Ние не бираме математиканејзината професија, а таа не избира нас.

Рускиот математичар Ју.И. Манин

Равенки со модул

Најтешките проблеми за решавање во училишната математика се равенките кои содржат променливи под знакот на модул. За успешно решавање на ваквите равенки, треба да ја знаете дефиницијата и основните својства на модулот. Секако, студентите мора да имаат вештини за решавање на равенки од овој тип.

Основни концепти и својства

Модул (апсолутна вредност) на реален бројозначено со и се дефинира на следниов начин:

Едноставните својства на модулот ги вклучуваат следните врски:

Забелешка, дека последните две својства важат за кој било парен степен.

Покрај тоа, ако, каде, тогаш и

Покомплексни својства на модулот, што може ефективно да се користи при решавање на равенки со модули, се формулирани преку следните теореми:

Теорема 1.За какви било аналитички функцииИ нееднаквоста е вистина

Теорема 2.Еднаквоста е еквивалентна на нееднаквоста.

Теорема 3.Еднаквост еднакво на нееднаквост.

Ајде да погледнеме типични примери за решавање проблеми на тема „Равенки, кои содржат променливи под знакот на модулот“.

Решавање равенки со модул

Најчестиот метод во училишната математика за решавање равенки со модул е ​​методот, врз основа на проширување на модулот. Овој метод е универзален, сепак, во општиот случај, неговата употреба може да доведе до многу незгодни пресметки. Во овој поглед, студентите треба да знаат друго, поефикасни методи и техники за решавање на вакви равенки. Особено, неопходно е да се поседуваат вештини за примена на теореми, дадена во оваа статија.

Пример 1.Решете ја равенката. (1)

Решение. Равенката (1) ќе ја решиме користејќи го „класичниот“ метод - методот на откривање модули. За да го направите ова, ајде да ја поделиме бројната оскаточки и во интервали и разгледајте три случаи.

1. Ако , тогаш , , , и равенката (1) има форма . Од ова произлегува. Меѓутоа, овде, затоа пронајдената вредност не е коренот на равенката (1).

2. Ако, тогаш од равенката (1) добивамеили .

Од тогаш коренот на равенката (1).

3. Ако, тогаш равенката (1) добива формаили . Да го забележиме тоа.

Одговор: ,.

Кога ги решаваме следните равенки со модул, активно ќе ги користиме својствата на модулите со цел да ја зголемиме ефикасноста на решавањето на таквите равенки.

Пример 2.Решете ја равенката.

Решение.Бидејќи и тогаш од равенката следи. Во таа смисла, , , а равенката добива форма. Од тука добиваме. Сепак, затоа првобитната равенка нема корени.

Одговор: нема корени.

Пример 3.Решете ја равенката.

Решение.Од тогаш. Ако тогаш а равенката добива форма.

Од тука добиваме.

Пример 4.Решете ја равенката.

Решение.Дозволете ни да ја преработиме равенката во еквивалентна форма. (2)

Добиената равенка припаѓа на равенки од типот .

Земајќи ја предвид теоремата 2, може да се тврди дека равенката (2) е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме.

Одговор:.

Пример 5.Решете ја равенката.

Решение. Оваа равенка ја има формата. Затоа , според теорема 3, овде имаме нееднаквостили .

Пример 6.Решете ја равенката.

Решение.Да претпоставиме дека. Бидејќи, тогаш дадената равенка добива форма на квадратна равенка, (3)

Каде . Бидејќи равенката (3) има еден позитивен корени потоа . Оттука добиваме два корени од првобитната равенка:И .

Пример 7. Решете ја равенката. (4)

Решение. Од равенкатае еквивалентно на комбинација од две равенки:И, тогаш при решавањето на равенката (4) потребно е да се разгледаат два случаи.

1. Ако , тогаш или .

Од тука добиваме и .

2. Ако , тогаш или .

Од тогаш.

Одговор: , , , .

Пример 8.Решете ја равенката . (5)

Решение.Оттогаш и тогаш. Од тука и од равенката (5) следува дека и , т.е. овде имаме систем на равенки

Сепак, овој систем на равенки е неконзистентен.

Одговор: нема корени.

Пример 9. Решете ја равенката. (6)

Решение.Ако означиме , тогаш а од равенката (6) добиваме

Или . (7)

Бидејќи равенката (7) ја има формата , оваа равенка е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме. Оттогаш или .

Одговор:.

Пример 10.Решете ја равенката. (8)

Решение.Според теорема 1, можеме да пишуваме

(9)

Земајќи ја предвид равенката (8), заклучуваме дека и двете неравенки (9) се претвораат во еднаквости, т.е. постои систем на равенки

Сепак, според теорема 3, горенаведениот систем на равенки е еквивалентен на системот на неравенки

(10)

Решавајќи го системот на неравенки (10) добиваме . Бидејќи системот на неравенки (10) е еквивалентен на равенката (8), првобитната равенка има еден корен.

Одговор:.

Пример 11. Решете ја равенката. (11)

Решение.Нека и , тогаш еднаквоста следи од равенката (11).

Следи дека и . Така, овде имаме систем на нееднаквости

Решението за овој систем на нееднаквости еИ .

Одговор: ,.

Пример 12.Решете ја равенката. (12)

Решение. Равенката (12) ќе се реши со методот на секвенцијално проширување на модулите. За да го направите ова, да разгледаме неколку случаи.

1. Ако , тогаш .

1.1. Ако , тогаш и , .

1.2. Ако тогаш. Сепак, затоа, во овој случај, равенката (12) нема корени.

2. Ако , тогаш .

2.1. Ако , тогаш и , .

2.2. Ако, тогаш и.

Одговор: , , , , .

Пример 13.Решете ја равенката. (13)

Решение.Бидејќи левата страна на равенката (13) е ненегативна, тогаш . Во овој поглед, и равенката (13)

зема форма или .

Познато е дека равенката е еквивалентно на комбинација од две равенкиИ, решавање што го добиваме, . Бидејќи, тогаш равенката (13) има еден корен.

Одговор:.

Пример 14. Решава систем на равенки (14)

Решение.Од и , тогаш и . Следствено, од системот на равенки (14) добиваме четири системи на равенки:

Корените на горенаведените системи на равенки се корените на системот на равенки (14).

Одговор: ,, , , , , , , .

Пример 15. Решава систем на равенки (15)

Решение.Од тогаш. Во овој поглед, од системот на равенки (15) добиваме два системи на равенки

Корените на првиот систем на равенки се и , а од вториот систем на равенки добиваме и .

Одговор: , , , .

Пример 16. Решава систем на равенки (16)

Решение.Од првата равенка на системот (16) произлегува дека .

Од тогаш . Да ја разгледаме втората равенка на системот. Затоа што, Тоа , а равенката добива форма, , или .

Ако ја замените вредноставо првата равенка на системот (16), тогаш , или .

Одговор: ,.

За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со решавање равенки, кои содржат променливи под знакот на модул, Можете да препорачате упатства од списокот со препорачана литература.

1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.

2. Супрун В.П. Математика за средношколци: задачи со зголемена сложеност. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 200 стр.

3. Супрун В.П. Математика за средношколци: нестандардни методи за решавање проблеми. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 296 стр.

Сè уште имате прашања?

За да добиете помош од учител -.

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

Ние не бираме математиканејзината професија, а таа не избира нас.

Рускиот математичар Ју.И. Манин

Равенки со модул

Најтешките проблеми за решавање во училишната математика се равенките кои содржат променливи под знакот на модул. За успешно решавање на ваквите равенки, треба да ја знаете дефиницијата и основните својства на модулот. Секако, студентите мора да имаат вештини за решавање на равенки од овој тип.

Основни концепти и својства

Модул (апсолутна вредност) на реален бројозначено со и се дефинира на следниов начин:

Едноставните својства на модулот ги вклучуваат следните врски:

Забелешка, дека последните две својства важат за кој било парен степен.

Покрај тоа, ако, каде, тогаш и

Покомплексни својства на модулот, што може ефективно да се користи при решавање на равенки со модули, се формулирани преку следните теореми:

Теорема 1.За какви било аналитички функцииИ нееднаквоста е вистина

Теорема 2.Еднаквоста е еквивалентна на нееднаквоста.

Теорема 3.Еднаквост еднакво на нееднаквост.

Ајде да погледнеме типични примери за решавање проблеми на тема „Равенки, кои содржат променливи под знакот на модулот“.

Решавање равенки со модул

Најчестиот метод во училишната математика за решавање равенки со модул е ​​методот, врз основа на проширување на модулот. Овој метод е универзален, сепак, во општиот случај, неговата употреба може да доведе до многу незгодни пресметки. Во овој поглед, студентите треба да знаат друго, поефикасни методи и техники за решавање на вакви равенки. Особено, неопходно е да се поседуваат вештини за примена на теореми, дадена во оваа статија.

Пример 1.Решете ја равенката. (1)

Решение. Равенката (1) ќе ја решиме користејќи го „класичниот“ метод - методот на откривање модули. За да го направите ова, ајде да ја поделиме бројната оскаточки и во интервали и разгледајте три случаи.

1. Ако , тогаш , , , и равенката (1) има форма . Од ова произлегува. Меѓутоа, овде, затоа пронајдената вредност не е коренот на равенката (1).

2. Ако, тогаш од равенката (1) добивамеили .

Од тогаш коренот на равенката (1).

3. Ако, тогаш равенката (1) добива формаили . Да го забележиме тоа.

Одговор: ,.

Кога ги решаваме следните равенки со модул, активно ќе ги користиме својствата на модулите со цел да ја зголемиме ефикасноста на решавањето на таквите равенки.

Пример 2.Решете ја равенката.

Решение.Бидејќи и тогаш од равенката следи. Во таа смисла, , , а равенката добива форма. Од тука добиваме. Сепак, затоа првобитната равенка нема корени.

Одговор: нема корени.

Пример 3.Решете ја равенката.

Решение.Од тогаш. Ако тогаш а равенката добива форма.

Од тука добиваме.

Пример 4.Решете ја равенката.

Решение.Дозволете ни да ја преработиме равенката во еквивалентна форма. (2)

Добиената равенка припаѓа на равенки од типот .

Земајќи ја предвид теоремата 2, може да се тврди дека равенката (2) е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме.

Одговор:.

Пример 5.Решете ја равенката.

Решение. Оваа равенка ја има формата. Затоа , според теорема 3, овде имаме нееднаквостили .

Пример 6.Решете ја равенката.

Решение.Да претпоставиме дека. Бидејќи, тогаш дадената равенка добива форма на квадратна равенка, (3)

Каде . Бидејќи равенката (3) има еден позитивен корени потоа . Оттука добиваме два корени од првобитната равенка:И .

Пример 7. Решете ја равенката. (4)

Решение. Од равенкатае еквивалентно на комбинација од две равенки:И, тогаш при решавањето на равенката (4) потребно е да се разгледаат два случаи.

1. Ако , тогаш или .

Од тука добиваме и .

2. Ако , тогаш или .

Од тогаш.

Одговор: , , , .

Пример 8.Решете ја равенката . (5)

Решение.Оттогаш и тогаш. Од тука и од равенката (5) следува дека и , т.е. овде имаме систем на равенки

Сепак, овој систем на равенки е неконзистентен.

Одговор: нема корени.

Пример 9. Решете ја равенката. (6)

Решение.Ако означиме , тогаш а од равенката (6) добиваме

Или . (7)

Бидејќи равенката (7) ја има формата , оваа равенка е еквивалентна на неравенката . Од тука добиваме. Оттогаш или .

Одговор:.

Пример 10.Решете ја равенката. (8)

Решение.Според теорема 1, можеме да пишуваме

(9)

Земајќи ја предвид равенката (8), заклучуваме дека и двете неравенки (9) се претвораат во еднаквости, т.е. постои систем на равенки

Сепак, според теорема 3, горенаведениот систем на равенки е еквивалентен на системот на неравенки

(10)

Решавајќи го системот на неравенки (10) добиваме . Бидејќи системот на неравенки (10) е еквивалентен на равенката (8), првобитната равенка има еден корен.

Одговор:.

Пример 11. Решете ја равенката. (11)

Решение.Нека и , тогаш еднаквоста следи од равенката (11).

Следи дека и . Така, овде имаме систем на нееднаквости

Решението за овој систем на нееднаквости еИ .

Одговор: ,.

Пример 12.Решете ја равенката. (12)

Решение. Равенката (12) ќе се реши со методот на секвенцијално проширување на модулите. За да го направите ова, да разгледаме неколку случаи.

1. Ако , тогаш .

1.1. Ако , тогаш и , .

1.2. Ако тогаш. Сепак, затоа, во овој случај, равенката (12) нема корени.

2. Ако , тогаш .

2.1. Ако , тогаш и , .

2.2. Ако, тогаш и.

Одговор: , , , , .

Пример 13.Решете ја равенката. (13)

Решение.Бидејќи левата страна на равенката (13) е ненегативна, тогаш . Во овој поглед, и равенката (13)

зема форма или .

Познато е дека равенката е еквивалентно на комбинација од две равенкиИ, решавање што го добиваме, . Бидејќи, тогаш равенката (13) има еден корен.

Одговор:.

Пример 14. Решава систем на равенки (14)

Решение.Од и , тогаш и . Следствено, од системот на равенки (14) добиваме четири системи на равенки:

Корените на горенаведените системи на равенки се корените на системот на равенки (14).

Одговор: ,, , , , , , , .

Пример 15. Решава систем на равенки (15)

Решение.Од тогаш. Во овој поглед, од системот на равенки (15) добиваме два системи на равенки

Корените на првиот систем на равенки се и , а од вториот систем на равенки добиваме и .

Одговор: , , , .

Пример 16. Решава систем на равенки (16)

Решение.Од првата равенка на системот (16) произлегува дека .

Од тогаш . Да ја разгледаме втората равенка на системот. Затоа што, Тоа , а равенката добива форма, , или .

Ако ја замените вредноставо првата равенка на системот (16), тогаш , или .

Одговор: ,.

За подлабоко проучување на методите за решавање проблеми, поврзани со решавање равенки, кои содржат променливи под знакот на модул, Можете да препорачате упатства од списокот со препорачана литература.

1. Збирка задачи по математика за кандидати на колеџи / Ед. М.И. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 стр.

2. Супрун В.П. Математика за средношколци: задачи со зголемена сложеност. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 200 стр.

3. Супрун В.П. Математика за средношколци: нестандардни методи за решавање проблеми. – М.: ЦД „Либроком“ / УРСС, 2017. – 296 стр.

Сè уште имате прашања?

За да добиете помош од учител, регистрирајте се.

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

МБОУ СОУ бр.17, Иваново

« Равенки со модул"
Методолошки развој

Составен

наставник по математика

Лебедева Н.В.

20010 година

Објаснувачка белешка

Поглавје 1. Вовед

Дел 2. Основни својства Дел 3. Геометриско толкување на концептот на модул на број Дел 4. График на функцијата y = |x| Дел 5. Конвенции

Поглавје 2. Решавање равенки кои содржат модул

Дел 1. Равенки од формата |F(x)| = m (наједноставно) Дел 2. Равенки од формата F(|x|) = m Дел 3. Равенки од формата |F(x)| = G(x) Дел 4. Равенки од формата |F(x)| = ± F(x) (најубаво) Дел 5. Равенки од формата |F(x)| = |G(x)| Дел 6. Примери за решавање нестандардни равенки Дел 7. Равенки од формата |F(x)| + |G(x)| = 0 Дел 8. Равенки од формата |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± во 2 | ± …|a n x ± во n | = m Дел 9. Равенки кои содржат неколку модули

Поглавје 3. Примери за решавање на различни равенки со модул.

Дел 1. Тригонометриски равенки Дел 2. Експоненцијални равенки Дел 3. Логаритамски равенки Дел 4. Ирационални равенки Дел 5. Напредни задачи Одговори на вежби Библиографија

Објаснувачка белешка.

Концептот на апсолутна вредност (модул) на реален број е една од неговите суштински карактеристики. Овој концепт е широко распространет во различни делови од физичките, математичките и техничките науки. Во практиката на настава по математички курсеви во средните училишта во согласност со Програмата на Министерството за одбрана на Руската Федерација, концептот на „апсолутна вредност на број“ се среќава постојано: во 6-то одделение, дефинирање на модул и се воведува неговото геометриско значење; во 8 одделение се формира концептот на апсолутна грешка, се разгледува решението на наједноставните равенки и неравенки кои содржат модул и се проучуваат својствата на аритметичкиот квадратен корен; во 11 одделение концептот се наоѓа во делот „Корен n-ти степен“.Наставното искуство покажува дека учениците често наидуваат на потешкотии при решавање на задачите кои бараат познавање на овој материјал и често ги прескокнуваат без да почнат да ги завршуваат. Слични задачи опфаќаат и текстовите на испитните задачи за предметите од 9 и 11 одделение. Дополнително, барањата што универзитетите им ги поставуваат на матурантите се различни, имено, на повисоко ниво од барањата на училишната програма. За животот во современото општество, формирањето на математички стил на размислување, манифестирано во одредени ментални вештини, е многу важно. Во процесот на решавање проблеми со модули, потребна е способност за користење техники како генерализација и спецификација, анализа, класификација и систематизација и аналогија. Решавањето на таквите задачи ви овозможува да го тестирате вашето знаење за главните делови од училишниот курс, нивото на логично размислување и почетните истражувачки вештини. Ова дело е посветено на еден од деловите - решавање равенки кои содржат модул. Се состои од три поглавја. Првото поглавје ги воведува основните концепти и најважните теоретски размислувања. Во второто поглавје се предлагаат девет главни типови на равенки кои содржат модул, се дискутираат методите за нивно решавање и се испитуваат примери на различни нивоа на сложеност. Третото поглавје нуди посложени и нестандардни равенки (тригонометриски, експоненцијални, логаритамски и ирационални). За секој тип равенки има вежби за самостојно решавање (во прилог се одговори и упатства). Главната цел на оваа работа е да се обезбеди методолошка помош на наставниците во подготовката за часови и во организирањето на изборните предмети. Материјалот може да се користи и како наставно помагало за средношколци. Задачите предложени во работата се интересни и не секогаш лесни за решавање, што овозможува да се направи образовната мотивација на учениците посвесна, да се тестираат нивните способности и да се зголеми нивото на подготовка на матурантите за влез на универзитети. Диференцираниот избор на предложените вежби вклучува премин од репродуктивното ниво на совладување на материјалот во креативното, како и можност да научите како да го примените вашето знаење при решавање на нестандардни проблеми.

Поглавје 1. Вовед.

Дел 1. Определување апсолутна вредност .

Дефиниција : Апсолутната вредност (модул) на реален број АНенегативен број се нарекува: Аили -А. Ознака: │ А │ Влезот гласи вака: „модул на бројот а“ или „апсолутна вредност на бројот а“

│ а, ако a > 0

│a│ = │ 0, ако a = 0 (1)

│ - и, ако а
Примери: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Прошири го модулот за изразување:

а) │x - 8│, ако x > 12 б) │2x + 3│, ако x ≤ -2 │x – 8│= x – 8 │ 2x + 3│= - 2x – 3

Дел 2. Основни својства.

Да ги разгледаме основните својства на апсолутна вредност. Имот број 1: Спротивните броеви имаат еднакви модули, т.е. │а│=│- а│Да покажеме дека еднаквоста е вистина. Ајде да ја запишеме дефиницијата за бројот - А : │- а│= (2) Да ги споредиме множествата (1) и (2). Очигледно, дефинициите за апсолутните вредности на броевите АИ - Апоклопуваат. Оттука, │а│=│- а│
Кога ги разгледуваме следните својства, ќе се ограничиме на нивната формулација, бидејќи нивниот доказ е даден Имот број 2: Апсолутната вредност на збирот на конечен број реални броеви не го надминува збирот на апсолутните вредности на членовите: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │ + … + │а n │ Имотот бр. 3: Апсолутната вредност на разликата помеѓу два реални броеви не го надминува збирот на нивните апсолутни вредности: │а - в│ ≤│а│+│в│ Имотот #4: Апсолутната вредност на производот на конечен број реални броеви е еднаква на производот од апсолутните вредности на факторите: │а·в│=│а│·│в│ Имот број 5: Апсолутната вредност на количникот на реалните броеви е еднаква на количникот на нивните апсолутни вредности:

Дел 3. Геометриско толкување на концептот на модул на број.

Секој реален број може да се поврзе со точка на бројната права, која ќе биде геометриска слика на овој реален број. Секоја точка на бројната права одговара на нејзиното растојание од потеклото, т.е. должината на отсечката од почеток до дадена точка. Ова растојание секогаш се смета како ненегативна вредност. Според тоа, должината на соодветниот сегмент ќе биде геометриска интерпретација на апсолутната вредност на даден реален број

Презентираната геометриска илустрација јасно го потврдува својството бр.1, т.е. модулите на спротивни броеви се еднакви. Оттука лесно се разбира валидноста на еднаквоста: │х – а│= │а – x│. Решението на равенката │х│= m, каде што m ≥ 0, имено x 1,2 = ± m, исто така станува поочигледно. Примери: 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1,2 = 2; 4

Дел 4. График на функцијата y = │х│

Доменот на оваа функција се сите реални броеви.

Дел 5. Конвенции.

Во иднина, кога се разгледуваат примери за решавање равенки, ќе се користат следните конвенции: ( - знак на системот [ - знак на тоталитетот При решавање на систем од равенки (неравенки) се наоѓа пресекот на решенијата на равенките (неравенки) вклучени во системот. При решавање на множество равенки (неравенки) се наоѓа унијата на решенија вклучени во множеството равенки (неравенки).

Поглавје 2. Решавање равенки кои содржат модул.

Во ова поглавје ќе ги разгледаме алгебарските методи за решавање равенки кои содржат еден или повеќе модули.

Дел 1. Равенки од формата │F (x)│= m

Равенката од овој тип се нарекува наједноставна. Има решение ако и само ако m ≥ 0. По дефиниција на модулот, првобитната равенка е еквивалентна на множество од две равенки: │ Ф(x)│=м
Примери:
№1. Решете ја равенката: │7х - 2│= 9


Одговор: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 Одговор: збирот на корените е - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 да означиме x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 - двете вредности го задоволуваат условот m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Одговор: број на корени од равенката 7. Вежби:
№1. Решете ја равенката и означете го збирот на корените: │х - 5│= 3 №2 . Решете ја равенката и означете го помалиот корен: │x 2 + x│= 0 №3 . Решете ја равенката и означете го поголемиот корен: │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 .Реши ја равенката и означи го целиот корен: │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 .Реши ја равенката и означи го бројот на корените: │x 4 – 13x 2 + 50│= 14

Дел 2. Равенки од формата F(│х│) = m

Функцискиот аргумент на левата страна е под знакот за модул, а десната страна е независна од променливата. Да разгледаме два начини за решавање на равенките од овој тип. 1 начин:По дефиниција за апсолутна вредност, оригиналната равенка е еквивалентна на комбинација од два системи. Во секоја од нив се наметнува услов на субмодуларен израз. Ф(│х│) =м
Бидејќи функцијата F(│x│) е парна низ целиот домен на дефиниција, корените на равенките F(x) = m и F(- x) = m се парови од спротивни броеви. Затоа, доволно е да се реши еден од системите (при разгледување на примери на овој начин, ќе се даде решение за еден систем). Метод 2:Примена на методот на воведување нова променлива. Во овој случај, се воведува ознаката │x│= a, каде што a ≥ 0. Овој метод е помалку обемен во дизајнот.
Примери: №1 . Решете ја равенката: 3x 2 – 4│x│= - 1 Да го искористиме воведувањето на нова променлива. Да означиме │x│= a, каде a ≥ 0. Ја добиваме равенката 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Врати се на првобитната променлива: │ x│=1 и │х│= 1/3. Секоја равенка има два корени. Одговор: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Реши ја равенката: 5x 2 + 3│x│- 1 = 1 / 2 │x│ + 3x 2
Да го најдеме решението за првиот систем од населението: 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57 / 8 x 2 = -5-√57 / 8 Забележете дека x 2 не задоволува условот x ≥ 0. Решение вториот систем ќе биде бројот спротивен на вредноста x 1. Одговор: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Реши ја равенката: x 4 – │х│= 0 Да означиме │х│= a, каде a ≥ 0. Ја добиваме равенката a 4 – a = 0 a · (a 3 – 1) = 0 a 1 = 0 a 2 = 1 Врати се на оригиналната променлива: │х│=0 и │х│= 1 x = 0; ± 1 Одговор: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Вежби: №6. Решете ја равенката: 2│х│ - 4.5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Решете ја равенката, означете го бројот на корените во вашиот одговор: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Решете ја равенката, означете цели броеви во вашиот одговор: x 4 + │x│ - 2 = 0

Дел 3. Равенки од формата │F(x)│ = G(x)

Десната страна на равенката од овој тип зависи од променлива и затоа има решение ако и само ако десната страна е функција G(x) ≥ 0. Оригиналната равенка може да се реши на два начина : 1 начин:Стандард, базиран на откривање на модул врз основа на неговата дефиниција и се состои од еквивалентна транзиција кон комбинација од два системи. │ Ф(x)│ =Г(X)

Овој метод може рационално да се користи во случај на сложен израз за функцијата G(x) и помалку сложен за функцијата F(x), бидејќи се претпоставува дека ќе се решат неравенките со функцијата F(x). Метод 2:Се состои во транзиција кон еквивалентен систем во кој услов се наметнува на десната страна. │ Ф(x)│= Г(x)

Овој метод е попогоден за употреба ако изразот за функцијата G(x) е помалку сложен отколку за функцијата F(x), бидејќи се претпоставува решение на неравенката G(x) ≥ 0. Покрај тоа, во случајот од неколку модули, се препорачува да се користи втората опција. Примери: №1. Решете ја равенката: │x + 2│= 6 -2x
(1 начин) Одговор: x = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)
(2 начин) Одговор: Производот на корените е 3.
№3. Решете ја равенката и означете го збирот на корените во вашиот одговор:
│x - 6│= x 2 - 5x + 9

Одговор: збирот на корените е 4.
Вежби: №9. │x + 4│= - 3x №10. Решете ја равенката, означете го бројот на решенија во вашиот одговор:│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . Решете ја равенката, означете го производот на корените во вашиот одговор:│x + 3│= x 2 + x – 6

Дел 4. Равенки од формата │F(x)│= F(x) и │F(x)│= - F(x)

Равенките од овој тип понекогаш се нарекуваат „најубави“. Бидејќи десната страна на равенките зависи од променливата, решенијата постојат ако и само ако десната страна е ненегативна. Според тоа, оригиналните равенки се еквивалентни на неравенките:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 и │F(x)│= - F(x) F(x) Примери: №1 . Решете ја равенката, означете го помалиот целоброен корен во вашиот одговор: │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0,6 Одговор: x = 1№2. Решете ја равенката, означете ја должината на интервалот во вашиот одговор: │х 2 - 9│= 9 – x 2 x 2 – 9 ≤ 0 (x – 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Одговор: должината на јазот е 6.№3 . Решете ја равенката и означете го бројот на цели броеви во вашиот одговор: │2 + x – x 2 │= 2 + x – x 2 2 + x – x 2 ≥ 0 x 2 – x – 2 ≤ 0 [- 1; 2] Одговор: 4 цели решенија.№4 . Решете ја равенката и означете го најголемиот корен во вашиот одговор:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1,2 =
≈ 1,4

Одговор: x = 3.

Вежби: №12. Решете ја равенката, означете го целиот корен во вашиот одговор: │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13. Решете ја равенката, означете го бројот на цели броеви во вашиот одговор: │13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14. Решете ја равенката; во вашиот одговор, означете цел број што не е коренот на равенката:

Дел 5. Равенки од формата │F(x)│= │G(x)│

Бидејќи двете страни на равенката се не-негативни, решението вклучува разгледување на два случаи: субмодуларните изрази се еднакви или спротивни по знак. Според тоа, оригиналната равенка е еквивалентна на комбинацијата од две равенки: │ Ф(x)│= │ Г(x)│
Примери: №1. Решете ја равенката, означете го целиот корен во вашиот одговор: │x + 3│=│2x - 1│
Одговор: цел корен x = 4.№2. Реши ја равенката: │ x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │
Одговор: x = 2.№3 . Решете ја равенката и означете го производот на корените во вашиот одговор:




Корени равенки 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1,2 = - 1±√5 / 4 Одговор: производот на корените е – 0,25. Вежби: №15 . Решете ја равенката и посочете го целото решение во вашиот одговор: │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16. Решете ја равенката, означете го помалиот корен во вашиот одговор:│5x - 3│=│7 - x│ №17 . Решете ја равенката и означете го збирот на корените во вашиот одговор:

Дел 6. Примери за решавање нестандардни равенки

Во овој дел ќе разгледаме примери на нестандардни равенки, при чие решавање апсолутната вредност на изразот се открива по дефиниција. Примери:

№1. Решете ја равенката, означете го збирот на корените во вашиот одговор: x · │x│- 5x – 6 = 0
Одговор: збирот на корените е 1 №2. . Решете ја равенката, означете го помалиот корен во вашиот одговор: x 2 - 4x ·
- 5 = 0
Одговор: помал корен x = - 5. №3. Реши ја равенката:

Одговор: x = -1. Вежби: №18. Решете ја равенката и означете го збирот на корените: x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Решете ја равенката: x 2 – 3x =

№20. Реши ја равенката:

Дел 7. Равенки од формата │F(x)│+│G(x)│=0

Лесно е да се забележи дека на левата страна од равенката од овој тип се наоѓа збирот на ненегативните величини. Според тоа, првобитната равенка има решение ако и само ако двата члена се еднакви на нула во исто време. Равенката е еквивалентна на системот равенки: │ Ф(x)│+│ Г(x)│=0
Примери: №1 . Реши ја равенката:
Одговор: x = 2. №2. Реши ја равенката: Одговор: x = 1. Вежби: №21. Реши ја равенката: №22 . Решете ја равенката и означете го збирот на корените во вашиот одговор: №23 . Решете ја равенката и наведете го бројот на решенија во вашиот одговор:

Дел 8. Равенки од формата │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± … │a n x +b n │= m

За решавање на равенките од овој тип се користи методот на интервал. Ако го решиме со секвенцијално проширување на модулите, добиваме nкомплети системи, што е многу незгодно и незгодно. Да го разгледаме алгоритмот на методот на интервал: 1). Најдете променливи вредности X, за кој секој модул е ​​еднаков на нула (нули од субмодуларни изрази):
2). Означете ги пронајдените вредности на бројна линија, која е поделена на интервали (бројот на интервали е соодветно еднаков на n+1 ) 3). Определете со кој знак се открива секој модул во секој од добиените интервали (кога правите решение, можете да користите бројна линија, означувајќи ги знаците на неа) 4). Оригиналната равенка е еквивалентна на агрегат n+1 системи, во секоја од кои е означено членството на променливата Xеден од интервалите. Примери: №1 . Решете ја равенката и означете го најголемиот корен во вашиот одговор:
1). Да ги најдеме нулите на субмодуларните изрази: x = 2; x = -3 2). Да ги означиме пронајдените вредности на нумеричката линија и да одредиме со кој знак се открива секој модул на добиените интервали:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- нема решенија Равенката има два корени. Одговор: најголемиот корен x = 2. №2. Решете ја равенката и наведете го целиот корен во вашиот одговор:
1). Да ги најдеме нулите на субмодуларните изрази: x = 1,5; x = - 1 2). Да ги означиме пронајдените вредности на нумеричката линија и да одредиме со кој знак се открива секој модул на добиените интервали: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).
Последниот систем нема решенија, затоа равенката има два корени. Кога ја решавате равенката, треба да обрнете внимание на знакот „-“ пред вториот модул. Одговор: цел корен x = 7. №3. Решете ја равенката, означете го збирот на корените во вашиот одговор: 1). Да ги најдеме нулите на субмодуларните изрази: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Да ги означиме пронајдените вредности на нумеричката линија и да одредиме со кој знак се открива секој модул во добиените интервали: x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
Равенката има два корени x = 0 и 2. Одговор: збирот на корените е 2. №4 . Решете ја равенката: 1). Да ги најдеме нулите на субмодуларните изрази: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Дозволете ни да одредиме со кој знак се открива секој модул на добиените интервали. 3).
Дозволете ни да ги комбинираме решенијата на првите три системи. Одговор: ; x = 5.
Вежби: №24. Реши ја равенката:
№25. Решете ја равенката и означете го збирот на корените во вашиот одговор: №26. Решете ја равенката и означете го помалиот корен во вашиот одговор: №27. Решете ја равенката и означете го поголемиот корен во вашиот одговор:

Дел 9. Равенки кои содржат неколку модули

Равенките кои содржат повеќе модули претпоставуваат присуство на апсолутни вредности во субмодуларни изрази. Основниот принцип за решавање на равенките од овој тип е последователно откривање на модулите, почнувајќи од „надворешниот“. За време на решението, се користат техниките дискутирани во деловите бр. 1, бр. 3.

Примери: №1. Реши ја равенката:
Одговор: x = 1; - единаесет. №2. Реши ја равенката:
Одговор: x = 0; 4; - 4. №3. Решете ја равенката и означете го производот на корените во вашиот одговор:
Одговор: производот на корените е – 8. №4. Реши ја равенката:
Да ги означиме равенките на населението (1) И (2) и разгледајте го решението за секој од нив посебно за леснотија на дизајнирање. Бидејќи и двете равенки содржат повеќе од еден модул, попогодно е да се изврши еквивалентна транзиција кон множества системи. (1)

(2)


Одговор:
Вежби: №36. Решете ја равенката, означете го збирот на корените во вашиот одговор: 5 │3x-5│ = 25 x №37. Решете ја равенката, ако има повеќе од еден корен, означете го збирот на корените во вашиот одговор: │x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38. Реши ја равенката: 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39. Решете ја равенката и означете го бројот на корените во вашиот одговор: 2 │ sin x│ = √2 №40 . Решете ја равенката и наведете го бројот на корените во вашиот одговор:

Дел 3. Логаритамски равенки.

Пред да се решат следните равенки, потребно е да се разгледаат својствата на логаритмите и логаритамската функција. Примери: №1. Решете ја равенката, означете го производот на корените во вашиот одговор: log 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Случај 1: ако x ≥ - 1, тогаш log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – го задоволува условот x ≥ - 1 2 случај: ако x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – го задоволува условот x - 1
Одговор: производот на корените е – 15.
№2. Решете ја равенката, означете го збирот на корените во вашиот одговор: lg
О.Д.З.

Одговор: збирот на корените е 0,5.
№3. Решете ја равенката: лог 5
О.Д.З.

Одговор: x = 9. №4. Решете ја равенката: │2 + лог 0,2 x│+ 3 = │1 + лог 5 x│ О.Д.З. x > 0 Да ја користиме формулата за преместување во друга база. │2 - дневник 5 x│+ 3 = │1 + дневник 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Да ги најдеме нулите на субмодуларните изрази: x = 25; x = Овие бројки го делат опсегот на прифатливи вредности во три интервали, така што равенката е еквивалентна на збир од три системи.
Одговори :)