Како да се наведат интервалите на функциите за зголемување и намалување. Интервали на зголемување и намалување

Дефиниција на растечка функција.

Функција y=f(x)се зголемува со текот на интервалот X, ако за некој и нееднаквоста важи. Со други зборови - повисока вредностаргументот одговара на поголемата вредност на функцијата.

Дефиниција на опаѓачка функција.

Функција y=f(x)се намалува во интервалот X, ако за некој и нееднаквоста важи . Со други зборови, поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата.

ЗАБЕЛЕШКА: ако функцијата е дефинирана и континуирана на краевите на интервалот за зголемување или намалување (а;б), односно кога x=aИ x=b, тогаш овие точки се вклучени во интервалот на зголемување или намалување. Ова не е во спротивност со дефинициите за растечка и опаѓачка функција на интервалот X.

На пример, од својствата на основните елементарни функции знаеме дека y=sinxдефинирани и континуирани за сите реални вредности на аргументот. Затоа, од зголемувањето на синусната функција на интервалот, можеме да тврдиме дека таа се зголемува на интервалот.

Екстремни точки, екстреми на функција.

Точката се нарекува максимална точкафункции y=f(x), ако за секого xод неговото соседство важи нееднаквоста. Се повикува вредноста на функцијата во максималната точка максимум од функцијатаи означува .

Точката се нарекува минимална точкафункции y=f(x), ако за секого xод неговото соседство важи нееднаквоста. Се повикува вредноста на функцијата во минималната точка минимална функцијаи означува .

Соседството на точка се подразбира како интервал , каде што е доволно мал позитивен број.

Се повикуваат минималните и максималните поени екстремни точки, и се повикуваат вредностите на функциите што одговараат на екстремните точки крајност на функцијата.

Не мешајте ги екстремите на функцијата со најголемите и најмалите вредности на функцијата.

На првата слика највисока вредностфункционира во интервал се достигнува во максималната точка и е еднаква на максимумот на функцијата, а на втората слика - највисоката вредност на функцијата е постигната во точката x=b, што не е максимална точка.

Доволни услови за зголемување и намалување на функциите.

Врз основа доволни услови(знаци) на функции за зголемување и намалување се интервалите на функциите на зголемување и намалување.

Еве ги формулациите на знаците за зголемување и намалување на функциите во интервал:

ако изводот на функцијата y=f(x)позитивно за секого xод интервалот X, тогаш функцијата се зголемува за X;

ако изводот на функцијата y=f(x)негативно за никого xод интервалот X, тогаш функцијата се намалува за X.

Така, за да се одредат интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е:

Да разгледаме пример за наоѓање интервали на функции за зголемување и намалување за да го објасниме алгоритмот.

Пример.

Најдете ги интервалите на функцијата за зголемување и намалување.

Решение.

Првиот чекор е да се најде дефиницијата за функцијата. Во нашиот пример, изразот во именителот не треба да оди на нула, затоа, .

Ајде да продолжиме со наоѓање на изводот на функцијата:

За да ги одредиме интервалите на зголемување и намалување на функцијата врз основа на доволен критериум, решаваме неравенки на доменот на дефиниција. Ајде да користиме генерализација на методот на интервал. Единственото вистински коренброител е x = 2, а именителот оди на нула во x=0. Овие точки го делат доменот на дефиниција на интервали во кои изводот на функцијата го задржува својот знак. Да ги означиме овие точки на бројната права. Конвенционално ги означуваме со плус и минуси интервалите во кои изводот е позитивен или негативен. Стрелките подолу шематски го прикажуваат зголемувањето или намалувањето на функцијата на соодветниот интервал.

Екстреми на функцијата

Дефиниција 2

Точката $x_0$ се нарекува максимална точка на функцијата $f(x)$ ако има соседство на оваа точка така што за сите $x$ во ова соседство неравенката $f(x)\le f(x_0) $ држи.

Дефиниција 3

Точката $x_0$ се нарекува максимална точка на функцијата $f(x)$ ако има соседство на оваа точка така што за сите $x$ во ова соседство неравенката $f(x)\ge f(x_0) $ држи.

Концептот на екстрем на функција е тесно поврзан со концептот на критична точка на функцијата. Да ја претставиме неговата дефиниција.

Дефиниција 4

$x_0$ се нарекува критична точкафункција $f(x)$ ако:

1) $x_0$ - внатрешна точкадомени на дефиниција;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не постои.

За концептот на екстрем, можеме да формулираме теореми на доволно и неопходни условинеговото постоење.

Теорема 2

Доволен услов за екстрем

Нека точката $x_0$ е критична за функцијата $y=f(x)$ и лежи во интервалот $(a,b)$. Нека дериватот $f"(x)$ постои на секој интервал $\left(a,x_0\right)\ and\ (x_0,b)$ и зачувај постојан знак. Потоа:

1) Ако на интервалот $(a,x_0)$ дериватот е $f"\left(x\right)>0$, а на интервалот $(x_0,b)$ дериватот е $f"\left( x\десно)

2) Ако на интервалот $(a,x_0)$ дериватот $f"\left(x\right)0$, тогаш точката $x_0$ е минималната точка за оваа функција.

3) Ако и на интервалот $(a,x_0)$ и на интервалот $(x_0,b)$ дериватот $f"\left(x\right) >0$ или дериватот $f"\left(x \десно)

Оваа теорема е илустрирана на Слика 1.

Слика 1. Доволен услов за постоење на екстреми

Примери на крајности (сл. 2).

Слика 2. Примери на екстремни точки

Правило за проучување на функција за екстрем

2) Најдете го изводот $f"(x)$;

7) Извлечете заклучоци за присуството на максимум и минимум на секој интервал, користејќи теорема 2.

Зголемување и намалување на функции

Прво да ги воведеме дефинициите на функциите за зголемување и намалување.

Дефиниција 5

Функција $y=f(x)$ дефинирана на интервалот $X$ се вели дека се зголемува ако за која било точка $x_1,x_2\во X$ на $x_1

Дефиниција 6

Функцијата $y=f(x)$ дефинирана на интервалот $X$ се вели дека се намалува ако за која било точка $x_1,x_2\во X$ за $x_1f(x_2)$.

Проучување на функција за зголемување и намалување

Можете да ги проучувате функциите за зголемување и намалување користејќи го изводот.

За да ја испитате функцијата за интервали на зголемување и намалување, мора да го направите следново:

1) Најдете го доменот на дефиниција на функцијата $f(x)$;

2) Најдете го изводот $f"(x)$;

3) Најдете ги точките во кои важи еднаквоста $f"\left(x\right)=0$;

4) Најдете ги точките во кои $f"(x)$ не постои;

5) Означете ги на координатната права сите пронајдени точки и доменот на дефинирање на оваа функција;

6) Определи го знакот на изводот $f"(x)$ на секој добиен интервал;

7) Извлечете заклучок: во интервали каде $f"\left(x\right)0$ функцијата се зголемува.

Примери на проблеми за проучување на функции за зголемување, намалување и присуство на екстремни точки

Пример 1

Испитајте ја функцијата за зголемување и намалување и присуството на максимални и минимални точки: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Бидејќи првите 6 точки се исти, ајде прво да ги спроведеме.

1) Опсег - сè реални броеви;

2) $f"\лево(x\десно)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\десно)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ постои во сите точки од доменот на дефиниција;

5) Координатна линија:

Слика 3.

6) Одреди го знакот на изводот $f"(x)$ на секој интервал:

\ \ .

Доволни услови за екстрем на функција.

За да ги пронајдете максимумите и минимумите на функцијата, можете да користите кој било од трите знаци на екстрем, се разбира, доколку функцијата ги задоволува нивните услови. Најчест и удобен е првиот од нив.

Првиот доволен услов за екстрем.

Нека функцијата y=f(x) е диференцијабилна во -соседството на точката и континуирана во самата точка.

Со други зборови:

Алгоритам за пронаоѓање на екстремни точки врз основа на првиот знак на екстрем на функцијата.

Го наоѓаме доменот на дефинирање на функцијата.
Изводот на функцијата го наоѓаме на доменот на дефиниција.
Ги определуваме нулите на броителот, нулите на именителот на изводот и точките од доменот на дефиниција во кои изводот не постои (сите наведени точки се нарекуваат точки на можен екстрем, поминувајќи низ овие точки, дериватот може само да го промени својот знак).
Овие точки го делат доменот на дефинирање на функцијата во интервали во кои изводот го задржува својот знак. Ги одредуваме знаците на изводот на секој од интервалите (на пример, со пресметување на вредноста на изводот на функцијата во која било точка во одреден интервал).
Избираме точки во кои функцијата е континуирана и, минувајќи низ кои, дериватот го менува знакот - тоа се екстремните точки.

Има премногу зборови, ајде подобро да погледнеме неколку примери за наоѓање екстремни точки и екстреми на функција користејќи го првиот доволен услов за екстрем на функција.

Пример.

Најдете ги екстремите на функцијата.

Решение.

Доменот на функцијата е целото множество реални броеви освен x=2.

Наоѓање на дериватот:

Нули на броителот се точките x=-1 и x=5, именителот оди на нула при x=2. Обележете ги овие точки на бројната оска

Ги одредуваме знаците на изводот на секој интервал; за да го направите ова, ја пресметуваме вредноста на изводот во која било од точките на секој интервал, на пример, во точките x=-2, x=0, x=3 и x=6.

Затоа, на интервалот изводот е позитивен (на сликата ставаме знак плус над овој интервал). Исто така

Затоа, ставаме минус над вториот интервал, минус над третиот и плус над четвртиот.

Останува да се изберат точките во кои функцијата е континуирана и нејзиниот дериват го менува знакот. Ова се екстремните точки.

Во точката x=-1 функцијата е непрекината и изводот го менува знакот од плус во минус, затоа, според првиот знак на екстрем, x=-1 е максималната точка, максимумот на функцијата одговара на неа .

Во точката x=5 функцијата е континуирана и изводот го менува знакот од минус во плус, затоа, x=-1 е минималната точка, минимумот на функцијата одговара на неа .

Графичка илустрација.

Одговор:

ЗАБЕЛЕШЕТЕ: првиот доволен критериум за екстрем не бара диференцијабилност на функцијата во самата точка.

Пример.

Најдете екстремни точки и екстреми на функцијата .

Решение.

Доменот на функцијата е целото множество од реални броеви. Самата функција може да се запише како:

Ајде да го најдеме изводот на функцијата:

Во точката x=0 дериватот не постои, бидејќи вредностите на едностраните граници не се совпаѓаат кога аргументот се стреми кон нула:

Во исто време, оригиналната функција е континуирана во точката x=0 (видете го делот за проучување на функцијата за континуитет):

Ајде да ја најдеме вредноста на аргументот при кој изводот оди на нула:

Да ги означиме сите добиени точки на бројната права и да го одредиме знакот на изводот на секој од интервалите. За да го направите ова, ги пресметуваме вредностите на дериватот во произволни точкисекој интервал, на пример, кога x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Тоа е,

Така, според првиот знак на екстрем, минималните поени се , максималните поени се .

Ги пресметуваме соодветните минимуми на функцијата

Ги пресметуваме соодветните максими на функцијата

Графичка илустрација.

Одговор:

Вториот знак на екстрем на функција.

Како што можете да видите, овој знак на екстрем на функција бара постоење на извод барем од втор ред во точката.

За да се одреди природата на функцијата и да се зборува за нејзиното однесување, неопходно е да се најдат интервали на зголемување и намалување. Овој процес се нарекува истражување на функции и графикони. Екстремната точка се користи при наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата, бидејќи кај нив функцијата се зголемува или намалува од интервалот.

Оваа статија ги открива дефинициите, формулира доволен знак за зголемување и намалување на интервалот и услов за постоење на екстрем. Ова се однесува на решавање на примери и проблеми. Делот за диференцирачките функции треба да се повтори, бидејќи решението ќе треба да користи наоѓање на изводот.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Дефиниција 1

Функцијата y = f (x) ќе се зголеми на интервалот x кога, за било кои x 1 ∈ X и x 2 ∈ X, x 2 > x 1, неравенката f (x 2) > f (x 1) е исполнета. Со други зборови, поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата.

Дефиниција 2

Функцијата y = f (x) се смета дека се намалува на интервалот x кога, за било кој x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, еднаквоста f (x 2) > f (x 1) се смета за вистинито. Со други зборови, поголема вредност на функцијата одговара на помала вредност на аргументот. Размислете за сликата подолу.

Коментар: Кога функцијата е определена и континуирана на краевите на интервалот на зголемување и намалување, односно (а; б), каде што x = a, x = b, точките се вклучени во интервалот на зголемување и намалување. Ова не е во спротивност со дефиницијата, тоа значи дека се одвива на интервалот x.

Основни својства елементарни функциитип y = sin x – сигурност и континуитет кај реални вредностиаргументи. Од тука добиваме дека синусот се зголемува во текот на интервалот - π 2; π 2, тогаш зголемувањето на сегментот има форма - π 2; π 2.

Дефиниција 3

Се нарекува точката x 0 максимална точказа функцијата y = f (x), кога за сите вредности на x важи неравенката f (x 0) ≥ f (x). Максимална функцијае вредноста на функцијата во точка и се означува со y m a x.

Точката x 0 се нарекува минимална точка за функцијата y = f (x), кога за сите вредности на x важи неравенката f (x 0) ≤ f (x). Минимални функциие вредноста на функцијата во точка, и има ознака на формата y m i n.

Се разгледуваат соседствата на точката x 0 екстремни точки,и вредноста на функцијата што одговара на екстремните точки. Размислете за сликата подолу.

Екстреми на функција со најголема и најмала вредност на функцијата. Размислете за сликата подолу.

Првата слика вели дека е потребно да се најде најголемата вредност на функцијата од отсечката [a; б]. Се наоѓа со користење на максимални поени и еднакви максимална вредностфункција, а втората слика е повеќе како наоѓање на максималната точка на x = b.

Доволни услови за зголемување и намалување на функцијата

За да се пронајдат максимум и минимум на функцијата, неопходно е да се применат знаци на екстрем во случај кога функцијата ги задоволува овие услови. Првиот знак се смета за најчесто користен.

Првиот доволен услов за екстрем

Дефиниција 4

Нека е дадена функција y = f (x), која е диференцијабилна во ε соседството на точката x 0 и има континуитет во дадената точка x 0. Од тука го добиваме тоа

кога f " (x) > 0 со x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
кога f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 за x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), тогаш x 0 е минималната точка.

Со други зборови, ги добиваме нивните услови за поставување на знакот:

кога функцијата е континуирана во точката x 0, тогаш има извод со променлив знак, односно од + до -, што значи дека точката се нарекува максимум;
кога функцијата е континуирана во точката x 0, тогаш има извод со променлив знак од - до +, што значи дека точката се нарекува минимум.

За правилно да ги одредите максималните и минималните точки на функцијата, мора да го следите алгоритмот за нивно наоѓање:

најдете домен на дефиниција;
најдете го изводот на функцијата на оваа област;
идентификуваат нули и точки каде што функцијата не постои;
определување на знакот на дериватот на интервали;
изберете точки каде функцијата го менува знакот.

Да го разгледаме алгоритмот со решавање на неколку примери за наоѓање екстреми на функција.

Пример 1

Најдете максимални и минимални поени дадена функција y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Решение

Доменот на дефиниција на оваа функција се сите реални броеви освен x = 2. Прво, да го најдеме изводот на функцијата и да добиеме:

y " = 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2" (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2)" (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Од тука гледаме дека нулите на функцијата се x = - 1, x = 5, x = 2, односно секоја заграда мора да се изедначи со нула. Да го означиме на бројната оска и да добиеме:

Сега ги одредуваме знаците на дериватот од секој интервал. Неопходно е да се избере точка вклучена во интервалот и да се замени во изразот. На пример, точките x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Го добиваме тоа

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, што значи дека интервалот - ∞ ; - 1 има позитивен извод. Слично, наоѓаме дека

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Бидејќи вториот интервал се покажа помал од нула, тоа значи дека изводот на интервалот ќе биде негативен. Третиот со минус, четвртиот со плус. За да го одредите континуитетот, треба да обрнете внимание на знакот на дериватот; ако се промени, тогаш ова е екстремна точка.

Откриваме дека во точката x = - 1 функцијата ќе биде континуирана, што значи дека изводот ќе го промени знакот од + во -. Според првиот знак, имаме дека x = - 1 е максимална точка, што значи дека добиваме

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Точката x = 5 означува дека функцијата е континуирана, а изводот ќе го промени знакот од – во +. Ова значи дека x = -1 е минималната точка, а нејзиното определување има форма

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Графичка слика

Одговор: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Вреди да се обрне внимание на фактот дека употребата на првиот доволен критериум за екстрем не бара диференцијабилност на функцијата во точката x 0, ова ја поедноставува пресметката.

Пример 2

Најдете ги максималните и минималните точки на функцијата y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Решение.

Доменот на функцијата се сите реални броеви. Ова може да се запише како систем на равенки од формата:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Потоа треба да го пронајдете дериватот:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y" = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3, x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Точката x = 0 нема извод, бидејќи вредностите на едностраните граници се различни. Добиваме дека:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Следи дека функцијата е континуирана во точката x = 0, тогаш пресметуваме

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Потребно е да се направат пресметки за да се најде вредноста на аргументот кога изводот станува еднаква на нула:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3, x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Сите добиени точки мора да бидат означени на права линија за да се одреди знакот на секој интервал. Затоа, потребно е да се пресмета изводот во произволни точки за секој интервал. На пример, можеме да земеме точки со вредности x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Го добиваме тоа

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y" (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Сликата на права линија изгледа како

Тоа значи дека доаѓаме до заклучок дека е неопходно да се прибегне кон првиот знак на екстрем. Ајде да пресметаме и да го најдеме тоа

x = - 4 - 2 3 3, x = 0, x = 4 + 2 3 3, тогаш од тука максималните поени имаат вредности x = - 4 + 2 3 3, x = 4 - 2 3 3

Ајде да продолжиме со пресметување на минимумите:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Да ја пресметаме максимумот на функцијата. Го добиваме тоа

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Графичка слика

Одговор:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 m 27 = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ако е дадена функција f " (x 0) = 0, тогаш ако f "" (x 0) > 0, добиваме дека x 0 е минимална точка ако f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Пример 3

Најдете ги максималните и минимумите на функцијата y = 8 x x + 1.

Решение

Прво, го наоѓаме доменот на дефиниција. Го добиваме тоа

D(y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Потребно е да се разликува функцијата, по што добиваме

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

При x = 1, изводот станува нула, што значи дека точката е можен екстремум. За да се разјасни, потребно е да се најде вториот извод и да се пресмета вредноста на x = 1. Добиваме:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 "x + (x + 1) 2 x" (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Ова значи дека со користење на доволниот услов 2 за екстрем, добиваме дека x = 1 е максимална точка. Во спротивно, записот изгледа како y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Графичка слика

Одговор: y m a x = y (1) = 4 ..

Дефиниција 5

Функцијата y = f (x) има свој извод до n-ти ред во ε соседството дадена точка x 0 и извод до n + 1 ред во точка x 0 . Потоа f " (x 0) = f "" (x 0) = f " "" (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Следи дека кога n е парен број, тогаш x 0 се смета за точка на флексија, кога n е непарен број, тогаш x 0 е екстремна точка, а f (n + 1) (x 0) > 0, тогаш x 0 е минимална точка, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Пример 4

Најдете ги максималните и минималните точки на функцијата y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Решение

Оригиналната функција е рационална цела функција, што значи дека доменот на дефиниција се сите реални броеви. Неопходно е да се разликува функцијата. Го добиваме тоа

y " = 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4" = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Овој извод ќе оди на нула при x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Тоа е, точките можат да бидат можни екстремни точки. Неопходно е да се примени третиот доволен услов за екстремот. Наоѓањето на вториот дериват ви овозможува прецизно да го одредите присуството на максимум и минимум на функцијата. Вториот извод се пресметува во точките на неговиот можен екстрем. Го добиваме тоа

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Ова значи дека x 2 = 5 7 е максималната точка. Применувајќи го третиот доволен критериум, добиваме дека за n = 1 и f (n + 1) 5 7< 0 .

Неопходно е да се одреди природата на точките x 1 = - 1, x 3 = 3. За да го направите ова, треба да го пронајдете третиот дериват и да ги пресметате вредностите на овие точки. Го добиваме тоа

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Ова значи дека x 1 = - 1 е точката на флексија на функцијата, бидејќи за n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Неопходно е да се истражи точката x 3 = 3. За да го направите ова, го наоѓаме четвртиот извод и вршиме пресметки во овој момент:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Од она што беше одлучено погоре заклучуваме дека x 3 = 3 е минималната точка на функцијата.

Графичка слика

Одговор: x 2 = 5 7 е максималната точка, x 3 = 3 е минималната точка на дадената функција.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Монотон

Многу важен имотфункцијата е нејзината монотоност. Знаејќи го ова својство на различни специјални функции, можно е да се одреди однесувањето на различни физички, економски, социјални и многу други процеси.

Истакнете следните типовимонотонија на функции:

1) функција се зголемува, ако на одреден интервал, ако за било кои две точки и овој интервал таков што . Оние. поголема вредност на аргументот одговара на поголема вредност на функцијата;

2) функција се намалува, ако на одреден интервал, ако за било кои две точки и овој интервал таков што . Оние. поголема вредност на аргументот одговара на помала вредност на функцијата;

3) функција неопаѓачки, ако на одреден интервал, ако за било кои две точки и овој интервал таков што ;

4) функција не се зголемува, ако на одреден интервал, ако за било кои две точки и овој интервал таков што .

2. За првите два случаи се користи и терминот „строга монотоност“.

3. Две најнови случаисе специфични и обично се специфицирани како состав од повеќе функции.

4. Одделно забележуваме дека зголемувањето и намалувањето на графикот на функцијата треба да се разгледува од лево кон десно и ништо друго.

2. Пар/непарен.

Функцијата се нарекува непарна, ако кога се менува знакот на аргументот, тој ја менува својата вредност во спротивно. Формулата за ова изгледа вака . Ова значи дека по замена на вредностите „минус x“ во функцијата на местото на сите x, функцијата ќе го промени својот знак. Графикот на таквата функција е симетричен во однос на потеклото.

Примери за непарни функции се итн.

На пример, графикот всушност има симетрија за потеклото:

Функцијата се нарекува парен, ако кога се менува знакот на аргументот, тој не ја менува неговата вредност. Формулата за ова изгледа вака. Ова значи дека по замена на вредностите „минус x“ во функцијата на местото на сите x, функцијата нема да се промени како резултат. Графикот на таква функција е симетричен во однос на оската.

Примери за парни функции се итн.

На пример, да ја прикажеме симетријата на графиконот околу оската:

Ако функцијата не припаѓа на една од одредени типови, тогаш се нарекува ниту парни ниту непарни или функција општ поглед . Таквите функции немаат симетрија.

Таква функција, на пример, е онаа што неодамна ја разгледавме линеарна функцијасо распоред:

3. Посебен имотфункции е периодичноста.

Факт е дека периодичните функции, кои се разгледуваат во стандардот училишна наставна програма, се само тригонометриски функции. За нив веќе детално разговаравме при проучувањето на соодветната тема.

Периодична функцијае функција која не ги менува своите вредности кога на аргументот се додава одреден константен ненулти број.

Овој минимален број се нарекува периодот на функцијатаа се означени со буквата .

Формулата за ова изгледа вака на следниот начин: .

Ајде да го погледнеме ова својство користејќи го примерот на синусен график:

Да потсетиме дека периодот на функциите и е , и периодот и е .

Како што веќе знаеме, за тригонометриски функциисо комплексен аргументМоже да има нестандарден период. Тоа е заза функциите на формата:

Нивниот период е еднаков. А за функциите:

Нивниот период е еднаков.

Како што можете да видите, за да се пресмета нов период, стандардниот период едноставно се дели со факторот во аргументот. Не зависи од други модификации на функцијата.

Ограничување.

Функција y=f(x) се нарекува ограничен од долу на множеството X⊂D(f) ако има број a таков што за кој било xϵX важи неравенката f(x)< a.

Функција y=f(x) се нарекува ограничено одозгора на множеството X⊂D(f) ако има број a таков што за кој било хϵХ важи неравенката f(x)< a.

Ако интервалот X не е наведен, тогаш функцијата се смета дека е ограничена на целиот домен на дефиниција. Функцијата што е ограничена и горе и долу се нарекува ограничена.

Ограничувањето на функцијата лесно се чита од графиконот. Можете да нацртате некоја права y=a, а ако функцијата е повисока од оваа линија, тогаш таа е ограничена одоздола.

Ако подолу, тогаш соодветно погоре. Подолу е график на функција ограничена подолу. Распоред ограничена функцијаМомци, обидете се сами да го нацртате.

Тема: Својства на функциите: интервали на зголемување и намалување; најголем и најмала вредност; екстремни точки (локален максимум и минимум), конвексност на функцијата.

Интервали на зголемување и намалување.

Врз основа на доволни услови (знаци) за зголемување и намалување на функцијата, се наоѓаат интервали на зголемување и намалување на функцијата.

Еве ги формулациите на знаците за зголемување и намалување на функциите во интервал:

· ако изводот на функцијата y=f(x)позитивно за секого xод интервалот X, тогаш функцијата се зголемува за X;

· ако изводот на функцијата y=f(x)негативно за никого xод интервалот X, тогаш функцијата се намалува за X.

Така, за да се одредат интервалите на зголемување и намалување на функцијата, потребно е:

· да го пронајде доменот на дефинирање на функцијата;

· да го најде изводот на функцијата;

· решава неравенки од доменот на дефиниција;