Што значи симетралата на триаголникот? Ако растојанијата се еднакви, тогаш точката лежи на симетралата

Симетралата на триаголникот е вообичаен геометриски концепт кој не предизвикува многу потешкотии во учењето. Имајќи знаење за неговите својства, можете да решите многу проблеми без многу потешкотии. Што е симетрала? Ќе се обидеме да го запознаеме читателот со сите тајни на оваа математичка линија.

Во контакт со

Суштината на концептот

Името на концептот доаѓа од употребата на зборови на латински, чие значење е „bi“ - два, „sectio“ - да се сече. Тие конкретно укажуваат на геометриско значењеконцепти - разбивање на просторот помеѓу зраците на два еднакви дела.

Симетралата на триаголникот е отсечка која потекнува од темето на фигурата, а другиот крај е поставен на страната што се наоѓа наспроти него, притоа делејќи го просторот на два идентични дела.

Многу наставници за брзо асоцијативно меморирањеучениците математички концептикористат различна терминологија, која се рефлектира во песни или асоцијации. Се разбира, користењето на оваа дефиниција се препорачува за постарите деца.

Како е означена оваа линија? Овде се потпираме на правилата за означување на сегменти или зраци. Ако ние зборуваме заза означување на симетралата на аголот на триаголна фигура, обично се пишува како отсечка чии краеви се теме и точка на пресек со спроти теметострана. Покрај тоа, почетокот на ознаката е напишан токму од темето.

Внимание!Колку симетрали има еден триаголник? Одговорот е очигледен: колку што има темиња - три.

Својства

Покрај дефиницијата, во училишен учебникне можете да најдете многу својства на ова геометриски концепт. Првото својство на симетралата на триаголникот со кое се запознаваат учениците е впишаниот центар, а второто, директно поврзано со него, е пропорционалноста на отсечките. Во крајна линија е ова:

  1. Без оглед на линијата на поделба, на неа има точки што се на исто растојание од страните, кои го сочинуваат просторот помеѓу зраците.
  2. За да се вклопи круг во триаголна фигура, потребно е да се одреди точката во која ќе се сечат овие отсечки. Тоа е она што е централна точкакругови.
  3. Се наоѓаат деловите на страната на триаголната геометриска фигура на која ја дели линијата на поделба В пропорционална зависностод страните што го формираат аголот.

Ќе се обидеме да ги внесеме преостанатите карактеристики во системот и сега дополнителни факти, што ќе ви помогне подобро да ги разберете заслугите на овој геометриски концепт.

Должина

Еден од видовите проблеми што им предизвикува потешкотии на учениците е наоѓањето на должината на симетралата на аголот на триаголникот. Првата опција, која ја содржи нејзината должина, ги содржи следните податоци:

  • количината на просторот помеѓу зраците од чие теме излегува даден сегмент;
  • должините на страните што го формираат овој агол.

За да се реши проблемот употребена формула, чие значење е да се најде односот на производот на вредностите на страните што го сочинуваат аголот, зголемен за 2 пати, за косинус на неговата половина до збирот на страните.

Ајде да погледнеме конкретен пример. Да претпоставиме дека ни е дадена слика ABC, во која отсечка е нацртана од аголот A и ја сече страната BC во точката K. Вредноста на A ја означуваме како Y. Врз основа на ова, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Втората верзија на проблемот, во која се одредува должината на симетралата на триаголникот, ги содржи следните податоци:

  • познати се значењата на сите страни на фигурата.

При решавање на проблем од овој тип, првично определи го полупериметарот. За да го направите ова, треба да ги соберете вредностите на сите страни и да ги поделите на половина: p=(AB+BC+AC)/2. Следно, ја применуваме формулата за пресметка што се користеше за одредување на должината на овој сегментВ претходна задача. Потребно е само да се направат некои промени во суштината на формулата во согласност со новите параметри. Значи, потребно е да се најде односот на двојниот корен на втората моќност на производот на должините на страните што се соседни на темето по полупериметарот и разликата помеѓу полупериметарот и должината на страна наспроти него до збирот на страните што го сочинуваат аголот. Односно AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Внимание!За полесно да го совладате материјалот, можете да се свртите кон комични приказни достапни на Интернет кои раскажуваат за „авантурите“ на оваа линија.

Денес ќе биде многу лесна лекција. Ќе разгледаме само еден објект - симетралата на аголот - и ќе го докажеме неговото најважно својство, кое ќе ни биде многу корисно во иднина.

Само не опуштајте се: понекогаш студенти кои сакаат да добијат висок резултатна истиот ОГЕ или унифициран државен испит, во првата лекција не можат точно ни да ја формулираат дефиницијата за симетрала.

И наместо навистина да се прави интересни задачи, губиме време на толку едноставни работи. Затоа, прочитајте, гледајте и усвоете го :)

Прво малку чудно прашање: Што е агол? Така е: аголот е едноставно два зраци кои произлегуваат од иста точка. На пример:


Примери на агли: остри, тапи и правилни

Како што можете да видите од сликата, аглите можат да бидат остри, тапи, прави - сега не е важно. Често, за погодност, на секој зрак се означува дополнителна точка и велат дека пред нас е аголот $AOB$ (напишан како $\angle AOB$).

Се чини дека капетанот Очигледност навестува дека покрај зраците $OA$ и $OB$, секогаш е можно да се нацртаат уште еден куп зраци од точката $O$. Но, меѓу нив ќе има еден посебен - тој се нарекува симетрала.

Дефиниција. Симетрала на аголот е зракот што излегува од темето на тој агол и го преполовува аголот.

За горенаведените агли, симетралите ќе изгледаат вака:


Примери на симетрали за остри, тапи и прави агли

Бидејќи во реалните цртежи не е секогаш очигледно дека одреден зрак (во нашиот случај тоа е зракот $OM$) го дели оригиналниот агол на два еднакви, во геометријата вообичаено е да се означат еднакви агли со ист број на лакови ( во нашиот цртеж ова е 1 лак за остар агол, два за тап, три за прави).

Добро, ја средивме дефиницијата. Сега треба да разберете какви својства има симетралата.

Главното својство на симетралата на аголот

Всушност, симетралата има многу својства. И ние дефинитивно ќе ги погледнеме во следната лекција. Но, постои еден трик што треба да го разберете токму сега:

Теорема. Симетралата на аголот е локусточки еднакво оддалечени од страните даден агол.

Преведено од математички на руски, тоа значи два факти одеднаш:

  1. Секоја точка што лежи на симетралата на одреден агол е на исто растојание од страните на овој агол.
  2. И обратно: ако точката лежи на исто растојание од страните на даден агол, тогаш гарантирано е да лежи на симетралата на овој агол.

Пред да ги докажеме овие тврдења, да разјасниме една точка: како, точно, се нарекува растојание од точка до страна на агол? Тука ќе ни помогне старото добро определување на растојанието од точка до права:

Дефиниција. Растојанието од точка до права е должината на нормалната извлечена од дадена точка до оваа права.

На пример, земете ја правата $l$ и точката $A$ што не лежи на оваа линија. Дозволете ни да нацртаме нормална на $AH$, каде што $H\во l$. Тогаш должината на оваа нормална ќе биде растојанието од точката $A$ до права линија $l$.

Графички приказрастојание од точка до права

Бидејќи аголот е едноставно два зраци, а секој зрак е парче права линија, лесно е да се одреди растојанието од точката до страните на аголот. Ова се само две нормални:


Одреди го растојанието од точката до страните на аголот

Тоа е се! Сега знаеме што е растојание и што е симетрала. Затоа, можеме да го докажеме главниот имот.

Како што ветивме, доказот ќе го поделиме на два дела:

1. Растојанието од точката на симетралата до страните на аголот се исти

Размислете за произволен агол со теме $O$ и симетрала $OM$:

Да докажеме дека токму оваа точка $M$ е на исто растојание од страните на аголот.

Доказ. Дозволете ни да нацртаме перпендикулари од точката $M$ до страните на аголот. Да ги наречеме $M((H)_(1))$ и $M((H)_(2))$:

Нацртајте перпендикулари на страните на аголот

Добивме два правоаголни триаголници: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Тие имаат заедничка хипотенуза $OM$ и еднакви агли:

  1. $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$ по услов (бидејќи $OM$ е симетрала);
  2. $\агол M((H)_(1))O=\агол M((H)_(2))O=90()^\circ $ по конструкција;
  3. $\агол OM((H)_(1))=\агол OM((H)_(2))=90()^\circ -\агол MO((H)_(1))$, бидејќи сума остри агли правоаголен триаголниксекогаш е еднакво на 90 степени.

Следствено, триаголниците се еднакви по страничните и двата соседни агли (види знаци за еднаквост на триаголниците). Затоа, особено, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, т.е. растојанијата од точката $O$ до страните на аголот се навистина еднакви. Q.E.D. :)

2. Ако растојанијата се еднакви, тогаш точката лежи на симетралата

Сега обратна ситуација. Нека е даден агол $O$ и точка $M$ еднакво оддалечена од страните на овој агол:

Да докажеме дека зракот $OM$ е симетрала, т.е. $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$.

Доказ. Прво, да го нацртаме овој зрак $OM$, инаку нема да има што да се докажува:

Спроведено $OM$ зрак во внатрешноста на аголот

Повторно добиваме два правоаголни триаголници: $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$. Очигледно тие се еднакви затоа што:

  1. Хипотенуза $OM$ - општо;
  2. Кратки $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ по услов (на крајот на краиштата, точката $M$ е еднакво оддалечена од страните на аголот);
  3. Останатите нозе се исто така еднакви, бидејќи според Питагоровата теорема $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Според тоа, триаголниците $\vartriangle OM((H)_(1))$ и $\vartriangle OM((H)_(2))$ на три страни. Конкретно, нивните агли се еднакви: $\агол MO((H)_(1))=\агол MO((H)_(2))$. И ова само значи дека $OM$ е симетрала.

За да го заклучиме доказот, ги означуваме добиените еднакви агли со црвени лакови:

Симетралата го дели аголот $\агол ((H)_(1))O((H)_(2))$ на два еднакви

Како што можете да видите, ништо комплицирано. Докажавме дека симетралата на аголот е локус на точки што се подеднакво оддалечени од страните на овој агол :)

Сега кога повеќе или помалку одлучивме за терминологијата, време е да продолжиме ново ниво. Во следната лекција ќе разгледаме повеќе комплексни својствасиметрали и научете како да ги користите за да решавате вистински проблеми.

Колку изнесува симетралата на аголот на триаголникот? Кога одговарате на ова прашање, познатиот стаорец трча по аглите и го дели аголот на половина, излегува од устата на некои луѓе.“ Ако одговорот треба да биде „хумористичен“, тогаш можеби е точен. Но, со научна точкаОд перспектива, одговорот на ова прашање треба да звучи вака: почнувајќи од темето на аголот и делејќи го вториот на два еднакви дела.“ Во геометријата, оваа бројка се смета и како отсечка од симетралата пред нејзиното пресекување со спротивната страна на триаголникот Ова не е погрешно мислење, но што друго се знае за симетралата на аголот?

Како и секој геометриски локус на точки, тој има свои карактеристики. Првиот од нив, напротив, не е ни знак, туку теорема, која накратко може да се изрази на следниов начин: „Ако страната спротивна на неа е поделена на два дела со симетрала, тогаш нивниот однос ќе одговара на односот на страните на голем триаголник“.

Второто својство што го има: точката на пресек на симетралите на сите агли се нарекува центар.

Третиот знак: симетралите на еден внатрешен и два надворешни агли на триаголник се сечат во центарот на една од трите впишани кругови.

Четвртото својство на симетралата на аголот на триаголникот е дека ако секоја од нив е еднаква, тогаш втората е рамнокрака.

Важи и петтиот знак рамнокрак триаголники е главното упатство за негово препознавање на цртеж по симетрали, имено: во рамнокрак триаголник, истовремено служи како средина и надморска височина.

Симетралата на аголот може да се конструира со помош на компас и линијар:

Шестото правило вели дека е невозможно да се конструира триаголник користејќи го вториот само со постоечките симетрали, исто како што е невозможно да се конструира на овој начин удвојување на коцка, квадрат на круг и трисекција на агол. Строго кажано, ова се сите својства на симетралата на аголот на триаголникот.

Ако внимателно го прочитавте претходниот пасус, тогаш можеби сте заинтересирани за една фраза. "Што е трисекција на агол?" - веројатно ќе прашате. Трисекторот е малку сличен на симетралата, но ако ја нацртате втората, аголот ќе се подели на два еднакви дела, а при конструирање трисек ќе се подели на три. Секако, симетралата на аголот е полесно да се запомни, бидејќи трисекцијата не се учи на училиште. Но, заради комплетноста, ќе ви кажам и за тоа.

Трисектор, како што веќе реков, не може да се конструира само со компас и линијар, но може да се создаде користејќи ги правилата на Фуџита и некои кривини: полжавите на Паскал, квадратите, конхоидите на Никомед, конусни пресеци,

Проблемите со трисекција на агол се прилично едноставно решени со помош на невсис.

Во геометријата постои теорема за трисектори на агол. Се нарекува Морлиева теорема. Таа наведува дека пресечните точки на трисекторите на секој агол лоцирани во средината ќе бидат темиња

Мал црн триаголник во голем секогаш ќе биде рамностран. Оваа теорема ја открил британскиот научник Френк Морли во 1904 година.

Еве колку можете да научите за делењето агол: трисекторот и симетралата на аголот секогаш бараат детални објаснувања. Но, тука беа дадени многу дефиниции што сè уште не ги открив: полжавот на Паскал, конхоидот на Никомед итн. Бидете сигурни, има уште многу да се пишува за нив.

Сорокина Вика

Дадени се докази за својствата на симетралата на триаголник и се разгледува примената на теоријата за решавање проблеми

Преземи:

Преглед:

Комитет за образование на управата на Саратов, Областа ОктјабрскиОпштинска автономна образовна институцијаЛицеј бр.3 на име. А.С. Пушкин.

Општински научно-практични

конференција

„Први чекори“

Тема: Симетрала и неговите својства.

Завршена работа од: ученик од 8-мо одделение

Сорокина ВикторијаНаучен раководител: Наставник по математика од највисока категоријаПопова Нина Федоровна.

Саратов 2011 година

  1. Насловната страница……………………………………………………………………………………………………………
  2. Содржина………………………………………………………2
  3. Вовед и цели……………………………………………………………………………………………………………………………
  4. Разгледување на својствата на симетралата
  • Трет локус на точки…………………………………….3
  • Теорема 1………………………………………………………………...4
  • Теорема 2………………………………………………………………… 4
  • Главното својство на симетралата на триаголникот:
  1. Теорема 3………………………………………………………………...4
  2. Задача 1……………………………………………………………….7
  3. Задача 2………………………………………………………………….8
  4. Задача 3…………………………………………………………………………………………………………………
  5. Задача 4………………………………………………………….9-10
  • Теорема 4………………………………………………………10-11
  • Формули за наоѓање симетрала:
  1. Теорема 5……………………………………………………………….11
  2. Теорема 6………………………………………………………………….11
  3. Теорема 7……………………………………………………………….12
  4. Задача 5………………………………………………………...12-13
  • Теорема 8………………………………………………………………….13
  • Задача 6……………………………………………………………….14
  • Задача 7………………………………………………………… 14-15
  • Одредување на кардинални насоки со помош на симетралата…………………15
  1. Заклучок и заклучок……………………………………………………………..15
  2. Список на референци………………………………………..16

Симетрала

На лекција по геометрија, проучување на темата слични триаголници, сретнав проблем за теоремата за односот на симетралата со спротивните страни. Се чини дека може да има нешто интересно во темата симетрала, но оваа тема ме интересираше и сакав да ја проучам подлабоко. На крајот на краиштата, симетралата е многу богата со неа неверојатни својства, помагајќи да се решат разни проблеми.

Кога ја разгледувате оваа тема, ќе забележите дека учебниците по геометрија многу малку кажуваат за својствата на симетралата, но на испитите, познавајќи ги, можете многу полесно и побрзо да ги решавате проблемите. Дополнително за полагање Државен испит и Единствен државен испит современи студентитреба сами да го проучите Дополнителни материјалиДо училишна наставна програма. Затоа решив подетално да ја проучам темата на симетралата.

Симетрала (од латински bi- „двојно“ и sectio „сечење“) на агол е зрак со почеток на темето на аголот, што го дели аголот на два еднакви дела. Симетралата на аголот (заедно со неговото проширување) е локус на точки што се еднакво оддалечени од страните на аголот (или нивните проширувања)

Трет локус на поени

Слика Ф е локус на точки (множество точки) што има некакво својствоА, ако се исполнети два услови:

  1. од фактот дека точката припаѓа на фигурата F, произлегува дека го има имототА;
  2. од тоа што бодот го задоволува имототА, произлегува дека и припаѓа на фигуратаФ.

Првиот локус на точки што се разгледуваат во геометријата е круг, т.е. локусот на точки што се подеднакво оддалечени од една фиксна точка. Втората е нормална симетрала на отсечката, т.е. локусот на точки што се еднакво оддалечени од крајот на сегментот. И, конечно, третата - симетрала - геометрискиот локус на точки еднакво оддалечени од страните на аголот

Теорема 1:

Симетралите се подеднакво оддалечени од странитетој е аголот.

Доказ:

Нека Р - симетрална точкаА. Да отфрлиме од поентатаP перпендикулариРВ и Компјутер на страните на аголот. Потоа VAR = SAR со хипотенуза и акутен агол. Оттука, PB = PC

Теорема 2:

Ако точката P е подеднакво оддалечена од страните на аголот А, тогаш таа лежи на симетралата.

Доказ: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR е симетрала.

Меѓу главните геометриски фактитреба да се припише на теоремата дека симетралата ја дели спротивната страна во однос на спротивните страни. Овој факт остана во сенка долго време, но насекаде има проблеми кои се многу полесно да се решат ако ги знаете овие и други факти за симетралата. Се заинтересирав и решив дополнително да го истражам ова својство на симетралата.

Главното својство на симетралата на аголот на триаголникот

Теорема 3. Симетрала ја дели спротивната страна на триаголникот во однос на соседните страни.

Доказ 1:

Дадени: AL - симетрала на триаголникот ABC

Доказ:

Доказ: Нека е F точка на пресек на праватаАЛ и линија што минува низ точкатаВО паралелно со страната наизменична струја.

Тогаш BFA = FAC = BAF. Затоа, Б.А.Ф. рамнокрак и AB = BF. Од сличноста на триаголниците ALC и FLB ги имаме

сооднос

каде

Доказ 2

Нека F е точката пресечена со правата AL и правата што минува низ точката C паралелна со основата AB. Потоа можете да го повторите расудувањето.

Доказ 3

Нека K и M се основите на перпендикуларите спуштени на праватаАЛ од точките Б и В соодветно. Триаголниците ABL и ACL се слични под два агли. Затоа
. И од сличноста на BKL и CML имаме

Од тука

Доказ 4

Ајде да го користиме методот на површина. Да ги пресметаме плоштините на триаголниците ABL и ACL два начина.

Од тука.

Доказ 5

Нека α= ТИ,φ= БЛА. Со теоремата на синусите во триаголникот ABL

И во триаголникот ACL.

Бидејќи,

Потоа, делејќи ги двете страни на еднаквоста на соодветните делови од другата, добиваме.

Проблем 1


Со оглед на: ВО триаголник ABC, VC – симетрала, BC=2, KS=1,

Решение:

Проблем 2

Со оглед на:

Најди ги симетралите на острите агли на правоаголен триаголник со катети 24 и 18

Решение:

Нека страна AC = 18, страна BC = 24,

А.М. - симетрала на триаголник.

Користејќи ја Питагоровата теорема наоѓаме,

дека AB = 30.

Од тогаш

Слично да ја најдеме втората симетрала.

Одговор:

Проблем 3

Во правоаголен триаголник ABC со прав агол B симетрала на аголотА ја преминува странатап.н.е.

Во точката Д. Познато е дека BD = 4, DC = 6.

Најдете ја плоштината на триаголникот ADC

Решение:

Со својство на симетрала на триаголник

Да означиме AB = 2 x, AC = 3 x. По теорема

Питагора п.н.е. 2 + AB 2 = AC 2, или 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Од тука го откриваме тоа x = Тогаш AB = , S ABC=

Оттука,

Проблем 4

Со оглед на:

Во рамнокрак триаголник ABC странаАБ е еднакво на 10, основа AC е 12.

Симетрали на аглитеА и В се сечат во точкаД. Најдете BD.

Решение:

Бидејќи симетралите на триаголникот се сечат на

Една точка, тогаш БД е симетрала на Б. Да продолжиме со БД до раскрсницата со AC во точката М. Тогаш M е средната точка на AC, BM AC. Затоа

Бидејќи ЦД - симетрала на триаголник BMC тогаш

Оттука,.

Одговор:

Теорема 4. Трите симетрали на триаголникот се сечат во една точка.

Навистина, прво да ја разгледаме точката P на пресекот на две симетрали, на пример АК 1 и VK 2 . Оваа точка е подеднакво оддалечена од страните AB и AC, бидејќи лежи на симетралатаА, и е подеднакво оддалечен од страните AB и BC, бидејќи припаѓаат на симетралатаB. Тоа значи дека е подеднакво оддалечено од страните AC и BC и затоа припаѓа на третата симетрала SC 3 , односно во точката P се сечат сите три симетрали.


Формули за наоѓање симетрала
Теорема 5: (првата формула за симетралата): Ако во триаголникот ABC отсечката AL е симетрала A, потоа AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказ: Нека M е точката на пресек на правата AL со кругот опфатен околу триаголникот ABC (сл. 41). Агол BAM еднаков на аголот MAC по услов. Аглите BMA и BCA се складни како впишани агли подредени од истата акорд. Ова значи дека триаголниците BAM и LAC се слични во два агли. Затоа, AL: AC = AB: AM. Ова значи AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Теорема6: . (втора формула за симетралата): Во триаголник ABC со страни AB=a, AC=b иЕднакво на 2α и симетрала l, важи еднаквоста:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Доказ : Нека биде ABC даден триаголник, AL е неговата симетрала, a=AB, b=AC, l=AL. Потоа С ABC = S ALB + S ALC . Затоа, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Теоремата е докажана.

Теорема 7: Ако a, b се страните на триаголникот, Y е аголот меѓу нив,е симетралата на овој агол. Потоа.

Помеѓу бројните предмети од средното образование е и еден како „геометрија“. Традиционално се верува дека основачите на оваа систематска наука се Грците. Денес, грчката геометрија се нарекува елементарна, бидејќи таа започна да ги проучува наједноставните форми: рамнини, прави линии и триаголници. Ќе го фокусираме нашето внимание на второто, поточно на симетралата на оваа бројка. За оние кои веќе заборавиле, симетралата на триаголникот е отсечка од симетралата на еден од аглите на триаголникот, која ја дели на половина и го поврзува темето со точка која се наоѓа на спротивната страна.

Симетралата на триаголникот има голем број својства што треба да ги знаете кога решавате одредени проблеми:

  • Симетралата на аголот е локус на точки разделени со еднакви растојанијаод страните во непосредна близина на аголот.
  • Симетралата во триаголник ја дели страната спроти аголот на сегменти кои се пропорционални на соседните страни. На пример, даден е триаголник MKB, каде симетрала излегува од аголот K, поврзувајќи го темето на овој агол со точката А на спротивната страна MB. Имајќи анализирано овој имоти нашиот триаголник, имаме MA/AB=MK/KB.
  • Точката во која се сечат симетралите на сите три агли на триаголникот е центарот на кругот кој е впишан во истиот триаголник.
  • Основата на симетралите на една надворешна и две внатрешни аглисе на иста права линија, под услов симетралата надворешен аголне е паралелна со спротивната страна на триаголникот.
  • Ако две симетрали на една тогаш ова

Треба да се забележи дека ако се дадени три симетрали, тогаш е невозможно да се изгради триаголник од нив, дури и со помош на компас.

Многу често, кога се решаваат проблеми, симетралата на триаголникот е непозната, но неопходно е да се одреди неговата должина. За да го решите овој проблем, треба да го знаете аголот што се преполовува со симетралата и страните соседни на овој агол. Во овој случај, потребната должина е дефинирана како сооднос од двојно повеќе од производот на страните во непосредна близина на аголот и косинус на аголот поделен на половина до збирот на страните во непосредна близина на аголот. На пример, со оглед на истиот триаголник MKB. Симетралата излегува од аголот К и се сече спротивната страна MV во точката A. Аголот од кој излегува симетралата ќе се означи со y. Сега да запишеме сè што е кажано со зборови во форма на формула: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Ако вредноста на аголот од кој излегува симетралата на триаголникот е непозната, но сите негови страни се познати, тогаш за да ја пресметаме должината на симетралата ќе користиме дополнителна променлива, која ќе ја наречеме полупериметар и ќе ја означиме со буквата P: P=1/2*(MK+KB+MB). После ова, ќе направиме некои промени на претходната формула со која се одредуваше должината на симетралата, имено, во броителот на дропот ставаме двојно повеќе од производот од должините на страните соседни до аголот по полупериметарот. и количник, каде што должината на третата страна се одзема од полупериметарот. Именителот ќе го оставиме непроменет. Во форма на формула ќе изгледа вака: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Симетралата на рамнокрак триаголник заедно со општи својстваима неколку свои. Ајде да се потсетиме каков вид на триаголник е ова. Таквиот триаголник има две еднакви страни и еднакви агли во непосредна близина на основата. Следи дека симетралите кои се спуштаат на странирамнокрак триаголник, еднакви еден на друг. Покрај тоа, симетралата спуштена до основата е и висината и средината.