Кои ви беа познати до еден или друг степен. Таму беше забележано и дека залихите на функционалните својства постепено ќе се надополнуваат. Две нови својства ќе бидат разгледани во овој дел.
Дефиниција 1.
Функцијата y = f(x), x є X, се повикува дури и ако за која било вредност x од множеството X важи еднаквоста f (-x) = f (x).
Дефиниција 2.
Функцијата y = f(x), x є X, се нарекува непарна ако за која било вредност x од множеството X важи еднаквоста f (-x) = -f (x).
Докажете дека y = x 4 е парна функција.
Решение. Имаме: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Но (-x) 4 = x 4. Тоа значи дека за секој x важи еднаквоста f(-x) = f(x), т.е. функцијата е рамномерна.
Слично, може да се докаже дека функциите y - x 2, y = x 6, y - x 8 се парни.
Докажете дека y = x 3 ~ непарна функција.
Решение. Имаме: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Но (-x) 3 = -x 3. Тоа значи дека за секој x важи еднаквоста f (-x) = -f (x), т.е. функцијата е непарна.
Слично, може да се докаже дека функциите y = x, y = x 5, y = x 7 се непарни.
Јас и ти веќе не еднаш сме се увериле дека новите поими во математиката најчесто имаат „земно“ потекло, т.е. може некако да се објаснат. Ова е случај и со парните и со непарните функции. Види: y - x 3, y = x 5, y = x 7 се непарни функции, додека y = x 2, y = x 4, y = x 6 се парни функции. И воопшто, за која било функција од формата y = x" (подолу конкретно ќе ги проучуваме овие функции), каде што n е природен број, можеме да заклучиме: ако n е непарен број, тогаш функцијата y = x" е чудно; ако n е парен број, тогаш функцијата y = xn е парна.
Има и функции кои не се ниту парни ниту непарни. Таква, на пример, е функцијата y = 2x + 3. Навистина, f(1) = 5, и f (-1) = 1. Како што можете да видите, овде, значи, ниту идентитетот f(-x) = f ( x), ниту идентитетот f(-x) = -f(x).
Значи, функцијата може да биде парна, непарна или ниту една.
Студијата за тоа дали дадената функција е парна или непарна обично се нарекува проучување на паритет.
Дефинициите 1 и 2 се однесуваат на вредностите на функцијата во точките x и -x. Ова претпоставува дека функцијата е дефинирана и во точката x и во точката -x. Тоа значи дека точката -x припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата истовремено со точката x. Ако нумеричкото множество X, заедно со секој од неговите елементи x, го содржи и спротивниот елемент -x, тогаш X се нарекува симетрично множество. Да речеме, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) се симетрични множества, додека ; (∞;∞) се симетрични множества, а , [–5;4] се асиметрични.
– Дали дури и функциите имаат домен на дефиниција кој е симетрично множество? Чудните?
- Ако Д( ѓ) е асиметрично множество, тогаш која е функцијата?
– Така, ако функцијата на = ѓ(X) – парен или непарен, тогаш неговиот домен на дефиниција е D( ѓ) е симетрично множество. Дали е точно обратното тврдење: ако доменот на дефиниција на функцијата е симетрично множество, тогаш дали е парен или непарен?
– Тоа значи дека присуството на симетрично множество од доменот на дефиниција е неопходен услов, но не и доволен.
– Па, како ја испитувате функцијата за паритет? Ајде да се обидеме да создадеме алгоритам.
Слајд
Алгоритам за проучување на функција за паритет
1. Определи дали доменот на дефиниција на функцијата е симетричен. Ако не, тогаш функцијата не е ниту парна ниту непарна. Ако одговорот е да, тогаш одете на чекор 2 од алгоритмот.
2. Напиши израз за ѓ(–X).
3. Споредете ѓ(–X).И ѓ(X):
- Ако ѓ(–X).= ѓ(X), тогаш функцијата е парна;
- Ако ѓ(–X).= – ѓ(X), тогаш функцијата е непарна;
- Ако ѓ(–X) ≠ ѓ(X) И ѓ(–X) ≠ –ѓ(X), тогаш функцијата не е ниту парна ниту непарна.
Примери:
Испитајте ја функцијата а) за паритет на= x 5 +; б) на= ; V) на= .
Решение.
а) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), симетрично множество.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => функција h(x)= x 5 + непарен.
б) y =,
на = ѓ(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), асиметрично множество, што значи дека функцијата не е ниту парна ниту непарна.
V) ѓ(X) = , y = f (x),
1) D( ѓ) = (–∞; 3] ≠ ; б) (∞; –2), (–4; 4]?
Опција 2
1. Дали даденото множество е симетрично: а) [–2;2]; б) (∞; 0], (0; 7) ?
А); б) y = x (5 – x 2).
а) y = x 2 (2x – x 3), б) y =
График на функцијата на = ѓ(X), Ако на = ѓ(X) е парна функција.
График на функцијата на = ѓ(X), Ако на = ѓ(X) е непарна функција.
Взаемна проверка слајд.
6. Домашна задача: №11.11, 11.21,11.22;
Доказ за геометриското значење на својството паритет.
***(Доделување опција за обединет државен испит).
1. Непарната функција y = f(x) е дефинирана на целата бројна права. За која било ненегативна вредност на променливата x, вредноста на оваа функција се совпаѓа со вредноста на функцијата g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Најдете ја вредноста на функцијата h( X) = кај X = 3.
7. Сумирање
Сокриј Прикажи
Методи за одредување функција
Нека функцијата е дадена со формулата: y=2x^(2)-3. Со доделување на какви било вредности на независната променлива x, можете да ги пресметате, користејќи ја оваа формула, соодветните вредности на зависната променлива y. На пример, ако x=-0,5, тогаш, користејќи ја формулата, откриваме дека соодветната вредност на y е y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Земајќи ја секоја вредност земена од аргументот x во формулата y=2x^(2)-3, можете да пресметате само една вредност од функцијата што одговара на неа. Функцијата може да се претстави како табела:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Користејќи ја оваа табела, можете да видите дека за вредноста на аргументот −1 ќе одговара вредноста на функцијата −3; а вредноста x=2 ќе одговара на y=0 итн. Исто така, важно е да се знае дека секоја вредност на аргументот во табелата одговара само на една вредност на функцијата.
Повеќе функции може да се специфицираат со помош на графикони. Со помош на график се утврдува која вредност на функцијата е во корелација со одредена вредност x. Најчесто, ова ќе биде приближна вредност на функцијата.
Парна и непарна функција
Функцијата е дури и функција, кога f(-x)=f(x) за кој било x од доменот на дефиниција. Таквата функција ќе биде симетрична во однос на оската Oy.
Функцијата е непарна функција, кога f(-x)=-f(x) за кој било x од доменот на дефиниција. Таквата функција ќе биде симетрична во однос на потеклото O (0;0) .
Функцијата е ниту, ниту чуднои се нарекува општа функција, кога нема симетрија околу оската или потеклото.
Да ја испитаме следнава функција за паритет:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) со симетричен домен на дефиниција во однос на потеклото. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Тоа значи дека функцијата f(x)=3x^(3)-7x^(7) е непарна.
Периодична функција
Функцијата y=f(x) во чие подрачје важи еднаквоста f(x+T)=f(x-T)=f(x) за кој било x се вика периодична функцијасо период T \neq 0 .
Повторување на графикот на функцијата на која било отсечка од оската x која има должина Т.
Интервалите каде што функцијата е позитивна, односно f(x) > 0, се отсечки од оската на апсцисата што одговараат на точките на функционалниот график што лежат над оската на апсцисата.
f(x) > 0 вклучено (x_(1); x_(2)) \ чаша (x_(3); +\infty)
Интервали каде функцијата е негативна, односно f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \ чаша (x_(2); x_(3))
Ограничена функција
Ограничена одоздолаВообичаено е да се повика функцијата y=f(x), x \in X кога има број A за кој важи неравенката f(x) \geq A за кој било x \во X .
Пример за функција ограничена одоздола: y=\sqrt(1+x^(2)) бидејќи y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за кој било x .
Ограничено одозгораФункцијата y=f(x), x \in X се повикува кога има број B за кој важи неравенството f(x) \neq B за било кој x \во X .
Пример за функција ограничена подолу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]бидејќи y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за кој било x \in [-1;1] .
ОграничениВообичаено е да се повика функцијата y=f(x), x \во X кога има број K > 0 за кој неравенството \left | f(x)\десно | \neq K за кој било x \во X.
Пример за ограничена функција: y=\sin x е ограничен на целата бројна оска, бидејќи \лево | \sin x \десно | \нед 1.
Функција за зголемување и намалување
Вообичаено е да се зборува за функција која се зголемува на интервалот што се разгледува како зголемување на функцијататогаш, кога поголема вредност на x одговара на поголема вредност на функцијата y=f(x) . Следи дека земајќи две произволни вредности на аргументот x_(1) и x_(2) од интервалот што се разгледува, со x_(1) > x_(2) , резултатот ќе биде y(x_(1)) > y(x_(2)).
Се повикува функцијата што се намалува на интервалот што се разгледува функција на намалувањекога поголема вредност на x одговара на помала вредност на функцијата y(x) . Следи дека, земајќи ги од разгледуваниот интервал две произволни вредности на аргументот x_(1) и x_(2) и x_(1) > x_(2), резултатот ќе биде y(x_(1))< y(x_{2}) .
Корени на функцииВообичаено е да се нарекуваат точките во кои функцијата F=y(x) ја сече оската на апсцисата (тие се добиваат со решавање на равенката y(x)=0).
а) Ако за x > 0 една парна функција се зголемува, тогаш таа се намалува за x< 0
б) Кога парна функција се намалува на x > 0, тогаш таа се зголемува на x< 0
.png)
в) Кога непарната функција се зголемува на x > 0, тогаш таа исто така се зголемува на x< 0
г) Кога непарната функција се намалува за x > 0, тогаш ќе се намали и за x< 0
.png)
Екстреми на функцијата
Минимална точка на функцијата y=f(x) обично се нарекува точка x=x_(0) чие соседство ќе има други точки (освен точката x=x_(0)), а за нив неравенката f(x) > f тогаш ќе биде задоволен (x_(0)) . y_(min) - означување на функцијата во точката min.
Максимална точка на функцијата y=f(x) обично се нарекува точка x=x_(0) чие соседство ќе има други точки (освен точката x=x_(0)), а за нив тогаш ќе се задоволи неравенството f(x).< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Предуслов
Според теоремата на Ферма: f"(x)=0 кога функцијата f(x) која е диференцијабилна во точката x_(0) ќе има екстрем во оваа точка.
Доволна состојба
- Кога изводот го менува знакот од плус во минус, тогаш x_(0) ќе биде минималната точка;
- x_(0) - ќе биде максимална точка само кога изводот ќе го промени знакот од минус во плус кога минува низ стационарната точка x_(0) .
Најголемата и најмалата вредност на функцијата на интервал
Чекори за пресметка:
- Се бара изводот f"(x);
- Се наоѓаат стационарни и критични точки на функцијата и се избираат оние кои припаѓаат на сегментот;
- Вредностите на функцијата f(x) се наоѓаат на стационарни и критични точки и краеви на сегментот. Помалите од добиените резултати ќе бидат најмалата вредност на функцијата, и повеќе - најголемиот.
Функцијае еден од најважните математички поими. Функција - зависност од променлива наод променлива x, ако секоја вредност Xодговара на една вредност на. Променлива Xнаречена независна променлива или аргумент. Променлива нанаречена зависна променлива. Сите вредности на независната променлива (променлива x) го формираат доменот на дефинирање на функцијата. Сите вредности што ги зема зависната променлива (променлива y), формирајте опсег на вредности на функцијата.
График на функцииповикајте го множеството од сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументот, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на функцијата, односно вредностите на променливите се нацртани по оската на апсцисата x, а вредностите на променливата се нацртани долж оската на ординатите y. За да графирате функција, треба да ги знаете својствата на функцијата. Главните својства на функцијата ќе бидат разгледани подолу!
За да изградите график на функција, препорачуваме да ја користите нашата програма - Функции за графика онлајн. Ако имате какви било прашања додека го проучувате материјалот на оваа страница, секогаш можете да ги поставите на нашиот форум. Исто така на форумот ќе ви помогнат да решавате проблеми по математика, хемија, геометрија, теорија на веројатност и многу други предмети!
Основни својства на функциите.
1) Функциски домен и опсег на функции.
Доменот на функцијата е множество од сите валидни валидни вредности на аргументот x(променлива x), за што функцијата y = f(x)одлучен.
Опсегот на функцијата е множество од сите реални вредности y, што функцијата го прифаќа.
Во елементарната математика, функциите се изучуваат само на множеството реални броеви.
2) Функција нули.
Вредности X, на која y=0, повикан функција нули. Тоа се апсцисите на точките на пресек на функционалниот график со оската Ox.
3) Интервали на постојан знак на функција.
Интервали на постојан знак на функција се такви интервали на вредности x, на кој се вреднува функцијата yсе нарекуваат или само позитивни или само негативни интервали на постојан знак на функцијата.
4) Монотоност на функцијата.
Зголемена функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.
Намалувачка функција (во одреден интервал) е функција во која поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата.
5) Парна (непарна) функција.
Парична функција е функција чиј домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било X f(-x) = f(x). Графикот на парна функција е симетричен во однос на ординатата.
Непарна функција е функција чијшто домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото и за кој било Xод доменот на дефиниција еднаквоста е вистина f(-x) = - f(x). Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото.
Дури и функција
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0), односно ако точката априпаѓа на доменот на дефиниција, па точката -аисто така спаѓа во доменот на дефиниција.
2) За која било вредност x f(-x)=f(x)
3) Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската Oy.
Непарна функцијаги има следните својства:
1) Доменот на дефиниција е симетричен во однос на точката (0; 0).
2) за која било вредност x, кои припаѓаат на доменот на дефиниција, еднаквоста f(-x)=-f(x)
3) Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото (0; 0).
Не секоја функција е парна или непарна. Функции општ погледне се ниту парни ниту непарни.
6) Ограничени и неограничени функции.
Функцијата се нарекува ограничена ако има позитивен број M таков што |f(x)| ≤ M за сите вредности на x. Ако таков број не постои, тогаш функцијата е неограничена.
7) Периодичност на функцијата.
Функцијата f(x) е периодична ако има ненула број T таков што за кој било x од доменот на дефиниција на функцијата важи следново: f(x+T) = f(x). Овој најмал број се нарекува период на функцијата. Сите тригонометриски функции се периодични. (Тригонометриски формули).
Функција ѓсе нарекува периодичен ако има број таков што за кој било xод доменот на дефиниција еднаквоста f(x)=f(x-T)=f(x+T). Те периодот на функцијата.
Секоја периодична функција има бесконечен број на периоди. Во пракса, обично се смета најмалиот позитивен период.
Вредностите на периодичната функција се повторуваат по интервал еднаков на периодот. Ова се користи при конструирање графикони.
Дефиниција 1. Се повикува функцијата дури
(чудно
), ако заедно со секоја вредност на променливата 
значење - Xисто така припаѓа 
и важи еднаквоста
Така, функцијата може да биде парна или непарна само ако нејзиниот домен на дефиниција е симетричен во однос на потеклото на координатите на бројната права (број XИ - Xприпаѓаат во исто време 
). На пример, функцијата 
не е ниту парен ниту непарен, бидејќи неговиот домен на дефиниција 
не е симетричен во однос на потеклото.
Функција 
дури, затоа што 
симетрични за потеклото и.
Функција 
чудно, затоа што 
И 
.
Функција 
не е парен и непарен, бидејќи иако 
и е симетричен во однос на потеклото, еднаквостите (11.1) не се задоволни. На пример,.
Графикот на парна функција е симетричен во однос на оската ОУ, бидејќи ако поентата 
исто така припаѓа на распоредот. Графикот на непарна функција е симетричен во однос на потеклото, бидејќи ако 
припаѓа на графикот, па точката 
исто така припаѓа на распоредот.
Кога се докажува дали функцијата е парна или непарна, корисни се следните искази.
Теорема 1. а) Збирот на две парни (непарни) функции е парна (непарна) функција.
б) Производот на две парни (непарни) функции е парна функција.
в) Производот на парна и непарна функција е непарна функција.
г) Ако ѓ– дури и функционира на комплетот X, и функцијата е
дефинирани на сетот 
, потоа функцијата 
– дури.
г) Ако ѓ– непарна функција на комплетот X, и функцијата е
дефинирани на сетот 
и парен (непарен), потоа функцијата 
– парен (непарен).
Доказ. Да докажеме, на пример, б) и г).
б) Нека 
И 
– дури и функции. Тогаш, затоа. Слично се третира и случајот со непарните функции 
И 
.
г) Нека ѓ е рамномерна функција. Потоа.
Останатите изјави на теоремата можат да се докажат на сличен начин. Теоремата е докажана.
Теорема 2. Секоја функција 
, дефинирани на сетот X, симетрично за потеклото, може да се претстави како збир од парни и непарни функции.
Доказ. Функција 
може да се напише во форма
.
Функција 
– дури, затоа што 
, и функцијата 
– чудно, затоа што. Така, 
, Каде 
– дури, и 
– непарни функции. Теоремата е докажана.
Дефиниција 2. Функција 
повикани периодични
, ако има број 
, таков што за било кој 
броеви 
И 
исто така припаѓаат на доменот на дефиниција 
а еднаквостите се задоволени
Таков број Тповикани период
функции 
.
Од дефиницијата 1 произлегува дека ако Т– период на функцијата 
, потоа бројот - ТИсто
е периодот на функцијата
(од кога се заменува Тна - Тсе одржува еднаквоста). Користејќи го методот на математичка индукција може да се покаже дека ако Т– период на функцијата ѓ, тогаш 
, исто така е период. Следи дека ако функцијата има период, тогаш има бесконечно многу периоди.
Дефиниција 3. Најмалиот од позитивните периоди на функцијата се нарекува нејзина главен период.
Теорема 3. Ако Т– главен период на функцијата ѓ, тогаш преостанатите периоди се повеќекратни од него.
Доказ. Да го претпоставиме спротивното, односно дека има период 
функции ѓ
(
>0), не повеќекратно Т. Потоа, делење 
на Тсо остатокот добиваме 
, Каде 
. Затоа
тоа е 
– период на функцијата ѓ, и 
, а тоа е во спротивност со фактот дека Т– главен период на функцијата ѓ. Изјавата на теоремата произлегува од добиената противречност. Теоремата е докажана.
Добро е познато дека тригонометриските функции се периодични. Главен период 
И 
еднакви 
,
И 
. Да го најдеме периодот на функцијата 
. Нека 
- периодот на оваа функција. Потоа
(затоа што 
.
орор 
.
Значење Т, утврден од првата еднаквост, не може да биде период, бидејќи зависи од X, т.е. е функција на X, а не константен број. Периодот се одредува од втората еднаквост: 
. Има бескрајно многу периоди, со 
најмал позитивен период се добива на 
:
. Ова е главниот период на функцијата 
.
Пример за посложена периодична функција е функцијата Дирихле
Забележете дека ако Ттогаш е рационален број 
И 
се рационални броеви за рационални Xа ирационално кога нерационално X. Затоа
за кој било рационален број Т. Затоа, секој рационален број Те периодот на функцијата Дирихле. Јасно е дека оваа функција нема главен период, бидејќи има позитивни рационални броеви кои се произволно блиску до нула (на пример, рационален број може да се направи со избирање nпроизволно блиску до нула).
Теорема 4. Ако функцијата ѓ
дефинирани на сетот Xи има период Т, и функцијата е
дефинирани на сетот 
, потоа сложена функција 
има и период Т.
Доказ. Затоа имаме
односно се докажува тврдењето на теоремата.
На пример, бидејќи cos
x
има период 
, потоа функциите 
имаат период 
.
Дефиниција 4. Функциите кои не се периодични се нарекуваат непериодични .