Б11. Користејќи ги графиконите на зависноста на координатите на телата од времето (сл. 1), определи за секое тело:

а) почетна координата;

б) координира по 4 секунди;

в) проекција на брзината;

г) равенка на координати (равенка на движење);

д) кога координатата ќе биде еднаква на 20 m?

Решение

а) Одреди ја почетната координата за секое тело.

Графички метод. Користејќи го графикот, ги наоѓаме координатните вредности на точките на пресек на графиконите со оската 0x(на Сл. 2а овие точки се истакнати):

x 01 = 30 m; x 02 = 10 m; x 03 = –10 m.

б) Одреди ја координатата за секое тело по 4 секунди.

Графички метод. Користејќи го графикот, ги наоѓаме координатните вредности на точките на пресек на графиконите со нормалната нацртана на оската 0 тво точката t = 4 s (на слика 2 b овие точки се означени): x 1 (4 с) = 0; x 2 (4 с) = 10 m; x 3 (4 с) ≈ 20 m.

Аналитички метод. Направете равенка на движење и употребете ја за да ја одредите вредноста на координатата во т= 4 s (види точка г).

в) Одреди ја проекцијата на брзината за секое тело.

Графички метод. Проекција на брзина \(~\upsilon_x = \tan \alpha = \frac(\Delta x)(\Delta t) = \frac(x_2 - x_1)(t_2-t_1)\) , каде α е аголот на наклонетост на графикот до оската 0 т; Δ т = т 2 – т 1 – произволен временски период; Δ υ = υ 2 – υ 1 – интервал на брзина што одговара на временскиот интервал Δ т = т 2 – т 1 .

За графиконот 1: нека т 2 = 4 секунди, т 1 = 0 тогаш x 2 = 0, x 1 = 30 m и υ 1x= (0 - 30 m)/(4 s - 0) = –7,5 m/s (сл. 3 а).

За графиконот 2: нека т 2 = 6 секунди, т 1 = 0 тогаш x 2 = 10 m, x 1 = 10 m и υ 2x= (10 m - 10 m) / (6 s - 0) = 0 (слика 3 б).

За графиконот 3: нека т 2 = 5 секунди, т 1 = 0 тогаш x 2 = 30 m, x 1 = –10 m и υ 3x= (30 - (-10 m))/(5 s - 0) = 8 m/s (слика 3 в).

Аналитички метод. Да ја напишеме координатната равенка за еднообразно праволиниско движење во општа форма x = x 0 + υ x · т. Користејќи ги вредностите на почетната координата (види точка а) и координатите на t = 4 s (види точка б), ја наоѓаме вредноста на проекцијата на брзината\[~\upsilon_x = \frac(x - x_0)( т)\] .

г) Одреди ја координатната равенка за секое тело.

Координатната равенка за еднообразно праволиниско движење во општ облик „x = x 0 + υ x · т .

За распоред 1: затоа што x 01 = 30 m, υ 1x= –7,5 m/s, тогаш x 1 = 30 – 7,5т. Ајде да ја провериме точката б: x 1 (4 с) = 30 – 7,5 4 = 0, што одговара на одговорот.

За распоред 2: затоа што x 02 = 10 m, υ 2x= 0, тогаш x 2 = 10. Да ја провериме точката b: x 2 (4 с) = 10 (м), што одговара на одговорот.

За распоред 3: затоа што x 03 = –10 m, υ 3x= 8 m/s, тогаш x 3 = –10 + 8т. Ајде да ја провериме точката б: x 3 (4 s) = –10 + 8 4 = 22 (m), што приближно одговара на одговорот.

д) Определи кога координатата на телото ќе биде 20 m?

Графички метод. Користејќи го графикот, ги наоѓаме временските вредности на точките на пресек на графиконите со нормалната нацртана на оската 0xво точката x= 20 m (на слика 4 овие точки се истакнати): т 1 (20 m) ≈ 1,5 s; т 3 (20 m) ≈ 3,5 сек.

Графиконот 2 е паралелен со нормалната, затоа, координатата на телото 2 никогаш нема да биде еднаква на 20 m.

Аналитички метод. Запишете ја координатната равенка за секое тело и пронајдете во која вредност на времето t, координатата станува еднаква на 20 m.

« Физика - 10 одделение“

Како се разликува еднообразното движење од подеднакво забрзаното движење?
Како графикот на патеката за рамномерно забрзано движење се разликува од графикот на патеката за еднообразно движење?
Која е проекцијата на векторот на која било оска?

Во случај на еднообразно праволиниско движење, можете да ја одредите брзината од графиконот на координатите наспроти времето.

Проекцијата на брзината е нумерички еднаква на тангентата на аголот на наклон на правата x(t) до оската на апсцисата. Покрај тоа, колку е поголема брзината, толку е поголем аголот на наклон.

Праволиниско рамномерно забрзано движење.

Слика 1.33 покажува графикони на проекцијата на забрзувањето наспроти времето за три различни вредности на забрзување за праволиниско рамномерно забрзано движење на точка. Тие се прави линии паралелни со оската на апсцисата: a x = const. Графиконите 1 и 2 одговараат на движење кога векторот на забрзување е насочен по оската OX, графикон 3 - кога векторот на забрзување е насочен во спротивна насока од оската OX.

Со рамномерно забрзано движење, проекцијата на брзината зависи линеарно од времето: υ x = υ 0x + a x t. Слика 1.34 покажува графикони на оваа зависност за овие три случаи. Во овој случај, почетната брзина на точката е иста. Ајде да го анализираме овој график.

Проекција на забрзување Од графиконот е јасно дека колку е поголемо забрзувањето на точката, толку е поголем аголот на наклонетост на правата линија кон оската t и, соодветно на тоа, толку е поголема тангентата на аголот на наклон, што ја одредува вредноста на забрзувањето.

Во истиот временски период, со различни забрзувања, брзината се менува на различни вредности.

Со позитивна вредност на проекцијата на забрзувањето за истиот временски период, проекцијата на брзината во случајот 2 се зголемува 2 пати побрзо отколку во случајот 1. Со негативна вредност на проекцијата на забрзувањето на оската OX, модулот за проекција на брзината се менува во иста вредност како во случајот 1, но брзината се намалува.

За случаите 1 и 3, графиконите на модулот на брзината наспроти времето ќе бидат исти (сл. 1.35).

Користејќи го графикот на брзината наспроти времето (слика 1.36), ја наоѓаме промената на координатите на точката. Оваа промена е нумерички еднаква на површината на засенчениот трапез, во овој случај промената на координатата во 4 s Δx = 16 m.

Најдовме промена во координатите. Ако треба да ја пронајдете координатата на точка, тогаш треба да ја додадете нејзината почетна вредност на пронајдениот број. Нека во почетниот момент на време x 0 = 2 m, тогаш вредноста на координатата на точката во даден временски момент еднаква на 4 s е еднаква на 18 m Во овој случај, модулот за поместување е еднаков на патеката патувана по точката или промената на нејзината координата, т.е. 16 m.

Ако движењето е рамномерно бавно, тогаш точката за време на избраниот временски интервал може да застане и да почне да се движи во насока спротивна на почетната. На слика 1.37 е прикажана зависноста на проекцијата на брзината од времето за такво движење. Гледаме дека во време еднакво на 2 секунди, насоката на брзината се менува. Промената на координатата бројно ќе биде еднаква на алгебарскиот збир на плоштините на засенчените триаголници.

Пресметувајќи ги овие области, гледаме дека промената на координатата е -6 m, што значи дека во насока спротивна на оската OX, точката поминала поголемо растојание отколку во насоката на оваа оска.

Плоштад погореја земаме оската t со знак плус и плоштината подоската t, каде што проекцијата на брзината е негативна, со знак минус.

Ако во почетниот момент брзината на одредена точка била еднаква на 2 m/s, тогаш нејзината координата во моментот на време еднаков на 6 s е еднаква на -4 m Модулот на поместување на точката во овој случај е исто така еднаков на 6 m - модулот на промена на координатите. Сепак, патеката помината до оваа точка е еднаква на 10 m - збирот на површините на засенчените триаголници прикажани на слика 1.38.

Да ја нацртаме зависноста на x координатата на точка од времето. Според една од формулите (1.14), кривата на координатите наспроти времето - x(t) - е парабола.

Ако точката се движи со брзина, чиј график во однос на времето е прикажан на слика 1.36, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, бидејќи x > 0 (слика 1.39). Од овој график можеме да ја одредиме координатата на точката, како и брзината во секое време. Значи, во време еднакво на 4 с, координатата на точката е 18 m.

За почетниот временски момент, цртајќи тангента на кривата во точката А, ја одредуваме тангентата на аголот на наклон α 1, која нумерички е еднаква на почетната брзина, односно 2 m/s.

За да ја одредите брзината во точката B, нацртајте тангента на параболата во оваа точка и определете ја тангентата на аголот α 2. Тоа е еднакво на 6, затоа брзината е 6 m/s.

Графикот на патеката наспроти времето е иста парабола, но извлечена од потеклото (сл. 1.40). Гледаме дека патеката континуирано се зголемува со текот на времето, движењето се случува во една насока.

Ако точката се движи со брзина, графикот на проекцијата наспроти времето е прикажан на слика 1.37, тогаш гранките на параболата се насочени надолу, бидејќи x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

Почнувајќи од моментот на време t = 2 s, тангентата на аголот на наклон станува негативна, а нејзиниот модул се зголемува, што значи дека точката се движи во насока спротивна од почетната, додека модулот на брзината на движење се зголемува.

Модулот за поместување е еднаков на модулот на разликата помеѓу координатите на точката во последниот и почетниот момент на времето и е еднаков на 6 m.

Графикот на растојанието поминато од точка наспроти време, прикажано на слика 1.42, се разликува од графикот на поместување наспроти време (види Слика 1.41).

Без оглед на насоката на брзината, патеката што ја минува точката постојано се зголемува.

Да ја изведеме зависноста на координатите на точките од проекцијата на брзината. Брзина υx = υ 0x + a x t, оттука

Во случај на x 0 = 0 и x > 0 и υ x > υ 0x, графикот на координатата наспроти брзината е парабола (сл. 1.43).

Во овој случај, колку е поголемо забрзувањето, толку помалку ќе биде стрмната гранката на параболата. Ова е лесно да се објасни, бидејќи колку е поголемо забрзувањето, толку е помало растојанието што точката мора да го помине за брзината да се зголеми за иста количина како кога се движите со помало забрзување.

Во случај x< 0 и υ 0x >0 проекцијата на брзината ќе се намали. Дозволете ни да ја преработиме равенката (1.17) во форма каде што a = |a x |. Графикот на оваа врска е парабола со гранки насочени надолу (сл. 1.44).

Забрзано движење.

Користејќи графикони на проекцијата на брзината наспроти времето, можете да ја одредите проекцијата на координатите и забрзувањето на точката во секое време за било кој тип на движење.

Нека проекцијата на брзината на точката зависи од времето како што е прикажано на слика 1.45. Очигледно е дека во временскиот интервал од 0 до t 3 движењето на точката по оската X се случило со променливо забрзување. Почнувајќи од моментот на време еднаков на t 3, движењето е подеднакво со константна брзина υ Dx. Според графиконот, гледаме дека забрзувањето со кое се движело точката континуирано се намалувало (споредете го аголот на наклонетост на тангентата во точките B и C).

Промената на x координатата на точката во времето t 1 е нумерички еднаква на плоштината на криволинеарниот трапез OABt 1, за време t 2 - областа OACt 2 итн. Како што можеме да видиме од графикот на брзината проекција наспроти време, можеме да ја одредиме промената на координатата на телото во кој било временски период.

Од графиконот на координати наспроти времето, можете да ја одредите вредноста на брзината во која било точка во времето со пресметување на тангентата на тангентата на кривата во точката што одговара на дадена временска точка. Од слика 1.46 произлегува дека во времето t 1 проекцијата на брзината е позитивна. Во временскиот интервал од t 2 до t 3, брзината е нула, телото е неподвижно. Во времето t 4 брзината е исто така нула (тангентата на кривата во точката D е паралелна со оската x). Тогаш проекцијата на брзината станува негативна, насоката на движење на точката се менува на спротивна.

Ако е познат графикот на проекцијата на брзината наспроти времето, можете да го одредите забрзувањето на точката, а исто така, знаејќи ја почетната положба, да ја одредите координатата на телото во секое време, односно да го решите главниот проблем на кинематиката. Од графиконот на координати наспроти времето, може да се одреди една од најважните кинематички карактеристики на движењето - брзината. Покрај тоа, користејќи ги овие графикони, можете да го одредите типот на движење по избраната оска: униформа, со постојано забрзување или движење со променливо забрзување.

Како според графикот на координатна зависност

од времето x = x(т) изгради графикон

патека наспроти време с = с(т)?

Да ги забележиме следните карактеристики на графикот с = с(т):

1) распоред с = с(т) секогаш започнува од потеклото, бидејќи во почетниот момент поминатото растојание е секогаш нула;

2) распоред с = с(т) секогаш не се намалува: или се зголемува ако телото се движи, или не се менува ако телото стои;

3) функција с = с(т) не може да земе негативна вредност.

Од наведеното произлегува дека графикот X = X (т) се совпаѓа со распоредот с = с(т) само ако X(0) = 0 и x(т) не се намалува цело време, т.е. телото се движи само во позитивна насока или стои во место.

Еве неколку примери на зацртани графикони: с = с(т) според овие графикони X = X(т).

Пример 4.2.На распоред X = = X(т) на сл. 4.4, Аизгради графикон с = с(т).

Распоред X = X(т) се зголемува, но не започнува на потекло, туку на точка (0, X 0). За да го добиете распоредот с = с(т) потребно е да се испушти графикот X = X(т) на x 0 надолу (сл. 4.4, б).

Пример 4.3.На распоред X = X(т) на сл. 4.5, Аизгради графикон с = с(т).

Во овој случај X(0) = 0, но телото се движи во негативна насока на оската X. Во овој случај тоа е вистина с(т) = |x(т)|, и да заговор с = с(т) само прикажете го графикот X = X(т) се огледува на горната полурамнина (сл. 4.5, б).

Ориз. 4.5

Пример 4.4.На распоред X = X(т) на сл. 4.6, Аизгради графикон с = с(т).

Прво да го намалиме графикот X = X(т) на X 0 до X(0) = 0, како што направивме во примерот 4.2, а потоа права линија 2 (сл. 4.6, б) ќе биде пресликана на горната полурамнина, како што направивме во Пример 4.3.

Ориз. 4.6

Пример 4.5.На распоред X = X(т) на сл. 4.7, Аизгради графикон с = с(т).

Ориз. 4.7

Распоред X = X(т) се состои од два дела: во првиот дел X(т) се зголемува, а во вториот дел се намалува, т.е. телото се движи во негативна насока на оската X. Затоа, да нацртате график с = с(т) првиот дел од графиконот X = X(т) оставаме непроменет и го пресликуваме вториот дел во однос на правата линија што минува низ точката на вртење (2t, 2 X 0) паралелно со оската т(Сл. 4.7,б).

СТОП! Решете сами: C2 (a, b, c).

Изјава.Нека е даден графикот на зависност υ x(т), X(т 1) = x 0 (сл. 4.8). Вредностите на областа над графиконот s+и под табелата с– , изразени земајќи ги предвид скалите во единици за должина, се познати. Потоа патеката патувала во временски период [ т 1 , т 2 ], е еднакво на:

s = s – + s + . (4.2)

Координирајте на време т 2 е еднакво на:

X(т 2) = x 0 – s – + s + . (4.3)

Проблем 4.2. Според графикот на координати наспроти времето (сл. 4.9, А) изгради графикони за зависност υ x = υ x(т) И υ = υ (т).

Решение. Да разгледаме одреден временски период. На овој интервал Д X= = 1 m, Д т= 1 s, оттука = 1 m/s, υ = = |υ x| = 1 m/s.

Да разгледаме одреден временски период. На овој интервал Д X= 0, што значи υ x = υ = 0.

Да разгледаме одреден временски период. На овој интервал Д X= (–2) – 1 = = –3 m, Д т= 1 s, што значи = –3 m/s, υ = |υ x| = 3 m/s.

Да разгледаме одреден временски период. На овој интервал Д X= 0, според тоа, υ x = υ = 0.

Графиконите се прикажани на сл. 4.9, би 4.9, В.

СТОП! Решете сами: П3 (а, б, в).

Задача 4.3. Според графикот на зависност υ x = υ x(т) (Сл. 4.10) најдете ги вредностите на поминатата патека и координатите во моменти 1s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, ако X(0) = 2,0 m.

Решение.

1. Размислете за одреден временски период. Во овој интервал υ x(т) се намали од 1 m/s на 0, т.е. телото се движело по оската Xполека и во моментот т= 1 s запре. Поминатото растојание е еднакво на површината под графиконот на делот: м Координација во моментот т= 1 s е еднакво на X(1) = X(0) + с 01 = 2,0 m + 0,5 m = 2,5 m.

2. Размислете за одреден временски период. Во овој интервал υ xсе намали од 0 на –1 m/s, т.е. телото забрзува од мирување во насока спротивна на насоката на оската X. Патеката помината во овој временски период е еднаква на површината над графиконот υ x = υ x(т) на интервалот: м Затоа, вкупниот пат поминат од телото во моментот т= 2 s, еднакви с(2) = с(1) + с 12 = 0,5 m + 0,5 m = 1,0 m. Координација во моментот т= 1 s е еднакво на X(2) = X(1) – с 12 = 2,5 m - 0,5 m = 2,0 m.

3. Размислете за одреден временски период. Во текот на овој интервал телото рамномерно се движи во негативна насока на оската Xсо брзина на земјата υ = 1 m/s. Поминатото растојание е с 23 = (1 m/s)´ ´(1 s) = 1,0 m. Затоа, патеката патувала до моментот т= 3 s, еднакви с(3) = с(2) + с 23 = 1,0 m + 1,0 m = 2,0 m.

Координатата во овој временски период се намали за износот на поминатото растојание, бидејќи телото се движеше во спротивна насока: X(3) = X(2) – с 23 = 2,0 m - 1,0 m = 1,0 m.

Униформно движење– ова е движење со постојана брзина, односно кога брзината не се менува (v = const) и не се случува забрзување или забавување (a = 0).

Движење со права линија- ова е движење по права линија, односно траекторијата на праволиниско движење е права линија.

Еднообразно линеарно движење- ова е движење во кое телото прави еднакви движења во кои било еднакви временски интервали. На пример, ако одреден временски интервал поделиме на интервали од една секунда, тогаш со еднообразно движење телото ќе се движи исто растојание за секој од овие временски интервали.

Брзината на еднообразно праволиниско движење не зависи од времето и во секоја точка од траекторијата е насочена на ист начин како и движењето на телото. Односно, векторот на поместување се совпаѓа во насока со векторот на брзина. Во овој случај, просечната брзина за кој било временски период е еднаква на моменталната брзина:

V cp = v

Поминато растојаниево линеарно движење е еднакво на модулот за поместување. Ако позитивната насока на оската OX се совпаѓа со насоката на движење, тогаш проекцијата на брзината на оската OX е еднаква на големината на брзината и е позитивна:

V x = v, тоа е v> 0

Проекцијата на поместувањето на оската OX е еднаква на:

S = vt = x – x 0

каде што x 0 е почетната координата на телото, x е последната координата на телото (или координатата на телото во секое време)

Равенка на движење, односно зависноста на телесните координати од времето x = x(t), има форма:

X = x 0 + vt

Ако позитивната насока на оската OX е спротивна на насоката на движење на телото, тогаш проекцијата на брзината на телото на оската OX е негативна, брзината е помала од нула (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

X = x 0 - vt

Зависност од брзина, координати и патека на време

Зависноста на проекцијата на брзината на телото од времето е прикажана на сл. 1.11. Бидејќи брзината е константна (v = const), графикот на брзината е права линија паралелна со временската оска Ot.

Ориз. 1.11. Зависност на проекцијата на брзината на телото од времето за еднообразно праволиниско движење.

Проекцијата на движењето на координатната оска е нумерички еднаква на плоштината на правоаголникот OABC (сл. 1.12), бидејќи големината на векторот на движење е еднаква на производот на векторот на брзина и времето во кое движењето било направени.

Ориз. 1.12. Зависност на проекцијата на поместувањето на телото од времето за еднообразно праволиниско движење.

График на поместување во однос на времето е прикажан на сл. 1.13. Графикот покажува дека проекцијата на брзината е еднаква на

V = s 1 / t 1 = tan α

каде α е аголот на наклонетост на графикот кон оската на времето.Колку е поголем аголот α, толку побрзо се движи телото, односно поголема е неговата брзина (толку е поголемо растојанието што телото го минува за помалку време). Тангентата на тангентата на графикот на координатата наспроти времето е еднаква на брзината:

Tg α = v

Ориз. 1.13. Зависност на проекцијата на поместувањето на телото од времето за еднообразно праволиниско движење.

Зависноста на координатата од времето е прикажана на сл. 1.14. Од сликата е јасно дека

Tg α 1 > tg α 2

затоа, брзината на телото 1 е поголема од брзината на телото 2 (v 1 > v 2).

Tg α 3 = v 3< 0

Ако телото е во мирување, тогаш координатниот график е права линија паралелна на временската оска, т.е.

X = x 0

Ориз. 1.14. Зависност на телесните координати од времето за еднообразно праволиниско движење.