Табела со основни формули за диференцијација. Формули и правила на диференцијација (пронаоѓање на изводот)

Нека функцијата y = f(x) е дефинирана во интервалот X. Дериватфункцијата y = f(x) во точката x o се нарекува граница

= .

Доколку оваа граница конечни,тогаш се повикува функцијата f(x). диференцијабилнаво точката x о; Покрај тоа, во овој момент се покажува дека е нужно континуирано.

Ако границата што се разгледува е еднаква на  (или - ), тогаш под услов функцијата во точката X ое континуирано, ќе кажеме дека функцијата f(x) ја има во точката X о бесконечен дериват.

Дериватот се означува со симболите

y , f (x o), , .

Наоѓањето на изводот се вика диференцијацијафункции. Геометриско значење на дериватоте дека изводот е наклонот на тангентата на кривата y=f(x) во дадена точка X о ; физичко значење -е дека изводот на патеката во однос на времето е моменталната брзина на подвижна точка за време на праволиниско движење s = s(t) во моментот t o .

Ако Сое константен број, а u = u(x), v = v(x) се некои диференцијабилни функции, тогаш важат следните правила за диференцијација:

1) (в) " = 0, (cu) " = куб";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) ако y = f(u), u = (x), т.е. y = f((x)) - комплексна функцијаили суперпозиција, составена од диференцијабилни функции  и f, тогаш , или

6) ако за функција y = f(x) постои инверзна диференцијабилна функција x = g(y), и  0, тогаш .

Врз основа на дефиницијата на изводот и правилата за диференцијација, можно е да се состави список на табеларни деривати на главните елементарни функции.

1. (u )" =  u  1 u" (  Р).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (е у)" = е у у".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / грев 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Да го пресметаме изводот на моќно-експоненцијалниот израз y=u v , (u>0), каде uИ vсуштината на функцијата од X, имајќи деривати во дадена точка ти",v".

Земајќи ги логаритмите на еднаквоста y=u v, добиваме ln y = v ln u.

Изедначување на деривати во однос на Xод двете страни на добиената еднаквост користејќи ги правилата 3, 5 и формулата за извод на логаритамска функција, ќе имаме:

y"/y = vu"/u +v" ln u, од каде y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

На пример, ако y = x sin x, тогаш y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Ако функцијата y = f(x) е диференцијабилна во точката x, т.е. има конечен извод во оваа точка y", тогаш = y"+, каде што 0 на х 0; оттука  y = y" х +  x.

Се нарекува главниот дел од функционалниот инкремент, линеарен во однос на x диференцијал функциии се означува со dy: dy = y" х. Ако во оваа формула ставиме y=x, добиваме dx = x"х = 1х =х, затоа dy=y"dx, т.е. симболот за Изводната нотација може да се смета како дропка.

Зголемување на функцијата  yе зголемувањето на ординатата на кривата, а диференцијалот d yе ординатен пораст на тангентата.

Да го најдеме за функцијата y=f(x) нејзиниот извод y = f (x). Дериватот на овој извод се нарекува извод од втор редфункции f(x), или втор дериват,и е назначен .

Следниве се дефинирани и назначени на ист начин:

извод од трет ред - ,

дериват од четврти ред -

и општо земено извод од n-ти ред - .

Пример 3.15. Пресметај го изводот на функцијата y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Решение.Според правилото 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1) cos x.

Пример 3.16 . Најдете y", y = tan x + .

Решение.Користејќи ги правилата за диференцијација на збирот и количникот, добиваме: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Пример 3.17. Најдете го изводот на сложената функција y= , u=x 4 +1.

Решение.Според правилото за диференцијација на сложена функција се добива: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Бидејќи u=x 4 +1, тогаш (2 x 4 + 2+ .

Диференцијацијата е пресметка на изводот.

1. Формули за диференцијација.

Главните формули за диференцијација се во табелата. Тие не мора да се запаметат. Откако разбравте некои обрасци, ќе можете самостојно да изведете други од некои формули.

1) Да почнеме со формулата (к x+ m)′ = k.
Нејзини посебни случаи се формулите x′ = 1 и C′ = 0.

Во која било функција од формата y = kx + m, изводот е еднаков на наклонот k.

На пример, дадена е функцијата y = 2 X+ 4. Неговиот дериват во која било точка ќе биде еднаков на 2:

(2 x + 4)′ = 2 .

Извод на функција на = 9 X+ 5 во која било точка е еднаква на 9 . итн.

Да го најдеме изводот на функцијата y = 5 X. За да го направите ова, да замислиме 5 Xво форма (5 X+ 0). Добивме израз сличен на претходниот. Значи:

(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.

Конечно, ајде да дознаеме на што е еднакво x′.
Да ја примениме техниката од претходниот пример: замислете Xкако 1 X+ 0. Тогаш добиваме:

x′ = (1 X+ 0)′ = 1.

Така, независно ја изведевме формулата од табелата:

(0 · x+ m)′ = 0.

Но, тогаш излегува дека m′ е исто така еднакво на 0. Нека m = C, каде што C е произволна константа. Потоа доаѓаме до друга вистина: изводот на константата е еднаков на нула. Тоа е, добиваме друга формула од табелата.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на Единствениот државен испит по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.

Во сите формули подолу, буквите uИ vсе посочени диференцијабилни функции на независната променлива x: , , и со букви а, c, n- константа:

1.

3.

4.

6.

Останатите формули се напишани и за функции на независната променлива и за сложени функции:

7.

8.

10.

11.

12.

13.

15.

17.

7а.

10а.

12а.

13а.

14а.

15а.

16а.

17а.

Беа земени детални белешки при решавањето на примерите подолу. Сепак, треба да научите да разликувате без средни записи.

Пример 1.Најдете го изводот на функцијата .

Решение. Оваа функција е алгебарски збир на функции. Ние го разликуваме користејќи формули 3, 5, 7 и 8:

Пример 2.Најдете го изводот на функцијата

Решение. Применувајќи ги формулите 6, 3, 7 и 1, добиваме

Пример 3.Најдете го изводот на функцијата и пресметајте ја неговата вредност во

Решение. Ова е сложена функција со среден аргумент. Користејќи ги формулите 7а и 10, имаме

Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на изводот во :

.

Пример 4.Најдете го изводот на функцијата .

Решение. Ова е сложена функција со среден аргумент. Применувајќи ги формулите 3, 5, 7а, 11, 16а, добиваме

Пример 5.Најдете го изводот на функцијата .

Решение. Ја разликуваме оваа функција користејќи ги формулите 6, 12, 3 и 1:

Пример 6.

Решение. Прво ја трансформираме функцијата користејќи ги својствата на логаритмите:

Сега разликуваме користејќи ги формулите 3, 16а, 7 и 1:

.

Да ја пресметаме вредноста на изводот во .

Пример 7.Најдете го изводот на функцијата и пресметајте ја неговата вредност во .

Решение. Ги користиме формулите 6, 3, 14а, 9а, 5 и 1:

.

Да ја пресметаме вредноста на изводот на:

.

Геометриско значење на дериватот.

Изводот на функцијата има едноставна и важна геометриска интерпретација.

Доколку функцијата диференцијабилна во точката X, тогаш графикот на оваа функција има тангента во соодветната точка, а наклонот на тангентата е еднаков на вредноста на изводот во предметната точка.

Наклон на тангентата нацртана на графикот на функцијата во точка ( X 0 , на 0), е еднаква на вредноста на изводот на функцијата во x = x 0, т.е. .

Равенката за оваа тангента е

Пример 8. Напишете равенка за тангентата на графикот на функцијата во точка А (3.6).

Решение. За да го најдеме наклонот на тангентата, го наоѓаме изводот на оваа функција:

.

X= 3:

Тангентната равенка има форма

Или , т.е.

Пример 9.Напишете равенка за тангентата нацртана на графикот на функцијата кај апсцисата x=2.

Решение. Прво ја наоѓаме ординатата на тангентната точка . Бидејќи точката А лежи на кривата, нејзините координати ја задоволуваат равенката на кривата, т.е.

; .

Равенка на тангента нацртана на крива во точка , ја има формата . За да го најдеме наклонот на тангентата, го наоѓаме изводот:

.

Наклонот на тангентата е еднаков на вредноста на изводот на функцијата во X= 2:

Тангентната равенка е:

, , т.е.

Физичко значење на дериватот.Ако тело се движи права линија според законот s=s(t), потоа во одреден временски период (од моментот тдо моментот ) ќе помине одредено растојание. Потоа, тука е просечната брзина на движење во одреден временски период.

Брзинадвижења на телото во даден момент во времето тсе нарекува граница на односот на патеката до временскиот прираст, кога временскиот прираст се стреми кон нула:

.

Според тоа, временскиот дериват на патеката s теднаква на брзината на праволиниското движење на телото во даден момент во времето:

.

Стапката на физички, хемиски и други процеси исто така се изразува со помош на дериват.

Извод на функција еднаква на стапката на промена на оваа функција за дадена вредност на аргументот X:

Пример 10.Законот за движење на точка во права линија е даден со формулата (s - во метри, t - во секунди). Најдете ја брзината на точката на крајот од првата секунда.

Решение. Брзината на точка во дадено време е еднаква на изводот на патеката спо време т:

,

Значи, брзината на точката на крајот од првата секунда е 9 m/s.

Пример 11.Тело фрлено вертикално нагоре се движи според законот , Каде v 0 - почетна брзина, е- забрзување на слободниот пад на телото. Најдете ја брзината на ова движење за секој момент во времето т. Колку време ќе му треба на телото да се крене и до која висина ќе се издигне ако v 0= 40 m/s?

Решение. Брзината на движење на точка во даден момент во времето теднаков на изводот на патеката спо време т:

.

На највисоката точка на искачување, брзината на телото е нула:

, , , , Со.

Над 40/ есекунди телото се крева на висина

, м.

Втор дериват.

Извод на функција во општиот случај е функција на X. Ако го пресметаме изводот на оваа функција, ќе го добиеме изводот од втор ред или вториот извод на функцијата .

Втор дериватфункции се нарекува извод на неговиот прв извод .

Вториот извод на функцијата се означува со еден од симболите -, , . Така, .

Дериватите од кој било ред се дефинираат и означуваат слично. На пример, дериват од трет ред:

или ,

Пример 12. .

Решение. Прво да го најдеме првиот извод

Пример 13.Најдете го вториот извод на функцијата и пресметајте ја неговата вредност во x=2.

Решение. Прво, да го најдеме првиот дериват:

Повторно диференцирање, го наоѓаме вториот извод:

Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на вториот извод во x=2; ние имаме

Физичко значење на вториот дериват.

Ако некое тело се движи праволиниско според законот s = s(t), потоа вториот дериват на патеката спо време теднакво на забрзувањето на телото во даден временски момент т:

Така, првиот дериват ја карактеризира брзината на одреден процес, а вториот дериват го карактеризира забрзувањето на истиот процес.

Пример 14.Точка се движи права линија според законот. Најдете ја брзината и забрзувањето на движењето .

Решение. Брзината на движење на телото во дадено време е еднаква на дериватот на патеката спо време т,а забрзувањето е вториот извод на патеката спо време т. Ние најдовме:

; Потоа ;

; Потоа

Пример 15.Брзината на праволиниското движење е пропорционална на квадратниот корен на поминатото растојание (како, на пример, при слободен пад). Докажете дека ова движење се случува под влијание на постојана сила.

Решение. Според Њутновиот закон, силата F што предизвикува движење е пропорционална на забрзувањето, т.е.

Или

Според условот, . Разликувајќи ја оваа еднаквост, наоѓаме

Затоа, дејствувачката сила .

Примени на изводот за проучување на функции.

1) Услов за зголемување на функцијата: Диференцијабилната функција y = f(x) монотоно се зголемува на интервалот X ако и само ако нејзиниот извод е поголем од нула, т.е. y = f(x) f’(x) > 0. Оваа состојба геометриски значи дека тангентата на графикот на оваа функција формира остар агол со позитивна насока кон оската oX.

2) Услов функцијата да се намали: Диференцијабилната функција y = f(x) монотоно се намалува на интервалот X ако и само ако нејзиниот извод е помал од нула, т.е.

y = f(x)↓ f’(x) Оваа состојба геометриски значи дека тангентата на графикот на оваа функција формира тап агол со позитивната насока на оската oX)

3) Услов за постојаност на функцијата:Диференцијабилната функција y = f(x) е константна на интервалот X ако и само ако нејзиниот извод е еднаков на нула, т.е. y = f(x) - константа f’(x) = 0.Оваа состојба геометриски значи дека тангентата на графикот на оваа функција е паралелна со оската oX, т.е. α = 0)

Екстреми на функција.

Дефиниција 1: Се повикува точката x = x 0 минимална точкафункција y = f(x), ако оваа точка има соседство за кое сите точки (освен самата точка) ја задоволуваат неравенката f(x)> f(x 0)

Дефиниција 2:Се повикува точката x = x 0 максимална точкафункција y = f(x), ако оваа точка има соседство за кое сите точки (освен самата точка) ја задоволуваат неравенката f(x)< f(x 0).

Дефиниција 3: Точката на минимум или максимум на функцијата се нарекува точка екстремен. Вредноста на функцијата во овој момент се нарекува екстремна.

Белешки: 1. Максималната (минимумот) не е нужно најголемата (најмалата) вредност на функцијата;

2. Функцијата може да има неколку максимални или минимуми;

3. Функција дефинирана на сегмент може да достигне екстрем само во внатрешните точки на овој сегмент.

5) Неопходен услов за екстрем:Ако функцијата y = f(x) има екстремум во точката x = x 0, тогаш во оваа точка изводот е нула или не постои. Овие точки се нарекуваат критични точки од 1-виот вид.

6) Доволни услови за постоење на екстрем на функција:Нека функцијата y = f(x) е континуирана на интервалот X и има критична точка од првиот вид x = x 0 во овој интервал, тогаш:

а) ако оваа точка има соседство во кое за x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, тогаш x = x 0 е точка минимумфункции y = f(x);

б) ако оваа точка има соседство во кое за x< х 0 f’(x) >0, а за x> x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой максимумфункции y = f(x);

в) ако оваа точка има такво соседство што во неа и десно и лево од точката x 0 знаците на изводот се исти, тогаш во точката x 0 нема екстрем.

Интервалите на функцијата за намалување или зголемување се нарекуваат интервали монотонија.

Дефиниција 1:Се повикува кривата y = f(x). конвексен надолуна интервалот a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется конвексен нагорена интервалот a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Дефиниција 2:Се нарекуваат интервалите во кои графикот на функцијата е конвексен нагоре или надолу конвексни интервалифункционална графика.

Доволен услов за конвексност на крива.Графикот на диференцијабилната функција Y = f(x) е конвексен нагорена интервалот a< х <в, если f”(x) < 0 и конвексен надолу, ако f”(x) > 0.

Дефиниција 1:Се нарекуваат точките во кои вториот извод е нула или не постои критични точки од втор вид.

Дефиниција 2:Точката на графикот на функцијата Y = f(x), која ги одвојува интервалите на конвексност на спротивните насоки на овој график, се нарекува точка флексија

точка на флексија

Пример: Дадена е функцијата y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Истражете ја функцијата за интервали на монотоност и екстремни точки. Определете ја насоката на конвексноста и точката на флексија.

Решение: 1. Најдете го доменот на дефиниција на функцијата: D(y) = ;

2. Да го најдеме првиот извод: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Да ја решиме равенката: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, тогаш оваа равенка нема решение, затоа нема екстремни точки. y’, тогаш функцијата се зголемува во целиот домен на дефиниција.

4. Најдете го вториот извод: y” = 6x - 4;

5. Реши ја равенката: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Одговор: ( ; - ) - точка на флексија, функцијата е конвексна нагоре при x и конвексна нагоре при x

Асимптоти.

1. Дефиниција: Асимптота на кривата е права линија до која графикот на дадена функција се приближува без ограничување.

2. Видови асимптоти:

1) Вертикални асимптоти. Графикот на функцијата y = f(x) има вертикална асимптота ако . Равенката на вертикална асимптота има форма x = a

2) Хоризонтални асимптоти. Графикот на функцијата y = f(x) има хоризонтална асимптота ако . Хоризонталната асимптотна равенка има форма y = b.

Пример 1: За функцијата y = најдете ги асимптотите.

3) Коси асимптоти.Правата y = kx + b се нарекува закосена асимптота на графикот на функцијата y = f(x), ако . Вредностите на k и b се пресметуваат со помош на формулите: k = ; b = .

Решение: , тогаш y = 0 - хоризонтална асимптота;

(бидејќи x - 3 ≠ 0, x ≠3), тогаш x = 3 е вертикална асимптота. , Т. e k = 0, тогаш кривата нема коси асимптота.

Пример 2: За функцијата y = најдете ги асимптотите.

Решение: x 2 - 25 ≠ 0 за x ≠ ± 5, потоа x = 5 и x = - 5 се хоризонтални асимптоти;

y = , тогаш кривата нема вертикална асимптота;

k = ; b = , односно y = 5x - коси асимптота.

Примери на зацртани функции.

Пример 1.

Истражете ја функцијата и изградете графикон на функцијата y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Најдете го доменот на дефиниција на функцијата: D(y) = R

y(- x) = (- x) 3 - 6·(- x) 2 + 9·(-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), т.е.

(y = x 5 - x 3 - непарни, y = x 4 + x 2 - парни)

3. Не периодично.

4. Најдете ги пресечните точки со координатните оски: ако x = 0, тогаш y = - 3 (0; - 3)

ако Y = 0, x е тешко да се најде.

5. Да ги најдеме асимптотите на графикот на функцијата: Нема вертикални асимптоти, бидејќи нема вредности на x кај кои функцијата е неодредена; y = , т.е. нема хоризонтални асимптоти;

k = , односно нема коси асимптоти.

6. Ја проучуваме функцијата за интервали на монотоност и нејзините екстреми: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y’= 0. 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - критични точки од 1-виот вид.

Да ги одредиме знаците на изводот: y’(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y(1) = 1, (1;1) - максимална точка; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - минимална точка, функција y за x и y .

7. Ја испитуваме функцијата за интервали на конвексност и точки на флексија:

y" = (y')' = (3x 2 - 12x + 9)' = 6x - 12, y" = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - критична точка од првиот вид.

Да ги одредиме знаците на вториот извод: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - точка на флексија, функцијата е конвексна нагоре при x и конвексна надолу при x.

8. Дополнителни точки:

X	- 1
на	- 19

9. Ајде да изградиме график на функцијата:

Истражете ја функцијата и изградете графикон на функцијата y =

1. Да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D(y) = .

2. Откријте дали оваа функција е парна или непарна: ,

y(- x) ≠ y(x) - не е парен и y(- x) ≠ - y(x) - не е непарен

3. Не периодично.

4. Најди ги точките на пресек со координатните оски: x = 0, потоа y = - 2; y = 0, потоа, т.е. (0; - 2); ().

5. Да ги најдеме асимптотите на графикот на функцијата: затоа што x ≠ 1, тогаш правата x = 1 е вертикална асимптота;