Едноставно, ова е зеленчук варен во вода по посебен рецепт. Ќе разгледам две почетни компоненти (салата од зеленчук и вода) и готовиот резултат - борш. Геометриски, може да се замисли како правоаголник, при што едната страна претставува зелена салата, а другата страна претставува вода. Збирот на овие две страни ќе укаже на борш. Дијагоналата и областа на таков „борш“ правоаголник се чисто математички концепти и никогаш не се користат во рецептите за борш.
Како зелената салата и водата се претвораат во борш од математичка гледна точка? Како може збирот на две отсечки да стане тригонометрија? За да го разбереме ова, потребни ни се линеарни аголни функции.
Во учебниците по математика нема да најдете ништо за линеарни аголни функции. Но, без нив не може да има математика. Законите на математиката, како и законите на природата, функционираат без разлика дали знаеме за нивното постоење или не.
Линеарните аголни функции се закони за собирање.Погледнете како алгебрата се претвора во геометрија, а геометријата во тригонометрија.
Дали е можно да се направи без линеарни аголни функции? Тоа е можно, бидејќи математичарите сè уште се снаоѓаат без нив. Финтата на математичарите е што тие секогаш ни кажуваат само за оние проблеми што самите знаат да ги решат, а никогаш не зборуваат за оние проблеми што не можат да ги решат. Погледнете. Ако го знаеме резултатот од собирањето и еден член, користиме одземање за да го најдеме другиот член. Сите. Ние не знаеме други проблеми и не знаеме како да ги решиме. Што треба да правиме ако го знаеме само резултатот од собирањето и не ги знаеме двата поима? Во овој случај, резултатот од додавањето мора да се разложи на два члена користејќи линеарни аголни функции. Следно, ние самите избираме што може да биде еден член, а линеарните аголни функции покажуваат каков треба да биде вториот член, така што резултатот од собирањето е токму она што ни треба. Може да има бесконечен број такви парови поими. Во секојдневниот живот добро се сложуваме без да го разложуваме збирот; одземањето ни е доволно. Но, во научното истражување за законите на природата, разложувањето на збирот на неговите компоненти може да биде многу корисно.
Друг закон за собирање за кој математичарите не сакаат да зборуваат (уште еден од нивните трикови) бара поимите да имаат исти мерни единици. За салата, вода и борш, тоа може да бидат единици за тежина, волумен, вредност или единица мерка.
Сликата покажува две нивоа на разлика за математички . Првото ниво се разликите во полето на броеви, кои се посочени а, б, в. Ова е она што го прават математичарите. Второто ниво се разликите во полето на мерните единици, кои се прикажани во квадратни загради и означени со буквата У. Ова е она што го прават физичарите. Можеме да го разбереме третото ниво - разликите во областа на објектите што се опишани. Различни предмети може да имаат ист број на идентични мерни единици. Колку е ова важно, можеме да видиме во примерот на тригонометријата на боршот. Ако додадеме подредници на истата ознака на единицата за различни објекти, можеме да кажеме точно која математичка величина опишува одреден објект и како тој се менува со текот на времето или поради нашите дејства. Писмо ВЌе назначам вода со писмо ССалатата ќе ја назначам со писмо Б- борш. Вака ќе изгледаат линеарните аголни функции за боршот.
Ако земеме дел од водата и дел од салатата, заедно ќе се претворат во една порција борш. Еве ви предлагам малку да одморите од боршот и да се потсетите на вашето далечно детство. Се сеќавате како нè учеа да собираме зајачиња и патки? Требаше да се открие колку животни ќе има. Што бевме научени да правиме тогаш? Бевме научени да ги одделуваме мерните единици од броевите и да собираме броеви. Да, кој било број може да се додаде на кој било друг број. Ова е директен пат до аутизмот на модерната математика - ние го правиме тоа неразбирливо што, неразбирливо зошто и многу слабо разбираме како ова е поврзано со реалноста, бидејќи на трите нивоа на разлика, математичарите работат само со едно. Би било поправилно да научите како да се движите од една мерна единица во друга.
Зајачињата, патките и малите животни може да се избројат на парчиња. Една заедничка мерна единица за различни објекти ни овозможува да ги собереме заедно. Ова е детска верзија на проблемот. Ајде да погледнеме сличен проблем за возрасните. Што добивате кога додавате зајачиња и пари? Тука има две можни решенија.
Првата опција. Ја одредуваме пазарната вредност на зајачињата и ја додаваме на расположливата сума на пари. Ја добивме вкупната вредност на нашето богатство во парична смисла.
Втора опција. Можете да го додадете бројот на зајачиња на бројот на банкноти што ги имаме. Износот на движниот имот ќе го добиеме на парчиња.
Како што можете да видите, истиот закон за собирање ви овозможува да добиете различни резултати. Се зависи од тоа што точно сакаме да знаеме.
Но, да се вратиме на нашиот борш. Сега можеме да видиме што ќе се случи за различни вредности на агли на линеарни аголни функции.
Аголот е нула. Имаме салата, но немаме вода. Не можеме да готвиме борш. Количината на борш е исто така нула. Тоа воопшто не значи дека нула борш е еднаков на нула вода. Може да има нула борш со нула салата (прав агол).
За мене лично ова е главниот математички доказ за фактот дека . Нулата не го менува бројот кога се додава. Ова се случува затоа што самото собирање е невозможно ако има само еден член, а вториот член недостасува. Можете да се чувствувате за ова како што сакате, но запомнете - сите математички операции со нула ги измислиле самите математичари, затоа фрлете ја вашата логика и глупаво натрупајте ги дефинициите измислени од математичарите: „делење со нула е невозможно“, „било кој број помножен со нула е еднаква на нула“, „надвор од точката на пункција нула“ и други глупости. Доволно е еднаш да запомните дека нулата не е број и никогаш повеќе нема да имате прашање дали нулата е природен број или не, бидејќи таквото прашање губи секакво значење: како може нешто што не е број да се смета за број ? Тоа е исто како да прашувате како боја треба да се класифицира една невидлива боја. Додавањето нула на број е исто како да сликате со боја што ја нема. Мавтавме со сува четка и им кажавме на сите дека „сликавме“. Но, малку се оддалечувам.
Аголот е поголем од нула, но помал од четириесет и пет степени. Имаме многу зелена салата, но не доволно вода. Како резултат на тоа, ќе добиеме густ борш.
Аголот е четириесет и пет степени. Имаме еднакви количини вода и салата. Ова е совршен борш (простете ми, готвачи, тоа е само математика).
Аголот е поголем од четириесет и пет степени, но помал од деведесет степени. Имаме многу вода и малку салата. Ќе добиете течен борш.
Прав агол. Имаме вода. Од салатата остануваат само спомени, додека продолжуваме да го мериме аголот од линијата што некогаш ја означувала салатата. Не можеме да готвиме борш. Количината на борш е нула. Во овој случај, држете се и пијте вода додека ја имате)))
Еве. Нешто како ова. Овде можам да раскажам други приказни кои овде би биле повеќе од соодветни.
Двајца пријатели имаа свои акции во заедничка работа. Откако го убил едниот, сè отишло кај другиот.
Појавата на математиката на нашата планета.
Сите овие приказни се раскажани на математички јазик користејќи линеарни аголни функции. Некој друг пат ќе ви го покажам вистинското место на овие функции во структурата на математиката. Во меѓувреме, да се вратиме на тригонометријата на боршот и да ги разгледаме проекциите.
Сабота, 26 октомври 2019 г
Гледав интересно видео за Грунди серија Еден минус еден плус еден минус еден - Numberphile. Математичарите лажат. Тие не извршиле проверка на еднаквоста при нивното расудување.
Ова ги повторува моите размислувања за.
Да ги погледнеме подетално знаците дека математичарите не мамат. На самиот почеток на аргументот, математичарите велат дека збирот на низата ЗАВИСИ од тоа дали има парен број елементи или не. Ова е ОБЈЕКТИВНО Утврден ФАКТ. Што ќе се случи следно?
Следно, математичарите ја одземаат низата од единството. До што води ова? Ова доведува до промена на бројот на елементи од низата - парен број се менува во непарен број, непарен број се менува во парен број. На крајот на краиштата, додадовме еден елемент еднаков на еден во низата. И покрај сета надворешна сличност, низата пред трансформацијата не е еднаква на низата по трансформацијата. Дури и ако зборуваме за бесконечна низа, мора да запомниме дека бесконечна низа со непарен број елементи не е еднаква на бесконечна низа со парен број елементи.
Со ставање знак за еднаквост помеѓу две низи со различен број на елементи, математичарите тврдат дека збирот на низата НЕ ЗАВИСИ од бројот на елементи во низата, што е во спротивност со ОБЈЕКТИВНО Утврден ФАКТ. Понатамошното размислување за збирот на бесконечна низа е неточно, бидејќи се заснова на лажна еднаквост.
Ако видите дека математичарите во текот на докажувањето ставаат загради, преуредуваат елементи на математички израз, додаваат или отстрануваат нешто, бидете многу внимателни, најверојатно тие се обидуваат да ве измамат. Како и магионичарите со карти, математичарите користат различни манипулации на изразување за да ви го одвлечат вниманието со цел на крајот да ви дадат лажен резултат. Ако не можете да повторите трик со карти без да ја знаете тајната на измамата, тогаш во математиката сè е многу поедноставно: дури и не се сомневате во ништо за измама, но повторувањето на сите манипулации со математички израз ви овозможува да ги убедите другите во точноста на добиениот резултат, исто како кога - ве убедуваа.
Прашање од публиката: Дали бесконечноста (како број на елементи во низата S) е парна или непарна? Како можете да го промените паритетот на нешто што нема паритет?
Бесконечноста е за математичарите, како што е Царството Небесно за свештениците - никој никогаш не бил таму, но сите знаат точно како функционира сè таму))) Се согласувам, после смртта ќе бидете апсолутно рамнодушни без разлика дали сте живееле парен или непарен број на денови, но... Додавајќи само еден ден во почетокот на вашиот живот, ќе добиеме сосема друга личност: неговото презиме, име и патроним се сосема исти, само датумот на раѓање е сосема различен - тој беше роден еден ден пред тебе.
Сега да дојдеме до поентата))) Да речеме дека конечната низа што има паритет ја губи оваа парност кога оди до бесконечност. Тогаш секоја конечна отсечка од бесконечна низа мора да ја изгуби парноста. Ова не го гледаме. Фактот што не можеме со сигурност да кажеме дали бесконечна низа има парен или непарен број на елементи не значи дека парноста исчезнала. Паритетот, ако постои, не може да исчезне без трага во бесконечноста, како во ракавот на шарпи. Има многу добра аналогија за овој случај.
Дали некогаш сте ја прашале кукавицата што седи во часовникот во која насока се врти стрелката на часовникот? За неа, стрелката се ротира во спротивна насока од она што го нарекуваме „во насока на стрелките на часовникот“. Колку и да звучи парадоксално, насоката на ротација зависи исклучиво од која страна ја набљудуваме ротацијата. И така, имаме едно тркало што ротира. Не можеме да кажеме во која насока се случува ротацијата, бидејќи можеме да ја набљудуваме и од едната страна на рамнината на ротација и од другата страна. Можеме само да посведочиме дека има ротација. Целосна аналогија со паритет на бесконечна низа С.
Сега да додадеме второ ротирачко тркало, чија рамнина на ротација е паралелна со рамнината на ротација на првото ротирачко тркало. Сè уште не можеме со сигурност да кажеме во која насока се вртат овие тркала, но апсолутно можеме да кажеме дали двете тркала се вртат во иста насока или во спротивна насока. Споредување на две бесконечни низи СИ 1-С, со помош на математиката покажав дека овие низи имаат различни паритети и ставањето знак за еднаквост меѓу нив е грешка. Лично, верувам во математиката, не им верувам на математичарите))) Патем, за целосно разбирање на геометријата на трансформациите на бесконечните низи, неопходно е да се воведе концептот „симултаност“. Ова ќе треба да се нацрта.
Среда, 7 август 2019 година
Завршувајќи го разговорот за, треба да разгледаме бесконечно множество. Поентата е дека концептот на „бесконечност“ влијае на математичарите како што боа констриктор влијае на зајакот. Треперливиот ужас на бесконечноста ги лишува математичарите од здравиот разум. Еве еден пример:
Оригиналниот извор е лоциран. Алфа значи реален број. Знакот за еднаквост во горните изрази покажува дека ако додадете број или бесконечност на бесконечноста, ништо нема да се промени, резултатот ќе биде истиот бесконечност. Ако го земеме бесконечното множество природни броеви како пример, тогаш разгледаните примери може да се претстават во оваа форма:
За јасно да докажат дека биле во право, математичарите дошле до многу различни методи. Лично, на сите овие методи гледам како на шамани кои танцуваат со тамбураши. Во суштина, сите тие се сведуваат на фактот дека или некои од собите се ненаселени и се вселуваат нови гости, или дека некои од посетителите се исфрлени во ходникот за да направат простор за гостите (многу човечки). Моето гледиште за таквите одлуки го претставив во форма на фантастична приказна за Русокосата. На што се заснова моето размислување? Преместувањето на бесконечен број посетители трае бесконечно време. Откако ќе ја ослободиме првата соба за гостин, еден од посетителите секогаш ќе оди по ходникот од неговата соба до следната до крајот на времето. Се разбира, факторот време може глупаво да се игнорира, но ова ќе биде во категоријата „не се пишува закон за будали“. Се зависи од тоа што правиме: прилагодување на реалноста на математичките теории или обратно.
Што е „хотел без крај“? Бесконечниот хотел е хотел во кој секогаш има било кој број празни кревети, без разлика на тоа колку соби се зафатени. Ако сите соби во бескрајниот коридор за „посетители“ се зафатени, постои уште еден бесконечен коридор со „гостински“ соби. Ќе има бесконечен број вакви коридори. Освен тоа, „бесконечниот хотел“ има бесконечен број на спрата во бесконечен број згради на бесконечен број планети во бесконечен број универзуми создадени од бесконечен број богови. Математичарите не се во состојба да се оградат од баналните секојдневни проблеми: секогаш има само еден Бог-Алах-Буда, има само еден хотел, има само еден коридор. Така, математичарите се обидуваат да жонглираат со сериските броеви на хотелските соби, убедувајќи нè дека е можно „да се нафрли во невозможното“.
Ќе ви ја покажам логиката на моето размислување користејќи го примерот на бесконечно множество природни броеви. Прво треба да одговорите на многу едноставно прашање: колку множества природни броеви има - еден или многу? Нема точен одговор на ова прашање, бидејќи ние самите ги измисливме броевите; броевите не постојат во природата. Да, природата е одлична во броењето, но за ова користи други математички алатки кои не ни се познати. Ќе ви кажам што мисли природата друг пат. Бидејќи ги измисливме броевите, ние самите ќе одлучиме колку множества природни броеви има. Ајде да ги разгледаме двете опции, како што им доликува на вистинските научници.
Опција еден. „Да ни се даде“ еден единствен сет на природни броеви, кој мирно лежи на полицата. Го земаме овој сет од полицата. Тоа е тоа, нема други природни броеви на полицата и нема каде да ги однесете. Не можеме да додадеме еден на овој сет, бидејќи веќе го имаме. Што ако навистина сакате? Нема проблем. Можеме да земеме еден од комплетот што веќе го земавме и да го вратиме на полицата. После тоа, можеме да земеме еден од полицата и да го додадеме на она што ни останува. Како резултат на тоа, повторно ќе добиеме бесконечен сет на природни броеви. Можете да ги запишете сите наши манипулации вака:
Ги запишав дејствата во алгебарска нотација и во нотација на теорија на множества, со детален список на елементите на множеството. Подлогата означува дека имаме еден и единствен сет на природни броеви. Излегува дека множеството природни броеви ќе остане непроменето само ако од него се одземе еден и се додаде истата единица.
Опција два. Имаме многу различни бесконечни множества природни броеви на нашата полица. Нагласувам - РАЗЛИЧНИ и покрај тоа што практично не се разликуваат. Ајде да земеме еден од овие комплети. Потоа земаме еден од друго множество природни броеви и го додаваме во множеството што веќе го земавме. Можеме дури и да додадеме две групи природни броеви. Ова е она што го добиваме:
Претставките „еден“ и „два“ покажуваат дека овие елементи припаѓале на различни множества. Да, ако додадете едно на бесконечно множество, резултатот исто така ќе биде бесконечно множество, но нема да биде ист како оригиналниот сет. Ако додадете уште едно бесконечно множество на едно бесконечно множество, резултатот е ново бесконечно множество кое се состои од елементите на првите две множества.
Множеството природни броеви се користи за броење на ист начин како што е линијарот за мерење. Сега замислете дека сте додале еден сантиметар на линијарот. Ова ќе биде различна линија, не еднаква на оригиналната.
Можете да го прифатите или да не го прифатите моето размислување - тоа е ваша работа. Но, ако некогаш наидете на математички проблеми, размислете дали го следите патот на лажното расудување што го газат генерации математичари. На крајот на краиштата, студирањето математика, пред сè, формира стабилен стереотип на размислување во нас и дури потоа ги додава нашите ментални способности (или, обратно, нè лишува од слободно размислување).
pozg.ru
недела, 4 август 2019 година
Довршував посткрипт на статија за и го видов овој прекрасен текст на Википедија:
Читаме: „... богатата теоретска основа на математиката на Вавилон немала холистички карактер и била сведена на збир на различни техники, лишени од заеднички систем и база на докази“.
Леле! Колку сме паметни и колку добро можеме да ги согледаме недостатоците на другите. Дали ни е тешко да ја погледнеме модерната математика во истиот контекст? Малку парафразирајќи го горниот текст, јас лично го добив следново:
Богатата теоретска основа на модерната математика не е холистичка по природа и е сведена на збир на различни делови, лишени од заеднички систем и база на докази.
Нема да одам далеку за да ги потврдам моите зборови - има јазик и конвенции кои се различни од јазикот и конвенциите на многу други математички гранки. Истите имиња во различни гранки на математиката може да имаат различно значење. Сакам да посветам цела серија публикации на најочигледните грешки на модерната математика. Се гледаме наскоро.
Сабота, 3 август 2019 година
Како да се подели множество во подмножества? За да го направите ова, треба да внесете нова мерна единица која е присутна во некои од елементите на избраниот сет. Ајде да погледнеме на пример.
Да имаме многу Асоставена од четири лица. Ова множество е формирано врз основа на „луѓе“. Да ги означиме елементите на ова множество со буквата А, претплатата со број ќе го означи серискиот број на секое лице во овој сет. Да воведеме нова мерна единица „род“ и да ја означиме со буквата б. Бидејќи сексуалните карактеристики се својствени за сите луѓе, ние го множиме секој елемент од множеството Аврз основа на полот б. Забележете дека нашата група „луѓе“ сега стана збир на „луѓе со родови карактеристики“. По ова можеме да ги поделиме сексуалните карактеристики на машки bmи женски bwсексуални карактеристики. Сега можеме да примениме математички филтер: избираме една од овие сексуални карактеристики, без разлика која - машки или женски. Ако некој го има, тогаш го множиме со едно, ако нема таков знак, го множиме со нула. А потоа користиме редовна училишна математика. Погледнете што се случи.
По множење, намалување и преуредување, завршивме со две подмножества: подмножество мажи Bmи подгрупа жени Bw. Математичарите размислуваат приближно на ист начин кога ја применуваат теоријата на множества во пракса. Но, тие не ни кажуваат детали, туку ни го даваат готовиот резултат - „многу луѓе се состојат од подгрупа мажи и подгрупа жени“. Секако, може да имате прашање: колку правилно е применета математиката во трансформациите наведени погоре? Се осмелувам да ве уверам дека, во суштина, трансформациите се направени правилно, доволно е да се знае математичката основа на аритметиката, Буловата алгебра и другите гранки на математиката. Што е тоа? Некој друг пат ќе ви кажам за ова.
Што се однесува до супермножества, можете да комбинирате две множества во едно супермножество со избирање на мерната единица присутна во елементите на овие две множества.
Како што можете да видите, мерните единици и обичната математика ја прават теоријата на множествата остаток од минатото. Знак дека сè не е добро со теоријата на множества е тоа што математичарите излегоа со свој јазик и нотација за теоријата на множества. Математичарите се однесуваа како шаманите некогаш. Само шаманите знаат како „правилно“ да го применат своето „знаење“. Тие нè учат на ова „знаење“.
Како заклучок, сакам да ви покажам како математичарите манипулираат
Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. За време на времето што му е потребно на Ахил да го истрча ова растојание, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката лази уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.
Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Сите тие на овој или оној начин ја разгледувале апоријата на Зенон. Шокот беше толку силен што „ ... дискусиите продолжуваат до ден-денес; научната заедница сè уште не успеала да дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите ... математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи беа вклучени во проучувањето на прашањето ; ниту еден од нив не стана општоприфатено решение за проблемот...„[Википедија, „Зенонова апорија“. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира во што се состои измамата.
Од математичка гледна точка, Зенон во својата апорија јасно го демонстрирал преминот од количина во . Оваа транзиција подразбира примена наместо постојани. Колку што разбрав, математичкиот апарат за користење на променливи мерни единици или сè уште не е развиен или не е применет на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, поради инертноста на размислувањето, применуваме константни временски единици на реципрочната вредност. Од физичка гледна точка, ова изгледа како времето да забавува додека не запре целосно во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја прегази желката.
Ако ја свртиме нашата вообичаена логика, сè си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја достигне желката“.
Како да се избегне оваа логична замка? Останете во константни единици време и не преминувајте на реципрочни единици. На јазикот на Зенон изгледа вака:
Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Во следниот временски интервал еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.
Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, ова не е целосно решение за проблемот. Изјавата на Ајнштајн за неодоливоста на брзината на светлината е многу слична на Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Сè уште треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.
Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летечка стрела:
Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.
Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечка стрела мирува на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да одредите дали автомобилот се движи, потребни ви се две фотографии направени од иста точка во различни временски моменти, но не можете да го одредите растојанието од нив. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точки во вселената во еден момент во времето, но од нив не можете да го одредите фактот на движење (се разбира, сè уште ви требаат дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне ). Она на што сакам да привлечам посебно внимание е дека две точки во времето и две точки во просторот се различни работи што не треба да се мешаат, бидејќи даваат различни можности за истражување.
Ќе ви го покажам процесот со пример. Го избираме „црвеното цврсто во мозолче“ - ова е нашата „целина“. Во исто време, гледаме дека овие работи се со лак, а има и без лак. После тоа, избираме дел од „целината“ и формираме сет „со лак“. Ова е начинот на кој шаманите ја добиваат својата храна со врзување на нивната теорија на множества со реалноста.
Сега ајде да направиме мал трик. Да земеме „цврсто со мозолче со лак“ и да ги комбинираме овие „целини“ според бојата, избирајќи ги црвените елементи. Добивме многу „црвено“. Сега последното прашање: дали добиените комплети „со лак“ и „црвено“ се исти сет или два различни сета? Само шаманите го знаат одговорот. Поточно, тие самите не знаат ништо, но како што велат, така ќе биде.
Овој едноставен пример покажува дека теоријата на множества е сосема бескорисна кога станува збор за реалноста. Која е тајната? Формиравме сет од „црвено цврсто со мозолче и лак“. Формирањето се одвиваше во четири различни мерни единици: боја (црвена), цврстина (цврста), грубост (мозолче), декорација (со лак). Само збир на мерни единици ни овозможуваат адекватно да ги опишеме вистинските предмети на јазикот на математиката. Вака изгледа.
Буквата „а“ со различни индекси означува различни мерни единици. Мерните единици по кои се разликува „целината“ во прелиминарната фаза се означени во загради. Мерната единица со која се формира комплетот се вади од загради. Последната линија го покажува конечниот резултат - елемент од сетот. Како што можете да видите, ако користиме мерни единици за да формираме множество, тогаш резултатот не зависи од редоследот на нашите дејства. И ова е математика, а не танцување на шаманите со тамбураши. Шаманите можат „интуитивно“ да дојдат до истиот резултат, тврдејќи дека е „очигледен“, бидејќи мерните единици не се дел од нивниот „научен“ арсенал.
Користејќи мерни единици, многу е лесно да се подели еден сет или да се комбинираат неколку множества во еден суперсет. Ајде внимателно да ја разгледаме алгебрата на овој процес.
Тригонометрискиот круг е еден од основните елементи на геометријата за решавање равенки со синус, косинус, тангента и котангента.
Која е дефиницијата на овој поим, како да се изгради овој круг, како да се одреди четвртина во тригонометријата, како да се дознаат аглите во конструиран тригонометриски круг - ќе зборуваме за ова и многу повеќе.
Тригонометриски круг
Тригонометриската форма на броен круг во математиката е круг со единечен радиус со центар на почетокот на координатната рамнина. Како по правило, тој е формиран од простор од формули за синус со косинус, тангента и котангента на координатен систем.
Целта на таквата сфера со n-димензионален простор е што благодарение на неа може да се опишат тригонометриски функции. Изгледа едноставно: круг, внатре во кој има координатен систем и повеќе правоаголни триаголници формирани од овој круг со помош на тригонометриски функции.
Што е синус, косинус, тангента, котангента во правоаголен триаголник
Правоаголен триаголник е оној во кој еден од аглите е 90°. Таа е формирана од нозете и хипотенузата со сите значења на тригонометријата. Катетите се две страни на триаголникот кои се во непосредна близина на аголот од 90°, а третата е хипотенузата, таа е секогаш подолга од катетите.
Синус е односот на една од катетите со хипотенузата, косинус е односот на другата катета кон него, а тангентата е односот на две катети. Врската симболизира поделба. Тангента е и поделба на остар агол со синус и косинус. Котангента е спротивен однос на тангента.
Формулите за последните два соодноси се како што следува: tg(a) = sin(a) / cos(a) и ctg(a) = cos(a) / sin(a).
Конструирање на единечен круг
Конструкцијата на единечниот круг се сведува на цртање со единичен радиус во центарот на координатниот систем. Потоа, за да конструирате, треба да ги броите аглите и, движејќи се спротивно од стрелките на часовникот, да го заобиколите целиот круг, ставајќи ги координатните линии што одговараат на нив.
Изградбата започнува по исцртување круг и поставување на точка во неговиот центар со поставување на координатен систем OX. Точката O на врвот на координатната оска е синусот, а X е косинус. Според тоа, тие се апсциса и ордината. Потоа треба да направите мерења ∠. Тие се изведуваат во степени и радијани.
Лесно е да се преведат овие индикатори - полн круг е еднаков на два пи радијани. Аголот од нула спротивно од стрелките на часовникот доаѓа со знак +, а ∠ од 0 во насока на стрелките на часовникот доаѓа со знак -. Позитивните и негативните вредности на синус и косинус се повторуваат секоја револуција на кругот.
Агли на тригонометриски круг
За да ја совладате теоријата на тригонометрискиот круг, треба да разберете како ∠ се бројат на него и на кој начин се мерат. Тие се пресметуваат многу едноставно.
Кругот е поделен со координатниот систем на четири дела. Секој дел формира ∠ 90°. Половина од овие агли се 45 степени. Според тоа, два дела од кругот се еднакви на 180 °, а три дела се 360 °. Како да се користат овие информации?
Доколку е потребно да се реши проблемот со наоѓање ∠, тие прибегнуваат кон теореми за триаголниците и основните Питагорови закони поврзани со нив.
Аглите се мерат во радијани:
- од 0 до 90 ° - вредности на аголот од 0 до ∏/2;
- од 90 до 180 ° - вредности на аголот од ∏/2 до ∏;
- од 180 до 270° - од ∏ до 3*∏/2;
- последниот квартал од 270 0 до 360 0 - вредности од 3*∏/2 до 2*∏.
За да дознаете специфично мерење, да ги претворите радијаните во степени или обратно, треба да прибегнете кон лист за измамници.
Конвертирање на агли од степени во радијани
Аглите може да се мерат во степени или радијани. Потребно е да се биде свесен за поврзаноста помеѓу двете значења. Овој однос се изразува во тригонометрија со помош на специјална формула. Со разбирање на врската, можете да научите како брзо да ги контролирате аглите и да се движите од степени во радијани назад.
За да дознаете на што точно е еднаков еден радијан, можете да ја користите следнава формула:
1 рад. = 180 / ∏ = 180 / 3,1416 = 57,2956
На крајот, 1 радијан е еднаков на 57 °, а има 0,0175 радијани во 1 степен:
1 степен = (∏ /180) рад. = 3,1416 / 180 рад. = 0,0175 рад.
Косинус, синус, тангента, котангента на тригонометриски круг
Косинусот со синус, тангента и котангента на тригонометриски круг - функции на алфа агли од 0 до 360 степени. Секоја функција има позитивна или негативна вредност во зависност од големината на аголот. Тие ја симболизираат врската со правоаголните триаголници формирани во круг.
Знакот на тригонометриската функција зависи исклучиво од координатниот квадрант во кој се наоѓа нумеричкиот аргумент. Последен пат научивме да ги претвораме аргументите од радијанска мерка во мерка на степен (видете ја лекцијата „Радијанска и степенска мерка на агол“), а потоа да ја одредиме истата координатна четвртина. Сега, всушност, да го одредиме знакот на синус, косинус и тангента.
Синус на аголот α е ординатата (y координата) на точка на тригонометриски круг што се јавува кога радиусот се ротира за агол α.
Косинусот на аголот α е апсциса (x координата) на точка на тригонометриски круг, што се јавува кога радиусот се ротира за агол α.
Тангентата на аголот α е односот на синус и косинус. Или, што е исто, односот на y координатата со x координатата.
Ознака: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y: x.
Сите овие дефиниции ви се познати од средношколската алгебра. Меѓутоа, не нè интересираат самите дефиниции, туку последиците што се јавуваат на тригонометрискиот круг. Погледни:
Сината боја ја означува позитивната насока на оската OY (оска на ординати), црвената ја означува позитивната насока на оската OX (оската на апсцисата). На овој „радар“ знаците на тригонометриските функции стануваат очигледни. Особено:
- sin α > 0 ако аголот α лежи во I или II координатен квадрант. Тоа е затоа што, по дефиниција, синусот е ордината (y координата). И координатата y ќе биде позитивна токму во I и II координатните четвртини;
- cos α > 0, ако аголот α лежи во првиот или четвртиот координатен квадрант. Бидејќи само таму x координатата (ака апсциса) ќе биде поголема од нула;
- tan α > 0 ако аголот α лежи во I или III координатен квадрант. Ова произлегува од дефиницијата: на крајот на краиштата, tan α = y : x, затоа е позитивно само таму каде што знаците на x и y се совпаѓаат. Ова се случува во првата координатна четвртина (тука x > 0, y > 0) и третата координатна четвртина (x< 0, y < 0).
За јасност, да ги забележиме знаците на секоја тригонометриска функција - синус, косинус и тангента - на одделни „радари“. Ја добиваме следната слика:
Ве молиме запомнете: во моите дискусии никогаш не зборував за четвртата тригонометриска функција - котангента. Факт е дека котангентните знаци се совпаѓаат со тангентните знаци - таму нема посебни правила.
Сега предлагам да разгледам примери слични на проблемите Б11 од пробниот Обединет државен испит по математика, кој се одржа на 27 септември 2011 година. На крајот на краиштата, најдобриот начин да се разбере теоријата е практиката. Препорачливо е да се вежба многу. Се разбира, условите на задачите беа малку изменети.
Задача. Определете ги знаците на тригонометриските функции и изрази (вредностите на самите функции не треба да се пресметуваат):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) cos (5π/6);
- cos (2π/3) tg (π/4);
- sin (5π/6) cos (7π/4);
- тен (3π/4) cos (5π/3);
- ctg (4π/3) tg (π/6).
Акциониот план е овој: прво ги претвораме сите агли од радијански мерки во степени (π → 180°), а потоа гледаме во која координатна четвртина се наоѓа добиениот број. Познавајќи ги четвртините, лесно можеме да ги најдеме знаците - според правилата штотуку опишани. Ние имаме:
- грев (3π/4) = грев (3 · 180°/4) = грев 135°. Од 135° ∈ , ова е агол од II координатен квадрант. Но, синусот во вториот квартал е позитивен, така што синусот (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Бидејќи 210° ∈ , ова е аголот од третиот координатен квадрант, во кој сите косинуси се негативни. Затоа cos(7π/6)< 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Од 300° ∈ сме во IV четвртина, каде што тангентата зема негативни вредности. Затоа тен (5π/3)< 0;
- sin (3π/4) cos (5π/6) = грев (3 180°/4) cos (5 180°/6) = грев 135° cos 150°. Да се справиме со синусот: затоа што 135° ∈ , ова е втор квартал во кој синусите се позитивни, т.е. sin (3π/4) > 0. Сега работиме со косинус: 150° ∈ - повторно втората четвртина, косинусите таму се негативни. Затоа cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Го гледаме косинусот: 120° ∈ е II координатна четвртина, па cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Повторно добивме производ во кој факторите имаат различни знаци. Бидејќи „минус со плус дава минус“, имаме: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
- sin (5π/6) cos (7π/4) = грев (5 180°/6) cos (7 180°/4) = грев 150° cos 315°. Работиме со синус: од 150° ∈ , зборуваме за II координатна четвртина, каде што синусите се позитивни. Затоа, sin (5π/6) > 0. Слично, 315° ∈ е IV координатна четвртина, косинусите таму се позитивни. Затоа cos (7π/4) > 0. Добивме производ на два позитивни броја - таквиот израз е секогаш позитивен. Заклучуваме: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Но, аголот 135° ∈ е втората четвртина, т.е. tg (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Бидејќи „минус со плус дава знак минус“, имаме: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
- ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Го гледаме аргументот котангента: 240° ∈ е III координатна четвртина, затоа ctg (4π/3) > 0. Слично, за тангентата имаме: 30° ∈ е I координатна четвртина, т.е. наједноставниот агол. Затоа tan (π/6) > 0. Повторно имаме два позитивни изрази - нивниот производ исто така ќе биде позитивен. Затоа креветче (4π/3) tg (π/6) > 0.
Конечно, да погледнеме неколку посложени проблеми. Покрај тоа што ќе го откриете знакот на тригонометриската функција, овде ќе треба да направите малку математика - токму како што се прави во реалните задачи Б11. Во принцип, тоа се речиси реални проблеми кои всушност се појавуваат на обединетиот државен испит по математика.
Задача. Најдете го sin α ако sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Бидејќи sin 2 α = 0,64, имаме: sin α = ±0,8. Останува само да се одлучи: плус или минус? По услов, агол α ∈ [π/2; π] е II координатна четвртина, каде што сите синуси се позитивни. Затоа, sin α = 0,8 - неизвесноста со знаци е елиминирана.
Задача. Најдете cos α ако cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Слично постапуваме, т.е. земете го квадратниот корен: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По услов, агол α ∈ [π; 3π/2], т.е. Станува збор за третата координатна четвртина. Сите косинуси таму се негативни, па cos α = -0,2.
Задача. Најдете го sin α ако sin 2 α = 0,25 и α ∈ .
Имаме: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Повторно гледаме на аголот: α ∈ е IV координатна четвртина, во која, како што знаеме, синусот ќе биде негативен. Така, заклучуваме: sin α = −0,5.
Задача. Најдете tan α ако tan 2 α = 9 и α ∈ .
Сè е исто, само за тангентата. Извадете го квадратниот корен: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Но, според условот, аголот α ∈ е I координатна четвртина. Сите тригонометриски функции, вкл. тангента, има позитивни, значи tan α = 3. Тоа е тоа!
Тригонометриски круг. Единица круг. Круг со броеви. Што е тоа?
Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)
Многу често термини тригонометриски круг, единична кружница, броен кругслабо разбран од учениците. И сосема залудно. Овие концепти се моќен и универзален асистент во сите области на тригонометријата. Всушност, ова е легален лист за измама! Нацртав тригонометриски круг и веднаш ги видов одговорите! Примамливо? Па да научиме, грев би било да не се користи такво нешто. Покрај тоа, тоа не е воопшто тешко.
За успешно да работите со тригонометрискиот круг, треба да знаете само три работи.
Доколку ви се допаѓа оваа страница...
Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)
Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)
Можете да се запознаете со функции и деривати.
Тип на лекција:систематизација на знаењето и средна контрола.
Опрема:тригонометриски круг, тестови, картички со задачи.
Цели на лекцијата:систематизирај го изучениот теоретски материјал според дефинициите за синус, косинус, тангента на агол; проверете го степенот на стекнување знаење за оваа тема и примена во пракса.
Задачи:
- Генерализирајте ги и консолидирајте ги концептите на синус, косинус и тангента на агол.
- Формирајте сеопфатно разбирање за тригонометриските функции.
- Да се промовира желбата и потребата на учениците да учат тригонометриски материјал; негувајте култура на комуникација, способност за работа во групи и потреба од самообразование.
„Кој прави и мисли сам од мали нозе,
Тогаш станува посигурен, посилен, попаметен.
(В. Шукшин)
ЗА ВРЕМЕ НА ЧАСОТ
I. Организациски момент
Класот е претставен со три групи. Секоја група има консултант.
Наставникот ја објавува темата, целите и задачите на часот.
II. Ажурирање на знаењето (фронтална работа со одделението)
1) Работете во групи на задачи:
1. Формулирајте ја дефиницијата за аголот на гревот.
– Какви знаци има sin α во секој координатен квадрант?
– По кои вредности изразот sin α има смисла и какви вредности може да земе?
2. Втората група се истите прашања за cos α.
3. Третата група подготвува одговори на истите прашања tg α и ctg α.
Во тоа време, тројца ученици работат самостојно на таблата користејќи картички (претставници на различни групи).
Картичка бр. 1.
Практична работа.
Со помош на единечниот круг, пресметајте ги вредностите на sin α, cos α и tan α за агли од 50, 210 и – 210.
Картичка бр. 2.
Определи го знакот на изразот: tg 275; cos 370; грев 790; tg 4.1 и грев 2.
Картичка број 3.
1) Пресметајте:
2) Споредете: cos 60 и cos 2 30 – sin 2 30
2) Орално:
а) Се предлага низа броеви: 1; 1.2; 3; , 0, , – 1. Меѓу нив има и вишок. Какво својство на sin α или cos α можат да изразат овие броеви (Дали sin α или cos α можат да ги земат овие вредности).
б) Дали изразот има смисла: cos (–); грев 2; tg 3: ctg (– 5); ; ctg0;
cotg(–π). Зошто?
в) Дали има минимална и максимална вредност на sin или cos, tg, ctg.
г) Дали е вистина?
1) α = 1000 е аголот на втората четвртина;
2) α = – 330 е аголот на IV четвртина.
д) Броевите одговараат на истата точка на единечниот круг.
3) Работете во одборот
Бр. 567 (2; 4) – Најдете ја вредноста на изразот
бр.583 (1-3) Определи го знакот на изразот
Домашна работа:маса во тетратка. бр.567(1,3) бр.578
III. Стекнување дополнителни знаења. Тригонометрија на дланка
Наставник:Излегува дека вредностите на синусите и косинусите на аглите се „лоцирани“ на вашата дланка. Испружете ја раката (било која рака) и раширете ги прстите што е можно подалеку (како на постерот). Поканет е еден студент. Ги мериме аглите меѓу прстите.
Земете триаголник каде што има агол од 30, 45 и 60 90 и нанесете го темето на аголот на ридот на Месечината на вашата дланка. Планината на Месечината се наоѓа на пресекот на продолжетоците на малиот прст и палецот. Едната страна ја соединуваме со малиот прст, а другата со еден од другите прсти.
Излегува дека има агол од 90 помеѓу малиот прст и палецот, 30 помеѓу малиот и безимениот прст, 45 помеѓу малиот и средниот прст и 60 помеѓу малиот и показалецот.И ова важи за сите луѓе без исклучок.
малиот прст бр. 0 - одговара на 0,
неименуван бр. 1 - одговара на 30,
просек бр. 2 - одговара на 45,
индекс број 3 - одговара на 60,
голем број 4 – одговара на 90.
Така, имаме 4 прсти на раката и се сеќаваме на формулата:
Прст бр. |
Катче |
Значење |
|
||
|
||
|
Ова е само мнемоничко правило. Во принцип, вредноста на sin α или cos α мора да се знае напамет, но понекогаш ова правило ќе помогне во тешки времиња.
Дојдете со правило за cos (аглите не се менуваат, туку се бројат од палецот). Физичка пауза поврзана со знаците sin α или cos α.
IV. Проверка на вашето знаење за знаење и вештини
Самостојна работа со повратни информации
Секој ученик добива тест (4 опции) и листот со одговори е ист за сите.
Тест
Опција 1
1) Под кој агол на ротација радиусот ќе ја заземе истата положба како при вртење низ агол од 50?
2) Најдете ја вредноста на изразот: 4cos 60 – 3sin 90.
3) Кој број е помал од нула: sin 140, cos 140, sin 50, tg 50.
Опција 2
1) Под кој агол на ротација радиусот ќе ја заземе истата положба како при вртење за агол од 10.
2) Најдете ја вредноста на изразот: 4cos 90 – 6sin 30.
3) Кој број е поголем од нула: sin 340, cos 340, sin 240, tg (– 240).
Опција 3
1) Најдете ја вредноста на изразот: 2ctg 45 – 3cos 90.
2) Кој број е помал од нула: sin 40, cos (– 10), tan 210, sin 140.
3) Која четвртина агол е аголот α, ако sin α > 0, cos α< 0.
Опција 4
1) Најдете ја вредноста на изразот: tg 60 – 6ctg 90.
2) Кој број е помал од нула: sin(– 10), cos 140, tg 250, cos 250.
3) Кој агол на квадрант е аголот α, ако ctg α< 0, cos α> 0.
А |
Б |
ВО |
Г |
Д |
Е |
И |
З |
И |
Л |
М |
|
Н |
ЗА |
П |
Р |
СО |
Т |
У |
Ф |
X |
Ш |
ЈУ |
Јас |
(клучниот збор е тригонометрија)
V. Информации од историјата на тригонометријата
Наставник:Тригонометријата е прилично важна гранка на математиката за човечкиот живот. Современата форма на тригонометрија ја дал најголемиот математичар од 18 век, Леонхард Ојлер, Швајцарец по потекло, кој долги години работел во Русија и бил член на Академијата на науките во Санкт Петербург. Воведе познати дефиниции за тригонометриски функции, формулираше и докажа познати формули, ќе ги научиме подоцна. Животот на Ојлер е многу интересен и ве советувам да се запознаете со него преку книгата на Јаковлев „Леонард Ојлер“.
(Порака од момците на оваа тема)
VI. Сумирајќи ја лекцијата
Игра "Tic Tac Toe"
Учествуваат двајцата најактивни студенти. Тие се поддржани од групи. Решенијата на задачите се запишуваат во тетратка.
Задачи
1) Најдете ја грешката
а) грев 225 = – 1,1 в) грев 115< О
б) cos 1000 = 2 г) cos (– 115) > 0
2) Изрази го аголот во степени
3) Изрази го аголот 300 во радијани
4) Која е најголемата и најмалата вредност што може да ја има изразот: 1+ sin α;
5) Определи го знакот на изразот: sin 260, cos 300.
6) Во која четвртина од кругот на броеви се наоѓа точката?
7) Определи ги знаците на изразот: cos 0,3π, sin 195, ctg 1, tg 390
8) Пресметајте:
9) Спореди: грев 2 и грев 350
VII. Рефлексија на лекцијата
Наставник:Каде можеме да ја сретнеме тригонометријата?
На кои часови во 9-то одделение, па и сега, ги користите поимите грев α, cos α; tg α; ctg α и за која цел?