Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Ние исто така може да користиме лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги даваме и ви даваме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со законот, судска постапка, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини власти на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични информации. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Решете го системотсо две непознати - тоа значи наоѓање на сите парови на променливи вредности што ја задоволуваат секоја од дадените равенки. Секој таков пар се нарекува системско решение.
Пример:
Парот на вредности \ (x = 3 \); \ (y = -1 \) е решение за првиот систем, затоа што при заменувањето на овие тројки и минус во системот наместо \ (x \) и \ (y\), двете равенки ќе станат точни еднаквости \(\begin(scases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( случаи)\)
Но, \(x=1\); \ (y = -2 \)-не е решение за првиот систем, затоа што по замената втората равенка „не се спојува“ \ (\ почетна (случаи) 1-2 \ cdot (-2) = 5 \\ 3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end (случаи)\)
Забележете дека таквите парови често се пишуваат пократко: наместо „\(x=3\); \(y=-1\)“ тие пишуваат вака: \((3;-1)\).
Како да се реши систем од линеарни равенки?
Постојат три главни начини за решавање на системи на линеарни равенки:
- Метод на замена.
-
\(\почеток(случаи)13x+9y=17\\12x-2y=26\крај (случаи)\)
Во втората равенка, секој член е парен, па затоа ја поедноставуваме равенката делејќи ја со \(2\).
\(\почеток(случаи)13x+9y=17\\6x-y=13\крај (случаи)\)
Овој систем може да се реши на кој било од следниве начини, но ми се чини дека методот на замена е најзгодно овде. Да го изразиме y од втората равенка.
\(\почеток(случаи)13x+9y=17\\y=6x-13\крај (случаи)\)
Ајде да го замениме \(6x-13\) наместо \(y\) во првата равенка.
\(\почеток(случаи)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\крај (случаи)\)
Првата равенка се претвори во обична. Ајде да го решиме.
Прво, да ги отвориме заградите.
\(\почеток(случаи)13x+54x-117=17\\y=6x-13\крај (случаи)\)
Да се преселиме \(117\) надесно и да претставиме слични термини.
\(\почеток(случаи)67x=134\\y=6x-13\крај (случаи)\)
Ајде да ги поделиме двете страни на првата равенка со \(67\).
\(\почеток(случаи)x=2\\y=6x-13\крај (случаи)\)
Ура, најдовме \(x\)! Ајде да ја замениме неговата вредност во втората равенка и да најдеме \(y\).
\(\почеток(случаи)x=2\\y=12-13\крај (случаи)\)\(\Леводесната стрелка\)\(\почеток(случаи)x=2\\y=-1\крај (случаи )\)
Ајде да го запишеме одговорот.
\(\почеток(случаи)x-2y=5\\3x+2y=7 \end (случаи)\)\(\Leftright arrow\) \(\begin(scases)x=5+2y\\3x+2y= 7\крај (случаи)\)\(\Леводесна стрелка\)
Заменете го добиениот израз наместо оваа променлива во друга равенка на системот.
\(\Леводесна стрелка\) \(\почеток(случаи)x=5+2г\\3(5+2г)+2г=7\крај (случаи)\)\(\Леводесна стрелка\)
Дозволете ни да анализираме два вида решенија на системи на равенки:
1. Решавање на системот со методот на замена.
2. Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки.
Со цел да се реши системот на равенки со метод на заменатреба да следите едноставен алгоритам:
1. Изрази. Од која било равенка изразуваме една променлива.
2. Замена. Добиената вредност ја заменуваме со друга равенка наместо изразената променлива.
3. Решете ја добиената равенка со една променлива. Наоѓаме решение за системот.
Да се реши систем по метод на собирање (одземање) термин по членмора да:
1. Изберете променлива за која ќе направиме идентични коефициенти.
2. Додаваме или одземаме равенки, што резултира со равенка со една променлива.
3. Решете ја добиената линеарна равенка. Наоѓаме решение за системот.
Решението на системот е пресечните точки на графиконите на функциите.
Дозволете ни да го разгледаме детално решението на системите користејќи примери.
Пример #1:
Ајде да решиме со метод на замена
Решавање на систем од равенки со помош на методот на замена2x+5y=1 (1 равенка)
x-10y=3 (втора равенка)
1. Изрази
Се гледа дека во втората равенка има променлива x со коефициент 1, што значи дека најлесно е да се изрази променливата x од втората равенка.
x=3+10y
2. Откако ќе го изразиме, наместо променливата x, заменуваме 3+10y во првата равенка.
2(3+10г)+5г=1
3. Решете ја добиената равенка со една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете ги заградите)
6+20г+5г=1
25г=1-6
25г=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системот за равенки се пресечните точки на графиците, затоа треба да ги најдеме x и y, бидејќи пресечната точка се состои од x и y. Да го најдеме x, во првата точка каде што го изразивме го заменуваме y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Вообичаено е да се пишуваат точки на прво место ја пишуваме променливата x, а на второ променливата y.
Одговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Ајде да решиме со методот на собирање (одземање) термин по член.
Решавање на систем од равенки со помош на методот на собирање3x-2y=1 (1 равенка)
2x-3y=-10 (втора равенка)
1. Избираме променлива, да речеме дека избираме x. Во првата равенка, променливата x има коефициент 3, во втората - 2. Треба да ги направиме коефициентите исти, за ова имаме право да ги помножиме равенките или да ги делиме со кој било број. Првата равенка ја помножуваме со 2, а втората со 3 и добиваме вкупен коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Од првата равенка одземете ја втората за да се ослободите од променливата x. Решете ја линеарната равенка.
__6x-4y=2
5г=32 | :5
y=6,4
3. Најдете x. Пронајденото y го заменуваме со која било од равенките, да речеме во првата равенка.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Пресечната точка ќе биде x=4,6; y=6,4
Одговор: (4.6; 6.4)
Дали сакате да се подготвите за испити бесплатно? Тутор онлајн бесплатно. Не се шегувам.
Со ова видео започнувам серија лекции посветени на системи на равенки. Денес ќе зборуваме за решавање системи на линеарни равенки метод на додавање- Ова е еден од наједноставните методи, но во исто време и еден од најефикасните.
Методот на додавање се состои од три едноставни чекори:
- Погледнете го системот и изберете променлива која има исти (или спротивни) коефициенти во секоја равенка;
- Изврши алгебарско одземање (за спротивни броеви - собирање) равенки едни од други, а потоа донесе слични членови;
- Решете ја новата равенка добиена по вториот чекор.
Ако сè е направено правилно, тогаш на излезот ќе добиеме една равенка со една променлива- нема да биде тешко да се реши. Тогаш останува само да се замени пронајдениот корен во оригиналниот систем и да се добие конечниот одговор.
Сепак, во пракса сè не е толку едноставно. Постојат неколку причини за ова:
- Решавањето равенки со методот на собирање подразбира дека сите линии мора да содржат променливи со еднакви/спротивни коефициенти. Што да направите ако ова барање не е исполнето?
- Не секогаш, по собирање/одземање на равенките на посочениот начин, добиваме убава конструкција која лесно може да се реши. Дали е можно некако да се поедностават пресметките и да се забрзаат пресметките?
За да го добиете одговорот на овие прашања, а во исто време да разберете неколку дополнителни суптилности во кои многу студенти не успеваат, погледнете ја мојата видео лекција:
Со оваа лекција започнуваме серија предавања посветени на системи на равенки. И ќе започнеме од наједноставните од нив, имено оние што содржат две равенки и две променливи. Секој од нив ќе биде линеарен.
Системи е материјал за 7-мо одделение, но овој час ќе биде корисен и за средношколците кои сакаат да го надополнат своето знаење за оваа тема.
Општо земено, постојат два методи за решавање на вакви системи:
- Метод на додавање;
- Метод за изразување на една променлива во однос на друга.
Денес ќе се занимаваме со првиот метод - ќе го користиме методот на одземање и собирање. Но, за да го направите ова, треба да го разберете следниов факт: штом имате две или повеќе равенки, можете да земете кои било две од нив и да ги додадете една на друга. Се додаваат член по член, т.е. „Х“ се додаваат на „Х“ и се даваат слични, „Y“ со „Y“ се повторно слични, а она што е десно од знакот за еднаквост исто така се додава едно на друго, а слични се дадени и таму. .
Резултатите од таквите махинации ќе бидат нова равенка, која, ако има корени, тие сигурно ќе бидат меѓу корените на првобитната равенка. Затоа, нашата задача е да го направиме одземањето или собирањето на таков начин што или $x$ или $y$ исчезнуваат.
Како да се постигне ова и која алатка да се користи за ова - ќе разговараме за ова сега.
Решавање на лесни проблеми со користење на собирање
Значи, учиме да го користиме методот на собирање користејќи го примерот на два едноставни изрази.
Задача бр. 1
\[\лево\( \почеток(порамни)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\крај (порамни) \десно.\]
Забележете дека $y$ има коефициент од $-4$ во првата равенка и $+4$ во втората. Тие се меѓусебно спротивни, па логично е да се претпостави дека ако ги собереме, тогаш во добиениот збир „игрите“ меѓусебно ќе бидат уништени. Додадете го и добијте:
Ајде да ја решиме наједноставната конструкција:
Одлично, го најдовме „икс“. Што да правиме со тоа сега? Имаме право да го замениме во која било од равенките. Ајде да го замениме првото:
\[-4y=12\лево| :\лево(-4 \десно) \десно.\]
Одговор: $\лево(2;-3 \десно)$.
Проблем бр. 2
\[\лево\( \почеток(порамни)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\крај (порамни) \десно.\]
Ситуацијата овде е сосема слична, само со „Х“. Ајде да ги собереме:
Ја имаме наједноставната линеарна равенка, ајде да ја решиме:
Сега да најдеме $x$:
Одговор: $\лево(-3;3 \десно)$.
Важни точки
Значи, штотуку решивме два едноставни системи на линеарни равенки користејќи го методот на собирање. Повторно клучни точки:
- Ако има спротивни коефициенти за една од променливите, тогаш потребно е да се додадат сите променливи во равенката. Во овој случај, еден од нив ќе биде уништен.
- Пронајдената променлива ја заменуваме со која било од системските равенки за да ја најдеме втората.
- Записот за конечниот одговор може да се претстави на различни начини. На пример, вака - $x=...,y=...$, или во форма на координати на точки - $\left(...;... \десно)$. Втората опција е пожелна. Главната работа што треба да се запамети е дека првата координата е $x$, а втората е $y$.
- Правилото за пишување на одговорот во форма на координати на точки не е секогаш применливо. На пример, не може да се користи кога променливите не се $x$ и $y$, туку, на пример, $a$ и $b$.
Во следните задачи ќе ја разгледаме техниката на одземање кога коефициентите не се спротивни.
Решавање лесни проблеми со методот на одземање
Задача бр. 1
\[\лево\( \почеток(порамни)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\крај (порамни) \десно.\]
Забележете дека овде нема спротивни коефициенти, но има идентични. Затоа, ја одземаме втората од првата равенка:
Сега ја заменуваме вредноста $x$ во која било од системските равенки. Ајде да одиме прво:
Одговор: $\лево(2;5\десно)$.
Проблем бр. 2
\[\лево\( \почеток(порамни)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\крај (порамни) \десно.\]
Повторно го гледаме истиот коефициент од $5$ за $x$ во првата и втората равенка. Затоа, логично е да се претпостави дека треба да ја одземете втората од првата равенка:
Ние пресметавме една променлива. Сега да го најдеме вториот, на пример, со замена на вредноста $y$ во втората конструкција:
Одговор: $\лево(-3;-2 \десно)$.
Нијанси на решението
Значи, што гледаме? Во суштина, шемата не се разликува од решението на претходните системи. Единствената разлика е во тоа што не собираме равенки, туку ги одземаме. Правиме алгебарско одземање.
Со други зборови, штом ќе видите систем кој се состои од две равенки во две непознати, првото нешто што треба да го погледнете се коефициентите. Ако некаде се исти, равенките се одземаат, а ако се спротивни, се користи методот на собирање. Ова секогаш се прави за да исчезне едната, а во крајната равенка, која останува по одземањето, останува само една променлива.
Се разбира, тоа не е се. Сега ќе ги разгледаме системите во кои равенките се генерално неконзистентни. Оние. Во нив нема променливи кои се или исти или спротивни. Во овој случај, за решавање на таквите системи, се користи дополнителна техника, имено, множење на секоја од равенките со посебен коефициент. Како да го пронајдеме и како воопшто да ги решиме таквите системи, ќе разговараме за ова сега.
Решавање проблеми со множење со коефициент
Пример #1
\[\лево\( \почеток(порамни)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\крај (порамни) \десно.\]
Гледаме дека ниту за $x$ ниту за $y$ коефициентите не само што се меѓусебно спротивни, туку и во никој случај не се во корелација со другата равенка. Овие коефициенти нема да исчезнат на кој било начин, дури и ако ги собереме или одземеме равенките едни од други. Затоа, неопходно е да се примени множење. Ајде да се обидеме да се ослободиме од променливата $y$. За да го направите ова, ја множиме првата равенка со коефициентот $y$ од втората равенка, а втората равенка со коефициентот $y$ од првата равенка, без да го допираме знакот. Се множиме и добиваме нов систем:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\крај (порамни) \десно.\]
Ајде да погледнеме: на $y$ коефициентите се спротивни. Во таква ситуација, неопходно е да се користи методот на додавање. Да додадеме:
Сега треба да најдеме $y$. За да го направите ова, заменете $x$ во првиот израз:
\[-9y=18\лево| :\лево(-9 \десно) \десно.\]
Одговор: $\лево(4;-2 \десно)$.
Пример бр. 2
\[\лево\( \почеток(порамни)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\крај (порамни) \десно.\]
Повторно, коефициентите за ниту една од променливите не се конзистентни. Ајде да се помножиме со коефициентите од $y$:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 11x+4y=-18\лево| 6 \десно. \\& 13x-6y=-32\лево| 4 \десно. \\\крај (порамни) \десно .\]
\[\лево\( \почеток(порамни)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\крај (порамни) \десно.\]
Нашиот нов систем е еквивалентен на претходниот, но коефициентите од $y$ се меѓусебно спротивни, и затоа е лесно да се примени методот на собирање овде:
Сега ајде да најдеме $y$ со замена на $x$ во првата равенка:
Одговор: $\лево(-2;1 \десно)$.
Нијанси на решението
Клучното правило овде е следново: ние секогаш се множиме само со позитивни бројки - ова ќе ве спаси од глупави и навредливи грешки поврзани со промена на знаците. Во принцип, шемата за решение е прилично едноставна:
- Го гледаме системот и ја анализираме секоја равенка.
- Ако видиме дека ниту $y$ ниту $x$, коефициентите се конзистентни, т.е. тие не се ниту еднакви ниту спротивни, тогаш го правиме следново: ја избираме променливата од која треба да се ослободиме и потоа ги разгледуваме коефициентите на овие равенки. Ако ја помножиме првата равенка со коефициентот од втората, а втората, соодветно, помножиме со коефициентот од првата, тогаш на крајот ќе добиеме систем кој е целосно еквивалентен на претходниот, а коефициентите од $ y$ ќе бидат конзистентни. Сите наши дејства или трансформации се насочени само кон добивање на една променлива во една равенка.
- Наоѓаме една променлива.
- Пронајдената променлива ја заменуваме со една од двете равенки на системот и ја наоѓаме втората.
- Одговорот го пишуваме во форма на координати на точки ако имаме променливи $x$ и $y$.
Но, дури и таков едноставен алгоритам има свои суптилности, на пример, коефициентите од $x$ или $y$ можат да бидат фракции и други „грди“ броеви. Сега ќе ги разгледаме овие случаи одделно, бидејќи во нив можете да дејствувате малку поинаку отколку според стандардниот алгоритам.
Решавање задачи со дропки
Пример #1
\[\лево\( \почеток(порамни)& 4м-3n=32 \\& 0,8м+2,5n=-6 \\\крај (порамни) \десно.\]
Прво, забележете дека втората равенка содржи дропки. Но, имајте предвид дека можете да поделите 4 $ со 0,8 $. Ќе добиеме 5$. Ајде да ја помножиме втората равенка со $5 $:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 4м-3n=32 \\& 4м+12,5м=-30 \\\крај (порамни) \десно.\]
Ние ги одземаме равенките една од друга:
Најдовме $n$, сега да броиме $m$:
Одговор: $n=-4;m=5$
Пример бр. 2
\[\лево\( \почеток(порамни)& 2,5p+1,5k=-13\лево| 4 \десно. \\& 2p-5k=2\лево| 5 \десно. \\\крај (порамни )\ нели.\]
Овде, како и во претходниот систем, постојат фракциони коефициенти, но за ниту една од променливите коефициентите не се вклопуваат еден во друг цел број пати. Затоа, го користиме стандардниот алгоритам. Ослободете се од $p$:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\крај (порамни) \десно.\]
Го користиме методот на одземање:
Ајде да најдеме $p$ со замена на $k$ во втората конструкција:
Одговор: $p=-4;k=-2$.
Нијанси на решението
Сето тоа е оптимизација. Во првата равенка, воопшто не множевме со ништо, туку втората равенка ја помноживме со 5$. Како резултат на тоа, добивме конзистентна, па дури и идентична равенка за првата променлива. Во вториот систем следевме стандарден алгоритам.
Но, како да ги пронајдете броевите со кои се множат равенките? На крајот на краиштата, ако се множиме со дропки, добиваме нови дропки. Затоа, дропките мора да се помножат со број кој би дал нов цел број, а потоа променливите да се множат со коефициенти, следејќи го стандардниот алгоритам.
Како заклучок, би сакал да го свртам вашето внимание на форматот за снимање на одговорот. Како што веќе реков, бидејќи овде немаме $x$ и $y$, туку други вредности, користиме нестандардна нотација на формата:
Решавање сложени системи на равенки
Како последна забелешка за денешниот видео туторијал, ајде да погледнеме неколку навистина сложени системи. Нивната сложеност ќе се состои во тоа што ќе имаат променливи и лево и десно. Затоа, за да ги решиме ќе треба да примениме претпроцесирање.
Систем бр. 1
\[\лево\( \почеток(порамни)& 3\лево(2x-y \десно)+5=-2\лево(x+3y\десно)+4 \\& 6\лево(y+1 \десно )-1=5\лево(2x-1 \десно)+8 \\\крај (порамни) \десно.\]
Секоја равенка носи одредена сложеност. Затоа, да го третираме секој израз како со правилна линеарна конструкција.
Севкупно, го добиваме финалниот систем, кој е еквивалентен на оригиналниот:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\крај (порамни) \десно.\]
Ајде да ги погледнеме коефициентите на $y$: $3$ се вклопува во $6$ двапати, па ајде да ја помножиме првата равенка со $2 $:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\крај (порамни) \десно.\]
Коефициентите на $y$ сега се еднакви, па го одземаме вториот од првата равенка: $$
Сега да најдеме $y$:
Одговор: $\left(0;-\frac(1)(3) \десно)$
Систем бр. 2
\[\лево\( \почеток(порамни)& 4\лево(a-3b \десно)-2a=3\лево(b+4 \десно)-11 \\& -3\лево(b-2a \десно )-12=2\лево(а-5 \десно)+b \\\крај (порамни) \десно.\]
Ајде да го трансформираме првиот израз:
Ајде да се справиме со второто:
\[-3\лево(b-2a \десно)-12=2\лево(а-5 \десно)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Севкупно, нашиот почетен систем ќе ја има следната форма:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\крај (порамни) \десно.\]
Гледајќи ги коефициентите од $a$, гледаме дека првата равенка треба да се помножи со $2$:
\[\лево\( \почеток(порамни)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\крај (порамни) \десно.\]
Одземете ја втората од првата конструкција:
Сега да најдеме $a$:
Одговор: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \десно)$.
Тоа е се. Се надевам дека ова видео туторијал ќе ви помогне да ја разберете оваа тешка тема, имено решавање системи на едноставни линеарни равенки. Ќе има уште многу лекции на оваа тема во иднина: ќе разгледаме посложени примери, каде што ќе има повеќе променливи, а самите равенки ќе бидат нелинеарни. Се гледаме повторно!
Системите на равенки се широко користени во економскиот сектор за математичко моделирање на различни процеси. На пример, при решавање на проблеми за управување и планирање на производството, логистички правци (проблем со транспорт) или поставување опрема.
Системите на равенки се користат не само во математиката, туку и во физиката, хемијата и биологијата, при решавање на проблемите за пронаоѓање на големината на населението.
Систем на линеарни равенки се две или повеќе равенки со повеќе променливи за кои е неопходно да се најде заедничко решение. Таква низа од броеви за кои сите равенки стануваат вистински еднаквости или докажуваат дека низата не постои.
Линеарна равенка
Равенките од формата ax+by=c се нарекуваат линеарни. Ознаките x, y се непознатите чија вредност мора да се најде, b, a се коефициентите на променливите, c е слободниот член на равенката.
Решавањето на равенката со исцртување ќе изгледа како права линија, чиишто точки се решенија на полиномот.
Видови системи на линеарни равенки
Наједноставни примери се сметаат за системи на линеарни равенки со две променливи X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, каде што F1,2 се функции и (x, y) се функционални променливи.
Решава систем на равенки - тоа значи да се најдат вредности (x, y) при кои системот се претвора во вистинска еднаквост или да се утврди дека соодветните вредности на x и y не постојат.
Пар вредности (x, y), напишани како координати на точка, се нарекуваат решение на систем од линеарни равенки.
Ако системите имаат едно заедничко решение или не постои решение, тие се нарекуваат еквивалентни.
Хомогени системи на линеарни равенки се системи чија десна страна е еднаква на нула. Ако десниот дел по знакот за еднаквост има вредност или се изразува со функција, таквиот систем е хетероген.
Бројот на променливи може да биде многу повеќе од две, тогаш треба да зборуваме за пример на систем на линеарни равенки со три или повеќе променливи.
Кога се соочуваат со системи, учениците претпоставуваат дека бројот на равенките мора нужно да се совпаѓа со бројот на непознати, но тоа не е така. Бројот на равенки во системот не зависи од променливите, може да ги има онолку колку што сакате.
Едноставни и сложени методи за решавање системи на равенки
Не постои општ аналитички метод за решавање на вакви системи, сите методи се засноваат на нумерички решенија. Училишниот курс по математика детално ги опишува методите како пермутација, алгебарско собирање, замена, како и графички и матрични методи, решение со Гаусовиот метод.
Главната задача кога се предаваат методи за решение е да се научи како правилно да се анализира системот и да се најде оптималниот алгоритам за решение за секој пример. Главната работа не е да се запамети систем на правила и дејства за секој метод, туку да се разберат принципите на користење на одреден метод
Решавањето на примери на системи на линеарни равенки во наставната програма за општо образование за VII одделение е прилично едноставно и детално објаснето. Во секој учебник по математика, на овој дел му се посветува доволно внимание. Решавањето на примери на системи на линеарни равенки со помош на методот Гаус и Крамер подетално се проучува во првите години на високото образование.
Решавање системи со помош на методот на замена
Дејствата на методот на замена се насочени кон изразување на вредноста на една променлива во однос на втората. Изразот се заменува во преостанатата равенка, а потоа се сведува на форма со една променлива. Дејството се повторува во зависност од бројот на непознати во системот
Да дадеме решение за пример на систем на линеарни равенки од класа 7 користејќи го методот на замена:
Како што може да се види од примерот, променливата x беше изразена преку F(X) = 7 + Y. Резултирачкиот израз, заменет во втората равенка на системот на местото на X, помогна да се добие една променлива Y во втората равенка . Решавањето на овој пример е лесно и ви овозможува да ја добиете вредноста Y. Последниот чекор е да ги проверите добиените вредности.
Не е секогаш можно да се реши пример на систем на линеарни равенки со замена. Равенките можат да бидат сложени и изразувањето на променливата во однос на втората непозната ќе биде премногу незгодно за понатамошни пресметки. Кога има повеќе од 3 непознати во системот, решавањето со замена е исто така несоодветно.
Решение на пример на систем на линеарни нехомогени равенки:
Решение со употреба на алгебарски додаток
Кога барате решенија за системи користејќи метод на собирање, равенките се додаваат по член и се множат со различни броеви. Крајната цел на математичките операции е равенка во една променлива.
Примената на овој метод бара вежбање и набљудување. Решавањето на систем од линеарни равенки со помош на методот на собирање кога има 3 или повеќе променливи не е лесно. Алгебарското собирање е погодно за употреба кога равенките содржат дропки и децимали.
Алгоритам за решение:
- Помножете ги двете страни на равенката со одреден број. Како резултат на аритметичката операција, еден од коефициентите на променливата треба да стане еднаков на 1.
- Додадете го добиениот израз термин по член и најдете една од непознатите.
- Заменете ја добиената вредност во втората равенка на системот за да ја пронајдете преостанатата променлива.
Метод на решение со воведување на нова променлива
Може да се воведе нова променлива ако системот бара да се најде решение за не повеќе од две равенки; бројот на непознати исто така треба да биде не повеќе од две.
Методот се користи за поедноставување на една од равенките со воведување на нова променлива. Новата равенка се решава за воведената непозната, а добиената вредност се користи за одредување на оригиналната променлива.
Примерот покажува дека со воведување на нова променлива t, беше можно да се намали првата равенка на системот на стандарден квадратен трином. Можете да решите полином со наоѓање на дискриминантот.
Потребно е да се најде вредноста на дискриминаторот со помош на добро познатата формула: D = b2 - 4*a*c, каде што D е саканата дискриминантна, b, a, c се факторите на полиномот. Во дадениот пример a=1, b=16, c=39, значи D=100. Ако дискриминантата е поголема од нула, тогаш има две решенија: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантата е помала од нула, тогаш има едно решение: x = -b / 2*a.
Решението за добиените системи се наоѓа со методот на додавање.
Визуелен метод за решавање системи
Погоден за 3 системи на равенки. Методот се состои во конструирање графикони на секоја равенка вклучена во системот на координатната оска. Координатите на пресечните точки на кривите ќе бидат општо решение на системот.
Графичкиот метод има голем број на нијанси. Ајде да погледнеме неколку примери за решавање системи на линеарни равенки на визуелен начин.
Како што може да се види од примерот, за секоја линија беа изградени две точки, произволно беа избрани вредностите на променливата x: 0 и 3. Врз основа на вредностите на x, беа пронајдени вредностите за y: 3 и 0. Точките со координати (0, 3) и (3, 0) беа означени на графикот и поврзани со линија.
Чекорите мора да се повторат за втората равенка. Точката на пресек на правите е решението на системот.
Следниот пример бара да се најде графичко решение за систем од линеарни равенки: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Како што може да се види од примерот, системот нема решение, бидејќи графиконите се паралелни и не се сечат по целата должина.
Системите од примерите 2 и 3 се слични, но кога се конструираат станува очигледно дека нивните решенија се различни. Треба да се запомни дека не е секогаш можно да се каже дали системот има решение или не; секогаш е неопходно да се конструира график.
Матрицата и нејзините сорти
Матриците се користат за концизно пишување на систем од линеарни равенки. Матрицата е посебен вид табела исполнета со бројки. n*m има n - редови и m - колони.
Матрицата е квадратна кога бројот на колони и редови се еднакви. Матрица-вектор е матрица од една колона со бесконечно можен број на редови. Матрицата со оние долж една од дијагоналите и другите нула елементи се нарекува идентитет.
Инверзна матрица е матрица кога ќе се помножи со која оригиналната се претвора во единична матрица; таква матрица постои само за оригиналната квадратна.
Правила за претворање на систем од равенки во матрица
Во однос на системите на равенки, коефициентите и слободните членови на равенките се запишуваат како матрични броеви, а една равенка е еден ред од матрицата.
Се вели дека редот на матрицата е ненула ако барем еден елемент од редот не е нула. Затоа, ако во некоја од равенките бројот на променливи се разликува, тогаш потребно е да се внесе нула на местото на непознатата што недостасува.
Колоните на матрицата мора строго да одговараат на променливите. Тоа значи дека коефициентите на променливата x можат да се запишат само во една колона, на пример првата, коефициентот на непознатата y - само во втората.
При множење на матрица, сите елементи на матрицата секвенцијално се множат со број.
Опции за пронаоѓање на инверзната матрица
Формулата за наоѓање на инверзната матрица е прилично едноставна: K -1 = 1 / |K|, каде што K -1 е инверзна матрица и |K| е одредница на матрицата. |К| не смее да биде еднаков на нула, тогаш системот има решение.
Детерминантата лесно се пресметува за матрица два по два, само треба да ги помножите дијагоналните елементи еден со друг. За опцијата „три по три“, постои формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да ја користите формулата или да запомните дека треба да земете по еден елемент од секој ред и од секоја колона за да не се повторуваат броевите на колоните и редовите на елементите во работата.
Решавање примери на системи на линеарни равенки со помош на методот на матрица
Матричниот метод за наоѓање решение ви овозможува да ги намалите незгодните записи кога решавате системи со голем број променливи и равенки.
Во примерот, a nm се коефициентите на равенките, матрицата е вектор x n се променливи, а b n се слободни членови.
Решавање системи со употреба на гаузискиот метод
Во вишата математика, Гаусовиот метод се изучува заедно со Крамеровиот метод, а процесот на наоѓање решенија на системите се нарекува метод на Гаус-Крамер решение. Овие методи се користат за пронаоѓање на променливи на системи со голем број линеарни равенки.
Гаусовиот метод е многу сличен на решенијата со замена и алгебарско собирање, но е посистематски. Во училишниот курс решението по Гаусовиот метод се користи за системи од 3 и 4 равенки. Целта на методот е да го намали системот во форма на превртен трапез. Со помош на алгебарски трансформации и замени, вредноста на една променлива се наоѓа во една од равенките на системот. Втората равенка е израз со 2 непознати, додека 3 и 4 се, соодветно, со 3 и 4 променливи.
По доведување на системот во опишаната форма, понатамошното решение се сведува на секвенцијална замена на познатите променливи во равенките на системот.
Во училишните учебници за 7 одделение, пример за решение со методот Гаус е опишан на следниов начин:
Како што може да се види од примерот, на чекорот (3) се добиени две равенки: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решавањето на која било од равенките ќе ви овозможи да дознаете една од променливите x n.
Теорема 5, која е спомната во текстот, вели дека ако една од равенките на системот се замени со еквивалентна, тогаш добиениот систем исто така ќе биде еквивалентен на првобитниот.
Гаусовиот метод е тешко разбирлив за средношколците, но тој е еден од најинтересните начини да се развие генијалноста на децата запишани во напредни програми за учење на часовите по математика и физика.
За полесно снимање, пресметките обично се прават на следниов начин:
Коефициентите на равенките и слободните членови се напишани во форма на матрица, каде што секој ред од матрицата одговара на една од равенките на системот. ја одделува левата страна на равенката од десната. Римските бројки ги означуваат броевите на равенките во системот.
Прво, запишете ја матрицата со која треба да се работи, а потоа сите дејства извршени со еден од редовите. Добиената матрица се запишува по знакот „стрелка“ и потребните алгебарски операции се продолжуваат додека не се постигне резултатот.
Резултатот треба да биде матрица во која една од дијагоналите е еднаква на 1, а сите други коефициенти се еднакви на нула, односно матрицата се сведува на единична форма. Не смееме да заборавиме да извршиме пресметки со бројки од двете страни на равенката.
Овој метод на снимање е помалку тежок и ви овозможува да не ви се одвлекува вниманието со наведување бројни непознати.
Бесплатната употреба на кој било метод на решение ќе бара грижа и одредено искуство. Не сите методи се од применета природа. Некои методи за изнаоѓање решенија се попожелни во одредена област на човечка активност, додека други постојат за едукативни цели.