Како да се споредат броевите со исти моќи. Конвертирање на изрази со корени и моќи

Прво ниво

Споредба на броеви. Сеопфатен водич (2019)

Кога решавате равенки и неравенки, како и проблеми со модули, треба да ги поставите пронајдените корени на бројната линија. Како што знаете, пронајдените корени може да бидат различни. Тие можат да бидат вака: , или може да бидат вака: , .

Според тоа, ако бројките не се рационални туку ирационални (ако сте заборавиле што се, погледнете во темата), или се сложени математички изрази, тогаш нивното поставување на бројната линија е многу проблематично. Освен тоа, не можете да користите калкулатори за време на испитот, а приближните пресметки не даваат 100% гаранции дека еден број е помал од друг (што ако има разлика помеѓу бројките што се споредуваат?).

Се разбира, знаете дека позитивните броеви се секогаш поголеми од негативните и дека ако замислиме бројна оска, тогаш кога се споредуваме, најголеми бројкиќе се наоѓа десно од најмалите: ; ; итн.

Но, дали сè е секогаш толку лесно? Каде на бројната права означуваме, .

Како може да се споредат, на пример, со број? Ова е триење...)

Прво, да разговараме внатре општ прегледкако и што да се спореди.

Важно: препорачливо е да се направат трансформации така што знакот за нееднаквост да не се промени!Тоа е, за време на трансформациите е непожелно да се множи со негативен број, И тоа е забранетоквадрат ако еден од деловите е негативен.

Споредба на дропки

Значи, треба да споредиме две дропки: и.

Постојат неколку опции за тоа како да го направите ова.

Опција 1. Намали ги дропките на заеднички именител.

Ајде да го напишеме во форма на обична дропка:

- (како што гледате, ги намалив и броителот и именителот).

Сега треба да ги споредиме дропките:

Сега можеме да продолжиме да споредуваме на два начина. Ние можеме:

  1. само доведете сè до заеднички именител, прикажувајќи ги двете дропки како неправилни (броителот е поголем од именителот):

    Кој број е поголем? Така е, оној со поголем броител, односно првиот.

  2. „Ајде да отфрлиме“ (сметаме дека од секоја дропка одзедовме по една, а односот на дропките еден кон друг, соодветно, не се промени) и споредете ги дропките:

    Ги доведуваме и до заеднички именител:

    Го добивме токму истиот резултат како и во претходниот случај - првиот број е поголем од вториот:

    Да провериме и дали правилно сме одзеле едно? Ајде да ја пресметаме разликата во броителот во првата пресметка и втората:
    1)
    2)

Значи, погледнавме како да ги споредиме дропките, доведувајќи ги до заеднички именител. Да преминеме на друг метод - споредување дропки, нивно доведување до заеднички... броител.

Опција 2. Споредување на дропки со намалување на заеднички броител.

Да Да. Ова не е печатна грешка. Овој метод ретко кој се учи на училиште, но многу често е многу удобен. За брзо да ја разберете нејзината суштина, ќе ви поставам само едно прашање - „во кои случаи вредноста на дропка е најголема? Се разбира, ќе кажете „кога броителот е колку што е можно поголем, а именителот што е можно помал“.

На пример, можете дефинитивно да кажете дека е вистина? Што ако треба да ги споредиме следните дропки: ? Мислам дека и вие веднаш правилно ќе го ставите знакот, бидејќи во првиот случај тие се делат на делови, а во вториот на цели, што значи дека во вториот случај парчињата излегуваат многу мали и соодветно: . Како што можете да видите, именителот овде се различни, но броителите се исти. Меѓутоа, за да се споредат овие две дропки, не мора да барате заеднички именител. Иако... најди го и види дали знакот за споредба е сè уште погрешен?

Но, знакот е ист.

Да се ​​вратиме на нашата првобитна задача - споредете и... Ќе споредиме и... Да ги намалиме овие дропки не на заеднички именител, туку на заеднички броител. За да го направите ова едноставно броител и именителпомножете ја првата дропка со. Добиваме:

И. Која дропка е поголема? Така е, првото.

Опција 3: Споредување на дропки со одземање.

Како да се споредат дропките користејќи одземање? Да, многу едноставно. Од една дропка одземаме уште една. Ако резултатот е позитивен, тогаш првата дропка (минуенд) е поголема од втората (подлога), а ако е негативна, тогаш обратно.

Во нашиот случај, да се обидеме да ја одземеме првата дропка од втората: .

Како што веќе разбравте, ние исто така се претвораме во обична дропка и го добиваме истиот резултат - . Нашиот израз има форма:

Следно, сепак ќе треба да прибегнеме кон намалување на заеднички именител. Прашањето е: на првиот начин, претворање на дропки во несоодветни, или на вториот начин, како да се „отстранува“ единицата? Инаку, оваа акција има целосно математичко оправдување. Погледнете:

Втората опција ми се допаѓа подобро, бидејќи множењето во броител кога се сведува на заеднички именител станува многу полесно.

Да го доведеме до заеднички именител:

Главната работа овде е да не се мешаме за тоа од кој број одземавме и каде. Внимателно погледнете го напредокот на решението и не случајно мешајте ги знаците. Го одзедовме првиот број од вториот број и добивме негативен одговор, па?.. Така е, првиот број е поголем од вториот.

Разбрав? Обидете се да споредите дропки:

Застани, застани. Не брзајте да доведете до заеднички именител или да одземате. Погледнете: можете лесно да го претворите во децимална дропка. Колку долго ќе биде? Во право. Што повеќе на крајот?

Ова е уште една опција - споредување на дропки со претворање во децимален број.

Опција 4: Споредување дропки со помош на делење.

Да Да. И ова е исто така можно. Логиката е едноставна: кога се делиме поголем бројза помалку, одговорот што го добиваме е бројот повеќе од еден, и ако поделиме помал бројза повеќе, тогаш одговорот паѓа на интервалот од до.

За да го запомните ова правило, споредете кои било две примарни броеви, на пример, и. Знаеш што има повеќе? Сега ајде да се подели по. Нашиот одговор е. Според тоа, теоријата е точна. Ако се подели со, она што го добиваме е помалку од еден, што пак потврдува дека всушност е помалку.

Ајде да се обидеме да го примениме ова правило обични дропки. Ајде да споредиме:

Поделете ја првата дропка со втората:

Ајде да се скрати од и од страна.

Добиениот резултат е помал, што значи дивиденда помал од делител, тоа е:

Ние средивме сè можни опцииспоредување дропки. Како ги гледате 5:

  • намалување на заеднички именител;
  • намалување на заеднички броител;
  • намалување во форма на децимална дропка;
  • одземање;
  • поделба.

Подготвени да тренирате? Споредете ги дропките на оптимален начин:

Ајде да ги споредиме одговорите:

  1. (- конвертирај во децимален)
  2. (поделете една дропка со друга и намалијте со броител и именител)
  3. (одберете го целиот дел и споредете ги дропките по принципот на ист броител)
  4. (поделете една дропка со друга и намалувајте со броител и именител).

2. Споредба на степени

Сега замислете дека треба да споредуваме не само бројки, туку изрази каде што има степен ().

Се разбира, лесно можете да поставите знак:

На крајот на краиштата, ако го замениме степенот со множење, добиваме:

Од овој мал и примитивен пример следи правилото:

Сега обидете се да го споредите следново: . Можете исто така лесно да ставите знак:

Затоа што ако го замениме степенувањето со множење...

Во принцип, разбирате сè, и воопшто не е тешко.

Тешкотиите се јавуваат само кога, при споредување, степените имаат различни основи и индикатори. Во овој случај, треба да се обидете да доведете до заедничка основа. На пример:

Се разбира, знаете дека ова, соодветно, изразот има форма:

Ајде да ги отвориме заградите и да споредиме што добиваме:

Некои посебен случај, кога основата на степенот () е помала од еден.

Ако, тогаш од два степени и поголем е оној чиј индекс е помал.

Ајде да се обидеме да го докажеме ова правило. Нека биде.

Ајде да воведеме некој природен број како разлика помеѓу и.

Логично, нели?

И сега уште еднаш да обрнеме внимание на состојбата - .

Соодветно: . Оттука,.

На пример:

Како што разбирате, го разгледавме случајот кога основите на овластувањата се еднакви. Сега да видиме кога основата е во интервалот од до, но експонентите се еднакви. Сè е многу едноставно овде.

Ајде да се потсетиме како да го споредиме ова користејќи пример:

Се разбира, брзо ја направивте математиката:

Затоа, кога ќе наидете на слични проблеми за споредба, имајте на ум некој едноставен сличен пример што можете брзо да го пресметате и врз основа на овој пример ставете знаци во покомплексен.

Кога вршите трансформации, запомнете дека ако множите, собирате, одземате или делите, тогаш сите дејства мора да се направат и со левата и со десната страна (ако множите со, тогаш мора да ги помножите и двете).

Покрај тоа, има случаи кога е едноставно непрофитабилно да се прават какви било манипулации. На пример, треба да споредите. ВО во овој случај, не е толку тешко да се подигне на моќ и да се организира знакот врз основа на ова:

Ајде да вежбаме. Споредете степени:

Подготвени сте да ги споредите одговорите? Еве што добив:

  1. - исто како
  2. - исто како
  3. - исто како
  4. - исто како

3. Споредување на броеви со корени

Прво, да се потсетиме што се корените? Дали се сеќавате на оваа снимка?

Коренот на моќта на реален број е број за кој важи еднаквоста.

Корениод непарен степен постојат за негативни и позитивни бројки, А дури и корени- само за позитивните.

Вредноста на коренот е често бесконечна децимална, што го отежнува прецизното пресметување, па затоа е важно да може да се споредуваат корените.

Ако сте заборавиле што е и со што се јаде - . Ако се сеќавате на сè, ајде да научиме да ги споредуваме корените чекор по чекор.

Да речеме дека треба да споредиме:

За да ги споредите овие два корени, не треба да правите никакви пресметки, само анализирајте го самиот концепт на „корен“. Дали разбираш за што зборувам? Да, за ова: инаку може да се напише како трета сила на некој број, еднаква на радикалниот израз.

Што повеќе? или? Се разбира, можете да го споредите ова без никакви тешкотии. Колку е поголем бројот што го подигаме на моќност, толку поголема ќе биде вредноста.

Значи. Ајде да изведеме правило.

Ако експонентите на корените се исти (во нашиот случај ова е), тогаш потребно е да се споредат радикалните изрази (и) - колку е поголем радикалниот број, толку поголема вредносткорени со еднакви стапки.

Тешко е да се запамети? Тогаш само имајте пример во вашата глава и ... Тоа повеќе?

Експонентите на корените се исти, бидејќи коренот е квадрат. Радикалниот израз на еден број () е поголем од друг (), што значи дека правилото е навистина точно.

Што ако радикалните изрази се исти, но степените на корените се различни? На пример: .

Исто така е сосема јасно дека при извлекување на коренот во поголема мераќе добиете помал број. Да земеме на пример:

Дозволете ни да ја означиме вредноста на првиот корен како, а вториот - како, тогаш:

Лесно можете да видите дека мора да има повеќе во овие равенки, затоа:

Ако радикалните изрази се исти(во нашиот случај), а експонентите на корените се различни(во нашиот случај ова е и), тогаш е потребно да се споредат експонентите(И) - колку е повисок индикаторот, толку помалку овој израз .

Обидете се да ги споредите следниве корени:

Ајде да ги споредиме резултатите?

Успешно го решивме ова :). Се поставува друго прашање: што ако сите сме различни? И степен и радикален израз? Не е сè толку комплицирано, само треба... да се „ослободиме“ од коренот. Да Да. Само ослободете се од него)

Ако имаме различни степени и радикални изрази, треба да го најдеме најмалиот заеднички множител (прочитајте го делот за) за експонентите на корените и да ги подигнеме двата израза на сила еднаква на најмалиот заеднички множител.

Дека сите сме со зборови и зборови. Еве еден пример:

  1. Ги гледаме индикаторите на корените - и. Нивниот најмал заеднички множител е .
  2. Ајде да ги подигнеме двата израза на моќ:
  3. Ајде да го трансформираме изразот и да ги отвориме заградите (повеќе детали во поглавјето):
  4. Ајде да преброиме што направивме и да ставиме знак:

4. Споредба на логаритми

Така, полека, но сигурно, дојдовме до прашањето како да ги споредиме логаритмите. Ако не се сеќавате за какво животно е ова, ве советувам прво да ја прочитате теоријата од делот. Дали сте го прочитале? Потоа одговорете на неколку важни прашања:

  1. Кој е аргументот на логаритам и која е неговата основа?
  2. Што одредува дали функцијата се зголемува или намалува?

Ако се сеќавате на сè и сте го совладале совршено, ајде да започнеме!

За да ги споредите логаритмите едни со други, треба да знаете само 3 техники:

  • намалување на иста основа;
  • намалување на истиот аргумент;
  • споредба со третиот број.

Првично, обрнете внимание на основата на логаритмот. Дали се сеќавате дека ако е помалку, тогаш функцијата се намалува, а ако е повеќе, тогаш се зголемува. На ова ќе се засноваат нашите судови.

Да разгледаме споредба на логаритми кои веќе се сведени на истата основа или аргумент.

За почеток, да го поедноставиме проблемот: да ги внесеме споредените логаритми еднакви основи . Потоа:

  1. Функцијата, за, се зголемува на интервалот од, што значи, по дефиниција, тогаш („директна споредба“).
  2. Пример:- основите се исти, соодветно ги споредуваме аргументите: , затоа:
  3. Функцијата, во, се намалува на интервалот од, што значи, по дефиниција, тогаш („обратна споредба“). - основите се исти, соодветно ги споредуваме аргументите: сепак, знакот на логаритмите ќе биде „обратен“, бидејќи функцијата се намалува: .

Сега разгледајте ги случаите кога причините се различни, но аргументите се исти.

  1. Основата е поголема.
    • . Во овој случај користиме „обратна споредба“. На пример: - аргументите се исти, и. Ајде да ги споредиме основите: сепак, знакот на логаритмите ќе биде „обратен“:
  2. Основата a е во јазот.
    • . Во овој случај користиме „директна споредба“. На пример:
    • . Во овој случај користиме „обратна споредба“. На пример:

Ајде да запишеме сè во општа табеларна форма:

, при што , при што

Според тоа, како што веќе разбравте, при споредување на логаритми треба да водиме до иста основа или аргумент.Стигнуваме до истата основа користејќи ја формулата за движење од една основа во друга.

Можете исто така да ги споредите логаритмите со третиот број и врз основа на ова да извлечете заклучок што е помалку, а што повеќе. На пример, размислете како да ги споредите овие два логаритма?

Мал совет - за споредба, многу ќе ви помогне логаритам, чиј аргумент ќе биде еднаков.

Мисла? Ајде да одлучиме заедно.

Лесно можеме да ги споредиме овие два логаритма со вас:

Не знаете како? Види погоре. Само што го средивме ова. Каков знак ќе има? Десно:

Се согласувате?

Ајде да се споредиме едни со други:

Треба да го добиете следново:

Сега комбинирајте ги сите наши заклучоци во едно. Се случи?

5. Споредба на тригонометриски изрази.

Што е синус, косинус, тангента, котангента? За што служи единечниот круг и како да се најде вредноста на него тригонометриски функции? Ако не ги знаете одговорите на овие прашања, топло ви препорачувам да ја прочитате теоријата на оваа тема. И ако знаете, тогаш споредувањето на тригонометриските изрази едни со други не ви е тешко!

Ајде малку да си ја освежиме меморијата. Да нацртаме единечна тригонометриска кружница и триаголник впишан во него. Дали се снајде? Сега означете на која страна го исцртуваме косинусот и на која страна синусот, користејќи ги страните на триаголникот. (Вие, се разбира, запомнете дека синусот е односот спротивната странадо хипотенузата, а косинусот на соседното?). Дали го нацртавте? Одлично! Конечниот допир е да спуштиме каде ќе го имаме, каде и така натаму. Дали го спушти? Пју) Ајде да споредиме што се случи со мене и тебе.

Пуф! Сега да започнеме со споредбата!

Да речеме дека треба да споредуваме и. Нацртајте ги овие агли користејќи ги навестувањата во рамките (каде што означивме каде), ставајќи точки единица круг. Дали се снајде? Еве што добив.

Сега да спуштиме нормална од точките што ги означивме на кругот на оската... Која? Која оска ја покажува вредноста на синусите? Во право,. Ова е она што треба да го добиете:

Гледајќи ја оваа слика, која е поголема: или? Се разбира, затоа што поентата е над точката.

На сличен начин ја споредуваме вредноста на косинусите. Ја спуштаме само нормалната на оската... Така е, . Според тоа, гледаме која точка е десно (или повисока, како во случајот со синусите), тогаш вредноста е поголема.

Веројатно веќе знаете како да споредувате тангенти, нели? Сè што треба да знаете е што е тангента. Значи, што е тангента?) Точно, односот на синус и косинус.

За да ги споредиме тангентите, цртаме агол на ист начин како и во претходниот случај. Да речеме дека треба да споредиме:

Дали го нацртавте? Сега ги означуваме и вредностите на синусот координатна оска. Дали забележавте? Сега наведете ги вредностите на косинус на координатната линија. Се случи? Ајде да споредиме:

Сега анализирај го тоа што го напиша. - Ние долг сегментподели со мали. Одговорот ќе содржи вредност која е дефинитивно поголема од една. нели?

И кога ќе го поделиме малото со големото. Одговорот ќе биде број кој е точно помал од еден.

Па кое е значењето тригонометриски изразповеќе?

Десно:

Како што сега разбирате, споредувањето на котангентите е иста работа, само обратно: гледаме како сегментите што ги дефинираат косинус и синус се поврзани едни со други.

Обидете се сами да ги споредите следните тригонометриски изрази:

Примери.

Одговори.

СПОРЕДБА НА БРОЕВИ. ПРОСЕЧНО НИВО.

Кој број е поголем: или? Одговорот е очигледен. И сега: или? Веќе не е толку очигледно, нели? Значи: или?

Честопати треба да знаете кој нумерички израз е поголем. На пример, за да се постават точките на оската во правилен редослед при решавање на неравенство.

Сега ќе ве научам како да споредувате такви бројки.

Ако треба да споредувате броеви и, ставаме знак меѓу нив (доаѓа од Латински зборНаспроти или скратено vs. - против): . Овој знак го заменува непознатиот знак за нееднаквост (). Следно, ќе извршиме идентични трансформации додека не стане јасно кој знак треба да се стави помеѓу броевите.

Суштината на споредувањето на броевите е оваа: ние го третираме знакот како да е некој вид знак за нееднаквост. И со изразот можеме да направиме сè што обично правиме со нееднаквости:

  • додадете кој било број на двете страни (и, се разбира, можеме и да одземеме)
  • „поместете сè на едната страна“, односно одземете еден од споредените изрази од двата дела. На местото на одземениот израз ќе остане: .
  • множи или дели со ист број. Ако овој број е негативен, знакот за неравенство се менува: .
  • подигнете ги двете страни на иста моќ. Ако овој степен е рамномерен, треба да бидете сигурни дека двете страни имаат истиот знак; ако двата дела се позитивни, знакот не се менува кога ќе се подигне на јачина, но ако се негативни, тогаш се менува во спротивното.
  • извлечете го коренот од ист степен од двата дела. Ако извлекуваме корен од парен степен, прво мораме да се увериме дека двата израза се ненегативни.
  • сите други еквивалентни трансформации.

Важно: препорачливо е да се направат трансформации така што знакот за нееднаквост да не се промени! Тоа е, за време на трансформациите, непожелно е да се множи со негативен број, а не можете да го квадратите ако еден од деловите е негативен.

Ајде да погледнеме неколку типични ситуации.

1. Експоненција.

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

Бидејќи двете страни на нееднаквоста се позитивни, можеме да ја квадратиме за да се ослободиме од коренот:

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

Овде можеме и да го средиме, но ова само ќе ни помогне да се ослободиме квадратен корен. Тука е неопходно да се подигне до таков степен што двата корени исчезнат. Ова значи дека експонентот на овој степен мора да биде делив и со (степен на првиот корен) и со. Според тоа, оваа бројка е зголемена на та сила:

2. Множење со неговиот конјугат.

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

Ајде да ја помножиме и поделиме секоја разлика со конјугирана сума:

Очигледно, именителот на десната страна е поголем од именителот на левата страна. Затоа, десната дропка е помала од левата:

3. Одземање

Да се ​​потсетиме на тоа.

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

Се разбира, би можеле сè да средиме, да се прегрупираме и повторно да го средиме. Но, можете да направите нешто попаметно:

Се гледа дека на левата страна секој член е помал од секој член на десната страна.

Според тоа, збирот на сите членови на левата страна е помал од збирот на сите членови на десната страна.

Но, бидете внимателни! Бевме прашани што повеќе...

Десната страна е поголема.

Пример.

Споредете ги бројките и...

Решение.

Да се ​​потсетиме на формулите за тригонометрија:

Ајде да провериме на кои четвртини тригонометриски кругима точки и.

4. Поделба.

Овде користиме и едноставно правило: .

На или, тоа е.

Кога знакот се менува: .

Пример.

Споредете:.

Решение.

5. Споредете ги броевите со третиот број

Ако и, тогаш (закон за транзитивност).

Пример.

Споредете.

Решение.

Ајде да ги споредуваме бројките не меѓу себе, туку со бројот.

Очигледно е дека.

На другата страна, .

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

И двата броја се поголеми, но помали. Ајде да избереме број таков што ќе биде поголем од еден, но помал од другиот. На пример,. Ајде да провериме:

6. Што да се прави со логаритмите?

Ништо посебно. Како да се ослободите од логаритмите е детално опишано во темата. Основните правила се:

\( b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \клин (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \клин y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Можеме да додадеме и правило за логаритми со од различни причинии истиот аргумент:

Може да се објасни вака: колку е поголема основата, толку помал степен ќе треба да се подигне за да се добие истото. Ако основата е помала, тогаш е точно спротивното, бидејќи соодветната функција монотоно се намалува.

Пример.

Споредете ги броевите: и.

Решение.

Според горенаведените правила:

И сега формулата за напредните.

Правилото за споредување на логаритми може да се напише пократко:

Пример.

Што е повеќе: или?

Решение.

Пример.

Споредете кој број е поголем: .

Решение.

СПОРЕДБА НА БРОЕВИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

1. Експоненција

Ако двете страни на нееднаквоста се позитивни, тие може да се квадрат за да се ослободи од коренот

2. Множење со неговиот конјугат

Коњугат е фактор што го надополнува изразот на разликата на квадратите формула: - конјугат за и обратно, бидејќи .

3. Одземање

4. Поделба

Кога или тоа е

Кога знакот се менува:

5. Споредба со третиот број

Ако и тогаш

6. Споредба на логаритми

Основни правила.

Изрази, конверзија на изрази

Моќни изрази (изрази со моќи) и нивна трансформација

Во оваа статија ќе зборуваме за конвертирање на изрази со моќи. Прво, ќе се фокусираме на трансформации кои се изведуваат со изрази од секаков вид, вклучително и изрази на моќ, како што се отворање загради и внесување слични термини. И тогаш ќе ги анализираме трансформациите својствени конкретно во изразите со степени: работа со основата и експонентот, користејќи ги својствата на степени итн.

Навигација на страницата.

Што се изрази на моќ?

Терминот „изрази на моќ“ речиси никогаш не се користи училишни учебнициматематика, но доста често се појавува во збирки задачи, особено оние наменети за подготовка за обединет државен испит и за обединет државен испит, на пример. По анализата на задачите во кои е неопходно да се извршат какви било дејства со изрази на моќ, станува јасно дека изразите на моќ се сфаќаат како изрази што содржат моќи во нивните записи. Затоа, можете сами да ја прифатите следната дефиниција:

Дефиниција.

Моќни изразисе изрази кои содржат степени.

Ајде да дадеме примери на изрази на моќ. Исто така, ќе ги претставиме според тоа како се случува развојот на ставовите за од степен до степен. природен индикатордо степен со реален експонент.

Како што е познато, прво се запознава со моќта на број со природен експонент; во оваа фаза, првите наједноставни изрази на моќност од типот 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 се појавува −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 итн.

Малку подоцна се проучува моќта на број со цел број експонент, што доведува до појава на изрази на моќ со цели броеви негативни моќи, како следново: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Во средно училиште се враќаат на дипломите. Таму се воведува степенот рационален индикатор, што подразбира појава на соодветните изрази на моќ: , , и така натаму. Конечно, се разгледуваат степени со ирационални експоненти и изрази што ги содржат: , .

Материјата не е ограничена на наведените изрази за моќност: понатаму променливата продира во експонентот и, на пример, се појавуваат следните изрази: 2 x 2 +1 или . И по запознавањето со , почнуваат да се појавуваат изрази со моќи и логаритми, на пример, x 2·lgx −5·x lgx.

Значи, се занимававме со прашањето што претставуваат изразите на моќ. Следно ќе научиме да ги трансформираме.

Главни видови трансформации на изрази на моќ

Со изразите на моќ можете да направите било кое од основните работи идентитетски трансформации на изразите. На пример, можете да ги проширите заградите, да ги замените нумерички изразинивните значења, дајте слични терминиитн. Природно, неопходно е да се усогласат со прифатените редослед на дејствија. Да дадеме примери.

Пример.

Пресметај ја вредноста на изразот за моќност 2 3 ·(4 2 −12) .

Решение.

Според редоследот на извршување на дејствијата, прво извршете ги дејствата во загради. Таму, прво, ја заменуваме моќноста 4 2 со нејзината вредност 16 (ако е потребно, видете), и второ, ја пресметуваме разликата 16−12=4. Ние имаме 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Во добиениот израз ја заменуваме моќноста 2 3 со неговата вредност 8, по што го пресметуваме производот 8·4=32. Ова е саканата вредност.

Значи, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Одговор:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Пример.

Поедноставете ги изразите со моќи 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Решение.

Очигледно, овој израз содржи слични термини 3·a 4 ·b −7 и 2·a 4 ·b −7 , и можеме да им дадеме: .

Одговор:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Пример.

Изразете израз со моќи како производ.

Решение.

Можете да се справите со задачата така што ќе го претставите бројот 9 како сила од 3 2 и потоа ќе го користите скратени формули за множењеразлика на квадрати:

Одговор:

Има и голем број идентитетски трансформации, својствени конкретно во изразите на моќ. Ќе ги анализираме понатаму.

Работа со база и експонент

Постојат степени чија основа и/или експонент не се само броеви или променливи, туку некои изрази. Како пример, ги даваме записите (2+0,3·7) 5−3,7 и (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Кога работите со слични изрази, можете да ги замените и изразот во основата на степенот и изразот во експонентот идентично еднаков изразна ОДЗнеговите променливи. Со други зборови, според нам познатите правила, можеме одделно да ја трансформираме основата на степенот и одделно експонентот. Јасно е дека како резултат на оваа трансформација ќе се добие израз кој е идентично еднаков на оригиналниот.

Ваквите трансформации ни овозможуваат да ги поедноставиме изразите со моќ или да постигнеме други цели што ни се потребни. На пример, во изразот за моќност споменат погоре (2+0.3 7) 5−3.7, можете да извршите операции со броевите во основата и експонентот, што ќе ви овозможи да преминете на моќноста 4.1 1.3. И откако ќе ги отвориме заградите и ќе донесеме слични членови на основата на степенот (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) добиваме израз на моќност повеќе едноставен тип a 2·(x+1) .

Користење на својствата на степенот

Една од главните алатки за трансформација на изразите со моќи се еднаквостите кои се одразуваат. Да се ​​потсетиме на главните. За сите позитивни броеви a и b и произволни реални броеви r и s важат следните својства на степените:

  • a r ·a s =a r+s ;
  • a r:a s =a r−s ;
  • (a·b) r =a r ·b r ;
  • (a:b) r =a r:b r ;
  • (a r) s =a r·s .

Забележете дека за природни, цел број и исто така позитивни показателистепените на ограничување на броевите a и b можеби не се толку строги. На пример, за природни броеви m и n еднаквоста a m ·a n =a m+n е точно не само за позитивно a, туку и за негативно a, и за a=0.

На училиште, главниот фокус кога се трансформираат изразите на моќта е на способноста да се избере соодветното својство и правилно да се примени. Во овој случај, основите на степени обично се позитивни, што овозможува да се користат својствата на степените без ограничувања. Истото важи и за трансформација на изрази кои содржат променливи во основите на моќи - област прифатливи вредностипроменливите обично се такви што основата на неа само прифаќа позитивни вредности, што ви овозможува слободно да ги користите својствата на степените. Општо земено, треба постојано да се прашувате дали е можно да се користи некое својство на степени во овој случај, бидејќи неточната употреба на својствата може да доведе до стеснување на образовната вредност и други неволји. Овие точки се дискутирани во детали и со примери во статијата. конвертирање на изрази користејќи својства на моќи. Овде ќе се ограничиме на разгледување на неколку едноставни примери.

Пример.

Изразете го изразот a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 како моќност со основа a.

Решение.

Прво, го трансформираме вториот фактор (a 2) −3 користејќи го својството за подигање на моќност до моќност: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Оригиналниот израз на моќност ќе има форма a 2,5 ·a −6:a −5,5. Очигледно, останува да ги користиме својствата на множење и делење на силите со иста основа, имаме
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Одговор:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Својствата на моќите при трансформација на изрази на моќ се користат и од лево кон десно и од десно кон лево.

Пример.

Најдете ја вредноста на изразот за моќност.

Решение.

Еднаквоста (a·b) r =a r ·b r, применета од десно кон лево, ни овозможува да преминеме од оригиналниот израз до производ на формата и понатаму. И кога се множат силите со по истите основииндикаторите се собираат: .

Беше можно да се трансформира оригиналниот израз на друг начин:

Одговор:

.

Пример.

Со оглед на изразот на моќност a 1,5 −a 0,5 −6, воведете нова променлива t=a 0,5.

Решение.

Степенот a 1,5 може да се претстави како 0,5 3, а потоа, врз основа на својството на степенот до степен (a r) s =a r s, применет од десно кон лево, трансформирајте го во форма (a 0,5) 3. Така, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Сега е лесно да се воведе нова променлива t=a 0,5, добиваме t 3 −t−6.

Одговор:

t 3 −t−6 .

Конвертирање на дропки кои содржат моќи

Моќните изрази може да содржат или да претставуваат дропки со моќи. Било која од основните е целосно применлива за такви фракции конверзии на фракции, кои се својствени за дропки од секаков вид. Односно, дропките што содржат овластувања можат да се редуцираат, да се сведат на нов именител, да се работи одделно со нивниот броител и одделно со именителот итн. За да ги илустрирате овие зборови, разгледајте решенија за неколку примери.

Пример.

Поедноставете го изразувањето на моќта .

Решение.

Овој израз на моќ е дропка. Ајде да работиме со неговиот броител и именител. Во броителот ги отвораме заградите и го поедноставуваме добиениот израз користејќи ги својствата на моќите, а во именителот прикажуваме слични термини:

И, исто така, да го промениме знакот на именителот со ставање минус пред дропката: .

Одговор:

.

Намалувањето на дропките што содржат моќи на нов именител се врши на ист начин како и намалувањето на нов именител рационални дропки. Во овој случај се наоѓа и дополнителен фактор и со него се множат броителот и именителот на дропката. При извршување на оваа акција, вреди да се запамети дека намалувањето на нов именител може да доведе до стеснување на VA. За да се спречи тоа да се случи, неопходно е дополнителниот фактор да не оди на нула за која било вредност на променливите од променливите ODZ за оригиналниот израз.

Пример.

Намали ги дропките на нов именител: а) на именителот a, b) до именителот.

Решение.

а) Во овој случај, сосема е лесно да се открие каков дополнителен мултипликатор помага да се постигне посакуваниот резултат. Ова е множител на 0,3, бидејќи 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Забележете дека во опсегот на дозволените вредности на променливата a (ова е множество од сите позитивни реални броеви), моќта на 0,3 не исчезнува, затоа, имаме право да ги помножиме броителот и именителот на дадена дел од овој дополнителен фактор:

б) Ако погледнете повнимателно на именителот, ќе го откриете тоа

и множејќи го овој израз со ќе се добие збир на коцки и , односно . И ова е тоа нов именител, на што треба да ја намалиме првобитната дропка.

Вака најдовме дополнителен фактор. Во опсегот на дозволените вредности на променливите x и y, изразот не исчезнува, затоа, можеме да ги помножиме броителот и именителот на дропката со него:

Одговор:

А) , б) .

Исто така, нема ништо ново во намалувањето на дропките што содржат моќи: броителот и именителот се претставени како голем број фактори, а истите фактори на броителот и именителот се намалуваат.

Пример.

Намали ја дропката: а) , б) .

Решение.

а) Прво, броителот и именителот може да се намалат за броевите 30 и 45, што е еднакво на 15. Исто така, очигледно е можно да се изврши намалување за x 0,5 +1 и за . Еве што имаме:

б) Во овој случај, идентични фактори во броителот и именителот не се веднаш видливи. За да ги добиете, ќе мора да извршите прелиминарни трансформации. Во овој случај, тие се состојат во факторингирање на именителот користејќи ја формулата за разлика од квадрати:

Одговор:

А)

б) .

Претворањето на дропките во нов именител и намалувањето на дропките главно се користат за вршење работи со дропки. Дејствијата се вршат според познати правила. При собирање (одземање) дропки тие се сведуваат на заеднички именител, по што броителите се собираат (одземаат), но именителот останува ист. Резултатот е дропка чиј броител е производ на броителите, а именителот е производ на именителот. Поделбата со дропка е множење со нејзината инверзна.

Пример.

Следете ги чекорите .

Решение.

Прво, ги одземаме дропките во загради. За да го направите ова, ги доведуваме до заеднички именител, што е , по што ги одземаме броителите:

Сега ги множиме дропките:

Очигледно, можно е да се намали за моќ од x 1/2, по што имаме .

Можете исто така да го поедноставите изразот на моќност во именителот со користење на формулата за разлика од квадрати: .

Одговор:

Пример.

Поедноставете го изразот на моќност .

Решение.

Очигледно, дадена дропкаможе да се намали за (x 2,7 +1) 2, ова ја дава дропот . Јасно е дека нешто друго треба да се направи со овластувањата на Х. За да го направите ова, ние ја трансформираме добиената фракција во производ. Ова ни дава можност да ги искористиме својствата на поделба на моќта со исти основи: . И на крајот од процесот се движиме од последната работадо кусур.

Одговор:

.

А да додадеме и дека е можно и во многу случаи пожелно да се користат множители со негативни показателистепени се пренесуваат од броителот на именителот или од именителот на броителот, менувајќи го знакот на експонентот. Ваквите трансформации често ги поедноставуваат понатамошните активности. На пример, изразот за моќ може да се замени со .

Конвертирање на изрази со корени и моќи

Често во изразите во кои се потребни некои трансформации, заедно со овластувањата со фракциони индикаториприсутни се и корени. За конвертирање сличен израздо посакуваната форма, во повеќето случаи доволно е да се оди само на корени или само на моќи. Но, бидејќи е попогодно да се работи со моќи, тие обично се движат од корени до моќи. Сепак, препорачливо е да се изврши таква транзиција кога ODZ на променливите за оригиналниот израз ви дозволува да ги замените корените со моќи без потреба да се повикувате на модулот или да го поделите ODZ на неколку интервали (детално го дискутиравме ова во членот премин од корени во моќи и назад По запознавањето со степенот со рационален експонент степен в се воведува ирационален индикатор, што ни овозможува да зборуваме за степен со произволен реален експонент. Во оваа фаза училиштето започнува да учи експоненцијална функција , кој аналитички се дава со моќност, чија основа е број, а експонентот е променлива. Значи, се соочуваме со изрази на моќност кои содржат броеви во основата на моќноста, а во експонентот - изрази со променливи, и природно се наметнува потребата да се извршат трансформации на таквите изрази.

Треба да се каже дека трансформирачките изрази одреден типобично треба да се направи при решавање експоненцијални равенкиИ експоненцијални неравенки , и овие конверзии се прилично едноставни. Во огромно мнозинство случаи, тие се засноваат на својствата на степенот и имаат за цел, во најголем дел, да воведат нова променлива во иднина. Равенката ќе ни овозможи да ги демонстрираме 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Прво, моќите, во чии експоненти е збир на одредена променлива (или израз со променливи) и број, се заменуваат со производи. Ова се однесува на првиот и последниот термин на изразот од левата страна:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Следно, двете страни на еднаквоста се поделени со изразот 7 2 x, кој на ODZ на променливата x за првобитната равенка зема само позитивни вредности (ова е стандардна техника за решавање равенки од овој тип, ние не сме зборувајќи за тоа сега, затоа фокусирајте се на последователните трансформации на изразите со моќи):

Сега можеме да поништиме дропки со моќи, што дава .

Конечно, односот на моќите со истите показателисе заменува со моќи на односите, што доведува до равенката , што е еквивалентно . Направените трансформации ни овозможуваат да воведеме нова променлива, која го сведува решението на оригиналот експоненцијална равенказа решавање на квадратна равенка

  • И. В. Бојков, Л. Д. РомановаЗбирка задачи за подготовка за Единствен државен испит. Дел 1. Пенза 2003 година.