Овој онлајн калкулатор ви овозможува да решавате диференцијални равенки онлајн. Доволно е да ја внесете вашата равенка во соодветното поле, означувајќи го изводот на функцијата преку апостроф и кликнете на копчето „реши ја равенката“, а системот, имплементиран врз основа на популарната веб-страница WolframAlpha, ќе даде детално решавање на диференцијална равенкаапсолутно бесплатно. Можете исто така да дефинирате проблем на Коши за да го изберете од целиот сет на можни решенија количникот што одговара на дадените почетни услови. Проблемот Коши се внесува во посебно поле.
Диференцијална равенка
Стандардно, функцијата во равенката yе функција на променлива x. Сепак, можете да наведете сопствена ознака за променливата ако напишете, на пример, y(t) во равенката, калкулаторот автоматски ќе го препознае тоа yима функција од променлива т. Со помош на калкулатор можете решаваат диференцијални равенкиод која било сложеност и тип: хомогени и нехомогени, линеарни или нелинеарни, прв ред или втор и повисок ред, равенки со раздвојливи или неразделни променливи итн. Разлика на решението. равенката е дадена во аналитичка форма и има детален опис. Диференцијалните равенки се многу чести во физиката и математиката. Без нивно пресметување, невозможно е да се решат многу проблеми (особено во математичката физика).
Една од фазите на решавање на диференцијални равенки е интегрирањето на функциите. Постојат стандардни методи за решавање на диференцијални равенки. Потребно е равенките да се сведат на форма со раздвојливи променливи y и x и посебно да се интегрираат одвоените функции. За да го направите ова, понекогаш мора да се направи одредена замена.
Решавање диференцијални равенки. Благодарение на нашата онлајн услуга, можете да решавате диференцијални равенки од секаков тип и сложеност: нехомогени, хомогени, нелинеарни, линеарни, прв, втор ред, со раздвојливи или неразделни променливи итн. Добивате решение за диференцијални равенки во аналитичка форма со детален опис. Многу луѓе се заинтересирани: зошто е неопходно да се решаваат диференцијални равенки преку Интернет? Овој тип на равенки е многу вообичаен во математиката и физиката, каде што ќе биде невозможно да се решат многу проблеми без да се пресмета диференцијалната равенка. Диференцијалните равенки се вообичаени и во економијата, медицината, биологијата, хемијата и другите науки. Решавањето на ваква равенка онлајн во голема мера ги поедноставува вашите задачи, ви дава можност подобро да го разберете материјалот и да се тестирате. Предности на решавање на диференцијални равенки онлајн. Модерна веб-локација за математичка услуга ви овозможува да решавате диференцијални равенки онлајн од секаква сложеност. Како што знаете, постојат голем број видови диференцијални равенки и секоја од нив има свои методи на решавање. На нашата услуга можете да најдете онлајн решенија за диференцијални равенки од кој било ред и тип. За да добиете решение, ви предлагаме да ги пополните првичните податоци и да кликнете на копчето „Решение“. Грешките во работењето на услугата се исклучени, така што можете да бидете 100% сигурни дека сте го добиле точниот одговор. Решавајте диференцијални равенки со нашата услуга. Решавајте диференцијални равенки онлајн. Стандардно, во таква равенка, функцијата y е функција на променливата x. Но, можете исто така да наведете сопствена ознака на променлива. На пример, ако наведете y(t) во диференцијална равенка, тогаш нашата услуга автоматски ќе утврди дека y е функција од променливата t. Редоследот на целата диференцијална равенка ќе зависи од максималниот редослед на изводот на функцијата присутна во равенката. Решавањето на ваква равенка значи наоѓање на саканата функција. Нашата услуга ќе ви помогне да решавате диференцијални равенки онлајн. Не е потребно многу напор од ваша страна за да се реши равенката. Треба само да ги внесете левата и десната страна на равенката во бараните полиња и кликнете на копчето „Решение“. При внесување, изводот на функцијата мора да се означи со апостроф. За неколку секунди ќе добиете готово детално решение за диференцијалната равенка. Нашата услуга е апсолутно бесплатна. Диференцијални равенки со раздвојливи променливи. Ако во диференцијалната равенка има израз од левата страна кој зависи од y, а од десната страна има израз кој зависи од x, тогаш таквата диференцијална равенка се нарекува со раздвојливи променливи. Левата страна може да содржи извод од y, решението на диференцијалните равенки од овој тип ќе биде во форма на функција од y, изразено преку интегралот на десната страна на равенката. Ако на левата страна има диференцијал на функцијата на y, тогаш во овој случај се интегрираат двете страни на равенката. Кога променливите во диференцијалната равенка не се одделени, тие ќе треба да се одвојат за да се добие одвоена диференцијална равенка. Линеарна диференцијална равенка. Диференцијалната равенка чија функција и сите нејзини изводи се во прв степен се нарекува линеарна. Општа форма на равенката: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) се континуирани функции на x. Решавањето на диференцијални равенки од овој тип се сведува на интегрирање на две диференцијални равенки со одвоени променливи. Редослед на диференцијална равенка. Диференцијалната равенка може да биде од прв, втор, n-ти ред. Редоследот на диференцијалната равенка го одредува редот на највисокиот извод што го содржи. Во нашата услуга можете да решавате диференцијални равенки онлајн за првото, второто, третото итн. со цел. Решението на равенката ќе биде која било функција y=f(x), заменувајќи ја во равенката, ќе добиете идентитет. Процесот на изнаоѓање решение за диференцијална равенка се нарекува интеграција. Коши проблем. Ако, покрај самата диференцијална равенка, е даден и почетниот услов y(x0)=y0, тогаш тоа се нарекува проблем на Коши. Показателите y0 и x0 се додаваат на решението на равенката и се одредува вредноста на произволна константа C, а потоа се одредува одредено решение на равенката на оваа вредност на C Ова е решението на проблемот на Коши. Проблемот на Коши се нарекува и проблем со граничните услови, што е многу честа појава во физиката и механиката. Имате можност да ја поставите и задачата на Коши, односно од сите можни решенија на равенката да изберете количник што ги исполнува дадените почетни услови.
Да се потсетиме на задачата со која се соочивме при наоѓањето дефинитивни интеграли:
или dy = f(x)dx. Нејзиното решение:
а се сведува на пресметување на неопределен интеграл. Во пракса почесто се среќава со покомплексна задача: пронаоѓање на функцијата y, ако се знае дека задоволува релација на формата
Оваа врска ја поврзува независната променлива x, непозната функција yи неговите деривати до редот nинклузивни, се нарекуваат .
Диференцијалната равенка вклучува функција под знакот на деривати (или диференцијали) од еден или друг ред. Највисокиот ред се нарекува ред (9.1) .
Диференцијални равенки:
- прва нарачка,
Втор ред
- петти ред итн.
Функцијата што задоволува дадена диференцијална равенка се нарекува нејзино решение , или интегрален . Решавањето значи да се најдат сите негови решенија. Доколку за потребната функција yуспеа да добие формула која ги дава сите решенија, тогаш велиме дека го најдовме нејзиното општо решение , или општ интеграл .
Заедничка одлука
содржи nпроизволни константи 
и изгледа како
Ако се добие релација која се однесува x, yИ nпроизволни константи, во форма која не е дозволена во однос на y -
тогаш таквата врска се нарекува општ интеграл на равенката (9.1).
Коши проблем
Секое специфично решение, т.е., секоја специфична функција која задоволува дадена диференцијална равенка и не зависи од произволни константи, се нарекува одредено решение , или делумен интеграл. За да се добијат одредени решенија (интеграли) од општи, на константите мора да им се дадат специфични нумерички вредности.
Графикот на одредено решение се нарекува интегрална крива. Општото решение кое ги содржи сите парцијални решенија е фамилија на интегрални криви. За равенка од прв ред ова семејство зависи од една произволна константа, за равенката n-ти ред - од nпроизволни константи.
Проблемот на Коши е да се најде одредено решение за равенката n-ти ред, задоволувачки nпочетни услови:
со кои се одредуваат n константи c 1, c 2,..., c n.
Диференцијални равенки од 1-ви ред
За диференцијална равенка од 1-ви ред која е нерешена во однос на изводот, таа има форма
или за дозволени релативно
Пример 3.46. Најдете го општото решение на равенката
Решение.Интегрирајќи, добиваме
каде што C е произволна константа. Ако на C му доделиме специфични нумерички вредности, добиваме одредени решенија, на пример,
Пример 3.47. Размислете за зголемен износ на пари депонирани во банката кои се предмет на пресметување од 100 r сложена камата годишно. Нека Yo е почетната сума на пари, а Yx - на крајот xгодини. Ако каматата се пресметува еднаш годишно, добиваме
каде x = 0, 1, 2, 3,.... Кога каматата се пресметува двапати годишно, добиваме
каде x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При пресметување на каматата nеднаш годишно и ако xзема секвенцијални вредности 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., потоа
Означете 1/n = h, тогаш претходната еднаквост ќе изгледа вака:
Со неограничено зголемување n(на 
) во лимитот доаѓаме до процес на зголемување на износот на пари со континуирана пресметка на камата:
Така е јасно дека со континуирана промена xзаконот за промена на паричната маса се изразува со диференцијална равенка од 1-ви ред. Каде што Y x е непозната функција, x- независната променлива, р- постојана. Ајде да ја решиме оваа равенка, за да го направиме ова, ја препишуваме на следниов начин:
каде 
, или 
, каде што P означува e C.
Од почетните услови Y(0) = Yo наоѓаме P: Yo = Pe o, од каде Yo = P. Затоа, решението има форма:
Да го разгледаме вториот економски проблем. Макроекономските модели исто така се опишани со линеарни диференцијални равенки од прв ред, опишувајќи ги промените во приходот или излезот Y како функции на времето.
Пример 3.48. Нека националниот доход Y се зголемува со стапка пропорционална на неговата вредност:
и нека дефицитот во државната потрошувачка е директно пропорционален на приходот Y со коефициентот на пропорционалност q. Дефицитот на трошење доведува до зголемување на националниот долг D:
Почетни услови Y = Yo и D = Do at t = 0. Од првата равенка Y= Yoe kt. Заменувајќи го Y добиваме dD/dt = qYoe kt . Општото решение има форма
D = (q/ k) Yoe kt +С, каде што С = const, што се одредува од почетните услови. Заменувајќи ги почетните услови, добиваме Do = (q/ k)Yo + C. Значи, конечно,
D = Дали +(q/ k)Yo (e kt -1),
ова покажува дека националниот долг се зголемува со иста релативна стапка к, исто како и националниот доход.
Да ги разгледаме наједноставните диференцијални равенки nпо ред, ова се равенки на формата
Нејзиното општо решение може да се добие со користење nпати интеграции.
Пример 3.49.Размислете за примерот y """ = cos x.
Решение.Интегрирајќи, наоѓаме
Општото решение има форма
Линеарни диференцијални равенки
Тие се широко користени во економијата, ајде да размислиме за решавање на такви равенки. Ако (9.1) ја има формата:
тогаш се нарекува линеарна, каде рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) се дадени функции. Ако f(x) = 0, тогаш (9.2) се нарекува хомогена, во спротивно се нарекува нехомогена. Општото решение на равенката (9.2) е еднакво на збирот на кое било од неговите конкретни решенија y(x)и општото решение на хомогената равенка што одговара на неа:
Ако коефициентите р o (x), р 1 (x),..., р n (x) се константни, тогаш (9.2)
(9.4) се нарекува линеарна диференцијална равенка со константни коефициенти на ред n .
За (9.4) има форма:
Без губење на општоста, можеме да поставиме p o = 1 и да напишеме (9.5) во форма
Ќе бараме решение (9.6) во форма y = e kx, каде k е константа. Ние имаме: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx. Заменувајќи ги добиените изрази во (9.6), ќе имаме:
(9.7) е алгебарска равенка, нејзината непозната е к, тоа се нарекува карактеристично. Карактеристичната равенка има степен nИ nкорени, меѓу кои може да има и повеќекратни и сложени. Нека k 1 , k 2 ,..., k n се реални и различни, тогаш 
- посебни решенија (9.7) и општи
Размислете за линеарна хомогена диференцијална равенка од втор ред со константни коефициенти:
Нејзината карактеристична равенка ја има формата
(9.9)
неговиот дискриминант D = p 2 - 4q, во зависност од знакот D, можни се три случаи.
1. Ако D>0, тогаш корените k 1 и k 2 (9.9) се реални и различни, а општото решение има форма:
Решение.Карактеристична равенка: k 2 + 9 = 0, од каде k = ± 3i, a = 0, b = 3, општото решение има форма:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Линеарни диференцијални равенки од втор ред се користат при проучување на веб-тип на економски модел со залихи на стоки, каде стапката на промена на цената P зависи од големината на залихите (види став 10). Ако понудата и побарувачката се линеарни функции на цената, т.е
a е константа која ја одредува стапката на реакција, тогаш процесот на промена на цената е опишан со диференцијалната равенка:
За одредено решение можеме да земеме константа
значајна рамнотежна цена. Отстапување 
ја задоволува хомогената равенка
(9.10)
Карактеристичната равенка ќе биде како што следува:
Во случај терминот да е позитивен. Да означиме 
. Корените на карактеристичната равенка k 1,2 = ± i w, затоа општото решение (9.10) има форма:
каде што C и се произволни константи, тие се одредуваат од почетните услови. Го добивме законот за промена на цената со текот на времето:
6.1. ОСНОВНИ КОНЦЕПТИ И ДЕФИНИЦИИ
При решавање на различни проблеми во математиката и физиката, биологијата и медицината, доста често не е можно веднаш да се воспостави функционална врска во форма на формула што ги поврзува променливите што го опишуваат процесот што се проучува. Обично треба да користите равенки кои содржат, покрај независната променлива и непознатата функција, и нејзини деривати.
Дефиниција.Се нарекува равенка која поврзува независна променлива, непозната функција и нејзини деривати од различен ред диференцијал.
Обично се означува непозната функција y(x)или едноставно y,и неговите деривати - y", y"итн.
Можни се и други ознаки, на пример: ако y= x(t), тогаш x"(t), x""(t)- неговите деривати и т- независната променлива.
Дефиниција.Ако функцијата зависи од една променлива, тогаш диференцијалната равенка се нарекува обична. Општа форма обична диференцијална равенка:
или
Функции ФИ ѓможе да не содржи некои аргументи, но за равенките да бидат диференцијални, неопходно е присуството на извод.
Дефиниција.Редоследот на диференцијалната равенкасе нарекува ред на највисокиот извод вклучен во него.
На пример, x 2 y"- y= 0, y" + грев x= 0 се равенки од прв ред, и y"+ 2 y"+ 5 y= x- равенка од втор ред.
При решавање на диференцијални равенки се користи операцијата за интеграција која е поврзана со појава на произволна константа. Доколку се примени акцијата за интеграција nпати, тогаш, очигледно, решението ќе содржи nпроизволни константи.
6.2. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ ОД ПРВ РЕД
Општа форма диференцијална равенка од прв редсе определува со изразот
Равенката може да не содржи експлицитно xИ y,но нужно содржи y“.
Ако равенката може да се запише како
тогаш добиваме диференцијална равенка од прв ред решена во однос на изводот.
Дефиниција.Општото решение на диференцијалната равенка од прв ред (6.3) (или (6.4)) е множество решенија 
, Каде СО- произволна константа.
Се вика графикот на решението на диференцијалната равенка интегрална крива.
Давање произволна константа СОразлични вредности, може да се добијат парцијални решенија. На површината xOyопштото решение е фамилија на интегрални криви што одговараат на секое конкретно решение.
Ако поставите точка A (x 0 , y 0),низ која мора да помине интегралната крива, тогаш по правило од збир на функции 
Може да се издвои едно - приватно решение.
Дефиниција.Приватна одлукана диференцијална равенка е нејзино решение кое не содржи произволни константи.
Ако 
е општо решение, тогаш од состојбата
можете да најдете константа СО.Состојбата се нарекува почетна состојба.
Проблемот на изнаоѓање на одредено решение за диференцијалната равенка (6.3) или (6.4) што ја задоволува почетната состојба 
на 
повикани Коши проблем.Дали овој проблем секогаш има решение? Одговорот е содржан во следната теорема.
Теорема на Коши(теорема за постоење и единственост на решение). Нека влезе во диференцијалната равенка y"= f(x,y)функција f(x,y)и неа
делумен дериват 
дефинирани и континуирани во некои
регион Д,што содржи точка 
Потоа во областа Дпостои
единственото решение на равенката што ја задоволува почетната состојба 
на 
Теоремата на Коши вели дека под одредени услови постои единствена интегрална крива y= f (x),поминувајќи низ точка 
Точки во кои не се исполнети условите на теоремата
Cauchies се нарекуваат посебен.Во овие точки се крши ѓ(x, y) или.
Низ еднина точка поминува или неколку интегрални криви или ниту една.
Дефиниција.Ако решението (6.3), (6.4) се најде во форма ѓ(x, y, В)= 0, не е дозволено во однос на y, тогаш се нарекува општ интегралдиференцијална равенка.
Теоремата на Коши само гарантира дека постои решение. Бидејќи не постои единствен метод за наоѓање решение, ќе разгледаме само некои типови диференцијални равенки од прв ред кои можат да се интегрираат во квадратури
Дефиниција.Диференцијалната равенка се нарекува интегрирани во квадрати,ако наоѓањето на неговото решение се сведува на интегрирање на функции.
6.2.1. Диференцијални равенки од прв ред со раздвојливи променливи
Дефиниција.Диференцијалната равенка од прв ред се нарекува равенка со раздвојливи променливи,
Десната страна на равенката (6.5) е производ на две функции, од кои секоја зависи само од една променлива.
На пример, равенката 
е равенка со одвојување
измешани со променливи 
и равенката 
не може да се претстави во формата (6.5).
Со оглед на тоа 
, ја препишуваме (6.5) во форма 
Од оваа равенка добиваме диференцијална равенка со одвоени променливи, во која диференцијалите се функции кои зависат само од соодветната променлива:
Интегрирање термин по термин, имаме
каде што C = C 2 - C 1 - произволна константа. Изразот (6.6) е генерален интеграл на равенката (6.5).
Со делење на двете страни на равенката (6.5) со, можеме да ги изгубиме оние решенија за кои: 
Навистина, ако 
на 
Тоа 
очигледно е решение на равенката (6.5).
Пример 1.Најдете решение за равенката што задоволува
состојба: y= 6 во x= 2 (y(2) = 6).
Решение.Ќе замениме y"тогаш 
. Помножете ги двете страни со
dx,бидејќи при понатамошна интеграција е невозможно да се напушти dxво именителот:
а потоа делејќи ги двата дела со 
ја добиваме равенката,
кои можат да се интегрираат. Ајде да се интегрираме: 
Потоа 
; потенцирајќи, добиваме y = C. (x + 1) - об-
општо решение.
Користејќи ги почетните податоци, одредуваме произволна константа, заменувајќи ги во општото решение
Конечно добиваме y= 2(x + 1) е одредено решение. Ајде да погледнеме уште неколку примери за решавање равенки со раздвојливи променливи.
Пример 2.Најдете го решението на равенката 
Решение.Со оглед на тоа 
, добиваме 
.
Интегрирајќи ги двете страни на равенката, имаме
каде 
Пример 3.Најдете го решението на равенката Решение.Двете страни на равенката ги делиме на оние фактори кои зависат од променлива која не се совпаѓа со променливата под диференцијалниот знак, т.е. 
и да се интегрираат. Потоа добиваме
и, конечно
Пример 4.Најдете го решението на равенката
Решение.Знаејќи што ќе добиеме. Секција
lim променливи. Потоа 
Интегрирајќи, добиваме
Коментар.Во примерите 1 и 2, потребната функција е yизразено експлицитно (општо решение). Во примерите 3 и 4 - имплицитно (општ интеграл). Во иднина формата на одлуката нема да се прецизира.
Пример 5.Најдете го решението на равенката Решение.
Пример 6.Најдете го решението на равенката 
, задоволувачки
состојба y(д)= 1.
Решение.Ајде да ја запишеме равенката во форма 
Множење на двете страни на равенката со dxи понатаму, добиваме
Интегрирајќи ги двете страни на равенката (интегралот од десната страна се зема по делови), добиваме 
Но според условот y= 1 во x= д. Потоа
Да ги замениме пронајдените вредности СОна општото решение:
Добиениот израз се нарекува делумно решение на диференцијалната равенка.
6.2.2. Хомогени диференцијални равенки од прв ред
Дефиниција.Се нарекува диференцијална равенка од прв ред хомогена,ако може да се претстави во форма
Да претставиме алгоритам за решавање на хомогена равенка.
1. Наместо тоа yтогаш да воведеме нова функција 
а со тоа и 
2.Во однос на функцијата uравенката (6.7) ја зема формата
односно замената ја намалува хомогената равенка на равенка со раздвојливи променливи.
3. Решавајќи ја равенката (6.8), прво го наоѓаме u, а потоа y= ux.
Пример 1.Решете ја равенката 
Решение.Ајде да ја запишеме равенката во форма
Ја правиме замената: 
Потоа 
Ќе замениме 
Помножете се со dx: 
Поделете по xи на 
Потоа
Откако ги интегриравме двете страни на равенката над соодветните променливи, имаме
или, враќајќи се на старите променливи, конечно добиваме
Пример 2.Решете ја равенката 
Решение.Нека 
Потоа
Ајде да ги поделиме двете страни на равенката со x2: 
Ајде да ги отвориме заградите и да ги преуредиме поимите:
Одејќи кон старите променливи, доаѓаме до конечниот резултат:
Пример 3.Најдете го решението на равенката 
со оглед на тоа
Решение.Изведување на стандардна замена 
добиваме
или 
или
Ова значи дека конкретното решение ја има формата 
Пример 4.Најдете го решението на равенката
Решение.
Пример 5.Најдете го решението на равенката 
Решение.
Самостојна работа
Најдете решенија за диференцијални равенки со раздвојливи променливи (1-9).
Најдете решение за хомогени диференцијални равенки (9-18).
6.2.3. Некои примени на диференцијални равенки од прв ред
Проблем со радиоактивно распаѓање
Стапката на распаѓање на Ra (радиум) во секој момент од времето е пропорционална на неговата достапна маса. Најдете го законот за радиоактивно распаѓање на Ра ако се знае дека во почетниот момент постоел Ра и полуживотот на Ра е 1590 години.
Решение.Во моментот нека биде масата Ра x= x(t) g, и 
Тогаш стапката на распаѓање Ra е еднаква на
Според условите на проблемот 
Каде к
Одвојувајќи ги променливите во последната равенка и интегрирајќи ги, добиваме
каде 
За одредување Вго користиме почетниот услов: кога 
.
Потоа 
а со тоа и, 
Фактор на пропорционалност кутврдено од дополнителниот услов:
Ние имаме
Од тука 
и потребната формула
Проблем со стапката на репродукција на бактерии
Стапката на репродукција на бактерии е пропорционална на нивниот број. На почетокот имало 100 бактерии. Во рок од 3 часа нивниот број се удвоил. Најдете ја зависноста на бројот на бактерии на време. Колку пати ќе се зголеми бројот на бактерии во рок од 9 часа?
Решение.Нека x- број на бактерии во исто време т.Потоа, според условот, 
Каде к- коефициент на пропорционалност.
Од тука 
Од состојбата се знае дека 
. Средства,
Од дополнителната состојба 
. Потоа
Функцијата што ја барате: 
Значи, кога т= 9 x= 800, односно во рок од 9 часа бројот на бактерии се зголемил 8 пати.
Проблемот со зголемување на количината на ензимот
Во културата на пивски квасец, стапката на раст на активниот ензим е пропорционална на неговата почетна количина x.Почетна количина на ензим адвојно се зголеми за еден час. Најдете зависност
x(t).
Решение.По услов, диференцијалната равенка на процесот ја има формата 
од тука
Но 
. Средства, В= аи потоа 
Познато е и дека 
Оттука,
6.3. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНИ РАВЕНКИ ОД ВТОР РЕД
6.3.1. Основни концепти
Дефиниција.Диференцијална равенка од втор редсе нарекува релација што ги поврзува независната променлива, саканата функција и нејзините први и втори изводи.
Во посебни случаи, x може да недостасува во равенката, наили y". Меѓутоа, равенката од втор ред мора нужно да содржи y." Во општиот случај, диференцијалната равенка од втор ред е напишана како:
или, ако е можно, во форма решена во однос на вториот дериват:
Како и во случај на равенка од прв ред, за равенка од втор ред може да има општи и посебни решенија. Општото решение е:
Наоѓање конкретно решение
под првични услови - дадена
броеви) се повикува Коши проблем.Геометриски, тоа значи дека треба да ја најдеме интегралната крива на= y (x),поминувајќи низ дадена точка 
и имајќи тангента во оваа точка која е
се усогласува со насоката на позитивната оска Володреден агол. д. 
(Сл. 6.1). Проблемот Коши има единствено решение ако десната страна на равенката (6.10), 
непрестајна
е дисконтинуирана и има континуирани парцијални изводи во однос на ух, ах"во некое соседство на почетната точка
Да се најдат константи 
вклучени во приватно решение, системот мора да се реши
Ориз. 6.1.Интегрална крива
