Интеграција на рационални функции Дробно - рационална функција Наједноставни рационални дропки Разложување на рационална дропка на едноставни дропки Интеграција на едноставни дропки Општо правило за интеграција на рационални дропки

полином со степен n. Дробно - рационална функција Дробно - рационална функција е функција еднаква на односот на два полиноми: Рационална дропка се нарекува соодветна ако степенот на броителот е помал од степенот на именителот, односно m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Дробно - рационална функција Намали неправилна дропка до правилната форма: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Најпрости рационални дропки Правилни рационални дропки од формата: Тие се нарекуваат најпрости рационални дропки од типови. секира А); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Разложување на рационална дропка на едноставни дропки Теорема: Секоја правилна рационална дропка, чијшто именител е факторизиран: може да се претстави, згора на тоа, на единствен начин во форма на збир на едноставни дропки: s k qxpxxxxxx. К M s ss qxpx Nx)

Разложување на рационална дропка на едноставни дропки Да ја објасниме формулацијата на теоремата користејќи ги следните примери: За да се најдат неодредените коефициенти A, B, C, D..., се користат два методи: методот на споредување коефициенти и методот на парцијални вредности на променлива. Ајде да го разгледаме првиот метод користејќи пример. 3 2) 3) (2 (4 xx x 2 x A 3 3 2 21) 3 () 3 (3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11) 1 (1 xx Nx. M) 1 (3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1) (4(987 xxx xx 4 x

Разложување на рационална дропка на едноставни дропки Претставете ја дропот како збир од едноставни дропки: Да ги доведеме наједноставните дропки до заеднички именител Изедначете ги броителите на добиените и првобитните дропки Изедначете ги коефициентите со исти моќи x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52) (1()1) (()52 (2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Интеграција на наједноставните дропки Да ги најдеме интегралите на наједноставните рационални дропки: Да ја разгледаме интеграцијата на дропките од тип 3 со пример. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A) (Cax. Aln) (axdax. A k C k ax. A k

Интеграција на едноставни дропкиdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 9 2 9 2 3 2 2 td 33 2 t arctg C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Интеграција на едноставни дропки Интеграл од овој тип со помош на замена: се сведува на збир од два интеграли: Првиот интеграл се пресметува со воведување t под диференцијалниот знак. Вториот интеграл се пресметува со помош на формулата за повторување: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk на dt N на dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Интеграција на едноставни дропки a = 1; k = 3 323) 1 (t dt tarctg t dt 1 21) 1) (12 (2222 322 1 21222 t t t dt) 1 (22 1 2 2 t t tarctg 2223) 1) (13 (2232 332 т т т т т 2 (4)1(

Општо правило за интегрирање на рационални дропки Ако дропката е неправилна, тогаш претставувајте ја како збир од полином и соодветна дропка. Имајќи го факторизирано именителот на правилната рационална дропка, претставувајте ја како збир на едноставни фракции со неодредени коефициенти Најдете неопределени коефициенти со методот на споредување коефициенти или со методот на парцијални вредности на променливата. Интегрирајте го полиномот и добиениот збир на едноставни дропки.

Пример Да ја ставиме дропката во правилна форма. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 2x2 105 23 48 2 x x

Пример Да го факторизираме именителот на соодветна дропка Да ја претставиме дропката како збир од едноставни дропки Да ги најдеме неодредените коефициенти користејќи го методот на парцијални вредности на променливата xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 ) 1 (1 x C x B x A 2 2) 1 () 1 (xx Cxx. Bxx. A 48) 1 () 1 (22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1 (3 1 124 xxx

Пример dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

„Математичарот, исто како уметникот или поетот, создава обрасци. И ако неговите обрасци се постабилни, тоа е само затоа што се составени од идеи... Моделите на математичарот, исто како и шаблоните на уметникот или поетот, мора да бидат убави; Идеите, исто како боите или зборовите, мора да одговараат една на друга. Убавината е првиот услов: нема место во светот за грда математика».

Г.Х.Харди

Во првото поглавје беше забележано дека постојат антидеривати на прилично едноставни функции кои повеќе не можат да се изразат преку елементарни функции. Во овој поглед, оние класи на функции за кои точно можеме да кажеме дека нивните антидеривати се елементарни функции добиваат огромно практично значење. Оваа класа на функции вклучува рационални функции, претставувајќи го односот на два алгебарски полиноми. Многу проблеми доведуваат до интеграција на рационални дропки. Затоа, многу е важно да може да се интегрираат таквите функции.

2.1.1. Дробни рационални функции

Рационална дропка(или фракциона рационална функција) се нарекува однос на два алгебарски полиноми:

каде и се полиноми.

Да се ​​потсетиме на тоа полином (полином, целата рационална функција) nти степеннаречена функција на формата

Каде - реални броеви. На пример,

– полином од прв степен;

– полином од четврти степен и сл.

Се нарекува рационалната дропка (2.1.1). точно, ако степенот е понизок од степенот т.е. n<м, во спротивно дропката се нарекува погрешно.

Секоја неправилна дропка може да се претстави како збир на полином (целиот дел) и правилна дропка (дропниот дел).Одвојувањето на целите и дробните делови на неправилна дропка може да се направи според правилото за делење полиноми со „агол“.

Пример 2.1.1.Идентификувајте ги целините и дробните делови на следните неправилни рационални дропки:

А) , б) .

Решение . а) Користејќи го алгоритмот за делење „агол“, добиваме

Така, добиваме

.

б) Овде го користиме и алгоритмот за делење „аголник“:

Како резултат на тоа, добиваме

.

Да резимираме. Во општиот случај, неопределениот интеграл на рационална дропка може да се претстави како збир на интегралите на полиномот и правилната рационална дропка. Не е тешко да се најдат антидеривати на полиноми. Затоа, во следново главно ќе ги разгледаме правилните рационални дропки.

2.1.2. Наједноставните рационални дропки и нивната интеграција

Меѓу правилните рационални дропки, постојат четири типа, кои се класифицирани како наједноставните (елементарни) рационални дропки:

3) ,

4) ,

каде е цел број, , т.е. квадратен трином нема вистински корени.

Интегрирањето на едноставни фракции од 1-ви и 2-ри типови не претставува големи тешкотии:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Сега да ја разгледаме интеграцијата на едноставни дропки од третиот тип, но нема да ги разгледуваме дропките од четвртиот тип.

Да почнеме со интеграли на формата

.

Овој интеграл обично се пресметува со изолирање на совршениот квадрат на именителот. Резултатот е интегрален табела од следната форма

или .

Пример 2.1.2.Најдете ги интегралите:

А) , б) .

Решение . а) Изберете целосен квадрат од квадратен трином:

Од тука наоѓаме

б) Со изолирање на целосен квадрат од квадратен трином, добиваме:

Така,

.

Да се ​​најде интегралот

можете да го изолирате изводот на именителот во броителот и да го проширите интегралот во збир од два интеграли: првиот од нив со замена се сведува на изгледот

,

а вториот - на оној што беше дискутиран погоре.

Пример 2.1.3.Најдете ги интегралите:

.

Решение . забележи, тоа . Да го изолираме изводот на именителот во броителот:

Првиот интеграл се пресметува со помош на замената :

Во вториот интеграл го избираме совршениот квадрат во именителот

Конечно, добиваме

2.1.3. Правилно рационално проширување на дропот
за збир на едноставни дропки

Секоја соодветна рационална дропка може да се претстави на единствен начин како збир од едноставни дропки. За да го направите ова, именителот мора да се факторизира. Од повисоката алгебра е познато дека секој полином со реални коефициенти

Една од најважните класи на функции, чии интеграли се изразуваат преку елементарни функции, е класата на рационални функции.

Дефиниција 1. Функција на формата каде
- полиноми на степениnИмнаречен рационален. Цела рационална функција, т.е. полином, директно се интегрира. Интегралот на фракционо-рационална функција може да се најде со разложување на поими, кои на стандарден начин се претвораат во главните табеларни интеграли.

Дефиниција 2. Дропка
се нарекува точен ако степенот на броителотnпомала од моќта на именителотм. Дропката во која степенот на броителот е поголем или еднаков на степенот на именителот се нарекува неправилна дропка.

Секоја неправилна дропка може да се претстави како збир на полином и правилна дропка. Ова се прави со делење на полином со полином, како делење на броеви.

Пример.

Ајде да замислиме дропка
како збир на полином и правилна дропка:

x - 1

3

3

3

Прв мандат
во количник се добива како резултат на делење на водечки член
, поделено со водечкиот термин Xделител Потоа се множиме
по делител x-1а добиениот резултат се одзема од дивидендата; Слично се наоѓаат и останатите членови од нецелосниот количник.

Поделувајќи ги полиномите, добиваме:

Оваа акција се нарекува избор на цел дел.

Дефиниција 3. Наједноставните дропки се правилни рационални дропки од следниве видови:

Јас.

II.
(К=2, 3, ...).

III.
каде е квадратниот трином

IV.
каде K=2, 3, ...; квадратен трином
нема вистински корени.

а) прошири го именителот
во наједноставните реални фактори (според основната теорема на алгебрата, ова проширување може да содржи линеарни биноми од формата
и квадратни триноми
, без корени);

б) напиши дијаграм на разложување на дадена дропка во збир на едноставни дропки. Покрај тоа, секој фактор на формата
одговара ккомпоненти од типови I и II:

на секој фактор од формата
одговара на условите од типовите III и IV:

Пример.

Запишете ја шемата за проширување на дропот
до збир од наједноставните.

в) изврши собирање на наједноставните добиени дропки. Запиши ја еднаквоста на броителите на добиените и оригиналните дропки;

г) најдете ги коефициентите на соодветното проширување:
(методите на решение ќе бидат разгледани подолу);

д) заменете ги пронајдените вредности на коефициентите во шемата за распаѓање.

Интегрирањето на која било соодветна рационална дропка по распаѓањето во нејзините наједноставни термини се сведува на наоѓање интеграли од еден од следниве типови:

(кИ д =2, 3, …).

Пресметка на интегралот се сведува на формула III:

интегрален - до формулата II:

интегрален може да се најде со правилото наведено во теоријата на интеграција на функции кои содржат квадратен трином; - преку трансформациите прикажани подолу во примерот 4.

Пример 1.

а) факторизирајте го именителот:

б) напишете дијаграм за разложување на интеградот на поими:

в) изврши собирање на едноставни дропки:

Да ја запишеме еднаквоста на броителите на дропките:

г) постојат два методи за наоѓање непознати коефициенти A, B, C.

Два полиноми се еднакви ако и само ако нивните коефициенти се еднакви за исти сили X, за да можете да го креирате соодветниот систем на равенки. Ова е еден од методите за решение.

Коефициенти на

слободни членови (коефициент на ):4А=8.

Откако го решивме системот, добиваме А=2, Б=1, C= - 10.

Друг метод - приватни вредности - ќе се дискутира во следниот пример;

д) заменете ги пронајдените вредности во шемата за распаѓање:

Заменувајќи ја добиената сума под знакот интегрален и интегрирајќи го секој член посебно, наоѓаме:

Пример 2.

Идентитетот е еднаквост што важи за сите вредности на непознатите вклучени во него. Врз основа на ова метод на приватна вредност.Може да се даде Xкакви било вредности. Попогодно е за пресметките да се земат оние вредности што ги губат сите поими од десната страна на еднаквоста.

Нека x = 0. Потоа 1 = А 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Слично за x = - 2ние имаме 1= - 2V*(-3), во x = 1ние имаме 1 = 3А.

Оттука,

Пример 3.

г) прво го користиме методот на делумна вредност.

Нека x = 0, Потоа 1 = А 1, А = 1.

На x = - 1ние имаме - 1+4+2+1 = - B(1+1+1)или 6 = - 3V, Б = - 2.

За да ги пронајдете коефициентите C и D, треба да креирате уште две равенки. За ова можете да земете какви било други вредности X, На пример x = 1И x = 2. Можете да го користите првиот метод, т.е. изедначуваат коефициенти на која било идентична моќност X, на пример кога И . Добиваме

1 = A+B+C и 4 = C +Д- ВО.

Знаејќи A = 1, Б = -2, ќе најдеме C = 2, Д = 0 .

Така, двата методи може да се комбинираат при пресметување на коефициентите.

Последен интеграл наоѓаме одделно според правилото наведено во методот на одредување нова променлива. Ајде да избереме совршен квадрат во именителот:

да речеме
Потоа
Добиваме:

=

Заменувајќи се во претходната еднаквост, наоѓаме

Пример 4.

Најдете

б)

г)

Интегрирајќи, имаме:

Да го трансформираме првиот интеграл во формула III:

Да го трансформираме вториот интеграл во формула II:

Во третиот интеграл ја заменуваме променливата:

(При извршување на трансформациите ја користевме формулата за тригонометрија

Најдете ги интегралите:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Прашања за самотестирање.

Кои од овие рационални дропки се точни:

2. Дали правилно е напишан дијаграмот за разложување на дропка на збир на едноставни дропки?

Интеграција на фракционо-рационална функција.
Метод на неизвесен коефициент

Продолжуваме да работиме на интегрирање на дропки. Веќе разгледавме интеграли на некои типови дропки во лекцијата, а оваа лекција, во извесна смисла, може да се смета за продолжение. За успешно разбирање на материјалот, потребни се основни вештини за интеграција, па ако штотуку сте почнале да ги проучувате интегралите, односно сте почетник, тогаш треба да започнете со статијата Неопределен интеграл. Примери на решенија.

Доволно чудно, сега ќе се занимаваме не толку со наоѓање интеграли, туку... со решавање системи на линеарни равенки. Во таа смисла УргентноПрепорачувам да присуствувате на лекцијата Имено, треба да бидете добро упатени во методите за замена (методот „училиште“ и методот на собирање (одземање) на системските равенки).

Што е фракциона рационална функција? Со едноставни зборови, дробно-рационална функција е дропка чиј броител и именител содржат полиноми или производи на полиноми. Покрај тоа, фракциите се пософистицирани од оние што се дискутирани во статијата Интегрирање на некои дропки.

Интегрирање на правилна фракционо-рационална функција

Веднаш пример и типичен алгоритам за решавање на интеграл на фракционо-рационална функција.

Пример 1

Чекор 1.Првото нешто што СЕКОГАШ го правиме кога решаваме интеграл од фракциона рационална функција е да го разјасниме следново прашање: дали дропката е соодветна?Овој чекор се изведува вербално, а сега ќе објаснам како:

Прво го гледаме броителот и дознаваме виша дипломаполином:

Водечката моќ на броителот е два.

Сега го гледаме именителот и дознаваме виша дипломаименител. Очигледниот начин е да ги отворите заградите и да внесете слични термини, но можете да го направите поедноставно, внатре секојнајдете највисок степен во загради

и ментално множете се: - така, највисокиот степен на именителот е еднаков на три. Сосема е очигледно дека ако навистина ги отвориме заградите, нема да добиеме диплома поголема од три.

Заклучок: Главниот степен на броител СТРОГОе помала од највисоката моќност на именителот, што значи дека дропката е соодветна.

Ако во овој пример броителот го содржи полиномот 3, 4, 5 итн. степени, тогаш дропот би бил погрешно.

Сега ќе ги разгледаме само точните фракциони рационални функции. Случајот кога степенот на броителот е поголем или еднаков на степенот на именителот ќе се дискутира на крајот од часот.

Чекор 2.Да го факторизираме именителот. Да го погледнеме нашиот именител:

Општо земено, ова е веќе производ на фактори, но, сепак, се прашуваме: дали е можно да се прошири нешто друго? Предмет на тортура несомнено ќе биде квадратниот трином. Решавање на квадратната равенка:

Дискриминантата е поголема од нула, што значи дека триномот навистина може да се факторизира:

Општо правило: СЕ во именителот МОЖЕ да се факторизира - факторинг

Ајде да започнеме да формулираме решение:

Чекор 3.Користејќи го методот на неопределени коефициенти, го прошируваме интеграндот во збир на едноставни (елементарни) дропки. Сега ќе биде појасно.

Да ја погледнеме нашата интегративна функција:

И, знаете, некако се појавува интуитивна мисла дека би било убаво да ја претвориме нашата голема фракција во неколку мали. На пример, вака:

Се поставува прашањето, дали е воопшто можно да се направи ова? Да здивнеме, соодветната теорема на математичка анализа вели – МОЖНО Е. Таквото распаѓање постои и е единствено.

Има само еден улов, шансите се ЧаоНе знаеме, па оттука и името – методот на неопределени коефициенти.

Како што претпоставувате, последователните движења на телото се такви, не кикнувајте! ќе има за цел само да ги ПРЕПОЗНАВА - да дознае на што се еднакви.

Внимавајте, само еднаш ќе ви објаснам детално!

Значи, да почнеме да танцуваме од:

На левата страна го намалуваме изразот на заеднички именител:

Сега можеме безбедно да се ослободиме од именителот (бидејќи тие се исти):

На левата страна ги отвораме заградите, но засега не ги допирајте непознатите коефициенти:

Во исто време, го повторуваме училишното правило за множење на полиноми. Кога бев учител, научив да го изговарам ова правило со директно лице: За да помножите полином со полином, треба да го помножите секој член од еден полином со секој член од другиот полином.

Од гледна точка на јасно објаснување, подобро е да ги ставите коефициентите во загради (иако јас лично никогаш не го правам ова за да заштедам време):

Составуваме систем на линеарни равенки.
Прво бараме високи дипломи:

И ги запишуваме соодветните коефициенти во првата равенка на системот:

Добро запомнете ја следната точка. Што би се случило ако воопшто немало s на десната страна? Да речеме, дали само би се покажало без никаков квадрат? Во овој случај, во равенката на системот би било потребно да се стави нула десно: . Зошто нула? Но затоа што на десната страна секогаш можете да го доделите истиот квадрат со нула: Ако на десната страна нема променливи и/или слободен член, тогаш ставаме нули на десните страни на соодветните равенки на системот.

Ги запишуваме соодветните коефициенти во втората равенка на системот:

И конечно, минерална вода, избираме бесплатни членови.

Ех,...некако се шегував. Шегите на страна - математиката е сериозна наука. Во нашата група на институти, никој не се смееше кога доцентот рече дека ќе ги расфрли поимите по бројна линија и ќе ги избере најголемите. Ајде да станеме сериозни. Иако... кој ќе доживее да го види крајот на оваа лекција, сепак тивко ќе се насмее.

Системот е подготвен:

Го решаваме системот:

(1) Од првата равенка ја искажуваме и ја заменуваме во 2-та и 3-та равенка на системот. Всушност, беше можно да се изрази (или друга буква) од друга равенка, но во овој случај поволно е да се изрази од првата равенка, бидејќи таму најмалите шанси.

(2) Прикажуваме слични поими во 2-та и 3-та равенка.

(3) Втората и третата равенка ги собираме член по член, добивајќи ја еднаквоста , од која произлегува дека

(4) Заменуваме во втората (или третата) равенка, од каде што го наоѓаме тоа

(5) Заменете и во првата равенка, добивајќи .

Доколку имате потешкотии со методите за решавање на системот, вежбајте ги на час. Како да се реши систем на линеарни равенки?

По решавањето на системот, секогаш е корисно да се провери - заменете ги пронајдените вредности секојравенка на системот, како резултат на тоа сè треба да се „спојува“.

Скоро таму. Најдени се коефициентите и:

Завршената работа треба да изгледа вака:

Како што можете да видите, главната тешкотија на задачата беше да се состави (точно!) и да се реши (точно!) систем на линеарни равенки. И во последната фаза, сè не е толку комплицирано: ги користиме својствата на линеарноста на неопределен интеграл и интегрираме. Забележете дека под секој од трите интеграли имаме „слободна“ комплексна функција. Зборував за карактеристиките на нејзината интеграција во лекцијата Метод на промена на променливата во неопределен интеграл.

Проверете: разликувајте го одговорот:

Добиена е оригиналната интегранд функција, што значи дека интегралот е правилно пронајден.
При верификацијата моравме да го сведеме изразот на заеднички именител и тоа не е случајно. Методот на неопределени коефициенти и намалувањето на изразот на заеднички именител се меѓусебно инверзни дејства.

Пример 2

Најдете го неопределениот интеграл.

Да се ​​вратиме на дропката од првиот пример: . Лесно е да се забележи дека во именителот сите фактори се РАЗЛИЧНИ. Се поставува прашањето, што да се прави ако, на пример, е дадена следнава дропка: ? Овде имаме степени во именителот, или, математички, множители. Покрај тоа, постои квадратен трином кој не може да се факторизира (лесно е да се потврди дека дискриминантот на равенката е негативен, па триномот не може да се факторизира). Што да се прави? Проширувањето во збир на елементарни дропки ќе изгледа нешто слично со непознати коефициенти на врвот или нешто друго?

Пример 3

Воведете функција

Чекор 1.Проверка дали имаме правилна дропка
Главен броител: 2
Највисок степен на именител: 8
, што значи дека дропката е точна.

Чекор 2.Дали е можно нешто да се факторизира во именителот? Очигледно не, се е веќе поставено. Квадратниот трином не може да се прошири во производ од причините наведени погоре. Аспиратор. Помалку работа.

Чекор 3.Да замислиме фракционо-рационална функција како збир од елементарни дропки.
Во овој случај, проширувањето ја има следната форма:

Да го погледнеме нашиот именител:
При разложување на фракционо-рационална функција на збир од елементарни дропки, може да се разликуваат три основни точки:

1) Ако именителот содржи фактор „осамен“ до првата моќност (во нашиот случај), тогаш ставаме неопределен коефициент на врвот (во нашиот случај). Примерите бр. 1, 2 се состоеле само од такви „осамени“ фактори.

2) Ако именителот има повеќекратнамножител, тогаш треба да го разложите вака:
- односно, последователно поминете ги сите степени на „Х“ од првиот до n-тиот степен. Во нашиот пример има два повеќекратни фактори: и , погледнете уште еднаш на проширувањето што го дадов и уверете се дека тие се проширени токму според ова правило.

3) Ако именителот содржи неразградлив полином од втор степен (во нашиот случај), тогаш кога се разложувате во броителот треба да напишете линеарна функција со неодредени коефициенти (во нашиот случај со неодредени коефициенти и ).

Всушност, има уште еден 4-ти случај, но ќе го премолчам, бидејќи во пракса е исклучително редок.

Пример 4

Воведете функција како збир на елементарни дропки со непознати коефициенти.

Ова е пример за да го решите сами. Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.
Следете го строго алгоритмот!

Ако ги разбирате принципите според кои треба да ја проширите фракционо-рационалната функција во збир, можете да џвакате речиси секој интеграл од типот што се разгледува.

Пример 5

Најдете го неопределениот интеграл.

Чекор 1.Очигледно дропката е точна:

Чекор 2.Дали е можно нешто да се факторизира во именителот? Може. Еве го збирот на коцки . Факторирајте го именителот со помош на скратената формула за множење

Чекор 3.Користејќи го методот на неопределени коефициенти, го прошируваме интеградот во збир од елементарни дропки:

Забележете дека полиномот не може да се факторизира (проверете дали дискриминантата е негативна), така што најгоре ставаме линеарна функција со непознати коефициенти, а не само една буква.

Дропката ја доведуваме до заеднички именител:

Ајде да го составиме и решиме системот:

(1) Изразуваме од првата равенка и ја заменуваме со втората равенка на системот (ова е најрационален начин).

(2) Прикажуваме слични поими во втората равенка.

(3) Втората и третата равенка на системот ги собираме член по член.

Сите понатамошни пресметки се, во принцип, усни, бидејќи системот е едноставен.

(1) Збирот на дропките го запишуваме во согласност со пронајдените коефициенти.

(2) Ги користиме својствата на линеарноста на неопределен интеграл. Што се случи во вториот интеграл? Можете да се запознаете со овој метод во последниот пасус од лекцијата. Интегрирање на некои дропки.

(3) Уште еднаш ги користиме својствата на линеарноста. Во третиот интеграл започнуваме да го изолираме целосниот квадрат (претпоследниот став од лекцијата Интегрирање на некои дропки).

(4) Го земаме вториот интеграл, во третиот го избираме целосниот квадрат.

(5) Земете го третиот интеграл. Подготвени.

Тест за интеграција на функции, вклучително и рационални дропки, им се дава на учениците од 1 и 2 година. Примерите на интеграли главно ќе бидат од интерес за математичарите, економистите и статистичарите. Овие примери беа прашани за време на тестот во LNU. I. Френк. Условите од следните примери се „Најди го интегралот“ или „Пресметај го интегралот“, така што за да заштедите простор и вашето време тие не се запишани.

Пример 15. Дојдовме до интеграција на дробно-рационални функции. Тие заземаат посебно место меѓу интегралите бидејќи бараат многу време за да се пресметаат и да им помогнат на наставниците да го тестираат вашето знаење не само за интеграцијата. За да ја поедноставиме функцијата под интегралот, додаваме и одземаме израз во броителот што ќе ни овозможи да ја поделиме функцијата под интегралот на две едноставни.

Како резултат на тоа, доста брзо наоѓаме еден интеграл, во вториот треба да ја прошириме дропот во збир од елементарни дропки

Кога ќе се сведе на заеднички именител, ги добиваме следните бројки

Следно, отворете ги заградите и групирајте ги

Ја изедначуваме вредноста за истите сили на „x“ десно и лево. Како резултат на тоа, доаѓаме до систем од три линеарни равенки (SLAE) со три непознати.

Како да се решат системи на равенки е опишано во други написи на страницата. Во финалната верзија ќе го добиете следното SLAE решение
А=4; B=-9/2; C=-7/2.
Ги заменуваме константите во проширувањето на дропките во наједноставни и вршиме интеграција


Ова го заклучува примерот.

Пример 16. Повторно треба да го најдеме интегралот на дробна рационална функција. За почеток, ќе ја разложиме кубната равенка содржана во именителот на дропот на едноставни фактори

Следно, ја разложуваме фракцијата во нејзините наједноставни форми

Ја намалуваме десната страна на заеднички именител и ги отвораме заградите во броителот.


Ги изедначуваме коефициентите за истите степени на променливата. Ајде повторно да дојдеме до СЛАЕ со три непознати

Ги заменуваме вредностите на A, B, C во проширувањето и го пресметуваме интегралот

Првите два члена го даваат логаритмот, а последниот исто така лесно се наоѓа.

Пример 17. Во именителот на дробната рационална функција имаме разлика на коцки. Користејќи скратени формули за множење, го разложуваме на два едноставни фактори

Потоа, добиената фракциона функција ја запишуваме во збир на едноставни дропки и ги намалуваме на заеднички именител

Во броителот го добиваме следниот израз.

Од него формираме систем од линеарни равенки за да пресметаме 3 непознати

А=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Ги заменуваме A, B, C во формулата и вршиме интеграција. Како резултат, доаѓаме до следниот одговор:


Овде броителот на вториот интеграл е претворен во логаритам, а остатокот под интегралот го дава арктангенсот.
Има многу слични примери за интеграција на рационални дропки на Интернет. Можете да најдете слични примери од материјалите подолу.