Да го претставиме системот на равенки (1.1) во форма
Постојат голем број на шеми за методи на елиминација прилагодени за рачно или машинско пресметување на матрици од општи или посебни типови.
Гаусовиот метод може да се толкува како метод во кој матрицата првично се сведува на горна триаголна форма (поместување напред), а потоа на единична форма (обратно движење). Очигледно, ако матрицата е идентитет, тогаш x т = b r
Затоа, матрицата на системот (1.3) нека биде горната триаголна форма а тј= 0 во i>j,односно сите елементи под главната дијагонала се нула. Потоа од последната равенка веднаш одредуваме x стр.Замена x nво претпоследната равенка, наоѓаме x a_ x итн. Општите формули имаат форма
На к > јасшансите а с = 0.
Да ја намалиме матрицата на системот (1.3) на горна триаголна. Од втората равенка на системот (1.3) да ја одземеме првата, помножена со број така што коефициентот на x xќе оди на нула. Да го сториме истото со сите други равенки. Како резултат на тоа, сите коефициенти на првата колона што лежат под главната дијагонала ќе одат на нула. Потоа, користејќи ја втората равенка, ги претвораме соодветните коефициенти на втората колона на нула. Доследно продолжувајќи го овој процес, ја намалуваме системската матрица на горната триаголна форма.
Да ги запишеме општите формули на методот Гаус. Нека се елиминираат коефициентите од (А - 1) колона. Потоа ќе има равенки со не-нула елементи под главната дијагонала:
Ајде да се множиме kthлинија до број со tk = t > kи одзема
од mth линијата. Првиот ненулти елемент од оваа линија ќе стане нула, а остатокот ќе се менува според формулите
Откако извршивме пресметки користејќи ги овие формули за сите наведени индекси, ги претвораме елементите на нула к-роколони под главната дијагонала. Слична постапка ја намалува матрицата на системот до горната триаголна форма, а целиот процес на редукција се нарекува ДИРЕКТЕН ПРОЦЕС НА ГАЗОВ МЕТОД. Пресметката на непознати со помош на формулите (1.4) се нарекува ОБРАТЕН метод.
Обратно движење може да се направи поинаку ако сите коефициенти што лежат над главната дијагонала се свртени на нула. На пример, елементи Под колоната станува нула ако ej^| се множи со (-a^V ax t = b | 2l), каде b^n)- коефициенти на десната страна на i-тата равенка по наведените трансформации.
На некој чекор напред, може да испадне дека коефициентот aj*" * 0, но е мал во споредба со другите елементи на системската матрица и, особено, мал во споредба со елементите од првата колона. Поделувајќи ги системските коефициенти со мала вредност може да доведе до значителни грешки во заокружувањето.
За да ги намалите грешките во заокружувањето, постапете на следниов начин. Меѓу елементите на првата колона А^ од секоја средна матрица, изберете го најголемиот елемент на модулот (главниот) и со преуредување на i-тиот ред со редот што го содржи главниот елемент, осигурајте се дека главниот елемент станува водечки. Оваа модификација на Гаусовиот метод на елиминација се нарекува Гаусовиот метод со избор на главен елемент. Случајот со појава на нула елементи се избегнува сам по себе.
За да се имплементира методот, потребно е приближно П 3/3 операции како множење и П 3/3 операции како собирање. Корисно е да се запамети дека проценката на бројот на операции се определува главно од операциите потрошени во извршувањето на напредниот удар на Гаусовиот метод. Спротивното на Гаусовиот метод бара приближно n 2операции. Затоа, ако треба да решите неколку системи на линеарни алгебарски равенки на формата Секира = бсо иста матрица и различни десни страни, потоа вкупниот број на операции при решавање Ссистемите ќе се оценуваат големина(2/3)p 3 + Sn 2 .Во овој случај, препорачливо е да се имплементира алгоритамот на Гаусовиот метод во форма на две потпрограми: првата потпрограма треба да ја спроведе напредната прогресија на алгоритмот и да добие горната триаголна матрица како излез, а втората потпрограма треба, користејќи ја добиената матрица , пресметајте го решението на системот за произволна десна страна.
(SLAE), кој се состои од равенки со непознати:
Се претпоставува дека постои единствено решение на системот, т.е.
Оваа статија ќе ги разгледа причините за грешката што се јавува при решавање на систем користејќи го методот Гаус, начини за идентификување и елиминирање (намалување) на оваа грешка.
Опис на методот
Процес на решавање на систем од линеарни равенки
според методот Гаус се состои од 2 фази:
1. Претпоставуваме дека . Потоа првата равенка на системот ја делиме со коефициентот и како резултат ја добиваме равенката. Потоа, од секоја од преостанатите равенки се одзема првата, помножена со соодветниот коефициент. Како резултат на тоа, системот се трансформира во форма: 2. Под претпоставка дека , втората равенка ја делиме со коефициентот и ја исклучуваме непознатата од сите наредни равенки итн. 3. Добиваме систем од равенки со триаголна матрица:- Обратен удар Директно определување на непознати
Анализа на методот
Овој метод спаѓа во класата на директни методи за решавање на систем од равенки, што значи дека во конечен број чекори може да се добие точно решение, под услов да се наведат влезните податоци (матрицата и десната страна на равенката - ) точно и пресметката се врши без заокружување. За да се добие решение, потребни се множење и делење, односно редоследот на операциите.
Условите под кои методот дава точно решение не се остварливи во пракса - и грешките во влезните податоци и грешките во заокружувањето се неизбежни. Тогаш се поставува прашањето: колку точно решение може да се добие со помош на методот Гаус, колку е точен методот? Дозволете ни да ја одредиме стабилноста на решението во однос на влезните параметри. Заедно со оригиналниот систем, земете го во предвид и нарушениот систем:
Нека се воведе некоја норма. - се нарекува условен број на матрицата.
Постојат 3 можни случаи:
Условниот број на матрицата е секогаш . Ако е голема (), тогаш се вели дека матрицата е лошо условена. Во овој случај, малите пореметувања на десните страни на системот, предизвикани или од неточност во наведувањето на првичните податоци, или предизвикани од грешки во пресметките, значително влијаат на решението на системот. Грубо кажано, ако грешката на десната страна е , тогаш грешката на решението ќе биде .
Добиените резултати да ги илустрираме со следниот нумерички пример: Даден е систем
Таа има решение.
Сега разгледајте го нарушениот систем:
Решението за таков систем ќе биде вектор.
Со многу мала пертурбација на десната страна, добивме несразмерно голема пертурбација на растворот. Оваа „несигурност“ на решението може да се објасни со фактот дека матрицата е речиси еднина: правите линии што одговараат на двете равенки речиси се совпаѓаат, како што може да се види на графиконот:
Овој резултат можеше да се предвиди поради лошата условеност на матрицата:
Пресметката е доста сложена, споредлива со решението на целиот систем, затоа, се користат погруби, но поедноставни методи за проценка на грешката.
Методи за проценка на грешки
1) Проверете ја сумата: обично се користи за спречување на случајни грешки во процесот на пресметување без помош на компјутери.Ние составуваме контролна колона која се состои од контролни елементи на системот:
При трансформација на равенките, на контролните елементи се вршат истите операции како и на слободните членови на равенките. Како резултат на тоа, контролниот елемент на секоја нова равенка мора да биде еднаков на збирот на коефициентите на оваа равенка. Големото несовпаѓање меѓу нив укажува на грешки во пресметките или нестабилност на пресметковниот алгоритам во однос на пресметковната грешка.
2) Релативна грешка на познато решение ви овозможува да добиете пресуда за грешката на одлуката без значителни дополнителни трошоци.
Одреден вектор е наведен со компоненти кои имаат, ако е можно, ист редослед и знак како и компонентите на саканото решение. Векторот се пресметува, а системот се решава заедно со оригиналниот систем на равенки.
Нека и бидат реално добиените решенија на овие системи. Пресудата за грешката на посакуваното решение може да се добие врз основа на хипотезата: релативните грешки при решавање на системи со иста матрица и различни десни страни, кои се соодветно количините и по методот на елиминација, не се разликуваат за многу голем број пати.
3) Менување на вагата - техника што се користи за да се добие идеја за вистинската големина на грешката што се јавува поради заокружување во пресметките.
Заедно со оригиналниот систем, системот се решава со истиот метод
, каде и се броевиАко немаше грешка во заокружувањето, тогаш еднаквоста ќе важи за решенијата на оригиналните и скалираните системи: . Затоа, за и, кои не се моќи на два, споредбата на вектори дава идеја за големината на пресметковната грешка
Подобрување на Гаусовиот метод на елиминација
Модификациите на Гаусовиот метод дискутирани подолу може да ја намалат грешката на резултатот.
Избор на главниот елемент
Главното зголемување на грешката во методот се јавува за време на движењето напред, кога водечкиот -ти ред се множи со коефициентите. Ако коефициентите се 1%20" alt=" >1 ">, тогаш грешките добиени во претходните чекори За да се избегне ова, се применува гаусова модификација на методот со избор на главниот елемент.На секој чекор, изборот на максималниот елемент по колона се додава на вообичаената шема како што следува:
Нека системот на равенки се добие со елиминирање на непознатите:
, .Ајде да најдеме нешто такво што ќе ги замениме нивоата -e и -e.
Во многу случаи, таквата трансформација значително ја намалува чувствителноста на решението на грешки во заокружувањето во пресметките.
Итеративно подобрување на резултатот
Ако постои сомневање дека добиеното решение е сериозно искривено, тогаш можете да го подобрите резултатот на следниов начин. Количината се нарекува остаток. Грешката го задоволува системот на равенки
.Решавајќи го овој систем, добиваме приближување и претпоставуваме
.Ако точноста на ова приближување е незадоволителна, тогаш ја повторуваме оваа операција.
Процесот може да се продолжи додека сите компоненти не се доволно мали. Во овој случај, не можете да ги запрете пресметките само затоа што сите компоненти на преостанатиот вектор станаа доволно мали: ова може да биде резултат на лошо условување на матрицата на коефициентите.
Нумерички пример
Размислете, на пример, 7x7 Vandermonde матрица и 2 различни десни страни:
Овие системи беа решени на два начина. Тип на податоци - плови. Како резултат, ги добивме следниве резултати:
| Редовен метод | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 0.999991 | 1 | 0.999996 | 1 |
| 1.00019 | 1 | 7.4774e-005 | 2.33e-008 |
| 0.998404 | 1 | 0.999375 | 1 |
| 1.00667 | 1 | 0.00263727 | 1.12e-006 |
| 0.985328 | 1 | 0.994149 | 1 |
| 1.01588 | 1 | 0.00637817 | 3.27e-006 |
| 0.993538 | 1 | 0.99739 | 1 |
| 0,045479 | 2.9826e-006 | 0,01818 | 8.8362e-006 |
| 0,006497 | 4.2608e-007 | 0,0045451 | 2.209e-006 |
| 0,040152 | 4.344e-005 | 0,083938 | 2.8654e-006 |
| Со избор на водечки елемент по линија | |||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | ||
| 1 | 2 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | -3,57628e-005 | 1.836e-007 |
| 1.00001 | 1 | 1.00031 | 1 |
| 0.999942 | 1 | -0.00133276 | 7.16е-006 |
| 1.00005 | 1 | 1.00302 | 0,99998 |
| 1.00009 | 1 | -0.0033505 | 1.8e-005 |
| 0.99991 | 1 | 1.00139 | 0,99999 |
| 0,000298 | 4.3835e-007 | 0,009439 | 5.0683e-005 |
| 4.2571e-005 | 6.2622e-008 | 0,0023542 | 1.2671e-005 |
| 0,010622 | 9.8016e-007 | 0,29402 | 1.4768e-006 |
Продолжуваме да ги разгледуваме системите на линеарни равенки. Оваа лекција е трета на оваа тема. Ако имате нејасна идеја за тоа што е воопшто систем на линеарни равенки, ако се чувствувате како чајник, тогаш препорачувам да започнете со основите на страницата Следно, корисно е да ја проучувате лекцијата.
Гаусовиот метод е лесен!Зошто? Познатиот германски математичар Јохан Карл Фридрих Гаус, за време на неговиот живот, го доби признанието како најголем математичар на сите времиња, гениј, па дури и прекарот „Крал на математиката“. И сè генијално, како што знаете, е едноставно!Патем, пари не добиваат само цицачите, туку и генијалците - портретот на Гаус беше на банкнотата од 10 германски марки (пред воведувањето на еврото), а Гаус сè уште мистериозно им се насмевнува на Германците од обичните поштенски марки.
Гаусовиот метод е едноставен по тоа што ЗНАЕЊЕТО НА УЧЕНИК ОД ПЕТО ОДДЕЛЕНИЕ Е ДОВОЛНО за да го совладате. Мора да знаете како да собирате и множите!Не случајно наставниците често го разгледуваат методот на последователно исклучување на непознати во изборните предмети по математика во училиштата. Тоа е парадокс, но на студентите им е најтежок Гаусовиот метод. Ништо изненадувачки - се работи за методологијата и ќе се обидам да зборувам за алгоритмот на методот во достапна форма.
Прво, да систематизираме малку знаење за системите на линеарни равенки. Систем од линеарни равенки може:
1) Имајте уникатно решение. 2) Имајте бесконечно многу решенија. 3) Немате решенија (бидете незаеднички).
Гаусовиот метод е најмоќната и универзална алатка за изнаоѓање решение било којсистеми на линеарни равенки. Како што се сеќаваме, Крамерово правило и метод на матрицасе несоодветни во случаи кога системот има бесконечно многу решенија или е неконзистентен. И методот на секвенцијална елиминација на непознати Како и да еќе не доведе до одговорот! Во оваа лекција, повторно ќе го разгледаме методот Гаус за случајот бр. 1 (единственото решение за системот), статија е посветена на ситуациите од точките бр. 2-3. Забележувам дека алгоритамот на самиот метод работи исто во сите три случаи.
Да се вратиме на наједноставниот систем од лекцијата Како да се реши систем од линеарни равенки?и да го решите со помош на Гаусовиот метод.
Првиот чекор е да се запише проширена системска матрица: . Мислам дека секој може да види по кој принцип се напишани коефициентите. Вертикалната линија во внатрешноста на матрицата нема никакво математичко значење - таа е едноставно пробив за леснотија на дизајнирање.
Референца : Ви препорачувам да запомните термини линеарна алгебра. Системска матрица е матрица составена само од коефициенти за непознати, во овој пример матрицата на системот: . Проширена системска матрица – ова е истата матрица на системот плус колона со слободни термини, во овој случај: . За краткост, која било од матриците може едноставно да се нарече матрица.
Откако ќе се напише проширената системска матрица, неопходно е да се извршат некои дејства со неа, кои се нарекуваат и елементарни трансформации.
Постојат следните елементарни трансформации:
1) Стринговиматрици Може преуредина некои места. На пример, во матрицата што се разгледува, можете безболно да ги преуредите првиот и вториот ред: 
2) Ако има (или се појавиле) пропорционални (како посебен случај - идентични) редови во матрицата, тогаш треба да избришиод матрицата сите овие редови освен еден. Размислете, на пример, матрицата 
. Во оваа матрица, последните три реда се пропорционални, па доволно е да оставите само еден од нив: 
.
3) Ако во матрицата се појави нулта ред за време на трансформациите, тогаш треба да биде избриши. Јас нема да цртам, се разбира, нултата линија е линијата во која сите нули.
4) Редот на матрицата може да биде множи (подели)на кој било број не-нула. Размислете, на пример, матрицата . Овде препорачливо е да се подели првата линија со -3, а втората да се помножи со 2: 
. Оваа акција е многу корисна бидејќи ги поедноставува понатамошните трансформации на матрицата.
5) Оваа трансформација предизвикува најмногу тешкотии, но всушност нема ништо комплицирано. До ред на матрица можеш додадете уште една низа помножена со број, различно од нула. Да ја погледнеме нашата матрица од практичен пример: . Прво ќе ја опишам трансформацијата во многу детали. Помножете ја првата линија со -2: 
, И на вториот ред ја додаваме првата линија помножена со –2: 
. Сега првата линија може да се подели „назад“ со –2: . Како што можете да видите, линијата што е ДОДАДЕНА ЛИ – не се промени. Секогашсе менува линијата КОЈА СЕ ДОДАВА UT.
Во пракса, се разбира, тие не го пишуваат толку детално, туку го пишуваат накратко: 
Уште еднаш: до втората линија ја додаде првата линија помножена со –2. Линијата обично се множи усно или на нацрт, при што процесот на ментална пресметка оди вака:
„Ја препишувам матрицата и ја препишувам првата линија: 
»
„Прва колона. На дното треба да добијам нула. Затоа, го помножувам оној од врвот со –2: , а првиот го додавам во вториот ред: 2 + (–2) = 0. Резултатот го пишувам во вториот ред: 
»
„Сега втората колона. На врвот, множам -1 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: 1 + 2 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: 
»
„И третата колона. На врвот множам -5 со -2: . Првиот го додавам во вториот ред: –7 + 10 = 3. Резултатот го пишувам во вториот ред: 
»
Ве молиме внимателно да го разберете овој пример и да го разберете алгоритмот за секвенцијална пресметка, ако го разбирате ова, тогаш Гаусовиот метод е практично во вашиот џеб. Но, се разбира, ние допрва ќе работиме на оваа трансформација.
Елементарните трансформации не го менуваат решението на системот на равенки
! ВНИМАНИЕ: сметани манипулации не може да се користи, ако ви се понуди задача каде што матриците се дадени „сами“. На пример, со „класична“ операции со матрициВо никој случај не треба да преуредите нешто во матриците! Да се вратиме на нашиот систем. Практично се зема на парчиња.
Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја намалиме на зачекорен поглед:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. И повторно: зошто го множиме првиот ред со –2? Со цел да се добие нула на дното, што значи да се ослободиме од една променлива во втората линија.
(2) Поделете ја втората линија со 3.
Целта на елементарните трансформации
–
намалете ја матрицата во форма на чекор: 
. Во дизајнот на задачата, тие само ги означуваат „скалите“ со едноставен молив, а исто така ги заокружуваат броевите што се наоѓаат на „чекорите“. Самиот термин „зачекорен поглед“ не е целосно теоретски; во научната и образовната литература често се нарекува трапезоиден погледили триаголен поглед.
Како резултат на елементарни трансформации, добивме еквиваленторигинален систем на равенки:
Сега системот треба да се „одвитка“ во спротивна насока - од дното кон врвот, овој процес се нарекува инверзна на Гаусовиот метод.
Во долната равенка веќе имаме готов резултат: .
Да ја разгледаме првата равенка на системот и да ја замениме веќе познатата вредност на „y“ во неа:
Да ја разгледаме најчестата ситуација, кога Гаусовиот метод бара решавање на систем од три линеарни равенки со три непознати.
Пример 1
Решете го системот на равенки користејќи го методот Гаус: 
Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот: 
Сега веднаш ќе го нацртам резултатот до кој ќе дојдеме за време на решението: 
И повторувам, нашата цел е да ја доведеме матрицата во чекор напред користејќи елементарни трансформации. Каде да се започне?
Прво, погледнете го горниот лев број: 
Речиси секогаш треба да биде тука единица. Општо земено, -1 (а понекогаш и други броеви) ќе го направат тоа, но некако традиционално се случувало еден обично да се става таму. Како да се организира единица? Ја гледаме првата колона - имаме завршена единица! Трансформација прва: заменете ја првата и третата линија: 
Сега првата линија ќе остане непроменета до крајот на решението. Сега добро.
Единицата во горниот лев агол е организирана. Сега треба да добиете нули на овие места: 
Добиваме нули користејќи „тешка“ трансформација. Прво се занимаваме со втората линија (2, –1, 3, 13). Што треба да се направи за да се добие нула на првата позиција? Мора да на вториот ред додадете го првиот ред помножен со –2. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –2: (–2, –4, 2, –18). И ние постојано вршиме (повторно ментално или на нацрт) дополнување, на вториот ред ја додаваме првата линија, веќе помножена со –2:
Резултатот го пишуваме во втората линија: 
Со третата линија се справуваме на ист начин (3, 2, -5, -1). За да добиете нула на првата позиција, ви треба на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. Ментално или на нацрт, помножете ја првата линија со –3: (–3, –6, 3, –27). И на третиот ред ја додаваме првата линија помножена со –3:
Резултатот го пишуваме во третиот ред:
Во пракса, овие дејства обично се изведуваат усно и се запишуваат во еден чекор: 
Нема потреба да броите сè одеднаш и во исто време. Редоследот на пресметките и „запишувањето“ на резултатите конзистентнаи обично е вака: прво го препишуваме првиот ред, и полека се дувнеме - ДОСЛЕДНО и ВНИМАТЕЛНО:
И јас веќе разговарав за менталниот процес на самите пресметки погоре.
Во овој пример, ова е лесно да се направи; ние ја делиме втората линија со –5 (бидејќи сите броеви таму се деливи со 5 без остаток). Во исто време, третата линија ја делиме со –2, бидејќи колку се помали броевите, толку е поедноставно решението:
Во последната фаза на елементарните трансформации, треба да добиете уште една нула овде: 
За ова на третата линија ја додаваме втората линија помножена со –2:
Обидете се сами да ја сфатите оваа акција - ментално помножете ја втората линија со –2 и изведете собирање.
Последното извршено дејство е фризурата на резултатот, поделете ја третата линија со 3.
Како резултат на елементарни трансформации, беше добиен еквивалентен систем на линеарни равенки: 
Кул.
Сега на сцена стапува обратното од Гаусовиот метод. Равенките се „одмотуваат“ од дното кон врвот.
Во третата равенка веќе имаме подготвен резултат:
Да ја погледнеме втората равенка: . Значењето на „зет“ е веќе познато, така што:
И конечно, првата равенка: . „Игрек“ и „зет“ се познати, се работи само за ситници:
Одговори: 
Како што веќе беше забележано неколку пати, за секој систем на равенки е можно и неопходно да се провери пронајденото решение, за среќа, тоа е лесно и брзо.
Пример 2
Ова е пример за независно решение, примерок од финалниот дизајн и одговор на крајот од лекцијата.
Треба да се напомене дека вашиот напредокот на одлукатаможеби не се совпаѓа со мојот процес на одлучување, а тоа е карактеристика на Гаусовиот метод. Но, одговорите мора да бидат исти!
Пример 3
Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус 
Го гледаме горниот лев „чекор“. Таму треба да имаме еден. Проблемот е што воопшто нема единици во првата колона, така што преуредувањето на редовите нема да реши ништо. Во такви случаи, единицата мора да се организира со помош на елементарна трансформација. Ова обично може да се направи на неколку начини. Го направив ова: (1) На првата линија ја додаваме втората линија, помножена со –1. Односно, ментално го помноживме вториот ред со –1 и ги додадовме првиот и вториот ред, додека вториот ред не се промени.
Сега горе лево има „минус еден“, што доста ни одговара. Секој што сака да добие +1 може да изврши дополнително движење: помножете ја првата линија со –1 (променете го неговиот знак).
(2) На вториот ред се додава првиот ред помножен со 5. На третиот ред се додава првиот ред помножен со 3.
(3) Првата линија беше помножена со –1, во принцип, ова е за убавина. Променет е и знакот на третата линија и тој е поместен на второто место, така што на вториот „скалило“ ја имаме потребната единица.
(4) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 2.
(5) Третата линија беше поделена со 3.
Лош знак што укажува на грешка во пресметките (поретко, печатна грешка) е „лоша“ крајна линија. Тоа е, ако добиеме нешто како , подолу, и, соодветно, 
, тогаш со висок степен на веројатност можеме да кажеме дека е направена грешка при елементарни трансформации.
Наплаќаме обратно, при дизајнирањето на примери тие често не го препишуваат самиот систем, туку равенките се „земени директно од дадената матрица“. Обратниот удар, ве потсетувам, работи од дното кон врвот. Да, еве подарок:
Одговори: 
.
Пример 4
Решете систем на линеарни равенки со помош на методот Гаус 
Ова ти е пример сам да го решиш, нешто е покомплицирано. Во ред е ако некој се збуни. Целосно решение и дизајн на примерок на крајот од лекцијата. Вашето решение може да се разликува од моето решение.
Во последниот дел ќе разгледаме некои карактеристики на Гаусовиот алгоритам. Првата карактеристика е дека понекогаш недостасуваат некои променливи во системските равенки, на пример: 
Како правилно да се напише проширената системска матрица? Веќе зборував за оваа точка на час. Правило на Крамер. Матричен метод. Во проширената матрица на системот, ставаме нули наместо променливите што недостасуваат: 
Патем, ова е прилично лесен пример, бидејќи првата колона веќе има една нула, а има помалку елементарни трансформации за извршување.
Втората карактеристика е ова. Во сите разгледани примери, ставивме или –1 или +1 на „чекорите“. Дали може да има други бројки таму? Во некои случаи можат. Размислете за системот: 
.
Овде на горниот лев „чекор“ имаме два. Но, го забележуваме фактот дека сите броеви во првата колона се деливи со 2 без остаток - а другиот е два и шест. И двајцата горе лево ќе ни одговараат! Во првиот чекор, треба да ги извршите следните трансформации: додадете ја првата линија помножена со –1 во втората линија; на третата линија додадете ја првата линија помножена со –3. На овој начин ќе ги добиеме бараните нули во првата колона.
Или друг конвенционален пример: 
. Тука ни одговараат и трите на вториот „чекор“, бидејќи 12 (местото каде што треба да добиеме нула) се дели со 3 без остаток. Неопходно е да се изврши следнава трансформација: додадете ја втората линија во третата линија, помножена со -4, како резултат на што ќе се добие нулата што ни треба.
Методот на Гаус е универзален, но има една особеност. Можете самоуверено да научите да решавате системи користејќи други методи (метод на Крамер, метод на матрица) буквално прв пат - тие имаат многу строг алгоритам. Но, за да се чувствувате сигурни во Гаусовиот метод, треба да „влезете во забите“ и да решите најмалку 5-10 десет системи. Затоа, на почетокот може да има забуна и грешки во пресметките, и нема ништо необично или трагично во ова.
Дождливо есенско време надвор од прозорецот.... Затоа, за секој што сака покомплексен пример што ќе го реши сам:
Пример 5
Решете систем од 4 линеарни равенки со четири непознати со помош на методот Гаус. 
Ваквата задача не е толку ретка во пракса. Мислам дека дури и чајник кој темелно ја проучувал оваа страница ќе го разбере алгоритмот за интуитивно решавање на таков систем. Во основа, сè е исто - има само повеќе акции.
Случаите кога системот нема решенија (неконзистентни) или има бесконечно многу решенија се дискутирани на лекцијата Некомпатибилни системи и системи со заедничко решение. Таму можете да го поправите разгледуваниот алгоритам на Гаусовиот метод.
Ти посакувам успех!
Решенија и одговори:
Пример 2:
Решение
:
Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма.
Извршени елементарни трансформации:
(1) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –1.
Внимание!
Овде може да бидете во искушение да го одземете првиот од третиот ред; топло препорачувам да не го одземате - ризикот од грешка значително се зголемува. Само преклопете го!
(2) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Вториот и третиот ред се заменети.
Забелешка
, дека на „скалите“ се задоволуваме не само со еден, туку и со –1, што е уште позгодно.
(3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 5.
(4) Знакот на вториот ред е сменет (помножено со –1). Третата линија беше поделена со 14.
Обратно:
Одговори
:
.
Пример 4:
Решение
:
Дозволете ни да ја запишеме проширената матрица на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор по форма:
Извршени конверзии: (1) На првиот ред е додаден втор ред. Така, саканата единица е организирана на горниот лев „чекор“. (2) На вториот ред се додава првиот ред помножен со 7. На третиот ред се додава првиот ред помножен со 6.
Со вториот „чекор“ сè станува полошо , „кандидати“ за него се броевите 17 и 23, а ни треба или еден или –1. Трансформациите (3) и (4) ќе бидат насочени кон добивање на саканата единица (3) Вториот ред беше додаден на третиот ред, помножен со –1. (4) Третиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –3. Потребната ставка на вториот чекор е примена. . (5) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 6. (6) Втората линија беше помножена со –1, третата линија беше поделена со -83.
Обратно:
Одговори :
Пример 5:
Решение
:
Дозволете ни да ја запишеме матрицата на системот и, користејќи елементарни трансформации, да ја доведеме во чекор напред:
Извршени конверзии: (1) Првиот и вториот ред се заменети. (2) Првиот ред беше додаден на вториот ред, помножен со –2. Првата линија беше додадена на третата линија, помножена со –2. Првата линија беше додадена на четвртата линија, помножена со –3. (3) Вториот ред е додаден на третиот ред, помножен со 4. Вториот ред е додаден на четвртиот ред, помножен со –1. (4) Знакот на вториот ред е сменет. Четвртата линија беше поделена со 3 и ставена на местото на третата линија. (5) Третиот ред беше додаден на четвртиот ред, помножен со –5.
Обратно:
Одговори :
При решавање на систем од равенки
Наједноставната верзија на Гаусовиот метод резултира со големи грешки. Причината е појавата на големи коефициенти, чие заокружување резултира со голема апсолутна грешка D ~ 0,5. За возврат, големите коефициенти се добиваат по делењето со мал водечки коефициент 
.
Заклучок:За да го намалите влијанието на грешките во заокружувањето, треба да изберете водечки елемент кој не се разликува само од 0, туку и доволно голем.
Прва модификација на методот на Гаус– пребарување по жици. Во алгоритмот, водечкиот елемент мора да биде избран од условот.
Недостаток на модификација. Да претпоставиме дека x i е пронајден со грешка од D. Потоа, кога се бара било кој x s, потребно е, според инверзната формула, да се множи . Во овој случај, грешката D исто така ќе се помножи со . Ако вредноста е голема, грешката ќе се зголеми.
Заклучок:неопходно е да се осигура дека водечкиот елемент не е само голем, туку најголемиот модул во неговата линија. Потоа, при нормализирање на водечката линија, сите други коефициенти, според формулата (5), ќе бидат помали од 1 во апсолутна вредност, а грешките ќе бидат намалување.
Втора модификација на методот Гаус– пребарување по колони. Ова барање може да се исполни ако непознатите x i се исклучат по случаен редослед, и се бара водечката линија, испорачува . Ова ќе биде следниот водечки елемент. Откако ќе го одредите водечкиот елемент, заменете ги k-тата и r-тата колони.
Внимание.Со ваква замена се менува нумерирањето на непознатите x i. За да се обезбеди таква замена, потребно е да се внесе низа p 1 ,…p n со реалните броеви на непознатите за време на програмирањето. На почетокот на движењето напред, сите p i = i се вообичаеното нумерирање. Откако ќе го пронајдете водечкиот елемент, заменете ги p k и p r. За време на обратниот удар, пренумерираните x i се пресметуваат со помош на формулата (7). По пресметувањето на сите непознати, мора да ставиме y]:=x[i], и низа y[i]ќе биде конечното решение на проблемот.
Третата модификација на методот Гаус- целосно пребарување. Елементот за испорака е избран како лидер. Во овој случај, k-тата и r-тата колона, p k и p r, како и m-тата и k-тата редови се заменети. Оваа модификација обезбедува максимална точност, но е и најсложена.
Примена на Гаусовиот метод за решавање на различни линеарни алгебарски проблеми
1. Инверзија на матрица.Нека биде неопходно да се пресмета инверзната матрица на квадратната матрица A. Да означиме X = A –1. Како што знаете, AX = I, каде што I е идентитетската матрица, во која 1 се наоѓаат по дијагоналата, а останатите елементи се 0. Со други зборови, i-тата колона од матрицата I е еднаква на
(1 е на i-то место). Нека x (i) е i-та колона од матрицата X. Тогаш, врз основа на правилото за множење на матрицата (редата се множи со колоната), имаме A x (i) = e (i). Ова значи дека за да ја инвертираме матрицата треба да ја решиме nсистеми на линеарни равенки со идентични матрици и различни десни страни:
О = д (1) ; О = д (2) ; …; О = д (n) . (2.1)
Откако ги решивме овие системи, откриваме дека пронајдените решенија x (1), x (2), ..., x (n) се колони од матрицата A –1.
2. Пресметка на детерминанти.Во процесот на претворање на матрицата А во триаголна форма користејќи го Гаусовиот метод, ги извршивме следните дејства со неа:
1) преуредени редови или колони во зависност од модификацијата на методот;
2) поделете ја водечката линија со водечки елемент што не е нула;
3) во редовите на матрицата беше додаден водечки ред помножен со одреден број.
Како што е познато, при такви трансформации детерминантата на матрицата претрпува соодветни промени:
1) го менува знакот;
2) се дели со истиот елемент;
3) не се менува.
По движењето напред, матрицата А ќе се сведе на горната триаголна форма со оние на главната дијагонала. Детерминантата на таквата матрица очигледно е еднаква на 1. Земајќи ги предвид промените што ги претрпе детерминантата на матрицата А при процесот на трансформација, ја имаме следната формула:
det A = (–1) s × a 11 × a 22 ×…× a n n,
каде што j j се водечки елементи, s е бројот на пермутации на редови и/или колони при пребарување на водечки елементи.
ТЕСТ ПРАШАЊА И ЗАДАЧИ
1. Рачноимплементирајте го Гаусовиот метод (со пребарување во редови, колони, низ целата матрица - во зависност од опцијата за задача) за даден систем на равенки
и завршете ги следните задачи
1) Решете го овој систем на равенки
2) Пресметајте ја детерминантата на матрицата на овој систем ( Гаусовиот метод– види стр 2 ).
3) Инвертирајте ја матрицата на овој систем ( Гаусовиот метод– види стр 1 ).
Во иднина, искористете го резултатот од решавањето на овој проблем како тест пример.
2. Креирајте програма за решавање на линеарен систем користејќи го Гаусовиот метод (со пребарување во редови, колони, низ целата матрица - во зависност од верзијата на задачата) и изведете инверзија на матрицата користејќи ја оваа програма.
Еден од наједноставните начини за решавање на систем од линеарни равенки е техника базирана на пресметка на детерминанти ( Правило на Крамер). Неговата предност е што ви овозможува веднаш да го снимите решението, особено е погодно во случаи кога коефициентите на системот не се бројки, туку некои параметри. Неговиот недостаток е гломазноста на пресметките во случај на голем број равенки; згора на тоа, правилото на Крамер не е директно применливо за системи во кои бројот на равенки не се совпаѓа со бројот на непознати. Во такви случаи, обично се користи Гаусовиот метод.
Се нарекуваат системи на линеарни равенки кои имаат исто множество решенија еквивалент. Очигледно, множеството решенија на линеарен систем нема да се промени ако се заменат некои равенки, или ако една од равенките се помножи со некој број што не е нула, или ако една равенка се додаде на друга.
Гаусовиот метод (метод на секвенцијална елиминација на непознати) е дека со помош на елементарни трансформации системот се сведува на еквивалентен систем од тип на чекор. Прво, користејќи ја првата равенка, елиминираме x 1 од сите последователни равенки на системот. Потоа, користејќи ја втората равенка, елиминираме x 2 од 3-та и сите наредни равенки. Овој процес, наречен директен Гаусовиот метод, продолжува додека не остане само една непозната на левата страна од последната равенка x n. По ова е направено инверзна на Гаусовиот метод– решавајќи ја последната равенка, наоѓаме x n; после тоа, користејќи ја оваа вредност, од претпоследната равенка пресметуваме x n-1, итн. Го наоѓаме последниот x 1 од првата равенка.
Удобно е да се извршат Гаусови трансформации со вршење трансформации не со самите равенки, туку со матриците на нивните коефициенти. Размислете за матрицата:
повикани проширена матрица на системот,бидејќи, покрај главната матрица на системот, вклучува и колона од слободни термини. Гаусовиот метод се заснова на редуцирање на главната матрица на системот на триаголна форма (или трапезоидна форма во случај на неквадратни системи) со користење на елементарни трансформации на редови (!) на продолжената матрица на системот.
Пример 5.1.Решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:
Решение. Ајде да ја напишеме проширената матрица на системот и, користејќи го првиот ред, потоа ќе ги ресетираме преостанатите елементи:
добиваме нули во 2-ри, 3-ти и 4-ти редови од првата колона:
Сега ни требаат сите елементи во втората колона под вториот ред да бидат еднакви на нула. За да го направите ова, можете да ја помножите втората линија со -4/7 и да ја додадете во третата линија. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, да создадеме единица во вториот ред од втората колона и само
Сега, за да добиете триаголна матрица, треба да го ресетирате елементот од четвртиот ред од 3-та колона; за да го направите ова, можете да го помножите третиот ред со 8/54 и да го додадете во четвртиот. Меѓутоа, за да не се занимаваме со дропки, ќе ги замениме 3-тиот и 4-тиот ред и 3-та и 4-та колона и само после тоа ќе го ресетираме наведениот елемент. Забележете дека при преуредување на колоните, соодветните променливи ги менуваат местата и тоа мора да се запомни; други елементарни трансформации со колони (собирање и множење со број) не можат да се извршат!
Последната поедноставена матрица одговара на систем од равенки еквивалентни на првобитната:
Оттука, користејќи го инверзниот на Гаусовиот метод, наоѓаме од четвртата равенка x 3 = –1; од третиот x 4 = –2, од втората x 2 = 2 и од првата равенка x 1 = 1. Во форма на матрица, одговорот се пишува како
Го разгледавме случајот кога системот е дефинитивен, т.е. кога има само едно решение. Ајде да видиме што ќе се случи ако системот е неконзистентен или неизвесен.
Пример 5.2.Истражете го системот користејќи го Гаусовиот метод:
Решение. Ја испишуваме и трансформираме проширената матрица на системот
Ние пишуваме поедноставен систем на равенки:
Еве, во последното равенство излегува дека 0=4, т.е. контрадикторност. Следствено, системот нема решение, т.е. таа некомпатибилни. à
Пример 5.3.Истражете го и решете го системот користејќи го Гаусовиот метод:
Решение. Ја запишуваме и трансформираме проширената матрица на системот:
Како резултат на трансформациите, последната линија содржи само нули. Ова значи дека бројот на равенки е намален за еден:
Така, по упростувањата, остануваат две равенки, а четири непознати, т.е. две непознати „екстра“. Нека бидат „излишни“, или, како што велат, слободни променливи, ќе x 3 и x 4 . Потоа
Верувајќи x 3 = 2аИ x 4 = б, добиваме x 2 = 1–аИ x 1 = 2б–а; или во форма на матрица
Вака напишаното решение се нарекува општо, бидејќи, давајќи параметри аИ бразлични вредности, може да се опишат сите можни решенија на системот. а