Логаритамска функција, нејзиниот график и својства. Функција y=log a x, нејзините својства и графикон (продолжение)

График на функција поминува низ точка со координати (1;0)

Групна задача.Докажете дека експоненцијалните и логаритамските функции се меѓусебно инверзни.

Учениците цртаат график на логаритамска и експоненцијална функција во ист координатен систем

Да разгледаме две функции истовремено: експоненцијална y = a xи логаритамски y = log a x.

Слика 2 шематски ги прикажува графиконите на функциите y = a xИ y = log a xво случај а> 1.

Слика 3 шематски ги прикажува графиконите на функциите y = a xИ y = log a xво случај 0 < a < 1.

Следниве изјави се вистинити.

• График на функција y = log a xе симетричен на графикот на функцијата y = ax во однос на правата линија y = x.
• Поставена вредност на функцијата y = a xе комплет y>0, и доменот на дефинирање на функцијата y = log a xе комплет x>0.
• Оска Ое хоризонтална асимптота на графикот на функцијата y = a x, и оската ОУе вертикална асимптота на графикот на функцијата y = log a x.
• Функција y = a xсе зголемува со а> 1и функција y = log a xисто така се зголемува со а> 1.Функција y = a xсе намалува кај 0<а<1 и функција y = log a xисто така се намалува кај 0<а<1

Затоа, индикативно y = a xи логаритамски y = log a xфункциите се меѓусебно инверзни.

График на функција y = log a xнаречена логаритамска крива, иако всушност не можеше да се измисли ново име. На крајот на краиштата, ова е истиот експонент кој служи како график на експоненцијалната функција, само лоциран различно на координатната рамнина.

Фаза на рефлексија. Прелиминарно резиме.

Да се ​​вратиме на прашањата дискутирани на почетокот на лекцијата и да разговараме за добиените резултати. Ајде да видиме, можеби ни се смени мислењето после работа.

Учениците во групи ги споредуваат своите претпоставки со информациите добиени од работата со учебникот, конструирајќи графикони на функции и описи на нивните својства, прават промени во табелата, ги споделуваат своите размислувања со одделението и дискутираат за одговорите на секое прашање.

Повик фаза.

Во кои случаи мислите дека при извршување на кои задачи можат да се применат својствата на логаритамската функција?

Очекувани одговори на учениците: решавање логаритамски равенки, неравенки, споредување на нумерички изрази кои содржат логаритми, конструирање, трансформирање и истражување на посложени логаритамски функции.

Фаза на разбирање на содржината.

Работана препознавање на графикони на логаритамски функции, наоѓање домен на дефиниција, утврдување на монотоност на функциите. (Прилог бр. 4)

Одговори.

За да се прошири знаењето за прашањето што се проучува, на студентите им се нуди текстот „Примена на логаритамската функција во природата и технологијата“. (Прилог бр. 5)Ние користиме Технолошки метод „Кластер“да се задржи интересот за темата.

„Дали оваа функција е применлива во светот околу нас?“, ќе одговориме на ова прашање откако ќе го обработиме текстот за логаритамската спирала.

Составување на кластерот „Примена на логаритамската функција“. Учениците работат во групи, правејќи кластери. Потоа кластерите се заштитени и дискутирани.

Пример за кластер.

Рефлексија

• За што немавте поим пред денешниот час, а што сега ви стана јасно?
• Што научивте за логаритамската функција и нејзините примени?
• На какви потешкотии наидовте при завршувањето на задачите?
• Истакнете го прашањето што ви беше помалку јасно.
• Кои информации ве интересираа?
• Составете синхронизирана логаритамска функција
• Оценете ја работата на вашата група (Додаток бр. 6 „Лист за евалуација на перформансите на групата“)

Синквин.

1. Логаритамска функција
2. Неограничено, монотоно
3. Истражувајте, споредувајте, решавајте нееднаквости
4. Својствата зависат од вредноста на основата на логаритамската функција
5. Излагач

Домашна работа:§ 4 стр.240-243, бр. 69-75 (дури)

Литература:

1. Азевич А.И. Дваесет лекции за хармонија: Курс по хуманистички и математички науки. - М.: Школа-Прес, 1998.-160 стр.: ил. (Библиотека на списанието „Математика на училиште“. Број 7.)
2. Заир-Бек С.И. Развој на критичко размислување во училницата: прирачник за наставници по општо образование. институции. – М. Образование, 2011. – 223 стр.
3. Кољагин Ју.М. Алгебра и почетоците на анализата. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профилни нивоа. – М.: Образование, 2010 година.
4. Корчагин В.В. Единствен државен испит 2009 г. Математика. Тематски задачи за обука. – М.: Ексмо, 2009 година.
5. Единствен државен испит 2008 година. Математика. Тематски задачи за обука/ Корешкова Т.А. и други - М.: Ексмо, 2008 година.

Час по алгебра во 10 одделение

Тема: „Логаритамска функција, нејзините својства и график“

Цели:

Образовни: Воведете го концептот на логаритамска функција користејќи искуство од минатото, дајте дефиниција. Проучи ги основните својства на логаритамската функција. Развијте ја способноста за исцртување на логаритамска функција.

Развојни:Развијте ја способноста да се нагласи главната работа, да се споредува, генерализира. Да се ​​формира графичка култура кај учениците.

Образовни:Покажете ја врската помеѓу математиката и околната реалност. Развијте комуникациски вештини, дијалог и способност за тимска работа.

Тип на лекција:Комбинирани

Наставни методи:Делумно пребарување, интерактивно.

За време на часовите.

1.Ажурирање на минатото искуство:

На учениците им се нудат усни вежби користејќи ја дефиницијата на логаритамот, неговите својства, формули за преместување во нова основа, решавање на наједноставните логаритамски и експоненцијални равенки, примери за наоѓање опсег на прифатливи вредности за логаритамски изрази

Орални вежбиУсна работа.

1) Пресметајте користејќи ја дефиницијата за логаритам: дневник 2 8; дневник 4 16;.

2) Пресметајте користејќи го основниот логаритамски идентитет:

3) Решете ја равенката користејќи ја дефиницијата:

4) Откријте во кои вредности на x изразот има смисла:

5) Најдете ја вредноста на изразот користејќи ги својствата на логаритмите:

2. Проучи ја темата.Од учениците се бара да решат експоненцијални равенки: 2 x =y; () x = y. со изразување на променливата x во однос на променливата y. Како резултат на оваа работа, се добиваат формули кои дефинираат функции непознати за учениците. ,. Прашање : „Како би ја нарекле оваа функција? учениците велат дека е логаритамска, бидејќи променливата е под знакот логаритам: .

Прашање . Дефинирајте функција. Дефиниција: Функција дадена со формулата y=log а x се нарекува логаритамска со основа a (a>0, a 1)

III. Студија на функции y=лог а x

Неодамна, го воведовме концептот на логаритам на позитивен број на позитивна и не-1 основа a. За кој било позитивен број, можете да го најдете логаритамот на дадена основа. Но, тогаш треба да размислите за функција од формата y=logсекира, и за неговата графика и својства.Функцијата дадена со формулата y=log а x се нарекува логаритамска со основа a (a>0, a 1)

Основни својства на логаритамската функција:

1. Областа на дефиниција на логаритамската функција ќе биде целото множество од позитивни реални броеви. За краткост, исто така се нарекуваR+. Очигледно својство, бидејќи секој позитивен број има логаритам за основање a.Д(ѓ)=R+

2. Опсегот на логаритамската функција ќе биде целото множество од реални броеви.Е(ѓ)= (-∞; +∞)

3 . Графикот на логаритамска функција секогаш поминува низ точката (1;0).

4 . Ллогаритамска функција на возрастане на а> 1, и се намалувана 0<х<1.

5 . Функцијата не е парна или непарна. Логаритамска функција - општа функцијаА.

6 . Функцијата нема максимални или минимални поени, е континуиран во доменот на дефиниција.

На следната слика е прикажан график на опаѓачка логаритамска функција - (0

Ако конструирате експоненцијални и логаритамски функции со исти основи во иста координатна оска, тогаш графиците на овие функции ќе бидат симетрични во однос на правата линија y = x. Оваа изјава е прикажана на следната слика.

Горенаведената изјава ќе биде точна и за зголемување и за намалување на логаритамските и за експоненцијалните функции.

Размислете за пример: најдете го доменот на дефиниција на логаритамската функција f(x) = log 8 (4 - 5x).

Врз основа на својствата на логаритамската функција, доменот на дефиниција е целото множество од позитивни реални броеви R+. Тогаш дадената функција ќе се дефинира за таков x за кој 4 - 5x>0. Ја решаваме оваа неравенка и добиваме x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) ќе биде интервалот (-∞;0,8)

Графикони на логаритамски функции во Геогебра

Графикони на логаритамски функции
1) природен логаритам y = ln (x)
2) децимален логаритам y = log(x)
3) основа 2 логаритам y = ld (x)

V. Зајакнување на темата

Користејќи ги добиените својства на логаритамската функција, ќе ги решиме следниве проблеми:

1. Најдете го доменот на функцијата: y=log 8 (4-5x);y=log 0,5 (2x+8);.

3. Шематски конструирај графикони на функции: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2

Страница 1

Логаритамската функција (80) го врши инверзното пресликување на целата w рамнина со пресек на лента - i / /: i, Риманова површина со бесконечна листа на целосната z - рамнина.

Логаритамска функција: y логакс, каде што основата на логаритмите a е позитивен број што не е еднаков на еден.

Логаритамската функција игра посебна улога во дизајнот и анализата на алгоритмите, па затоа вреди да се разгледа подетално. Бидејќи често се занимаваме со аналитички резултати во кои се испушта константниот фактор, ние користиме лог ТВ нотација, испуштајќи ја основата. Промената на логаритмската основа само ја менува вредноста на логаритамот за константен фактор, меѓутоа, посебните значења на логаритамската основа се јавуваат во одредени контексти.

Логаритамската функција е инверзна на експоненцијалната функција. Неговиот график (сл. 247) се добива од графикот на експоненцијалната функција (со иста основа) со свиткување на цртежот по симетралата на првиот координатен агол. Се добива и графикот на која било инверзна функција.

Потоа, логаритамската функција се воведува како инверзна на експоненцијалната функција. Својствата на двете функции може лесно да се изведат од овие дефиниции. Токму оваа дефиниција доби одобрение од Гаус, кој во исто време изрази несогласување со оценката што му беше дадена во прегледот на Гетинген научните вести. Во исто време, Гаус му пристапи на прашањето од поширока гледна точка отколку да Куња. Вториот се ограничи на разгледување на експоненцијални и логаритамски функции во реалниот регион, додека Гаус ја прошири нивната дефиниција на сложени променливи.

Логаритамската функција y логакс е монотона во целиот нејзин домен на дефиниција.

Логаритамската функција е континуирана и диференцијабилна низ целиот нејзин домен на дефиниција.

Логаритамската функција монотоно се зголемува ако a I. За 0 a 1, логаритамската функција со основа a се намалува монотоно.

Логаритамската функција е дефинирана само за позитивни вредности на x и еден на еден го прикажува интервалот (0; 4 - os.

Логаритамската функција y лога x е инверзна функција на експоненцијалната функција yax.

Логаритамска функција: y огакс, каде што основата на логаритмите a е позитивен број што не е еднаков на еден.

Логаритамските функции добро се комбинираат со физичките концепти за природата на полиетиленското лази под услови каде стапката на напрегање е мала. Во овој поглед, тие се совпаѓаат со равенката Andraade, па понекогаш се користат за приближување на експерименталните податоци.

Логаритамската функција или природниот логаритам и In z се одредува со решавање на трансценденталната равенка g ei во однос на u. Во регионот на реалните вредности на x и y, под услов x 0, оваа равенка признава единствено решение.

„Логаритамска функција, нејзините својства и график“.

Алгебра 10-то одделение

Тема на часот: „Логаритамска функција, нејзините својства и график“.

Тип на лекција:учење нов материјал.

Цели на лекцијата:

• 
  формираат приказ на логаритамската функција и нејзините основни својства;
• 
  развиваат способност за исцртување на логаритамска функција;
• 
  промовирање на развојот на вештини за да се идентификуваат својствата на логаритамската функција од графиконот;
• 
  развој на вештини за работа со текст, способност за анализа на информации, способност за систематизирање, оценување и користење;
• 
  развој на вештини за работа во парови, микрогрупи (вештини за комуникација, дијалог, заедничко одлучување)

Користени техники:вистинити, лажни изјави, INSERT, кластер, синхронизирање

Опрема: PowerPoint презентација, интерактивна табла, материјали (картички, текстуален материјал, табели), листови хартија во квадрат,

За време на часовите:

Фаза на повик:

Вовед на наставникот. Работиме на совладување на темата „Логаритми“. Што моментално знаеме и што можеме да направиме?

Ученикот одговара.

Знаеме: дефиниција, својства на логаритмот, основен логаритамски идентитет, формули за премин во нова основа, области на примена на логаритмите.

Ние можеме: пресметува логаритми, решава едноставни логаритамски равенки, трансформира логаритми.
Кој концепт е тесно поврзан со концептот логаритам? (со концептот на степен, бидејќи логаритамот е експонент)

Ученичка задача. Користејќи го концептот на логаритам, пополнете кои било две табели со

а > 1и во 0 а (Прилог бр. 1)

Што претставуваат претставените изрази? (експоненцијални равенки, експоненцијални функции)

Ученичка задача. Решавајте експоненцијални равенки користејќи израз на променлива Xпреку променлива на.

Како резултат на оваа работа, се добиваат следните формули:

Дозволете ни да ги замениме местата во добиените изрази XИ на. Што добивме?

Како би ги нарекле овие функции? (логаритамски, бидејќи променливата е под знакот логаритам). Како да се напише оваа функција во општа форма? .

Темата на нашата лекција е „Логаритамска функција, нејзините својства и график“.

Логаритамска функција е функција од формата каде А- даден број, a>0, a≠1.

Нашата задача е да научиме како да градиме и проучуваме графикони на логаритамски функции и да ги применуваме нивните својства.

Имате картички со прашања на вашите маси. Сите тие започнуваат со зборовите „Дали веруваш дека...“

Одговорот на прашањето може да биде само „да“ или „не“. Ако „да“, тогаш десно од прашањето во првата колона ставете знак „+“ ако „не“, тогаш знакот „-“. Ако се сомневате, ставете знак „?

Работа во парови. Работно време 3 минути. (Прилог бр. 2)

Откако ќе се слушнат одговорите на учениците, се пополнува првата колона од збирната табела на таблата.
Фаза на разбирање на содржината(10 мин).

Со сумирање на работата со прашањата од табелата, наставникот ги подготвува учениците за идејата дека кога одговараме на прашања, сè уште не знаеме дали сме во право или не.

Групна задача. Одговори на прашањата може да се најдат со проучување на текстот §4 стр. 240-242. Но, предлагам не само да го прочитате текстот, туку да изберете една од четирите претходно добиени функции: , , , , конструирање на неговиот график и идентификување на својствата на логаритамската функција од графикот. Секој член на групата го прави тоа во тетратка. И тогаш графикот на функцијата е изграден на голем лист хартија во квадрат. По завршувањето на работата, претставник од секоја група зборува во одбрана на нивната работа.
Групна задача.Генерализирајте ги својствата на функцијата за а > 1И 0 а (Прилог бр. 3)

Својства на функции y = дневник а xна а > 1.

Својства на функции y = дневник а x,на 0 .

Оска ОУе вертикална асимптота на графикот на логаритамската функција и во случај кога а> 1, и во случај кога 0
График на функција y = дневник а xпоминува низ точка со координати (1;0)

Групна задача.Докажете дека експоненцијалните и логаритамските функции се меѓусебно инверзни.

Учениците цртаат график на логаритамска и експоненцијална функција во ист координатен систем

Да разгледаме две функции истовремено: експоненцијална y = a Xи логаритамски y = дневник а X.

Слика 2 шематски ги прикажува графиконите на функциите y = a xИ y = дневник а Xво случај а> 1.

Слика 3 шематски ги прикажува графиконите на функциите y = a xИ y = дневник а Xво случај 0
Сл.3.

Следниве изјави се вистинити.

• 
  График на функција y = дневник а Xе симетричен на графикот на функцијата y = a x во однос на правата линија y = x.
• 
  Поставена вредност на функцијата y = a xе комплет y>0, и доменот на дефинирање на функцијата y = дневник а Xе комплет x>0.
• 
  Оска Ое хоризонтална асимптота на графикот на функцијата y = a x, и оската ОУе вертикална асимптота на графикот на функцијата y = дневник а X.
• 
  Функција y = a xсе зголемува со а> 1и функција y = дневник а Xисто така се зголемува со а> 1.Функција y = a xсе намалува кај 0у = дневник а Xисто така се намалува кај 0

Затоа, индикативно y = a xи логаритамски y = дневник а Xфункциите се меѓусебно инверзни.
График на функција y = дневник а Xнаречена логаритамска крива, иако всушност не можеше да се измисли ново име. На крајот на краиштата, ова е истиот експонент кој служи како график на експоненцијалната функција, само лоциран различно на координатната рамнина.
Фаза на рефлексија. Прелиминарно резиме.

Да се ​​вратиме на прашањата дискутирани на почетокот на лекцијата и да разговараме за добиените резултати. Ајде да видиме, можеби ни се смени мислењето после работа.

Учениците во групи ги споредуваат своите претпоставки со информациите добиени од работата со учебникот, конструирајќи графикони на функции и описи на нивните својства, прават промени во табелата, ги споделуваат своите размислувања со одделението и дискутираат за одговорите на секое прашање.

Повик фаза.Во кои случаи мислите дека при извршување на кои задачи можат да се применат својствата на логаритамската функција?

Очекувани одговори на учениците: решавање логаритамски равенки, неравенки, споредување на нумерички изрази кои содржат логаритми, конструирање, трансформирање и истражување на посложени логаритамски функции.

Фаза на разбирање на содржината.
Работана препознавање на графикони на логаритамски функции, наоѓање домен на дефиниција, утврдување на монотоност на функциите. (Прилог бр. 4)

1. Најдете го доменот на функцијата:

1)на= дневник 0,3 X 2) на= дневник 2 (x-1) 3) на= дневник 3 (3)

1. 
   (0; +∞) б) (1;+∞) в) (-∞; 3) г) (0;1]

А) x≠0б) x>0 V) .

Домашна работа:§ 4 стр.240-243, бр. 69-75 (дури)

Литература:

1. 
   Азевич А.И. Дваесет лекции за хармонија: Курс по хуманистички и математички науки. - М.: Школа-Прес, 1998.-160 стр.: ил. (Библиотека на списанието „Математика на училиште“. Број 7.)
2. 
   Заир.Бек С.И. Развој на критичко размислување во училницата: прирачник за наставници по општо образование. институции. – М. Образование, 2011. – 223 стр.
3. 
   Кољагин Ју.М. Алгебра и почетоците на анализата. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профилни нивоа. – М.: Образование, 2010 година.
4. 
   Корчагин В.В. Единствен државен испит 2009 г. Математика. Тематски задачи за обука. – М.: Ексмо, 2009 година.
5. 
   Единствен државен испит 2008 година. Математика. Тематски задачи за обука/ Корешкова Т.А. и други - М.: Ексмо, 2008 година

Дадени се основните својства на логаритамот, логаритамски график, домен на дефиниција, множество вредности, основни формули, зголемување и намалување. Се разгледува пронаоѓањето на изводот на логаритам. Како и интегрално, проширување и претставување на сериите на моќност со помош на сложени броеви.

Дефиниција на логаритам

Логаритам со основа aе функција од y (x) = log a x, инверзна на експоненцијалната функција со основа a: x (y) = a y.

Децимален логаритаме логаритам на основата на некој број 10 : дневник x ≡ дневник 10 x.

Природен логаритаме логаритам на основата на e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Графикот на логаритамот се добива од графикот на експоненцијалната функција со нејзино пресликување во однос на правата y = x. Лево се графикони на функцијата y (x) = log a xза четири вредности логаритамски основи: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Графикот покажува дека кога > 1 логаритамот монотоно се зголемува. Како што x се зголемува, растот значително се забавува. На 0 < a < 1 логаритамот монотоно се намалува.

Својства на логаритмот

Домен, збир на вредности, зголемување, намалување

Логаритмот е монотона функција, па затоа нема екстреми. Главните својства на логаритмот се претставени во табелата.

Приватни вредности

Се вика логаритамот на основата 10 децимален логаритами се означува на следниов начин:

Логаритам до основа дповикани природен логаритам:

Основни формули за логаритми

Својства на логаритмот кои произлегуваат од дефиницијата на инверзната функција:

Главното својство на логаритмите и неговите последици

Формула за замена на основата

Логаритаме математичка операција на земање логаритам. Кога се земаат логаритми, производите на факторите се претвораат во збирови на членови.

Потенцијацијае инверзна математичка операција на логаритам. За време на потенцирањето, дадена основа се подига до степенот на изразување над кој се врши потенцирање. Во овој случај, збировите на поими се трансформираат во производи на фактори.

Доказ за основните формули за логаритми

Формулите поврзани со логаритми произлегуваат од формулите за експоненцијални функции и од дефиницијата на инверзна функција.

Размислете за својството на експоненцијалната функција
.
Потоа
.
Да го примениме својството на експоненцијалната функција
:
.

Дозволете ни да ја докажеме формулата за замена на основата.
;
.
Претпоставувајќи c = b, имаме:

Инверзна функција

Инверзната на логаритам на основата a е експоненцијална функција со експонент a.

Ако тогаш

Ако тогаш

Извод на логаритам

Извод на логаритмот на модул x:
.
Извод од n-ти ред:
.
Изведување формули > > >

За да се најде изводот на логаритам, тој мора да се сведе на основата д.
;
.

Интегрален

Интегралот на логаритамот се пресметува со интегрирање по делови: .
Значи,

Изрази кои користат сложени броеви

Размислете за функцијата комплексен број z:
.
Да изразиме сложен број zпреку модул ри аргумент φ :
.
Потоа, користејќи ги својствата на логаритмот, имаме:
.
Или

Сепак, аргументот φ не е единствено дефиниран. Ако ставите
, каде n е цел број,
тогаш тоа ќе биде ист број за различни n.

Според тоа, логаритамот, како функција на сложена променлива, не е функција со една вредност.

Проширување на серијата на моќност

Кога ќе се изврши проширување:

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.