Основни елементарни функции во чиста формабез трансформација се ретки, па најчесто треба да се работи со елементарни функции кои се добиени од главните со додавање на константи и коефициенти. Ваквите графикони се конструирани со користење на геометриски трансформации на дадените елементарни функции.
Да го разгледаме примерот на квадратна функција од формата y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2, чиј график е параболата y = x 2, која е трипати компресирана во однос на Oy и симетрична во однос до Ox, и поместено за 2 3 долж Ox надесно, нагоре 2 единици по Oy. На координатна линија изгледа вака:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Геометриски трансформации на графикот на функција
Пријавување геометриски трансформациизад себе од овој распоредоткриваме дека графикот е прикажан со функција од формата ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b, кога k 1 > 0, k 2 > 0 се коефициенти на компресија на 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 долж O y и O x. Знакот пред коефициентите k 1 и k 2 означува симетричен приказ на графикот во однос на оските, a и b го поместуваат по O x и по O y.
Дефиниција 1
Постојат 3 типа геометриски трансформации на графикот:
- Скалирањедолж O x и O y. Ова е под влијание на коефициентите k 1 и k 2 под услов да не се еднакви на 1 кога 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, потоа графикот се протега по O y и се компресира долж O x.
- Симетричен приказ во однос на координатните оски.Ако има знак „-“ пред k 1, симетријата е релативна со O x, а пред k 2 е релативна со O y. Ако недостасува „-“, тогаш ставката се прескокнува при решавање;
- Паралелно пренесување (поместување)долж O x и O y. Трансформацијата се врши ако има коефициенти a и b нееднакви на 0. Ако a е позитивен, графикот се поместува налево за | a | единици, ако a е негативен, тогаш надесно на исто растојание. Вредноста b го одредува движењето по оската O y, што значи дека кога b е позитивна, функцијата се движи нагоре, а кога b е негативна, се движи надолу.
Ајде да ги разгледаме решенијата користејќи примери, почнувајќи од функција за напојување.
Пример 1
Трансформирајте y = x 2 3 и нацртајте ја функцијата y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .
Решение
Да ги претставиме функциите на овој начин:
y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3
Каде k 1 = 2, вреди да се обрне внимание на присуството на „-“, a = - 1 2, b = 3. Оттука добиваме дека геометриските трансформации се вршат со истегнување долж O y двапати, прикажани симетрично во однос на O x, поместени надесно за 1 2 и нагоре за 3 единици.
Ако ја прикажеме оригиналната функција за напојување, ќе го добиеме тоа
кога ќе се развлече двапати по O y го имаме тоа
Пресликувањето, симетрично во однос на O x, ја има формата
и движете се надесно за 1 2
движење од 3 единици нагоре изгледа како
Да ги погледнеме трансформациите на експоненцијалните функции користејќи примери.
Пример 2
Конструирај график на експоненцијалната функција y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8.
Решение.
Да ја трансформираме функцијата врз основа на својствата на функцијата за моќност. Тогаш го добиваме тоа
y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
Од ова можеме да видиме дека добиваме синџир на трансформации y = 1 2 x:
y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
Сметаме дека оригиналот експоненцијална функцијаизгледа како
Двапати стискање по O y дава
Се протега по O x
Симетрично пресликување во однос на O x
Пресликувањето е симетрично во однос на O y
Движете се нагоре 8 единици
Ајде да го разгледаме решението користејќи пример логаритамска функција y = log(x) .
Пример 3
Конструирајте ја функцијата y = ln e 2 · - 1 2 x 3 користејќи ја трансформацијата y = ln (x) .
Решение
За да се реши потребно е да се користат својствата на логаритмот, тогаш добиваме:
y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Трансформациите на логаритамска функција изгледаат вака:
y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Да ја нацртаме оригиналната логаритамска функција
Системот го компресираме според O y
Се протегаме по O x
Вршиме мапирање во однос на O y
Поместуваме нагоре за 2 единици, добиваме
За конвертирање на графикони тригонометриска функцијапотребно е да се вклопи шема на решение од формата ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b. Неопходно е k 2 да биде еднакво на T k 2 . Од тука ја добиваме таа 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Ајде да погледнеме примери за решавање проблеми со трансформации y = sin x.
Пример 4
Конструирај граф од y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 користејќи трансформации на функцијата y=sinx.
Решение
Неопходно е да се намали функцијата во форма ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. За ова:
y = - 3 грев 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 грев 1 2 (x - 3) - 2
Може да се види дека k 1 = 3, k 2 = 1 2, a = - 3, b = - 2. Бидејќи има „-“ пред k 1, но не и пред k 2, тогаш добиваме синџир на трансформации на формата:
y = грев (x) → y = 3 грев (x) → y = 3 грев 1 2 x → y = - 3 грев 1 2 x → → y = - 3 грев 1 2 x - 3 → y = - 3 грев 1 2 (x - 3) - 2
Детална трансформација на синусниот бран. При исцртување на оригиналниот синусоид y = sin (x), откриваме дека најмалиот позитивен период се смета за T = 2 π. Наоѓање на максимумот во точките π 2 + 2 π · k; 1, а минималната - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.
O y се протега трикратно, што значи дека зголемувањето на амплитудата на осцилациите ќе се зголеми за 3 пати. T = 2 π е најмала позитивен период. Максималните одат на π 2 + 2 π · k; 3, k ∈ Z, минимум - - π 2 + 2 π · k; - 3, k ∈ Z.
Кога се протега по O x за половина, откриваме дека најмалиот позитивен период се зголемува за 2 пати и е еднаков на T = 2 π k 2 = 4 π. Максималните одат на π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, минимуми – во - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.
Сликата се создава симетрично во однос на O x. Најмал позитивен период во во овој случајне се менува и е еднакво на T = 2 π k 2 = 4 π . Максималната транзиција изгледа како - π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, а минимумот е π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.
Графикот е поместен надолу за 2 единици. Минималниот заеднички период не се менува. Наоѓање максими со премин во точки - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, минимуми - π + 3 + 4 π · k; - 5, k ∈ Z.
На на оваа бинаграфикот на тригонометриска функција се смета за трансформиран.
Ајде да размислиме детална конверзијафункции y = cos x.
Пример 5
Конструирај график на функцијата y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 користејќи трансформација на функција од формата y = cos x.
Решение
Според алгоритмот потребно е дадена функцијасе намали на формата ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Тогаш го добиваме тоа
y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1
Од условот е јасно дека k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1, каде што k 2 има „-“, но пред k 1 е отсутно.
Од ова гледаме дека добиваме график на тригонометриска функција на формата:
y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1 )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1
Чекор-по-чекор трансформација на косинус со графичка илустрација.
Со оглед на графикот y = cos (x), јасно е дека најмалиот општ периодеднакво на T = 2 π. Наоѓање максимални во 2 π · k ; 1, k ∈ Z, а има π + 2 π · k минимум; - 1, k ∈ Z.
Кога се протега по Oy за 3 2 пати, амплитудата на осцилациите се зголемува за 3 2 пати. T = 2 π е најмалиот позитивен период. Наоѓање максимални во 2 π · k ; 3 2, k ∈ Z, минимум во π + 2 π · k; - 3 2, k ∈ Z.
Кога ќе се компресира долж O x на половина, откриваме дека најмалиот позитивен период е бројот T = 2 π k 2 = π. Преминот на максимите во π · k се случува; 3 2 , k ∈ Z , минимуми - π 2 + π · k ; - 3 2, k ∈ Z.
Симетрично мапирање во однос на Oy. Бидејќи графикот е непарен, тој нема да се промени.
Кога графикот е поместен за 1 . Нема промени во најмалиот позитивен период Т = π. Наоѓање максимални во π · k + 1 ; 3 2, k ∈ Z, минимуми - π 2 + 1 + π · k; - 3 2, k ∈ Z.
Кога ќе се помести за 1, најмалиот позитивен период е еднаков на T = π и не се менува. Наоѓање максимални во π · k + 1 ; 5 2, k ∈ Z, минимум во π 2 + 1 + π · k; - 1 2, k ∈ Z.
Трансформацијата на косинусната функција е завршена.
Да ги разгледаме трансформациите користејќи го примерот y = t g x.
Пример 6
Конструирај график на функцијата y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 користејќи трансформации на функцијата y = t g (x) .
Решение
За почеток, потребно е дадената функција да се намали на формата ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b, по што добиваме дека
y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Јасно се гледа дека k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3, а пред коефициентите k 1 и k 2 има „-“. Тоа значи дека по трансформирањето на тангентсоидите добиваме
y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Чекор-по-чекор трансформација на тангенти со графички приказ.
Имаме дека оригиналниот график е y = t g (x) . Промената во позитивниот период е еднаква на T = π. Доменот на дефиниција се смета за - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z.
Ние го компресираме 2 пати по Oy. T = π се смета за најмал позитивен период, каде што доменот на дефиниција има форма - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.
Истегнете се долж O x 3 2 пати. Да го пресметаме најмалиот позитивен период, а тој беше еднаков на T = π k 2 = 3 2 π . А доменот на дефинирање на функцијата со координати е 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z, се менува само доменот на дефиниција.
Симетријата оди на страната O x. Периодот нема да се промени во овој момент.
Потребно е симетрично да се прикажат координатните оски. Доменот на дефиниција во овој случај е непроменет. Распоредот се совпаѓа со претходниот. Ова сугерира дека функцијата тангента е непарна. Ако да непарна функцијапоставете симетрично пресликување на O x и O y, а потоа трансформирајте во оригиналната функција.
Конвертирање на графикони на функции
Во оваа статија ќе ве запознаам со линеарни трансформации на графикони на функции и ќе ви покажам како да ги користите овие трансформации за да добиете график на функции од графикон на функции 
Линеарна трансформација на функција е трансформација на самата функција и/или нејзиниот аргумент во формата 
, како и трансформација која содржи аргумент и/или функционален модул.
Најголемите тешкотии при конструирање графикони со помош на линеарни трансформации се предизвикани од следниве дејства:
- Изолација основна функција, всушност, чиј график го трансформираме.
- Дефиниции за редот на трансформации.
ИТокму на овие точки ќе се задржиме подетално.
Ајде внимателно да ја разгледаме функцијата
Се заснова на функцијата. Ајде да ја повикаме основна функција.
При исцртување на функција вршиме трансформации на графикот на основната функција.
Кога би извршиле трансформации на функции по истиот редослед по кој е пронајдена неговата вредност кога одредена вредностаргумент, тогаш
Ајде да разгледаме какви видови линеарни трансформации на аргументи и функции постојат и како да ги извршиме.
Трансформации на аргументи.
1. f(x) f(x+b)
1. Изградете график на функцијата
2. Поместете го графикот на функцијата по оската OX за |b| единици
- лево ако b>0
- право ако б<0
Ајде да ја нацртаме функцијата
1. Изградете график на функцијата
2. Префрлете го за 2 единици надесно:
2. f(x) f(kx)
1. Изградете график на функцијата
2. Апсцисите на точките на графикот поделете ги со k, оставајќи ги ординатите на точките непроменети.
Ајде да изградиме график на функцијата.
1. Изградете график на функцијата
2. Поделете ги сите апсциси на точките на графикот со 2, оставајќи ги ординатите непроменети:
3. f(x) f(-x)
1. Изградете график на функцијата
2. Прикажете го симетрично во однос на оската OY.
Ајде да изградиме график на функцијата.
1. Изградете график на функцијата
2. Прикажете го симетрично во однос на оската OY:
4. f(x) f(|x|)
1. Изградете график на функцијата
2. Се брише делот од графиконот кој се наоѓа лево од оската OY, делот од графиконот што се наоѓа десно од оската OY се пополнува симетрично во однос на оската OY:
Графикот на функции изгледа вака:
Ајде да ја нацртаме функцијата
1. Градиме график на функцијата (ова е график на функцијата, поместен по оската OX за 2 единици налево):
2. Дел од графиконот лоциран лево од оската OY (x).<0) стираем:
3. Делот од графикот кој се наоѓа десно од оската OY (x>0) го комплетираме симетрично во однос на оската OY:
Важно! Две главни правила за трансформација на аргумент.
1. Сите трансформации на аргументи се вршат по оската OX
2. Сите трансформации на аргументот се вршат „обратно“ и „во обратен редослед“.
На пример, во функција секвенцата на трансформации на аргументи е како што следува:
1. Земете го модулот на x.
2. Додадете го бројот 2 во модуло x.
Но, ние го конструиравме графикот во обратен редослед:
Прво, беше извршена трансформација 2 - графикот беше поместен за 2 единици налево (односно, апсцисите на точките беа намалени за 2, како „во обратна насока“)
Потоа ја извршивме трансформацијата f(x) f(|x|).
Накратко, низата трансформации е напишана на следниов начин:
Сега да разговараме за трансформација на функцијата . Трансформации се случуваат
1. По оската OY.
2. Во истата низа во која се вршат дејствата.
Ова се трансформациите:
1. f(x)f(x)+D
2. Поместете го по оската OY за |D| единици
- нагоре ако D>0
- надолу ако Д<0
Ајде да ја нацртаме функцијата
1. Изградете график на функцијата
2. Поместете го по оската OY 2 единици нагоре:
2. f(x)Af(x)
1. Изгради график на функцијата y=f(x)
2. Ординатите на сите точки на графикот ги множиме со А, оставајќи ги апсцисите непроменети.
Ајде да ја нацртаме функцијата
1. Да изградиме график на функцијата
2. Помножете ги ординатите на сите точки на графикот со 2:
3.f(x)-f(x)
1. Изгради график на функцијата y=f(x)
Ајде да изградиме график на функцијата.
1. Изградете график на функцијата.
2. Го прикажуваме симетрично во однос на оската OX.
4. f(x)|f(x)|
1. Изгради график на функцијата y=f(x)
2. Делот од графиконот кој се наоѓа над оската OX е оставен непроменет, делот од графикот што се наоѓа под оската OX се прикажува симетрично во однос на оваа оска.
Ајде да ја нацртаме функцијата
1. Изградете график на функцијата. Се добива со поместување на графикот на функцијата долж оската OY за 2 единици надолу:
2. Сега ќе го прикажеме делот од графикот кој се наоѓа под оската OX симетрично во однос на оваа оска:
И последната трансформација, која, строго кажано, не може да се нарече трансформација на функции, бидејќи резултатот од оваа трансформација повеќе не е функција:
|y|=f(x)
1. Изгради график на функцијата y=f(x)
2. Го бришеме делот од графикот кој се наоѓа под оската OX, а потоа го комплетираме делот од графиконот што се наоѓа над оската OX симетрично во однос на оваа оска.
Да ја нацртаме равенката
1. Градиме график на функцијата:
2. Го бришеме делот од графиконот што се наоѓа под оската OX:
3. Делот од графикот кој се наоѓа над оската OX го комплетираме симетрично во однос на оваа оска.
И за крај, предлагам да погледнете ВИДЕО УПАТСТВО во кое прикажувам чекор-по-чекор алгоритам за конструирање график на функција
Графикот на оваа функција изгледа вака:
Паралелен трансфер.
ПРЕВОД ПО ОСКАТА Y
f(x) => f(x) - b
Да претпоставиме дека сакате да изградите график на функцијата y = f(x) - b. Лесно е да се види дека ординатите на овој график за сите вредности на x на |b| единици помали од соодветните ординати на функцијата график y = f(x) за b>0 и |b| единици повеќе - на b 0 или нагоре на b За да го нацртате графикот на функцијата y + b = f(x), треба да ја нацртате функцијата y = f(x) и да ја поместите оската x на |b| единици до b>0 или од |b| единици надолу во б
ТРАНСФЕР ПО АБСЦИСНАТА ОСКА
f(x) => f(x + a)
Да претпоставиме дека сакате да ја нацртате функцијата y = f(x + a). Да ја разгледаме функцијата y = f(x), која во одреден момент x = x1 ја зема вредноста y1 = f(x1). Очигледно, функцијата y = f(x + a) ќе ја земе истата вредност во точката x2, чија координата е одредена од еднаквоста x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 - a, а еднаквоста што се разгледува важи за севкупноста на сите вредности од доменот на дефинирање на функцијата. Според тоа, графикот на функцијата y = f(x + a) може да се добие со паралелно поместување на графикот на функцијата y = f(x) по x-оската налево со |a| единици за a > 0 или десно од |a| единици за a За да конструирате график на функцијата y = f(x + a), треба да конструирате график на функцијата y = f(x) и да ја преместите оската на ординатите во |a| единици надесно кога a>0 или со |a| единици лево на a
Примери:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Рефлексија.
КОНСТРУКЦИЈА НА ГРАФИК НА ФУНКЦИЈА ОД ФОРМАТА Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Очигледно е дека функциите y = f(-x) и y = f(x) земаат еднакви вредности во точките чии апсциси се еднакви во абсолутна вредност, но спротивно во знакот. Со други зборови, ординатите на графикот на функцијата y = f(-x) во регионот на позитивни (негативни) вредности на x ќе бидат еднакви на ординатите на графикот на функцијата y = f(x) за соодветните негативни (позитивни) вредности на x во апсолутна вредност. Така, го добиваме следното правило.
За да ја нацртате функцијата y = f(-x), треба да ја нацртате функцијата y = f(x) и да ја одразите во однос на ординатата. Добиениот график е графикот на функцијата y = f(-x)
КОНСТРУКЦИЈА НА ГРАФИК НА ФУНКЦИЈА ОД ФОРМАТА Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ординатите на графикот на функцијата y = - f(x) за сите вредности на аргументот се еднакви во апсолутна вредност, но спротивни по знак на ординатите на графикот на функцијата y = f(x) за истите вредности на аргументот. Така, го добиваме следното правило.
За да нацртате график на функцијата y = - f(x), треба да нацртате график на функцијата y = f(x) и да ја одразите во однос на оската x.
Примери:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Деформација.
ДЕФОРМАЦИЈА НА ГРАФИКОТ ПО ОСКАТА Y
f(x) => k f(x)
Размислете за функција од формата y = k f(x), каде k> 0. Лесно е да се види дека со еднакви вредности на аргументот, ординатите на графикот на оваа функција ќе бидат k пати поголеми од ординатите на графикот на функцијата y = f(x) за k > 1 или 1/k пати помала од ординатите на графикот на функцијата y = f(x) за k Да се конструира график на функцијата y = k f(x ), треба да конструирате график на функцијата y = f(x) и да ги зголемите нејзините ординати за k пати за k > 1 (да го истегнете графикот долж оската на ординатите ) или да ги намалите неговите ординати за 1/k пати при k
k > 1- се протега од оската Ox
0 - компресија до оската OX
ДЕФОРМАЦИЈА НА ГРАФИКОТ ПО АПСЦИСНАТА ОСКА
f(x) => f(k x)
Нека е неопходно да се конструира график на функцијата y = f(kx), каде k>0. Размислете за функцијата y = f(x), која во произволна точка x = x1 ја зема вредноста y1 = f(x1). Очигледно е дека функцијата y = f(kx) ја зема истата вредност во точката x = x2, чија координата е одредена со еднаквоста x1 = kx2, а оваа еднаквост важи за севкупноста на сите вредности на x од доменот на дефинирање на функцијата. Следствено, графикот на функцијата y = f(kx) се покажува како компримиран (за k 1) долж оската на апсцисата во однос на графикот на функцијата y = f(x). Така, го добиваме правилото.
За да конструирате график на функцијата y = f(kx), треба да конструирате график на функцијата y = f(x) и да ги намалите нејзините апсциси за k пати за k>1 (компресирајте го графикот по оската на апсцисата) или да го зголемите неговите апсциси за 1/k пати за k
k > 1- компресија до оската Oy
0 - се протега од оската OY
Работата ја изврши Александар Чичканов, Дмитриј Леонов под водство на Т.В.Ткач, С.М.Вјазов, И.В.Островерхова.
©2014
Текстот на делото е објавен без слики и формули.
Целосна верзијаработата е достапна во табулаторот „Датотеки за работа“ во PDF формат
Вовед
Трансформирањето на графикони на функции е еден од основните математички концепти директно поврзани со практични активности. Трансформацијата на графиконите на функции првпат се среќава во алгебрата од 9-то одделение при изучување на темата „ Квадратна функција" Квадратната функција е воведена и проучувана во тесна врска со квадратни равенкии нееднаквости. Исто така многу математички концептисе разгледуваат графички методи, на пример, во 10-11 одделение, проучувањето на функцијата овозможува да се најде доменот на дефиниција и доменот на вредноста на функцијата, домени на намалување или зголемување, асимптоти, интервали на константен знак итн. Ова е важно Прашањето е отворено и во ГИА. Оттука произлегува дека конструирањето и трансформирањето на графикони на функции е една од главните задачи на наставата по математика на училиште.
Меѓутоа, за да нацртате графикони на многу функции, можете да користите голем број методи кои го олеснуваат исцртувањето. Горенаведеното одредува Релевантносттеми за истражување.
Предмет на проучувањее да ја проучува трансформацијата на графиконите во училишната математика.
Предмет на студија -процесот на конструирање и трансформација на функционални графици во средно училиште.
Проблематично прашање: Дали е можно да се конструира график на непозната функција ако имаш вештина да конвертираш графици на елементарни функции?
Цел:исцртување на функции во непозната ситуација.
Задачи:
1. Анализирај едукативен материјалза проблемот што се проучува. 2. Идентификувајте шеми за конвертирање на графикони на функции во училишен курсматематика. 3. Изберете најмногу ефективни методии алатки за конструирање и трансформирање на графикони на функции. 4. Бидете во можност да аплицирате оваа теоријаво решавањето на проблемите.
Задолжително Основно знаење, способности, вештини:
Одредете ја вредноста на функцијата со вредноста на нејзиниот аргумент кога на различни начинифункционални задачи;
Изградба на графикони на изучените функции;
Опишете го однесувањето и својствата на функциите користејќи график и, во наједноставните случаи, користејќи формула; најдете ги најголемите и најмалите вредности од графикот на функцијата;
Описи со користење на функции разни зависности, претставувајќи ги графички, интерпретирајќи графикони.
Главен дел
Теоретски дел
Како почетен график на функцијата y = f(x), ќе изберам квадратна функција y = x 2 . Ќе ги разгледам случаите на трансформација на овој график поврзани со промените во формулата што ја дефинира оваа функција и ќе извлечам заклучоци за која било функција.
1. Функција y = f(x) + a
ВО нова формулавредностите на функциите (ординатите на точките на графиконот) се менуваат со бројот a, во споредба со вредноста на функцијата „старата“. Ова води до паралелно пренесување на графикот на функцијата долж оската OY:
нагоре ако a > 0; надолу ако а< 0.
ЗАКЛУЧОК
Така, графикот на функцијата y=f(x)+a се добива од графикот на функцијата y=f(x) со помош на паралелно преведување по должината на оската на ординатите за единици нагоре ако a > 0 и за единици надолу. ако< 0.
2. Функција y = f(x-a),
Во новата формула, вредностите на аргументите (апсцисите на точките на графиконот) се менуваат со бројот a, во споредба со вредноста на „стариот“ аргумент. Ова води до паралелно пренесување на функционалниот график долж оската OX: надесно, ако< 0, влево, если a >0.
ЗАКЛУЧОК
Тоа значи дека графикот на функцијата y= f(x - a) се добива од графикот на функцијата y=f(x) со паралелно преведување по оската на апсцисата со единици налево ако a > 0, и со а единици десно ако a< 0.
3. Функција y = k f(x), каде k > 0 и k ≠ 1
Во новата формула, вредностите на функциите (ординатите на точките на графиконот) се менуваат k пати во споредба со вредноста на „старата“ функција. Ова води до: 1) „истегнување“ од точката (0; 0) долж оската OY со фактор k, ако k > 1, 2) „компресија“ до точката (0; 0) долж оската OY со фактор од, ако 0< k < 1.
ЗАКЛУЧОК
Следствено: за да нацртате график на функцијата y = kf(x), каде k > 0 и k ≠ 1, потребни ви се ординатите на точките даден распоредфункција y = f(x) помножена со k. Таквата трансформација се нарекува истегнување од точката (0; 0) долж оската OY k пати ако k > 1; компресија до точката (0; 0) по должината на оската OY пати ако 0< k < 1.
4. Функција y = f(kx), каде k > 0 и k ≠ 1
Во новата формула, вредностите на аргументите (апсцисите на точките на графиконот) се менуваат k пати во споредба со вредноста на „стариот“ аргумент. Ова води до: 1) „истегнување“ од точката (0; 0) долж оската OX за 1/k пати, ако 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
ЗАКЛУЧОК
И така: за да се изгради график на функцијата y = f(kx), каде k > 0 и k ≠ 1, треба да се помножи апсцисата на точките од дадениот график на функцијата y=f(x) со k . Таквата трансформација се нарекува истегнување од точката (0; 0) долж оската OX за 1/k пати, ако 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.
5. Функција y = - f (x).
Во оваа формула, вредностите на функциите (ординатите на точките на графиконот) се менуваат. Оваа промена води до симетрично прикажување на оригиналниот график на функцијата во однос на оската Ox.
ЗАКЛУЧОК
За да нацртате график на функцијата y = - f (x), потребен ви е график на функцијата y= f(x)
одразуваат симетрично за оската OX. Оваа трансформација се нарекува трансформација на симетрија околу оската OX.
6. Функција y = f (-x).
Во оваа формула, вредностите на аргументот (апцисата на точките на графиконот) се менуваат. Оваа промена води до симетрично прикажување на оригиналниот график на функцијата во однос на оската OY.
Пример за функцијата y = - x² оваа трансформација не е забележлива, бидејќи оваа функцијадури и графикот не се менува по трансформацијата. Оваа трансформација е видлива кога функцијата е непарна и кога не е ниту парна ниту непарна.
7. Функција y = |f(x)|.
Во новата формула, вредностите на функциите (ординатите на точките на графиконот) се под знакот на модулот. Ова доведува до исчезнување на делови од графикот на оригиналната функција со негативни ординати (т.е. оние што се наоѓаат во долната полурамнина во однос на оската Ox) и симетричното прикажување на овие делови во однос на оската Ox.
8. Функција y= f (|x|).
Во новата формула, вредностите на аргументите (абсциси на точките на графиконот) се под знакот на модулот. Ова доведува до исчезнување на делови од графикот на оригиналната функција со негативни апсциси (т.е., лоцирани во левата полурамнина во однос на оската OY) и нивна замена со делови од оригиналниот график кои се симетрични во однос на оската OY .
Практичен дел
Ајде да погледнеме неколку примери за примена на горната теорија.
ПРИМЕР 1.
Решение.Ајде да се трансформираме оваа формула:
1) Ајде да изградиме график на функцијата
ПРИМЕР 2.
Графикувајте ја функцијата дадена со формулата
Решение. Ајде да ја трансформираме оваа формула со истакнување во ова квадратен триномквадрат на биномот:
1) Ајде да изградиме график на функцијата
2) Ајде да го направиме тоа паралелен трансферконструирана графика на вектор
ПРИМЕР 3.
ЗАДАЧА ОД Единствениот државен испит Графикување на парче функција
График на функцијата График на функцијата y=|2(x-3)2-2|; 1