Гревот е односот на спротивната страна со хипотенузата. Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник

Став спротивна ногадо хипотенузата се нарекува синусен остар агол правоаголен триаголник.

\sin \алфа = \frac(a)(c)

Косинусот на остар агол на правоаголен триаголник

Односот на соседната нога со хипотенузата се нарекува косинус со остар аголправоаголен триаголник.

\cos \алфа = \frac(b)(c)

Тангента на остар агол на правоаголен триаголник

Односот на спротивната страна со соседната страна се нарекува тангента на остар аголправоаголен триаголник.

tg \алфа = \frac(a)(b)

Котангенс на остар агол на правоаголен триаголник

Односот на соседната страна со спротивната страна се нарекува котангенс со остар аголправоаголен триаголник.

ctg \алфа = \frac(b)(a)

Синус на произволен агол

Се вика ординатата на точка на единечната кружница на која одговара аголот \алфа синус на произволен аголротација \алфа .

\sin \alpha=y

Косинусот на произволен агол

Точка на апсциса на единица круг, на кој одговара аголот \alpha се нарекува косинус на произволен аголротација \алфа .

\cos \alpha=x

Тангента на произволен агол

Се нарекува односот на синусот на произволен агол на ротација \алфа со неговиот косинус тангента на произволен аголротација \алфа .

tan \алфа = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Котангенс на произволен агол

Се нарекува односот на косинус на произволен агол на ротација \алфа со неговиот синус котангенс со произволен аголротација \алфа .

ctg\алфа =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Пример за наоѓање произволен агол

Ако \alpha е некој агол AOM, каде што M е точка на единечната кружница, тогаш

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \алфа=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \алфа=\frac(x_(M))(y_(M)).

На пример, ако \агол AOM = -\frac(\pi)(4), тогаш: ординатата на точката М е еднаква на -\frac(\sqrt(2))(2), апсцисата е еднаква на \frac(\sqrt(2))(2)и затоа

\sin \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \лево (\frac(\pi)(4) \десно)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \лево (-\frac(\pi)(4) \десно)=-1.

Табела со вредности на синусите на косинусите на тангентите на котангентите

Вредностите на главните агли кои често се појавуваат се дадени во табелата:

	0^(\circ) (0)	30^(\circ)\лево(\frac(\pi)(6)\десно)	45^(\circ)\лево(\frac(\pi)(4)\десно)	60^(\circ)\лево(\frac(\pi)(3)\десно)	90^(\circ)\лево(\frac(\pi)(2)\десно)	180^(\circ)\лево(\pi\десно)	270^(\circ)\лево(\frac(3\pi)(2)\десно)	360^(\circ)\лево(2\pi\десно)
\sin\алфа	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\алфа	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\алфа	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\алфа	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Концептите на синус (), косинус (), тангента (), котангента () се нераскинливо поврзани со концептот на агол. За добро да се разберат овие, на прв поглед, сложени концепти(кои предизвикуваат состојба на ужас кај многу ученици), а за да се увериме дека „ѓаволот не е толку страшен како што е насликан“, да почнеме од самиот почеток и да го разбереме концептот на агол.

Концепт на агол: радијан, степен

Ајде да ја погледнеме сликата. Векторот се „свртел“ во однос на точката за одредена количина. Значи мерката на оваа ротација во однос на почетната позиција ќе биде агол.

Што друго треба да знаете за концептот на агол? Па, се разбира, аголни единици!

Аголот, и во геометријата и во тригонометријата, може да се мери во степени и радијани.

Се нарекува агол од (еден степен). централен аголво круг, врз основа на кружен лак еднаков на дел од кругот. Така, целиот круг се состои од „парчиња“ кружни лаци, или аголот опишан од кругот е еднаков.

Тоа е, на сликата погоре е прикажан агол еднаков на, односно, овој агол се потпира на кружен лак со големина на обемот.

Агол во радијани е централниот агол во кругот подвижен со кружен лак чија должина е еднаква на радиусот на кругот. Па, дали сфативте? Ако не, тогаш ајде да дознаеме од цртежот.

Значи, сликата покажува агол еднаков на радијан, односно овој агол се потпира на кружен лак, чија должина е еднаква на радиусот на кругот (должината е еднаква на должината или радиусот еднаква на должинаталакови). Така, должината на лакот се пресметува со формулата:

Каде е централниот агол во радијани.

Па, знаејќи го ова, можете ли да одговорите колку радијани содржи аголот опишан со кругот? Да, за ова треба да ја запомните формулата за обемот. Еве ја таа:

Па, сега да ги поврземе овие две формули и да откриеме дека аголот опишан од кругот е еднаков. Односно, со корелација на вредноста во степени и радијани, го добиваме тоа. Соодветно,. Како што можете да видите, за разлика од „степените“, зборот „радијан“ е испуштен, бидејќи мерната единица обично е јасна од контекстот.

Колку радијани има? Тоа е точно!

Разбрав? Потоа оди напред и поправете го:

Имате потешкотии? Потоа погледнете одговори:

Правоаголен триаголник: синус, косинус, тангента, котангенс на аголот

Значи, го сфативме концептот на агол. Но, што е синус, косинус, тангента и котангента на агол? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, правоаголен триаголник ќе ни помогне.

Како се викаат страните на правоаголен триаголник? Така е, хипотенузата и нозете: хипотенузата е страната што лежи спротивна прав агол(во нашиот пример ова е страната); нозете се двете преостанати страни и (оние во непосредна близина на правиот агол), и ако ги земеме предвид нозете во однос на аголот, тогаш ногата е соседната нога, а ногата е спротивна. Значи, сега да одговориме на прашањето: што се синус, косинус, тангента и котангента на агол?

Синус на агол- ова е односот на спротивната (оддалечена) нога до хипотенузата.

Во нашиот триаголник.

Косинусот на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до хипотенузата.

Во нашиот триаголник.

Тангента на аголот- ова е односот на спротивната (оддалечена) страна со соседната (блиска).

Во нашиот триаголник.

Котангенс на аголот- ова е односот на соседната (блиска) нога до спротивната (далеку).

Во нашиот триаголник.

Овие дефиниции се неопходни запомнете! За полесно да запомните која нога да ја поделите на што, треба јасно да го разберете тоа тангентаИ котангентасамо нозете седат, а хипотенузата се појавува само во синусИ косинус. И тогаш можете да излезете со синџир на асоцијации. На пример, овој:

Косинус→допир→допир→соседен;

Котангента → допир → допир → соседно.

Пред сè, треба да запомните дека синус, косинус, тангента и котангента, бидејќи односот на страните на триаголникот не зависат од должината на овие страни (по ист агол). Не верувам? Потоа уверете се гледајќи ја сликата:

Размислете, на пример, косинус на агол. По дефиниција, од триаголник: , но можеме да го пресметаме косинус на агол од триаголник: . Гледате, должините на страните се различни, но вредноста на косинус од еден агол е иста. Така, вредностите на синус, косинус, тангента и котангента зависат исклучиво од големината на аголот.

Ако ги разбирате дефинициите, тогаш продолжи и консолидирај ги!

За триаголникот прикажан на сликата подолу, наоѓаме.

Па, дали го добивте? Потоа обидете се сами: пресметајте го истото за аголот.

Единица (тригонометриски) круг

Разбирање на концептите на степени и радијани, разгледавме круг со радиус еднаков на. Таков круг се нарекува сингл. Тоа ќе биде многу корисно при изучување на тригонометрија. Затоа, да го разгледаме малку подетално.

Како што можеш да видиш, даден кругвградена Декартов системкоординати Кружен радиус еднакво на еден, додека центарот на кругот лежи на почетокот, почетна позицијаВекторот на радиусот е фиксиран по позитивната насока на оската (во нашиот пример, ова е радиусот).

Секоја точка на кругот одговара на два броја: координатата на оската и координатата на оската. Кои се овие координатни броеви? И воопшто, каква врска имаат тие со темата што се работи? За да го направите ова, треба да запомниме за разгледуваниот правоаголен триаголник. На сликата погоре, можете да видите два цели правоаголни триаголници. Размислете за триаголник. Правоаголна е бидејќи е нормална на оската.

На што е еднаков триаголникот? Тоа е точно. Дополнително, знаеме дека е радиусот на единечниот круг, што значи . Ајде да ја замениме оваа вредност во нашата формула за косинус. Еве што се случува:

На што е еднаков триаголникот? Па, се разбира,! Заменете ја вредноста на радиусот во оваа формула и добијте:

Значи, можете ли да кажете какви координати има точка која припаѓа на круг? Па, нема шанси? Што ако го сфатите тоа и сте само бројки? На која координата одговара? Па, се разбира, координатите! И на која координата одговара? Така е, координати! Така, период.

На што се тогаш и што се еднакви? Така е, ајде да ги искористиме соодветните дефиниции за тангента и котангента и да го добиеме тоа, a.

Што ако аголот е поголем? На пример, како на оваа слика:

Што се смени во во овој пример? Ајде да го сфатиме. За да го направите ова, ајде повторно да се свртиме кон правоаголен триаголник. Размислете за правоаголен триаголник: агол (како во непосредна близина на агол). Кои се вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за агол? Така е, ние се придржуваме до соодветните дефиниции за тригонометриските функции:

Па, како што можете да видите, вредноста на синусот на аголот сè уште одговара на координатата; вредноста на косинус на аголот - координатата; и вредностите на тангента и котангента на соодветните соодноси. Така, овие односи се однесуваат на секоја ротација на векторот на радиусот.

Веќе беше споменато дека почетната положба на векторот на радиусот е долж позитивната насока на оската. Досега го ротиравме овој вектор спротивно од стрелките на часовникот, но што ќе се случи ако го ротираме во насока на стрелките на часовникот? Ништо извонредно, ќе добиете и агол со одредена вредност, но само тој ќе биде негативен. Така, при ротирање на векторот на радиус спротивно од стрелките на часовникот, добиваме позитивни аглии кога се ротира во насока на стрелките на часовникот - негативен.

Значи, знаеме дека цела револуција на векторот на радиусот околу круг е или. Дали е можно да се ротира векторот на радиусот до или до? Па, секако дека можеш! Според тоа, во првиот случај, векторот на радиусот ќе направи една целосна револуција и ќе застане на позицијата или.

Во вториот случај, односно векторот на радиусот ќе направи три целосни вртежи и ќе застане на позиција или.

Така, од горенаведените примери можеме да заклучиме дека аглите кои се разликуваат по или (каде е некој цел број) одговараат на истата позиција на векторот на радиусот.

Сликата подолу покажува агол. Истата слика одговара на аголот, итн. Оваа листа може да се продолжи на неодредено време. Сите овие агли може да се напишат со општата формула или (каде е кој било цел број)

Сега, знаејќи ги дефинициите на основните тригонометриски функции и користејќи го единечниот круг, обидете се да одговорите кои се вредностите:

Еве еден круг единица за да ви помогне:

Имате потешкотии? Тогаш ајде да го сфатиме. Значи знаеме дека:

Оттука, ги одредуваме координатите на точките што одговараат на одредени мерки на агол. Па, да почнеме по редослед: аголот при одговара на точка со координати, затоа:

Не постои;

Понатаму, придржувајќи се до истата логика, дознаваме дека аглите во одговараат на точки со координати, соодветно. Знаејќи го ова, лесно е да се одредат вредностите на тригонометриските функции во соодветните точки. Прво пробајте сами, а потоа проверете ги одговорите.

Одговори:

Не постои

Така, можеме да ја направиме следната табела:

Нема потреба да се сеќавате на сите овие вредности. Доволно е да се запамети кореспонденцијата помеѓу координатите на точките на единечниот круг и вредностите на тригонометриските функции:

Но, вредностите на тригонометриските функции на аглите во и, дадени во табелата подолу, мора да се запамети:

Не плашете се, сега ќе ви покажеме еден пример прилично едноставно за запомнување на соодветните вредности:

За да го користите овој метод, од витално значење е да се запаметат вредностите на синусот за сите три мерки на аголот (), како и вредноста на тангентата на аголот. Знаејќи ги овие вредности, прилично е едноставно да се врати целата табела - косинусните вредности се пренесуваат во согласност со стрелките, односно:

Знаејќи го ова, можете да ги вратите вредностите за. Броителот " " ќе се совпаѓа и именителот " " ќе се совпаѓа. Вредностите на котангентите се пренесуваат во согласност со стрелките наведени на сликата. Ако го разбирате ова и се сеќавате на дијаграмот со стрелките, тогаш ќе биде доволно да ги запомните сите вредности од табелата.

Координати на точка на круг

Дали е можно да се најде точка (неговите координати) на круг, знаејќи ги координатите на центарот на кругот, неговиот радиус и аголот на ротација?

Па, секако дека можеш! Ајде да го извадиме општа формулада се најдат координатите на точка.

На пример, еве еден круг пред нас:

Дадено ни е дека точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се пронајдат координатите на точката добиена со ротирање на точката за степени.

Како што може да се види од сликата, координатата на точката одговара на должината на отсечката. Должината на сегментот одговара на координатата на центарот на кругот, односно е еднаква. Должината на сегментот може да се изрази користејќи ја дефиницијата за косинус:

Потоа го имаме тоа за координатата на точката.

Користејќи ја истата логика, ја наоѓаме координативната вредност y за точката. Така,

Значи, во општ погледкоординатите на точките се одредуваат со формулите:

Координати на центарот на кругот,

Кружен радиус,

Аголот на ротација на векторскиот радиус.

Како што можете да видите, за единечниот круг што го разгледуваме, овие формули се значително намалени, бидејќи координатите на центарот се еднакви на нула, а радиусот е еднаков на еден:

Па, ајде да ги испробаме овие формули со вежбање наоѓање точки на круг?

1. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.

2. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.

3. Најдете ги координатите на точката на единечната кружница добиена со ротирање на точката на.

4. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.

5. Точката е центар на кругот. Радиусот на кругот е еднаков. Потребно е да се најдат координатите на точката добиена со ротирање на векторот на почетниот радиус за.

Дали имате проблем да ги пронајдете координатите на точка на круг?

Решете ги овие пет примери (или бидете добри во решавањето) и ќе научите да ги наоѓате!

Можете да го забележите тоа. Но, знаеме што одговара на целосна револуција на почетната точка. Така, саканата точкаќе биде во иста положба како при вклучување. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:

2. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:

Можете да го забележите тоа. Знаеме што одговара на две целосна брзинаПочетна точка. Така, саканата точка ќе биде во иста положба како кога се врти кон. Знаејќи го ова, ги наоѓаме потребните координати на точката:

Синус и косинус се вредности на табелата. Се сеќаваме на нивните значења и добиваме:

Така, саканата точка има координати.

3. Кругот на единицата е центриран во точка, што значи дека можеме да користиме поедноставени формули:

Можете да го забележите тоа. Ајде да го прикажеме предметниот пример на сликата:

Радиусот прави агли еднакви на и со оската. Знаејќи дека табеларните вредности на косинус и синус се еднакви, и кога утврдивме дека косинусот овде зема негативно значење, а синусот е позитивен, имаме:

Повеќе детали слични примерисе разбираат при изучување на формули за намалување на тригонометриските функции во темата.

Така, саканата точка има координати.

Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов)

За да ги одредиме соодветните знаци на синус и косинус, конструираме единечен круг и агол:

Како што можете да видите, вредноста, односно, е позитивна, а вредноста, односно негативна. Знаејќи ги табеларните вредности на соодветните тригонометриски функции, добиваме дека:

Ајде да ги замениме добиените вредности во нашата формула и да ги најдеме координатите:

Така, саканата точка има координати.

5. За да го решиме овој проблем, користиме формули во општа форма, каде

Координати на центарот на кругот (во нашиот пример,

Радиус на кругот (по услов)

Агол на ротација на радиусот на векторот (по услов).

Ајде да ги замениме сите вредности во формулата и да добиеме:

и - вредности на табелата. Да се потсетиме и да ги замениме во формулата:

Така, саканата точка има координати.

РЕЗИМЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Синус на агол е односот на спротивната (далеку) крак до хипотенузата.

Косинусот на аголот е односот на соседната (блиска) крак до хипотенузата.

Тангентата на аголот е односот на спротивната (далечна) страна со соседната (блиска) страна.

Котангенсот на аголот е односот на соседната (блиска) страна со спротивната (далечната) страна.

Во животот често ќе треба да се справуваме математички проблеми: на училиште, на универзитет, а потоа му помагате на вашето дете да заврши домашна работа. Луѓето од одредени професии секојдневно ќе се среќаваат со математиката. Затоа, корисно е да се запамети или запомни математички правила. Во оваа статија ќе разгледаме еден од нив: наоѓање на страната на правоаголен триаголник.

Што е правоаголен триаголник

Прво, да се потсетиме што е правоаголен триаголник. Правоаголен триаголник- Ова геометриска фигураод три отсечки кои поврзуваат точки кои не лежат на иста права линија, а еден од аглите на оваа бројка е 90 степени. Страните што формираат прав агол се нарекуваат краци, а страната што лежи спроти правиот агол се нарекува хипотенуза.

Наоѓање на кракот на правоаголен триаголник

Постојат неколку начини да ја дознаете должината на ногата. Би сакал да ги разгледам подетално.

Питагорова теорема за наоѓање на страната на правоаголен триаголник

Ако ги знаеме хипотенузата и кракот, тогаш можеме да ја најдеме должината на непознатиот крак користејќи ја Питагоровата теорема. Звучи вака: „Квадрат на хипотенузата еднаков на збиротквадрати на нозе“. Формула: c²=a²+b², каде што c е хипотенузата, a и b се краките. Ја трансформираме формулата и добиваме: a²=c²-b².

Пример. Хипотенузата е 5 cm, а кракот е 3 cm Ја трансформираме формулата: c²=a²+b² → a²=c²-b². Следно решаваме: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Тригонометриски соодноси за да се најде кракот на правоаголен триаголник

Може да најдете и непозната катета ако се познати која било друга страна и кој било остар агол на правоаголен триаголник. Постојат четири опции за наоѓање нога користејќи тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, котангента. Табелата подолу ќе ни помогне да ги решиме проблемите. Ајде да ги разгледаме овие опции.

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на синус

Синус на агол (грев) е односот на спротивната страна со хипотенузата. Формула: sin=a/c, каде што a е кракот спроти дадениот агол, а c е хипотенузата. Следно, ја трансформираме формулата и добиваме: a=sin*c.

Пример. Хипотенузата е 10 см, аголот А е 30 степени. Користејќи ја табелата, го пресметуваме синусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Потоа, користејќи ја трансформираната формула решаваме: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на косинус

Косинусот на аголот (cos) е односот соседната ногадо хипотенузата. Формула: cos=b/c, каде што b е кракот во непосредна близина на овој агол, а c е хипотенуза. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: b=cos*c.

Пример. Аголот А е еднаков на 60 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см Користејќи ја табелата, го пресметуваме косинусот на аголот А, тој е еднаков на 1/2. Следно решаваме: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник користејќи тангента

Тангента на аголот (tg) е односот на спротивната страна со соседната страна. Формула: tg=a/b, каде што a е страната спротивна на аголот, а b е соседната страна. Да ја трансформираме формулата и да добиеме: a=tg*b.

Пример. Аголот А е еднаков на 45 степени, хипотенузата е еднаква на 10 см.. Со помош на табелата ја пресметуваме тангентата на аголот А, таа е еднаква на Решете: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Најдете ја кракот на правоаголен триаголник со помош на котангенс

Аголниот котангенс (ctg) е односот на соседната страна со спротивната страна. Формула: ctg=b/a, каде што b е кракот во непосредна близина на аголот и е спротивната катета. Со други зборови, котангентата е „превртена тангента“. Добиваме: b=ctg*a.

Пример. Аголот А е 30 степени, спротивниот крак е 5 см.Според табелата, тангентата на аголот А е √3. Пресметуваме: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Значи, сега знаете како да најдете крак во правоаголен триаголник. Како што можете да видите, не е толку тешко, главната работа е да ги запомните формулите.

Во оваа статија ќе покажеме како да дадеме дефиниции за синус, косинус, тангента и котангента на агол и број во тригонометријата. Овде ќе зборуваме за нотации, ќе дадеме примери на записи и ќе дадеме графички илустрации. Како заклучок, да направиме паралела помеѓу дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента во тригонометријата и геометријата.

Навигација на страницата.

Дефиниција на синус, косинус, тангента и котангента

Ајде да видиме како се формира идејата за синус, косинус, тангента и котангента училишен курсматематика. Во лекциите по геометрија, дадена е дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. А подоцна се изучува тригонометријата, која зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација и број. Да ги претставиме сите овие дефиниции, да дадеме примери и да ги дадеме потребните коментари.

Остар агол во правоаголен триаголник

Од курсот по геометрија ги знаеме дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. Тие се дадени како однос на страните на правоаголен триаголник. Да ги дадеме нивните формулации.

Дефиниција.

Синус од остар агол во правоаголен триаголнике односот на спротивната страна со хипотенузата.

Дефиниција.

Косинусот на остар агол во правоаголен триаголнике односот на соседната нога со хипотенузата.

Дефиниција.

Тангента на остар агол во правоаголен триаголник– ова е односот на спротивната страна со соседната страна.

Дефиниција.

Котангенс на остар агол во правоаголен триаголник- ова е односот на соседната страна со спротивната страна.

Таму се воведени и ознаките за синус, косинус, тангента и котангента - sin, cos, tg и ctg, соодветно.

На пример, ако ABC е правоаголен триаголник со прав агол C, тогаш синусот на акутниот агол А еднаков на односотспротивната страна BC на хипотенузата AB, односно sin∠A=BC/AB.

Овие дефиниции ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на синус, косинус, тангента и котангента на остар агол од познатите должини на страните на правоаголен триаголник, како и од познати вредностинајдете ги должините на другите страни користејќи синус, косинус, тангента, котангента и должината на една од страните. На пример, ако знаевме дека во правоаголен триаголник кракот AC е еднаков на 3, а хипотенузата AB е еднаква на 7, тогаш би можеле да ја пресметаме вредноста на косинусот на акутниот агол A по дефиниција: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Агол на ротација

Во тригонометријата, тие почнуваат да гледаат на аголот пошироко - тие го воведуваат концептот на агол на ротација. Големината на аголот на ротација, за разлика од остриот агол, не е ограничена на 0 до 90 степени; аголот на ротација во степени (и во радијани) може да се изрази со кој било реален број од -∞ до +∞.

Во оваа светлина, дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента се дадени не за остар агол, туку за агол со произволна големина - агол на ротација. Тие се дадени преку x и y координатите на точката A 1, до која оди таканаречената почетна точка A(1, 0) по нејзиното ротирање за агол α околу точката O - почеток на правоаголниот Декартов координатен систем. и центарот на единечниот круг.

Дефиниција.

Синус на агол на ротацијаα е ордината на точката A 1, односно sinα=y.

Дефиниција.

Косинусот на аголот на ротацијаα се нарекува апсциса на точката A 1, односно cosα=x.

Дефиниција.

Тангента на аголот на ротацијаα е односот на ординатата на точката A 1 со нејзината апсциса, односно tanα=y/x.

Дефиниција.

Котангенс на аголот на ротацијаα е односот на апсцисата на точката A 1 со нејзината ордината, односно ctgα=x/y.

Синус и косинус се дефинирани за секој агол α, бидејќи секогаш можеме да ја одредиме апсцисата и ординатата на точката, кои се добиваат со ротирање на почетната точка по агол α. Но тангента и котангента не се дефинирани за ниту еден агол. Тангентата не е дефинирана за аглите α на кои почетната точка оди до точка со нула апсциса (0, 1) или (0, −1), а тоа се случува при агли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Навистина, при такви агли на ротација, изразот tgα=y/x нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Што се однесува до котангенсот, тој не е дефиниран за аглите α на кои почетната точка оди до точката со нулта ордината (1, 0) или (−1, 0), а тоа се случува за аглите 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Значи, синус и косинус се дефинирани за сите агли на ротација, тангента е дефинирана за сите агли освен 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангента е дефинирана за сите агли освен 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Дефинициите ги вклучуваат ознаките што ни се веќе познати sin, cos, tg и ctg, тие се користат и за означување на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација (понекогаш можете да ги најдете ознаките tan и cot што одговараат на тангента и котангента) . Значи, синусот на аголот на ротација од 30 степени може да се запише како sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα одговараат на тангентата на аголот на ротација −24 степени 17 минути и котангента на аголот на ротација α . Потсетете се дека при пишување на радијанската мерка на агол, ознаката „рад“ често се испушта. На пример, косинус на агол на ротација од три pi rad обично се означува cos3·π.

Како заклучок на оваа точка, вреди да се напомене дека кога се зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација, често се испушта фразата „агол на ротација“ или зборот „ротација“. Односно, наместо фразата „синус на аголот на ротација алфа“, обично се користи фразата „синус на алфа аголот“ или уште пократка, „синус алфа“. Истото важи и за косинус, тангента и котангента.

Исто така, ќе кажеме дека дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник се конзистентни со дефинициите штотуку дадени за синус, косинус, тангента и котангента на агол на ротација што се движи од 0 до 90 степени. Ова ќе го оправдаме.

Броеви

Дефиниција.

Синус, косинус, тангента и котангента на број t е бројот еднаков на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во t радијани, соодветно.

На пример, косинус на бројот 8 π по дефиниција е бројот еднакво на косинусагол од 8·π rad. И косинус од агол од 8·π rad е еднаков на еден, затоа, косинусот на бројот 8·π е еднаков на 1.

Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Се состои во тоа што секој реален број t се доделува на точка на единечната кружница со центар на почетокот правоаголен системкоординати, а синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка. Ајде да го разгледаме ова подетално.

Да покажеме како се воспоставува кореспонденција помеѓу реалните броеви и точките на кругот:

на бројот 0 му се доделува почетна точка A(1, 0);
позитивен број t е поврзана со точката на единечната кружница до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во спротивна насока од стрелките на часовникот и да одиме по патекатадолжина t;
негативен број t се поврзува со точката на единечната кружница, до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во насока на стрелките на часовникот и одиме по патека со должина |t| .

Сега преминуваме на дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на бројот t. Да претпоставиме дека бројот t одговара на точка на кругот A 1 (x, y) (на пример, бројот &pi/2; одговара на точката A 1 (0, 1) ).

Дефиниција.

Синус на бројот t е ордината на точката на единечната кружница што одговара на бројот t, односно sint=y.

Дефиниција.

Косинусот на бројот t се нарекува апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот t, односно чинење=x.

Дефиниција.

Тангента на бројот t е односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно tgt=y/x. Во друга еквивалентна формулација, тангентата на бројот t е односот на синусот на овој број со косинусот, односно tgt=sint/cost.

Дефиниција.

Котангента на бројот t е односот на апсцисата со ординатата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно ctgt=x/y. Друга формулација е оваа: тангента на бројот t е односот на косинус на бројот t со синусот на бројот t: ctgt=cost/sint.

Овде забележуваме дека штотуку дадените дефиниции се конзистентни со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Навистина, точка на единечниот круг, што одговара на бројот t , се совпаѓа со точката добиена со ротирање на почетната точка за агол од t радијани.

Сè уште вреди да се разјасни оваа точка. Да речеме дека го имаме записот sin3. Како можеме да разбереме дали зборуваме за синус на бројот 3 или за синус на аголот на ротација од 3 радијани? Ова обично е јасно од контекстот, во во спротивноова најверојатно не е од фундаментално значење.

Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент

Според податоците во претходниот ставдефиниции, секој агол на ротација α одговара на добро дефиниран грев вредностα, како вредноста на cosα. Дополнително, сите агли на ротација различни од 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) одговараат на вредностите tgα и вредностите кои не се 180°k, k∈Z (πk rad ) – вредности на ctgα. Затоа sinα, cosα, tanα и ctgα се функции на аголот α. Со други зборови, ова се функции на аголниот аргумент.

Слично, можеме да зборуваме за функциите синус, косинус, тангента и котангента нумерички аргумент. Навистина, за секој реален број t постои целосен специфична вредностсинт, како цена. Покрај тоа, сите броеви освен π/2+π·k, k∈Z одговараат на вредностите tgt, а броевите π·k, k∈Z - вредности ctgt.

Функциите синус, косинус, тангента и котангенс се нарекуваат основни тригонометриски функции.

Обично од контекстот е јасно дали имаме работа со тригонометриски функции на аголен аргумент или нумерички аргумент. Во спротивно, независната променлива можеме да ја замислиме и како мерка на аголот (аголен аргумент) и како нумерички аргумент.

Сепак, на училиште тие главно учат нумерички функции, односно функции чии аргументи, како и нивните соодветни функциски вредности, се броеви. Затоа, ако ние зборуваме законкретно за функциите, тогаш е препорачливо да се разгледа тригонометриски функциифункции на нумерички аргументи.

Врска помеѓу дефинициите од геометријата и тригонометријата

Ако го земеме предвид аголот на ротација α кој се движи од 0 до 90 степени, тогаш дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во контекст на тригонометријата се целосно конзистентни со дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник, кои се дадени во курсот по геометрија. Да го оправдаме ова.

Дозволете ни да го прикажеме единечниот круг во правоаголниот Декартов координатен систем Oxy. Да ја означиме почетната точка A(1, 0) . Да го ротираме за агол α кој се движи од 0 до 90 степени, добиваме точка A 1 (x, y). Да ја спуштиме нормалната A 1 H од точката A 1 до оската Ox.

Лесно е да се види дека во правоаголен триаголник агол A 1 OH еднаков на аголотротација α, должината на кракот OH во непосредна близина на овој агол е еднаква на апсцисата на точката A 1, односно |OH|=x, должината на кракот A 1 H спроти аголот е еднаква на ординатата на точка A 1, односно |A 1 H|=y, а должината на хипотенузата OA 1 е еднаква на една, бидејќи е радиусот на единечната кружница. Тогаш, по дефиниција од геометријата, синусот на остар агол α во правоаголен триаголник A 1 OH е еднаков на односот на спротивната катета со хипотенузата, односно sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниција од тригонометријата, синусот на аголот на ротација α е еднаков на ординатата на точката A 1, односно sinα=y. Ова покажува дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник е еквивалентно на одредувањето на синусот на аголот на ротација α кога α е од 0 до 90 степени.

Слично, може да се покаже дека дефинициите за косинус, тангента и котангента на остар агол α се конзистентни со дефинициите за косинус, тангента и котангента на аголот на ротација α.

Библиографија.

Геометрија. 7-9 одделение: тетратка за општо образование институции / [Л. С. Атанасјан, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, итн.]. - 20-ти изд. М.: Образование, 2010. - 384 стр.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Погорелов А.В.Геометрија: Учебник. за 7-9 одделение. општо образование институции / А. В. Погорелов. - 2. издание - М.: Образование, 2001. - 224 стр.: илустр. - ISBN 5-09-010803-X.
Алгебра и елементарни функции : Упатствоза учениците од 9-то одделение средно школо/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Изменето од доктор по физичко-математички науки О. Н. Головин - 4-ти изд. М.: Образование, 1969 година.
Алгебра:Тетратка за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С.А. Телјаковски - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: лошо. - ISBN 5-09-002727-7
Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.
Мордкович А.Г.Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10. Во 2 стр. Дел 1: упатство за образовните институции (ниво на профил)/ А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4то издание, додај. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-00792-0.
Алгебраи започна математичка анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа /[Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од А.Б. Жижченко. - 3-то издание. - I.: Образование, 2010.- 368 стр.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.