Збирот на аглите на правилен многуаголник се пресметува со формулата. Конвексни многуаголници

Нека е даден конвексен многуаголник и n > 3. Потоа цртаме n-3 дијагонали од едно теме до спротивни темиња: . Бидејќи многуаголникот е конвексен, овие дијагонали го делат на n - 2 триаголници: . Збирот на аглите на многуаголникот е збир на аглите на сите овие триаголници. Збирот на аглите во секој триаголник е 180°, а бројот на овие триаголници е n-2. Според тоа, збирот на аглите на n-аголник е 180°(n-2). Теоремата е докажана. Коментар За неконвексен n-аголник, збирот на аглите е исто така 180°(n-2). Доказот е сличен, но дополнително ја користи лемата дека секој многуаголник може да се исече со дијагонали во триаголници. Белешки Теоремата за збирот на аглите на многуаголниците не важи за многуаголници на сфера (или на која било друга искривена рамнина, освен во некои случаи). Видете ги неевклидските геометрии за повеќе детали. исто така види Фондацијата Викимедија. 2010 година. Погледнете што е „Теорема за збир на агли на многуаголник“ во други речници: Триаголник Теоремата за збирот на аглите на триаголникот е класична теорема на Евклидовата геометрија. Тврди дека... Википедија - ... Википедија Наведете дека кои било два многуаголници со еднаква површина се со еднакви размери. Поформално: Нека P и Q се два многуаголници со иста плоштина. Потоа тие можат соодветно да се исечат на многуаголници и, така за секоја ... Википедија Теоремата на Бољаи Гервин вели дека кои било два многуаголници со еднаква површина се складни. Поформално: Нека и се два многуаголници со иста плоштина. Потоа тие можат соодветно да се исечат на многуаголници и, така за... ... Википедија - ... Википедија Овој термин има и други значења, видете Триаголник (значења). Триаголник (во Евклидов простор) е геометриска фигура формирана од три отсечки кои поврзуваат три точки кои не лежат на иста права линија. Три точки,... ... Википедија

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини тела во Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Геометриска фигура составена од отсечки AB, BC, CD, .., EF, FA на таков начин што соседните отсечки не лежат на иста права, а несоседните отсечки немаат заеднички точки, се нарекува многуаголник. Се нарекуваат краевите на овие отсечки точки A, B, C, D, ..., E, F врвовимногуаголник, а самите отсечки AB, BC, CD, .., EF, FA се забавимногуаголник.

Многуаголникот се нарекува конвексен ако е на едната страна од секоја права што минува низ две соседни темиња. Сликата подолу покажува конвексен многуаголник:

И следната слика илустрира неконвексен многуаголник:

Аголот на конвексен многуаголник на дадено теме е аголот формиран од страните на овој многуаголник што се спојуваат на дадено теме. Надворешниот агол на конвексен многуаголник на одредено теме е аголот во непосредна близина на внатрешниот агол на многуаголникот на дадено теме.

Теорема: Збирот на аглите на конвексен n-аголник е 180˚ *(n-2)

Доказ: Размислете за конвексен n-аголник. За да го пронајдете збирот на сите внатрешни агли, поврзете едно од темињата на многуаголникот со други темиња.

Како резултат на тоа, добиваме (n-2) триаголници. Познато е дека збирот на аглите на триаголникот е 180 степени. И бидејќи нивниот број во многуаголникот е (n-2), тогаш збирот на аглите на многуаголникот е еднаков на 180˚ * (n-2). Тоа беше она што требаше да се докаже.

Задача:

Најдете го збирот на аглите на конвексен а) петаголник б) шестоаголник в) десетаголник.

Да ја користиме формулата за да го пресметаме збирот на аглите на конвексен n-аголник.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

б) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Одговор: а) 540˚. б) 720˚. в) 1440˚.

Овие геометриски форми не опкружуваат насекаде. Конвексните полигони можат да бидат природни, како што е саќе, или вештачки (направени од човекот). Овие фигури се користат за производство на разни видови премази, сликарство, архитектура, накит итн. Конвексните многуаголници имаат својство сите нивни точки да се наоѓаат на едната страна од права линија што минува низ пар соседни темиња на оваа геометриска фигура. Постојат и други дефиниции. Конвексен многуаголник е оној кој се наоѓа во една полурамнина во однос на која било права линија што содржи една од неговите страни.

Во курсот по елементарна геометрија секогаш се разгледуваат само едноставни многуаголници. За да се разберат сите својства на таквите, неопходно е да се разбере нивната природа. Прво, треба да разберете дека секоја линија чии краеви се совпаѓаат се нарекува затворена. Покрај тоа, фигурата формирана од него може да има различни конфигурации. Многуаголник е едноставна затворена скршена линија во која соседните врски не се наоѓаат на истата права линија. Нејзините врски и темиња се, соодветно, страните и темињата на оваа геометриска фигура. Едноставната полилинија не треба да има самопресеци.

Темињата на многуаголникот се нарекуваат соседни ако ги претставуваат краевите на една од неговите страни. Геометриската фигура која има n-ти број темиња, а со тоа и n-ти број на страни, се нарекува n-аголник. Самата скршена линија се нарекува граница или контура на оваа геометриска фигура. Полигонална рамнина или рамен многуаголник е конечен дел од која било рамнина ограничена со неа. Соседните страни на оваа геометриска фигура се отсечки од скршена линија што произлегува од едно теме. Тие нема да бидат соседни ако доаѓаат од различни темиња на многуаголникот.

Други дефиниции за конвексни многуаголници

Во елементарната геометрија, има уште неколку дефиниции еквивалентни по значење, што покажува кој многуаголник се нарекува конвексен. Покрај тоа, сите овие формулации се подеднакво точни. Многуаголникот се смета за конвексен ако:

Секој сегмент што поврзува било кои две точки внатре во него лежи целосно во него;

Сите негови дијагонали лежат во него;

Секој внатрешен агол не надминува 180 °.

Многуаголникот секогаш ја дели рамнината на 2 дела. Еден од нив е ограничен (може да биде затворен во круг), а другиот е неограничен. Првиот се нарекува внатрешен регион, а вториот е надворешниот регион на оваа геометриска фигура. Овој многуаголник е пресекот (со други зборови, заедничката компонента) на неколку полурамнини. Покрај тоа, секоја отсечка која има краеви на точки кои припаѓаат на многуаголникот целосно му припаѓа.

Сорти на конвексни многуаголници

Дефиницијата за конвексен многуаголник не покажува дека има многу типови. Покрај тоа, секој од нив има одредени критериуми. Така, конвексните многуаголници кои имаат внатрешен агол еднаков на 180° се нарекуваат слабо конвексни. Конвексна геометриска фигура која има три темиња се нарекува триаголник, четири - четириаголник, пет - петаголник, итн. Секоја од конвексните n-аголници го исполнува следното најважно барање: n мора да биде еднакво или поголемо од 3. од триаголниците е конвексен. Геометриска фигура од овој тип, во која сите темиња се наоѓаат на ист круг, се нарекува впишана во круг. Конвексниот многуаголник се нарекува ограничен ако сите негови страни во близина на кругот го допираат. За два многуаголници се вели дека се складни само ако можат да се соберат заедно со суперпозиција. Рамнински многуаголник е полигонална рамнина (дел од рамнина) која е ограничена со оваа геометриска фигура.

Правилни конвексни многуаголници

Правилните многуаголници се геометриски фигури со еднакви агли и страни. Внатре во нив има точка 0, која се наоѓа на исто растојание од секое нејзино теме. Се нарекува центар на оваа геометриска фигура. Отсечките што го поврзуваат центарот со темињата на оваа геометриска фигура се нарекуваат апотеми, а оние што ја поврзуваат точката 0 со страните се радиуси.

Правилен четириаголник е квадрат. Правилниот триаголник се нарекува рамностран. За такви фигури, постои следново правило: секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на 180° * (n-2)/ n,

каде n е бројот на темиња на оваа конвексна геометриска фигура.

Областа на кој било правилен многуаголник се одредува со формулата:

каде што p е еднаква на половина од збирот на сите страни на даден многуаголник, а h е еднаква на должината на апотемата.

Својства на конвексни многуаголници

Конвексните многуаголници имаат одредени својства. Така, сегментот што поврзува кои било 2 точки на таква геометриска фигура е нужно лоциран во него. Доказ:

Да претпоставиме дека P е даден конвексен многуаголник. Земаме 2 произволни точки, на пример, A, B, кои припаѓаат на P. Според постоечката дефиниција за конвексен многуаголник, овие точки се наоѓаат на едната страна од правата, која содржи која било страна од P. Затоа, AB исто така го има ова својство и е содржано во P. Конвексниот многуаголник секогаш е можно да се подели на неколку триаголници користејќи ги апсолутно сите дијагонали што се извлечени од едно од неговите темиња.

Агли на конвексни геометриски форми

Аглите на конвексниот многуаголник се аглите формирани од неговите страни. Внатрешните агли се наоѓаат во внатрешниот регион на дадена геометриска фигура. Аголот формиран од неговите страни кои се среќаваат на едно теме се нарекува агол на конвексен многуаголник. со внатрешни агли на дадена геометриска фигура се нарекуваат надворешни. Секој агол на конвексен многуаголник лоциран во него е еднаков на:

каде што x е големината на надворешниот агол. Оваа едноставна формула се однесува на сите геометриски форми од овој тип.

Општо земено, за надворешните агли, се применува следново правило: секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на разликата помеѓу 180° и големината на внатрешниот агол. Може да има вредности кои се движат од -180° до 180°. Затоа, кога внатрешниот агол е 120°, надворешниот агол ќе биде 60°.

Збир на агли на конвексни многуаголници

Збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник се одредува со формулата:

каде n е бројот на темиња на n-аголникот.

Збирот на аглите на конвексен многуаголник се пресметува прилично едноставно. Размислете за која било таква геометриска фигура. За да го одредите збирот на агли во конвексен многуаголник, треба да поврзете едно од неговите темиња со други темиња. Како резултат на ова дејство се добиваат (n-2) триаголници. Познато е дека збирот на аглите на кој било триаголник е секогаш еднаков на 180°. Бидејќи нивниот број во кој било многуаголник е (n-2), збирот на внатрешните агли на таквата бројка е еднаков на 180° x (n-2).

Збирот на аглите на конвексен многуаголник, имено кои било два внатрешни и соседни надворешни агли, за дадена конвексна геометриска фигура секогаш ќе биде еднаква на 180°. Врз основа на ова, можеме да го одредиме збирот на сите негови агли:

Збирот на внатрешните агли е 180° * (n-2). Врз основа на ова, збирот на сите надворешни агли на дадена фигура се одредува со формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Збирот на надворешните агли на кој било конвексен многуаголник секогаш ќе биде 360° (без оглед на бројот на страни).

Надворешниот агол на конвексен многуаголник генерално се претставува со разликата помеѓу 180° и вредноста на внатрешниот агол.

Други својства на конвексен многуаголник

Покрај основните својства на овие геометриски форми, тие имаат и други што се појавуваат при манипулирање со нив. Така, кој било од многуаголниците може да се подели на неколку конвексни n-аголници. За да го направите ова, треба да ја продолжите секоја од неговите страни и да ја исечете оваа геометриска фигура по овие прави линии. Исто така, можно е да се подели кој било многуаголник на неколку конвексни делови на таков начин што темињата на секое парче се совпаѓаат со сите негови темиња. Од таква геометриска фигура, можете многу едноставно да направите триаголници со цртање на сите дијагонали од едно теме. Така, секој многуаголник на крајот може да се подели на одреден број триаголници, што се покажува како многу корисно за решавање на разни проблеми поврзани со такви геометриски фигури.

Периметар на конвексен многуаголник

Прекршените отсечки, наречени страни на многуаголник, најчесто се означуваат со следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Тоа се страни на геометриска фигура со темиња a, b, c, d, e. Збирот на должините на сите страни на овој конвексен многуаголник се нарекува негов периметар.

Круг на многуаголник

Конвексните многуаголници можат да бидат впишани или ограничени. Кругот што ги допира сите страни на оваа геометриска фигура се нарекува впишан во него. Таквиот многуаголник се нарекува ограничен. Центарот на кругот што е впишан во многуаголник е точката на пресек на симетралите на сите агли во дадена геометриска фигура. Областа на таков многуаголник е еднаква на:

каде што r е радиусот на впишаната кружница, а p е полупериметарот на дадениот многуаголник.

Кругот што ги содржи темињата на многуаголникот се нарекува ограничен околу него. Во овој случај, оваа конвексна геометриска фигура се нарекува впишана. Центарот на кругот, кој е опишан околу таков многуаголник, е пресечната точка на таканаречените нормални симетрали на сите страни.

Дијагонали на конвексни геометриски форми

Дијагоналите на конвексниот многуаголник се отсечки кои поврзуваат несоседни темиња. Секој од нив лежи во оваа геометриска фигура. Бројот на дијагонали на таков n-аголник се одредува со формулата:

N = n (n - 3)/ 2.

Бројот на дијагонали на конвексен многуаголник игра важна улога во елементарната геометрија. Бројот на триаголници (К) на кои може да се подели секој конвексен многуаголник се пресметува со следнава формула:

Бројот на дијагонали на конвексен многуаголник секогаш зависи од бројот на неговите темиња.

Поделба на конвексен многуаголник

Во некои случаи, за да се решат геометриски проблеми, неопходно е да се подели конвексен многуаголник на неколку триаголници со дијагонали што не се сечат. Овој проблем може да се реши со изведување одредена формула.

Дефиниција на проблемот: да ја наречеме точна одредена поделба на конвексен n-аголник во неколку триаголници со дијагонали кои се сечат само на темињата на оваа геометриска фигура.

Решение: Да претпоставиме дека P1, P2, P3..., Pn се темињата на овој n-аголник. Бројот Xn е бројот на неговите партиции. Дозволете ни внимателно да ја разгледаме добиената дијагонала на геометриската фигура Pi Pn. Во која било од правилните партиции P1 Pn припаѓа на одреден триаголник P1 Pi Pn, кој има 1

Нека i = 2 е една група на правилни партиции, која секогаш ја содржи дијагоналата P2 Pn. Бројот на партиции кои се вклучени во него се совпаѓа со бројот на партиции на (n-1)-аголникот P2 P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа е еднакво на Xn-1.

Ако i = 3, тогаш оваа друга група на партиции секогаш ќе ги содржи дијагоналите P3 P1 и P3 Pn. Во овој случај, бројот на редовни партиции содржани во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции на (n-2)-аголникот P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа ќе биде еднакво на Xn-2.

Нека i = 4, тогаш меѓу триаголниците точната партиција сигурно ќе го содржи триаголникот P1 P4 Pn, кој ќе биде во непосредна близина на четириаголникот P1 P2 P3 P4, (n-3)-аголникот P4 P5... Pn. Бројот на правилни партиции на таков четириаголник е X4, а бројот на партиции на (n-3)-аголник е Xn-3. Врз основа на сето погоре, можеме да кажеме дека вкупниот број на редовни партиции содржани во оваа група е еднаков на Xn-3 X4. Другите групи за кои i = 4, 5, 6, 7... ќе содржат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... редовни партиции.

Нека i = n-2, тогаш бројот на точни партиции во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции во групата за кои i=2 (со други зборови, еднаков на Xn-1).

Бидејќи X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогаш бројот на сите партиции на конвексен многуаголник е еднаков на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Број на правилни прегради кои се вкрстуваат една дијагонала внатре

При проверка на посебни случаи, може да се дојде до претпоставка дека бројот на дијагонали на конвексни n-аголници е еднаков на производот на сите партиции на оваа бројка во (n-3).

Доказ за оваа претпоставка: замислете дека P1n = Xn * (n-3), тогаш секој n-аголник може да се подели на (n-2)-триаголници. Покрај тоа, од нив може да се формира (n-3)-четириаголник. Заедно со ова, секој четириаголник ќе има дијагонала. Бидејќи на оваа конвексна геометриска фигура може да се нацртаат две дијагонали, тоа значи дека дополнителни (n-3) дијагонали може да се нацртаат во кои било (n-3)-четириаголници. Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека во секоја правилна партиција е можно да се нацртаат (n-3)-дијагонали кои ги исполнуваат условите на овој проблем.

Површина на конвексни многуаголници

Честопати, при решавање на различни проблеми од елементарната геометрија, станува неопходно да се одреди областа на конвексен многуаголник. Да претпоставиме дека (Xi. Yi), i = 1,2,3... n е низа од координати на сите соседни темиња на многуаголник што нема самопресеци. Во овој случај, неговата површина се пресметува со следнава формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

каде што (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Внатрешен агол на многуаголнике аголот формиран од две соседни страни на многуаголник. На пример, ∠ ABCе внатрешен агол.

Надворешен агол на многуаголнике аголот формиран од едната страна на многуаголникот и продолжението на другата страна. На пример, ∠ Л.Б.Ц.е надворешен агол.

Бројот на агли на многуаголникот е секогаш еднаков на бројот на неговите страни. Ова се однесува и на внатрешните и надворешните агли. Иако за секое теме на многуаголник може да се конструираат два еднакви надворешни агли, секогаш се зема предвид само еден од нив. Затоа, за да го пронајдете бројот на агли на кој било многуаголник, треба да го изброите бројот на неговите страни.

Збир на внатрешни агли

Збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник е еднаков на производот од 180° и бројот на страни минус две.

с = 2г(n - 2)

Каде се збирот на аглите, 2 г- два прави агли (односно 2 90 = 180°), и n- број на страни.

Ако цртаме од врвот Амногуаголник ABCDEFсите можни дијагонали, потоа го делиме на триаголници, чиј број ќе биде два помал од страните на многуаголникот:

Според тоа, збирот на аглите на многуаголникот ќе биде еднаков на збирот на аглите на сите добиени триаголници. Бидејќи збирот на аглите на секој триаголник е 180° (2 г), тогаш збирот на аглите на сите триаголници ќе биде еднаков на производот 2 гпо нивната количина:

с = 2г(n- 2) = 180 4 = 720 °

Од оваа формула произлегува дека збирот на внатрешните агли е константна вредност и зависи од бројот на страните на многуаголникот.

Збир на надворешни агли

Збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник е 360° (или 4 г).

с = 4г

Каде се збирот на надворешните агли, 4 г- четири прави агли (односно 4 90 = 360 °).

Збирот на надворешните и внатрешните агли на секое теме на многуаголникот е 180° (2 г), бидејќи тие се соседни агли. На пример, ∠ 1 и ∠ 2 :

Затоа, ако многуаголник има nпартии (и nтемиња), потоа збирот на надворешните и внатрешните агли за сите nтемињата ќе бидат еднакви на 2 dn. Така што од оваа сума 2 dnза да го добиете само збирот на надворешните агли, треба да го одземете збирот на внатрешните агли од него, односно 2 г(n - 2):

с = 2dn - 2г(n - 2) = 2dn - 2dn + 4г = 4г