Ако не верувате дека ова е вистина, погледнете ја Википедија. Па, кој не го знае ова?! Еве: „Осцилаторниот систем е физички систем во кој можат да постојат слободни осцилации“. Хм, нешто не е во ред. Раце, нозе со кои можеме повеќе или помалку слободно да замавнуваме...? Не, тоа не е тоа. Ајде да погледнеме: конзервативно, дисипативно...

Чудно! На крајот на краиштата, целта на различните видови енциклопедии е да дадат некаква примарна идеја за сè во светот. Но, ако првичната идеја добиена од енциклопедијата не ве одврати со својата научна природа, тогаш можеби ќе се свртите кон подлабока презентација.

За жал, забележав дека најчесто нешто објаснуваат не за некој да разбере нешто, туку за да ги изненадат со сопствената ерудиција. Така што луѓето велат: „О, колку е паметен! Тој знае толку многу! Многу е важно да можеш да зборуваш толку важно и импресивно за некоја тема, ако немаш апсолутно ништо да кажеш за тоа, а не можеш да го признаеш тоа. Употребата на терминологија од арсеналот на античките филозофи, спомнувањето на математички искази е многу импресивно... Особено ако сте убедени дека слушателите не знаат ништо друго освен табелата за множење.

Така, еден од моите колеги во наставата им даде на студентите материјал со толку моќна математичка поддршка што тие не можеа да разберат ништо. Но, не им беше забрането да мамат за време на испитите, а од нивна страна немаше никакви проблеми или поплаки. Но, забележале дека овој наставник без неговите белешки не може да поврзе два збора (математички текст), и... му ги украле белешките... Тоа било слика во масло.

Па, ајде да се обидеме да ги опишеме осцилаторните системи, така што сè е навистина јасно на сите.

Еден од претставниците на осцилаторниот систем е замав. Откако ќе ги турнете, тие потоа ќе се лулаат сами, на своја фреквенција. Се прашувам како да се одреди периодот на нивното движење? До кога ќе се лулаат? Но, излегува дека овие прашања веќе не се толку лесно да се одговорат. Бидејќи замав е прилично сложен уред со повеќе елементи. Па, едноставно кажано, можете да го земете предвид принципот на работа на нишалото, што е единствен осцилаторен систем, а потоа ќе стане повеќе или помалку јасно за замавнувањето.

Главниот принцип на знаење е да се премине од едноставно во сложено. И така, да почнеме со наједноставното нешто - со електричен осцилаторен систем, со L-Cосцилаторно коло.

Електричната енергија почна да влегува во нашите животи неодамна - пред околу 200 години. Како што се случува со сè во светот, проучувањето на оваа супстанца (електрична течност, како што рекоа тогаш) се одвиваше во многу мали чекори. Сега се појави галванскиот елемент и веќе не беше потребно да се трие килибарно стапче со парче крзно за да се произведе струја. Така е измислена теглата Лајден... Намерно ви го кажувам ова, затоа што сега пристапот на Интернет стана секојдневие, а се ќе дознаете подетално без мене. Моја задача е да ви кажам за осцилаторниот систем, за кој нема да најдете ништо на Интернет на толку едноставно ниво.

Така, се покажа дека е многу лесно да се наполни тегла Лејден (на денешен јазик - кондензатор) или, како што рекоа тогаш, да се наполни со електрична течност. Но, што е оваа електрична течност? Огромен број луѓе се забавуваа објавувајќи ја преку своите пријатели и познаници или едноставно сакаа сами да ја испробаат оваа извонредна сензација. Но, во 1847 година, во едно американско списание за физика се појави статија од веќе познатиот научник Џозеф Хенри, кој одлучи да ја измери струјата на празнење на наполнетиот кондензатор кога тој беше краток спој. За да го направи тоа, тој користел обична игла со магнетен компас како прототип на амперметар.

Тој завиткал голем број вртења на жица околу оваа стрела и краток спој наполнет кондензатор низ оваа жица. Потребни беа голем број вртења на жица за да се зголеми чувствителноста на овој уред. Стрелката всушност се грчеше за време на испуштањето, но... Не еднаш, како што се надеваше Хенри, туку постојано, и во различни насоки. Се чинеше дека таа трепери.

Тоа е, се покажа дека кога кондензаторот беше испразнет, ​​насоката на струјата се менуваше многу пати. Никој не обрна внимание на фактот дека во експериментот всушност е вклучена индуктивна калем, а во сите учебници за електрична енергија 30 години подоцна напишаа дека „кога наполнета тегла Лајден е краток спој, електричната течност не само што се излева од ова тегла, но и повторно се истура“. Ова беше објаснето со мешање. Ова, како што забележав, е сосема незаменлив збор. Кога ефектот е неразбирлив, а тоа е апсолутно невозможно да се направи без објаснување, тие го користат токму овој научен збор.

Кога им кажав на моите студенти за ова, им го свртев вниманието на фактот дека не треба да се плашат да прават експерименти, бидејќи како резултат на експериментот може да се открие суштински нов физички ефект. Односно да се направи откритие. Па, ова е само од мое искуство...

Значи, ова беше првата фаза од откривањето на осцилаторното коло. А втората фаза ја направи Лорд Келвин (Вилијам Томсон). Ако Џозеф Хенри бил заинтересиран за големината на струјата на празнење на кондензаторот, тогаш Томсон бил заинтересиран за формата на процесот на празнење. Без да размисли двапати, измислил осцилоскоп за оваа цел, за да ја задоволи својата љубопитност. И со помош на овој осцилоскоп, тој виде дека законот според кој кондензаторот се испушта (исто така сè уште не се посомневал во присуството и улогата на индуктивноста) кога е краток спој има карактер на придушен синусоид.

И веднаш, токму во тој момент, многу емотивно изјави дека се случува нов, претходно непознат осцилаторен систем. Ова е централната поента на мојата приказна.

Откако видел дека реакцијата на ефектот на пулсот (шок) на одреден објект има форма на придушен синусоид, Лорд Келвин изјавил дека овој објект е осцилаторен систем. Значи, тука е прашањето. Како го знаеше ова? Како знаел дека присуството на придушен синусоид значи присуство на осцилаторен систем? Сега за ова знаат само оние кои имаат радио инженерско образование. Па дури и тогаш, кога би им била раскажана приказната за откривањето на осцилаторното коло...

Што се однесува до улогата на индуктивноста, таа беше откриена само 20 години подоцна.

Лорд Келвин напишал равенка на колото, од која следи дека природната фреквенција на овој осцилаторен систем f 0се дефинира на следниов начин:

Л- количината на индуктивност и В- вредноста на капацитетот на кондензаторот.

Најважната карактеристика на колото е факторот на квалитет П. Се одредува со топлински загуби. Овие загуби настануваат поради фактот што индукторот освен што е индуктивен има и активен отпор Р, а дополнително, поради фактот што колото испушта електромагнетно поле во вселената.

Во отсуство на загуби П =∞, а синусоидот не изумира. Минимална вредност П =1. При оваа вредност на факторот квалитет, нема природни осцилации.

Бидејќи секој процес кој варира во време може да се смета за привремен О m аспект и на спектралната рамнина, тогаш сигналите се прикажани на двете слики.

Ориз. 1

На сл. 1(а) - во времето О m аспект. Тоа е, начинот на кој би го виделе овој сигнал на осцилоскоп. Слика 1(б) го покажува истиот сигнал, но во спектрална слика. Секој што ја знае гранката на математиката наречена спектротемпорална сми трансформации, би рекол дека и двете слики се синоними. Во пракса, овие две слики се надополнуваат една со друга.

Ако не постои единствен осцилаторен систем, туку неколку осцилаторни системи се предмет на удар истовремено, привремено ОНа сликата, сите амортизирани хармонични компоненти би се споиле заедно и тие не можат да се набљудуваат одделно. И во спектрален аспект, сите хармониски пригушени сигнали би се ширеле по оската на фреквенцијата и би било можно лесно да се одредат фреквенциите и факторите на квалитет на секој од нив.

Сега да видиме што ни дава знаењето за факторот квалитет.

Факт е дека ако имаме осцилаторен систем, тогаш неизбежно се појавува можноста за појава на резонанца. Резонанца се јавува кога природната фреквенција на осцилаторниот систем се совпаѓа со фреквенцијата на сигналот што го применуваме на осцилаторниот систем. Во овој случај, добиениот сигнал нема да се намали, туку ќе се зголемува, а неговата вредност ќе се стреми кон вредноста во П пати поголема од амплитудата на сигналот доставен до осцилаторниот систем.

Вистинската просечна вредност на факторот за квалитет на колото може да биде 100÷200. Да претпоставиме дека напонот што се испорачува на колото е 10V. Ова е мал напон, а неговото нанесување на колото не се заканува ништо. Но, се случи тоа во одреден момент Осе совпаѓате, а добиениот напон ќе почне непречено да се зголемува, со тенденција на вредност од 1000V ÷ 2000V. На овој напон може да дојде до дефект на кондензаторот и пожар на индукторот. Кога се случи практичниот развој? L-Cконтури (крајот на 19-ти - почетокот на 20-тиот век) имаше многу такви појави.

Оска чна слика 1 ќе ни биде корисно малку подоцна.

Секое откритие е од големо значење за физиката и за човештвото воопшто. Отворање L-Вконтурата е генерално посебен случај. Пуштете ја вашата фантазија и замислете како би било да не е отворена...

Но, за мене тоа е уште поважно, бидејќи благодарение на знаењето за историјата на откривањето на електричното коло, открив уште еден вид осцилаторен систем...

Така се случи во 1977 година да ме префрлат на работа на Рударскиот факултет, на Катедрата за развој на резервоарски депозити (РПМ) на Ленинградскиот рударски институт (ЛГИ). Се квалификував за радио инженер и веднаш се вработив таму во оваа функција.

Ми беше дадена задача да направам мерна опрема со цел да ги проучам својствата на звучна спроводливост на карпите што лежат во покривот на јагленот слој. Идејата на овие студии беше како што следува. Карпите што лежат на врвот на јагленот слој се всушност над главите на рударите. А бидејќи порано или подоцна овие карпи се рушат, има многу чести случаи кога луѓе се повредени и убиени. Мојата задача беше да ја измерам звучната спроводливост на карпите на покривот со цел да се обидам да пронајдам знаци за нивното претстојно уривање.

Логиката овде беше следна. Се претпоставуваше дека карпите на покривот ќе треба да пукнат пред да се урнат. Понатаму, се претпоставуваше дека со зголеменото фрактура на карпите на покривот, треба да се зголеми слабеењето на полето на еластичните вибрации што се шират во карпите на покривот. И особено, со зголемена фреквенција на ова поле. Ова значи дека ако ја одредиме звучната спроводливост на покривните карпи на различни фреквенции, тогаш ако претпоставките се точни, можеме да сметаме на тоа дека ќе можеме да откриеме некој вид на опасност/безбедносен критериум.

Слика 2 го прикажува дијаграмот за мерење.

Ориз. 2

Од генератор на аудио фреквенција, напонот кој непречено варира во фреквенцијата беше доставен до пиезокерамичкиот емитер. Полето на еластични вибрации што произлегуваат во карпите на покривот се шират во слоевитиот масив. На одредено растојание од емитерот, точно истиот пиезоелектричен трансдуктор беше притиснат на покривот, но тој работеше само во режим на примање, а засилувачот со индикатор за бирање ја сними амплитудата на напонот У , кои произлегуваат како резултат на полето на еластични вибрации што стигнува до точката на прием.

Земајќи ја предвид очекуваната зависност од фреквенцијата на полето, графикот на неговата зависност на точката на прием ќе биде геометриски сличен на графикот 1 Сл.3. Ако ги повторите мерењата во друг подземен рудник, зависноста ќе одговара на графиконот 2 , доколку во второто работење карпите се повеќе скршени.

Ориз. 3

Ова беше менталниот модел на овој експеримент и беше дизајнирана опремата за да се добијат такви информации.

Моето изненадување беше големо кога, како резултат на обработката на резултатите од мерењето, се покажа дека графикот на нивото на полето наспроти фреквенцијата има форма слична на графиконот 3 .

Обликот на овој график се покажа како клучна точка. Факт е дека оваа форма е геометриски слична на обликот на графиконот прикажан на Сл. 1 ( б), добро, овој график е спектрална слика на хармониски придушен сигнал. Тоа е, со ефект на широкопојасен интернет на звучен објект, се ослободува само хармоничен сигнал. И немав друг избор освен да се помирам со фактот дека предметот што звучеше на овој начин покажува својство на осцилаторен систем.

Осцилаторниот систем од овој тип се нарекува еластичен, бидејќи зборуваме за поле на еластични вибрации. Во овој конкретен случај од овој прв експеримент, осцилаторниот систем беше имплементиран од рамно-паралелен карпест објект кој имаше дебелина ч 1, во согласност со сл. 2. Тогаш беше откриено дека природната фреквенција f 0таков резонатор може да се одреди од следнава врска:

f 0 = k / h(2), каде

к- првично сосема неразбирлив коефициент со димензијата на брзината во тоа време. За сите карпи овој коефициент се покажа дека е 2500m/s±10%.

Релацијата (2) предложи употреба на еластични осцилаторни системи за одредување на големини на предмети кои не можат да се измерат со други средства. На пример, дебелината на карпестите слоеви што лежат на покривот. Факт е дека, во согласност со слика 2, вредноста ч 1поврзани со стабилноста на покривните карпи. Па ако ч 1е доста голем (добро, да речеме, повеќе од 5 m), тогаш е безбедно да се биде во таков рудник. Но, ако, да речеме, 0,5 m, тогаш тоа е многу опасно, а покривот треба или да се зајакне или специјално да се сруши за да не испадне ненадеен колапс.

Апсцизни оски на слика 1 ѓИ чнасочени во спротивни насоки поради нивната обратна пропорционалност.

Во целосна согласност со законите на методологијата на развој на научното знаење, како резултат на откривањето на нов физички ефект, секогаш и нужно се појавува нов истражувачки апарат. Како резултат на откривањето на нов тип на осцилаторен систем, создадена е опрема со помош на која беше можно директно во рудникот да се одреди дебелината на карпестиот слој кој се наоѓа директно над главите на рударите. Оваа опрема беше наречена „Резонанца“. Се користеше до 1993 година за да се процени и предвиди стабилноста на покривот.

Како што се испостави, предметите направени од не сите материјали покажуваат својства на осцилаторни системи (со други зборови, резонатори). Во однос на слоевите, тоа се резонаторски слоеви и нерезонаторни слоеви. Резонаторите се предмети направени од стакло, метали и легури, керамика, камења, мраз... Нерезонаторските предмети се направени од плексиглас, некои пластики, течности и гасови.

Сепак, слоевитиот масив со дебелина на земјата не се состои од еден резонаторски слој, туку од многу слоеви на карпи и, природно, се појави идејата да се одреди дебелината не само на еден резонаторски слој, туку и на сите оние што лежат до одредена длабочина. Но, тука се појави сомнеж за можноста за ова, бидејќи дури и откако добивме информации за дебелината на сите слоеви, не беше јасно како да се дознае редоследот на нивното појавување.

При тестирањето на оваа идеја, беше откриено уште едно својство на резонаторските слоеви, а тоа е дека природните осцилации што се појавуваат во резонаторскиот слој се шират по него, без да оди подалеку од него. Ова значи дека идејата за длабинско гледање на слоевита низа е изводлива. Дијаграм што го објаснува значењето на таквите студии е прикажан на Сл. 4.

Ориз. 4

Еве Јас - точка на удар на површината на слоевитиот масив;

S - сеизмички приемник.

Кога е погодена површината на слоевита маса, нејзините сопствени еластични вибрации се јавуваат во сите слоеви, но бидејќи тие се шират по секој од нив и не ги надминуваат нејзините граници, сеизмичкиот приемник нема да ги почувствува природните вибрации на слоевите на резонаторот, што не допира. И така, за дијаграмот прикажан на сл. 4, ќе добиеме информации за дебелини на карпестите слоеви h1, h1+h2, ч 1+2+3итн. Но, нема да добиваме информации за поединечни слоеви кои не се допрени од геофонот. Сите спектрални сеизмички истражувања се изградени на овој принцип.

Меѓутоа, веќе долги години слушам недоразбирања за ова. Факт е дека за да ја возбудиме дебелината на земјата користиме многу слаб енергетски ударен инструмент. Како, да речеме, чекан, со тежина од 1-2 кг. Во исто време, добиваме информации за длабочини до еден километар. Луѓето воспитани на принципите на традиционалното сеизмичко истражување со зрак не можат да разберат како таков слаб сигнал патува толку долг пат, се рефлектира и може да се сними.

Но, факт е дека не постои „начин“. Со еден удар возбудувате неколку осцилаторни системи, а со помош на геофон и спектрална трансформација можете да добиете информации за секој осцилаторен процес, за секоја спектрална компонента.

Друга аналогија е соодветна овде. Кога ги удирате копчињата на клавирот со прстите, истовремено возбудувате неколку осцилаторни системи, а со помош на анализатор на спектар можете да одредите кои жици ги удирате. Во моментот на влијание врз осцилаторниот систем, самиот примарен импулс исчезнува. Се трансформира во толку хармонични процеси колку што има осцилаторни системи што сте ги возбудиле. А спектралната сеизмичка станица е анализатор на спектарот.

Многу важен аспект кога се разгледуваат еластичните осцилаторни системи е можноста за појава на резонанца. Бидејќи акустичните својства на земјата се збир на осцилаторни системи, мора да се биде многу внимателен кога се користат уреди кои имаат динамичен (вибрационен) ефект на земјата, бидејќи веројатноста за појава на процес на резонанца е многу голема. Секој знае дека кога која било турбина забрзува со одредени брзини на ротација, се јавуваат вибрации. Така се манифестира процесот на резонанца.

Присуството на резонантно оштетување ги става на ризик структурите кои имаат динамичен ефект врз потпорот. Тоа се електрани, пумпни станици, железнички насипи... Односно уреди кои го одредуваат нивото на нашата цивилизација.

Да, еластичните осцилаторни системи се многу едноставни во поглед на нивното откривање и докажување на нивното постоење. Но, се покажа дека тие имаат толкав број на својства што би било доволно и за мене и за моите следбеници да студираме многу години.

Осцилаторниот систем е систем во кој може да настанат осцилации како резултат на нарушување на рамнотежната состојба.

Типот на осцилациите што се појавуваат во системот зависи од различни физички големини што го карактеризираат системот - параметрите на системот, како и од видот на надворешните влијанија што го отстрануваат системот од рамнотежна положба (на пример: математичко нишало на теренот на гравитацијата).

Осцилаторните системи можат да бидат линеарни и нелинеарни. Физичките системи кои вршат осцилации, чии суштински карактеристики се пренесуваат со доволно приближување со линеарни диференцијални равенки, се нарекуваат линеарни осцилаторни системи, останатите се нарекуваат нелинеарни.

Ќе ги разгледаме само наједноставните осцилаторни системи - линеарни системи со еден степен на слобода, и такви што параметрите на системот не зависат од неговата состојба и се константни. Ваквите осцилаторни системи се опишани со линеарни диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти. Примери за такви системи се системи како што се „електрично осцилаторно коло“, „торзионално нишало“, „топче суспендирано на пружина“ итн.

Да ги разгледаме појавите што се случуваат во осцилаторните системи. Без да можеме да извршиме анализа во општиот случај, ќе се ограничиме на разгледување на два примери: електрично осцилаторно коло и механичко нишало.

Нека осцилаторното коло (сл. 1) се состои од капацитивност C, индуктивност L и омски отпор R.

Колото може да се доведе до својата рамнотежна положба со користење на наизменичен извор на напон E(t) поврзан во серија со елементите на колото. Ќе претпоставиме дека можеме произволно да го избереме типот на зависност на изворот emf на време (особено, можеме да го поставиме еднаков на нула). ЕМФ на изворот ја игра улогата на надворешно принудно дејство за колото.

Механичко нишало (слика 2) е топка со маса m прикачена на пружина К.

Системот може да се стави во движење со помош на подвижна струја Ш, на која е прикачен вториот крај a на пружината. Дозволете ни да составиме диференцијални равенки за напонот U C на капацитетот на осцилаторното коло и за координатите на поместувањето на центарот на топката од положбата на рамнотежа. Очигледно, за затворено коло на осцилаторно коло важи еднаквоста

E(t) = UL + UR + UC

каде U L, U R и U C се падовите на напонот на елементите на колото L, R и C. Користење на познати еднаквости

UR = JR,

UL = L

U=UC=

C ∫

и со оглед на тоа

U′=

U′′=

d2U

1 dJ

dt 2

dt,

ја намалуваме равенката (1) на формата

LCU" + RCU" + U = E(t)

Да ја воведеме ознаката

За механички систем, според вториот закон на Њутн

mx " = fmp + fg

каде што fmp = -rx "е силата на триење, fg = -k(x – x 1) е силата поради деформацијата на пружината, k е коефициентот на вкочанетост на пружината, x 1 = x 1 (t) е поместувањето на крајот на пролетта од позиција

mx" + rx" + k(x – x1) = 0

Воведување ознаки

Споредувајќи ги равенките (2) и (6), гледаме дека тие се разликуваат само во означувањето на променливата (U или x) и слободниот член E(t) или x 1 (t). Оние. и напонот на капацитивноста на електричното коло и поместувањето на топката на механичкото нишало се опишани со истата равенка и на ист начин зависат од видот на принудното дејство. (Во следново ќе ја користиме равенката (3), имајќи предвид дека таа ги опишува и механичките и електричните системи подеднакво).

Сумирајќи го добиениот резултат, можеме да кажеме дека секој наједноставен осцилаторен систем може да се карактеризира со само две величини α и ω 0, а природата на неговото движење зависи од овие големини и од типот на функцијата E(t), која ја опишува надворешната влијание врз системот. Коефициентите α и ω 0 се одредуваат со параметрите на одреден осцилаторен систем. Конкретно, за системите што ги разгледавме, важат релациите (2) и (5). Големината α се нарекува коефициент на слабеење,аω 0 - природна фреквенцијасистеми.

Со на некој начин возбудување на осцилаторниот систем (т.е. поставување на одреден тип на функција E(t)) и проучување на добиените осцилации, можно е да се одредат коефициентите α и ω 0 . Постојат два најчесто користени методи за одредување на коефициентите - метод заснован на возбудување во систем на слободни осцилации и метод заснован на невозбудување во систем на принудни осцилации. Да ги разгледаме овие два типа на системски осцилации.

Бесплатни вибрации.

Слободните или природните осцилации на системот се случуваат ако системот бил изваден од рамнотежа со доволно остар почетен удар, а потоа оставен на самиот себе. Ставајќи E(t)=0 во равенката (3), добиваме за случајот

ја задоволува равенката (7). (Во теоријата на диференцијални равенки е докажано дека ако ω 0 2 ≠ α 2, ова решение е единствено).

Формулата (8) има директно физичко значење само ако ω с е реална величина, т.е. ω 0 2 > α 2 .

(Ако ω 0 2< α 2 , то это означает, что трение в системе настолько велико, что колебаний не возникает. Этот случай мы рассматривать не будем).

Функцијата U претставува пригушени осцилации.Неговиот график е прикажан на сл. 3.

Оваа функција е непериодична, но има одреден вид „повторување“, што се состои во тоа што максимумите на функцијата, нејзините минимуми и нули се јавуваат во еднакви временски интервали еднакви на периодот Tc на хармоничниот фактор. cos(ω c t- α ). Затоа можеме да зборуваме за „период“ на пригушена осцилација.

а за „фреквенцијата“ на придушената осцилација ω c .

На ист начин, бидејќи функцијата U не е хармонична, тогаш, строго кажано, терминот „амплитуда“ не се однесува на неа.

Сепак, обично зборуваме за „амплитуда“ амортизирана осцилацијазначи со ова највисоката вредност што функцијата ја постигнува во текот на еден период.„Амплитудата“ на придушената осцилација U 0 e α t се намалува според експоненцијалниот закон. Однос на две последователни „амплитуди“

U0 e− α t				αT в
	− α (t+ T

ако вредноста е константна. Природниот логаритам на овој однос е

λ= α Tс

наречен логаритамско намалување на амортизацијатадвоумење.

(Често се нарекува по кратенка: амортизирачко намалување или едноставно: намалување). Да го објасниме физичкото значење на величините α, λ и ω 0.

Да го означиме со τ временскиот период во кој се намалува амплитудата на осцилациите be pas. Тогаш e - ατ = e -1, од каде α = τ 1. Коеф стапка на слабеењеα е

реципрочно на одреден временски периодτ , при што амплитудата се намалува вод. еднаш. Намалувањето на логаритамското придушување покажува колку се намалува амплитудата на осцилацијата во одреден период. Нека N е бројот на осцилации при кои амплитудата се намалува за фактор. Потоа

Логаритамското намалување на амортизацијата е реципрочно на бројот на осцилации, според

по што амплитудата се намалува вои пати. Ако поставиме α =0, тогаш наместо (8) ќе имаме U = U 0 cos (ω 0 t - ϕ ). Така, природна фреквенција е фреквенцијата

хармониски осцилации кои системот би ги извршил во отсуство на триење.Произволните константи U 0 и ϕ во функцијата U се одредуваат со почетната

услови, т.е. вредностите на функциите U и неговиот дериват U " во почетниот момент на времето. Овие вредности зависат од начинот на кој системот бил отстранет од позицијата на рамнотежа.

Принудени вибрации.

Сега да ги разгледаме процесите во осцилаторните системи во режимот на принудни хармонични осцилации.

Нека присилното влијание има форма на хармонска функција

E(t) = Е0 cos ω t

Следствено, сега нашиот осцилаторен систем е опишан со равенката

U" + 2α U" + ω0 2 U = E0 ω0 2 cos ω t
Решението на равенката (13) ја има формата
U = U0 e- α t cos (ωc t +ϕ c ) + U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

Првиот член од збирот во изразот (14) е природните осцилации на системот, кои настануваат кога системот ќе се отстрани од својата рамнотежна положба во моментот на вклучување на принудното дејство. Бидејќи природните осцилации се пригушени, по некое време нивната амплитуда станува занемарливо мала, а системот почнува да осцилира со фреквенција ω што му е наметната од надворешно влијание.

стационарен, а почетната фаза се нарекува процес на транзиција.Ќе го разгледаме само процесот на стабилна состојба. Оттука

U = U(ω) cos [ω t+ϕ (ω) ]

тие. осцилациите на системот се хармонични, со амплитуда U(ω) и фаза φ(ω), во зависност од фреквенцијата.

Во иднина, возбудливото влијание (12) и неговата амплитуда ќе го нарекуваме влезна осцилација (влијание) и влезна амплитуда, а осцилацијата (15), која ја опишува реакцијата на системот, а амплитудата на оваа осцилација излез осцилација и излезна амплитуда.

Заменувајќи го (15) во равенката (13), наоѓаме

U (ω )= 2		4α 2		ω ) 2

		2 αω
ϕ (ω ) = − арктан
	1− (

Од добиените изрази е јасно дека обликот на зависноста на излезната амплитуда од фреквенцијата и фазата на излезната осцилација зависат само од два параметри - природниот

фреквенција ω 0 и сооднос2 α.

Да го воведеме концептот на фактор на квалитет на осцилаторниот систем Q

Q = ω 2 α 0

(Физичкото значење на факторот квалитет ќе го дознаеме подоцна). Замена

(18)/ во (16) и (17) добиваме

U (ω )= 2+			ω ) 2

ϕ (ω ) = − арктано 0

Да ја разгледаме природата на зависноста на амплитудата и фазата на излезната осцилација од фреквенцијата.

Семејството на криви U(ω) за различни вредности на Q е прикажано на Сл. 4.

Ако влезната фреквенција на осцилација е мала ω<<ω 0 , тоU(ω) Е 0 , т.е. амплитуда вынужденных колебаний оказывается равной величине статического смешения, которое вызвало бы постоянное внешнее воздействиеЕ 0 . Когда частотаω приближаемся к частоте

како ω → ∞. Зголемувањето на U(ω) во близина на максимумот се случува поостро, толку повеќе

фактор на квалитет и, според тоа, колку е помал коефициентот на слабеење α на системот. Наглото зголемување на амплитудата на излезната осцилација во близина на ω 0 за системи со мало слабеење се нарекува феномен на резонанца. Кривите на амплитудата наспроти фреквенцијата во овој случај се нарекуваат амплитудни резонантни криви,и одговара на максималната амплитуда - резонантна фреквенција.

Да го дефинираме ω р. Преземање на дериватот								и изедначувајќи го со нула, добиваме
				1−		= ω 2		−2 α 2
					2 Q 2

Ајде да го дознаеме физичкото значење на факторот за квалитет. Да разгледаме систем со ниско слабеење. Таквиот систем има изразени резонантни својства. За неа

се исполнети условите

α2<<ω0 2 ,

Q2 >>1

Тогаш можеме да размислиме

ωρ ≈ ω0

Квантитативна карактеристика на ефектот на резонанца може да биде односот на излезната амплитуда на максимум со амплитудата на принудните осцилации далеку од резонанца, во регионот на фреквенции толку ниски што амплитудата може да се смета за независна од фреквенцијата. Од (19) земајќи ги предвид условите (22) и (23) добиваме

U U (макс 0)≈ Q

тие. овој сооднос е еднаков на факторот квалитет на системот. Бидејќи U(0) = E 0, факторот на квалитет покажува и колку пати амплитудата на излезниот систем на резонанца ја надминува влезната амплитуда. Колку е поголем факторот на квалитет на системот, толку е потесен резонантниот максимум. Ширината на кривата на резонанца на одредена еднаш и засекогаш избрана висина може да послужи и како квантитативна карактеристика на ефектот на резонанца. Ширина на резонантна

е пропорционален на квадратот на амплитудата, тоа одговара на намалување на енергијата на осцилацијата за половина во споредба со максимумот).

Значи измерената ширина 2∆ ω се вика ширина на кривата на резонанца на половина моќност.Да ја најдеме ширината 2∆ ω. Условот за намалување на квадратната амплитуда за половина во однос на максимумот ќе има форма

		Q2 E2
	}