Услов векторите да бидат нормални
Векторите се нормални ако и само ако нивниот производ со точки е нула.
Дадени се два вектори a(xa;ya) и b(xb;yb). Овие вектори ќе бидат нормални ако изразот xaxb + yayb = 0.
Векторите се паралелни ако нивниот вкрстен производ е нула
Равенка на права линија на рамнина. Основни проблеми на права линија на авион.
Секоја права линија на рамнината може да се определи со равенка од прв ред Ax + By + C = 0, а константите A и B не се еднакви на нула во исто време, т.е. A2 + B2 0. Оваа равенка од прв ред се нарекува општа равенка на правата. Во зависност од вредностите на константите A, B и C, можни се следните посебни случаи: - C = 0, A 0, B 0 - правата линија поминува низ потеклото - A = 0, B 0 , C 0 (од
C = 0) - права линија паралелна на оската Oy - B = 0, A 0, C 0 ( Ax + C = 0) - права линија паралелна на оската Oy - B = C = 0, A 0 - права линија се совпаѓа со оската Oy - A = C = 0, B 0 – правата линија се совпаѓа со оската Ox Равенката на правата може да се претстави во различни форми во зависност од дадените почетни услови.
Ако барем еден од коефициентите A, B, C од нивото Ax+By+C=0 е еднаков на 0, ниво
повикани нецелосни. Според формата на равенката на права линија може да се процени нејзината позиција
плошноста OXU. Можни случаи:
1 C=0 L: Ax+By=0 t O(0,0) ја задоволува оваа равенка, што значи дека е исправена
поминува низ потеклото
2 A=0 L: Ву+С=0 - нормална ротација n=(0,B) е нормална на оската OX од тука
произлегува дека правата линија е паралелна со оската OX
3 V = 0 L: Ay+C=0 0 - номиналната вредност n=(A,0) е нормална на OY оската од тука
произлегува дека правата линија е паралелна со оската на оп-засилувачот
4 A=0, C=0 L: By=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - не поминува низ потеклото и се вкрстува
двете оски.
Равенка на права линија на рамнина што минува низ две дадени точки и: 
Агол помеѓу рамнините.
Пресметка на детерминанти
Пресметката на детерминантите се заснова на нивните познати својства, кои се однесуваат на детерминантите од сите редови. Ова се својствата:
1. Ако преуредите два реда (или две колони) од детерминантата, детерминантата ќе го промени знакот.
2. Ако соодветните елементи на две колони (или два реда) на детерминантата се еднакви или пропорционални, тогаш детерминантата е еднаква на нула.
3. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако ги замените редовите и колоните, одржувајќи го нивниот редослед.
4. Ако сите елементи на редица (или колона) имаат заеднички фактор, тогаш тој може да се извади од знакот за детерминанта.
5. Вредноста на детерминантата нема да се промени ако соодветните елементи од друга редица (или колона) се додадат на елементите од една редица (или колона), помножени со ист број.
Матрицата и дејствата над нив
Матрица- математички објект напишан во форма на правоаголна табела со броеви (или елементи на прстен) и дозволува алгебарски операции (собирање, одземање, множење итн.) помеѓу него и други слични предмети. Вообичаено, матриците се претставени како дводимензионални (правоаголни) табели. Понекогаш се разгледуваат повеќедимензионални матрици или неправоаголни матрици.
Вообичаено, матрицата се означува со голема буква од латинската азбука и се означува со тркалезни загради „(…)“ (исто така означени со квадратни загради „[…]“ или двојни прави линии „||…||“).
Броевите што ја сочинуваат матрицата (елементи на матрицата) често се означуваат со истата буква како и самата матрица, но со мали букви (на пример, a11 е елемент од матрицата А).
Секој елемент на матрицата има 2 подредници (aij) - првиот „i“ го означува бројот на редот во кој се наоѓа елементот, а вториот „j“ го означува бројот на колоната. Тие велат „димензионална матрица“, што значи дека матрицата има m редови и n колони. Секогаш во иста матрица
Операции на матрици
Нека aij се елементите на матрицата А, а bij елементите на матрицата Б.
Линеарни операции:
Множењето на матрицата А со број λ (симбол: λA) се состои од конструирање на матрица Б, чии елементи се добиваат со множење на секој елемент од матрицата А со овој број, односно секој елемент од матрицата Б е еднаков на
Собирањето на матриците A + B е операција за наоѓање матрица C, чии сите елементи се еднакви на парниот збир на сите соодветни елементи на матриците A и B, односно секој елемент од матрицата C е еднаков на
Одземањето на матриците A − B е дефинирано слично како собирањето, ова е операција на наоѓање матрица C чии елементи
Собирањето и одземањето се дозволени само за матрици со иста големина.
Постои нулта матрица Θ таква што ако ја додадете во друга матрица А не се менува А, т.е
Сите елементи на нултата матрица се еднакви на нула.
Нелинеарни операции:
Множење на матрицата (ознака: AB, поретко со знак за множење) е операција на пресметување на матрицата C, чии елементи се еднакви на збирот на производите на елементите во соодветниот ред на првиот фактор и колона од вториот .cij = ∑ aikbkj k
Првиот фактор мора да има ист број на колони како и бројот на редови во вториот. Ако матрицата А има димензија B - , тогаш димензијата на нивниот производ AB = C е. Множењето на матрицата не е комутативно.
Множењето на матрицата е асоцијативно. Само квадратни матрици може да се подигнат на моќи.
Транспозиција на матрицата (симбол: AT) е операција во која матрицата се рефлектира во однос на главната дијагонала, т.е.
Ако A е матрица со големина, тогаш AT е матрица со големина
Извод на сложена функција
Комплексната функција има форма: F(x) = f(g(x)), т.е. е функција на функција. На пример, y = sin2x, y = ln(x2+2x), итн.
Ако во точката x функцијата g(x) има извод g"(x), а во точката u = g(x) функцијата f(u) има извод f"(u), тогаш изводот на комплексната функција f(g(x)) во точката x постои и е еднаква на f"(u)g"(x).
Извод на имплицитна функција
Во многу проблеми, функцијата y(x) е имплицитно одредена. На пример, за функциите подолу
невозможно е експлицитно да се добие зависноста y(x).
Алгоритмот за пресметување на изводот y"(x) од имплицитна функција е како што следува:
Прво треба да ги разликувате двете страни на равенката во однос на x, под претпоставка дека y е диференцијабилна функција на x и користејќи го правилото за пресметување на изводот на сложената функција;
Решете ја добиената равенка за изводот y"(x).
Ајде да погледнеме неколку примери за илустрација.
Диференцирајте ја функцијата y(x) дадена со равенката.
Ајде да ги разликуваме двете страни на равенката во однос на променливата x:
што доведува до резултат
Правило на Лапитал
Правилото на L'Hopital. Нека функцијата f(x) и g(x) има во околината. t-ki x0 pr-nye f' и g' исклучувајќи ја можноста за овој многу t-tu x0. Нека lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 така што f(x)/g(x) за x®x0 дава 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4), кога се совпаѓа со границата на односот на функцијата lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim(x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)
44
.1.(Критериум за монотоност на функција која има извод на интервалот) Нека функцијата 
континуирано вклучено
(a,b), и има извод f"(x) во секоја точка. Тогаш
1)f се зголемува за (a,b) ако и само ако
2) се намалува за (a,b) ако и само ако
2. (Доволен услов за строга монотоност на функција која има извод на интервалот) Нека функцијата 
е континуиран на (a,b) и има извод f"(x) во секоја точка. Тогаш
1) ако тогаш f строго се зголемува на (a,b);
2) ако тогаш f строго се намалува на (a,b).
Обратно, генерално кажано, не е точно. Дериватот на строго монотона функција може да исчезне. Меѓутоа, множеството точки каде што изводот не е нула мора да биде густ на интервалот (a,b). Поточно, тоа го прави.
3. (Критериум за строга монотоност на функција која има извод на интервалот) Нека а дериватот f"(x) е дефиниран насекаде во интервалот. Тогаш f строго се зголемува на интервалот (a,b) ако и само ако се исполнети следните два услови:
Точка производ на вектори. Агол помеѓу вектори. Условот на паралелизам или нормалност на вектори.
Скаларниот производ на вектори е производ на нивните должини и косинус на аголот меѓу нив:
Следниве изјави се докажуваат на ист начин како и во планиметријата:
Скаларниот производ на два ненулта вектори е нула ако и само ако векторите се нормални.
Скаларниот квадрат на векторот, односно скаларниот производ на самиот себе и самиот себе, е еднаков на квадратот на неговата должина.
Скаларниот производ на два вектори и даден со нивните координати може да се пресмета со помош на формулата
Векторите се нормални ако и само ако нивниот производ со точки е нула. Пример. Дадени се два вектори и . Овие вектори ќе бидат нормални ако изразот x1x2 + y1y2 = 0. Аголот помеѓу вектори кои не се нула е аголот помеѓу прави линии за кои овие вектори се водилки. По дефиниција, аголот помеѓу кој било вектор и нултиот вектор се смета за еднаков на нула. Ако аголот помеѓу векторите е 90°, тогаш таквите вектори се нарекуваат нормални. Аголот помеѓу векторите ќе го означиме на следниов начин:
Оваа статија го открива значењето на перпендикуларноста на два вектори на рамнина во тродимензионален простор и наоѓање на координатите на вектор нормално на еден или на цел пар вектори. Темата е применлива за проблеми кои вклучуваат равенки на прави и рамнини.
Ќе го разгледаме неопходниот и доволен услов за нормалност на два вектори, ќе го решиме методот на наоѓање вектор нормален на даден и ќе допреме ситуации на наоѓање вектор кој е нормален на два вектори.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Неопходен и доволен услов за перпендикуларност на два вектори
Да го примениме правилото за нормални вектори на рамнина и во тродимензионален простор.
Дефиниција 1
Под услов аголот помеѓу два вектори без нула е еднаков на 90 ° (π 2 радијани) се вика нормално.
Што значи ова и во кои ситуации е неопходно да се знае за нивната перпендикуларност?
Воспоставувањето на перпендикуларност е можно преку цртежот. Кога исцртувате вектор на рамнина од дадени точки, можете геометриски да го измерите аголот меѓу нив. Дури и ако се утврди нормалниот однос на векторите, тоа нема да биде целосно точна. Најчесто, овие задачи не ви дозволуваат да го направите ова со помош на транспортер, така што овој метод е применлив само кога ништо друго не се знае за векторите.
Повеќето случаи на докажување на перпендикуларноста на два вектори кои не се нула на рамнина или во вселената се направени со помош на неопходен и доволен услов за перпендикуларност на два вектори.
Теорема 1
Скаларниот производ на два не-нула вектори a → и b → еднаков на нула за да се задоволи еднаквоста a → , b → = 0 е доволен за нивната перпендикуларност.
Доказ 1
Нека дадените вектори a → и b → се нормални, тогаш ќе ја докажеме еднаквоста a ⇀ , b → = 0 .
Од дефиницијата за точка производ на векторизнаеме дека е еднакво производот на должините на дадените вектори и косинусот на аголот меѓу нив. По услов, a → и b → се нормални, што значи, врз основа на дефиницијата, аголот меѓу нив е 90 °. Тогаш имаме a → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .
Втор дел од доказот
Под услов a ⇀, b → = 0, да ја докаже перпендикуларноста на a → и b →.
Всушност, доказот е спротивен од претходниот. Познато е дека a → и b → не се нула, што значи дека од равенството a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ го наоѓаме косинусот. Тогаш добиваме cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Бидејќи косинусот е нула, можеме да заклучиме дека аголот a →, b → ^ на векторите a → и b → е еднаков на 90 °. По дефиниција, ова е неопходен и доволен имот.
Услов на перпендикуларност на координатната рамнина
Поглавје скаларен производ во координатија демонстрира неравенката (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , важи за вектори со координати a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y), на рамнината и (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y за векторите a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) во просторот. Неопходен и доволен услов за нормалноста на два вектори во координатната рамнина е x · b x + a y · b y = 0, за тродимензионален простор a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.
Ајде да го спроведеме во пракса и да погледнеме примери.
Пример 1
Проверете го својството на перпендикуларност на два вектори a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).
Решение
За да го решите овој проблем, треба да го пронајдете скаларниот производ. Ако според условот е еднаков на нула, тогаш тие се нормални.
(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условот е исполнет, што значи дека дадените вектори се нормални на рамнината.
Одговор:да, дадените вектори a → и b → се нормални.
Пример 2
Дадени се вектори на координати i → , j → , k →. Проверете дали векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → можат да бидат нормални.
Решение
За да запомните како се одредуваат векторските координати, треба да ја прочитате статијата за векторски координати во правоаголен координатен систем.Така, откриваме дека дадените вектори i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имаат соодветни координати (1, - 1, 0) и (1, 2, 2). Ги заменуваме нумеричките вредности и добиваме: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .
Изразот не е еднаков на нула, (i → + 2 j → + 2 k →, i → - j →) ≠ 0, што значи дека векторите i → - j → и i → + 2 j → + 2 k → не се нормални, бидејќи условот не е исполнет.
Одговор:не, векторите i → - j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не се нормални.
Пример 3
Дадени се вектори a → = (1, 0, - 2) и b → = (λ, 5, 1). Најдете ја вредноста на λ на која овие вектори се нормални.
Решение
Го користиме условот за перпендикуларност на два вектори во просторот во квадратна форма, па добиваме
a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2
Одговор:векторите се нормални на вредноста λ = 2.
Има случаи кога прашањето за перпендикуларност е невозможно дури и под неопходен и доволен услов. Со оглед на познатите податоци за трите страни на триаголник на два вектори, можно е да се најде агол помеѓу вектории проверете го.
Пример 4
Даден е триаголник A B C со страни A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm Проверете ги векторите A B → и A C → за перпендикуларност.
Решение
Ако векторите A B → и A C → се нормални, триаголникот A B C се смета за правоаголен. Потоа ја применуваме Питагоровата теорема, каде што B C е хипотенузата на триаголникот. Равенството B C 2 = A B 2 + A C 2 мора да биде точно. Следи дека 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. Ова значи дека A B и A C се катети на триаголникот A B C, затоа, A B → и A C → се нормални.
Важно е да научите како да ги пронајдете координатите на вектор нормален на даден. Ова е можно и на рамнината и во просторот, под услов векторите да бидат нормални.
Наоѓање вектор нормално на даден во рамнина.
Ненулта вектор a → може да има бесконечен број на нормални вектори на рамнината. Ајде да го прикажеме ова на координатната линија.
Даден е ненула вектор a → што лежи на права линија a. Тогаш дадена b →, која се наоѓа на која било права нормална на правата a, станува нормална на a →. Ако векторот i → е нормален на векторот j → или кој било од векторите λ · j → со λ еднаков на кој било реален број различен од нула, тогаш наоѓање на координатите на векторот b → нормално на a → = (a x , a y ) се сведува на бесконечно множество решенија. Но, потребно е да се најдат координатите на векторот нормални на a → = (a x , a y) . За да го направите ова, неопходно е да се запише условот за перпендикуларност на вектори во следната форма: a x · b x + a y · b y = 0. Имаме b x и b y, кои се саканите координати на нормалниот вектор. Кога a x ≠ 0, вредноста на b y е не-нула, а b x може да се пресмета од неравенството a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. За x = 0 и a y ≠ 0, му доделуваме на b x која било вредност различна од нула, и наоѓаме b y од изразот b y = - a x · b x a y .
Пример 5
Даден е вектор со координати a → = (- 2 , 2) . Најдете вектор нормален на ова.
Решение
Да го означиме саканиот вектор како b → (b x , b y) . Неговите координати може да се најдат од условот векторите a → и b → да се нормални. Тогаш добиваме: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . Да го доделиме b y = 1 и да го замениме: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . Оттука, од формулата добиваме b x = - 2 - 2 = 1 2. Тоа значи дека векторот b → = (1 2 , 1) е вектор нормален на a → .
Одговор: b → = (1 2 , 1) .
Ако се постави прашањето за тродимензионален простор, проблемот се решава по истиот принцип. За даден вектор a → = (a x , a y , a z) има бесконечен број на нормални вектори. Ќе се поправи ова на тродимензионална координатна рамнина. Дадено е → лежи на правата a. Рамнината нормална на правата a се означува со α. Во овој случај, секој ненулти вектор b → од рамнината α е нормален на a →.
Потребно е да се пронајдат координатите на b → нормално на векторот не-нула a → = (a x , a y , a z) .
Нека b → е дадена со координати b x, b y и b z. За да се најдат, потребно е да се примени дефиницијата за условот на перпендикуларност на два вектори. Мора да се задоволи еднаквоста a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. Од условот a → е не-нула, што значи дека една од координатите има вредност не еднаква на нула. Да претпоставиме дека a x ≠ 0, (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Затоа, имаме право да ја поделиме целата неравенка a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 со оваа координата, го добиваме изразот b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + a z · b z a x. На координатите b y и b x им доделуваме која било вредност, ја пресметуваме вредноста на b x врз основа на формулата, b x = - a y · b y + a z · b z a x. Посакуваниот нормален вектор ќе има вредност a → = (a x, a y, a z).
Ајде да го погледнеме доказот користејќи пример.
Пример 6
Даден е вектор со координати a → = (1, 2, 3) . Најдете вектор нормален на дадениот.
Решение
Да го означиме саканиот вектор со b → = (b x , b y , b z) . Врз основа на условот векторите да се нормални, скаларниот производ мора да биде еднаков на нула.
a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)
Ако вредноста на b y = 1, b z = 1, тогаш b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. Следи дека координатите на векторот b → (- 5 , 1 , 1) . Векторот b → е еден од векторите нормален на дадениот.
Одговор: b → = (- 5 , 1 , 1) .
Наоѓање на координатите на вектор нормален на два дадени вектори
Треба да ги најдеме координатите на векторот во тродимензионален простор. Тоа е нормално на неколинеарните вектори a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . Под услов векторите a → и b → да се колинеарни, доволно е да се најде вектор нормален на a → или b → во задачата.
При решавање се користи концептот на векторски производ на вектори.
Векторски производ на вектори a → и b → е вектор кој е истовремено нормален и на a → и на b →. За да се реши овој проблем, се користи векторскиот производ a → × b →. За тродимензионален простор има форма a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z
Ајде да го разгледаме векторскиот производ подетално користејќи примерен проблем.
Пример 7
Дадени се векторите b → = (0, 2, 3) и a → = (2, 1, 0). Најдете ги координатите на кој било вектор нормален на податоците истовремено.
Решение
За да го решите, треба да го пронајдете векторскиот производ на вектори. (Ве молиме погледнете го ставот пресметување на детерминанта на матрицада се најде векторот). Добиваме:
a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →
Одговор: (3 , - 6 , 4) - координати на вектор кој е истовремено нормален на дадените a → и b → .
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
ом За да го направите ова, прво го воведуваме концептот на сегмент.
Дефиниција 1
Отсечка ќе ја наречеме дел од права која е ограничена со точки од двете страни.
Дефиниција 2
Краевите на сегментот се точките што го ограничуваат.
За да ја воведеме дефиницијата за вектор, еден од краевите на сегментот да го наречеме негов почеток.
Дефиниција 3
Вектор (насочен сегмент) ќе го наречеме отсечка чија гранична точка е нејзиниот почеток, а која е нејзиниот крај.
Ознака: \overline(AB) е вектор AB кој започнува во точката A и завршува во точката B.
Инаку, со една мала буква: \overline(a) (сл. 1).
Дефиниција 4
Нулта вектор ќе ја наречеме секоја точка што припаѓа на рамнината.
Симбол: \overline(0) .
Сега директно да ја воведеме дефиницијата за колинеарни вектори.
Ќе воведеме и дефиниција за скаларен производ, кој ќе ни треба подоцна.
Дефиниција 6
Скаларниот производ на два дадени вектори е скалар (или број) што е еднаков на производот од должините на овие два вектори со косинус на аголот помеѓу овие вектори.
Математички може да изгледа вака:
\преку линија(а)\преку линија(β)=|\преку линија(а)||\преку линија(β)|cos∠(\преку линија(а),\преку линија(β))
Производот со точки, исто така, може да се најде со помош на координатите на векторите како што следува
\преку линија(а)\преку линија(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3
Знак на перпендикуларност преку пропорционалност
Теорема 1
За векторите кои не се нула да бидат нормални еден на друг, потребно е и доволно нивниот скаларен производ од овие вектори да биде еднаков на нула.
Доказ.
Неопходност: Да ни бидат дадени вектори \overline(α) и \overline(β) кои имаат координати (α_1,α_2,α_3) и (β_1,β_2,β_3), соодветно, и тие се нормални еден на друг. Тогаш треба да ја докажеме следната еднаквост
Бидејќи векторите \overline(α) и \overline(β) се нормални, аголот помеѓу нив е 90^0. Ајде да го најдеме скаларниот производ на овие вектори користејќи ја формулата од Дефиниција 6.
\преку линија(а)\cdot \преку линија(β)=|\преку линија(а)||\преку линија(β)|cos90^\circ =|\преку линија(а)||\преку линија(β)|\cdot 0=0
Доволност: Нека е вистинита еднаквоста \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Да докажеме дека векторите \overline(α) и \overline(β) ќе бидат нормални еден на друг.
По дефиниција 6, еднаквоста ќе биде вистинита
|\overline(α)||\overline(β)|cos∠(\overline(α),\overline(β))=0
Cos∠(\ overline (α), \ overline (β))=0
∠(\ overline (α),\ overline (β))=90^\circ
Затоа, векторите \overline(α) и \overline(β) ќе бидат нормални еден на друг.
Теоремата е докажана.
Пример 1
Докажи дека векторите со координати (1,-5,2) и (2,1,3/2) се нормални.
Доказ.
Ајде да го најдеме скаларниот производ за овие вектори користејќи ја формулата дадена погоре
\преку линија(а)\cdot \преку линија(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0
Ова значи дека, според теорема 1, овие вектори се нормални.
Наоѓање нормален вектор на два дадени вектори со помош на вкрстениот производ
Прво да го воведеме концептот на векторски производ.
Дефиниција 7
Векторскиот производ на два вектори ќе биде вектор кој ќе биде нормален на двата дадени вектори, а неговата должина ќе биде еднаква на производот од должините на овие вектори со синусот на аголот помеѓу овие вектори, а исто така и овој вектор со два почетните имаат иста ориентација како Декартовиот координатен систем.
Ознака: \преку линија(α)x\преку линија(β)x.
За да го пронајдеме векторскиот производ, ќе ја користиме формулата
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x
Бидејќи векторот на вкрстениот производ на два вектори е нормален на двата од овие вектори, тој ќе биде векторот. Односно, за да најдете вектор нормален на два вектори, само треба да го пронајдете нивниот векторски производ.
Пример 2
Најдете вектор нормален на вектори со координати \overline(α)=(1,2,3) и \overline(β)=(-1,0,3)
Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори.
\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\прелин(i)-(3+3)\прекулин(j)+(0+2)\прекулин(к)=6\прекулин(i)-6\прекулин(j)+2\прекулин(к) =(6,6,2) x
Инструкции
Ако оригиналниот вектор е прикажан на цртежот во правоаголен дводимензионален координатен систем и таму треба да се конструира нормален, постапете од дефиницијата за перпендикуларност на вектори на рамнина. Тој наведува дека аголот помеѓу таков пар насочени сегменти мора да биде еднаков на 90 °. Може да се конструираат бесконечен број такви вектори. Затоа, нацртајте нормална на оригиналниот вектор на кое било погодно место на рамнината, поставете отсечка на неа еднаква на должината на даден подреден пар точки и назначете еден од неговите краеви како почеток на нормалниот вектор. Направете го ова користејќи транспортер и линијар.
Ако оригиналниот вектор е даден со дводимензионални координати ā = (X1;Y1), да претпоставиме дека скаларниот производ на пар нормални вектори мора да биде еднаков на нула. Ова значи дека треба да изберете за саканиот вектор ō = (X2,Y2) такви координати што ќе важи за еднаквоста (ā,ō) = X1*X2 + Y1*Y2 = 0. Ова може да се направи вака: изберете која било ненулта вредност за координатата X2 и пресметајте ја координатата Y2 користејќи ја формулата Y2 = -(X1*X2)/Y1. На пример, за векторот ā = (15;5) ќе има вектор ō, со апсциса еднаква на еден и ординатата еднаква на -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).
За тродимензионален и кој било друг ортогонален координатен систем, важи истиот неопходен и доволен услов за перпендикуларноста на векторите - нивниот скаларен производ мора да биде еднаков на нула. Затоа, ако почетната насочена отсечка е дадена со координати ā = (X1,Y1,Z1), изберете за подредениот пар точки ō = (X2,Y2,Z2) нормално на него такви координати кои го задоволуваат условот (а,ō ) = X1*X2 + Y1*Y2 + Z1*Z2 = 0. Најлесен начин е да се доделат единечни вредности на X2 и Y2 и да се пресмета Z2 од поедноставената еднаквост Z2 = -1*(X1*1 + Y1* 1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. На пример, за векторот ā = (3,5,4) ова ќе ја има следната форма: (ā,ō) = 3*X2 + 5*Y2 + 4*Z2 = 0. Потоа земете ја апсцисата и ординатата на нормален вектор како еден, и во овој случај ќе биде еднаков на -(3+5)/4 = -2.
Извори:
- најдете го векторот ако е нормален
Тие се нарекуваат нормални вектор, чиј агол е 90º. Нормални вектори се конструираат со помош на алатки за цртање. Ако нивните координати се познати, тогаш перпендикуларноста на векторите може да се провери или најде со помош на аналитички методи.
Ќе ви треба
- - транспортер;
- - компас;
- - владетел.
Инструкции
Поставете го на почетната точка на векторот. Нацртајте круг со произволен радиус. Потоа конструирај два со центри во точките каде што првиот круг ја пресекува правата на која лежи векторот. Радиусите на овие кругови мора да бидат еднакви едни на други и поголеми од првиот конструиран круг. На местата на вкрстување на круговите, конструирај права линија која ќе биде нормална на првобитниот вектор на неговото потекло и исцртај на неа вектор нормален на овој.
Најдете вектор нормален на оној чии координати и се еднакви на (x;y). За да го направите ова, најдете пар броеви (x1;y1) кои би ја задоволиле еднаквоста x x1+y y1=0. Во овој случај, векторот со координати (x1;y1) ќе биде нормален на векторот со координати (x;y).