Паралелепипед е призма чии основи се паралелограми. Во овој случај, сите рабови ќе бидат паралелограми.
Секој паралелепипед може да се смета како призма на три различни начини, бидејќи секои две спротивни лица може да се земат како основи (на слика 5, лица ABCD и A"B"C"D" или ABA"B" и CDC"D ", или BCB "C" и ADA"D").
Телото за кое станува збор има дванаесет рабови, четири еднакви и паралелни еден на друг.
Теорема 3
. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка, што се совпаѓа со средината на секоја од нив.
Паралелепипедот ABCDA"B"C"D" (слика 5) има четири дијагонали AC", BD", CA", DB". Мора да докажеме дека средните точки на било кои две од нив, на пример AC и BD", се совпаѓаат. Ова произлегува од фактот дека фигурата ABC"D", која има еднакви и паралелни страни AB и C"D", е паралелограм.
Дефиниција 7
. Десен паралелепипед е паралелепипед кој исто така е права призма, односно паралелепипед чии странични рабови се нормални на рамнината на основата.
Дефиниција 8
. Правоаголен паралелепипед е правоаголен паралелепипед чија основа е правоаголник. Во овој случај, сите негови лица ќе бидат правоаголници.
Правоаголен паралелепипед е права призма, без разлика кое од неговите лица ќе го земеме за основа, бидејќи секој од неговите рабови е нормален на рабовите што излегуваат од истото теме, и затоа ќе биде нормален на рамнините на дефинираните лица. од овие рабови. Спротивно на тоа, правилен, но не правоаголен, паралелепипед може да се гледа како правилна призма на само еден начин.
Дефиниција 9
. Должините на трите рабови на правоаголен паралелепипед, од кои ниту еден не е паралелен еден со друг (на пример, три рабови што излегуваат од истото теме), се нарекуваат негови димензии. Два правоаголни паралелепипеди со соодветно еднакви димензии се очигледно еднакви еден на друг.
Дефиниција 10
.Коцката е правоаголен паралелепипед, чии три димензии се еднакви една со друга, така што сите нејзини лица се квадрати. Две коцки чии рабови се еднакви се еднакви. 
Дефиниција 11
. Наклонет паралелепипед во кој сите рабови се еднакви еден со друг и аглите на сите лица се еднакви или комплементарни се нарекува ромбоедрон.
Сите лица на ромбоедрон се еднакви ромбови. (Некои кристали од голема важност имаат облик на ромбоедрон, на пример, исландски спар кристали.) Во ромбоедрон можете да најдете теме (па дури и две спротивни темиња) така што сите агли соседни до него се еднакви еден со друг.
Теорема 4
. Дијагоналите на правоаголен паралелепипед се еднакви една со друга. Квадратот на дијагоналата е еднаков на збирот на квадратите на трите димензии.
Во правоаголниот паралелепипед ABCDA"B"C"D" (слика 6), дијагоналите AC" и BD" се еднакви, бидејќи четириаголникот ABC"D" е правоаголник (правата линија AB е нормална на рамнината ECB" В“, во кој лежи BC“).
Дополнително, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 врз основа на теоремата за квадратот на хипотенузата. Но, врз основа на истата теорема AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; оттука ние имаат:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.
Во оваа лекција, секој ќе може да ја проучува темата „Правоаголен паралелепипед“. На почетокот на лекцијата, ќе повториме што се произволни и прави паралелипипеди, запомнете ги својствата на нивните спротивни лица и дијагоналите на паралелепипедот. Потоа ќе погледнеме што е кубоид и ќе разговараме за неговите основни својства.
Тема: Перпендикуларност на прави и рамнини
Лекција: Кубоид
Површината составена од два еднакви паралелограми ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 и четири паралелограми ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 се вика паралелепипед(сл. 1).
Ориз. 1 Паралелепипед
Односно: имаме два еднакви паралелограми ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 (основи), тие лежат во паралелни рамнини така што страничните рабови AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 се паралелни. Така, се нарекува површина составена од паралелограми паралелепипед.
Така, површината на паралелепипедот е збир од сите паралелограми што го сочинуваат паралелепипедот.
1. Спротивните лица на паралелепипедот се паралелни и еднакви.
(формите се еднакви, односно може да се комбинираат со преклопување)
На пример:
ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (еднакви паралелограми по дефиниција),
AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (бидејќи AA 1 B 1 B и DD 1 C 1 C се спротивни лица на паралелепипедот),
AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (бидејќи AA 1 D 1 D и BB 1 C 1 C се спротивни лица на паралелепипедот).
2. Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и се преполовуваат со оваа точка.
Дијагоналите на паралелепипедот AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B се сечат во една точка O, и секоја дијагонала е поделена на половина со оваа точка (сл. 2).
Ориз. 2 Дијагоналите на паралелепипед се сечат и се делат на половина со пресечната точка.
3. Постојат три четворки на еднакви и паралелни рабови на паралелепипед: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.
Дефиниција. Паралелепипедот се нарекува исправен ако неговите странични рабови се нормални на основите.
Нека страничниот раб AA 1 е нормален на основата (сл. 3). Тоа значи дека правата АА 1 е нормална на правите АД и АБ, кои лежат во рамнината на основата. Ова значи дека страничните лица содржат правоаголници. А основите содржат произволни паралелограми. Да означиме ∠BAD = φ, аголот φ може да биде кој било.
Ориз. 3 Десен паралелепипед
Значи, десен паралелепипед е паралелепипед во кој страничните рабови се нормални на основите на паралелепипедот.
Дефиниција. Паралелепипедот се нарекува правоаголен,ако неговите странични рабови се нормални на основата. Основите се правоаголници.
Паралелепипедот ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 е правоаголен (сл. 4), ако:
1. AA 1 ⊥ ABCD (страничен раб нормално на рамнината на основата, односно прав паралелепипед).
2. ∠BAD = 90°, односно основата е правоаголник.
Ориз. 4 Правоаголен паралелепипед
Правоаголен паралелепипед ги има сите својства на произволен паралелепипед.Но, постојат дополнителни својства кои се изведени од дефиницијата за кубоид.
Значи, кубоиде паралелепипед чии странични рабови се нормални на основата. Основата на кубоидот е правоаголник.
1. Во правоаголен паралелепипед, сите шест лица се правоаголници.
ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 се правоаголници по дефиниција.
2. Страничните ребра се нормални на основата. Ова значи дека сите странични страни на правоаголен паралелепипед се правоаголници.
3. Сите диедрални агли на правоаголен паралелепипед се правилни.
Да го разгледаме, на пример, диедралниот агол на правоаголен паралелепипед со раб AB, т.е. диедралниот агол помеѓу рамнините ABC 1 и ABC.
AB е раб, точката A 1 лежи во едната рамнина - во рамнината ABB 1, а точката D во другата - во рамнината A 1 B 1 C 1 D 1. Тогаш диедралниот агол што се разгледува може да се означи и на следниов начин: ∠A 1 ABD.
Да ја земеме точката А на работ AB. AA 1 е нормално на работ AB во рамнината АВВ-1, AD е нормално на работ AB во рамнината ABC. Ова значи дека ∠A 1 AD е линеарен агол на даден диедрален агол. ∠A 1 AD = 90°, што значи дека диедралниот агол на работ AB е 90°.
∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.
Слично на тоа, докажано е дека сите диедрални агли на правоаголен паралелепипед се правилни.
Квадратот на дијагоналата на правоаголен паралелепипед е еднаков на збирот на квадратите на неговите три димензии.
Забелешка. Должините на трите рабови што произлегуваат од едно теме на кубоидот се мерењата на кубоидата. Тие понекогаш се нарекуваат должина, ширина, висина.
Дадено: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правоаголен паралелепипед (сл. 5).
Доказ: .
Ориз. 5 Правоаголен паралелепипед
Доказ:
Правата линија CC 1 е нормална на рамнината ABC, а со тоа и на правата линија AC. Тоа значи дека триаголникот CC 1 A е правоаголен. Според Питагоровата теорема:
Размислете за правоаголен триаголник ABC. Според Питагоровата теорема:
Но BC и AD се спротивни страни на правоаголникот. Значи п.н.е. = н.е. Потоа:
Бидејќи , А , Тоа. Бидејќи CC 1 = AA 1, тоа е она што треба да се докаже.
Дијагоналите на правоаголен паралелепипед се еднакви.
Да ги означиме димензиите на паралелепипедот ABC како a, b, c (види слика 6), потоа AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =
Паралелепипед е геометриска фигура, чии 6 лица се паралелограми.
Во зависност од видот на овие паралелограми, се разликуваат следниве видови паралелепипеди:
- директно;
- наклонет;
- правоаголна.
Права паралелепипед е четириаголна призма чиишто рабови прават агол од 90° со рамнината на основата.
Правоаголен паралелепипед е четириаголна призма, чиишто лица се правоаголници. Коцка е тип на четириаголна призма во која сите лица и рабови се еднакви една со друга.
Карактеристиките на фигурата ги предодредуваат нејзините својства. Тие ги вклучуваат следните 4 изјави:
Едноставно е да се запомнат сите горенаведени својства, тие се лесни за разбирање и се изведени логично врз основа на видот и карактеристиките на геометриското тело. Сепак, едноставните искази можат да бидат неверојатно корисни при решавање на типични задачи за КОРИСТЕЊЕ и ќе заштедат време потребно за да се помине тестот.
Паралелепипедни формули
За да најдете одговори на проблемот, не е доволно да се знаат само својствата на фигурата. Можеби ќе ви требаат и некои формули за наоѓање на плоштина и волумен на геометриско тело.
Областа на основите се наоѓа на ист начин како и соодветниот индикатор на паралелограм или правоаголник. Основата на паралелограмот можете сами да ја изберете. Како по правило, при решавање на проблеми полесно е да се работи со призма, чија основа е правоаголник.
Формулата за пронаоѓање на страничната површина на паралелепипед може да биде потребна и во тест задачи.
Примери за решавање на типични задачи за унифициран државен испит
Вежба 1.
Со оглед на: правоаголен паралелепипед со димензии 3, 4 и 12 см.
Неопходнонајдете ја должината на една од главните дијагонали на сликата.
Решение: Секое решение на геометриски проблем мора да започне со изработка на правилен и јасен цртеж, на кој ќе бидат означени „дадената“ и саканата вредност. Сликата подолу покажува пример за правилно извршување на условите на задачата.
Откако го испитавме изработениот цртеж и запомнувајќи ги сите својства на геометриското тело, доаѓаме до единствениот правилен метод на решение. Применувајќи го четвртото својство на паралелепипед, го добиваме следниот израз:
По едноставни пресметки го добиваме изразот b2=169, значи b=13. Одговорот на задачата е пронајден, треба да потрошите не повеќе од 5 минути за да го барате и да го нацртате.
Паралелепипед е четириаголна призма со паралелограми во основата. Висината на паралелепипедот е растојанието помеѓу рамнините на неговите основи. На сликата, висината е прикажана со сегментот 
. Постојат два вида паралелепипеди: прави и наклонет. По правило, учителот по математика прво ги дава соодветните дефиниции за призма, а потоа ги пренесува на паралелепипед. Ние ќе го сториме истото.
Дозволете ми да ве потсетам дека призмата се нарекува права ако нејзините странични рабови се нормални на основите; ако нема перпендикуларност, призмата се нарекува наклонета. Оваа терминологија ја наследува и паралелепипедот. 
Десниот паралелепипед не е ништо повеќе од тип на права призма, чиј страничен раб се совпаѓа со висината. Зачувани се дефинициите на концептите како лице, раб и теме, кои се заеднички за целото семејство на полиедри. Се појавува концептот на спротивни лица. Паралелепипедот има 3 пара спротивни лица, 8 темиња и 12 рабови.
Дијагоналата на паралелепипедот (дијагоналата на призмата) е отсечка што поврзува две темиња на многуедар и не лежи на ниту едно од неговите лица.
Дијагонален пресек - дел од паралелепипед кој минува низ неговата дијагонала и дијагоналата на неговата основа.
Својства на наклонет паралелепипед:
1) Сите негови лица се паралелограми, а спротивните лица се еднакви паралелограми.
2)
Дијагоналите на паралелепипед се сечат во една точка и се преполовуваат во оваа точка.
3)
Секој паралелепипед се состои од шест триаголни пирамиди со еднаков волумен. За да му ги покаже на ученикот, учителот по математика мора да отсече половина од паралелепот со неговиот дијагонален пресек и да го подели посебно на 3 пирамиди. Нивните основи мора да лежат на различни лица на оригиналниот паралелепипед. Учител по математика ќе најде примена на ова својство во аналитичката геометрија. Се користи за да се изведе волуменот на пирамидата преку мешан производ на вектори.
Формули за волумен на паралелепипед:
1) , каде е површината на основата, h е висината.
2) Волуменот на паралелепипед е еднаков на производот на површината на напречниот пресек и страничниот раб.
Учител по математика: Како што знаете, формулата е заедничка за сите призми и ако учителот веќе ја докажал, нема смисла да се повторува истото за паралелепипед. Меѓутоа, кога работите со ученик од просечно ниво (формулата не е корисна за слаб ученик), препорачливо е наставникот да постапи токму спротивното. Оставете ја призмата на мира и направете внимателен доказ за паралелепипедот.
3) , каде е волуменот на една од шесте триаголни пирамиди што го сочинуваат паралелепипедот.
4) Ако, тогаш
Областа на страничната површина на паралелепипедот е збирот на површините на сите негови лица:
Вкупната површина на паралелепипедот е збир од плоштините на сите негови лица, односно плоштина + две области на основата: .
За работата на тутор со наклонет паралелепипед:
Воспитувачите по математика често не работат на проблеми кои вклучуваат наклонети паралелепипеди. Веројатноста да се појават на Единствениот државен испит е прилично мала, а дидактиката е непристојно лоша. Повеќе или помалку пристоен проблем на волуменот на наклонет паралелепипед покренува сериозни проблеми поврзани со одредувањето на локацијата на точката H - основата на нејзината висина. Во овој случај, учителот по математика може да се советува да го пресече паралелепипедот на една од неговите шест пирамиди (кои се дискутирани во својството бр. 3), да се обиде да го најде неговиот волумен и да го помножи со 6.
Ако страничниот раб на паралелепипедот има еднакви агли со страните на основата, тогаш H лежи на симетралата на аголот A на основата ABCD. И ако, на пример, ABCD е ромб, тогаш
Задачи за учител по математика:
1) Лицата на паралелепипед се еднакви една со друга со страна од 2 cm и остар агол. Најдете го волуменот на паралелепипедот.
2) Во наклонет паралелепипед, страничниот раб е 5 cm. Пресекот нормален на него е четириаголник со меѓусебно нормални дијагонали со должина од 6 cm и 8 cm Пресметај го волуменот на паралелепипедот.
3) Кај наклонет паралелепипед се знае дека , а во ABCD основата е ромб со страна од 2 cm и агол . Одреди го волуменот на паралелепипедот.
Учител по математика, Александар Колпаков