Дефиниција. Векторскиот производ на векторот a (мултипликант) и неколинеарен вектор (мултипликант) е третиот вектор c (производ), кој е конструиран на следниов начин:

1) неговиот модул е ​​нумерички еднаков на областа на паралелограмот на сл. 155), изградена на вектори, односно е еднаква на насоката нормална на рамнината на споменатиот паралелограм;

3) во овој случај, насоката на векторот c е избрана (од два можни) така што векторите c формираат десен систем (§ 110).

Ознака: или

Дополнување на дефиницијата. Ако векторите се колинеарни, тогаш ако се земе предвид дека фигурата е (условно) паралелограм, природно е да се додели нулта површина. Затоа, векторскиот производ на колинеарни вектори се смета за еднаков на нултиот вектор.

Бидејќи на нула векторот може да му се додели која било насока, овој договор не е во спротивност со ставовите 2 и 3 од дефиницијата.

Забелешка 1. Во терминот „векторски производ“ првиот збор означува дека резултатот од дејството е вектор (за разлика од скаларен производ; сп. § 104, забелешка 1).

Пример 1. Најдете го векторскиот производ каде што се главните вектори на десниот координатен систем (сл. 156).

1. Бидејќи должините на главните вектори се еднакви на една скала единица, плоштината на паралелограмот (квадратот) е нумерички еднаква на еден. Тоа значи дека модулот на векторскиот производ е еднаков на еден.

2. Бидејќи нормалното на рамнината е оска, саканиот векторски производ е вектор колинеарен на векторот k; и бидејќи и двата имаат модул 1, саканиот векторски производ е еднаков на k или -k.

3. Од овие два можни вектори, мора да се избере првиот, бидејќи векторите k формираат десен систем (а векторите леворак).

Пример 2. Најдете го вкрстениот производ

Решение. Како во примерот 1, заклучуваме дека векторот е еднаков на k или -k. Но, сега треба да избереме -k, бидејќи векторите формираат десен систем (а векторите формираат леворак). Значи,

Пример 3. Векторите имаат должини еднакви на 80 и 50 cm, соодветно, и формираат агол од 30°. Земајќи го метарот како единица за должина, најдете ја должината на векторскиот производ a

Решение. Површината на паралелограм изграден на вектори е еднаква на Должината на саканиот векторски производ е еднаква на

Пример 4. Најдете ја должината на векторскиот производ на истите вектори, земајќи ги сантиметри како единица за должина.

Решение. Бидејќи плоштината на паралелограмот изграден на вектори е еднаква, должината на векторскиот производ е еднаква на 2000 cm, т.е.

Од споредбата на примерите 3 и 4 јасно се гледа дека должината на векторот не зависи само од должините на факторите туку и од изборот на единицата за должина.

Физичко значење на векторски производ.Од бројните физички величини претставени со векторскиот производ, ќе го разгледаме само моментот на сила.

Нека A е точката на примена на силата. Моментот на сила во однос на точката O се нарекува векторски производ. Бидејќи модулот на овој векторски производ е нумерички еднаков на плоштината на паралелограмот (сл. 157), тогаш модулот на моментот е еднаков на производот на основата и висината, т.е. силата помножена со растојанието од точката О до правата линија по која дејствува силата.

Во механиката, докажано е дека за круто тело да биде во рамнотежа, потребно е не само збирот на вектори кои ги претставуваат силите применети на телото да биде еднаков на нула, туку и збирот на моментите на силите. Во случај кога сите сили се паралелни на една рамнина, собирањето вектори што претставуваат моменти може да се замени со собирање и одземање на нивните големини. Но, со произволни насоки на силите, таквата замена е невозможна. Во согласност со ова, векторскиот производ се дефинира токму како вектор, а не како број.

7.1. Дефиниција на вкрстен производ

Три некомпланарни вектори a, b и c, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка ако, од крајот на третиот вектор c, се гледа најкраткото вртење од првиот вектор a кон вториот вектор b. да биде спротивно од стрелките на часовникот, и левак тројка ако е во насока на стрелките на часовникот (види Сл. 16).

Векторскиот производ на векторот a и векторот b се нарекува вектор c, кој:

1. Нормално на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ б ;

2. Има должина нумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори a ибкако на страните (види Сл. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c формираат десна тројка.

Вкрстениот производ се означува x b или [a,b]. Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ, јИ к(види Сл. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Да го докажеме, на пример, тоа i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, но | јас x j| = |i | |J | грев (90°)=1;

3) вектори i, j и кформирајте десна тројка (види Сл. 16).

7.2. Својства на вкрстен производ

1. При преуредување на факторите, векторскиот производ го менува знакот, т.е. и xb =(b xa) (види Сл. 19).

Векторите a xb и b xa се колинеарни, имаат исти модули (површината на паралелограмот останува непроменета), но се насочени спротивно (тројки a, b, a xb и a, b, b x a со спротивна ориентација). Тоа е axb = -(b xa).

2. Векторскиот производ има комбинирано својство во однос на скаларниот фактор, т.е. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Нека l >0. Векторот l (a xb) е нормален на векторите a и b. Вектор ( ла) x бе исто така нормална на векторите a и б(вектори a, лно лежи во иста рамнина). Тоа значи дека векторите л(a xb) и ( ла) x бколинеарна. Очигледно е дека нивните насоки се совпаѓаат. Имаат иста должина:

Затоа л(a xb)= л xb. На сличен начин се докажува и за л<0.

3. Два вектори не-нула a и бсе колинеарни ако и само ако нивниот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

Особено, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторскиот производ има својство на дистрибуција:

(а+б) xc = a xc + б xs.

Ќе прифатиме без доказ.

7.3. Изразување на вкрстениот производ во однос на координати

Ќе ја користиме табела за вкрстени производи на вектори i, ји к:

ако насоката на најкратката патека од првиот вектор до вториот се совпаѓа со насоката на стрелката, тогаш производот е еднаков на третиот вектор; ако не се совпаѓа, третиот вектор се зема со знак минус.

Нека се дадени два вектори a =a x i +a y ј+a z ки b =b x јас+b y ј+b z к. Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори со множење како полиноми (според својствата на векторскиот производ):

Добиената формула може да се напише уште пократко:

бидејќи десната страна на еднаквоста (7.1) одговара на проширувањето на детерминантата од трет ред во однос на елементите од првиот ред Равенството (7.2) лесно се памети.

7.4. Некои апликации на крос производ

Воспоставување на колинеарност на вектори

Наоѓање на плоштина на паралелограм и триаголник

Според дефиницијата за векторски производ на вектори Аи б |а xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S парови = |a x b |. И, според тоа, D S =1/2|a x b |.

Определување на моментот на сила околу точка

Нека се примени сила во точката А F = ABпушти го ЗА- некоја точка во просторот (види Сл. 20).

Од физиката е познато дека момент на сила Ф во однос на поентата ЗАнаречен вектор М,која минува низ точката ЗАИ:

1) нормално на рамнината што минува низ точките О, А, Б;

2) нумерички еднаков на производот на сила по рака

3) формира десна тројка со вектори OA и A B.

Затоа, M = OA x F.

Наоѓање линеарна брзина на ротација

Брзина vточка М на круто тело кое ротира со аголна брзина wоколу фиксна оска, се определува со Ојлеровата формула v =w xr, каде што r =OM, каде што O е одредена фиксна точка на оската (види Сл. 21).

Дефиниција Подредена збирка од (x 1 , x 2 , ... , x n) n реални броеви се нарекува n-димензионален вектор, и броеви x i (i = ) - компоненти,или координати,

Пример. Ако, на пример, одредена автомобилска фабрика мора да произведе 50 автомобили, 100 камиони, 10 автобуси, 50 комплети резервни делови за автомобили и 150 комплети за камиони и автобуси по смена, тогаш производната програма на оваа фабрика може да се запише како вектор (50, 100, 10, 50, 150), има пет компоненти.

Нотација. Векторите се означуваат со задебелени мали букви или букви со лента или стрелка на врвот, на пр. аили. Двата вектори се нарекуваат еднакви, ако имаат ист број компоненти и нивните соодветни компоненти се еднакви.

Векторските компоненти не можат да се заменат, на пример, (3, 2, 5, 0, 1)и (2, 3, 5, 0, 1) различни вектори.
Операции на вектори.Работата x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) со реален бројλ наречен векторλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

износx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) и y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) се нарекува вектор x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Векторски простор.Н -димензионален векторски простор Р n се дефинира како множество од сите n-димензионални вектори за кои се дефинирани операциите на множење со реални броеви и собирање.

Економска илустрација. Економска илустрација на n-димензионален векторски простор: простор на стоки (стоки). Под стокиќе разбереме некое добро или услуга што оди на продажба во одредено време на одредено место. Да претпоставиме дека има конечен број n на достапни добра; количините на секоја од нив купени од потрошувачот се карактеризираат со збир на стоки

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

каде што x i ја означува количината на i-тото добро купено од потрошувачот. Ќе претпоставиме дека сите стоки имаат својство на произволна деливост, така што секоја ненегативна количина од секоја од нив може да се купи. Тогаш сите можни множества стоки се вектори на просторот на стоки C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Линеарна независност. Систем д 1 , д 2 , ... , дСе нарекуваат m n-димензионални вектори линеарно зависни, доколку има такви бројкиλ 1 , λ 2 , ... , λ m , од кои барем една не е нула, така што еднаквостаλ 1 д 1 + λ 2 д 2 +... + λ m д m = 0; во спротивно овој систем на вектори се нарекува линеарно независни, односно посочената еднаквост е можна само во случај кога сите . Геометриското значење на линеарната зависност на векторите во Р 3, интерпретирани како насочени сегменти, објаснете ги следните теореми.

Теорема 1. Систем кој се состои од еден вектор е линеарно зависен ако и само ако овој вектор е нула.

Теорема 2. За два вектори да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно тие да бидат колинеарни (паралелни).

Теорема 3 . За три вектори да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно тие да бидат компланарни (лежат во иста рамнина).

Леви и десни тројки на вектори. Тројка од некомпланарни вектори а, б, вповикани право, ако набљудувачот од нивното заедничко потекло ги заобиколи краевите на векторите а, б, впо дадениот редослед се чини дека се појавува во насока на стрелките на часовникот. Во спротивно а, б, в -остави три. Сите десни (или леви) тројки вектори се нарекуваат исто ориентирана.

Основа и координати. Тројката д 1, д 2 , д 3 некомпланарни вектори во Р 3 се нарекува основа, и самите вектори д 1, д 2 , д 3 - основни. Било кој вектор аможе уникатно да се прошири во базични вектори, односно претставени во форма

А= x 1 д 1+x2 д 2 + x 3 д 3, (1.1)

се повикуваат броевите x 1 , x 2 , x 3 во проширувањето (1.1). координатиаво основата д 1, д 2 , д 3 и се назначени а(x 1, x 2, x 3).

Ортонормална основа. Доколку векторите д 1, д 2 , д 3 се во пар нормални и должината на секоја од нив е еднаква на една, тогаш основата се вика ортонормалнии координатите x 1 , x 2 , x 3 - правоаголна.Основните вектори на ортонормална основа ќе бидат означени со јас, ј, к.

Тоа ќе го претпоставиме во вселената Р 3 е избран вистинскиот систем на Декартови правоаголни координати (0, јас, ј, к}.

Векторски уметнички дела. Векторски уметнички дела Адо вектор бнаречен вектор в, што се одредува со следните три услови:

1. Векторска должина внумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори аИ б,т.е.
в= |а||б|грев( а^б).

2. Вектор внормално на секој од векторите аИ б.

3. Вектори а, бИ в, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка.

За вкрстен производ все воведува ознаката c =[ab] или
c = a × б.

Доколку векторите аИ бсе колинеарни, тогаш грев ( а^б) = 0 и [ ab] = 0, особено, [ аа] = 0. Векторски производи на единечни вектори: [ ij]=к, [јк] = јас, [ки]=ј.

Доколку векторите аИ бнаведени во основата јас, ј, ккоординати а(а 1, а 2, а 3), б(б 1, б 2, б 3), тогаш

Мешана работа. Ако векторскиот производ на два вектори АИ бскаларно помножено со третиот вектор в,тогаш се нарекува таков производ од три вектори мешана работаи се означува со симболот а б в.

Доколку векторите а, бИ вво основата јас, ј, кдадени со нивните координати
а(а 1, а 2, а 3), б(б 1, б 2, б 3), в(c 1, c 2, c 3), тогаш

.

Мешаниот производ има едноставна геометриска интерпретација - тој е скаларен, еднаков по апсолутна вредност на волуменот на паралелепипед изграден на три дадени вектори.

Ако векторите формираат право тројка, тогаш нивниот измешан производ е позитивен број еднаков на посочениот волумен; ако е тројка а, б, в -лево, тогаш а б в<0 и V = - а б в, затоа V =|а б в|.

Координатите на векторите кои се среќаваат во задачите од првото поглавје се претпоставува дека се дадени во однос на десната ортонормална основа. Единица вектор конасочен со вектор А,означено со симболот АО. Симбол р=ОМозначено со векторот на радиусот на точката M, симболите a, AB или|а|, | AB|се означуваат модули на вектори АИ АБ.

Пример 1.2. Најдете го аголот помеѓу векторите а= 2м+4nИ б= m-n, Каде мИ n-единечни вектори и агол помеѓу мИ nеднакво на 120 o.

Решение. Имаме: cos φ = ab/ab ab =(2м+4n) (m-n) = 2м 2 - 4n 2 +2мн=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; а 2 = (2м+4n) (2м+4n) =
= 4м 2 +16мн+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, што значи a = . б = ; б 2 =
= (m-n)(m-n) = м 2 -2мн+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, што значи b = . Конечно имаме: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Пример 1.3.Познавање на векторите АБ(-3,-2,6) и п.н.е.(-2,4,4),да се пресмета должината на надморската височина AD на триаголникот ABC.

Решение. Означувајќи ја плоштината на триаголникот ABC со S, добиваме:
S = 1/2 п.н.е. Потоа AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, што значи вектор А.Ц.има координати
. .

Пример 1.4 . Дадени се два вектори а(11,10,2) и б(4,0,3). Најдете го единечниот вектор в,ортогонални на вектори аИ би насочен така што подредената тројка вектори а, б, вбеше во право.

Решение.Да ги означиме координатите на векторот вво однос на дадена право-ортонормална основа во однос на x, y, z.

Затоа што в ⊥ а, в ⊥б, Тоа околу= 0, cb= 0. Според условите на задачата се бара c = 1 и а б в >0.

Имаме систем од равенки за наоѓање x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Од првата и втората равенка на системот добиваме z = -4/3 x, y = -5/6 x. Заменувајќи ги y и z во третата равенка, имаме: x 2 = 36/125, од каде
x =± . Користење на условот a b c > 0, ја добиваме нееднаквоста

Земајќи ги предвид изразите за z и y, добиената неравенка ја препишуваме во форма: 625/6 x > 0, што подразбира дека x>0. Значи, x =, y = -, z =-.

Во оваа лекција ќе разгледаме уште две операции со вектори: векторски производ на векториИ мешан производ на вектори (ведна врска за оние на кои им треба). Во ред е, понекогаш се случува за целосна среќа, покрај скаларен производ на вектори, се бара се повеќе и повеќе. Ова е векторска зависност. Можеби изгледа дека влегуваме во џунглата на аналитичката геометрија. Ова е погрешно. Во овој дел од вишата математика генерално има малку дрво, освен можеби доволно за Пинокио. Всушност, материјалот е многу вообичаен и едноставен - тешко покомплициран од истиот скаларен производ, ќе има дури и помалку типични задачи. Главната работа во аналитичката геометрија, како што многумина ќе се уверат или веќе биле убедени, е ДА НЕ ПРАВИ ГРЕШКИ ВО ПРЕСМЕТКИТЕ. Повторете како магија и ќе бидете среќни =)

Ако векторите светкаат некаде далеку, како молња на хоризонтот, не е важно, започнете со лекцијата Вектори за куклида се обноват или повторно да се стекнат основните знаења за вектори. Поподготвените читатели можат селективно да се запознаат со информациите, се обидов да соберам најкомплетна збирка примери кои често се среќаваат во практичната работа

Што ќе ве направи среќни веднаш? Кога бев мал, можев да жонглирам со две, па дури и со три топки. Добро успеа. Сега нема да морате воопшто да жонглирате, бидејќи ќе размислиме само просторни вектори, а рамните вектори со две координати ќе бидат изоставени. Зошто? Така се родиле овие дејства - векторот и мешаниот производ на вектори се дефинирани и работат во тродимензионален простор. Веќе е полесно!

Оваа операција, исто како и скаларниот производ, вклучува два вектори. Нека бидат овие непропадливи букви.

Самата акција означено сона следниот начин: . Има и други опции, но јас сум навикнат да го означувам векторскиот производ на вектори на овој начин, во квадратни загради со крст.

И веднаш прашање: ако во скаларен производ на векторивклучени се два вектори, а тука се множат и два вектори, тогаш што е разликата? Очигледната разлика е, пред сè, во РЕЗУЛТАТ:

Резултатот од скаларниот производ на вектори е БРОЈ:

Резултатот од вкрстениот производ на вектори е ВЕКТОР: , односно ги множиме векторите и повторно добиваме вектор. Затворен клуб. Всушност, оттука доаѓа и името на операцијата. Во различна образовна литература, ознаките исто така може да се разликуваат; јас ќе ја користам буквата.

Дефиниција на вкрстен производ

Прво ќе има дефиниција со слика, па коментари.

Дефиниција: Векторски производ неколинеарнивектори, земени по овој редослед, наречен ВЕКТОР, должинашто е нумерички еднаква на плоштината на паралелограмот, изграден на овие вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така што основата има правилна ориентација:

Ајде да ја разложиме дефиницијата, тука има многу интересни работи!

Значи, може да се истакнат следните значајни точки:

1) Оригиналните вектори, означени со црвени стрелки, по дефиниција не колинеарна. Ќе биде соодветно да се разгледа случајот со колинеарни вектори малку подоцна.

2) Се земаат вектори по строго дефиниран редослед: – „а“ се множи со „биди“, не „биди“ со „а“. Резултат на векторско множењее ВЕКТОР, кој е означен со сино. Ако векторите се помножат во обратен редослед, добиваме вектор еднаков по должина и спротивен во насока (боја на малина). Односно, еднаквоста е вистина .

3) Сега да се запознаеме со геометриското значење на векторскиот производ. Ова е многу важна точка! ДОЛЖИНАТА на синиот вектор (и, според тоа, темноцрвениот вектор) е нумерички еднаква на ПЛОШТИНАТА на паралелограмот изграден на векторите. На сликата, овој паралелограм е засенчен во црно.

Забелешка : цртежот е шематски и, природно, номиналната должина на векторскиот производ не е еднаква на областа на паралелограмот.

Да се ​​потсетиме на една од геометриските формули: Површината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни и синусот на аголот меѓу нив. Според тоа, врз основа на горенаведеното, формулата за пресметување на ДОЛЖИНА на векторски производ е валидна:

Нагласувам дека формулата е за ДОЛЖИНАТА на векторот, а не за самиот вектор. Кое е практичното значење? А значењето е дека во проблемите на аналитичката геометрија, областа на паралелограм често се наоѓа преку концептот на векторски производ:

Да ја добиеме втората важна формула. Дијагоналата на паралелограмот (црвена точкаста линија) го дели на два еднакви триаголници. Затоа, областа на триаголник изграден на вектори (црвено засенчување) може да се најде со помош на формулата:

4) Подеднакво важен факт е дека векторот е ортогонален на векторите, т.е . Се разбира, спротивно насочениот вектор (стрелката од малина) е исто така ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторот е насочен така што основаТоа има правоориентација. Во лекцијата за транзиција кон нова основаЗборував доволно детално за ориентација на авион, и сега ќе откриеме што е ориентација во просторот. Ќе ти објаснам на прсти десна рака. Ментално комбинирајте показалецотсо вектор и среден прстсо вектор. Прстен прстен и малиот прстпритиснете го во вашата дланка. Како резултат палецот– векторскиот производ ќе погледне нагоре. Ова е основа ориентирана кон десно (ова е оваа на сликата). Сега сменете ги векторите ( показалецот и средниот прст) на некои места, како резултат на тоа палецот ќе се сврти, а векторскиот производ веќе ќе гледа надолу. Ова е исто така десно ориентирана основа. Можеби имате прашање: која основа ја има левата ориентација? „Доделете“ на истите прсти левата ракавектори, и добијте ја левата основа и левата ориентација на просторот (во овој случај, палецот ќе се наоѓа во насока на долниот вектор). Фигуративно кажано, овие основи го „извртуваат“ или ориентираат просторот во различни насоки. И овој концепт не треба да се смета за нешто пресилен или апстрактен - на пример, ориентацијата на просторот се менува со најобичното огледало, и ако го „извлечете рефлектираниот предмет од стаклото“, тогаш во општ случај тоа нема да може да се комбинира со „оригиналот“. Патем, држете три прста до огледалото и анализирајте го одразот ;-)

...колку е добро што сега знаеш десно и лево ориентираниоснови, затоа што изјавите на некои предавачи за промена на ориентацијата се страшни =)

Вкрстен производ на колинеарни вектори

Дефиницијата е детално дискутирана, останува да откриеме што се случува кога векторите се колинеарни. Ако векторите се колинеарни, тогаш тие можат да се постават на една права линија, а нашиот паралелограм исто така се „преклопува“ во една права линија. Областа на такви, како што велат математичарите, дегенерирапаралелограмот е еднаков на нула. Истото следи и од формулата - синусот нула или 180 степени е еднаков на нула, што значи дека површината е нула

Така, ако, тогаш . Строго кажано, самиот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, но во пракса тоа често се занемарува и се пишува дека е едноставно еднаков на нула.

Посебен случај е вкрстен производ на вектор со себе:

Користејќи го векторскиот производ, можете да ја проверите колинеарноста на тридимензионалните вектори, а ние исто така ќе го анализираме овој проблем, меѓу другите.

За да решите практични примери можеби ќе ви требаат тригонометриска табелада се најдат вредностите на синусите од него.

Па, да го запалиме огнот:

Пример 1

а) Најдете ја должината на векторскиот производ на вектори ако

б) Најдете ја плоштината на паралелограм изграден на вектори ако

Решение: Не, ова не е печатна грешка, првичните податоци во клаузулите намерно ги направив исти. Затоа што дизајнот на решенијата ќе биде различен!

а) Според условот, треба да најдете должинавектор (вкрстен производ). Според соодветната формула:

Одговори:

Ако ве прашаа за должина, тогаш во одговорот ја посочуваме димензијата - единици.

б) Според условот, треба да најдете квадратпаралелограм изграден на вектори. Површината на овој паралелограм е нумерички еднаква на должината на векторскиот производ:

Одговори:

Ве молиме имајте предвид дека одговорот воопшто не зборува за векторскиот производ; бевме прашани за тоа областа на фигурата, соодветно, димензијата е квадратни единици.

Секогаш гледаме ШТО треба да најдеме според условот и, врз основа на ова, формулираме јасноодговори. Можеби изгледа како буквално, но има многу буквалисти меѓу наставниците, а задачата има добри шанси да биде вратена на ревизија. Иако ова не е особено пресилен препир - ако одговорот е неточен, тогаш се добива впечаток дека личноста не разбира едноставни работи и/или не ја разбрала суштината на задачата. Оваа точка мора секогаш да се држи под контрола при решавање на каков било проблем од вишата математика, но и од други предмети.

Каде отиде големата буква „ен“? Во принцип, можеше дополнително да се прикачи на решението, но за да го скратам записот, не го направив ова. Се надевам дека сите го разбираат тоа и е ознака за истото.

Популарен пример за сам решение:

Пример 2

Најдете ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Формулата за наоѓање на плоштината на триаголник преку векторскиот производ е дадена во коментарите на дефиницијата. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Во пракса, задачата е навистина многу честа; триаголниците генерално можат да ве измачуваат.

За да решиме други проблеми ќе ни требаат:

Својства на векторскиот производ на вектори

Веќе разгледавме некои својства на векторскиот производ, сепак, ќе ги вклучам во оваа листа.

За произволни вектори и произволен број, следниве својства се вистинити:

1) Во други извори на информации, оваа ставка обично не се истакнува во својствата, но е многу важна во практична смисла. Така нека биде.

2) – имотот е исто така дискутиран погоре, понекогаш се нарекува антикомутативност. Со други зборови, редоследот на векторите е важен.

3) – асоцијативен или асоцијативензакони за векторски производи. Константите може лесно да се преместат надвор од векторскиот производ. Навистина, што да прават таму?

4) – дистрибуција или дистрибутивензакони за векторски производи. Нема проблеми ниту со отворањето на заградите.

За да покажеме, да погледнеме краток пример:

Пример 3

Најдете дали

Решение:Состојбата повторно бара наоѓање на должината на векторскиот производ. Ајде да ја насликаме нашата минијатура:

(1) Според асоцијативните закони, константите ги земаме надвор од опсегот на векторскиот производ.

(2) Ја земаме константата надвор од модулот, а модулот го „јаде“ знакот минус. Должината не може да биде негативна.

(3) Останатото е јасно.

Одговори:

Време е да додадете повеќе дрва на огнот:

Пример 4

Пресметајте ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Решение: Најдете ја плоштината на триаголникот со помош на формулата . Забелешката е што векторите „tse“ и „de“ самите се претставени како збирови на вектори. Алгоритмот овде е стандарден и донекаде потсетува на примерите бр. 3 и 4 од лекцијата Точка производ на вектори. За јасност, ќе го поделиме решението во три фази:

1) На првиот чекор, го изразуваме векторскиот производ преку векторскиот производ, всушност, ајде да изразиме вектор во однос на вектор. Сè уште нема информации за должината!

(1) Заменете ги изразите на векторите.

(2) Користејќи дистрибутивни закони, ги отвораме заградите според правилото за множење на полиномите.

(3) Користејќи асоцијативни закони, ги поместуваме сите константи надвор од векторските производи. Со мало искуство, чекорите 2 и 3 можат да се изведуваат истовремено.

(4) Првиот и последниот член се еднакви на нула (нула вектор) поради убавото својство. Во вториот член го користиме својството на антикомутативност на векторски производ:

(5) Ви претставуваме слични термини.

Како резултат на тоа, векторот се покажа дека е изразен преку вектор, што е она што се бараше да се постигне:

2) Во вториот чекор, ја наоѓаме должината на векторскиот производ што ни треба. Оваа акција е слична на Пример 3:

3) Најдете ја областа на потребниот триаголник:

Фазите 2-3 од решението можеа да бидат напишани во еден ред.

Одговори:

Разгледаниот проблем е доста чест во тестовите, еве пример како сами да го решите:

Пример 5

Најдете дали

Кратко решение и одговор на крајот од часот. Ајде да видиме колку бевте внимателни кога ги проучувавте претходните примери ;-)

Вкрстен производ на вектори во координати

, специфицирано на ортонормална основа, изразено со формулата:

Формулата е навистина едноставна: во горната линија на детерминантата ги запишуваме векторите на координатите, во втората и третата линија ги „ставуваме“ координатите на векторите и ставаме по строг редослед– прво координатите на векторот „ve“, потоа координатите на векторот „double-ve“. Ако векторите треба да се множат по различен редослед, тогаш редовите треба да се заменат:

Пример 10

Проверете дали следните вектори на просторот се колинеарни:
А)
б)

Решение: Проверката се заснова на една од тврдењата во оваа лекција: ако векторите се колинеарни, тогаш нивниот векторски производ е еднаков на нула (нула вектор): .

а) Најдете го векторскиот производ:

Така, векторите не се колинеарни.

б) Најдете го векторскиот производ:

Одговори: а) не колинеарно, б)

Тука, можеби, се сите основни информации за векторскиот производ на вектори.

Овој дел нема да биде многу голем, бидејќи има неколку проблеми каде што се користи мешаниот производ на вектори. Всушност, сè ќе зависи од дефиницијата, геометриското значење и неколку работни формули.

Мешан производ на вектори е производ од три вектори:

Така тие се наредени како воз и едвај чекаат да бидат идентификувани.

Прво, повторно, дефиниција и слика:

Дефиниција: Мешана работа некомпланарнивектори, земени по овој редослед, повикан паралелопипеден волумен, изградени на овие вектори, опремени со знак „+“ ако основата е во право, и знак „–“ ако основата е лево.

Ајде да го направиме цртежот. Линиите невидливи за нас се нацртани со точки:

Ајде да се нурнеме во дефиницијата:

2) Се земаат вектори по одреден редослед, односно, преуредувањето на векторите во производот, како што може да претпоставите, не се случува без последици.

3) Пред да коментирам за геометриското значење, ќе забележам очигледен факт: мешаниот производ на вектори е БРОЈ: . Во образовната литература, дизајнот може да биде малку поинаков; јас сум навикнат да означувам мешан производ со , а резултатот од пресметките со буквата „пе“.

А-приоритет измешаниот производ е волуменот на паралелепипедот, изградена на вектори (фигурата е нацртана со црвени вектори и црни линии). Односно, бројот е еднаков на волуменот на даден паралелепипед.

Забелешка : Цртежот е шематски.

4) Да не се грижиме повторно за концептот на ориентација на основата и просторот. Значењето на последниот дел е дека може да се додаде знак минус на јачината на звукот. Со едноставни зборови, мешаниот производ може да биде негативен: .

Директно од дефиницијата следи формулата за пресметување на волуменот на паралелепипед изграден на вектори.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Пред да го дадеме концептот на векторски производ, да се свртиме кон прашањето за ориентацијата на подредена тројка вектори a →, b →, c → во тридимензионален простор.

За почеток, да ги оставиме настрана векторите a → , b → , c → од една точка. Ориентацијата на тројната a → , b → , c → може да биде десно или лево, во зависност од насоката на самиот вектор c →. Типот на тројната a → , b → , c → ќе се определи од насоката во која се прави најкраткото вртење од векторот a → до b → од крајот на векторот c → .

Ако најкраткото вртење се врши спротивно од стрелките на часовникот, тогаш тројката вектори a → , b → , c → се нарекува право, ако е во насока на стрелките на часовникот - лево.

Следно, земете два неколинеарни вектори a → и b →. Потоа да ги нацртаме векторите A B → = a → и A C → = b → од точката A. Ајде да конструираме вектор A D → = c →, кој е истовремено нормален и на A B → и A C →. Така, кога го конструираме самиот вектор A D → = c →, можеме да направиме две работи, давајќи му или една насока или спротивна (види илустрација).

Подредена тројка вектори a → , b → , c → може да биде, како што дознавме, десно или лево во зависност од насоката на векторот.

Од горенаведеното можеме да ја воведеме дефиницијата за векторски производ. Оваа дефиниција е дадена за два вектори дефинирани во правоаголен координатен систем на тридимензионален простор.

Дефиниција 1

Векторскиот производ на два вектори a → и b → ќе го наречеме таков вектор дефиниран во правоаголен координатен систем со тродимензионален простор таков што:

• ако векторите a → и b → се колинеарни, тоа ќе биде нула;
• ќе биде нормално и на векторот a → ​​ и на векторот b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• неговата должина се одредува со формулата: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• тројката вектори a → , b → , c → има иста ориентација како дадениот координатен систем.

Векторскиот производ на векторите a → и b → ја има следната нотација: a → × b →.

Координати на векторскиот производ

Бидејќи секој вектор има одредени координати во координатниот систем, можеме да воведеме втора дефиниција за векторски производ, што ќе ни овозможи да ги најдеме неговите координати користејќи ги дадените координати на векторите.

Дефиниција 2

Во правоаголен координатен систем на тридимензионален простор векторски производ на два вектори a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) се нарекува вектор c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , каде што i → , j → , k → се координатни вектори.

Векторскиот производ може да се претстави како детерминанта на квадратна матрица од трет ред, каде што првиот ред ги содржи векторските вектори i → , j → , k → , вториот ред ги содржи координатите на векторот a → , а третиот ред ги содржи координатите на векторот b → во даден правоаголен координатен систем, ова е детерминантата на матрицата изгледа вака: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Проширувајќи ја оваа детерминанта во елементите од првиот ред, ја добиваме еднаквоста: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Својства на вкрстен производ

Познато е дека векторскиот производ во координати е претставен како детерминанта на матрицата c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , потоа врз основа својства на матричната детерминантасе прикажуваат следните својства на векторски производ:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a → ;
2. дистрибутивноста a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоцијативност λ a → × b → = λ a → × b → или a → × (λ b →) = λ a → × b →, каде што λ е произволен реален број.

Овие својства имаат едноставни докази.

Како пример, можеме да го докажеме антикомутативното својство на векторски производ.

Доказ за антикомутативност

По дефиниција, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. И ако два реда од матрицата се заменети, тогаш вредноста на детерминантата на матрицата треба да се смени на спротивна, затоа, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y - b → × a → , што и докажува дека векторскиот производ е антикомутативен.

Векторски производ - примери и решенија

Во повеќето случаи, постојат три типа на проблеми.

Во проблемите од првиот тип, обично се дадени должините на два вектори и аголот меѓу нив и треба да ја пронајдете должината на векторскиот производ. Во овој случај, користете ја следната формула c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Пример 1

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите a → и b → ако знаете a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Решение

Со одредување на должината на векторскиот производ на векторите a → и b →, ја решаваме оваа задача: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Одговор: 15 2 2 .

Задачите од вториот тип имаат врска со координатите на вектори, во нив векторскиот производ, неговата должина итн. се пребаруваат низ познатите координати на дадените вектори a → = (a x; a y; a z) И b → = (b x; b y; b z) .

За овој тип на проблем, можете да решите многу опции за задачи. На пример, не може да се наведат координатите на векторите a → и b →, туку нивните проширувања во координатни вектори од формата b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, или векторите a → и b → може да се специфицираат со координатите на нивниот почеток и крајните точки.

Размислете за следните примери.

Пример 2

Во правоаголен координатен систем се дадени два вектори: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Најдете го нивниот вкрстен производ.

Решение

Според втората дефиниција, го наоѓаме векторскиот производ на два вектори во дадени координати: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако векторскиот производ го запишеме преку детерминантата на матрицата, тогаш решението на овој пример изгледа вака: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Одговор: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Пример 3

Најдете ја должината на векторскиот производ на векторите i → - j → и i → + j → + k →, каде што i →, j →, k → се единечните вектори на правоаголниот Декартов координатен систем.

Решение

Прво, да ги најдеме координатите на даден векторски производ i → - j → × i → + j → + k → во даден правоаголен координатен систем.

Познато е дека векторите i → - j → и i → + j → + k → имаат координати (1; - 1; 0) и (1; 1; 1), соодветно. Да ја најдеме должината на векторскиот производ користејќи ја детерминантата на матрицата, тогаш имаме i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Според тоа, векторскиот производ i → - j → × i → + j → + k → има координати (- 1 ; - 1 ; 2) во дадениот координатен систем.

Ја наоѓаме должината на векторскиот производ користејќи ја формулата (видете го делот за наоѓање должина на вектор): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Одговор: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Пример 4

Во правоаголен Декартов координатен систем, дадени се координатите на три точки A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Најдете вектор нормален на A B → и A C → во исто време.

Решение

Векторите A B → и A C → ги имаат следните координати (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соодветно. Откако го пронајдовме векторскиот производ на векторите A B → и A C →, очигледно е дека тој е нормален вектор по дефиниција и на A B → и A C →, односно дека е решение за нашиот проблем. Да го најдеме A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Одговор: - 6 i → + j → - 4 k → . - еден од нормалните вектори.

Проблемите од третиот тип се фокусирани на користење на својствата на векторскиот производ на вектори. Откако ќе го примениме, ќе добиеме решение за дадениот проблем.

Пример 5

Векторите a → и b → се нормални и нивните должини се 3 и 4, соодветно. Најдете ја должината на векторскиот производ 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

Според дистрибутивното својство на векторски производ, можеме да запишеме 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

По својството на асоцијативност ги вадиме нумеричките коефициенти од знакот на векторските производи во последниот израз: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Векторските производи a → × a → и b → × b → се еднакви на 0, бидејќи a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, потоа 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Од антикомутативноста на векторскиот производ следува - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × б → . .

Користејќи ги својствата на векторскиот производ, ја добиваме еднаквоста 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

По услов, векторите a → и b → се нормални, односно аголот меѓу нив е еднаков на π 2. Сега останува само да ги замениме пронајдените вредности во соодветните формули: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Одговор: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Должината на векторскиот производ на вектори по дефиниција е еднаква на a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Бидејќи веќе е познато (од училишниот курс) дека плоштината на триаголникот е еднаква на половина од производот од должините на неговите две страни помножен со синусот на аголот помеѓу овие страни. Следствено, должината на векторскиот производ е еднаква на плоштината на паралелограмот - удвоен триаголник, имено производот на страните во форма на вектори a → и b →, поставени од една точка, со синусот на аголот меѓу нив sin ∠ a →, b →.

Ова е геометриското значење на векторскиот производ.

Физичко значење на векторскиот производ

Во механиката, една од гранките на физиката, благодарение на векторскиот производ, можете да го одредите моментот на сила во однос на точка во просторот.

Дефиниција 3

До моментот на сила F → применета на точката B, во однос на точката A, ќе го разбереме следниот векторски производ A B → × F →.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter