Додека собирањето и одземањето на сложени броеви е попогодно да се направи во алгебарска форма, множењето и делењето се полесно да се направат со користење на тригонометриска форма на сложени броеви.
Да земеме два произволни сложени броеви дадени во тригонометриска форма:
Помножувајќи ги овие бројки, добиваме:
Но, според тригонометриските формули
Така, при множење сложени броеви, нивните модули се множат, а аргументите
превиткуваат. Бидејќи во овој случај модулите се конвертираат одделно, а аргументите - одделно, извршувањето на множење во тригонометриска форма е полесно отколку во алгебарска форма.
Од еднаквоста (1) следуваат следните односи:
Бидејќи делењето е инверзно дејство на множењето, го добиваме тоа
Со други зборови, модулот на количникот е еднаков на односот на модулите на дивидендата и делителот, а аргументот на количникот е разликата помеѓу аргументите на дивидендата и делителот.
Сега да се задржиме на геометриското значење на множењето на сложените броеви. Формулите (1) - (3) покажуваат дека за да го пронајдете производот, прво мора да го зголемите модулот на бројот на пати без да го промените неговиот аргумент, а потоа да го зголемите аргументот на добиениот број без да го промените неговиот модул. Првата од овие операции геометриски значи хомотетија во однос на точката О со коефициент , а втората значи ротација во однос на точката О со агол еднаков на Имајќи предвид дека овде еден фактор е константен, а другиот променлив, можеме да го формулираме резултатот и тоа: формула
Комплексен број е број од формата , каде и се реални броеви, т.н имагинарна единица. Се повикува бројот вистински дел () комплексен број, бројот се нарекува имагинарен дел () комплексен број.
Сложените броеви се претставени со комплексен авион:
Како што споменавме погоре, буквата обично означува множество реални броеви. Еден куписто сложени броевиобично се означува со „задебелена“ или задебелена буква. Затоа, буквата треба да се стави на цртежот, што укажува на фактот дека имаме сложена рамнина.
Алгебарска форма на сложен број. Собирање, одземање, множење и делење на сложени броеви
Собирање на сложени броеви
За да додадете два сложени броеви, треба да ги додадете нивните реални и имагинарни делови:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
За сложени броеви важи правилото од првата класа: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – збирот не се менува од преуредување на поимите.
Одземање сложени броеви
Дејството е слично на собирањето, единствената особеност е што подлогата мора да се стави во загради, а потоа заградите мора да се отворат на стандарден начин со промена на знакот:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Множење сложени броеви
Основна еднаквост на сложени броеви:
Производ на сложени броеви:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Како и збирот, и производот на сложените броеви е заменлив, односно еднаквоста е вистинита: .
Поделба на сложени броеви
Се врши поделба на броеви со множење на именителот и броителот со конјугираниот израз на именителот.
2 Прашање. Комплексен авион. Модул и аргументи на сложени броеви
Секој комплексен број z = a + i*b може да се поврзе со точка со координати (a;b), и обратно, секоја точка со координати (c;d) може да се поврзе со комплексен број w = c + i* г. Така, се воспоставува кореспонденција еден-на-еден помеѓу точките на рамнината и множеството сложени броеви. Според тоа, сложените броеви може да се претстават како точки на рамнина. Обично се нарекува рамнината на која се прикажани сложените броеви комплексен авион.
Меѓутоа, почесто сложените броеви се прикажуваат како вектор со почеток во точката O, имено, комплексниот број z = a + i*b е прикажан како вектор на радиус на точка со координати (a;b). Во овој случај, сликата на сложените броеви од претходниот пример ќе биде вака: 
Сликата од збирот на два сложени броја е вектор еднаков на збирот на векторите што ги претставуваат броевите и . Со други зборови, кога се собираат сложени броеви, се собираат и векторите што ги претставуваат.
Нека комплексниот број z = a + i*b е претставен со вектор на радиус. Тогаш се нарекува должината на овој вектор модулброј z и се означува со |z| .
|
|
Аголот формиран од векторот на радиус на број со оската се нарекува аргументброеви и се означува со arg z. Аргументот на бројот не се одредува единствено, туку во рамките на повеќекратно од . Меѓутоа, обично аргументот е наведен во опсег од 0 или во опсег од -до. Покрај тоа, бројот има недефиниран аргумент.
Користејќи ја оваа врска, можете да го најдете аргументот на комплексен број:
Притоа, првата формула е валидна ако сликата на бројот е во првата или четвртата четвртина, а втората, ако е во втората или третата. Ако , тогаш комплексниот број е претставен со вектор на оската Oy и неговиот аргумент е еднаков на /2 или 3*/2.
Ајде да добиеме уште една корисна формула. Нека z = a + i*b. Потоа,
Додека собирањето и одземањето на сложени броеви е попогодно да се направи во алгебарска форма, множењето и делењето се полесно да се направат со користење на тригонометриска форма на сложени броеви.
Да земеме два произволни сложени броеви дадени во тригонометриска форма:
Помножувајќи ги овие бројки, добиваме:
Но, според тригонометриските формули
Така, при множење сложени броеви, нивните модули се множат, а аргументите
превиткуваат. Бидејќи во овој случај модулите се конвертираат одделно, а аргументите - одделно, извршувањето на множење во тригонометриска форма е полесно отколку во алгебарска форма.
Од еднаквоста (1) следуваат следните односи:
Бидејќи делењето е инверзно дејство на множењето, го добиваме тоа
Со други зборови, модулот на количникот е еднаков на односот на модулите на дивидендата и делителот, а аргументот на количникот е разликата помеѓу аргументите на дивидендата и делителот.
Сега да се задржиме на геометриското значење на множењето на сложените броеви. Формулите (1) - (3) покажуваат дека за да го пронајдете производот, прво мора да го зголемите модулот на бројот на пати без да го промените неговиот аргумент, а потоа да го зголемите аргументот на добиениот број без да го промените неговиот модул. Првата од овие операции геометриски значи хомотетија во однос на точката О со коефициент , а втората значи ротација во однос на точката О со агол еднаков на Имајќи предвид дека овде еден фактор е константен, а другиот променлив, можеме да го формулираме резултатот и тоа: формула
Производот на два сложени броја го дефинираме слично на производот на реалните броеви, имено: производот се смета како број составен од множител, исто како што факторот е составен од единица.
Векторот што одговара на комплексен број со модул и аргумент може да се добие од единичен вектор чија должина е еднаква на еден и чија насока се совпаѓа со позитивната насока на оската OX, со нејзино издолжување за фактор и ротирање тоа во позитивна насока под агол
Производ на одреден вектор по вектор е векторот што ќе се добие ако на векторот се примени горенаведеното издолжување и ротација, со чија помош векторот се добива од единичен вектор, а вториот очигледно одговара на вистинска единица.
Ако модулите и аргументите се сложени броеви што одговараат на вектори, тогаш производот на овие вектори очигледно ќе одговара на комплексен број со модул и аргумент. Така, доаѓаме до следнава дефиниција за производот на сложени броеви:
Производот на два сложени броја е сложен број чиј модул е еднаков на производот од модулите на множителите и чиј аргумент е еднаков на збирот на аргументите на множителите.
Така, во случај кога сложените броеви се напишани во тригонометриска форма, ќе имаме
Сега да го изведеме правилото за составување производ за случајот кога сложените броеви не се дадени во тригонометриска форма:
Користејќи ја горната нотација за модули и аргументи на фактори, можеме да пишуваме
според дефиницијата за множење (6):
и конечно добиваме
Во случај факторите да се реални броеви и производот да се сведе на производот aag од овие броеви. Во случај на еднаквост (7) дава
односно квадратот на имагинарната единица е еднаков на
Пресметувајќи ги последователно позитивните цели броеви, добиваме
и воопшто, со севкупно позитивно
Правилото за множење изразено со еднаквост (7) може да се формулира на следниов начин: сложените броеви мора да се множат како полиноми на буквите, броејќи
Ако a е сложен број, тогаш се вели дека сложениот број е конјугиран со a и се означува со a. Според формулите (3) имаме од еднаквост (7) следува
и следствено,
односно производот на конјугирани комплексни броеви е еднаков на квадратот на модулот на секој од нив.
Да забележиме и очигледни формули
Од формулите (4) и (7) веднаш произлегува дека собирањето и множењето на сложените броеви го почитуваат комутативниот закон, односно збирот не зависи од редоследот на поимите, а производот не зависи од редоследот на фактори. Не е тешко да се потврди валидноста на комбинираните и дистрибутивните закони, изразени со следните идентитети:
Оставаме на читателот да го направи тоа.
Забележете, конечно, дека производот од неколку фактори ќе има модул еднаков на производот од модулите на факторите и аргумент еднаков на збирот на аргументите на факторите. Така, производот на сложените броеви ќе биде еднаков на нула ако и само ако барем еден од факторите е еднаков на нула.
Производот на два сложени броја е сличен на производот од два реални броеви, имено: производот се смета како број составен од множител, исто како што факторот е составен од единица. Векторот што одговара на комплексен број со модул r и аргумент j може да се добие од единечен вектор чија должина е еднаква на една и чија насока се совпаѓа со позитивната насока на оската OX, со издолжување за r пати и ротирање во позитивна насока по агол j. Производот на одреден вектор a 1 со вектор a 2 е векторот што се добива ако на векторот a 1 примениме издолжување и ротација, со чија помош од единичен вектор се добива векторот a 2, а вториот очигледно одговара на реална единица. Ако (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) се модулите и аргументите на сложените броеви кои одговараат на векторите a 1 и a 2, тогаш производот на овие вектори очигледно ќе одговара на комплексен број со модулот r 1 r 2 и аргумент (j 1 + j 2). Така, производот на два сложени броја е сложен број чиј модул е еднаков на производот од модулите на множителите и чиј аргумент е еднаков на збирот на аргументите на множителите.
Во случај кога сложените броеви се напишани во тригонометриска форма, имаме
r 1 (cos? 1 + i sin? 1) * r 2 (cos? 2 + i sin? 2) = r 1 r 2.
Во случајот (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = x + yi, со користење на нотација на модули и аргументи на фактори, можеме да напишеме:
a 1 = r 1 cos? 1 ; b 1 = r 1 грев? 1 ; a 2 = r 2 cos? 2 ; b 2 = r 2 грев? 2 ;
според дефиницијата за множење:
x = r 1 r 2 cos(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 грев (? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (cos? 1 cos? 2 - грев? 1 грев? 2) = = r 1 cos? 1 r 2 cos? 2 - r 1 грев? 1 r 2 грев? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (грев? 1 cos? 2 + cos? 1 грев? 2) = = r 1 грев? 1 r 2 cos? 2 + r 1 cos? 1 r 2 грев? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,
и конечно добиваме:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
Во случајот b 1 = b 2 = 0, факторите се реални броеви a 1 и a 2 и производот се сведува на производот a 1 a 2 од овие броеви. Кога
a 1 = a 2 = 0 и b 1 = b 2 = 1,
еднаквост (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I дава: i???i = i 2 = -1, т.е. квадратот на имагинарната единица е -1. Пресметувајќи ги последователно позитивните цели броеви i, добиваме:
i 2 = -1; i 3 = -i; i 4 = 1; i 5 = i; i 6 = -1; ...
и, генерално, за секое позитивно k:
јас 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+2 = -1; јас 4k+3 = -i
Правилото за множење изразено со еднаквоста (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I може да биде формулирани на следниов начин: сложените броеви мора да се множат како азбучни полиноми, броејќи i 2 = -1.
Од горенаведените формули веднаш произлегува дека собирањето и множењето на сложените броеви го почитуваат комутативниот закон, т.е. збирот не зависи од редоследот на поимите, а производот не зависи од редоследот на факторите. Не е тешко да се потврди валидноста на комбинираните и дистрибутивните закони, изразени со следните идентитети:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Производот на неколку фактори ќе има модул еднаков на производот од модулите на факторите и аргумент еднаков на збирот на аргументите на факторите. Така, производот на сложените броеви ќе биде еднаков на нула ако и само ако барем еден од факторите е еднаков на нула.
Пример: дадени сложени броеви z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Најдете:
а) z 1 + z 2; б) z 1 - z 2; в) z 1 z 2 .
а) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; б) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; в) z 1 z 2 = (2 + 3i) (5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + i (тука се зема предвид дека i 2 = - 1).
Пример: следете ги овие чекори:
а) (2 + 3i) 2; б) (3 - 5i) 2; в) (5 + 3i) 3 .
а) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; б) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; в) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3; бидејќи i 2 = - 1, и i 3 = - i, добиваме (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i.
Пример: изврши дејства
а) (5 + 3i) (5 - 3i); б) (2 + 5i) (2 - 5i); в) (1 + i) (1 - i).
а) (5 + 3i) (5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; б) (2 + 5i) (2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; в) (1 + i) (1 - i) = 1 2 - i 2 = 1 + 1 = 2.