаголник

Дефиниција.Многуаголник- фигура која се состои од неколку точки (повеќе од две) и соодветен број на отсечки кои последователно ги поврзуваат. Овие точки се нарекуваат врвовимногуаголник, а отсечките се забави. Во овој случај, нема две соседни страни кои лежат на иста права линија и не се сечат две непосредни страни.

Дефиниција.Правилен многуаголнике конвексен многуаголник во кој сите страни и агли се еднакви.

Било кој многуаголникја дели рамнината на две области: внатрешна и надворешна. Внатрешната област се нарекува и како многуаголник.

Со други зборови, на пример, кога зборуваат за пентагон, тие значат и целиот негов внатрешен регион и неговата граница. А внатрешниот регион ги вклучува сите точки што лежат внатре во полигонот, т.е. точката се однесува и на пентагонот (види Сл. 2).

Многуаголниците понекогаш се нарекуваат и n-аголници за да се нагласи она што се разгледува општ случајприсуство на некој непознат број агли (n парчиња).

Дефиниција. Периметар на многуаголник- збирот на должините на страните на многуаголникот.

Сега треба да се запознаеме со типовите на многуаголници. Тие се поделени на конвексниИ неконвексни. На пример, многуаголникот прикажан на сл. 2 е конвексен, а на сл. 3 неконвексни.

Ориз. 3. Неконвексен многуаголник

Дефиниција 1. Многуаголникповикани конвексни, ако при цртање права линија низ која било од неговите страни, целата многуаголниклежи само на едната страна од оваа права линија. Неконвекснисе сите други многуаголници.

Лесно е да се замисли дека при проширување на која било страна од пентагонот на Сл. 2 сето тоа ќе биде на едната страна од оваа права линија, т.е. конвексен е. Но, кога се црта права линија низ четириаголник на Сл. 3 веќе гледаме дека го дели на два дела, т.е. не е конвексен.

Но, постои друга дефиниција за конвексноста на многуаголникот.

Дефиниција 2. Многуаголникповикани конвексни, ако при изборот на која било од неговите внатрешни точки и поврзувањето со отсечка, сите точки на отсечката се и внатрешни точки на многуаголникот.

Демонстрација на употребата на оваа дефиниција може да се види во примерот на конструирање сегменти на сл. 2 и 3.

Дефиниција. Дијагоналана многуаголник е која било отсечка што поврзува две несоседни темиња.

За да се опишат својствата на многуаголниците, постојат две најважните теоремиза нивните агли: Теорема за збир на внатрешниот агол конвексен многуаголник И теорема за збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник. Ајде да ги погледнеме.

Теорема. На збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).

Каде е бројот на неговите агли (страни).

Доказ 1. Да прикажеме на сл. 4 конвексни n-аголник.

Ориз. 4. Конвексен n-аголник

Од темето ги цртаме сите можни дијагонали. Тие го делат n-аголникот на триаголници, бидејќи секоја од страните на многуаголникот формира триаголник, освен страните соседни на темето. Лесно е да се види од сликата дека збирот на аглите на сите овие триаголници ќе биде точно еднаков на збирот на внатрешните агли на n-аголникот. Бидејќи збирот на аглите на кој било триаголник е , тогаш збирот на внатрешните агли на n-аголник е:

Q.E.D.

Доказ 2. Можен е уште еден доказ за оваа теорема. Ајде да нацртаме сличен n-аголник на сл. 5 и поврзете која било од неговите внатрешни точки со сите темиња.

Ориз. 5.

Добивме поделба на n-аголникот на n триаголници (толку страни колку што има триаголници). Збирот на сите нивни агли е еднаков на збирот на внатрешните агли на многуаголникот и збирот на аглите на внатрешна точка, и ова е аголот. Ние имаме:

Q.E.D.

Докажано.

Според докажаната теорема, јасно е дека збирот на аглите на n-аголник зависи од бројот на неговите страни (на n). На пример, во триаголник, а збирот на аглите е . Во четириаголник, а збирот на аглите е итн.

Теорема. На збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).

Каде е бројот на неговите агли (страни), а , …, се надворешните агли.

Доказ. Дозволете ни да прикажеме конвексен n-аголник на Сл. 6 и назначете ги неговите внатрешни и надворешни агли.

Ориз. 6. Конвексен n-аголник со назначени надворешни агли

Бидејќи Надворешниот агол е поврзан со внатрешниот како соседен, тогаш а слично и за останатите надворешни агли. Потоа:

При трансформациите ја користевме веќе докажаната теорема за збирот на внатрешните агли на n-аголник.

Докажано.

Од докажаната теорема следува интересен факт, дека збирот на надворешните агли на конвексен n-аголник е еднаков на на бројот на неговите агли (страни). Патем, за разлика од збирот на внатрешните агли.

Библиографија

1. Александров А.Д. и други.Геометрија 8 одд. - М.: Образование, 2006 година.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрија, 8 одделение. - М.: Образование, 2011 година.
3. Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир С.М. Геометрија, 8 одделение. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 година.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашна работа

Концепт на полигон

Дефиниција 1

Многуаголнике геометриска фигура во рамнина, која се состои од отсечки поврзани во парови, соседните не лежат на иста права линија.

Во овој случај, сегментите се нарекуваат страни на многуаголникоти нивните краеви - темиња на многуаголникот.

Дефиниција 2

$n$-gon е многуаголник со $n$ темиња.

Видови многуаголници

Дефиниција 3

Ако многуаголникот секогаш лежи на иста страна од која било права што минува низ неговите страни, тогаш се повикува многуаголникот конвексни(сл. 1).

Слика 1. Конвексен многуаголник

Дефиниција 4

Ако многуаголникот лежи долж различни странибарем една права линија минува низ неговите страни, тогаш многуаголникот се нарекува неконвексен (сл. 2).

Слика 2. Неконвексен многуаголник

Збир на агли на многуаголник

Да воведеме теорема за збирот на аглите на триаголникот.

Теорема 1

Збирот на аглите на конвексен триаголник се одредува на следниов начин

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Доказ.

Да ни биде даден конвексен многуаголник $A_1A_2A_3A_4A_5\точки A_n$. Да го поврземе неговото теме $A_1$ со сите други темиња даден многуаголник(сл. 3).

Слика 3.

Со оваа врска добиваме триаголници од $n-2$. Со собирање на нивните агли се добива збир од аглите на даден -гон. Бидејќи збирот на аглите на триаголникот е еднаков на $(180)^0, $ добиваме дека збирот на аглите на конвексен триаголник е одреден со формулата

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Теоремата е докажана.

Концепт на четириаголник

Користејќи ја дефиницијата за $2$, лесно е да се воведе дефиниција за четириаголник.

Дефиниција 5

Четириаголник е многуаголник со темиња од $4$ (сл. 4).

Слика 4. Четириаголник

За четириаголник, концептите конвексен четириаголники неконвексен четириаголник. Класични примериконвексни четириаголници се квадрат, правоаголник, трапез, ромб, паралелограм (сл. 5).

Слика 5. Конвексни четириаголници

Теорема 2

Збирот на аглите на конвексен четириаголник е $(360)^0$

Доказ.

Со теорема $1$, знаеме дека збирот на аглите на конвексен -gon се одредува со формулата

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Според тоа, збирот на аглите на конвексен четириаголник е еднаков на

\[\лево(4-2\десно)\cточка (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е докажана.

Концепт на полигон

Дефиниција 1

Многуаголнике геометриска фигура во рамнина, која се состои од отсечки поврзани во парови, соседните не лежат на иста права линија.

Во овој случај, сегментите се нарекуваат страни на многуаголникоти нивните краеви - темиња на многуаголникот.

Дефиниција 2

$n$-gon е многуаголник со $n$ темиња.

Видови многуаголници

Дефиниција 3

Ако многуаголникот секогаш лежи на иста страна од која било права што минува низ неговите страни, тогаш се повикува многуаголникот конвексни(сл. 1).

Слика 1. Конвексен многуаголник

Дефиниција 4

Ако многуаголникот лежи на спротивните страни на барем една права линија што минува низ неговите страни, тогаш многуаголникот се нарекува неконвексен (сл. 2).

Слика 2. Неконвексен многуаголник

Збир на агли на многуаголник

Да воведеме теорема за збирот на аглите на триаголникот.

Теорема 1

Збирот на аглите на конвексен триаголник се одредува на следниов начин

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Доказ.

Да ни биде даден конвексен многуаголник $A_1A_2A_3A_4A_5\точки A_n$. Да го поврземе неговото теме $A_1$ со сите други темиња на овој многуаголник (сл. 3).

Слика 3.

Со оваа врска добиваме триаголници од $n-2$. Со собирање на нивните агли се добива збир од аглите на даден -гон. Бидејќи збирот на аглите на триаголникот е еднаков на $(180)^0, $ добиваме дека збирот на аглите на конвексен триаголник е одреден со формулата

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Теоремата е докажана.

Концепт на четириаголник

Користејќи ја дефиницијата за $2$, лесно е да се воведе дефиниција за четириаголник.

Дефиниција 5

Четириаголник е многуаголник со темиња од $4$ (сл. 4).

Слика 4. Четириаголник

За четириаголник, концептите на конвексен четириаголник и неконвексен четириаголник се слично дефинирани. Класичните примери на конвексни четириаголници се квадрат, правоаголник, трапез, ромб, паралелограм (сл. 5).

Слика 5. Конвексни четириаголници

Теорема 2

Збирот на аглите на конвексен четириаголник е $(360)^0$

Доказ.

Со теорема $1$, знаеме дека збирот на аглите на конвексен -gon се одредува со формулата

\[(n-2)\cточка (180)^0\]

Според тоа, збирот на аглите на конвексен четириаголник е еднаков на

\[\лево(4-2\десно)\cточка (180)^0=(360)^0\]

Теоремата е докажана.

Дефиниција 1.Скршената линија се нарекува конечна низаотсечки, така што еден од краевите на првиот сегмент служи како крај на вториот, другиот крај на вториот сегмент служи како крај на третиот, итн.

Сегментите што го сочинуваат прекината линија, се нарекуваат врски. Соседните сегменти не лежат на иста права линија. Ако краевите на скршената линија се совпаѓаат, тогаш се нарекува затворена. Полилинија може да се пресече себеси, да се допира и да се потпира на себе. Ако скршената линија нема такви карактеристики, тогаш се нарекува едноставно.

Дефиниција 2.Едноставна затворена скршена линија заедно со делот од рамнината ограничен со неа се нарекува многуаголник.

Самата скршена линија се нарекува граница на многуаголникот, врските на скршената линија се нарекуваат забавимногуаголник, краевите на врските се темиња на многуаголникот. Две соседни страни на многуаголник формираат агол. Бројот на агли во многуаголникот е еднаков на бројот на страни. Секој многуаголник има агли помали од 180°. Страните и аглите на многуаголникот се викаат елементимногуаголник.

Линиска отсечка што поврзува две несоседни темиња на многуаголник се нарекува дијагонала. Секој n-аголник може да има n-2 дијагонали.

Дефиниција 3.Многуаголникот се нарекува конвексни, ако лежи на едната страна од секоја линија што ја содржи нејзината страна. Многуаголниците кои не го исполнуваат овој услов се нарекуваат неконвексни.

Својства на конвексни многуаголници.

Имотот 1.Конвексниот многуаголник ги има сите агли помали од 180°.

Доказ: Земете кој било агол A на конвексен многуаголник P и неговата страна a што доаѓа од темето A. Нека l е права линија што содржи страна a. Бидејќи многуаголникот P е конвексен, тој лежи на едната страна од правата l. Според тоа, аголот А лежи на едната страна од правата линија l. Следствено, аголот А е помал од расклопениот, т.е. ÐA< 180°.

Имотот 2.Линиска отсечка што поврзува било кои две точки на конвексен многуаголник е содржана во тој многуаголник.

Доказ: Земете кои било две точки M и N на конвексен многуаголник P. Многуаголникот P е пресек на неколку полурамнини. Отсечката MN лежи во секоја од овие полурамнини. Според тоа, тој е содржан и во многуаголникот Р.

Имотот 3.Збирот на аглите на конвексен многуаголник е (n – 2)∙180°.

Доказ: Земете произволна точка O во конвексниот многуаголник P и поврзете ја со сите темиња на многуаголникот. Се формираат N триаголници, збирот на аглите на секој од нив е 180°. Аглите на темето O се собираат до 360° = 2∙180°. Според тоа, збирот на аглите на многуаголникот е n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.

Концептот на паралелограм. Својства на паралелограм.

Дефиниција 1.четириаголник, спротивни страникои се паралелни во пар се нарекува паралелограм.

Секој паралелограм има четири темиња, четири страни и четири агли. Две страни имаат заеднички краеви, се нарекуваат соседните. Секој паралелограм има две дијагонали - отсечки што се поврзуваат спротивни темињапаралелограм. Збирот на аглите на паралелограмот е 360°.

Својства на паралелограм.

Имотот 1.Паралелограмот има спротивни страни еднакви и спротивни агливо пар еднакви.

Доказ: Да ја нацртаме дијагоналата AC. AC – општо;

РВАС = РАСД (внатрешно вкрстено лежи во AB II п.н.е. и секантна AC);

РВСА = РСАD (внатрешно вкрстено лежи во АД II п.н.е. и секна AC);

Þ DABC = DADC (врз основа на 2 карактеристики).

AB = CD; п.н.е. = н.е.; РВ = РД.

RA = РВАС + РСАД; РС = РАСB + РАСД; Þ РА = РС.

Имотот 2.Во паралелограм, аглите соседни на едната страна се собираат до 180°.

Доказ:

РВ + РА =180° (внатрешна еднострана со BC II AD и секанта AB).

ÐB + ÐС =180° (внатрешна еднострана со AB II CD и секанта BC).

ÐD + ÐC =180° (внатрешна еднострана со BC II AD и секантно ЦД).

ÐA + ÐD =180° (внатрешна еднострана со AB II CD и секанта AD).

Имотот 3.Дијагоналите на паралелограмот се делат на половина со точката на пресек.

Доказ: Да ги нацртаме дијагоналите AC и BD кои се сечат во точката O.

AB = CD (според првиот паралелограм);

ÐABO = ÐODC (внатрешно вкрстено лежи на AB II CD и секантна BD);

РБАО = РОСD (внатрешно вкрстено лежи кај AB II CD и секанта AC);

Þ DABO = DODC (врз основа на 2 карактеристики).

BO = OD; AO = OC.

Знаци на паралелограм.

Знак 1.Ако две страни на четириаголник се еднакви и паралелни, тогаш четириаголникот е паралелограм.

Дадени: ABCD – четириаголник; н.е. II п.н.е.,