Наоѓање на најмалата вредност на функција на отсечка. Како да се најдат најголемите и најмалите вредности на функцијата во ограничен затворен регион? Најголема и најмала вредност на функција

Често во физиката и математиката треба да најдете најмала вредностфункции. Сега ќе ви кажеме како да го направите ова.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата: инструкции

1. Да се ​​пресмета најмалата вредност континуирана функцијаза овој сегмент, треба да го следите овој алгоритам:
2. Најдете го изводот на функцијата.
3. Најдете на даден сегмент точките во кои изводот е еднаков на нула, како и сите критични точки. Потоа дознајте ги вредностите на функцијата во овие точки, односно решете ја равенката каде што x е еднаква на нула. Откријте која вредност е најмала.
4. Определи каква вредност има функцијата крајните точки. Одреди ја најмалата вредност на функцијата во овие точки.
5. Споредете ги добиените податоци со најниската вредност. Помалиот од добиените броеви ќе биде најмалата вредност на функцијата.

Забележете дека ако функција на сегмент нема најмалите поени, тоа значи дека во даден сегмент се зголемува или намалува. Затоа, најмалата вредност треба да се пресмета на конечните сегменти на функцијата.

Во сите други случаи, вредноста на функцијата се пресметува според наведениот алгоритам. Во секоја точка од алгоритмот ќе треба да решите едноставна линеарна равенкасо еден корен. Решете ја равенката користејќи слика за да избегнете грешки.

Како да се најде најмалата вредност на функцијата на полуотворен сегмент? На полуотворен или отворен период на функцијата, треба да се најде најмалата вредност на следниот начин. На крајните точки од вредноста на функцијата, пресметајте ја едностраната граница на функцијата. Со други зборови, решете ја равенката во која тендерските точки се дадени со вредностите a+0 и b+0, каде што a и b се имињата критични точки.

Сега знаете како да ја пронајдете најмалата вредност на функцијата. Главната работа е да ги направите сите пресметки правилно, точно и без грешки.

Во оваа статија ќе зборувам за тоа како да се примени вештината на пронаоѓање во проучувањето на функцијата: да се најде нејзината најголема или најмала вредност. И тогаш ќе решиме неколку проблеми од Задача Б15 од Отворена банказадачи за.

Како и обично, прво да се потсетиме на теоријата.

На почетокот на секое проучување на функцијата, ја наоѓаме

За да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на функцијата, треба да испитате во кои интервали функцијата се зголемува и на кои се намалува.

За да го направиме ова, треба да го најдеме изводот на функцијата и да ги испитаме неговите интервали на константен знак, односно интервалите преку кои изводот го задржува својот знак.

Интервали во кои изводот на функцијата е позитивен се интервали на растечка функција.

Интервали на кои изводот на функцијата е негативен се интервали на опаѓачка функција.

1 . Да ја решиме задачата Б15 (бр. 245184)

За да го решиме, ќе го следиме следниот алгоритам:

а) Најдете го доменот на дефинирање на функцијата

б) Да го најдеме изводот на функцијата.

в) Да го изедначиме со нула.

г) Да ги најдеме интервалите на постојан знак на функцијата.

д) Најдете ја точката во која зазема функцијата највисока вредност.

ѓ) Најдете ја вредноста на функцијата во оваа точка.

Деталното решение на оваа задача го објаснувам во ВИДЕО УПАТСТВОТО:

Вашиот прелистувач веројатно не е поддржан. За да го користите тренерот " Час за унифициран државен испит“, обидете се да преземете
Firefox

2. Да ја решиме задачата Б15 (бр. 282862)

Најдете ја најголемата вредност на функцијата на сегментот

Очигледно е дека функцијата ја зема најголемата вредност на отсечката во максималната точка, на x=2. Ајде да ја најдеме вредноста на функцијата во оваа точка:

Одговор: 5

3. Да ја решиме задачата Б15 (бр. 245180):

Најдете ја најголемата вредност на функцијата

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Бидејќи според доменот на дефиниција на оригиналната функција title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. броител еднаква на нулаво . Ајде да провериме дали припаѓа ODZ функции. За да го направите ова, да провериме дали условот title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

тоа значи дека точката припаѓа на функцијата ODZ

Ајде да го испитаме знакот на дериватот десно и лево од точката:

Гледаме дека функцијата ја зема својата најголема вредност во точката. Сега да ја најдеме вредноста на функцијата на:

Забелешка 1. Забележете дека во овој проблем не го најдовме доменот на дефиниција на функцијата: само ги поправивме ограничувањата и проверивме дали точката во која изводот е еднаков на нула припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата. Се покажа дека ова е доволно за оваа задача. Сепак, тоа не е секогаш случај. Зависи од задачата.

Забелешка 2. При проучување на однесувањето комплексна функцијаможете да го користите ова правило:

• ако надворешната функција на сложена функција се зголемува, тогаш функцијата ја зема својата најголема вредност во истата точка во која внатрешна функцијазема најголема вредност. Ова произлегува од дефиницијата за растечка функција: функцијата се зголемува на интервалот I ако поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.
• ако надворешната функција на сложена функција се намалува, тогаш функцијата ја зема својата најголема вредност во истата точка во која внатрешната функција ја зема својата најмала вредност . Ова произлегува од дефиницијата за опаѓачка функција: функцијата се намалува на интервалот I ако поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата

Во нашиот пример, надворешната функција се зголемува низ целиот домен на дефиниција. Под знакот на логаритам има израз - квадратен трином, кој со негативен водечки коефициент ја зема најголемата вредност во точката . Следно, ја заменуваме оваа x вредност во равенката на функцијата и да ја најде нејзината најголема вредност.

Стандардниот алгоритам за решавање на вакви проблеми вклучува, по наоѓање на нулите на функцијата, одредување на знаците на изводот на интервалите. Потоа пресметување на вредностите на пронајдените максимални (или минимални) точки и на границата на интервалот, во зависност од тоа кое прашање е во состојбата.

Ве советувам да ги правите работите малку поинаку. Зошто? Напишав за ова.

Предлагам да ги решам ваквите проблеми на следниов начин:

1. Најдете го изводот.
2. Најдете ги нулите на изводот.
3. Определи кои од нив припаѓаат овој интервал.
4. Ги пресметуваме вредностите на функцијата на границите на интервалот и точките од чекор 3.
5. Извлекуваме заклучок (одговорете на поставеното прашање).

При решавањето на презентираните примери, решението не беше детално разгледано квадратни равенки, мора да можете да го направите ова. Тие исто така треба да знаат.

Ајде да погледнеме примери:

77422. Најдете ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 –3x+4 на отсечката [–2;0].

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = –1 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките –2, –1 и 0:

Најголемата вредност на функцијата е 6.

Одговор: 6

77425. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 3x 2 + 2 на отсечката.

Ајде да го најдеме дериватот дадена функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = 2 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките 1, 2 и 4:

Најмалата вредност на функцијата е –2.

Одговор: -2

77426. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Интервалот наведен во условот ја содржи точката x = 0.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките -3, 0 и 3:

Најмалата вредност на функцијата е 0.

Одговор: 0

77429. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 2x 2 + x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Ги добиваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалот наведен во условот содржи само x = 1.

Ајде да ги најдеме вредностите на функцијата во точките 1 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77430. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 + 2x 2 + x + 3 на отсечката [– 4; -1].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = –1.

Ги наоѓаме вредностите на функцијата во точките –4, –1, –1/3 и 1:

Откривме дека најголемата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77433. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – x 2 – 40x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = 4.

Најдете ги вредностите на функциите во точките 0 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е –109.

Одговор: –109

Ајде да разгледаме начин да ги одредиме најголемите и најмалите вредности на функции без дериват. Овој пристап може да се користи доколку имате големи проблеми. Принципот е едноставен - ги заменуваме сите цели броеви од интервалот во функцијата (факт е дека во сите такви прототипови одговорот е цел број).

77437. Најди ја најмалата вредност на функцијата y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заменски поени од –2 до 2: Погледнете го решението

77434. Најди ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Тоа е се. Со среќа!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Изјава за проблемот 2:

Дадена е функција која е дефинирана и континуирана на одреден интервал. Треба да ја пронајдете најголемата (најмалата) вредност на функцијата на овој интервал.

Теоретска основа.
Теорема (втора теорема на Вајерштрас):

Ако функцијата е дефинирана и континуирана во затворен интервал, тогаш таа ги достигнува своите максимални и минимални вредности во овој интервал.

Функцијата може да ги достигне своите најголеми и најмали вредности или со внатрешни точкијаз или на нејзините граници. Ајде да ги илустрираме сите можни опции.

Објаснување:
1) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност на левата граница на интервалот во точката, а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
2) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
3) Функцијата ја достигнува својата максимална вредност на левата граница на интервалот во точката , и нејзината минимална вредност во точката (ова е минималната точка).
4) Функцијата е константна на интервалот, т.е. ги достигнува своите минимални и максимални вредности во која било точка од интервалот, а минималните и максималните вредности се еднакви една со друга.
5) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката , а нејзината минимална вредност во точката (и покрај фактот што функцијата има и максимум и минимум на овој интервал).
6) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точка (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност во точка (ова е минималната точка).
Коментар:

„Максималната“ и „максималната вредност“ се различни работи. Ова произлегува од дефиницијата за максимум и интуитивното разбирање на фразата „максимална вредност“.

Алгоритам за решавање на проблем 2.



4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Пример 4:

Да се ​​определи најголемата и најмалата вредност на функцијата на сегментот.
Решение:
1) Најдете го изводот на функцијата.

2) Најдете стационарни точки (и точки сомнителни за екстремни) со решавање на равенката. Обрнете внимание на точките во кои нема двостран конечен извод.

3) Пресметајте ги вредностите на функцијата во стационарни точки и на границите на интервалот.

4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата најголема вредност во точката со координати.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата минимална вредност во точката со координати.

Можете да ја потврдите исправноста на пресметките со гледање на графикот на функцијата што се проучува.


Коментар:Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во максималната точка, а својот минимум на границата на сегментот.

Посебен случај.

Да претпоставиме дека треба да го најдеме максимумот и минимална вредностнекоја функција на интервал. По завршувањето на првата точка од алгоритмот, т.е. пресметка на дериват, станува јасно дека, на пример, потребно е само негативни вредностиво текот на целиот разгледуван сегмент. Запомнете дека ако изводот е негативен, тогаш функцијата се намалува. Откривме дека функцијата се намалува во текот на целиот сегмент. Оваа ситуација е прикажана во графиконот бр. 1 на почетокот на статијата.

Функцијата се намалува на сегментот, т.е. нема екстремни поени. Од сликата можете да видите дека функцијата ќе ја земе најмалата вредност на десната граница на сегментот, а најголемата вредност на левата страна. ако дериватот на сегментот е насекаде позитивен, тогаш функцијата се зголемува. Најмалата вредност е на левата граница на сегментот, најголемата е на десната страна.

Во пракса, доста е вообичаено да се користи изводот за да се пресмета најголемата и најмалата вредност на функцијата. Оваа акција ја извршуваме кога ќе сфатиме како да ги минимизираме трошоците, да го зголемиме профитот, да го пресметаме оптималното оптоварување на производството итн., односно во случаи кога треба да ја одредиме оптималната вредност на параметарот. За правилно да ги решите ваквите проблеми, треба добро да разберете кои се најголемите и најмалите вредности на функцијата.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вообичаено, ние ги дефинираме овие вредности во одреден интервал x, што пак може да одговара на целиот домен на функцијата или дел од неа. Може да биде како сегмент [a; b ] , и отворен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), бесконечен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) или бесконечен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Во овој материјал ќе ви кажеме како да ги пресметате најголемите и најмалите вредности на експлицитно дефинирана функција со една променлива y=f(x) y = f (x) .

Основни дефиниции

Да почнеме, како и секогаш, со формулирањето на основните дефиниции.

Дефиниција 1

Најголемата вредност на функцијата y = f (x) на одреден интервал x е вредноста m a x y = f (x 0) x ∈ X, што за која било вредност x x ∈ X, x ≠ x 0 ја прави неравенката f (x) ≤ f (x) важи 0) .

Дефиниција 2

Најмалата вредност на функцијата y = f (x) на одреден интервал x е вредноста m i n x ∈ X y = f (x 0) , која за која било вредност x ∈ X, x ≠ x 0 ја прави неравенката f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Овие дефиниции се сосема очигледни. Уште поедноставно, можеме да го кажеме ова: најголемата вредност на функцијата е нејзината најголема големо значењена познат интервал на апсциса x 0, а најмалата е најмалата прифатена вредност на истиот интервал на x 0.

Дефиниција 3

Стационарни точки се оние вредности на аргументот на функцијата при која нејзиниот извод станува 0.

Зошто треба да знаеме што се стационарни точки? За да одговориме на ова прашање, треба да се потсетиме на теоремата на Ферма. Од него произлегува дека стационарна точка е точката во која се наоѓа екстремот на диференцијабилната функција (т.е. нејзиниот локален минимум или максимум). Следствено, функцијата ќе ја земе најмалата или најголемата вредност на одреден интервал токму во една од неподвижните точки.

Функцијата може да ја земе и најголемата или најмалата вредност во оние точки во кои самата функција е дефинирана и нејзиниот прв извод не постои.

Првото прашање што се поставува при проучувањето на оваа тема: дали во сите случаи можеме да ја одредиме најголемата или најмалата вредност на функцијата на даден интервал? Не, не можеме да го направиме ова кога границите на даден интервал се совпаѓаат со границите на областа за дефиниција или ако имаме работа со бесконечен интервал. Исто така се случува функцијата во дадена отсечка или во бесконечност да потрае бескрајно мала или бесконечно големи вредности. Во овие случаи, не е можно да се одреди најголемата и/или најмалата вредност.

Овие точки ќе станат појасни откако ќе бидат прикажани на графиконите:

Првата слика ни покажува функција која ги зема најголемите и најмалите вредности (m a x y и m i n y) во стационарни точки лоцирани на сегментот [-6; 6].

Да го испитаме детално случајот наведен во вториот графикон. Да ја смениме вредноста на сегментот во [ 1 ; 6 ] и наоѓаме дека најголемата вредност на функцијата ќе се постигне во точката со апсциса на десната граница на интервалот, а најмалата на стационарна точка.

На третата слика, апсцисите на точките ги претставуваат граничните точки на отсечката [-3; 2]. Тие одговараат на најголемата и најмалата вредност на дадена функција.

Сега да ја погледнеме четвртата слика. Во него, функцијата зема m a x y (најголемата вредност) и m i n y (најмалата вредност) во стационарни точки на отворен интервал (- 6 ; 6) .

Ако го земеме интервалот [1; 6), тогаш можеме да кажеме дека најмалата вредност на функцијата на неа ќе се постигне во неподвижна точка. Најголемата вредност ќе ни биде непозната. Функцијата може да ја земе својата максимална вредност на x еднаква на 6 ако x = 6 припаѓа на интервалот. Токму тоа е случајот прикажан на графиконот 5.

На графиконот 6 најниската вредност оваа функцијасе стекнува на десната граница на интервалот (- 3; 2 ], и не можеме да извлечеме дефинитивни заклучоци за најголемата вредност.

На слика 7 гледаме дека функцијата ќе има m a x y во стационарна точка со апсциса еднаква на 1. Функцијата ќе ја достигне својата минимална вредност на границата на интервалот c десна страна. Во минус бесконечност, вредностите на функциите асимптотички ќе се приближат до y = 3.

Ако го земеме интервалот x ∈ 2 ; + ∞ , тогаш ќе видиме дека дадената функција нема да ја земе ниту најмалата ниту најголемата вредност на неа. Ако x се стреми кон 2, тогаш вредностите на функцијата ќе имаат тенденција на минус бесконечност, бидејќи правата линија x = 2 е вертикална асимптота. Ако апсцисата се стреми кон плус бесконечност, тогаш вредностите на функцијата асимптотички ќе се приближат до y = 3. Ова е токму случајот прикажан на Слика 8.

Во овој пасус ќе ја претставиме низата дејства што треба да се извршат за да се најде најголемата или најмалата вредност на функцијата на одреден сегмент.

1. Прво, да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата. Ајде да провериме дали сегментот наведен во условот е вклучен во него.
2. Сега да ги пресметаме точките содржани во овој сегмент во кои првиот извод не постои. Најчесто тие можат да се најдат во функции чиј аргумент е запишан под знакот за модул или во функции за напојување, чиј експонент е фракционо рационален број.
3. Следно, ајде да откриеме во кои стационарни точки спаѓаат даден сегмент. За да го направите ова, треба да го пресметате изводот на функцијата, потоа да го изедначите со 0 и да ја решите добиената равенка, а потоа да ги изберете соодветните корени. Ако не добиеме ниту една неподвижна точка или тие не спаѓаат во дадениот сегмент, тогаш преминуваме на следниот чекор.
4. Ние одредуваме кои вредности ќе ги земе функцијата во дадени стационарни точки (ако има), или во оние точки во кои првиот извод не постои (ако ги има), или ги пресметуваме вредностите за x = a и x = b.
5. 5. Имаме голем број на вредности на функции, од кои сега треба да ги избереме најголемите и најмалите. Ова ќе бидат најголемите и најмалите вредности на функцијата што треба да ги најдеме.

Ајде да видиме како правилно да го примениме овој алгоритам при решавање на проблеми.

Пример 1

Состојба:дадена е функцијата y = x 3 + 4 x 2. Определете ги неговите најголеми и најмали вредности на сегментите [1; 4] и [-4; - 1 ] .

Решение:

Да почнеме со наоѓање на доменот на дефиниција на дадена функција. Во овој случај, тоа ќе биде множество од сите реални броеви освен 0. Со други зборови, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Двата сегменти наведени во условот ќе бидат во областа за дефиниција.

Сега го пресметуваме изводот на функцијата според правилото за диференцијација на дропки:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Научивме дека изводот на функцијата ќе постои во сите точки на отсечките [1; 4] и [-4; - 1 ] .

Сега треба да ги одредиме неподвижните точки на функцијата. Ајде да го направиме ова користејќи ја равенката x 3 - 8 x 3 = 0. Тој има само еден вистински корен, еднакво на 2. Тоа ќе биде стационарна точка на функцијата и ќе падне во првиот сегмент [1; 4 ] .

Дозволете ни да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на првиот сегмент и во овој момент, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Откривме дека најголемата вредност на функцијата m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 ќе се постигне при x = 1, а најмалиот m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - на x = 2.

Вториот сегмент не вклучува една стационарна точка, така што треба да ги пресметаме вредностите на функциите само на краевите на дадениот сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ова значи m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Одговор:За сегментот [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, за сегментот [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Погледнете ја сликата:

Пред да учите овој метод, ве советуваме да прегледате како правилно да ја пресметате едностраната граница и границата на бесконечност, како и да ги научите основните методи за нивно наоѓање. За да ја пронајдете најголемата и/или најмалата вредност на функцијата на отворен или бесконечен интервал, изведете ги следните чекори последователно.

1. Прво треба да проверите дали дадениот интервал е подмножество од доменот на дефиниција на оваа функција.
2. Да ги одредиме сите точки што се содржани во потребниот интервал и на кои првиот извод не постои. Тие обично се јавуваат во функции каде што аргументот е затворен во знакот на модулот и во функциите на моќност со фракционо рационален индикатор. Ако недостасуваат овие точки, тогаш можете да продолжите на следниот чекор.
3. Сега да одредиме кои стационарни точки ќе спаѓаат во дадениот интервал. Прво, го изедначуваме изводот со 0, ја решаваме равенката и избираме соодветни корени. Ако немаме ниту една стационарна точка или тие не спаѓаат во наведениот интервал, тогаш веднаш продолжуваме со понатамошни дејства. Тие се одредуваат според типот на интервалот.

• Ако интервалот е од формата [a; б) , тогаш треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во точката x = a и еднострана ограничување лим x → b - 0 f (x) .
• Ако интервалот има форма (a; b ], тогаш треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во точката x = b и едностраната граница lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалот има форма (a; b), тогаш треба да ги пресметаме едностраните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалот е од формата [a; + ∞), тогаш треба да ја пресметаме вредноста во точката x = a и границата на плус бесконечност lim x → + ∞ f (x) .
• Ако интервалот изгледа како (- ∞ ; b ] , ја пресметуваме вредноста во точката x = b и границата на минус бесконечност lim x → - ∞ f (x) .
• Ако - ∞ ; b , тогаш ја разгледуваме едностраната граница lim x → b - 0 f (x) и границата на минус бесконечност lim x → - ∞ f (x)
• Ако - ∞; + ∞ , тогаш ги разгледуваме границите на минус и плус бесконечност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. На крајот, треба да извлечете заклучок врз основа на добиените вредности и граници на функцијата. Постојат многу опции достапни овде. Значи, ако едностраната граница е еднаква на минус бесконечност или плус бесконечност, тогаш веднаш е јасно дека ништо не може да се каже за најмалите и најголемите вредности на функцијата. Подолу ќе разгледаме еден типичен пример. Детални описиќе ви помогне да разберете што е што. Доколку е потребно, можете да се вратите на сликите 4 - 8 во првиот дел од материјалот.

Пример 2

Услов: дадена функција y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Пресметај ја неговата најголема и најмала вредност во интервалите - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; + ∞).

Решение

Најпрво го наоѓаме доменот на дефинирање на функцијата. Именителот на дропката содржи квадратен трином, кој не треба да се претвори во 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Го добивме доменот на дефиниција на функцијата на која припаѓаат сите интервали наведени во условот.

Сега да ја разликуваме функцијата и да добиеме:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6" = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следствено, дериватите на функцијата постојат низ целиот нејзин домен на дефиниција.

Ајде да продолжиме со наоѓање стационарни точки. Изводот на функцијата станува 0 при x = - 1 2 . Ова е стационарна точка која лежи во интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Да ја пресметаме вредноста на функцијата на x = - 4 за интервалот (- ∞ ; - 4 ], како и границата на минус бесконечност:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Бидејќи 3 e 1 6 - 4 > - 1, тоа значи дека m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ова не ни дозволува единствено да ја одредиме најмалата вредност на Можеме само да заклучиме дека постои ограничување под - 1, бидејќи до оваа вредност функцијата се приближува асимптотички во минус бесконечност.

Особеноста на вториот интервал е што во неа нема ниту една стационарна точка и ниту една строга граница. Следствено, нема да можеме да ја пресметаме ниту најголемата ниту најмалата вредност на функцијата. Откако ја дефиниравме границата на минус бесконечност и како што аргументот се стреми кон - 3 на левата страна, добиваме само интервал на вредности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ова значи дека вредностите на функциите ќе бидат лоцирани во интервалот - 1; +∞

За да ја најдеме најголемата вредност на функцијата во третиот интервал, ја одредуваме нејзината вредност во стационарната точка x = - 1 2 ако x = 1. Ќе треба да ја знаеме и едностраната граница за случајот кога аргументот се стреми кон - 3 на десната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Се покажа дека функцијата ќе ја земе најголемата вредност во стационарна точка m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Што се однесува до најмалата вредност, не можеме да ја одредиме. Сè што знаеме , е присуството на долна граница до - 4 .

За интервалот (- 3 ; 2), земете ги резултатите од претходната пресметка и уште еднаш пресметајте колку е еднаква на едностраната граница кога се стреми кон 2 на левата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ова значи дека m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, а најмалата вредност не може да се одреди, а вредностите на функцијата се ограничени одоздола со бројот - 4 .

Врз основа на она што го добивме во двете претходни пресметки, можеме да кажеме дека на интервалот [1; 2) функцијата ќе ја земе најголемата вредност на x = 1, но невозможно е да се најде најмалата.

На интервалот (2 ; + ∞) функцијата нема да ја достигне ниту најголемата ниту најмалата вредност, т.е. ќе земе вредности од интервалот - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Откако пресметавме колку вредноста на функцијата ќе биде еднаква на x = 4, дознаваме дека m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , а дадената функција на плус бесконечност асимптотички ќе се приближи до правата y = - 1 .

Да споредиме што добивме во секоја пресметка со графикот на дадената функција. На сликата, асимптотите се прикажани со точки.

Тоа е сè што сакавме да ви кажеме за наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата. Секвенците на дејства што ги дадовме ќе ви помогнат да ги направите потребните пресметки што е можно побрзо и едноставно. Но запомнете дека често е корисно прво да дознаете во кои интервали функцијата ќе се намалува и во кои ќе се зголемува, по што можете да извлечете дополнителни заклучоци. На овој начин можете попрецизно да ги одредите најголемите и најмалите вредности на функцијата и да ги оправдате добиените резултати.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter