Одредување на конвексност на многуаголник.
Алгоритмот Кирус-Назад претпоставува присуство на конвексен многуаголник што се користи како прозорец.
Меѓутоа, во пракса, задачата за отсекување на многуаголник многу често се јавува, а информациите за тоа дали е конвексен или не првично не се дадени. Во овој случај, пред да започнете со постапката на сечење, неопходно е да се одреди кој многуаголник е даден - конвексен или не.
Да дадеме неколку дефиниции за конвексноста на многуаголникот
Многуаголникот се смета за конвексен ако е исполнет еден од следниве услови:
1) во конвексен многуаголник, сите темиња се наоѓаат на едната страна од линијата што носи кој било раб (по внатрешната странаво однос на даден раб);
2) сите внатрешни агли на многуаголникот се помали од 180°;
3) сите дијагонали што ги поврзуваат темињата на многуаголникот лежат во овој многуаголник;
4) сите агли на многуаголникот се поминуваат во иста насока (сл. 3.3-1).
За да развиеме аналитичко прикажување на последниот критериум за конвексност, го користиме векторскиот производ.
Векторски уметнички дела В два вектори а И б (Сл. 3.3-2 а) дефинирано како:
A x ,a y ,a z и b x ,b y ,b z се проекции на координатните оски X ,Y ,Z , соодветно, на факторските вектори аИ б,
- јас, ј, к– единечни вектори по координатните оски X, Y, Z.
 |
Ориз.3.3 ‑ 1
Ориз.3.3 ‑ 2
Ако го земеме дводимензионалниот приказ на многуаголникот како негов приказ во координатна рамнина XY тридимензионален координатен систем X,Y,Z (сл. 3.3-2 б), потоа изразот за формацијата векторски производвектори УИ В, каде што векторите УИ Все соседни рабови што формираат агол на многуаголник, може да се запише како детерминанта:
Векторот на вкрстениот производ е нормален на рамнината во која се наоѓаат факторите вектори. Насоката на векторот на производот се определува со правилото на гимлетот или правилото на десната завртка.
За случајот претставен на Сл. 3,3-2 б), вектор В, што одговара на векторскиот производ на вектори В, У, ќе има иста насока како и насоката координатна оскаЗ.
Имајќи предвид дека проекциите на факторските вектори на оската Z во овој случај се еднакви на нула, векторскиот производ може да се претстави како:
(3.3-1)
Единица вектор ксекогаш позитивен, па оттука и знакот на векторот wвекторски производ ќе се определи само со знакот на детерминантата D во горниот израз. Забележете дека врз основа на својството на векторскиот производ, кога се заменуваат факторите вектори УИ Ввекторски знак wќе се промени во спротивното.
Следи дека ако како вектори ВИ Уземете ги предвид два соседни рабови на многуаголникот, тогаш редоследот на наведување на векторите во векторскиот производ може да се постави во согласност со преминувањето на аголот на разгледуваниот многуаголник или рабовите што го формираат овој агол. Ова ви овозможува да го користите следново правило како критериум за одредување на конвексноста на многуаголникот:
ако за сите парови на рабовите на многуаголникот е исполнет следниот услов:
 |
Ако знаците на векторските производи за поединечни агли не се совпаѓаат, тогаш многуаголникот не е конвексен.
Бидејќи рабовите на многуаголникот се наведени во форма на координати на нивните крајни точки, попогодно е да се користи детерминанта за да се одреди знакот на векторскиот производ.
Во оваа лекција ќе започнеме нова темаи воведе нов концепт за нас: „полигон“. Ќе ги разгледаме основните концепти поврзани со многуаголниците: страни, агли на теме, конвексност и неконвексност. Тогаш ќе докажеме најважните фактикако што е теоремата за збир внатрешни аглимногуаголник, теорема за сума надворешни аглимногуаголник. Како резултат на тоа, ќе дојдеме блиску до проучување на посебни случаи на многуаголници, кои ќе бидат разгледани во понатамошните лекции.
Тема: Четириаголници
Лекција: Многуаголници
Во курсот по геометрија, ги проучуваме својствата на геометриските фигури и веќе ги испитавме наједноставните од нив: триаголници и кругови. Во исто време, разговаравме и за конкретни посебни случаи на овие фигури, како што се правоаголни, рамнокраки и правилни триаголници. Сега е време да се зборува за поопшти и сложени фигури - многуаголници.
Со посебен случај многуаголницивеќе сме запознаени - ова е триаголник (види слика 1).
Ориз. 1. Триаголник
Самото име веќе нагласува дека се работи за фигура со три агли. Затоа, во многуаголникможе да ги има многу, т.е. повеќе од три. На пример, да нацртаме пентагон (види слика 2), т.е. фигура со пет агли.
Ориз. 2. Пентагон. Конвексен многуаголник
Дефиниција.Многуаголник- фигура која се состои од неколку точки (повеќе од две) и соодветен број на отсечки кои последователно ги поврзуваат. Овие точки се нарекуваат врвовимногуаголник, а отсечките се забави. Во овој случај, нема две соседни страни кои лежат на иста права линија и не се сечат две непосредни страни.
Дефиниција.Правилен многуаголник- Ова конвексен многуаголник, во која сите страни и агли се еднакви.
Било кој многуаголникја дели рамнината на две области: внатрешна и надворешна. Внатрешната област се нарекува и како многуаголник.
Со други зборови, на пример, кога зборуваат за пентагон, тие значат и целиот негов внатрешен регион и неговата граница. А внатрешниот регион ги вклучува сите точки што лежат внатре во полигонот, т.е. точката се однесува и на пентагонот (види Сл. 2).
Многуаголниците понекогаш се нарекуваат и n-аголници за да се нагласи дека се разгледува општиот случај на присуство на некој непознат број агли (n парчиња).
Дефиниција. Периметар на многуаголник- збирот на должините на страните на многуаголникот.
Сега треба да се запознаеме со типовите на многуаголници. Тие се поделени на конвексниИ неконвексни. На пример, многуаголникот прикажан на сл. 2 е конвексен, а на сл. 3 неконвексни.
Ориз. 3. Неконвексен многуаголник
Дефиниција 1. Многуаголникповикани конвексни, ако при цртање права линија низ која било од неговите страни, целата многуаголниклежи само на едната страна од оваа права линија. Неконвекснисе сите други многуаголници.
Лесно е да се замисли дека при проширување на која било страна од пентагонот на Сл. 2 сето тоа ќе биде на едната страна од оваа права линија, т.е. тој е конвексен. Но, кога се повлекува права линија низ четириаголник на Сл. 3 веќе гледаме дека ја дели на два дела, т.е. не е конвексен.
Но, постои уште една дефиниција за конвексноста на многуаголникот.
Дефиниција 2. Многуаголникповикани конвексни, ако при изборот на која било од неговите внатрешни точки и поврзувањето со отсечка, сите точки на отсечката се и внатрешни точки на многуаголникот.
Демонстрација на употребата на оваа дефиниција може да се види во примерот на конструирање сегменти на сл. 2 и 3.
Дефиниција. Дијагоналана многуаголник е која било отсечка што поврзува две несоседни темиња.
За да се опишат својствата на многуаголниците, постојат две најважните теоремиза нивните агли: теорема за збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголникИ теорема за збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник. Ајде да ги погледнеме.
Теорема. На збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).
Каде е бројот на неговите агли (страни).
Доказ 1. Да прикажеме на сл. 4 конвексни n-аголник.
Ориз. 4. Конвексен n-аголник
Од темето ги цртаме сите можни дијагонали. Тие го делат n-аголникот на триаголници, бидејќи секоја од страните на многуаголникот формира триаголник, освен страните соседни на темето. Лесно е да се види од сликата дека збирот на аглите на сите овие триаголници ќе биде точно еднаков на збирот на внатрешните агли на n-аголникот. Бидејќи збирот на аглите на кој било триаголник е , тогаш збирот на внатрешните агли на n-аголник е:
Q.E.D.
Доказ 2. Можен е уште еден доказ за оваа теорема. Ајде да нацртаме сличен n-аголник на сл. 5 и поврзете која било од неговите внатрешни точки со сите темиња.
Ориз. 5.
Добивме поделба на n-аголникот на n триаголници (толку страни колку што има триаголници). Збирот на сите нивни агли е еднаков на збирот на внатрешните агли на многуаголникот и збирот на аглите на внатрешна точка, и ова е аголот. Ние имаме:
Q.E.D.
Докажано.
Според докажаната теорема, јасно е дека збирот на аглите на n-аголник зависи од бројот на неговите страни (на n). На пример, во триаголник, а збирот на аглите е . Во четириаголник, а збирот на аглите е итн.
Теорема. На збирот на надворешните агли на конвексен многуаголник (n-гон).
Каде е бројот на неговите агли (страни), а , …, се надворешните агли.
Доказ. Дозволете ни да прикажеме конвексен n-аголник на Сл. 6 и назначете ги неговите внатрешни и надворешни агли.
Ориз. 6. Конвексен n-аголник со назначени надворешни агли
Бидејќи Надворешниот агол е поврзан со внатрешниот како соседен, тогаш 
а слично и за останатите надворешни агли. Потоа:
При трансформациите ја користевме веќе докажаната теорема за збирот на внатрешните агли на n-аголник.
Докажано.
Од докажаната теорема следува интересен факт, дека збирот на надворешните агли конвексен n-аголникеднаква на 
на бројот на неговите агли (страни). Патем, за разлика од збирот на внатрешните агли.
Библиографија
- Александров А.Д. и други Геометрија, 8-мо одделение. - М.: Образование, 2006 година.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрија, 8-мо одделение. - М.: Образование, 2011 година.
- Мерзљак А.Г., Полонски В.Б., Јакир С.М. Геометрија, 8-мо одделение. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009 година.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
Домашна работа
Овие геометриски форми не опкружуваат насекаде. Конвексните полигони можат да бидат природни, како што е саќе, или вештачки (направени од човекот). Овие бројки се користат во производството разни видовипремази, во сликарството, архитектурата, украсите итн. Конвексните многуаголници имаат својство сите нивни точки да се наоѓаат на едната страна од правата што минува низ пар соседни темиња на оваа геометриска фигура. Постојат и други дефиниции. Конвексен многуаголник е оној кој се наоѓа во една полурамнина во однос на која било права линија што содржи една од неговите страни.
Знам елементарна геометријасекогаш се разгледуваат исклучиво едноставни многуаголници. За да се разберат сите својства на таквите, неопходно е да се разбере нивната природа. Прво, треба да разберете дека секоја линија чии краеви се совпаѓаат се нарекува затворена. Покрај тоа, фигурата формирана од него може да има различни конфигурации. Многуаголник е едноставен затворен прекината линија, во која соседните врски не се наоѓаат на иста права линија. Нејзините врски и темиња се, соодветно, страните и темињата на оваа геометриска фигура. Едноставната полилинија не треба да има самопресеци.
Темињата на многуаголникот се нарекуваат соседни ако ги претставуваат краевите на една од неговите страни. Геометриска фигура која има n-ти бројврвови, и затоа n-та количинастрани се нарекува n-аголник. Самата скршена линија се нарекува граница или контура на оваа геометриска фигура. Полигонална рамнина или рамен многуаголник е конечен дел од која било рамнина ограничена со неа. Соседните страни на оваа геометриска фигура се отсечки од скршена линија што произлегува од едно теме. Тие нема да бидат соседни ако доаѓаат од различни темиња на многуаголникот.
Други дефиниции за конвексни многуаголници
Во елементарната геометрија, има уште неколку дефиниции еквивалентни по значење, што покажува кој многуаголник се нарекува конвексен. Покрај тоа, сите овие формулации во во ист степенсе вистинити. Многуаголникот се смета за конвексен ако:
Секој сегмент што поврзува било кои две точки внатре во него лежи целосно во него;
Сите негови дијагонали лежат во него;
Секој внатрешен агол не надминува 180 °.
Многуаголникот секогаш ја дели рамнината на 2 дела. Еден од нив е ограничен (може да биде затворен во круг), а другиот е неограничен. Првиот се нарекува внатрешен регион, а вториот е надворешниот регион на оваа геометриска фигура. Овој многуаголник е пресекот (со други зборови, заедничката компонента) на неколку полурамнини. Покрај тоа, секоја отсечка која има краеви на точки кои припаѓаат на многуаголникот целосно му припаѓа.
Сорти на конвексни многуаголници
Дефиницијата за конвексен многуаголник не покажува дека има многу типови. Покрај тоа, секој од нив има одредени критериуми. Така, конвексните многуаголници кои имаат внатрешен агол еднаков на 180° се нарекуваат слабо конвексни. Конвексна геометриска фигура која има три темиња се нарекува триаголник, четири - четириаголник, пет - петаголник, итн. Секоја од конвексните n-аголници го исполнува следното најважно барање: n мора да биде еднакво или поголемо од 3. од триаголниците е конвексен. Геометриска фигура од овој тип, сите чии темиња се наоѓаат на истиот круг се нарекуваат впишани во круг. Конвексниот многуаголник се нарекува ограничен ако сите негови страни во близина на кругот го допираат. За два многуаголници се вели дека се складни само ако можат да се соберат заедно со суперпозиција. Рамнински многуаголник е полигонална рамнина (дел од рамнина) која е ограничена со оваа геометриска фигура.
Правилни конвексни многуаголници
Правилните многуаголници се геометриски фигури со еднакви аглии партиите. Внатре во нив има точка 0, која се наоѓа на исто растојание од секое нејзино теме. Се нарекува центар на оваа геометриска фигура. Отсечките што го поврзуваат центарот со темињата на оваа геометриска фигура се нарекуваат апотеми, а оние што ја поврзуваат точката 0 со страните се радиуси.
Правилен четириаголник е квадрат. Правилен триаголникнаречена рамностран. За такви фигури, постои следново правило: секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на 180° * (n-2)/ n,
каде n е бројот на темиња на оваа конвексна геометриска фигура.
Областа на која било правилен многуаголникопределено со формулата:
каде што p е еднаква на половина од збирот на сите страни на даден многуаголник, а h е еднаква на должината на апотемата.
Својства на конвексни многуаголници
Конвексните многуаголници имаат одредени својства. Така, сегментот што поврзува кои било 2 точки на таква геометриска фигура е нужно лоциран во него. Доказ:
Да претпоставиме дека P е даден конвексен многуаголник. Земете 2 произволни точки, на пример, А, Б, кои припаѓаат на Р. По постоечка дефиницијана конвексен многуаголник, овие точки се наоѓаат на едната страна од правата, која содржи која било страна P. Следствено, AB исто така го има ова својство и е содржано во P. Конвексниот многуаголник секогаш може да се подели на неколку триаголници со апсолутно сите дијагонали што се извлечени од едно од неговите темиња.
Агли на конвексни геометриски форми
Аглите на конвексниот многуаголник се аглите формирани од неговите страни. Внатрешните агли се наоѓаат во внатрешниот регион на дадена геометриска фигура. Аголот формиран од неговите страни кои се среќаваат на едно теме се нарекува агол на конвексен многуаголник. со внатрешни агли на дадена геометриска фигура се нарекуваат надворешни. Секој агол на конвексен многуаголник лоциран во него е еднаков на:
каде што x е големината на надворешниот агол. Ова едноставна формуласе однесува на сите геометриски фигури од овој тип.
ВО општ случај, за надворешни агли постои следејќи го правилото: Секој агол на конвексен многуаголник е еднаков на разликата помеѓу 180° и големината на внатрешниот агол. Може да има вредности кои се движат од -180° до 180°. Затоа, кога внатрешниот агол е 120°, надворешниот агол ќе биде 60°.
Збир на агли на конвексни многуаголници
Збирот на внатрешните агли на конвексен многуаголник се одредува со формулата:
каде n е бројот на темиња на n-аголникот.
Збирот на аглите на конвексен многуаголник се пресметува прилично едноставно. Размислете за која било таква геометриска фигура. За да го одредите збирот на агли во конвексен многуаголник, треба да поврзете едно од неговите темиња со други темиња. Како резултат на ова дејство се добиваат (n-2) триаголници. Познато е дека збирот на аглите на кој било триаголник е секогаш еднаков на 180°. Бидејќи нивниот број во кој било многуаголник е (n-2), збирот на внатрешните агли на таквата бројка е еднаков на 180° x (n-2).
Збирот на аглите на конвексен многуаголник, имено кои било два внатрешни и соседни надворешни агли, за дадена конвексна геометриска фигура секогаш ќе биде еднаква на 180°. Врз основа на ова, можеме да го одредиме збирот на сите негови агли:
Збирот на внатрешните агли е 180° * (n-2). Врз основа на ова, збирот на сите надворешни агли на дадена фигура се одредува со формулата:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Збирот на надворешните агли на кој било конвексен многуаголник секогаш ќе биде 360° (без оглед на бројот на страни).
Надворешниот агол на конвексен многуаголник генерално се претставува со разликата помеѓу 180° и вредноста на внатрешниот агол.
Други својства на конвексен многуаголник
Покрај основните својства на овие геометриски форми, тие имаат и други што се појавуваат при манипулирање со нив. Така, кој било од многуаголниците може да се подели на неколку конвексни n-аголници. За да го направите ова, треба да ја продолжите секоја од неговите страни и да ја исечете оваа геометриска фигура по овие прави линии. Исто така, можно е да се подели кој било многуаголник на неколку конвексни делови на таков начин што темињата на секое парче се совпаѓаат со сите негови темиња. Од таква геометриска фигура, можете многу едноставно да направите триаголници со цртање на сите дијагонали од едно теме. Така, секој многуаголник на крајот може да се подели на одреден број триаголници, што се покажува како многу корисно во решавањето различни задачиповрзани со такви геометриски фигури.
Периметар на конвексен многуаголник
Прекршените отсечки, наречени страни на многуаголник, најчесто се означуваат со следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Тоа се страни на геометриска фигура со темиња a, b, c, d, e. Збирот на должините на сите страни на овој конвексен многуаголник се нарекува негов периметар.
Круг на многуаголник
Конвексните многуаголници можат да бидат впишани или ограничени. Кругот што ги допира сите страни на оваа геометриска фигура се нарекува впишан во него. Таквиот многуаголник се нарекува ограничен. Центарот на кругот кој е впишан во многуаголник е точката на пресек на симетралите на сите агли во дадена геометриска фигура. Областа на таков многуаголник е еднаква на:
каде што r е радиусот на впишаната кружница, а p е полупериметарот на дадениот многуаголник.
Кругот што ги содржи темињата на многуаголникот се нарекува ограничен околу него. Во овој случај, оваа конвексна геометриска фигура се нарекува впишана. Центарот на кругот, кој е опишан околу таков многуаголник, е пресечната точка на таканаречените нормални симетрали на сите страни.
Дијагонали на конвексни геометриски форми
Дијагоналите на конвексниот многуаголник се отсечките што се поврзуваат соседните врвови. Секој од нив лежи во оваа геометриска фигура. Бројот на дијагонали на таков n-аголник се одредува со формулата:
N = n (n - 3)/ 2.
Се игра бројот на дијагонали на конвексен многуаголник важна улогаво елементарната геометрија. Бројот на триаголници (К) на кои може да се подели секој конвексен многуаголник се пресметува со следнава формула:
Бројот на дијагонали на конвексен многуаголник секогаш зависи од бројот на неговите темиња.
Поделба на конвексен многуаголник
Во некои случаи, да се реши геометриски проблемипотребно е да се подели конвексен многуаголник на неколку триаголници со разединети дијагонали. Овој проблем може да се реши со изведување одредена формула.
Дефиниција на проблемот: да ја наречеме точна одредена поделба на конвексен n-аголник во неколку триаголници со дијагонали кои се сечат само на темињата на оваа геометриска фигура.
Решение: Да претпоставиме дека P1, P2, P3..., Pn се темињата на овој n-аголник. Бројот Xn е бројот на неговите партиции. Дозволете ни внимателно да ја разгледаме добиената дијагонала на геометриската фигура Pi Pn. Во која било од правилни партицииР1 Pn припаѓа на одреден триаголник Р1 Pi Pn, кој има 1 Нека i = 2 е една група на правилни партиции, која секогаш ја содржи дијагоналата P2 Pn. Бројот на партиции кои се вклучени во него се совпаѓа со бројот на партиции на (n-1)-аголникот P2 P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа е еднакво на Xn-1. Ако i = 3, тогаш оваа друга група на партиции секогаш ќе ги содржи дијагоналите P3 P1 и P3 Pn. Во овој случај, бројот на редовни партиции содржани во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции на (n-2)-аголникот P3 P4... Pn. Со други зборови, тоа ќе биде еднакво на Xn-2. Нека i = 4, тогаш меѓу триаголниците точната партиција сигурно ќе го содржи триаголникот P1 P4 Pn, кој ќе биде во непосредна близина на четириаголникот P1 P2 P3 P4, (n-3)-аголникот P4 P5... Pn. Бројот на правилни партиции на таков четириаголник е X4, а бројот на партиции на (n-3)-аголник е Xn-3. Врз основа на сето погоре, можеме да кажеме дека вкупниот број на редовни партиции содржани во оваа група е еднаков на Xn-3 X4. Другите групи за кои i = 4, 5, 6, 7... ќе содржат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... редовни партиции. Нека i = n-2, тогаш бројот на точни партиции во оваа група ќе се совпадне со бројот на партиции во групата за кои i=2 (со други зборови, еднаков на Xn-1). Бидејќи X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., тогаш бројот на сите партиции на конвексен многуаголник е еднаков на: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 При проверка на посебни случаи, може да се дојде до претпоставка дека бројот на дијагонали на конвексни n-аголници е еднаков на производот на сите партиции на оваа бројка во (n-3). Доказ за оваа претпоставка: замислете дека P1n = Xn * (n-3), тогаш секој n-аголник може да се подели на (n-2)-триаголници. Покрај тоа, од нив може да се формира (n-3)-четириаголник. Заедно со ова, секој четириаголник ќе има дијагонала. Бидејќи на оваа конвексна геометриска фигура може да се нацртаат две дијагонали, тоа значи дека дополнителни (n-3) дијагонали може да се нацртаат во кои било (n-3)-четириаголници. Врз основа на ова, можеме да заклучиме дека во секоја правилна партиција е можно да се нацртаат (n-3)-дијагонали кои ги исполнуваат условите на овој проблем. Честопати, при решавање на различни проблеми од елементарната геометрија, станува неопходно да се одреди областа на конвексен многуаголник. Да претпоставиме дека (Xi. Yi), i = 1,2,3... n е низа од координати на сите соседни темиња на многуаголник што нема самопресеци. Во овој случај, неговата површина се пресметува со следнава формула: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), каде што (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Конвексен сет на точки на рамнина. Се нарекува множество точки на рамнина или во тродимензионален простор конвексни, ако кои било две точки од ова множество може да се поврзат со отсечка што лежи целосно во ова множество. Теорема 1. Пресекот на конечен број на конвексни множества е конвексно множество. Последица.Пресекот на конечен број на конвексни множества е конвексно множество. Аголни точки. Граничната точка на конвексно множество се нарекува аголна, доколку е можно низ него да се повлече отсечка чиишто точки не припаѓаат на даденото множество. Множествата од различни форми може да имаат конечен или бесконечен број на аголни точки. Конвексен многуаголник. Многуаголникповикани конвексни, ако лежи на едната страна од секоја права што минува низ две од нејзините соседни темиња. Теорема: Збирот на аглите на конвексен n-аголник е 180˚ *(n-2) 6) Решавање системи на m линеарни неравенки со две променливи Даден е систем на линеарни неравенки со две променливи Знаците на некои или сите нееднаквости може да бидат ≥. Да ја разгледаме првата неравенка во координатниот систем X1OX2. Ајде да изградиме права линија која е граничната линија. Оваа права линија ја дели рамнината на две полурамнини 1 и 2 (сл. 19.4). Полурамнината 1 го содржи потеклото, полурамнината 2 не го содржи потеклото. За да одредите на која страна од граничната линија се наоѓа дадена полурамнина, треба да земете произволна точка на рамнината (по можност потеклото) и да ги замените координатите на оваа точка во нееднаквоста. Ако неравенството е точно, тогаш полурамнината е свртена кон оваа точка, ако не е точно, тогаш во насока спротивна на точката. Насоката на полурамнината е прикажана на сликите со стрелка. Дефиниција 15. Решението за секоја неравенка на системот е полурамнина што ја содржи граничната линија и се наоѓа на едната страна од неа. Дефиниција 16. Пресекот на полурамнините, од кои секоја е определена со соодветната нееднаквост на системот, се нарекува домен на решение на системот (SO). Дефиниција 17. Површината на решението на системот што ги задоволува условите на негативноста (xj ≥ 0, j =) се нарекува област на ненегативни или дозволени решенија (ADS). Ако системот на неравенки е конзистентен, тогаш ИЛИ и ОДР може да бидат полиедар, неограничен полиедарски регион или една точка. Ако системот на неравенки е неконзистентен, тогаш ИЛИ и ОДР се празно множество. Пример 1. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки и определи ги координатите на аголните точки на ОДЕ Решение. Да го најдеме ИЛИ на првата неравенка: x1 + 3x2 ≥ 3. Да ја конструираме граничната линија x1 + 3x2 – 3 = 0 (сл. 19.5). Да ги замениме координатите на точката (0,0) во неравенката: 1∙0 + 3∙0 > 3; бидејќи координатите на точката (0,0) не ја задоволуваат, тогаш решението на неравенката (19.1) е полурамнина што не ја содржи точката (0,0). Слично да најдеме решенија за преостанатите нееднаквости на системот. Добиваме дека ИЛИ и ОД на системот на неравенки е конвексен полиедар ABCD. Ајде да ги најдеме аголните точки на полиедарот. Точката А ја дефинираме како точка на пресек на правите Решавајќи го системот, добиваме A(3/7, 6/7). Точката Б ја наоѓаме како точка на пресек на правите Од системот добиваме B(5/3, 10/3). Слично, ги наоѓаме координатите на точките C и D: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10). Пример 2. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки Решение. Да конструираме прави и да одредиме решенија за неравенки (19,5)-(19,7). OR и ODR се неограничени полиедарски региони ACFM и ABDEKM, соодветно (сл. 19.6). Пример 3. Најдете ги ИЛИ и ОД на системот на неравенки Решение. Да најдеме решенија за неравенки (19.8)-(19.10) (сл. 19.7). ИЛИ го претставува неограничениот полиедарски регион ABC; ОДР - точка Б. Пример 4. Најдете ги OP и ODP на системот на неравенки Решение. Со конструирање прави ќе најдеме решенија за нееднаквостите на системот. ИЛИ и ОДР се некомпатибилни (сл. 19.8). ВЕЖБИ Најдете ги ИЛИ и ОД на системите на неравенки Теорема. Ако xn ® a, тогаш . Доказ. Од xn ® a следува дека . Во исто време: Теорема. Ако xn ® a, тогаш низата (xn) е ограничена. Треба да се забележи дека обратното тврдење не е точно, т.е. границата на низата не подразбира нејзина конвергенција. На пример, низата Проширување на функциите во енергетски серии. Проширувањето на функциите во серии на моќност е од големо значење за решавање на различни проблеми на проучување функции, диференцијација, интеграција, решавање диференцијални равенки, пресметување граници, пресметување приближни вредности на функцијата. Концепт на полигон Дефиниција 1 Многуаголнике геометриска фигура во рамнина, која се состои од отсечки поврзани во парови, соседните не лежат на иста права линија. Во овој случај, сегментите се нарекуваат страни на многуаголникоти нивните краеви - темиња на многуаголникот. Дефиниција 2 $n$-gon е многуаголник со $n$ темиња. Дефиниција 3 Ако многуаголникот секогаш лежи на иста страна од која било права што минува низ неговите страни, тогаш се повикува многуаголникот конвексни(сл. 1). Слика 1. Конвексен многуаголник Дефиниција 4 Ако многуаголникот лежи на спротивните страни на барем една права линија што минува низ неговите страни, тогаш многуаголникот се нарекува неконвексен (сл. 2). Слика 2. Неконвексен многуаголник Да воведеме теорема за збирот на аглите на триаголникот. Теорема 1 Збирот на аглите на конвексен триаголник се одредува на следниов начин \[(n-2)\cточка (180)^0\] Доказ. Да ни биде даден конвексен многуаголник $A_1A_2A_3A_4A_5\точки A_n$. Да го поврземе неговото теме $A_1$ со сите други темиња на овој многуаголник (сл. 3). Слика 3. Со оваа врска добиваме триаголници од $n-2$. Со собирање на нивните агли се добива збир од аглите на даден -гон. Бидејќи збирот на аглите на триаголникот е еднаков на $(180)^0, $ добиваме дека збирот на аглите на конвексен триаголник е одреден со формулата \[(n-2)\cточка (180)^0\] Теоремата е докажана. Користејќи ја дефиницијата за $2$, лесно е да се воведе дефиниција за четириаголник. Дефиниција 5 Четириаголник е многуаголник со темиња од $4$ (сл. 4). Слика 4. Четириаголник За четириаголник, концептите на конвексен четириаголник и неконвексен четириаголник се слично дефинирани. Класичните примери на конвексни четириаголници се квадрат, правоаголник, трапез, ромб, паралелограм (сл. 5). Слика 5. Конвексни четириаголници Теорема 2 Збирот на аглите на конвексен четириаголник е $(360)^0$ Доказ. Со теорема $1$, знаеме дека збирот на аглите на конвексен -gon се одредува со формулата \[(n-2)\cточка (180)^0\] Според тоа, збирот на аглите на конвексен четириаголник е еднаков на \[\лево(4-2\десно)\cточка (180)^0=(360)^0\] Теоремата е докажана.Број на правилни прегради кои се вкрстуваат една дијагонала внатре
Површина на конвексни многуаголници
, т.е. , т.е. . Теоремата е докажана.
сепак нема ограничувањеВидови многуаголници
Збир на агли на многуаголник
Концепт на четириаголник
