Како да се реши поедноставувањето на изразите. Конвертирање на изрази

Ајде да ја разгледаме темата за трансформирање на изразите со моќи, но прво да се задржиме на голем број трансформации што можат да се извршат со какви било изрази, вклучително и со моќни. Ќе научиме да отвораме загради, донесе слични термини, работи со основа и експонент, користи својства на степени.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Што се изрази на моќ?

ВО училишен курсМалкумина ја користат фразата „ изрази на моќ“, но овој термин постојано се наоѓа во збирките за подготовка за обединет државен испит. Во повеќето случаи, фразата означува изрази кои содржат степени во нивните записи. Ова е она што ќе го одразиме во нашата дефиниција.

Дефиниција 1

Израз на моќе израз кој содржи моќи.

Да дадеме неколку примери на изрази на моќ, почнувајќи од моќта со природен индикатора завршува со диплома со реален експонент.

Наједноставните изрази на моќ може да се сметаат за моќи на број со природен експонент: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . И, исто така, моќи со нула експонент: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. И степени со цели броеви негативни моќи: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Малку е потешко да се работи со диплома која има рационална и ирационални индикатори: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Индикаторот може да биде променливата 3 x - 54 - 7 3 x - 58 или логаритам x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Се занимававме со прашањето што се изразите на моќ. Сега да почнеме да ги конвертираме.

Главни видови трансформации на изрази на моќ

Најпрво ќе ги разгледаме основните идентитетски трансформации на изразите што можат да се изведат со изрази на моќ.

Пример 1

Пресметајте ја вредноста на изразот на моќност 2 3 (4 2 − 12).

Решение

Сите трансформации ќе ги извршиме во согласност со редоследот на дејствијата. ВО во овој случајЌе започнеме со извршување на дејствата во загради: ќе го замениме степенот со дигитална вредност и ќе ја пресметаме разликата од два броја. Ние имаме 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Сè што треба да направиме е да го замениме степенот 2 3 неговото значење 8 и пресметајте го производот 8 4 = 32. Еве го нашиот одговор.

Одговор: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Поедноставете го изразот со моќи 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Решение

Изразот што ни е даден во изјавата за проблемот содржи слични термини што можеме да ги дадеме: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Одговор: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Изрази го изразот со моќи 9 - b 3 · π - 1 2 како производ.

Решение

Да го замислиме бројот 9 како моќ 3 2 и примени ја скратената формула за множење:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Одговор: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

Сега да преминеме на анализата идентитетски трансформации, што може да се примени конкретно за изрази на моќ.

Работа со база и експонент

Степенот во основата или експонентот може да има броеви, променливи и некои изрази. На пример, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7И . Работењето со такви записи е тешко. Многу е полесно да се замени изразот во основата на степенот или изразот во експонентот со идентично еднаков израз.

Трансформациите на степенот и експонентот се вршат според правилата што ни се познати одделно едни од други. Најважно е дека трансформацијата резултира со израз идентичен на оригиналниот.

Целта на трансформациите е да се поедностави оригиналниот израз или да се добие решение за проблемот. На пример, во примерот што го дадовме погоре, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 можете да ги следите чекорите за да отидете до степенот 4 , 1 1 , 3 . Со отворање на заградите, можеме да претставиме слични термини на основата на моќта (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)и добијте израз на моќ за повеќе едноставен тип a 2 (x + 1).

Користење на својствата на степенот

Својствата на моќите, напишани во форма на еднаквости, се една од главните алатки за трансформирање на изразите со моќи. Овде ги презентираме главните, земајќи го предвид тоа аИ б- овие се какви било позитивни бројки, А рИ с- произволни реални броеви:

Дефиниција 2

  • a r · a s = a r + s ;
  • a r: a s = a r − s ;
  • (a · b) r = a r · b r ;
  • (a: b) r = a r: b r ;
  • (a r) s = a r · s .

Во случаи кога имаме работа со природни, целини, позитивни показателистепени, ограничувањата на броевите a и b може да бидат многу помалку строги. Така, на пример, ако ја земеме предвид еднаквоста a m · a n = a m + n, Каде мИ n – цели броеви, тогаш тоа ќе биде точно за сите вредности на a, и позитивни и негативни, како и за a = 0.

Можете да ги примените својствата на моќите без ограничувања во случаи кога основите на моќите се позитивни или содржат променливи, област прифатливи вредностишто е такво што основата врз неа прифаќа само позитивни вредности. Всушност, во рамките на училишна наставна програмапо математика задача на ученикот е да избере соодветно својство и правилно да го примени.

Кога се подготвувате за влез на универзитети, може да наидете на проблеми во кои неточната примена на својствата ќе доведе до стеснување на DL и други тешкотии во решавањето. ВО овој делЌе испитаме само два такви случаи. Повеќе информации за оваа тема може да се најдат во темата „Конвертирање на изрази користејќи својства на моќи“.

Пример 4

Замислете го изразот a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5во форма на моќност со основа а.

Решение

Прво, го користиме својството на степенување и го трансформираме вториот фактор користејќи го (а 2) - 3. Потоа ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Одговор: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Трансформацијата на изразите на моќта според својството на моќите може да се изврши и од лево кон десно и во спротивна насока.

Пример 5

Најдете ја вредноста на изразот за моќност 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Ако примениме еднаквост (а · б) r = a r · b r, од десно кон лево, добиваме производ од формата 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и потоа 21 1 3 · 21 2 3 . Да ги собереме експонентите при множење на силите со по истите основи: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Постои уште еден начин да се изврши трансформацијата:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Одговор: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Пример 6

Даден израз на моќ a 1, 5 − a 0, 5 − 6, внесете нова променлива t = a 0,5.

Решение

Да го замислиме степенот а 1, 5Како а 0,5 3. Користење на својството на степени до степени (a r) s = a r · sод десно кон лево и добиваме (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Можете лесно да воведете нова променлива во добиениот израз t = a 0,5: добиваме t 3 − t − 6.

Одговор: t 3 − t − 6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Обично се занимаваме со две верзии на изрази на моќ со дропки: изразот претставува дропка со моќност или содржи таква дропка. Сите основни трансформации на дропки се применливи за такви изрази без ограничувања. Тие можат да се намалат, да се доведат до нов именител или да се работат одделно со броителот и именителот. Ајде да го илустрираме ова со примери.

Пример 7

Поедноставете го изразот за моќност 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Имаме работа со дропка, па ќе извршиме трансформации и во броителот и во именителот:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Поставете знак минус пред дропката за да го промените знакот на именителот: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Одговор: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Дропките што содржат моќи се сведуваат на нов именител на ист начин како рационални дропки. За да го направите ова, треба да пронајдете дополнителен фактор и да ги помножите броителот и именителот на дропката со него. Неопходно е да се избере дополнителен фактор на таков начин што тој не оди на нула за која било вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример 8

Намали ги дропките на нов именител: а) a + 1 a 0, 7 на именителот а, б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 до именителот x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Да избереме фактор што ќе ни овозможи да се намалиме на нов именител. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,затоа како дополнителен фактор ќе земеме а 0, 3. Опсегот на дозволени вредности на променливата a го вклучува множеството на сите позитивни реални броеви. Диплома во оваа област а 0, 3не оди на нула.

Ајде да ги помножиме броителот и именителот на дропка со а 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

б) Да обрнеме внимание на именителот:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Да го помножиме овој израз со x 1 3 + 2 · y 1 6, го добиваме збирот на коцките x 1 3 и 2 · y 1 6, т.е. x + 8 · y 1 2 . Ова е наше нов именител, на што треба да ја намалиме првобитната дропка.

Така го најдовме дополнителниот фактор x 1 3 + 2 · y 1 6 . На опсегот на дозволените вредности на променливите xИ yизразот x 1 3 + 2 y 1 6 не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Одговор:а) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, б) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Намали ја дропот: а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Решение

а) Го користиме најголемиот заеднички именител (GCD), со кој можеме да ги намалиме броителот и именителот. За броевите 30 и 45 е 15. Можеме да направиме и намалување за x0,5+1и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Добиваме:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

б) Овде присуството на идентични фактори не е очигледно. Ќе треба да извршите некои трансформации за да ги добиете истите фактори во броителот и именителот. За да го направите ова, го прошируваме именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Одговор:а) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Основните операции со дропки вклучуваат претворање на дропки во нов именител и намалување на дропките. Двете дејства се вршат во согласност со голем број правила. При собирање и одземање дропки, дропките прво се сведуваат на заеднички именител, по што се вршат операции (собирање или одземање) со броителите. Именителот останува ист. Резултатот од нашите постапки е нова дропка, чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот.

Пример 10

Направете ги чекорите x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Да почнеме со одземање на дропките што се во загради. Да ги доведеме до заеднички именител:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Да ги одземеме броителите:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Сега ги множиме дропките:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Ајде да намалиме за една моќ x 1 2, добиваме 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнително, можете да го поедноставите изразот на моќност во именителот користејќи ја формулата за разлика на квадрати: квадрати: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Одговор: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Поедноставете го изразот на законот за моќ x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Решение

Можеме да ја намалиме дропот за (x 2 , 7 + 1) 2. Добиваме дропка x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Ајде да продолжиме со трансформирање на моќите на x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Сега можете да го користите својството на делење моќи со истите основи: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Се движиме од последната работадо делот x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Одговор: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Мултипликатори со негативни показателиВо повеќето случаи, попогодно е да се префрлат степени од броителот до именителот и назад, менувајќи го знакот на експонентот. Оваа акција ви овозможува да ја поедноставите понатамошната одлука. Да дадеме пример: изразот на моќност (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 може да се замени со x 3 · (x + 1) 0, 2.

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Во проблемите има изрази за моќ кои содржат не само овластувања со фракциони индикатори, но и корени. Препорачливо е таквите изрази да се сведат само на корени или само на моќи. Пожелно е да се оди по дипломи бидејќи е полесна за работа со нив. Оваа транзиција особено се претпочита кога ODZ на променливи за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со моќи без потреба да пристапите до модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали.

Пример 12

Изрази го изразот x 1 9 · x · x 3 6 како моќност.

Решение

Опсег на дозволени променливи вредности xсе дефинира со две неравенки x ≥ 0и x x 3 ≥ 0, кои го дефинираат множеството [ 0 , + ∞) .

На овој сет имаме право да се движиме од корени кон моќи:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Користејќи ги својствата на моќите, го поедноставуваме добиениот израз на моќност.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Одговор: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Конвертирање моќи со променливи во експонентот

Овие трансформации се прилично лесно да се направат ако правилно ги користите својствата на степенот. На пример, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Можеме да го замениме со производ на моќи, чии експоненти се збир на некоја променлива и број. На левата страна, ова може да се направи со првиот и последниот член од левата страна на изразот:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Сега да ги поделиме двете страни на еднаквоста со 7 2 x. Овој израз за променливата x зема само позитивни вредности:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Да ги намалиме дропките со моќи, добиваме: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Конечно, односот на моќи со исти експоненти се заменува со моќи на соодноси, што резултира со равенката 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, што е еквивалентно на 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Дозволете ни да воведеме нова променлива t = 5 7 x , која го намалува решението на оригиналот експоненцијална равенкада се реши квадратната равенка 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Конвертирање на изрази со моќи и логаритми

Во проблемите се среќаваат и изрази кои содржат моќи и логаритми. Пример за такви изрази е: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Конверзија слични изразисе изведува со користење на пристапите и својствата на логаритмите дискутирани погоре, за кои детално разговаравме во темата „Трансформирање на логаритамски изрази“.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Забелешка 1

Булова функција може да се напише со помош на Булова израз и потоа да се премести во логичко коло. Потребно е да се поедностават логичките изрази за да се добие наједноставното (а со тоа и поевтиното) можно логично коло. Во суштина, логичка функција, логички израз и логичко коло- тоа е три различни јазици, раскажувајќи за еден ентитет.

Да се ​​поедностави логички изразиупотреба закони на алгебарската логика.

Некои трансформации се слични на трансформациите на формулите во класичната алгебра (земајќи го заедничкиот фактор од заградите, користејќи комутативни и комбинирани закониитн.), а другите трансформации се засноваат на својства кои операциите на класичната алгебра не ги поседуваат (употреба на дистрибутивниот закон за сврзување, закони за апсорпција, лепење, де Морганови правила итн.).

Законите на алгебрата на логиката се формулирани за основни логички операции- „НЕ“ – инверзија (негирање), „И“ – сврзник (логичко множење) и „ИЛИ“ – дисјункција (логичко собирање).

Законот за двојна негација значи дека операцијата „НЕ“ е реверзибилна: ако ја примените двапати, тогаш на крајот логичката вредност нема да се промени.

Законот за исклучена средина вели дека секој логичен израз е или вистинит или неточен („нема трето“). Според тоа, ако $A=1$, тогаш $\bar(A)=0$ (и обратно), што значи дека сврзникот на овие величини е секогаш еднаков на нула, а дисјункцијата е секогаш еднаква на еден.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Ајде да ја поедноставиме оваа формула:

Слика 3.

Следи дека $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Одговор:Учениците $B$, $C$ и $D$ играат шах, но студентот $A$ не игра.

Кога ги поедноставувате логичките изрази, можете да ја извршите следната низа на дејства:

  1. Заменете ги сите „неосновни“ операции (еквивалентност, импликација, ексклузивни ИЛИ, итн.) со нивните изрази преку основни операцииинверзија, сврзник и дисјункција.
  2. Проширете ги инверзиите на сложените изрази според правилата на Де Морган на таков начин што операциите за негација остануваат само за поединечни променливи.
  3. Потоа поедноставете го изразот користејќи загради за отворање, ставајќи заеднички фактори надвор од заградите и други закони на логичката алгебра.

Пример 2

Овде сукцесивно се користат правилото на Де Морган, дистрибутивниот закон, законот на исклучената средина, комутативниот закон, законот на повторување, повторно комутативниот закон и законот на апсорпција.

На почетокот на лекцијата ќе ги разгледаме основните својства на квадратните корени, а потоа ќе разгледаме неколку сложени примерида ги поедностави изразите што содржат квадратни корени.

Тема:Функција. Својства квадратен корен

Лекција:Конвертирање и поедноставување на посложени изрази со корени

1. Преглед на својствата на квадратните корени

Да ја повториме накратко теоријата и да се потсетиме на основните својства на квадратните корени.

Својства на квадратните корени:

1. затоа, ;

3. ;

4. .

2. Примери за поедноставување изрази со корени

Ајде да продолжиме со примери за користење на овие својства.

Пример 1: Поедноставете израз .

Решение. За да се поедностави, бројот 120 мора да се факторизира во прости фактори:

Ќе го откриеме квадратот на збирот користејќи ја соодветната формула:

Пример 2: Поедноставете израз .

Решение. Да земеме предвид дека овој израз нема смисла за сите можни вредностипроменлива, бидејќи во овој изразПрисутни се квадратни корени и фракции, што доведува до „стеснување“ на опсегот на прифатливи вредности. ОДЗ: ().

Да го доведеме изразот во загради до заедничкиот именител и да го запишеме броителот на последната дропка како разлика на квадрати:

Одговори. на.

Пример 3: Поедноставете израз .

Решение. Може да се види дека втората заграда за броител има незгоден изглед и треба да се поедностави, ајде да се обидеме да ја пресметаме користејќи го методот на групирање.

За да може да се спроведе заеднички мултипликаторги поедноставивме корените со нивно факторингирање. Ајде да го замениме добиениот израз во оригиналната дропка:

По намалувањето на дропот, ја применуваме формулата за разлика од квадрати.

3. Пример за ослободување од ирационалноста

Пример 4. Ослободете се од ирационалноста (корените) во именителот: а) ; б) .

Решение. а) За да се ослободиме од ирационалноста во именителот, користиме стандарден методмножејќи ги и броителот и именителот на дропка со конјугираниот фактор со именителот (ист израз, но со спротивен знак). Ова е направено за да се надополни именителот на фракцијата до разликата на квадратите, што ви овозможува да се ослободите од корените во именителот. Ајде да го направиме ова во нашиот случај:

б) изврши слични дејства:

4. Пример за докажување и идентификација на целосен квадрат во сложен радикал

Пример 5. Докажи еднаквост .

Доказ. Да ја користиме дефиницијата за квадратен корен, од која произлегува дека квадратот на десниот израз мора да биде еднаков на радикалниот израз:

. Ајде да ги отвориме заградите користејќи ја формулата за квадратот на збирот:

, ја добивме точната еднаквост.

Докажано.

Пример 6. Поедноставете го изразот.

Решение. Овој израз обично се нарекува сложен радикал (корен под корен). ВО во овој примертреба да погодите за да изолирате целосен квадрат од радикалниот израз. За да го направите ова, забележете дека од двата члена, тој е кандидат за улогата на двојниот производ во формулата за квадратна разлика (разлика, бидејќи има минус). Да го напишеме во форма на следниов производ: , потоа улогата на еден од поимите полн квадраттврди, а за улогата на вториот - 1.

Ајде да го замениме овој израз под коренот.

Често задачите бараат поедноставен одговор. Иако и поедноставените и непоедноставените одговори се точни, вашиот инструктор може да ви ја намали оценката ако не го поедноставите одговорот. Покрај тоа, поедноставениот математички израз е многу полесен за работа. Затоа, многу е важно да научите да ги поедноставувате изразите.

Чекори

Правилен редослед на математички операции

  1. Запомнете го правилниот редослед за извршување на математички операции.При поедноставување математичко изразувањемора да се набљудува одреден редоследдејствија, бидејќи некои математички операцииимаат предност пред другите и мора да се направи прво (всушност, непочитувањето на правилниот редослед на операции ќе ве доведе до погрешен резултат). Запомнете го следниот редослед на математички операции: израз во заграда, степенување, множење, делење, собирање, одземање.

    • Забележете дека познавањето на правилниот редослед на операции ќе ви овозможи да ги поедноставите повеќето едноставни изрази, но за да поедноставите полином (израз со променлива) треба да знаете специјални трикови (видете го следниот дел).

  2. Започнете со решавање на изразот во заграда.Во математиката, заградите укажуваат дека прво мора да се оцени изразот во нив. Затоа, кога поедноставувате кој било математички израз, започнете со решавање на изразот затворен во загради (не е важно какви операции треба да извршите во заградите). Но, запомнете дека кога работите со израз затворен во загради, мора да го следите редоследот на операциите, односно термините во заградите прво се множат, делат, додаваат, одземаат итн.

    • На пример, да го поедноставиме изразот 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Овде започнуваме со изразите во загради: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
      • Изразот во вториот пар од загради се поедноставува на 5 бидејќи прво мора да се подели 4/2 (според правилниот редослед на операции). Ако не го следите овој редослед, ќе добиете погрешен одговор: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
    • Ако има уште еден пар загради во заградите, започнете со поедноставување со решавање на изразот во внатрешните загради и потоа преминете на решавање на изразот во надворешната заграда.

  3. Покажи.Откако ќе ги решите изразите во загради, преминете на степенување (запомнете дека моќта има експонент и основа). Подигнете го соодветниот израз (или број) на моќност и заменете го резултатот со изразот што ви е даден.

    • Во нашиот пример, единствениот израз (број) на моќта е 3 2: 3 2 = 9. Во изразот што ви е даден, заменете го 3 2 со 9 и ќе добиете: 2x + 4(7) + 9 - 5.

  4. Множете се.Запомнете дека операцијата за множење може да биде претставена со следните симболи: "x", "∙" или "*". Но, ако нема симболи помеѓу бројот и променливата (на пример, 2x) или помеѓу бројот и бројот во загради (на пример, 4(7)), тогаш ова е исто така операција за множење.

    • Во нашиот пример, постојат две операции за множење: 2x (две помножени со променливата „x“) и 4(7) (четири помножени со седум). Не ја знаеме вредноста на x, па ќе го оставиме изразот 2x како што е. 4(7) = 4 x 7 = 28. Сега можете да го преработите изразот што ви е даден на следниов начин: 2x + 28 + 9 - 5.

  5. Подели.Запомнете дека операцијата за делење може да биде претставена со следните симболи: „/“, „÷“ или „–“ (последниот знак може да го видите во фракции). На пример, 3/4 е три поделено со четири.

    • Во нашиот пример, веќе нема операција за делење, бидејќи веќе сте поделиле 4 со 2 (4/2) кога го решавате изразот во заграда. Така можете да одите на следен чекор. Запомнете дека повеќето изрази не ги содржат сите математички операции (само некои од нив).

  6. Преклопете.Кога додавате термини на израз, можете да започнете со терминот најдалеку (лево), или можете прво да ги додадете термините што лесно се додаваат. На пример, во изразот 49 + 29 + 51 +71, најпрвин е полесно да се додадат 49 + 51 = 100, потоа 29 + 71 = 100 и на крајот 100 + 100 = 200. Многу е потешко да се додаде вака: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

    • Во нашиот пример 2x + 28 + 9 + 5 има две операции за собирање. Да почнеме со најоддалечениот (лев) член: 2x + 28; не можете да додавате 2x и 28 бидејќи не ја знаете вредноста на променливата „x“. Затоа, додадете 28 + 9 = 37. Сега изразот може да се препише на следниов начин: 2x + 37 - 5.

  7. Одземете.Ова последната операцијаВ во правилен редоследизвршување на математички операции. Во оваа фаза можете исто така да додадете негативни броевиили направете го тоа во фаза на додавање членови - ова нема да влијае на конечниот резултат на кој било начин.

    • Во нашиот пример 2x + 37 - 5 има само една операција за одземање: 37 - 5 = 32.

  8. Во оваа фаза, откако ќе ги направите сите математички операции, треба да добиете поедноставен израз.Но, ако изразот што ви е даден содржи една или повеќе променливи, тогаш запомнете дека терминот со променливата ќе остане како што е. Решавањето (не поедноставувањето) на израз со променлива вклучува наоѓање на вредноста на таа променлива. Понекогаш променливите изрази може да се поедностават со користење специјални методи(види следниот дел).

    • Во нашиот пример, конечниот одговор е 2x + 32. Не можете да ги додадете двата члена додека не ја знаете вредноста на променливата „x“. Откако ќе ја знаете вредноста на променливата, можете лесно да го поедноставите овој бином.

    Поедноставување сложени изрази

    1. Додавање на слични термини.Запомнете дека можете само да одземате и да додавате слични поими, односно термини со иста променлива и истиот индикаторстепени. На пример, можете да додадете 7x и 5x, но не можете да додадете 7x и 5x 2 (бидејќи експонентите се различни).

      • Ова правило важи и за членови со повеќе променливи. На пример, можете да додадете 2xy 2 и -3xy 2, но не можете да додадете 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2.
      • Ајде да погледнеме на пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Овде сличните поими се 3x и 8x, така што тие можат да се соберат заедно. Поедноставен израз изгледа вака: x 2 - 5x + 6.

    2. Поедностави ја бројната дропка.Во таква дропка, и броителот и именителот содржат броеви (без променлива). Нумеричка дропкапоедноставен на неколку начини. Прво, едноставно поделете го именителот со броителот. Второ, факторирај ги броителот и именителот и отфрли ги сличните фактори (бидејќи делењето број сам по себе ќе ти даде 1). Со други зборови, ако и броителот и именителот имаат ист фактор, можете да го отфрлите и да добиете поедноставена дропка.

      • На пример, земете ја дропката 36/60. Со помош на калкулатор, поделете 36 со 60 за да добиете 0,6. Но, можете да ја поедноставите оваа дропка на друг начин со факторингирање на броителот и именителот: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Бидејќи 6/6 = 1, поедноставената дропка е: 1 x 6/10 = 6/10. Но, оваа дропка може да се поедностави: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

    3. Ако дропка содржи променлива, можете да ги откажете сличните фактори со променливата.Факторирајте ги и броителот и именителот и поништете ги сличните фактори, дури и ако ја содржат променливата (запомнете дека сличните фактори овде може или не ја содржат променливата).

      • Ајде да погледнеме на пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Овој израз може да се преработи (факторира) во форма: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Бидејќи членот 3x е и во броителот и во именителот, можете да го откажете за да дадете поедноставен израз: (x + 1)/(5 - x). Ајде да погледнеме друг пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Имајте предвид дека не можете да откажете ниту еден термин - се откажуваат само идентичните фактори кои се присутни и во броителот и во именителот. На пример, во изразот (x(x + 2))/x, променливата (фактор) „x“ е и во броителот и во именителот, така што „x“ може да се намали за да се добие поедноставен израз: (x + 2)/1 = x + 2. Меѓутоа, во изразот (x + 2)/x, променливата „x“ не може да се намали (бидејќи „x“ не е фактор во броителот).

    4. Отвори заграда.За да го направите ова, помножете го терминот надвор од заградите со секој член во заградите. Понекогаш помага да се поедностави сложено изразување. Ова се однесува и на двата члена кои се примарни броеви, и на членовите што ја содржат променливата.

      • На пример, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 и 3x (x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Ве молиме имајте предвид дека во фракциони изразиНема потреба да се отвораат заградите ако истиот фактор е присутен и во броителот и во именителот. На пример, во изразот (3(x 2 + 8))/3x нема потреба да се прошируваат заградите, бидејќи овде можете да го откажете факторот 3 и да го добиете поедноставениот израз (x 2 + 8)/x. Овој израз е полесен за работа; ако ги проширите заградите, ќе го добиете следниов сложен израз: (3x 3 + 24x)/3x.

    5. Факторски полиноми.Користејќи го овој метод, можете да поедноставите некои изрази и полиноми. Факторингот е операција спротивно на отворањетозагради, односно изразот се пишува како производ на два израза, од кои секој е затворен во загради. Во некои случаи, факторизацијата може да се намали истиот израз. ВО посебни случаи(обично со квадратни равенки) факторингот ќе ви овозможи да ја решите равенката.

      • Да го разгледаме изразот x 2 - 5x + 6. Се множи: (x - 3)(x - 2). Така, ако, на пример, изразот е даден (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), тогаш можете да го преработите како (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), намалете го изразот (x - 2) и добијте поедноставен израз (x - 3)/2.
      • Полиномите за факторинг се користат за решавање (пронаоѓање корени) равенки (равенката е полином еднаков на 0). На пример, земете ја равенката x 2 - 5x + 6 = 0. Со факторингирање се добива (x - 3)(x - 2) = 0. Бидејќи секој израз помножен со 0 е еднаков на 0, можеме да го запишеме како ова : x - 3 = 0 и x - 2 = 0. Така, x = 3 и x = 2, односно најдовте два корени од равенката што ви е дадена.
Во петтиот век п.н.е., античкиот грчки филозоф Зенон од Елеја ги формулирал своите познати апории, од кои најпозната е апоријата „Ахил и желката“. Еве како звучи тоа:

Да речеме дека Ахил трча десет пати побрзо од желката и е илјада чекори зад неа. За време на времето што му е потребно на Ахил да го истрча ова растојание, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. Кога Ахил ќе истрча сто чекори, желката лази уште десет чекори итн. Процесот ќе продолжи бесконечно, Ахил никогаш нема да ја стигне желката.

Ова расудување стана логичен шок за сите наредни генерации. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Сите тие на овој или оној начин ја разгледувале апоријата на Зенон. Шокот беше толку силен што „ ...дискусиите продолжуваат до ден-денес, за да се дојде до заедничко мислење за суштината на парадоксите научната заедницадосега не беше можно.. бевме вклучени во проучувањето на прашањето математичка анализа, теорија на множества, нови физички и филозофски пристапи; ниту еден од нив не стана општоприфатено решение за проблемот...„[Википедија, „Зенонова апорија“. Сите разбираат дека се измамени, но никој не разбира во што се состои измамата.

Од математичка гледна точка, Зенон во својата апорија јасно го демонстрирал преминот од количина во . Оваа транзиција подразбира примена наместо постојани. Колку што разбрав, математички апаратУпотребата на променливи мерни единици или сè уште не е развиена или не е применета на апоријата на Зенон. Примената на нашата вообичаена логика не води во стапица. Ние, поради инертноста на размислувањето, применуваме константни временски единици на реципрочната вредност. СО физичка точкаОд перспектива, изгледа како времето да забавува додека не запре целосно во моментот кога Ахил ќе ја стигне желката. Ако времето застане, Ахил повеќе не може да ја прегази желката.

Ако ја свртиме нашата вообичаена логика, сè си доаѓа на свое место. Ахил трча со постојана брзина. Секој следен сегмент од неговиот пат е десет пати пократок од претходниот. Соодветно на тоа, времето поминато за негово надминување е десет пати помалку од претходното. Ако го примениме концептот на „бесконечност“ во оваа ситуација, тогаш би било точно да се каже „Ахил бескрајно брзо ќе ја достигне желката“.

Како да се избегне оваа логична замка? Остани внатре константни единицимерења на времето и не одат на реципрочни величини. На јазикот на Зенон изгледа вака:

Во времето што му треба на Ахил да истрча илјада чекори, желката ќе ползи сто чекори во иста насока. За следниот временски интервал, еднаков на првиот, Ахил ќе истрча уште илјада чекори, а желката ќе ползи сто чекори. Сега Ахил е осумстотини чекори пред желката.

Овој пристап адекватно ја опишува реалноста без никакви логички парадокси. Но, тоа не е целосно решениеПроблеми. Изјавата на Ајнштајн за неодоливоста на брзината на светлината е многу слична на Зеноновата апорија „Ахил и желката“. Сè уште треба да го проучуваме, преиспитаме и решиме овој проблем. А решението мора да се бара не во бескрајно голем број, туку во мерни единици.

Друга интересна апорија на Зенон раскажува за летечка стрела:

Летечката стрела е неподвижна, бидејќи во секој момент од времето е во мирување, а бидејќи е во мирување во секој момент од времето, секогаш е во мирување.

Во оваа апорија, логичкиот парадокс е надминат многу едноставно - доволно е да се разјасни дека во секој момент од времето летечка стрела мирува на различни точки во просторот, што, всушност, е движење. Тука треба да се забележи уште една точка. Од една фотографија на автомобил на патот, невозможно е да се одреди ниту фактот на неговото движење ниту растојанието до него. За да одредите дали автомобилот се движи, потребни ви се две фотографии направени од иста точка различни моментивреме, но од нив не може да се одреди растојанието. За да го одредите растојанието до автомобилот, потребни ви се две фотографии направени од различни точкипростор во еден момент во времето, но невозможно е да се одреди фактот на движење од нив (природно, се уште се потребни дополнителни податоци за пресметки, тригонометријата ќе ви помогне). Она што сакам да го истакнам Посебно внимание, е тоа што две точки во времето и две точки во просторот се различни работи кои не треба да се мешаат, бидејќи даваат различни можности за истражување.

Среда, 4 јули 2018 година

Разликите помеѓу множеството и мултимножеството се многу добро опишани на Википедија. Ајде да видиме.

Како што можете да видите, „не може да има два идентични елементи во множеството“, но ако има идентични елементи во множеството, таквото множество се нарекува „мултисет“. Разумните суштества никогаш нема да ја разберат таквата апсурдна логика. Ова е нивото зборуваат папагалии обучени мајмуни, кои немаат интелигенција од зборот „целосно“. Математичарите делуваат како обични тренери, проповедајќи ни ги нивните апсурдни идеи.

Некогаш инженерите кои го граделе мостот биле во чамец под мостот додека го тестирале мостот. Ако мостот се урнал, просечниот инженер умрел под урнатините на неговата креација. Ако мостот можеше да го издржи товарот, талентираниот инженер изградил други мостови.

Без разлика колку математичарите се кријат зад фразата „зафркни ме, јас сум во куќата“, поточно „студии по математика апстрактни концепти“, постои една папочна врвца која нераскинливо ги поврзува со реалноста. Оваа папочна врвца е пари. Аплицирајте математичка теоријапоставува на самите математичари.

Многу добро учевме математика и сега седиме на каса и даваме плати. Значи, математичар доаѓа кај нас за неговите пари. Му ја броиме целата сума и ја поставуваме на нашата маса во различни купови, во кои ставаме сметки од иста деноминација. Потоа земаме по една сметка од секој куп и му ја предаваме на математичарот“. математичко множествоплати.“ На математиката им објаснуваме дека преостанатите сметки ќе ги добие само кога ќе докаже дека комплет без идентични елементи не е еднаков на комплет со идентични елементи. Овде започнува забавата.

Како прво, ќе функционира логиката на пратениците: „Ова може да се примени за другите, но не и за мене! Тогаш ќе почнат да нè уверуваат дека сметките од иста деноминација имаат различни броеви на сметки, што значи дека не можат да се сметаат за исти елементи. Добро, ајде да ги броиме платите во монети - нема бројки на монетите. Тука математичарот ќе почне френетично да се сеќава на физиката: на различни монети има различни количиникал, кристална структураа распоредот на атомите во секоја паричка е единствен...

И сега имам најмногу интерес Прашај: каде е линијата по која елементите на повеќемножеството се претвораат во елементи на множество и обратно? Таква линија не постои - сè одлучуваат шаманите, науката не е ни блиску до лажење овде.

Погледнете тука. Избираме фудбалски стадиони со иста површина на теренот. Областите на полињата се исти - што значи дека имаме мултимножество. Но, ако ги погледнеме имињата на истите овие стадиони, добиваме многу, бидејќи имињата се различни. Како што можете да видите, истиот сет на елементи е и множество и мултимножество. Што е точно? И тука математичарот-шаман-острист вади кец на адути од ракавот и почнува да ни кажува или за сет или за мултисет. Во секој случај ќе не убеди дека е во право.

За да се разбере како модерните шамани работат со теоријата на множества, врзувајќи ја со реалноста, доволно е да се одговори на едно прашање: како елементите на едно множество се разликуваат од елементите на друго множество? Ќе ти покажам, без никакво „замисливо како не една целина“ или „незамисливо како единствена целина“.

недела, 18 март 2018 година

Збирот на цифрите на еден број е танц на шаманите со тамбура, што нема никаква врска со математиката. Да, на часовите по математика нè учат да го најдеме збирот на цифрите на некој број и да го користиме, но затоа тие се шамани, за да ги научат своите потомци на нивните вештини и мудрост, инаку шаманите едноставно ќе изумрат.

Дали ви треба доказ? Отворете ја Википедија и обидете се да ја пронајдете страницата „Збир на цифри на број“. Таа не постои. Не постои формула во математиката што може да се користи за да се најде збирот на цифрите на кој било број. Впрочем, бројките се графички симболи, со чија помош пишуваме броеви и на математички јазик задачата звучи вака: „Најди го збирот на графички симболи што претставуваат кој било број“. Математичарите не можат да го решат овој проблем, но шаманите го можат лесно.

Ајде да откриеме што и како правиме за да го најдеме збирот на броеви даден број. И така, да го имаме бројот 12345. Што треба да се направи за да се најде збирот на цифрите на овој број? Ајде да ги разгледаме сите чекори по ред.

1. Запишете го бројот на лист хартија. Што направивме? Го претворивме бројот во симбол на графички број. Ова не е математичка операција.

2. Една добиена слика ја сечеме на неколку слики кои содржат поединечни броеви. Сечењето слика не е математичка операција.

3. Претворете ги поединечните графички симболи во бројки. Ова не е математичка операција.

4. Додадете ги добиените броеви. Сега ова е математика.

Збирот на цифрите на бројот 12345 е 15. Тоа се „курсевите за сечење и шиење“ што ги учат шаманите што ги користат математичарите. Но, тоа не е се.

Од математичка гледна точка, не е важно во кој броен систем пишуваме број. Значи, во различни системиВо пресметката, збирот на цифрите од истиот број ќе биде различен. Во математиката, нумеричкиот систем е означен како подлога десно од бројот. СО голем број 12345 Не сакам да си ја измамам главата, да го погледнеме бројот 26 од написот за . Ајде да го напишеме овој број во бинарни, октални, децимални и хексадецимални броени системи. Ние нема да го гледаме секој чекор под микроскоп, ние веќе го направивме тоа. Да го погледнеме резултатот.

Како што можете да видите, во различни системи на броеви збирот на цифрите од истиот број е различен. Овој резултат нема никаква врска со математиката. Исто како да ја одредите плоштината на правоаголникот во метри и сантиметри, ќе добиете сосема различни резултати.

Нулата изгледа исто во сите системи со броеви и нема збир на цифри. Ова е уште еден аргумент во прилог на фактот дека. Прашање до математичарите: како нешто што не е број е означено во математиката? Што, за математичарите не постои ништо освен бројките? Можам да го дозволам ова за шамани, но не и за научниците. Реалноста не е само бројки.

Добиениот резултат треба да се смета како доказ дека броевните системи се мерни единици за броевите. На крајот на краиштата, не можеме да споредуваме бројки со различни единицимерења. Ако истите дејства со различни мерни единици на иста количина доведат до различни резултати по нивното споредување, тогаш тоа нема никаква врска со математиката.

Што е вистинска математика? Ова е кога резултатот математичка операцијане зависи од големината на бројот, мерната единица што се користи и кој го врши дејството.

Потпишете на вратата Ја отвора вратата и вели:

О! Зарем ова не е женски тоалет?
- Млада жена! Ова е лабораторија за проучување на недефилската светост на душите при нивното вознесување на небото! Ореол на врвот и стрелка нагоре. Кој друг тоалет?

Женски... Ореолот одозгора и стрелката надолу се машки.

Ако такво дизајнерско дело ви трепка пред очи неколку пати на ден,

Тогаш не е изненадувачки што одеднаш ќе најдете чудна икона во вашиот автомобил:

Лично, се трудам да видам минус четири степени кај какачот (една слика) (композиција од неколку слики: знак минус, број четири, ознака на степени). И јас не мислам дека оваа девојка е глупава, не познавања по физика. Таа едноставно има лак стереотип на перцепција графички слики. И математичарите нè учат на ова постојано. Еве еден пример.

1А не е „минус четири степени“ или „еден а“. Ова е „човек што кака“ или бројот „дваесет и шест“ во хексадецимална нотација. Оние луѓе кои постојано работат во овој броен систем автоматски ги перцепираат бројот и буквата како еден графички симбол.