Dsr 14 фракциони рационални равенки. Рационални равенки

§ 1 Цели и дробни рационални равенки

Во оваа лекција ќе ги разгледаме концептите како што се рационална равенка, рационално изразување, целосен израз, фракционо изразување. Ајде да размислиме за решавање на рационални равенки.

Рационална равенка е равенка во која левата и десната страна се рационални изрази.

Рационалните изрази се:

Дробно.

Целобројниот израз е составен од броеви, променливи, целобројни моќи користејќи ги операциите собирање, одземање, множење и делење со број различен од нула.

На пример:

ВО фракциони изразиима поделба со променлива или израз со променлива. На пример:

Дробниот израз нема смисла за сите вредности на променливите вклучени во него. На пример, изразот

при x = -9 нема смисла, бидејќи при x = -9 именителот оди на нула.

Ова значи дека рационалната равенка може да биде цел број или фракционо.

Цела рационална равенка е рационална равенка во која левата и десната страна се цели изрази.

На пример:

Дробна рационална равенка е рационална равенка во која или левата или десната страна се фракциони изрази.

На пример:

§ 2 Решение на цела рационална равенка

Да го разгледаме решението на цела рационална равенка.

На пример:

Помножете ги двете страни на равенката со најмалата заеднички именителименители на дропките вклучени во него.

За ова:

1. најдете заеднички именител за именители 2, 3, 6. Тој е еднаков на 6;

2. најдете дополнителен фактор за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го заедничкиот именител 6 со секој именител

дополнителен фактор за дропка

3. множете ги броителите на дропките со нивните соодветни дополнителни множители. Така, ја добиваме равенката

што е еквивалентно на дадената равенка

Ајде да ги отвориме заградите лево, да го поместиме десниот дел налево, менувајќи го знакот на терминот кога се пренесува на спротивниот.

Да донесеме слични членови на полиномот и да добиеме

Гледаме дека равенката е линеарна.

Откако го решивме, наоѓаме дека x = 0,5.

§ 3 Решение на дробна рационална равенка

Ајде да размислиме за решавање на фракциона рационална равенка.

На пример:

1. Помножете ги двете страни на равенката со најмал заеднички именител на именителот на рационалните дропки вклучени во неа.

Да го најдеме заедничкиот именител за именителот x + 7 и x - 1.

Тоа е еднакво на нивниот производ (x + 7) (x - 1).

2. Да најдеме дополнителен фактор за секоја рационална дропка.

За да го направите ова, поделете го заедничкиот именител (x + 7) (x - 1) со секој именител. Дополнителен фактор за дропки

еднакво на x - 1,

дополнителен фактор за дропка

е еднакво на x+7.

3. Помножете ги броителите на дропките со нивните соодветни дополнителни множители.

Ја добиваме равенката (2x - 1) (x - 1) = (3x + 4) (x + 7), што е еквивалентно на оваа равенка

4. Помножете го биномот со биномот лево и десно и добијте ја следната равенка

5. Ја поместуваме десната страна налево, менувајќи го знакот на секој поим при префрлање на спротивното:

6. Да претставиме слични членови на полиномот:

7. Двете страни може да се поделат со -1. Добиваме квадратна равенка:

8. Откако ќе го решиме, ќе ги најдеме корените

Бидејќи во равенка.

левата и десната страна се фракциони изрази, а во дропските изрази за некои вредности именител на променливаможе да оди на нула, тогаш потребно е да се провери дали заедничкиот именител не оди на нула кога се наоѓаат x1 и x2.

При x = -27, заедничкиот именител (x + 7) (x - 1) не исчезнува при x = -1, заедничкиот именител исто така не исчезнува еднаква на нула.

Според тоа, двата корени -27 и -1 се корени на равенката.

Кога решавате фракциона рационална равенка, подобро е веднаш да се наведе опсегот на прифатливи вредности. Елиминирајте ги оние вредности на кои заедничкиот именител оди на нула.

Да разгледаме уште еден пример за решавање на фракциона рационална равенка.

На пример, да ја решиме равенката

Го факторизираме именителот на дропката од десната страна на равенката

Ја добиваме равенката

Да го најдеме заедничкиот именител за именителот (x - 5), x, x(x - 5).

Тоа ќе биде изразот x(x - 5).

Сега да го најдеме опсегот на прифатливи вредности на равенката

За да го направите ова, го изедначуваме заедничкиот именител на нула x(x - 5) = 0.

Добиваме равенка, решавајќи ја наоѓаме дека при x = 0 или на x = 5 заедничкиот именител оди на нула.

Ова значи дека x = 0 или x = 5 не можат да бидат корени на нашата равенка.

Сега може да се најдат дополнителни множители.

Дополнителен фактор за рационални дропки

дополнителен фактор за дропката

ќе биде (x - 5),

и дополнителниот фактор на дропката

Броителите ги множиме со соодветните дополнителни фактори.

Ја добиваме равенката x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Ајде да ги отвориме заградите лево и десно, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Ајде да ги преместиме поимите од десно налево, менувајќи го знакот на пренесените термини:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

И откако ќе донесеме слични поими, добиваме квадратна равенка x2 - 3x - 10 = 0. Откако ќе ја решиме, ги наоѓаме корените x1 = -2; x2 = 5.

Но, веќе дознавме дека на x = 5 заедничкиот именител x(x - 5) оди на нула. Затоа, коренот на нашата равенка

ќе биде x = -2.

§ 4 Кратко резимелекција

Важно е да се запамети:

Кога решавате фракциони рационални равенки, постапете на следниов начин:

1. Најдете го заедничкиот именител на дропките вклучени во равенката. Дополнително, ако именителот на дропките може да се множат, тогаш пресметајте ги и потоа пронајдете го заедничкиот именител.

2.Помножете ги двете страни на равенката со заеднички именител: најдете дополнителни фактори, множете ги броителите со дополнителни фактори.

3. Решете ја добиената цела равенка.

4. Отстранете ги од своите корени оние што прават да исчезне заедничкиот именител.

Список на користена литература:

Макаричев Ју.Н., Н.Г. Миндјук, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Уредено од Телјаковски С.А. Алгебра: учебник. за 8 одделение. општо образование институции. - М.: Образование, 2013 година.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 одделение: Во два дела. Дел 1: Учебник. за општо образование институции. - М.: Мнемозина.
Рурукин А.Н. Случувања засновани на лекциипо алгебра: 8 одделение - М.: ВАКО, 2010 г.
Алгебра 8 одделение: планови за часовиспоред учебникот на Ју.Н. Макаричева, Н.Г. Миндјук, К.И. Нешкова, С.Б. Суворова / Auth.-comp. Т.Л. Афанасјева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учител, 2005 г.

« Рационални равенкисо полиноми“ е една од најчестите теми во тестот Задачи за унифициран државен испитматематика. Поради оваа причина, тие вреди да се повторат Посебно внимание. Многу студенти се соочуваат со проблем да го пронајдат дискриминаторот, да ги префрлат индикаторите од десната страна на левата и да ја доведат равенката до заеднички именител, поради што слични задачипредизвикува потешкотии. Решавањето на рационални равенки во подготовката за обединетиот државен испит на нашата веб-страница ќе ви помогне брзо да се справите со проблемите од секаква сложеност и да го положите тестот со бои.

Изберете го едукативниот портал „Школково“ за успешно да се подготвите за Единствениот испит по математика!

Да ги знае правилата за пресметување непознати и лесно да ги добие точни резултати, користете ја нашата онлајн услуга. Порталот Школково е единствена платформа која содржи се што е потребно за подготовка Материјали за обединет државен испит. Нашите наставници систематизираа и презентираа сè во разбирлива форма. математички правила. Дополнително, ги покануваме учениците да се обидат да ги решат стандардните рационални равенки, чија основа постојано се ажурира и проширува.

За поефикасна подготовка за тестирање, препорачуваме да го следите нашиот посебен метод и да започнете со повторување на правилата и решенијата едноставни задачи, постепено преминувајќи кон посложени. Така матурантот најмногу ќе може да истакне за себе тешки темии фокусирајте се на нивното проучување.

Почнете да се подготвувате за финално тестирањесо Школково денес, а резултатот нема долго да се чека! Изберете најмногу лесен примерод предложените. Ако брзо го совладавте изразот, преминете на повеќе тешка задача. На овој начин можете да го подобрите вашето знаење до точка на решавање на задачите на КОРИСТЕЊЕ во математиката на специјализирано ниво.

Обуката е достапна не само за дипломирани студенти од Москва, туку и за ученици од други градови. Поминете неколку часа дневно проучувајќи на нашиот портал, на пример, и многу наскоро ќе можете да се справите со равенки од секаква сложеност!

Цели на лекцијата:

Образовни:

формирање на концептот на дробни рационални равенки;
разгледајте различни начини за решавање на дробни рационални равенки;
разгледајте алгоритам за решавање на рационални равенки на дробни, вклучувајќи го условот дропот да е еднаков на нула;
учат решавање на дробни рационални равенки користејќи алгоритам;
проверка на степенот на владеење на темата со спроведување на тест.

Развојни:

развивање на способност за правилно работење со стекнатото знаење и логично размислување;
развој на интелектуални вештини и ментални операции- анализа, синтеза, споредба и синтеза;
развој на иницијатива, способност за донесување одлуки и не застанува тука;
развој критично размислување;
развој на истражувачки вештини.

Едукација:

воспитување когнитивен интересна предметот;
негување независност во одлучувањето образовни задачи;
негување волја и истрајност за постигнување конечни резултати.

Тип на лекција: час - објаснување на нов материјал.

За време на часовите

1. Организациски момент.

Здраво дечки! На таблата има напишани равенки, погледнете ги внимателно. Можете ли да ги решите сите овие равенки? Кои не се и зошто?

Равенките во кои левата и десната страна се дробни рационални изрази се нарекуваат дробни рационални равенки. Што мислите дека ќе учиме денес на час? Формулирајте ја темата на лекцијата. Значи, отворете ги тетратките и запишете ја темата на лекцијата „Решавање фракциони рационални равенки“.

2. Ажурирање на знаењето. Фронтална анкета, усна работасо класа.

И сега ќе го повториме главниот теоретски материјал што треба да го проучуваме нова тема. Ве молиме одговорете на следниве прашања:

Што е равенка? ( Еднаквост со променлива или променливи.)
Како се вика равенката број 1? ( Линеарна.) Решение линеарни равенки. (Пренесете сè со непознатото на лева странаравенки, сите броеви се на десната страна. Олово слични термини. Најдете непознат фактор).
Како се вика равенката број 3? ( Плоштад.) Методи за решавање на квадратни равенки. ( Избор полн квадрат, со формули, користејќи ја теоремата на Виета и нејзините последици.)
Што е пропорција? ( Еднаквост на два соодноси.) Главното својство на пропорцијата. ( Ако пропорцијата е точна, тогаш производот на неговите екстремни членови е еднаков на производот од средните членови.)
Кои својства се користат при решавање на равенки? ( 1. Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го неговиот знак, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената. 2. Ако двете страни на равенката се помножат или поделат со ист број што не е нула, се добива равенка еквивалентна на дадената.)
Кога дропка е еднаква на нула? ( Дропката е еднаква на нула кога броителот е нула, а именителот не е нула..)

3. Објаснување на нов материјал.

Решете ја равенката бр. 2 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 10.

Кои фракциона рационална равенкаМожете ли да се обидете да решите користејќи го основното својство на пропорција? (бр. 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете ја равенката бр.4 во вашите тетратки и на табла.

Одговори: 1,5.

Која фракциона рационална равенка можете да се обидете да ја решите со множење на двете страни на равенката со именителот? (бр. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Одговори: 3;4.

Сега обидете се да ја решите равенката број 7 користејќи еден од следниве методи.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5) (x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Одговори: 0;5;-2.			Одговори: 5;-2.

Објасни зошто се случи ова? Зошто во едниот случај има три корени, а во другиот два? Кои броеви се корените на оваа фракциона рационална равенка?

Досега, студентите не се сретнале со концептот на надворешен корен, навистина им е многу тешко да разберат зошто тоа се случило. Ако никој во класот не може да даде јасно објаснување за оваа ситуација, тогаш наставникот поставува водечки прашања.

Како равенките бр.2 и 4 се разликуваат од равенките бр.5,6,7? ( Во равенките бр. 2 и 4 има броеви во именителот, бр. 5-7 се изрази со променлива.)
Кој е коренот на равенката? ( Вредноста на променливата при која равенката станува вистинита.)
Како да дознаете дали бројот е коренот на равенката? ( Направете проверка.)

При тестирањето, некои ученици забележуваат дека треба да се делат со нула. Тие заклучуваат дека броевите 0 и 5 не се корени дадена равенка. Се поставува прашањето: дали постои начин да се решат фракционите рационални равенки што ни овозможува да ги елиминираме оваа грешка? Да, овој метод се заснова на условот фракцијата да е еднаква на нула.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогаш x(x-5)=0, што значи дека 5 е надворешен корен.

Ако x=-2, тогаш x(x-5)≠0.

Одговори: -2.

Ајде да се обидеме да формулираме алгоритам за решавање на фракционите рационални равенки на овој начин. Децата сами го формулираат алгоритмот.

Алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки:

Поместете сè на левата страна.
Намали ги дропките на заеднички именител.
Создадете систем: дропка е еднаква на нула кога броителот е еднаков на нула, а именителот не е еднаков на нула.
Решете ја равенката.
Проверете ја нееднаквоста за да ги исклучите надворешните корени.
Запишете го одговорот.

Дискусија: како да се формализира решението ако се користи основното својство на пропорција и множење на двете страни на равенката со заеднички именител. (Додади во решението: исклучи ги од своите корени оние што исчезнуваат заедничкиот именител).

4. Почетно разбирање на нов материјал.

Работа во парови. Учениците сами избираат како да ја решат равенката во зависност од видот на равенката. Задачи од учебникот „Алгебра 8“, Ју.Н. Макаричев, 2007: бр. 600(б, в, и); Бр. 601 (а, е, г). Наставникот го следи завршувањето на задачата, одговара на сите прашања што ќе се појават и им помага на учениците со слаби резултати. Самотестирање: одговорите се пишуваат на табла.

б) 2 – надворешен корен. Одговор: 3.

в) 2 – надворешен корен. Одговор: 1.5.

а) Одговор: -12.5.

е) Одговор: 1;1.5.

5. Поставување домашна задача.

Прочитајте го ставот 25 од учебникот, анализирајте ги примерите 1-3.
Научете алгоритам за решавање на фракциони рационални равенки.
Реши во тетратки бр.600 (а, г, е); Бр. 601 (g,h).
Обидете се да го решите бр. 696(а) (незадолжително).

6. Извршување на контролна задача на изучената тема.

Работата се врши на парчиња хартија.

Пример задача:

А) Кои од равенките се фракционо рационални?

Б) Дропката е еднаква на нула кога броителот е _____________________, а именителот _______________________.

П) Дали бројот -3 е коренот на равенката број 6?

Г) Решете ја равенката бр.7.

Критериуми за оценување на задачата:

„5“ се дава ако ученикот правилно завршил повеќе од 90% од задачата.
„4“ - 75%-89%
„3“ - 50%-74%
„2“ се дава на ученик кој завршил помалку од 50% од задачата.
Оценка од 2 не е дадена во списанието, 3 е изборна.

7. Рефлексија.

На независните работни листови запишете:

1 – ако лекцијата ви била интересна и разбирлива;
2 – интересно, но нејасно;
3 – не интересно, но разбирливо;
4 - не е интересно, не е јасно.

8. Сумирање на лекцијата.

Така, денес на лекцијата се запознавме со фракционите рационални равенки, научивме како да ги решаваме овие равенки различни начини, го тестираа своето знаење со помош на обука самостојна работа. Резултатите од вашата самостојна работа ќе ги научите на следниот час, а дома ќе имате можност да го консолидирате вашето знаење.

Кој метод за решавање на фракционите рационални равенки, според вас, е полесен, попристапен и порационален? Без оглед на методот за решавање на фракциони рационални равенки, што треба да запомните? Која е „итрината“ на фракционите рационални равенки?

Фала на сите, лекцијата заврши.

Веќе научивме да решаваме квадратни равенки. Сега да ги прошириме проучуваните методи на рационални равенки.

Што е рационален израз? Веќе се сретнавме со овој концепт. Рационални изразисе изрази составени од броеви, променливи, нивните моќи и симболи на математички операции.

Според тоа, рационалните равенки се равенки од формата: , каде - рационални изрази.

Претходно, ги разгледавме само оние рационални равенки што може да се сведат на линеарни. Сега да ги погледнеме оние рационални равенки кои можат да се сведуваат на квадратни равенки.

Пример 1

Решете ја равенката: .

Решение:

Дропката е еднаква на 0 ако и само ако нејзиниот броител е еднаков на 0, а неговиот именител не е еднаков на 0.

Го добиваме следниот систем:

Првата равенка на системот е квадратна равенка. Пред да го решиме, да ги поделиме сите негови коефициенти со 3. Добиваме:

Добиваме два корени: ; .

Бидејќи 2 никогаш не е еднакво на 0, мора да се исполнат два услови: . Бидејќи ниту еден од корените на равенката добиена погоре не се совпаѓа со неважечки вредностипроменливи кои се добиени со решавање на втората неравенка, и двете се решенија на оваа равенка.

Одговор:.

Значи, ајде да формулираме алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Поместете ги сите членови на левата страна така што десната страна ќе заврши со 0.

2. Трансформирајте и поедноставете ја левата страна, доведете ги сите дропки до заеднички именител.

3. Изедначете ја добиената дропка со 0 користејќи го следниот алгоритам: .

4. Запиши ги оние корени што се добиени во првата равенка и задоволи ја втората неравенка во одговорот.

Ајде да погледнеме друг пример.

Пример 2

Реши ја равенката: .

Решение

На самиот почеток, да ги преместиме сите термини во лева страна, така што 0 останува десно, добиваме:

Сега да ја доведеме левата страна на равенката до заеднички именител:

Оваа равенка е еквивалентна на системот:

Првата равенка на системот е квадратна равенка.

Коефициенти на оваа равенка: . Ја пресметуваме дискриминаторот:

Добиваме два корени: ; .

Сега да ја решиме втората неравенка: производот на факторите не е еднаков на 0 ако и само ако ниту еден од факторите не е еднаков на 0.

Мора да се исполнат два услови: . Откривме дека од двата корени на првата равенка, само еден е погоден - 3.

Одговор:.

Во оваа лекција се сетивме што е рационален израз, а научивме и како да решаваме рационални равенки, кои се сведуваат на квадратни равенки.

Во следната лекција ќе ги разгледаме рационалните равенки како модели на реални ситуации, а исто така ќе ги разгледаме и проблемите со движење.

Библиографија

Башмаков М.И. Алгебра, 8 одделение. - М.: Образование, 2004 година.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и други Алгебра, 8. 5-ти изд. - М.: Образование, 2010 година.
Николски С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 одделение. Упатство за образовните институции. - М.: Образование, 2006 година.

фестивал педагошки идеи "Јавна лекција" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашна работа

Презентација и лекција на тема: „Рационални равенки. Алгоритам и примери за решавање рационални равенки“

Дополнителни материјали
Почитувани корисници, не заборавајте да ги оставите вашите коментари, критики, желби! Сите материјали се проверени со антивирусна програма.

Едукативни помагала и симулатори во онлајн продавницата Integral за 8 одделение
Прирачник за учебникот од Макаричев Ју.Н. Прирачник за учебникот од Мордкович А.Г.

Вовед во ирационални равенки

Момци, научивме како да решаваме квадратни равенки. Но, математиката не е ограничена само на нив. Денес ќе научиме како да решаваме рационални равенки. Концептот на рационални равенки на многу начини е сличен на концептот рационални броеви. Само покрај бројките, сега воведовме и некоја променлива $x$. И така добиваме израз во кој се присутни операциите собирање, одземање, множење, делење и подигање до цел број.

Нека биде $r(x)$ рационално изразување. Таков израз може да биде едноставен полином во променливата $x$ или однос на полиноми (се воведува операција за делење, како за рационални броеви).
Се повикува равенката $r(x)=0$ рационална равенка.
Секоја равенка од формата $p(x)=q(x)$, каде што $p(x)$ и $q(x)$ се рационални изрази, исто така ќе биде рационална равенка.

Ајде да погледнеме примери за решавање на рационални равенки.

Пример 1.
Решете ја равенката: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Решение.
Да ги преместиме сите изрази на левата страна: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Кога би била претставена левата страна од равенката редовни броеви, тогаш би донеле две дропки на заеднички именител.
Ајде да го направиме ова: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Ја добивме равенката: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Дропката е еднаква на нула ако и само ако броителот на дропката е нула, а именителот не е нула. Потоа одделно го изедначуваме броителот на нула и ги наоѓаме корените на броителот.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Сега да го провериме именителот на дропката: $(x-3)*x≠0$.
Производот на два броја е еднаков на нула кога барем еден од овие броеви е еднаков на нула. Потоа: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корените добиени во броителот и именителот не се совпаѓаат. Значи во одговорот ги запишуваме двата корени на броителот.
Одговор: $x=1$ или $x=-3$.

Ако одеднаш еден од корените на броителот се совпадне со коренот на именителот, тогаш треба да се исклучи. Таквите корени се нарекуваат необични!

Алгоритам за решавање на рационални равенки:

1. Поместете ги сите изрази содржани во равенката на левата страна од знакот за еднаквост.
2. Претворете го овој дел од равенката во алгебарска дропка: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Изедначете го добиениот броител со нула, односно решете ја равенката $p(x)=0$.
4. Изедначете го именителот на нула и решете ја добиената равенка. Ако корените на именителот се совпаѓаат со корените на броителот, тогаш тие треба да бидат исклучени од одговорот.

Пример 2.
Решете ја равенката: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Решение.
Да решаваме според точките на алгоритмот.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)(x -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Изедначете го броителот на нула: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Изедначете го именителот на нула:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Еден од корените $x=1$ се совпаѓа со коренот на броителот, тогаш не го запишуваме во одговорот.
Одговор: $x=-1$.

Удобно е да се решаваат рационални равенки користејќи го методот на промена на променливите. Ајде да го демонстрираме ова.

Пример 3.
Решете ја равенката: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Да ја претставиме замената: $t=x^2$.
Тогаш нашата равенка ќе ја добие формата:
$t^2+12t-64=0$ - обична квадратна равенка.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 долари.
Да ја воведеме обратната замена: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корените на првата равенка се пар броеви $x=±2$. Втората работа е што нема корени.
Одговор: $x=±2$.

Пример 4.
Решете ја равенката: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Решение.
Да воведеме нова променлива: $t=x^2+x+1$.
Тогаш равенката ќе ја добие формата: $t=\frac(15)(t+2)$.
Следно ќе продолжиме според алгоритмот.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 долари.
4. $t≠-2$ - корените не се совпаѓаат.
Ајде да воведеме обратна замена.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Ајде да ја решиме секоја равенка посебно:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - не корени.
И втората равенка: $x^2+x-2=0$.
Корените на оваа равенка ќе бидат броевите $x=-2$ и $x=1$.
Одговор: $x=-2$ и $x=1$.

Пример 5.
Решете ја равенката: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Решение.
Да ја воведеме замената: $t=x+\frac(1)(x)$.
Потоа:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ или $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Ја добивме равенката: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корените на оваа равенка се парот:
$t=-3$ и $t=2$.
Ајде да ја воведеме обратната замена:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Ќе одлучиме посебно.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Да ја решиме втората равенка:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Коренот на оваа равенка е бројот $x=1$.
Одговор: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Проблеми кои треба да се решаваат самостојно

Решавање на равенки:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.