Диференцијацијата е пресметка на изводот.
1. Формули за диференцијација.
Главните формули за диференцијација се во табелата. Тие не мора да се запаметат. Откако разбравте некои обрасци, ќе можете самостојно да изведете други од некои формули.
1) Да почнеме со формулата (к x+ m)′ = k.
Нејзини посебни случаи се формулите x′ = 1 и C′ = 0.
Во која било функција од формата y = kx + m, изводот е еднаков на наклонк.
На пример, дадена е функцијата y = 2 X+ 4. Неговиот дериват во која било точка ќе биде еднаков на 2:
(2 x + 4)′ = 2 .
Извод на функција на = 9 X+ 5 во која било точка е еднаква на 9 . итн.
Да го најдеме изводот на функцијата y = 5 X. За да го направите ова, да замислиме 5 Xво форма (5 X+ 0). Добивме израз сличен на претходниот. Значи:
(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.
Конечно, ајде да дознаеме на што е еднакво x′.
Да ја примениме техниката од претходниот пример: замислете Xкако 1 X+ 0. Тогаш добиваме:
x′ = (1 X+ 0)′ = 1.
Така, независно ја изведевме формулата од табелата:
(0 · x+ m)′ = 0.
Но, тогаш излегува дека m′ е исто така еднакво на 0. Нека m = C, каде што C е произволна константа. Потоа доаѓаме до друга вистина: изводот на константата е еднаков на нула. Тоа е, добиваме друга формула од табелата.
Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успех полагање на Единствен државен испитпо математика за 60-65 поени. Целосно сите проблеми 1-13 Профил унифициран државен испитматематика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!
Подготвен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.
Сите неопходна теорија. Брзи начинирешенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.
Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.
Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборовии теоријата на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Визуелно објаснување сложени концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решение сложени задачи 2 дела од Единствениот државен испит.
Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми што ви се потребни успешно завршувањеУнифициран државен испит по математика за 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!
Подготвен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.
Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.
Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.
Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.
Табела со деривати елементарни функции
Дефиниција 1
Пресметката на изводот се нарекува диференцијација.
Означете го изводот $y"$ или $\frac(dy)(dx)$.
Забелешка 1
За да се најде изводот на функцијата, според основните правила на диференцијација, тој се трансформира во друга функција.
Да ја погледнеме табелата со деривати. Да обрнеме внимание на фактот дека функциите, откако ќе ги најдат нивните деривати, се трансформираат во други функции.
Единствен исклучок е $y=e^x$, кој се претвора во себе.
Правила за диференцијација на деривати
Најчесто, кога наоѓате извод, не треба само да ја погледнете табелата со деривати, туку прво да ги примените правилата за диференцијација и докажување на дериватот на производот и дури потоа да ја користите табелата со деривати на елементарни функции.
1. Константата се вади од дериватниот знак
$C$ е константа.
Пример 1
Диференцирајте ја функцијата $y=7x^4$.
Решение.
Најдете $y"=(7x^4)"$. Земајќи го бројот $7$ од знакот за извод, добиваме:
$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$
Користејќи ја табелата, треба да ја пронајдете вредноста на дериватот на функцијата моќност:
$=7 \cdot 4x^3=$
Ајде да го трансформираме резултатот во формата прифатена во математиката:
Одговор:$28x^3$.
2. Изводот на збирот (разликата) е еднаков на збирот (разликата) на изводите:
$(u \pm v)"=u" \pm v"$.
Пример 2
Диференцирајте ја функцијата $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.
Решение.
$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$
Го применуваме правилото за диференцијација на изводниот збир и разлика:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\количка x)"=$
имајте предвид дека при диференцирање, сите сили и корени мора да се трансформираат во формата $x^(\frac(a)(b))$;
Да ги извадиме сите константи од дериватниот знак:
$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\количка x)"=$
$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$
Откако ги разбраа правилата за диференцијација, некои од нив (на пример, како последните две) се применуваат истовремено за да се избегне препишување на долг израз;
добивме израз од елементарни функции под дериватниот знак; Ајде да ја користиме табелата со деривати:
$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$
Ајде да го трансформираме во формата прифатена во математиката:
$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $
Ве молиме имајте предвид дека при наоѓање на резултатот, условите со дробни моќисе претвораат во корени, а со негативни - во фракции.
Одговори: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x ) $.
3. Формула за изводот на производот на функции:
$(uv)"=u" v+uv"$.
Пример 3
Диференцирајте ја функцијата $y=x^(11) \ln x$.
Решение.
Прво, го применуваме правилото за пресметување на изводот на производ на функции, а потоа ја користиме табелата со деривати:
$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lnтx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdot \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.
Одговори: $x^(10) (11 \ln x-1)$.
4. Формула за извод на делумна функција:
$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.
Пример 4
Диференцирајте ја функцијата $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.
Решение.
$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$
според правилата за приоритет математички операцииПрво вршиме делење, а потоа собирање и одземање, па прво го применуваме правилото за пресметување на изводот на количник:
$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$
Да ги примениме правилата за изводи на збир и разлика, да ги отвориме заградите и да го поедноставиме изразот:
$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .
Одговор:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.
Пример 5
Да ја диференцираме функцијата $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.
Решение.
Функцијата y е количник на две функции, така што можете да го примените правилото за пресметување на изводот на количникот, но во овој случај ќе добиете гломазна функција. За да ја поедноставите оваа функција, можете да го поделите броителот со именителот член по член:
$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.
Да го примениме правилото за диференцирање на збирот и разликата на функциите на поедноставена функција:
$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdot (-x^(-2))=$
$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.
Одговори: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.