Подготовката за последниот тест по математика вклучува важен дел - „Логаритми“. Задачите од оваа тема се нужно содржани во Единствениот државен испит. Искуството од минатите години покажува дека логаритамските равенки предизвикале потешкотии за многу ученици. Затоа, учениците со различни нивоа на обука мора да разберат како да го најдат точниот одговор и брзо да се справат со нив.
Успешно поминете го тестот за сертификација користејќи го едукативниот портал Школково!
Кога се подготвуваат за обединет државен испит, на матурантите им треба сигурен извор кој дава најцелосни и најточни информации за успешно решавање на проблемите со тестовите. Сепак, учебникот не е секогаш при рака, а пребарувањето на потребните правила и формули на Интернет често бара време.
Едукативниот портал „Школково“ ви овозможува да се подготвите за Единствениот државен испит каде било и во секое време. Нашата веб-страница го нуди најзгодниот пристап за повторување и асимилирање на голема количина на информации за логаритми, како и со една и неколку непознати. Започнете со лесни равенки. Ако се справувате со нив без тешкотии, преминете на посложени. Ако имате проблем да решите одредена нееднаквост, можете да ја додадете во вашите Омилени за да може да се вратите на неа подоцна.
Можете да ги најдете потребните формули за да ја завршите задачата, да повторите специјални случаи и методи за пресметување на коренот на стандардна логаритамска равенка гледајќи во делот „Теоретска помош“. Школковските наставници ги собраа, систематизираа и ги презентираа сите материјали потребни за успешно полагање во наједноставна и најразбирлива форма.
Со цел лесно да се справите со задачи од секаква сложеност, на нашиот портал можете да се запознаете со решението на некои стандардни логаритамски равенки. За да го направите ова, одете во делот „Каталози“. Имаме голем број примери, вклучувајќи равенки со ниво на профил Унифициран државен испит по математика.
Учениците од училиштата низ Русија можат да го користат нашиот портал. За да започнете часови, едноставно регистрирајте се во системот и започнете со решавање на равенките. За да се консолидираат резултатите, ве советуваме секојдневно да се враќате на веб-страницата на Школково.
Решавање логаритамски равенки. Дел 1.
Логаритамска равенкае равенка во која непознатата е содржана под знакот на логаритамот (особено, во основата на логаритамот).
Наједноставниот логаритамска равенкаима форма:
Решавање на која било логаритамска равенкавклучува премин од логаритми кон изрази под знакот логаритми. Сепак, ова дејство го проширува опсегот на дозволените вредности на равенката и може да доведе до појава на надворешни корени. За да се избегне појава на туѓи корени, можете да направите еден од трите начини:
1. Направете еквивалентна транзицијаод првобитната равенка до систем вклучувајќи
во зависност од тоа која неравенка или поедноставна.
Ако равенката содржи непозната во основата на логаритамот:
потоа одиме во системот:
2. Одделно пронајдете го опсегот на прифатливи вредности на равенката, потоа решете ја равенката и проверете дали пронајдените решенија ја задоволуваат равенката.
3. Решете ја равенката, а потоа провери:пронајдените решенија заменете ги со првобитната равенка и проверете дали ја добивме точната равенка.
Логаритамската равенка од кое било ниво на сложеност секогаш на крајот се сведува на наједноставната логаритамска равенка.
Сите логаритамски равенки можат да се поделат на четири типа:
1 . Равенки кои содржат логаритми само до првата моќност. Со помош на трансформации и употреба се доведуваат до форма
Пример. Да ја решиме равенката:
Ајде да ги изедначиме изразите под знакот логаритам:
Ајде да провериме дали нашиот корен од равенката задоволува:
Да, задоволува.
Одговор: x=5
2 . Равенки кои содржат логаритми на моќи различни од 1 (особено во именителот на дропка). Ваквите равенки може да се решат користејќи воведување промена на променлива.
Пример.Да ја решиме равенката:
Ајде да ја најдеме равенката ODZ:
Равенката содржи логаритми на квадрат, така што може да се реши со промена на променливата.
Важно! Пред да воведете замена, треба да ги „разделите“ логаритмите што се дел од равенката во „тули“, користејќи ги својствата на логаритмите.
Кога се „раздвојуваат“ логаритми, важно е многу внимателно да се користат својствата на логаритмите:
Дополнително, тука има уште една суптилна точка, и за да избегнеме вообичаена грешка, ќе користиме средна еднаквост: ќе го напишеме степенот на логаритамот во оваа форма:
Исто така,
Да ги замениме добиените изрази во оригиналната равенка. Добиваме:
Сега гледаме дека непознатата е содржана во равенката како дел од . Ајде да ја претставиме замената: . Бидејќи може да земе каква било вистинска вредност, не наметнуваме никакви ограничувања на променливата.
На сите ни се познати равенките од основно училиште. Таму научивме да ги решаваме и наједноставните примери, а мора да признаеме дека својата примена ја наоѓаат и во вишата математика. Сè е едноставно со равенките, вклучувајќи ги и квадратните равенки. Ако имате проблеми со оваа тема, топло ви препорачуваме да ја разгледате.
Веројатно веќе сте поминале низ логаритми. Сепак, сметаме дека е важно да кажеме што е тоа за оние кои сè уште не знаат. Логаритам се изедначува со моќноста на која основата мора да се подигне за да се добие бројот десно од знакот за логаритам. Да дадеме пример врз основа на кој се ќе ви стане јасно.
Ако подигнете 3 на четвртата моќност, добивате 81. Сега заменете ги броевите по аналогија и конечно ќе разберете како се решаваат логаритмите. Сега останува само да се комбинираат двата дискутирани концепти. Првично, ситуацијата изгледа крајно комплицирана, но по внимателно испитување тежината паѓа на своето место. Сигурни сме дека по оваа кратка статија нема да имате проблеми во овој дел од Единствениот државен испит.
Денес постојат многу начини за решавање на такви структури. Ќе ви кажеме за наједноставните, најефективните и најприменливите во случајот со задачите за унифициран државен испит. Решавањето на логаритамските равенки треба да започне со наједноставниот пример. Наједноставните логаритамски равенки се состојат од функција и една променлива во неа.
Важно е да се забележи дека x е внатре во аргументот. A и b мора да бидат броеви. Во овој случај, можете едноставно да ја изразите функцијата во однос на број до моќност. Изгледа вака.
Се разбира, решавањето на логаритамска равенка со овој метод ќе ве доведе до точниот одговор. Проблемот за огромното мнозинство студенти во овој случај е што тие не разбираат што доаѓа од каде. Како резултат на тоа, мора да ги поднесувате грешките и да не ги добивате посакуваните поени. Најнавредлива грешка ќе биде ако ги измешате буквите. За да ја решите равенката на овој начин, треба да ја запаметите оваа стандардна училишна формула бидејќи е тешко да се разбере.
За да ви биде полесно, можете да прибегнете кон друг метод - канонската форма. Идејата е исклучително едноставна. Вратете го вашето внимание на проблемот. Запомнете дека буквата a е број, а не функција или променлива. А не е еднакво на еден и поголем од нула. Нема ограничувања за б. Сега, од сите формули, да се потсетиме на една. Б може да се изрази на следниов начин.
Од ова произлегува дека сите оригинални равенки со логаритми може да се претстават во форма:
Сега можеме да ги исфрлиме логаритмите. Резултатот е едноставен дизајн, кој веќе го видовме порано.
Практичноста на оваа формула лежи во фактот што може да се користи во широк спектар на случаи, а не само за наједноставните дизајни.
Не грижете се за ООФ!
Многу искусни математичари ќе забележат дека не сме обрнале внимание на доменот на дефиниција. Правилото се сведува на фактот дека F(x) е нужно поголемо од 0. Не, не ја пропуштивме оваа точка. Сега зборуваме за уште една сериозна предност на канонската форма.
Тука нема да има дополнителни корени. Ако променливата ќе се појави само на едно место, тогаш опсегот не е неопходен. Тоа се прави автоматски. За да ја потврдите оваа пресуда, обидете се да решите неколку едноставни примери.
Како да се решаваат логаритамски равенки со различни основи
Тоа се веќе сложени логаритамски равенки и пристапот за нивно решавање мора да биде посебен. Овде ретко е можно да се ограничиме на озлогласената канонска форма. Да ја започнеме нашата детална приказна. Ја имаме следната конструкција.
Обрнете внимание на дропката. Содржи логаритам. Ако го видите ова во задача, вреди да се потсетите на еден интересен трик.
Што значи тоа? Секој логаритам може да се претстави како количник на два логаритами со погодна основа. И оваа формула има посебен случај што е применлив со овој пример (значиме ако c=b).
Токму оваа дропка ја гледаме во нашиот пример. Така.
Во суштина, ја свртевме дропот и добивме попогоден израз. Запомнете го овој алгоритам!
Сега е неопходно логаритамската равенка да не содржи различни основи. Да ја претставиме основата како дропка.
Во математиката постои правило врз основа на кое можете да изведете диплома од база. Следниве резултати од изградбата.
Се чини дека што не спречува сега да го претвориме нашиот израз во канонска форма и едноставно да го решиме? Не толку едноставно. Не треба да има дропки пред логаритамот. Ајде да ја поправиме оваа ситуација! Фракциите се дозволени да се користат како степени.
Соодветно.
Ако основите се исти, можеме да ги отстраниме логаритмите и да ги изедначиме самите изрази. На овој начин ситуацијата ќе стане многу поедноставна отколку што беше. Она што ќе остане е елементарна равенка која секој од нас знаел да ја реши уште во 8 или дури 7 одделение. Пресметките можете да ги направите сами.
Го добивме единствениот точен корен на оваа логаритамска равенка. Примерите за решавање на логаритамска равенка се прилично едноставни, нели? Сега ќе можете самостојно да се справите дури и со најсложените задачи за подготовка и полагање на Единствениот државен испит.
Каков е резултатот?
Во случај на какви било логаритамски равенки, тргнуваме од едно многу важно правило. Неопходно е да се постапи на таков начин што ќе го сведе изразот на наједноставната можна форма. Во овој случај, ќе имате поголеми шанси не само правилно да ја решите задачата, туку и да ја извршите на наједноставен и најлогичен можен начин. Токму вака секогаш работат математичарите.
Силно не препорачуваме да барате тешки патеки, особено во овој случај. Запомнете неколку едноставни правила кои ќе ви овозможат да трансформирате кој било израз. На пример, намалете два или три логаритми на иста основа или изведете моќ од основата и победи на ова.
Исто така, вреди да се запамети дека решавањето на логаритамски равенки бара постојана пракса. Постепено ќе преминете на сè покомплексни структури и тоа ќе ве доведе до самоуверено решавање на сите варијанти на проблеми на Единствениот државен испит. Подгответе се добро однапред за вашите испити и со среќа!
Алгебра 11 одделение
Тема: „Методи за решавање логаритамски равенки“
Цели на лекцијата:
едукативни: развивање знаења за различни начини за решавање на логаритамски равенки, способност за нивна примена во секоја специфична ситуација и избор на кој било метод за решавање;
развивање: развој на вештини за набљудување, споредување, примена на знаење во нова ситуација, идентификување на обрасци, генерализирање; развивање на вештини за меѓусебна контрола и самоконтрола;
едукативни: негување одговорен однос кон воспитно-образовната работа, внимателна перцепција на материјалот на часот и внимателно чување белешки.
Тип на лекција : лекција за воведување нов материјал.
„Изумот на логаритми, додека ја намали работата на астрономот, му го продолжи животот“.
Францускиот математичар и астроном П.С. Лаплас
За време на часовите
I. Поставување цел на часот
Проучената дефиниција за логаритам, својствата на логаритмите и логаритамската функција ќе ни овозможи да ги решиме логаритамските равенки. Сите логаритамски равенки, без разлика колку се сложени, се решаваат со помош на униформни алгоритми. Ќе ги разгледаме овие алгоритми во денешната лекција. Ги нема многу. Ако ги совладате, тогаш секоја равенка со логаритми ќе биде изводлива за секој од вас.
Запишете ја темата на часот во вашата тетратка: „Методи за решавање на логаритамски равенки“. Ги повикувам сите на соработка.
II. Ажурирање на референтното знаење
Ајде да се подготвиме да ја проучуваме темата на лекцијата. Ја решавате секоја задача и го запишувате одговорот; не мора да го пишувате условот. Работа во парови.
1) За кои вредности на x функцијата има смисла:
А)
б)
V)
г)
(Одговорите се проверуваат за секој слајд и се средуваат грешките)
2) Дали графиците на функциите се совпаѓаат?
а) y = x и
б)И
3) Повторно запишете ги еднаквостите како логаритамски еднаквости:
4) Запишете ги броевите како логаритми со основа 2:
4 =
2 =
0,5 =
1 =
5) Пресметајте :
6) Обидете се да ги вратите или дополните елементите што недостасуваат во овие еднаквости.
III. Вовед во нов материјал
На екранот се прикажува следнава изјава:
„Равенката е златниот клуч што ги отвора сите математички сусами“.
Современиот полски математичар С. Ковал
Обидете се да ја формулирате дефиницијата за логаритамска равенка. (Равенка која содржи непозната под знакот логаритам ).
Ајде да размислименаједноставната логаритамска равенка: дневник А x = b (каде a>0, a ≠ 1). Бидејќи логаритамската функција се зголемува (или се намалува) на множеството позитивни броеви и ги зема сите реални вредности, тогаш според теоремата на коренот следи дека за секое b оваа равенка има, и само едно, решение и позитивно.
Запомнете ја дефиницијата за логаритам. (Логаритмот на број x до основата a е показател за моќноста до која треба да се подигне основата a за да се добие бројот x ). Од дефиницијата за логаритам веднаш произлегува декаА В е такво решение.
Запишете го насловот:Методи за решавање на логаритамски равенки
1. По дефиниција за логаритам .
Така се решаваат наједноставните равенки на формата.
Ајде да размислимебр. 514(а)
): Реши ја равенката
Како предлагате да се реши? (По дефиниција за логаритам )
Решение
.
, Оттука 2x – 4 = 4; x = 4.
Одговор: 4.
Во оваа задача 2x – 4 > 0, бидејќи> 0, така што не може да се појават надворешни корени, инема потреба да се проверува . Нема потреба да се запишува условот 2x – 4 > 0 во оваа задача.
2. Потентизација (премин од логаритам на даден израз кон самиот овој израз).
Ајде да размислимеБр. 519 (g): дневник 5 ( x 2 +8)- дневник 5 ( x+1)=3 дневник 5 2
Која карактеристика забележавте?(Основите се исти и логаритмите на двата израза се еднакви) . Што може да се направи?(Потенцирајте).
Треба да се земе предвид дека секое решение е содржано меѓу сите x за кои логаритамските изрази се позитивни.
Решение: ОДЗ:
X 2 +8>0 непотребна нееднаквост
дневник 5 ( x 2 +8) = дневник 5 2 3 + дневник 5 ( x+1)
дневник 5 ( x 2 +8)= дневник 5 (8 x+8)
Ајде да ја потенцираме оригиналната равенка
x 2 +8= 8 x+8
ја добиваме равенкатаx 2 +8= 8 x+8
Ајде да го решиме:x 2 -8 x=0
x=0, x=8
Одговор: 0; 8
Генералнотранзиција кон еквивалентен систем :
Равенката
(Системот содржи редундантна состојба - една од нееднаквостите не треба да се разгледува).
Прашање за класата : Кое од овие три решенија најмногу ви се допадна? (Дискусија за методите).
Имате право да одлучувате на кој било начин.
3. Воведување на нова променлива .
Ајде да размислимебр. 520 (g) . .
Што забележавте? (Ова е квадратна равенка во однос на log3x) Ваши предлози? (Воведете нова променлива)
Решение . ODZ: x > 0.
Нека, тогаш равенката ќе ја добие формата:
. Дискриминант D > 0. Корени според теоремата на Виета:
.
Да се вратиме на замената:или.
Откако ги решивме наједноставните логаритамски равенки, добиваме:
; .
Одговори : 27;
4. Логаритам на двете страни на равенката.
Реши ја равенката:
.
Решение : ODZ: x>0, да го земеме логаритамот на двете страни на равенката во основата 10:
. Да го примениме својството на логаритам на моќност:
(lgx + 3) lgx =
(logx + 3) logx = 4
Нека logx = y, потоа (y + 3)y = 4
, (D > 0) корени според теоремата на Виета: y1 = -4 и y2 = 1.
Да се вратиме на замената, добиваме: lgx = -4,
; logx = 1,
.
.
Тоа е како што следува:
ако една од функциите
y = f(x)
се зголемува, а другото
y = g(x)
се намалува на интервалот X, потоа равенката
f(x)= g(x)
има најмногу еден корен на интервалот X
.
Ако има корен, тогаш може да се погоди. .
Одговори : 2
„Правилната примена на методите може да се научи со
само со примена на различни примери“.
Данскиот историчар на математиката G. G. Zeiten
Јас V. Домашна задача
39 разгледајте го примерот 3, решете го бр. 514 (б), бр. 529 (б), бр. 520 (б), бр. 523 (б)
V. Сумирање на часот
Кои методи за решавање на логаритамски равенки ги разгледавме на часот?
Во следните лекции ќе разгледаме посложени равенки. За нивно решавање, ќе бидат корисни проучуваните методи.
Последен прикажан слајд:
„Што е повеќе од се на светот?
Простор.
Што е најмудрото?
Време.
Кој е најдобриот дел?
Постигнете го она што го сакате“.
Талес
Посакувам секој да го постигне она што го сака. Ви благодариме за соработката и разбирањето.
Денес ќе научиме како да ги решиме наједноставните логаритамски равенки, каде што не се потребни прелиминарни трансформации или избор на корени. Но, ако научите да решавате такви равенки, тогаш ќе ви биде многу полесно.
Наједноставната логаритамска равенка е равенка од формата log a f (x) = b, каде што a, b се броеви (a > 0, a ≠ 1), f (x) е одредена функција.
Карактеристична карактеристика на сите логаритамски равенки е присуството на променливата x под знакот логаритам. Ако ова е равенката првично дадена во проблемот, таа се нарекува наједноставна. Сите други логаритамски равенки се сведуваат на наједноставните со посебни трансформации (видете „Основни својства на логаритмите“). Сепак, мора да се земат предвид бројни суптилности: може да се појават дополнителни корени, така што сложените логаритамски равенки ќе се разгледуваат одделно.
Како да се решат такви равенки? Доволно е да го замените бројот десно од знакот за еднаквост со логаритам во иста основа како лево. Потоа можете да се ослободите од знакот на логаритам. Добиваме:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Ја добивме вообичаената равенка. Неговите корени се корените на првобитната равенка.
Вадење дипломи
Често, логаритамските равенки, кои однадвор изгледаат сложени и заканувачки, се решаваат во само неколку линии без да вклучуваат сложени формули. Денес ќе ги разгледаме токму таквите проблеми, каде сè што се бара од вас е внимателно да ја сведете формулата на канонската форма и да не се мешате кога го барате доменот на дефиниција на логаритми.
Денес, како што веројатно погодивте од насловот, ќе решаваме логаритамски равенки користејќи формули за премин во канонска форма. Главниот „трик“ на оваа видео лекција ќе биде работа со степени, поточно, изведување на степенот од основата и аргументот. Да го погледнеме правилото:
Слично на тоа, можете да го изведете степенот од основата:
Како што можеме да видиме, ако кога го отстрануваме степенот од аргументот на логаритамот едноставно имаме дополнителен фактор напред, тогаш кога го отстрануваме степенот од основата не добиваме само фактор, туку и превртен фактор. Ова треба да се запомни.
Конечно, најинтересното. Овие формули може да се комбинираат, а потоа добиваме:
Се разбира, кога се прават овие транзиции, постојат одредени замки поврзани со можното проширување на опсегот на дефиниција или, обратно, стеснување на опсегот на дефиниција. Проценете сами:
дневник 3 x 2 = 2 ∙ дневник 3 x
Ако во првиот случај x може да биде кој било број освен 0, односно барањето x ≠ 0, тогаш во вториот случај се задоволуваме само со x, кои не само што не се еднакви, туку и строго поголеми од 0, бидејќи доменот на дефиницијата за логаритам е аргументот да биде строго поголем од 0. Затоа, ќе ве потсетам на една прекрасна формула од курсот за алгебра од 8-9 одделение:
Тоа е, ние мора да ја напишеме нашата формула како што следува:
дневник 3 x 2 = 2 ∙ дневник 3 |x |
Тогаш нема да дојде до стеснување на опсегот на дефиницијата.
Сепак, во денешниот видео туторијал нема да има квадрати. Ако ги погледнете нашите задачи, ќе ги видите само корените. Затоа, нема да го применуваме ова правило, но сепак треба да го имате на ум, така што во вистински момент, кога ќе видите квадратна функција во аргумент или основа на логаритам, ќе го запомните ова правило и ќе ги извршите сите трансформации правилно.
Значи првата равенка е:
За да се реши овој проблем, предлагам внимателно да го разгледаме секој од термините присутни во формулата.
Ајде да го преработиме првиот член како моќ со рационален експонент:
Го разгледуваме вториот член: log 3 (1 − x). Тука нема потреба да се прави ништо, овде веќе се е трансформирано.
Конечно, 0, 5. Како што реков во претходните лекции, кога решавате логаритамски равенки и формули, топло препорачувам да се префрлите од децималните фракции на вообичаените. Да го направиме ова:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ајде да ја преработиме нашата оригинална формула земајќи ги предвид добиените термини:
log 3 (1 − x ) = 1
Сега да преминеме на канонската форма:
лог 3 (1 − x ) = лог 3 3
Се ослободуваме од знакот логаритам со изедначување на аргументите:
1 − x = 3
−x = 2
x = −2
Тоа е тоа, ја решивме равенката. Сепак, ајде сепак да играме на сигурно и да го најдеме доменот на дефиниција. За да го направите ова, да се вратиме на оригиналната формула и да видиме:
1 − x > 0
−x > −1
x< 1
Нашиот корен x = −2 го задоволува ова барање, затоа x = −2 е решение на првобитната равенка. Сега добивме строго, јасно оправдување. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Ајде да преминеме на втората задача:
Ајде да го разгледаме секој поим посебно.
Ајде да го напишеме првото:
Го трансформиравме првиот мандат. Работиме со вториот мандат:
Конечно, последниот член, кој е десно од знакот за еднаквост:
Ние ги заменуваме добиените изрази наместо термините во добиената формула:
дневник 3 x = 1
Ајде да преминеме на канонската форма:
дневник 3 x = дневник 3 3
Се ослободуваме од знакот логаритам, изедначувајќи ги аргументите и добиваме:
x = 3
Повторно, само за да бидеме на безбедна страна, да се вратиме на првобитната равенка и да погледнеме. Во оригиналната формула, променливата x е присутна само во аргументот, затоа,
x > 0
Во вториот логаритам, x е под коренот, но повторно во аргументот, затоа коренот мора да биде поголем од 0, т.е. радикалниот израз мора да биде поголем од 0. Го гледаме нашиот корен x = 3. Очигледно, тоа го задоволува ова барање. Според тоа, x = 3 е решение на првобитната логаритамска равенка. Тоа е тоа, проблемот е решен.
Има две клучни точки во денешниот видео туторијал:
1) не плашете се да ги трансформирате логаритмите и, особено, не плашете се да ги извадите моќите од знакот на логаритмот, притоа сеќавајќи се на нашата основна формула: кога се отстранува моќта од аргументот, таа едноставно се вади без промени како множител, а при отстранување на моќност од основата, оваа моќност се превртува.
2) втората точка е поврзана со самата канонска форма. Преминот кон канонската форма го направивме на самиот крај на трансформацијата на формулата за логаритамска равенка. Дозволете ми да ве потсетам на следнава формула:
a = дневник b b a
Се разбира, под изразот „било кој број b“ ги подразбирам оние броеви кои ги задоволуваат барањата наметнати врз основа на логаритамот, т.е.
1 ≠ b > 0
За такво б, и бидејќи веќе ја знаеме основата, ова барање ќе се исполни автоматски. Но, за такво b - кое било што го задоволува ова барање - оваа транзиција може да се изврши и ќе добиеме канонска форма во која можеме да се ослободиме од знакот на логаритамот.
Проширување на доменот на дефиниција и дополнителни корени
Во процесот на трансформација на логаритамските равенки, може да се појави имплицитно проширување на доменот на дефиниција. Често учениците тоа не го ни забележуваат, што доведува до грешки и неточни одговори.
Да почнеме со наједноставните дизајни. Наједноставната логаритамска равенка е следнава:
log a f (x) = b
Забележете дека x е присутен само во еден аргумент на еден логаритам. Како решаваме такви равенки? Ја користиме канонската форма. За да го направите ова, замислете го бројот b = log a a b, и нашата равенка ќе биде препишана на следниов начин:
log a f (x) = log a a b
Овој запис се нарекува канонска форма. Токму на ова треба да ја намалите секоја логаритамска равенка што ќе ја сретнете не само на денешната лекција, туку и во секоја независна и тест работа.
Како да се дојде до канонската форма и кои техники да се користат е прашање на пракса. Главната работа што треба да се разбере е дека веднаш штом ќе добиете таков запис, можете да го сметате проблемот решен. Затоа што следниот чекор е да се напише:
f (x) = a b
Со други зборови, се ослободуваме од знакот логаритам и едноставно ги изедначуваме аргументите.
Зошто целиот овој разговор? Факт е дека канонската форма е применлива не само за наједноставните проблеми, туку и за сите други. Конкретно, оние за кои ќе одлучиме денес. Ајде да погледнеме.
Прва задача:
Што е проблемот со оваа равенка? Факт е дека функцијата е во два логаритами одеднаш. Проблемот може да се сведе на наједноставен со едноставно одземање на еден логаритам од друг. Но, се појавуваат проблеми со областа за дефиниција: може да се појават дополнителни корени. Па, ајде само да поместиме еден од логаритмите надесно:
Овој запис е многу повеќе сличен на канонската форма. Но, има уште една нијанса: во канонската форма, аргументите мора да бидат исти. И лево го имаме логаритамот во основа 3, а десно во основа 1/3. Тој знае дека овие бази треба да се доведат на ист број. На пример, да се потсетиме кои се негативните сили:
И тогаш ќе го користиме експонентот „−1“ надвор од дневникот како множител:
Забележете: степенот што беше во основата се превртува и се претвора во дропка. Добивме речиси канонска нотација со ослободување од различни основи, но за возврат го добивме факторот „−1“ десно. Ајде да го факторизираме овој фактор во аргумент со тоа што ќе го претвориме во моќ:
Се разбира, откако ја добивме канонската форма, смело го прецртуваме знакот на логаритамот и ги изедначуваме аргументите. Во исто време, дозволете ми да ве потсетам дека кога ќе се подигне на моќноста „−1“, фракцијата едноставно се превртува - се добива пропорција.
Да го искористиме основното својство на пропорција и да го помножиме попречно:
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Ја имаме пред нас горната квадратна равенка, па ја решаваме користејќи ги формулите на Виета:
(x − 8) (x − 2) = 0
x 1 = 8; x 2 = 2
Тоа е се. Дали мислите дека равенката е решена? Не! За такво решение ќе добиеме 0 поени, бидејќи првобитната равенка содржи два логаритами со променливата x. Затоа, неопходно е да се земе предвид доменот на дефиниција.
И тука започнува забавата. Повеќето студенти се збунети: кој е доменот на дефиниција на логаритам? Се разбира, сите аргументи (имаме два) мора да бидат поголеми од нула:
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Секоја од овие неравенки мора да се реши, да се означи на права линија, да се пресече и дури потоа да се види кои корени лежат на раскрсницата.
Ќе бидам искрен: оваа техника има право да постои, таа е сигурна и ќе го добиете точниот одговор, но има премногу непотребни чекори во неа. Па, ајде повторно да го разгледаме нашето решение и да видиме: каде точно треба да го примениме опсегот? Со други зборови, треба јасно да разберете кога точно се појавуваат дополнителни корени.
- Првично имавме два логаритма. Потоа го преместивме еден од нив надесно, но тоа не влијаеше на областа за дефиниција.
- Потоа ја отстрануваме моќноста од основата, но остануваат уште два логаритами и во секој од нив има променлива x.
- Конечно, ги вкрстуваме знаците на лог и ја добиваме класичната фракциона рационална равенка.
На последниот чекор се проширува опсегот на дефиниција! Веднаш штом преминавме на фракционо-рационална равенка, ослободувајќи се од знаците за дневници, барањата за променливата x драматично се променија!
Следствено, доменот на дефиниција може да се разгледува не на самиот почеток на решението, туку само на споменатиот чекор - пред директно да се изедначат аргументите.
Тука се крие можноста за оптимизација. Од една страна, од нас се бара двата аргументи да бидат поголеми од нула. Од друга страна, дополнително ги поистоветуваме овие аргументи. Затоа, ако барем еден од нив е позитивен, тогаш и вториот ќе биде позитивен!
Така, излегува дека барањето две нееднаквости да се исполнат одеднаш е претерано. Доволно е да се разгледа само една од овие фракции. Кое? Онаа што е поедноставна. На пример, да ја погледнеме фракцијата од десната страна:
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Ова е типична фракциона рационална нееднаквост; ја решаваме користејќи го методот на интервал:
Како да поставите знаци? Да земеме број кој е очигледно поголем од сите наши корени. На пример, 1 милијарда.И ја заменуваме неговата фракција. Добиваме позитивен број, т.е. десно од коренот x = 5 ќе има знак плус.
Тогаш знаците наизменично се менуваат, бидејќи никаде нема корени на дури мноштво. Ние сме заинтересирани за интервали каде функцијата е позитивна. Според тоа, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Сега да се потсетиме на одговорите: x = 8 и x = 2. Строго кажано, ова сè уште не се одговори, туку само кандидати за одговорот. Кој припаѓа на наведеното множество? Се разбира, x = 8. Но, x = 2 не ни одговара во однос на неговиот домен на дефиниција.
Севкупно, одговорот на првата логаритамска равенка ќе биде x = 8. Сега имаме компетентно, добро основано решение, земајќи го предвид доменот на дефиниција.
Да преминеме на втората равенка:
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Да ве потсетам дека ако има децимална дропка во равенката, тогаш треба да се ослободите од неа. Со други зборови, да го преработиме 0,5 како заедничка дропка. Веднаш забележуваме дека логаритамот што ја содржи оваа основа лесно се пресметува:
Ова е многу важен момент! Кога имаме степени и во основата и во аргументот, можеме да ги изведеме индикаторите за овие степени користејќи ја формулата:
Да се вратиме на нашата првобитна логаритамска равенка и да ја преработиме:
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Добивме дизајн доста близок до канонската форма. Сепак, ние сме збунети од термините и знакот минус десно од знакот за еднаквост. Да го претставиме еден како логаритам на основата 5:
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Одземете ги логаритмите десно (во овој случај нивните аргументи се поделени):
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Прекрасно. Така ја добивме канонската форма! Ги прекрстуваме знаците за дневник и ги изедначуваме аргументите:
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Ова е пропорција што може лесно да се реши со вкрстено множење:
(x − 9) (x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Очигледно, имаме намалена квадратна равенка. Може лесно да се реши со помош на формулите на Виета:
(x − 10) (x − 4) = 0
x 1 = 10
x 2 = 4
Добивме два корени. Но, ова не се конечни одговори, туку само кандидати, бидејќи логаритамската равенка бара и проверка на доменот на дефиниција.
Ве потсетувам: нема потреба да барате кога секојод аргументите ќе биде поголем од нула. Доволно е да се бара еден аргумент - било x − 9 или 5 / (x − 5) - да биде поголем од нула. Размислете за првиот аргумент:
x − 9 > 0
x > 9
Очигледно, само x = 10 го задоволува ова барање.Ова е конечниот одговор. Целиот проблем е решен.
Уште еднаш, клучните мисли на денешната лекција:
- Штом променливата x се појави во неколку логаритми, равенката престанува да биде елементарна и за неа ќе треба да се пресмета доменот на дефиниција. Во спротивно, можете лесно да напишете дополнителни корени во одговорот.
- Работата со самиот домен може значително да се поедностави ако ја испишеме нееднаквоста не веднаш, туку токму во моментот кога ќе се ослободиме од знаците за дневници. На крајот на краиштата, кога аргументите се поистоветуваат еден со друг, доволно е да се бара само еден од нив да биде поголем од нула.
Се разбира, ние самите избираме кој аргумент да го искористиме за да формираме нееднаквост, па логично е да го избереме наједноставниот. На пример, во втората равенка го избравме аргументот (x − 9), линеарна функција, наспроти фракциониот рационален втор аргумент. Се согласувам, решавањето на неравенството x − 9 > 0 е многу полесно од 5/(x − 5) > 0. Иако резултатот е ист.
Оваа забелешка во голема мера го поедноставува пребарувањето за ODZ, но бидете внимателни: можете да користите една нееднаквост наместо две само ако аргументите се прецизно се еднакви едни на други!
Се разбира, некој сега ќе праша: што се случува поинаку? Да понекогаш. На пример, во самиот чекор, кога множиме два аргументи кои содржат променлива, постои опасност да се појават непотребни корени.
Проценете сами: прво се бара секој од аргументите да биде поголем од нула, но по множењето доволно е нивниот производ да биде поголем од нула. Како резултат на тоа, случајот кога секоја од овие фракции е негативна е пропуштен.
Затоа, ако штотуку почнувате да ги разбирате сложените логаритамски равенки, во никој случај не множете ги логаритмите што ја содржат променливата x - ова премногу често ќе доведе до појава на непотребни корени. Подобро е да направите уште еден чекор, да преместите еден термин на другата страна и да создадете канонска форма.
Па, што да направите ако не можете да направите без множење такви логаритми, ќе разговараме во следната видео лекција. :)
Уште еднаш за моќите во равенката
Денес ќе испитаме прилично лизгава тема во врска со логаритамските равенки, или поточно, отстранувањето на моќите од аргументите и основите на логаритмите.
Дури би рекол дека ќе зборуваме за отстранување на парните моќи, бидејќи токму со парните моќи се јавуваат најголем дел од тешкотиите при решавањето на реалните логаритамски равенки.
Да почнеме со канонската форма. Да речеме дека имаме равенка од формата log a f (x) = b. Во овој случај, го препишуваме бројот b користејќи ја формулата b = log a a b. Излегува следново:
log a f (x) = log a a b
Потоа ги изедначуваме аргументите:
f (x) = a b
Претпоследната формула се нарекува канонска форма. Токму на ова тие се обидуваат да ја намалат секоја логаритамска равенка, без разлика колку тоа на прв поглед изгледа сложено и страшно.
Па ајде да го пробаме. Да почнеме со првата задача:
Прелиминарна забелешка: како што веќе реков, сите децимални фракции во логаритамската равенка подобро се претвораат во обични:
0,5 = 5/10 = 1/2
Ајде да ја преработиме нашата равенка земајќи го предвид овој факт. Забележете дека и 1/1000 и 100 се сили од десет, а потоа да ги извадиме силите каде и да се: од аргументи, па дури и од основата на логаритми:
И тука многу студенти имаат прашање: „Од каде потекнува модулот од десната страна? Навистина, зошто едноставно да не се напише (x − 1)? Се разбира, сега ќе пишуваме (x − 1), но земајќи го предвид доменот на дефиниција ни дава право на таква нотација. На крајот на краиштата, друг логаритам веќе содржи (x − 1), и овој израз мора да биде поголем од нула.
Но, кога ќе го отстраниме квадратот од основата на логаритмот, мора да го оставиме токму модулот во основата. Дозволете ми да објаснам зошто.
Факт е дека, од математичка гледна точка, земањето диплома е еднакво на преземање корен. Особено, кога ќе го квадратиме изразот (x − 1) 2, во суштина го земаме вториот корен. Но, квадратниот корен не е ништо повеќе од модул. Точно модул, бидејќи дури и ако изразот x − 1 е негативен, кога ќе се квадрира, „минусот“ сепак ќе изгори. Понатамошното извлекување на коренот ќе ни даде позитивен број - без никакви минуси.
Во принцип, за да избегнете навредливи грешки, запомнете еднаш засекогаш:
Коренот на рамномерна моќност на која било функција што е подигната на истата моќност не е еднаков на самата функција, туку на нејзиниот модул:
Да се вратиме на нашата логаритамска равенка. Зборувајќи за модулот, тврдев дека можеме да го отстраниме безболно. Ова е вистина. Сега ќе објаснам зошто. Строго кажано, моравме да разгледаме две опции:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x − 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Секоја од овие опции треба да се решат. Но, постои една фаќање: оригиналната формула веќе ја содржи функцијата (x − 1) без никаков модул. И следејќи го доменот на дефиниција на логаритми, имаме право веднаш да напишеме дека x − 1 > 0.
Ова барање мора да биде исполнето без оглед на модулите и другите трансформации што ги извршуваме во процесот на решавање. Затоа, нема смисла да се разгледа втората опција - таа никогаш нема да се појави. Дури и да добиеме некои бројки при решавање на оваа гранка на неравенство, тие сепак нема да бидат вклучени во конечниот одговор.
Сега сме буквално на чекор од канонската форма на логаритамската равенка. Да ја претставиме единицата на следниов начин:
1 = лог x − 1 (x − 1) 1
Дополнително, во аргументот го воведуваме факторот −4, кој е десно:
лог x − 1 10 −4 = лог x − 1 (x − 1)
Пред нас е канонската форма на логаритамската равенка. Се ослободуваме од знакот логаритам:
10 −4 = x − 1
Но, бидејќи основата беше функција (а не прост број), дополнително бараме оваа функција да биде поголема од нула и да не е еднаква на еден. Резултирачкиот систем ќе биде:
Бидејќи барањето x − 1 > 0 се задоволува автоматски (на крајот на краиштата, x − 1 = 10 −4), една од неравенките може да се избрише од нашиот систем. Вториот услов исто така може да се пречкрта, бидејќи x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Ова е единствениот корен кој автоматски ги задоволува сите барања од доменот на дефинирање на логаритмот (сепак, сите барања беа елиминирани како очигледно исполнети во условите на нашиот проблем).
Значи втората равенка:
3 дневник 3 x x = 2 дневник 9 x x 2
Како оваа равенка фундаментално се разликува од претходната? Само затоа што основите на логаритмите - 3x и 9x - не се природни сили една на друга. Затоа, транзицијата што ја користевме во претходното решение не е можна.
Ајде барем да се ослободиме од степените. Во нашиот случај, единствениот степен е во вториот аргумент:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Сепак, знакот за модул може да се отстрани, бидејќи променливата x е исто така во основата, т.е. x > 0 ⇒ |x| = x. Ајде да ја преработиме нашата логаритамска равенка:
3 лог 3 x x = 4 лог 9 x x
Добивме логаритми во кои аргументите се исти, но основите се различни. Што да се прави следно? Овде има многу опции, но ќе разгледаме само две од нив, кои се најлогични и што е најважно, ова се брзи и разбирливи техники за повеќето студенти.
Веќе ја разгледавме првата опција: во секоја нејасна ситуација, конвертирај логаритми со променлива основа во некоја константна основа. На пример, на дупче. Формулата за транзиција е едноставна:
Секако, улогата на променливата c треба да биде нормален број: 1 ≠ c > 0. Нека во нашиот случај c = 2. Сега пред нас имаме обична дробна рационална равенка. Ги собираме сите елементи лево:
Очигледно, подобро е да се отстрани факторот лог 2 x, бидејќи е присутен и во првата и во втората фракција.
дневник 2 x = 0;
3 дневник 2 9x = 4 дневник 2 3x
Секој дневник го делиме на два поими:
дневник 2 9x = дневник 2 9 + дневник 2 x = 2 дневник 2 3 + дневник 2 x;
дневник 2 3x = дневник 2 3 + дневник 2 x
Ајде да ги преработиме двете страни на еднаквоста земајќи ги предвид овие факти:
3 (2 дневник 2 3 + дневник 2 x ) = 4 (лог 2 3 + дневник 2 x )
6 дневник 2 3 + 3 дневник 2 x = 4 дневник 2 3 + 4 дневник 2 x
2 лог 2 3 = дневник 2 x
Сега останува само да внесете два под знакот на логаритамот (ќе се претвори во моќност: 3 2 = 9):
дневник 2 9 = дневник 2 x
Пред нас е класичната канонска форма, се ослободуваме од знакот логаритам и добиваме:
Како што се очекуваше, овој корен се покажа дека е поголем од нула. Останува да се провери доменот на дефиниција. Да ги погледнеме причините:
Но, коренот x = 9 ги задоволува овие барања. Затоа, тоа е конечната одлука.
Заклучокот од ова решение е едноставен: не плашете се од долги пресметки! Само што на самиот почеток избравме нова база по случаен избор - и тоа значително го комплицираше процесот.
Но, тогаш се поставува прашањето: која е основата оптимална? Ќе зборувам за ова во вториот метод.
Да се вратиме на нашата првобитна равенка:
3 дневник 3x x = 2 дневник 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 лог 3 x x = 4 лог 9 x x
Сега да размислиме малку: кој број или функција би била оптимална основа? Очигледно, најдобрата опција би била c = x - она што е веќе во аргументите. Во овој случај, формулата log a b = log c b / log c a ќе ја има формата:
Со други зборови, изразот е едноставно обратен. Во овој случај, аргументот и основата ги менуваат местата.
Оваа формула е многу корисна и многу често се користи при решавање на сложени логаритамски равенки. Сепак, постои една многу сериозна замка кога се користи оваа формула. Ако ја замениме променливата x наместо основата, тогаш на неа се наметнуваат ограничувања кои претходно не биле забележани:
Немаше такво ограничување во првобитната равенка. Затоа, треба посебно да го провериме случајот кога x = 1. Заменете ја оваа вредност во нашата равенка:
3 дневник 3 1 = 4 дневник 9 1
Ја добиваме точната нумеричка еднаквост. Затоа x = 1 е корен. Го најдовме токму истиот корен во претходниот метод на самиот почеток на решението.
Но, сега кога одделно го разгледавме овој конкретен случај, безбедно претпоставуваме дека x ≠ 1. Тогаш нашата логаритамска равенка ќе биде препишана во следнава форма:
3 дневник x 9x = 4 дневник x 3x
Ги прошируваме двата логаритма користејќи ја истата формула како порано. Забележете дека дневникот x x = 1:
3 (дневник x 9 + дневник x x) = 4 (лог x 3 + дневник x x)
3 дневник x 9 + 3 = 4 дневник x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 дневник x 3 = 1
Така, дојдовме до канонската форма:
дневник x 9 = дневник x x 1
x=9
Го добивме вториот корен. Го задоволува барањето x ≠ 1. Затоа, x = 9 заедно со x = 1 е конечниот одговор.
Како што можете да видите, обемот на пресметките е малку намален. Но, при решавање на вистинска логаритамска равенка, бројот на чекори ќе биде многу помал и затоа што не се бара да го опишете секој чекор толку детално.
Клучното правило на денешната лекција е следново: ако проблемот содржи парен степен, од кој се извлекува коренот на истиот степен, тогаш излезот ќе биде модул. Сепак, овој модул може да се отстрани ако обрнете внимание на доменот на дефиниција на логаритми.
Но, бидете внимателни: по овој час, повеќето ученици мислат дека разбираат сè. Но, кога решаваат реални проблеми, тие не можат да го репродуцираат целиот логичен синџир. Како резултат на тоа, равенката добива непотребни корени, а одговорот се покажува како неточен.