Како да се најде изводот на број на сложена моќност. Деривати на хиперболични функции

Со ова видео започнувам долга серија лекции за деривати. Оваа лекција се состои од неколку делови.

Најпрвин ќе ви кажам што се деривати и како да ги пресметате, но не на софистициран академски јазик, туку како јас самиот го разбирам и како им објаснувам на моите студенти. Второ, ќе го разгледаме наједноставното правило за решавање проблеми во кое ќе бараме изводи на суми, изводи на разлики и изводи на функција на моќност.

Ќе разгледаме посложени комбинирани примери, од кои, особено, ќе научите дека слични проблеми што вклучуваат корени, па дури и дропки, може да се решат користејќи ја формулата за изводот на функцијата моќност. Покрај тоа, се разбира, ќе има многу проблеми и примери на решенија од различни нивоа на сложеност.

Во принцип, првично требаше да снимам кратко видео од 5 минути, но можете да видите како испадна. Доста е од текстовите - ајде да се фаќаме за работа.

Што е дериват?

Значи, да почнеме од далеку. Пред многу години, кога дрвјата беа позелени и животот беше позабавен, математичарите размислуваа за ова: разгледајте ја едноставната функција дефинирана со неговиот график, наречете ја $y=f\left(x \десно)$. Се разбира, графикот не постои сам по себе, затоа треба да ги нацртате оските $x$ како и оската $y$. Сега да избереме која било точка на овој график, апсолутно која било. Да ја наречеме апсцисата $((x)_(1))$, ординатата, како што може да претпоставите, ќе биде $f\left(((x)_(1)) \десно)$.

Ајде да погледнеме друга точка на истиот графикон. Не е важно кој, главната работа е што се разликува од оригиналот. Повторно, има апсциса, да ја наречеме $((x)_(2))$, а исто така и ордината - $f\left(((x)_(2)) \десно)$.

Значи, имаме две точки: тие имаат различни апсциси и, според тоа, различни функционални вредности, иако второто не е неопходно. Но, она што е навистина важно е дека знаеме од курсот за планиметрија: преку две точки можете да нацртате права линија и, згора на тоа, само една. Па ајде да го спроведеме.

Сега да повлечеме права линија низ првиот од нив, паралелно со оската на апсцисата. Добиваме правоаголен триаголник. Да го наречеме $ABC$, прав агол $C$. Овој триаголник има една многу интересна особина: факт е дека аголот $\alpha $ е всушност еднаков на аголот под кој правата $AB$ се вкрстува со продолжението на оската на апсцисата. Проценете сами:

права линија $AC$ е паралелна со оската $Ox$ по конструкција,
линијата $AB$ ја сече $AC$ под $\alpha $,
оттука $AB$ се вкрстува $Ox$ под истиот $\alpha $.

Што можеме да кажеме за $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Ништо конкретно, освен што во триаголникот $ABC$ односот на кракот $BC$ до кракот $AC$ е еднаков на тангентата на овој агол. Па ајде да го запишеме:

Се разбира, $AC$ во овој случај лесно се пресметува:

Исто така за $BC$:

Со други зборови, можеме да го напишеме следново:

\[\име на оператор(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \десно)-f\left( ((x)_(1)) \десно))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Сега, кога сето тоа го отфрливме, да се вратиме на нашиот графикон и да ја погледнеме новата точка $B$. Ајде да ги избришеме старите вредности и да земеме $B$ некаде поблиску до $((x)_(1))$. Повторно да ја означиме нејзината апсциса со $((x)_(2))$, а нејзината ордината со $f\left(((x)_(2)) \десно)$.

Ајде повторно да го погледнеме нашиот мал триаголник $ABC$ и $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ во него. Сосема е очигледно дека ова ќе биде сосема поинаков агол, тангентата исто така ќе биде различна бидејќи должините на отсечките $AC$ и $BC$ се значително променети, но формулата за тангентата на аголот воопшто не е променета - ова е сè уште односот помеѓу промената на функцијата и промената на аргументот.

Конечно, продолжуваме да го придвижуваме $B$ поблиску до првобитната точка $A$, како резултат на тоа триаголникот ќе стане уште помал, а правата линија што го содржи сегментот $AB$ сè повеќе ќе изгледа како тангента на графикот на функцијата.

Како резултат на тоа, ако продолжиме да ги доближуваме точките, т.е., да го намалиме растојанието на нула, тогаш правата линија $AB$ навистина ќе се претвори во тангента на графикот во дадена точка, и $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ ќе се трансформира од елемент на правилен триаголник во аголот помеѓу тангентата на графикот и позитивната насока на оската $Ox$.

И тука непречено преминуваме кон дефиницијата за $f$, имено, изводот на функцијата во точката $((x)_(1))$ е тангента на аголот $\alpha $ помеѓу тангентата на графикон во точката $((x)_( 1))$ и позитивната насока на оската $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \десно)=\име на оператор(tg)\text( )\!\!\алфа\!\!\text( )\]

Враќајќи се на нашиот график, треба да се забележи дека која било точка на графикот може да се избере како $((x)_(1))$. На пример, со истиот успех би можеле да го отстраниме ударот во точката прикажана на сликата.

Да го наречеме аголот помеѓу тангентата и позитивната насока на оската $\beta$. Според тоа, $f$ во $((x)_(2))$ ќе биде еднаква на тангентата на овој агол $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \десно)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Секоја точка на графикот ќе има своја тангента, а со тоа и своја функционална вредност. Во секој од овие случаи, покрај точката во која го бараме изводот на разликата или збирот, или изводот на функцијата моќност, потребно е да се земе уште една точка која се наоѓа на одредено растојание од неа, а потоа да се насочи оваа точка на оригиналната и, се разбира, дознајте како во процесот Таквото движење ќе ја промени тангентата на аголот на наклон.

Извод на функција на моќност

За жал, ваквата дефиниција воопшто не ни одговара. Сите овие формули, слики, агли не ни даваат ни најмала идеја како да го пресметаме реалниот дериват во реалните проблеми. Затоа, да отстапиме малку од формалната дефиниција и да разгледаме поефикасни формули и техники со кои веќе можете да решавате вистински проблеми.

Да почнеме со наједноставните конструкции, имено, функции од формата $y=((x)^(n))$, т.е. функции за напојување. Во овој случај, можеме да го напишеме следново: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Со други зборови, степенот што бил во експонентот е прикажан во предниот множител. а самиот експонент се намалува за единица На пример:

\[\почеток(порамни)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cточка ((x)^(2-1))=2x \\\крај (порамни) \]

Еве уште една опција:

\[\почеток(порамни)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\лево(x \десно))^(\prim ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cточка 1=1 \\& ((\лево(x \десно))^(\prim ))=1 \\\крај (порамни)\]

Користејќи ги овие едноставни правила, ајде да се обидеме да го отстраниме допирот на следниве примери:

Значи добиваме:

\[((\left(((x)^(6)) \десно))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Сега да го решиме вториот израз:

\[\почеток(порамни)& f\лево(x \десно)=((x)^(100)) \\& ((\лево(((x)^(100)) \десно))^(\ прости ))=100\cточка ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\крај (порамни)\]

Се разбира, тоа беа многу едноставни задачи. Сепак, вистинските проблеми се посложени и не се ограничени само на степени на функција.

Значи, правило бр. 1 - ако функцијата е претставена во форма на другите две, тогаш изводот на оваа сума е еднаков на збирот на изводите:

\[((\лево(f+g \десно))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Слично на тоа, изводот на разликата на две функции е еднаков на разликата на изводите:

\[((\лево(f-g \десно))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\лево(((x)^(2))+x \десно))^(\prime ))=((\лево(((x)^(2)) \десно))^(\ прост ))+((\лево(x \десно))^(\prim ))=2x+1\]

Дополнително, постои уште едно важно правило: ако на некои $f$ му претходи константа $c$, со која оваа функција се множи, тогаш $f$ на целата оваа конструкција се пресметува на следниов начин:

\[((\лево(c\cdot f \десно))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\лево(3((x)^(3)) \десно))^(\prime ))=3((\лево(((x)^(3)) \десно))^(\ прост ))=3\cточка 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Конечно, уште едно многу важно правило: во проблемите често има посебен термин кој воопшто не содржи $x$. На пример, можеме да го забележиме ова во нашите изрази денес. Изводот на константа, т.е., број што не зависи на кој било начин од $x$, секогаш е еднаков на нула и воопшто не е важно на што е еднаква константата $c$:

\[((\лево(c \десно))^(\prime ))=0\]

Пример решение:

\[((\left(1001 \десно))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \десно))^(\prime ))=0\]

Повторно клучни точки:

Изводот на збирот на две функции е секогаш еднаков на збирот на изводите: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Од слични причини, изводот на разликата на две функции е еднаков на разликата на два изводи: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Ако функцијата има константен фактор, тогаш оваа константа може да се извади како изводен знак: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Ако целата функција е константа, тогаш нејзиниот извод е секогаш нула: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Ајде да видиме како сето тоа функционира со вистински примери. Значи:

Запишуваме:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \десно))^(\prime ))=((\лево (((x)^(5)) \десно))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \десно))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\лево(((x)^(2)) \десно))^(\prim ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\крај (порамни)\]

Во овој пример го гледаме и изводот на збирот и изводот на разликата. Севкупно, дериватот е еднаков на $5((x)^(4))-6x$.

Ајде да преминеме на втората функција:

Ајде да го запишеме решението:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(3((x)^(2))-2x+2 \десно))^(\prime ))=((\лево(3((x)^( 2)) \десно))^(\prime ))-((\left(2x \десно))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \десно))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cточка 2x-2\cточка 1=6x-2 \\\крај (порамни)\]

Тука го најдовме одговорот.

Да преминеме на третата функција - таа е посериозна:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \десно)) ^(\prime ))=(\left(2((x)^(3)) \десно))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \десно ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \десно))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \десно))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \десно))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cточка (x)"=2\cточка 3((x)^(2))-3\cточка 2x+\frac(1)(2)\cточка 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\крај (порамни)\]

Го најдовме одговорот.

Да преминеме на последниот израз - најкомплексниот и најдолгиот:

Значи, сметаме:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \десно))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \десно))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \десно))^(\prime )) +((\лево(4x \десно))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cточка 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\крај (порамни)\]

Но, решението не завршува тука, бидејќи од нас се бара не само да отстраниме удар, туку да ја пресметаме неговата вредност во одредена точка, па затоа го замениме −1 наместо $x$ во изразот:

\[(y)"\лево(-1 \десно)=42\cточка 1-42\cточка 1+4=4\]

Да одиме понатаму и да преминеме на уште посложени и интересни примери. Факт е дека формулата за решавање на дериватот на моќноста $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ има уште поширок опсег отколку што обично се верува. Со негова помош можете да решавате примери со дропки, корени итн. Ова е она што ќе го направиме сега.

За почеток, ајде уште еднаш да ја запишеме формулата што ќе ни помогне да го најдеме изводот на функцијата моќност:

И сега внимание: досега ги сметавме само природните броеви како $n$, но ништо не нè спречува да ги разгледуваме дропките, па дури и негативните броеви. На пример, можеме да го напишеме следново:

\[\ begin(порамни)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\лево(\sqrt(x) \десно))^(\ прост ))=((\лево(((x)^(\frac(1)(2))) \десно))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\крај (порамни)\]

Ништо комплицирано, па да видиме како оваа формула ќе ни помогне при решавање на посложени проблеми. Така, пример:

Ајде да го запишеме решението:

\[\почеток(порамни)& \лево(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \десно)=((\лево(\sqrt(x) \десно))^(\prime ))+((\лево(\sqrt(x) \десно))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \десно))^(\prime )) \\& ((\ лево(\sqrt(x) \десно))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \десно))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \десно))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2))) \\& (( \left(\sqrt(x) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \десно))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\крај (порамни)\]

Да се вратиме на нашиот пример и да напишеме:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2)))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Ова е толку тешка одлука.

Да преминеме на вториот пример - има само два поими, но секој од нив содржи и класичен степен и корени.

Сега ќе научиме како да го најдеме изводот на функцијата моќност, која, покрај тоа, го содржи коренот:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \десно))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \десно))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \десно))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \десно))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\крај (порамни)\]

Двата поими се пресметани, останува само да се запише конечниот одговор:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Го најдовме одговорот.

Извод на дропка преку функција на моќност

Но, можностите на формулата за решавање на изводот на функцијата моќност не завршуваат тука. Факт е дека со негова помош можете да пресметате не само примери со корени, туку и со фракции. Ова е токму ретката можност која во голема мера го поедноставува решавањето на ваквите примери, но честопати се игнорира не само од учениците, туку и од наставниците.

Значи, сега ќе се обидеме да комбинираме две формули одеднаш. Од една страна, класичниот извод на функцијата за моќност

\[((\left(((x)^(n)) \десно))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Од друга страна, знаеме дека изразот на формата $\frac(1)((x)^(n)))$ може да се претстави како $((x)^(-n))$. Оттука,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \десно)"=((\left(((x)^(-n)) \десно))^(\prime ) )=-n\cточка ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \десно))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \десно)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Така, изводите на едноставни дропки, каде што броителот е константа, а именителот е степен, исто така се пресметуваат со класичната формула. Ајде да видиме како ова функционира во пракса.

Значи, првата функција:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ десно))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Првиот пример е решен, ајде да преминеме на вториот:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \десно))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \десно))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3)) \десно))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \десно))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \десно))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \десно))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \десно))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \десно))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \десно) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \десно))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \десно) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \десно))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \десно)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\лево( \frac(5)(2)((x)^(2)) \десно))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\лево(2 ((x)^(3)) \десно))^(\prime ))=2\cточка 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ лево(3((x)^(4)) \десно))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ крај (порамни)\]...

Сега ги собираме сите овие термини во една формула:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Добивме одговор.

Сепак, пред да продолжите понатаму, би сакал да ви го свртам вниманието на формата на пишување на самите оригинални изрази: во првиот израз напишавме $f\left(x \right)=...$, во вториот: $y =...$ Многу ученици се губат кога ќе видат различни форми на снимање. Која е разликата помеѓу $f\left(x \десно)$ и $y$? Ништо навистина. Тие се само различни записи со исто значење. Едноставно, кога велиме $f\left(x \десно)$, зборуваме, пред сè, за функција, а кога зборуваме за $y$, најчесто мислиме на графикот на функцијата. Инаку, ова е иста работа, т.е. дериватот во двата случаи се смета за ист.

Комплексни проблеми со деривати

Како заклучок, би сакал да разгледам неколку сложени комбинирани проблеми кои користат сè што разгледавме денес. Тие содржат корени, фракции и збирови. Сепак, овие примери ќе бидат сложени само во денешното видео туторијал, затоа што ќе ве чекаат вистински сложени деривативни функции.

Значи, последниот дел од денешната видео лекција, составена од две комбинирани задачи. Да почнеме со првиот од нив:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \десно))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \десно))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \десно))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \десно) \\& ((\left(((x)^(3)) \десно))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\лево(\frac(1)(((x)^(3))) \десно))^(\prime ))=((\ лево(((x)^(-3)) \десно))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \десно))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \десно))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3)))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\крај (порамни)\]

Изводот на функцијата е еднаков на:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Првиот пример е решен. Да го разгледаме вториот проблем:

Во вториот пример постапуваме слично:

\[((\лево(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \десно))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)((x)^(4))) \десно))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \десно))^(\prime ))+(\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \десно))^ (\prime ))\]

Ајде да го пресметаме секој член посебно:

\[\почеток(порамни)& ((\лево(-\frac(2)(((x)^(4))) \десно))^(\prime ))=-2\cdot ((\лево( ((x)^(-4)) \десно))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \десно)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 (( 1)(4))) \десно))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))) \\& ((\ лево(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3))) \десно))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \десно))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \десно))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \десно))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \десно)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \десно)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3))) \\\крај (порамни)\]

Сите термини се пресметани. Сега се враќаме на оригиналната формула и ги додаваме сите три члена заедно. Добиваме дека конечниот одговор ќе биде вака:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

И тоа е се. Ова беше нашата прва лекција. Во следните лекции ќе разгледаме посложени конструкции, а исто така ќе откриеме зошто се потребни деривати на прво место.

Доказ и изведување на формулите за изводот на експоненцијалот (е до моќноста на x) и експоненцијалната функција (а до моќта на x). Примери за пресметување на деривати на e^2x, e^3x и e^nx. Формули за деривати од повисоки редови.

Дериватот на експонентот е еднаков на самиот експонент (изводот на e на x моќта е еднаков на e на x моќта):
(1) (e x )′ = e x.

Изводот на експоненцијална функција со основа a е еднаков на самата функција помножена со природниот логаритам на a:
(2) .

Изведување на формулата за изводот на експоненцијалот, e до моќноста на x

Експоненцијална е експоненцијална функција чија основа е еднаква на бројот e, што е следнава граница:
.
Овде може да биде или природен број или реален број. Следно, ја изведуваме формулата (1) за изводот на експоненцијалот.

Изведување на формулата за експоненцијален извод

Размислете за експоненцијалот, e на x моќта:
y = e x.
Оваа функција е дефинирана за секого. Да го најдеме неговиот извод во однос на променливата x. По дефиниција, изводот е следнава граница:
(3) .

Да го трансформираме овој израз за да го сведеме на познати математички својства и правила. За да го направите ова, потребни ни се следниве факти:
А)Својство на експонент:
(4) ;
Б)Својство на логаритам:
(5) ;
ВО)Континуитет на логаритмот и својството на граници за континуирана функција:
(6) .
Еве една функција која има граница и оваа граница е позитивна.
G)Значењето на втората извонредна граница:
(7) .

Ајде да ги примениме овие факти до нашата граница (3). Ние користиме имот (4):
;
.

Ајде да направиме замена. Потоа; .
Поради континуитетот на експоненцијалната,
.
Затоа, кога ,. Како резултат добиваме:
.

Ајде да направиме замена. Потоа. Во , . И имаме:
.

Да го примениме логаритамското својство (5):
. Потоа
.

Дозволете ни да го примениме имотот (6). Бидејќи постои позитивна граница и логаритамот е континуиран, тогаш:
.
Овде ја користевме и втората извонредна граница (7). Потоа
.

Така, ја добивме формулата (1) за изводот на експоненцијалот.

Изведување на формулата за извод на експоненцијална функција

Сега ја изведуваме формулата (2) за изводот на експоненцијалната функција со основа од степен a. Ние веруваме дека и. Потоа експоненцијалната функција
(8)
Дефинирано за секого.

Да ја трансформираме формулата (8). За ова ќе користиме својства на експоненцијалната функцијаи логаритам.
;
.
Значи, ја трансформиравме формулата (8) во следната форма:
.

Деривати од повисок ред на e до x моќ

Сега ајде да најдеме деривати од повисоки редови. Ајде прво да го погледнеме експонентот:
(14) .
(1) .

Гледаме дека изводот на функцијата (14) е еднаков на самата функција (14). Со диференцијација (1), добиваме деривати од втор и трет ред:
;
.

Ова покажува дека изводот од n-ти ред е исто така еднаков на оригиналната функција:
.

Изводи од повисоките редови на експоненцијалната функција

Сега разгледајте експоненцијална функција со основа од степен a:
.
Го најдовме неговиот дериват од прв ред:
(15) .

Диференцирајќи (15), добиваме деривати од втор и трет ред:
;
.

Гледаме дека секоја диференцијација води до множење на оригиналната функција со . Според тоа, дериватот од n-ти ред ја има следната форма:
.

Дефиниција на моќно-експоненцијална функција. Изведување формула за пресметување на неговиот дериват. Детално се анализирани примери за пресметување на деривати на моќно-експоненцијални функции.

Моќно-експоненцијална функција е функција која има форма на функција на моќност
y = u v,
во која основата u и експонентот v се некои функции на променливата x:
u = u (x); v = v (x).
Оваа функција е исто така наречена експоненцијаленили .

Имајте на ум дека моќно-експоненцијалната функција може да се претстави во експоненцијална форма:
.
Затоа се нарекува и комплексна експоненцијална функција.

Пресметка со помош на логаритамски извод

Да го најдеме изводот на моќно-експоненцијалната функција
(2) ,
каде и се функции на променливата.
За да го направите ова, ја логаритамската равенка (2), користејќи го својството на логаритамот:
.
Диференцирајте во однос на променливата x:
(3) .
Аплицираме правила за диференцирање на сложени функциии работи:
;
.

Заменуваме во (3):
.
Од тука
.

Значи, го најдовме изводот на моќно-експоненцијалната функција:
(1) .
Ако експонентот е константен, тогаш . Тогаш дериватот е еднаков на изводот на сложената функција на моќност:
.
Ако основата на степенот е константна, тогаш . Тогаш дериватот е еднаков на изводот на сложена експоненцијална функција:
.
Кога и се функции на x, тогаш изводот на функцијата моќно-експоненцијална е еднаков на збирот на изводите на сложената моќност и експоненцијалните функции.

Пресметување на изводот со редукција на сложена експоненцијална функција

Сега да го најдеме изводот на моќно-експоненцијалната функција
(2) ,
претставувајќи ја како сложена експоненцијална функција:
(4) .

Ајде да го разликуваме производот:
.
Го применуваме правилото за наоѓање извод на сложена функција:

.
И повторно ја добивме формулата (1).

Пример 1

Најдете го изводот на следнава функција:
.

Решение

Пресметуваме користејќи го логаритамскиот извод. Ајде да ја логаритамизираме оригиналната функција:
(A1.1) .

Од табелата на деривати наоѓаме:
;
.
Користејќи ја формулата за дериват на производот, имаме:
.
Ние разликуваме (A1.1):
.
Затоа што
,
Тоа
.

Одговори

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата
.

Решение

Ајде да ја логаритамизираме оригиналната функција:
(A2.1) .

Пресметка на изводи- една од најважните операции во диференцијалното сметање. Подолу е дадена табела за наоѓање деривати на едноставни функции. За посложени правила за диференцијација, видете други лекции:

Табела на деривати на експоненцијални и логаритамски функции

Користете ги дадените формули како референтни вредности. Тие ќе помогнат во решавањето на диференцијални равенки и проблеми. На сликата, во табелата со деривати на едноставни функции, има „лист за измама“ на главните случаи за наоѓање дериват во форма што е разбирлива за употреба, до него има објаснувања за секој случај.

Деривати на едноставни функции

1. Изводот на број е нула
с´ = 0
Пример:
5' = 0

Објаснување:
Изводот ја покажува брзината со која вредноста на функцијата се менува кога нејзиниот аргумент се менува. Бидејќи бројот не се менува на кој било начин под никакви услови, стапката на неговата промена е секогаш нула.

2. Извод на променливаеднаков на еден
x´ = 1

Објаснување:
Со секое зголемување на аргументот (x) за еден, вредноста на функцијата (резултатот од пресметката) се зголемува за иста количина. Така, брзината на промена на вредноста на функцијата y = x е точно еднаква на стапката на промена на вредноста на аргументот.

3. Изводот на променлива и фактор е еднаков на овој фактор
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Објаснување:
Во овој случај, секогаш кога се менува аргументот на функцијата ( X) неговата вредност (y) се зголемува во Соеднаш. Така, стапката на промена на вредноста на функцијата во однос на брзината на промена на аргументот е точно еднаква на вредноста Со.

Од каде произлегува дека
(cx + b)" = в
односно диференцијалот на линеарната функција y=kx+b е еднаков на наклонот на правата (k).

4. Модуло дериват на променливаеднаков на количникот на оваа променлива до нејзиниот модул
|x|"= x / |x| под услов x ≠ 0
Објаснување:
Бидејќи дериватот на променливата (види формула 2) е еднаков на единство, изводот на модулот се разликува само по тоа што вредноста на брзината на промена на функцијата се менува на спротивна кога се преминува точката на потекло (обидете се да нацртате график на функцијата y = |x| и уверете се сами.Токму оваа вредност го враќа изразот x / |x|. Кога x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - еден. Односно, за негативни вредности на променливата x, со секое зголемување на аргументот, вредноста на функцијата се намалува за точно иста вредност, а за позитивни вредности, напротив, се зголемува, но за точно иста вредност .

5. Извод на променлива до моќностеднаков на производот на одреден број од оваа моќност и променлива на моќноста намалена за еден
(x c)"= cx c-1, под услов x c и cx c-1 да се дефинирани и c ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Да се запамети формулата:
Поместете го степенот на променливата надолу како фактор, а потоа намалете го самиот степен за еден. На пример, за x 2 - двете беа пред х, а потоа намалената моќност (2-1 = 1) едноставно ни даде 2x. Истото се случи и за x 3 - ја „поместуваме“ тројката надолу, ја намалуваме за една и наместо коцка имаме квадрат, односно 3x 2. Малку „ненаучно“, но многу лесно за паметење.

6.Извод на дропка 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Пример:
Бидејќи дропка може да се претстави како подигање до негативна моќност
(1/x)" = (x -1)", тогаш можете да ја примените формулата од правилото 5 од табелата со деривати
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Извод на дропка со променлива од произволен степенво именителот
(1 / x в)" = - c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Дериват на коренот(извод на променлива под квадратен корен)
(√x)" = 1 / (2√x)или 1/2 x -1/2
Пример:
(√x)" = (x 1/2)" значи дека можете да ја примените формулата од правилото 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Извод на променлива под коренот на произволен степен
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Изведување на формулата за изводот на функцијата на моќност (x на силата на a). Се разгледуваат деривати од корените на x. Формула за дериват на функција на моќност од повисок ред. Примери за пресметување на деривати.

Изводот на x на моќта на a е еднаков на x од моќта на минус еден:
(1) .

Изводот на n-тиот корен на x на mth моќта е:
(2) .

Изведување на формулата за извод на функција на моќност

Случај x > 0

Размислете за функција на моќност на променливата x со експонент a:
(3) .
Еве a е произволен реален број. Ајде прво да го разгледаме случајот.

За да го пронајдеме изводот на функцијата (3), ги користиме својствата на функцијата моќност и ја трансформираме во следнава форма:
.

Сега го наоѓаме дериватот користејќи:
;
.
Еве .

Формулата (1) е докажана.

Изведување на формулата за дериват на корен од степен n од x до степен од m

Сега разгледајте ја функцијата што е коренот на следната форма:
(4) .

За да го најдеме изводот, го трансформираме коренот во функција на моќност:
.
Споредувајќи со формулата (3) гледаме дека
.
Потоа
.

Користејќи ја формулата (1) го наоѓаме дериватот:
(1) ;
;
(2) .

Во пракса, нема потреба да се меморира формулата (2). Многу е попогодно прво да се трансформираат корените во функции за напојување, а потоа да се најдат нивните деривати со помош на формулата (1) (види примери на крајот од страницата).

Случај x = 0

Ако , тогаш функцијата моќност е дефинирана за вредноста на променливата x = 0 . Да го најдеме изводот на функцијата (3) на x = 0 . За да го направите ова, ја користиме дефиницијата за дериват:
.

Да го замениме x = 0 :
.
Во овој случај, под извод ја подразбираме десната граница за која .

Така најдовме:
.
Од ова е јасно дека за , .
Во , .
Во , .
Овој резултат е исто така добиен од формулата (1):
(1) .
Според тоа, формулата (1) важи и за x = 0 .

Случај x< 0

Повторно разгледајте ја функцијата (3):
(3) .
За одредени вредности на константата a, таа е дефинирана и за негативни вредности на променливата x. Имено, нека a е рационален број. Тогаш може да се претстави како нередуцирана дропка:
,
каде m и n се цели броеви кои немаат заеднички делител.

Ако n е непарен, тогаш функцијата за моќност е дефинирана и за негативните вредности на променливата x. На пример, кога n = 3 и m = 1 го имаме коцканиот корен на x:
.
Дефинирано е и за негативните вредности на променливата x.

Да го најдеме изводот на функцијата моќност (3) за и за рационалните вредности на константата a за која е дефинирана. За да го направите ова, ајде да го претставиме x во следнава форма:
.
Потоа,
.
Изводот го наоѓаме со ставање на константата надвор од знакот на изводот и примена на правилото за диференцијација на сложена функција:

.
Еве . Но
.
Од тогаш
.
Потоа
.
Односно, формулата (1) важи и за:
(1) .

Деривати од повисок ред

Сега да најдеме изводи од повисок ред на функцијата моќност
(3) .
Веќе го најдовме дериватот од прв ред:
.

Земајќи ја константата a надвор од знакот на изводот, го наоѓаме изводот од втор ред:
.
Слично на тоа, наоѓаме деривати од третиот и четвртиот ред:
;

.

Од ова е јасно дека извод од произволен n-ти редја има следната форма:
.

забележи, тоа ако a е природен број, тогаш n-тиот извод е константен:
.
Тогаш сите следни деривати се еднакви на нула:
,
во .

Примери за пресметување на деривати

Пример

Најдете го изводот на функцијата:
.

Решение

Ајде да ги претвориме корените во моќи:
;
.
Тогаш оригиналната функција ја добива формата:
.

Наоѓање деривати на моќи:
;
.
Изводот на константата е нула:
.