Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.
Собирање и користење на лични информации
Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.
Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.
Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.
Кои лични податоци ги собираме:
- Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса на е-пошта итн.
Како ги користиме вашите лични податоци:
- Личните информации што ги собираме ни овозможуваат да ве контактираме со уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
- Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
- Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
- Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.
Откривање на информации на трети страни
Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.
Исклучоци:
- Доколку е потребно - во согласност со закон, судска процедура, во правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини органи на територијата на Руската Федерација - да ги откриете вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
- Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.
Заштита на лични информации
Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.
Почитување на вашата приватност на ниво на компанија
За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.
Ние веќе сме запознаени со концептот на линеарна равенка во две непознати. Равенките можат да бидат присутни во еден проблем или поединечно или неколку равенки одеднаш. Во такви случаи, равенките се комбинираат во систем на равенки.
Што е систем на линеарни равенки
Систем на равенки- ова се две или повеќе равенки за кои е неопходно да се најдат сите нивни заеднички решенија. Обично, за да се напише систем на равенки, тие се запишуваат во колона и се црта една заедничка кадрава заграда. Снимање на системот на линеарни равенки е претставено подолу.
( 4x + 3y = 6
( 2x + y = 4
Овој запис значи дека е даден систем од две равенки со две променливи. Ако има три равенки во системот, тогаш ќе зборуваме за систем од три равенки. И така натаму за кој било број равенки.
Ако сите равенки присутни во еден систем се линеарни, тогаш велиме дека е даден систем од линеарни равенки. Во горниот пример е претставен систем од две линеарни равенки. Како што е наведено погоре, системот може да има општи решенија. Подолу ќе зборуваме за терминот „општо решение“.
Кое е решението?
Решение на систем од две равенки со две непознати е пар броеви (x,y) така што ако ги замениме овие броеви во равенките на системот, тогаш секоја од равенките на системот се претвора во вистинска равенка.
На пример, имаме систем од две линеарни равенки. Решението на првата равенка ќе бидат сите парови на броеви кои ја задоволуваат оваа равенка.
За втората равенка, решението ќе биде парови од броеви кои ја задоволуваат оваа равенка. Ако има пар броеви што ги задоволува и првата и втората равенка, тогаш овој пар броеви ќе биде решение за систем од две линеарни равенки во две непознати.
Графичко решение
Графички, решението на линеарна равенка се сите точки на одредена права на рамнината.
За систем на линеарни равенки, ќе имаме неколку прави линии (според бројот на равенки). И решението на системот на равенки ќе биде точката во која СИТЕ прави се сечат. Ако нема таква точка, тогаш системот нема да има решенија. Точката во која се сечат сите прави припаѓа на секоја од овие прави, затоа решението се нарекува општо.
Патем, исцртувањето на равенките на системот и наоѓањето на нивната заедничка точка е еден од начините за решавање на систем од равенки. Овој метод се нарекува графички.
Други начини за решавање на линеарни равенки
Постојат и други начини за решавање на системи на линеарни равенки во две променливи. Основни методи за решавање системи на линеарни равенки со две непознати.
Системите на равенки се широко користени во економскиот сектор за математичко моделирање на различни процеси. На пример, при решавање на проблеми за управување и планирање на производството, логистички правци (проблем со транспорт) или поставување опрема.
Системите на равенки се користат не само во математиката, туку и во физиката, хемијата и биологијата, при решавање на проблемите за пронаоѓање на големината на населението.
Систем на линеарни равенки се две или повеќе равенки со повеќе променливи за кои е неопходно да се најде заедничко решение. Таква низа од броеви за кои сите равенки стануваат вистински еднаквости или докажуваат дека низата не постои.
Линеарна равенка
Равенките од формата ax+by=c се нарекуваат линеарни. Ознаките x, y се непознатите чија вредност мора да се најде, b, a се коефициентите на променливите, c е слободниот член на равенката.
Решавањето на равенката со исцртување ќе изгледа како права линија, чиишто точки се решенија на полиномот.
Видови системи на линеарни равенки
Наједноставни примери се сметаат за системи на линеарни равенки со две променливи X и Y.
F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, каде што F1,2 се функции и (x, y) се функционални променливи.
Решава систем на равенки - тоа значи да се најдат вредности (x, y) при кои системот се претвора во вистинска еднаквост или да се утврди дека соодветните вредности на x и y не постојат.
Пар вредности (x, y), напишани како координати на точка, се нарекуваат решение на систем од линеарни равенки.
Ако системите имаат едно заедничко решение или не постои решение, тие се нарекуваат еквивалентни.
Хомогени системи на линеарни равенки се системи чија десна страна е еднаква на нула. Ако десниот дел по знакот за еднаквост има вредност или се изразува со функција, таквиот систем е хетероген.
Бројот на променливи може да биде многу повеќе од две, тогаш треба да зборуваме за пример на систем на линеарни равенки со три или повеќе променливи.
Кога се соочуваат со системи, учениците претпоставуваат дека бројот на равенки мора нужно да се совпаѓа со бројот на непознати, но тоа не е така. Бројот на равенки во системот не зависи од променливите, може да ги има онолку колку што сакате.
Едноставни и сложени методи за решавање системи на равенки
Не постои општ аналитички метод за решавање на вакви системи, сите методи се засноваат на нумерички решенија. Училишниот курс по математика детално ги опишува методите како пермутација, алгебарско собирање, замена, како и графички и матрични методи, решение со Гаусовиот метод.
Главната задача кога се предаваат методи за решение е да се научи како правилно да се анализира системот и да се најде оптималниот алгоритам за решение за секој пример. Главната работа не е да се запамети систем на правила и дејства за секој метод, туку да се разберат принципите на користење на одреден метод
Решавањето на примери на системи на линеарни равенки во наставната програма за општо образование за VII одделение е прилично едноставно и детално објаснето. Во секој учебник по математика, на овој дел му се посветува доволно внимание. Решавањето на примери на системи на линеарни равенки со помош на методот Гаус и Крамер се изучува подетално во првите години на високото образование.
Решавање системи со помош на методот на замена
Дејствата на методот на замена се насочени кон изразување на вредноста на една променлива во однос на втората. Изразот се заменува во преостанатата равенка, а потоа се сведува на форма со една променлива. Дејството се повторува во зависност од бројот на непознати во системот
Да дадеме решение за пример на систем на линеарни равенки од класа 7 користејќи го методот на замена:
Како што може да се види од примерот, променливата x беше изразена преку F(X) = 7 + Y. Резултирачкиот израз, заменет во втората равенка на системот на местото на X, помогна да се добие една променлива Y во втората равенка . Решавањето на овој пример е лесно и ви овозможува да ја добиете вредноста Y. Последниот чекор е да ги проверите добиените вредности.
Не е секогаш можно да се реши пример на систем на линеарни равенки со замена. Равенките можат да бидат сложени и изразувањето на променливата во однос на втората непозната ќе биде премногу незгодно за понатамошни пресметки. Кога има повеќе од 3 непознати во системот, решавањето со замена е исто така несоодветно.
Решение на пример на систем на линеарни нехомогени равенки:
Решение со помош на алгебарско собирање
Кога барате решенија за системи користејќи метод на собирање, равенките се додаваат по член и се множат со различни броеви. Крајната цел на математичките операции е равенка во една променлива.
Примената на овој метод бара вежбање и набљудување. Решавањето на систем од линеарни равенки со помош на методот на собирање кога има 3 или повеќе променливи не е лесно. Алгебарското собирање е погодно за употреба кога равенките содржат дропки и децимали.
Алгоритам за решение:
- Помножете ги двете страни на равенката со одреден број. Како резултат на аритметичката операција, еден од коефициентите на променливата треба да стане еднаков на 1.
- Додадете го добиениот израз термин по член и најдете една од непознатите.
- Заменете ја добиената вредност во втората равенка на системот за да ја пронајдете преостанатата променлива.
Начин на решение со воведување нова променлива
Може да се воведе нова променлива ако системот бара да се најде решение за не повеќе од две равенки; бројот на непознати исто така треба да биде не повеќе од две.
Методот се користи за поедноставување на една од равенките со воведување на нова променлива. Новата равенка се решава за воведената непозната, а добиената вредност се користи за одредување на оригиналната променлива.
Примерот покажува дека со воведување на нова променлива t, беше можно да се намали првата равенка на системот на стандарден квадратен трином. Можете да решите полином со наоѓање на дискриминантот.
Потребно е да се најде вредноста на дискриминаторот со помош на добро познатата формула: D = b2 - 4*a*c, каде што D е саканата дискриминантна, b, a, c се факторите на полиномот. Во дадениот пример a=1, b=16, c=39, значи D=100. Ако дискриминантата е поголема од нула, тогаш има две решенија: t = -b±√D / 2*a, ако дискриминантата е помала од нула, тогаш има едно решение: x = -b / 2*a.
Решението за добиените системи се наоѓа со методот на додавање.
Визуелен метод за решавање системи
Погоден за 3 системи на равенки. Методот се состои во конструирање графикони на секоја равенка вклучена во системот на координатната оска. Координатите на пресечните точки на кривите ќе бидат општо решение на системот.
Графичкиот метод има голем број на нијанси. Ајде да погледнеме неколку примери за решавање системи на линеарни равенки на визуелен начин.
Како што може да се види од примерот, за секоја линија беа изградени две точки, произволно беа избрани вредностите на променливата x: 0 и 3. Врз основа на вредностите на x, беа пронајдени вредностите за y: 3 и 0. Точките со координати (0, 3) и (3, 0) беа означени на графикот и поврзани со линија.
Чекорите мора да се повторат за втората равенка. Точката на пресек на правите е решението на системот.
Следниот пример бара да се најде графичко решение за систем од линеарни равенки: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.
Како што може да се види од примерот, системот нема решение, бидејќи графиконите се паралелни и не се сечат по целата должина.
Системите од примерите 2 и 3 се слични, но кога се конструираат станува очигледно дека нивните решенија се различни. Треба да се запомни дека не е секогаш можно да се каже дали системот има решение или не; секогаш е неопходно да се конструира график.
Матрицата и нејзините сорти
Матриците се користат за концизно пишување на систем од линеарни равенки. Матрицата е посебен вид табела исполнета со бројки. n*m има n - редови и m - колони.
Матрицата е квадратна кога бројот на колони и редови се еднакви. Матрица-вектор е матрица од една колона со бесконечно можен број на редови. Матрицата со оние долж една од дијагоналите и другите нула елементи се нарекува идентитет.
Инверзна матрица е матрица кога ќе се помножи со која оригиналната се претвора во единична матрица; таква матрица постои само за оригиналната квадратна.
Правила за претворање на систем од равенки во матрица
Во однос на системите на равенки, коефициентите и слободните членови на равенките се запишуваат како матрични броеви, а една равенка е еден ред од матрицата.
Се вели дека редот на матрицата е ненула ако барем еден елемент од редот не е нула. Затоа, ако во некоја од равенките бројот на променливи се разликува, тогаш потребно е да се внесе нула на местото на непознатата што недостасува.
Колоните на матрицата мора строго да одговараат на променливите. Тоа значи дека коефициентите на променливата x можат да се запишат само во една колона, на пример првата, коефициентот на непознатата y - само во втората.
При множење на матрица, сите елементи на матрицата секвенцијално се множат со број.
Опции за наоѓање на инверзна матрица
Формулата за наоѓање на инверзната матрица е прилично едноставна: K -1 = 1 / |K|, каде што K -1 е инверзна матрица и |K| е детерминанта на матрицата. |К| не смее да биде еднаков на нула, тогаш системот има решение.
Детерминантата лесно се пресметува за матрица два по два, само треба да ги помножите дијагоналните елементи еден со друг. За опцијата „три по три“, постои формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можете да ја користите формулата или да запомните дека треба да земете по еден елемент од секој ред и од секоја колона за да не се повторуваат броевите на колоните и редовите на елементите во работата.
Решавање примери на системи на линеарни равенки со помош на методот на матрица
Матричниот метод за наоѓање решение ви овозможува да ги намалите незгодните записи кога решавате системи со голем број променливи и равенки.
Во примерот, a nm се коефициентите на равенките, матрицата е вектор x n се променливи, а b n се слободни членови.
Решавање системи со помош на Гаусовиот метод
Во вишата математика, Гаусовиот метод се изучува заедно со Крамеровиот метод, а процесот на наоѓање решенија на системите се нарекува метод на Гаус-Крамер решение. Овие методи се користат за пронаоѓање на променливи на системи со голем број линеарни равенки.
Гаусовиот метод е многу сличен на решенијата со замена и алгебарско собирање, но е посистематски. Во училишниот курс решението по Гаусовиот метод се користи за системи од 3 и 4 равенки. Целта на методот е да го намали системот во форма на превртен трапез. Со помош на алгебарски трансформации и замени, вредноста на една променлива се наоѓа во една од равенките на системот. Втората равенка е израз со 2 непознати, додека 3 и 4 се, соодветно, со 3 и 4 променливи.
По доведување на системот во опишаната форма, понатамошното решение се сведува на секвенцијална замена на познатите променливи во равенките на системот.
Во училишните учебници за 7 одделение, пример за решение со методот Гаус е опишан на следниов начин:
Како што може да се види од примерот, на чекорот (3) се добиени две равенки: 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решавањето на која било од равенките ќе ви овозможи да дознаете една од променливите x n.
Теорема 5, која е спомната во текстот, вели дека ако една од равенките на системот се замени со еквивалентна, тогаш добиениот систем исто така ќе биде еквивалентен на првобитниот.
Гаусовиот метод е тешко разбирлив за средношколците, но тој е еден од најинтересните начини да се развие генијалноста на децата запишани во напредни програми за учење на часовите по математика и физика.
За полесно снимање, пресметките обично се прават на следниов начин:
Коефициентите на равенките и слободните членови се напишани во форма на матрица, каде што секој ред од матрицата одговара на една од равенките на системот. ја одделува левата страна на равенката од десната. Римските бројки ги означуваат броевите на равенките во системот.
Прво, запишете ја матрицата со која треба да се работи, а потоа сите дејства извршени со еден од редовите. Добиената матрица се запишува по знакот „стрелка“ и потребните алгебарски операции се продолжуваат додека не се постигне резултатот.
Резултатот треба да биде матрица во која една од дијагоналите е еднаква на 1, а сите други коефициенти се еднакви на нула, односно матрицата се сведува на единична форма. Не смееме да заборавиме да извршиме пресметки со бројки од двете страни на равенката.
Овој метод на снимање е помалку тежок и ви овозможува да не ви се одвлекува вниманието со наведување бројни непознати.
Бесплатната употреба на кој било метод на решение ќе бара грижа и одредено искуство. Сите методи не се од применета природа. Некои методи за изнаоѓање решенија се попожелни во одредена област на човечка активност, додека други постојат за едукативни цели.
Дозволете ни да анализираме два вида решенија на системи на равенки:
1. Решавање на системот со методот на замена.
2. Решавање на системот со собирање (одземање) член по член на системските равенки.
Со цел да се реши системот на равенки со метод на заменатреба да следите едноставен алгоритам:
1. Изрази. Од која било равенка изразуваме една променлива.
2. Замена. Добиената вредност ја заменуваме со друга равенка наместо изразената променлива.
3. Решете ја добиената равенка со една променлива. Наоѓаме решение за системот.
Да се реши систем по метод на собирање (одземање) термин по членмора да:
1. Изберете променлива за која ќе направиме идентични коефициенти.
2. Додаваме или одземаме равенки, што резултира со равенка со една променлива.
3. Решете го резултатот линеарна равенка. Наоѓаме решение за системот.
Решението на системот е пресечните точки на графиконите на функциите.
Дозволете ни да го разгледаме детално решението на системите користејќи примери.
Пример #1:
Ајде да решиме со метод на замена
Решавање на систем од равенки со помош на методот на замена2x+5y=1 (1 равенка)
x-10y=3 (втора равенка)
1. Изрази
Се гледа дека во втората равенка има променлива x со коефициент 1, што значи дека најлесно е да се изрази променливата x од втората равенка.
x=3+10y
2. Откако ќе го изразиме, наместо променливата x, заменуваме 3+10y во првата равенка.
2(3+10г)+5г=1
3. Решете ја добиената равенка со една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворете ги заградите)
6+20г+5г=1
25г=1-6
25г=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системот за равенки се пресечните точки на графиконите, затоа треба да ги најдеме x и y, бидејќи пресечната точка се состои од x и y. Да го најдеме x, во првата точка каде што го изразивме, таму го заменуваме y .
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Вообичаено е да се пишуваат точки на прво место ја пишуваме променливата x, а на второ променливата y.
Одговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Ајде да решиме со методот на собирање (одземање) термин по член.
Решавање на систем од равенки со помош на методот на собирање3x-2y=1 (1 равенка)
2x-3y=-10 (втора равенка)
1. Избираме променлива, да речеме дека избираме x. Во првата равенка, променливата x има коефициент 3, во втората - 2. Треба да ги направиме коефициентите исти, за ова имаме право да ги помножиме равенките или да ги делиме со кој било број. Првата равенка ја помножуваме со 2, а втората со 3 и добиваме вкупен коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Од првата равенка одземете ја втората за да се ослободите од променливата x. Решете ја линеарната равенка.
__6x-4y=2
5г=32 | :5
y=6,4
3. Најдете x. Пронајденото y го заменуваме со која било од равенките, да речеме во првата равенка.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6
Пресечната точка ќе биде x=4,6; y=6,4
Одговор: (4.6; 6.4)
Дали сакате да се подготвите за испити бесплатно? Тутор онлајн бесплатно. Не се шегувам.