Формула за дополнителен (помошен) аргумент

Размислете за израз на формата

во кои броевите и не се еднакви на нула во исто време. Ајде да го помножиме и поделиме секој од членовите со и да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Лесно е да се провери тоа

што значи, според теорема 2, постои реален агол таков што

Така, користејќи ја синусната формула на збирот, добиваме

каде што аголот како и се нарекува формула за помошен аргумент и се користи при решавање на нехомогени линеарни равенки и неравенки.

Инверзни тригонометриски функции

Дефиниции

Досега го решивме проблемот со определување на тригонометриски функции на дадени агли. Но, што ако проблемот е спротивен: знаејќи која било тригонометриска функција, определи го соодветниот агол.

лаксин

Размислете за изразот каде е познат реален број. По дефиниција, синусот е ордината на точката на пресек на зракот што формира агол со оската на апсцисата и тригонометрискиот круг. Така, за да ја решите равенката, треба да ги пронајдете пресечните точки на права линија и тригонометриски круг.

Очигледно, во , правата линија и кругот немаат заеднички точки, и затоа равенката нема решенија. Односно, невозможно е да се најде агол чиј синус би бил поголем од 1 во апсолутна вредност.

Кога, права линија и круг имаат точки на пресек, на пример, и (види слика). Така, сите агли кои се разликуваат од нив со цел број на полни вртежи ќе имаат даден синус, т.е. , - бесконечен број на агли. Како да изберете еден агол меѓу оваа бесконечна разновидност?

За уникатно да се одреди аголот што одговара на бројот, неопходно е да се бара исполнување на дополнителен услов: овој агол мора да припаѓа на сегментот. Овој агол се нарекува лак на бројот. аголна тригонометриска функција идентитет

Арксинреален број е реален број чиј синус е еднаков на. Овој број е назначен.

лак косинус

Сега да разгледаме равенка на формата. За да се реши, потребно е да се најдат сите точки на тригонометрискиот круг што имаат апсциса, т.е. точки на вкрстување со права. Како и во претходниот случај, равенката што се разгледува нема решенија. И ако има точки на пресек на права линија и круг, што одговараат на бесконечен број агли, .

За уникатно да се одреди аголот што одговара на даден косинус, се воведува дополнителен услов: овој агол мора да припаѓа на сегментот; таквиот агол се нарекува лачен косинус на бројот.

лак косинусреален број е реален број чиј косинус е еднаков на. Овој број е назначен.

Арктангенс и аркотангенс

Да го погледнеме изразот. За да го решите, треба да ги најдете на кругот сите точки на пресек со права линија, чиј аголен коефициент е еднаков на тангентата на аголот на наклон на правата линија до позитивната насока на оската на апсцисата. Таквата права, за сите реални вредности, ја пресекува тригонометриската кружница во две точки. Овие точки се симетрични во однос на потеклото и одговараат на аглите, .

За недвосмислено да се одреди агол со дадена тангента, тој се избира од интервалот.

АрктангенсПроизволен реален број е реален број чија тангента е еднаква на. Овој број е назначен.

За одредување на тангентата на лакот на аголот, се користи слично размислување, со единствена разлика што се разгледува пресекот на круг со права линија и аголот се избира од интервалот.

АркотангентаПроизволен реален број е реален број чијашто котангента е еднаква на. Овој број е назначен.

Својства на инверзни тригонометриски функции

Домен и домен

Пар/непарен

Конвертирање на инверзни тригонометриски функции

За да се трансформираат изрази кои содржат инверзни тригонометриски функции, често се користат својствата што произлегуваат од дефиницијата на овие функции:

За секој реален број важи

и обратно:

Слично за секој реален број што го има

и обратно:

Графикони на тригонометриски и инверзни тригонометриски функции

Графикони на тригонометриски функции

Да почнеме со исцртување график на функција на отсечка. За да го направите ова, ќе ја користиме дефиницијата за синус на тригонометриски круг. Да го поделиме тригонометрискиот круг на (во овој случај 16) еднакви делови и да поставиме координатен систем во близина, каде што и отсечката на оската е поделена на еднакви делови. Со повлекување прави линии паралелни на оската низ точките на делење на кругот, на пресекот на овие прави со нормалните обновени од соодветните точки на делење на оската, добиваме точки чии координати, по дефиниција, се еднакви на синусите на соодветните агли. Цртајќи мазна крива низ овие точки, добиваме график на функцијата за. За да добиете график на функција на целата бројна права, користете ја периодичноста на синусот: , .

За да го добиеме графикот на функцијата, ќе ја користиме формулата за намалување. Така, графикот на функцијата се добива од графикот на функцијата со паралелно преведување налево по сегмент од должина.

Користењето графикони на тригонометриски функции обезбедува уште еден лесен начин за добивање формули за намалување. Ајде да погледнеме неколку примери.

Ајде да го поедноставиме изразот. На оската го означуваме аголот и ги означуваме неговите синус и косинус како и соодветно. Ајде да го најдеме аголот на оската и да го вратиме нормалното на пресекот со синусниот график. Од сликата е очигледно дека.

Задача: поедноставете го изразот.

Ајде да продолжиме со конструирање график на функцијата. Прво, запомнете дека за агол, тангентата е должината на отсечката АБ. По аналогија со конструирање на синусен график, делење на десниот полукруг на еднакви делови и исцртување на добиените тангентни вредности, го добиваме графикот прикажан на сликата. За други вредности, графикот се добива со користење на својството тангента периодичност, .

Испрегнатите линии на графикот претставуваат асимптоти. Асимптотакрива е права линија до која кривата се приближува колку што сакате кога се движи кон бесконечноста, но не ја пресекува.

За тангента, асимптотите се прави линии, чиј изглед е поврзан со конверзија на нула во овие точки.

Со слично расудување се добива график на функцијата. За него, асимптотите се прави линии,. Овој график може да се добие и со помош на формулата за редукција, т.е. трансформација на симетријата околу оската и поместување надесно.

Својства на тригонометриските функции

Графикони на инверзни тригонометриски функции

Прво го воведуваме концептот на инверзна функција.

Ако функцијата монотоно се зголемува или намалува, тогаш за неа постои инверзна функција. За да се конструира график на инверзната функција, графикот треба да биде подложен на трансформација на симетрија во однос на правата линија. На сликите е прикажан пример за добивање график на инверзната функција.

Бидејќи функциите на лак, аркозин, арктангент и лактангент се инверзи на синусните, косинусните, тангентите и котангентите функции, соодветно, нивните графикони се добиваат со трансформацијата опишана погоре. Графиконите на оригиналните функции на сликите се засенчени.

Од горенаведените слики, очигледна е една од главните својства на инверзните тригонометриски функции: збирот на кофункции од ист број дава.

Лема. Ако збирот на квадратите на два реални броеви е еднаков на еден, тогаш еден од овие броеви може да се смета како косинус, а другиот како синус на некој агол.

Со други зборови, ако А 2 + б 2 = 1 , тогаш има агол φ , така што

А = cos φ; б= грев φ.

Пред да ја докажеме оваа лема, да ја илустрираме со следниов пример:

$$ (\frac(\sqrt3)(2))^2 + (\frac(1)(2)) = \frac(3)(4) + \frac(1)(4) = 1 $$

Затоа постои агол φ , така што \(\frac(\sqrt3)(2) \) = cos φ ; 1/2 = грев φ .

Како φ во овој случај, можете да изберете кој било од аглите 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 360° итн.

Доказ за лемата:

Размислете за вектор \(\vec(0A)\)со координати ( а, б ). Затоа што А 2 + б 2 = 1 , должината на овој вектор е 1. Но, во овој случај неговите координати мора да бидат еднакви cos φ И sinφ, Каде φ - аголот што даден вектор го формира со оската на апсцисата.

Значи, А = cos φ; б=sinφ, што требаше да се докаже.

Докажаната лема ни овозможува да го трансформираме изразот агрев x + б cos xдо форма попогодна за студирање.

Прво, да го извадиме изразот \(\sqrt(a^2 + b^2)\) од загради

$$ a sinx + b cosx = \sqrt(a^2 + b^2)(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2))sinx + \frac(b)(\sqrt(a ^2 + b^2)) cosx) $$

Затоа што

$$ (\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 + (\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)))^2 = 1 $ $

првиот од броевите \(\frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) и \(\frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \) може да се смета како косинус на некој агол φ , а вториот - како синус од истиот агол φ :

$$ \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) = cos\phi, \;\; \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) = sin\phi $$

Но, во тој случај

агрев x + б cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\)(cos φ sin x + sin φ cos x) = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ )

агрев x + б cos x = \(\sqrt(a^2 + b^2)\) sin (x + φ), каде од условите се одредува аголот φ

$$ sin\phi = \frac(b)(\sqrt(a^2 + b^2)) \;\; cos\phi = \frac(a)(\sqrt(a^2 + b^2)) $$

Примери.

1) \(sin x + cos x = \sqrt2 (\frac(1)(\sqrt2) sin x + \frac(1)(\sqrt2)cos x) = \sqrt2 (cos\frac(\pi)(4 )sin x + sin\frac(\pi)(4)cos x) =\\= \sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4)) \)

Резултирачката формула грев x+cos x= \(\sqrt2(sinx + \frac(\pi)(4))\)корисно да се запамети.

2) Ако еден од броевите А И б позитивно, а другото негативно, потоа изразот
агрев x + б cos xПопогодно е да се претвори не во синус на збирот, туку во синус на разлика од два агли. Значи,

$$ 3sinx - 4cosx = \sqrt(9+16)(\frac(3)(\sqrt(9+16))sinx - \frac(4)(\sqrt(9+16))cosx) =\\= 5(sinx\cdot\frac(3)(5) - cosx\cdot\frac(4)(5)) = 5sin(x - \phi), $$

каде под φ можеме да значи секој агол што ги задоволува следните услови:

cos φ = 3/5, грев φ = 4 / 5

Конкретно, може да се стави φ = арктан 4/3 . Тогаш добиваме:

3 грев x - 4 cos x = 5 грев (x - арктан 4 / 3).

На часовите за алгебра, наставниците ни кажуваат дека постои мала (всушност, многу голема) класа на тригонометриски равенки кои не можат да се решат со стандардни методи - ниту преку разложување, ниту преку промена на променлива, ниту дури ни преку хомогени поими. Во овој случај, фундаментално различен пристап доаѓа во игра - методот на помошен агол.

Што е овој метод и како да се примени? Прво, да се потсетиме на формулите за синус на збир/разлика и косинус на збир/разлика:

\[\ почеток (порамни)& \sin \лево (\алфа \pm \бета \десно)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\ алфа \pm \бета \десно)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end (порамни)\]

Мислам дека овие формули ви се добро познати - од нив се изведени формулите со двојни аргументи, без кои нема апсолутно никаде во тригонометријата. Но, ајде сега да погледнеме во едноставна равенка:

Поделете ги двете страни со 5:

Забележете дека $((\left(\frac(3)(5) \десно))^(2))+((\left(\frac(4)(5) \десно))^(2))= 1 $, што значи дека сигурно има агол $\alpha $ за кој овие броеви се косинус и синус, соодветно. Затоа, нашата равенка ќе биде препишана на следниов начин:

\[\почеток(порамни)& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \лево(\алфа +x \десно)=1 \\\крај (порамни)\]

И ова веќе може лесно да се реши, по што останува само да откриеме на што е еднаков аголот $\alpha $. Како да дознаете, како и како да го изберете вистинскиот број за да ги поделиме двете страни на равенката (во овој едноставен пример, делиме со 5) - ќе зборуваме за ова во денешната видео лекција:

Денес ќе го анализираме решението на тригонометриските равенки, или, поточно, единствената техника наречена „метод на помошен агол“. Зошто овој метод? Едноставно затоа што во последните два-три дена кога им предавав ученици на кои им кажував за решавање тригонометриски равенки, а меѓу другото го испитувавме и методот на помошен агол и сите ученици како еден ја направија истата грешка. . Но, методот е генерално едноставен и, згора на тоа, тој е една од главните техники во тригонометријата. Затоа, многу тригонометриски проблеми воопшто не можат да се решат освен со методот на помошен агол.

Затоа, сега, прво, ќе разгледаме неколку едноставни задачи, а потоа ќе преминеме на посериозни задачи. Сепак, сите овие на еден или друг начин ќе бараат од нас да го користиме методот на помошен агол, чија суштина ќе ја кажам во првиот дизајн.

Решавање едноставни тригонометриски задачи

Пример #1

\[\cos 2x=\sqrt(3)\sin 2x-1\]

Ајде малку да го трансформираме нашиот израз:

\[\cos 2x-\sqrt(3)\sin 2x=-1\left| \left(-1 \десно) \десно.\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Како ќе го решиме? Стандардниот трик е да се решат $\sin 2x$ и $\cos 2x$ со помош на формулите со двоен агол, а потоа да се преработи единицата како $((\sin )^(2))x((\cos )^(2) )x$, се добива хомогена равенка, се намалува на тангенти и се решава. Сепак, ова е долга и мачна патека која бара голема количина на пресметки.

Ви предлагам да размислите за ова. Имаме $\sin$ и $\cos$. Да се ​​потсетиме на формулата за косинус и синус на збир и разлика:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \десно)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\алфа +\бета \десно)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\алфа -\бета \десно)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Да се ​​вратиме на нашиот пример. Ајде сè да сведеме на разликата. Но, прво, равенката треба малку да се трансформира. Ајде да го најдеме коефициентот:

$\sqrt(l)$ е истиот коефициент со кој е потребно да се поделат двете страни на равенката така што пред синусот и косинусот се појавуваат броеви кои самите се синуси и косинуси. Ајде да поделиме:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

Ајде да погледнеме што добивме лево: дали постојат $\sin $ и $\cos $ такви што $\cos \alpha =\frac(\sqrt(3))(2)$ и $\sin \alpha =\frac(1)(2)$? Очигледно постои: $\alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$. Затоа, можеме да го преработиме нашиот израз на следниов начин:

\[\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \sin 2x-\sin \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(6))\cdot \cos 2x=\frac(1)(2)\]

\[\ sin 2x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))-\cos 2x\cdot \sin \frac(\ text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\frac(1)(2)\]

Сега ја имаме формулата за синусот на разликата. Можеме да пишуваме вака:

\[\sin \left(2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(6)) \десно)=\frac(1)(2) \]

Овде ја имаме наједноставната класична тригонометриска конструкција. Да те потсетам:

Ова ќе го запишеме за нашиот конкретен израз:

\[\лево[ \begin(порамни)& 2x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(6)=2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(6))=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(\text( )\!\! \pi\!\!\text( ))(\text(6))+2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(порамни) \десно.\ ]

\[\лево[ \почеток(порамни)& 2x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\pi \!\!\text( )n \\& 2x=\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+2\text( )\!\!\pi\!\!\text ( )n \\\крај (порамни) \десно.\]

\[\лево[ \почеток(порамни)& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\& x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(2)+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n \\\end(порамни) \десно.\]

Нијанси на решението

Значи, што треба да направите ако наидете на сличен пример:

1. Изменете го дизајнот доколку е потребно.
2. Најдете го факторот за корекција, земете го коренот од него и поделете ги двете страни на примерот со него.
3. Ајде да видиме какви синусни и косинусни вредности добиваат броевите.
4. Ја прошируваме равенката користејќи ја синусната или косинусната разлика или формулите за збир.
5. Ја решаваме наједноставната тригонометриска равенка.

Во овој поглед, внимателните студенти веројатно ќе имаат две прашања.

Што не спречува да ги запишеме $\sin $ и $\cos $ во фазата на наоѓање на факторот за корекција? - Основниот тригонометриски идентитет не спречува. Факт е дека добиените $\sin $ и $\cos $, како и сите други со истиот аргумент, треба, кога ќе се квадрат, да дадат точно „еден“ вкупно. За време на процесот на одлучување, треба да бидете многу внимателни и да не го изгубите „2“ пред „Х“.

Методот на помошен агол е алатка која помага да се намали „грдата“ равенка на сосема соодветна и „убава“.

Пример бр. 2

\[\sqrt(3)\sin 2x+2((\sin )^(2))x-1=2\cos x\]

Гледаме дека имаме $((\sin )^(2))x$, па да ги искористиме пресметките за намалување на моќноста. Сепак, пред да ги искористиме, да ги извадиме. За да го направите ова, запомнете како да го пронајдете косинусот на двоен агол:

\[\cos 2x=((\cos)^(2))x-((\sin )^(2))x=2((\cos)^(2))x-1=1-2(( \sin )^(2))x\]

Ако напишеме $\cos 2x$ во третата опција, добиваме:

\[\cos 2x=1-2((\sin )^(2))x\]

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-((\cos)^(2))x)(x)\]

Ќе го напишам посебно:

\[((\sin )^(2))x=\frac(1-\cos 2x)(2)\]

Истото може да се направи за $((\cos )^(2))x$:

\[((\cos )^(2))x=\frac(1+\cos 2x)(2)\]

Ни требаат само првите пресметки. Да почнеме да работиме на задачата:

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+2\cdot \frac(1-\cos 2x)(2)-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt(3)\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Сега да ги искористиме пресметките на косинус на разликата. Но, прво, да ја пресметаме корекцијата на $l$:

Ајде да го преработиме земајќи го предвид овој факт:

\[\frac(\sqrt(3))(2)\cdot \sin 2x-\frac(1)(2)\cdot \cos 2x=\cos x\]

Во овој случај, можеме да напишеме дека $\frac(\sqrt(3))(2)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$, и $\frac(1)(2)=\cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)$. Ајде да препишеме:

\[\sin \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \sin 2x-\cos \frac(\text( )\! \!\pi\!\!\text( ))(\text(3))\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \десно)=\cos x\]

Ајде да додадеме „минус“ во заградата на паметен начин. За да го направите ова, забележете го следново:

\[\cos \left(\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(3))+2x \десно)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\text( )\!\!\pi\!\!\text( +)\frac(\text( )\!\!\pi\! \!\text( ))(\text(3))+2x \десно)=\]

\[=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+2x \десно)=\cos \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Да се ​​вратиме на нашиот израз и да запомниме дека во улога на $\varphi $ го имаме изразот $-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x $. Затоа, да напишеме:

\[-\left(-\cos \left(-\frac(2\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2x \десно) \десно)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3) \десно)=\cos x\]

За да го решите овој проблем, треба да го запомните ова:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\лево[ \почеток(порамни)& \алфа =\бета +2\текст( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\& \алфа =-\бета +2\текст ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(порамни) \десно.\]

Да го погледнеме нашиот пример:

\[\лево[ \почеток(порамни)& 2x-\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=x+2\text( )\!\ !\pi\!\!\text( )n \\& 2x-\frac(2\text()\!\!\pi\!\!\text( ))(3)=-x+2\text ( )\!\!\pi\!\!\text( )n \\\end(порамни) \десно.\]

Да ја пресметаме секоја од овие равенки:

И второто:

Ајде да го запишеме конечниот одговор:

\[\лево[ \почеток(порамни)& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(3)+2\text( )\!\!\ pi\!\!\text( )n \\& x=\frac(2\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(9)+\frac(2\text( ) \!\!\pi\!\!\текст( )n)(3) \\\крај (порамни) \десно.\]

Нијанси на решението

Всушност, овој израз може да се реши на многу различни начини, но методот на помошен агол е оптимален во овој случај. Дополнително, користејќи го овој дизајн како пример, би сакал да го привлечам вашето внимание на уште неколку интересни техники и факти:

• Формули за намалување на степени. Овие формули не треба да се запаметат, но треба да знаете како да ги изведете, за што ви кажав денес.
• Решавање равенки од формата $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Додавање на „нула“.

Но, тоа не е се. Досега, $\sin $ и $\cos $, кои ги изведувавме како дополнителен аргумент, верувавме дека мора да бидат позитивни. Затоа, сега ќе решаваме посложени проблеми.

Анализа на посложени проблеми

Пример #1

\[\sin 3x+4((\sin )^(3))x+4\cos x=5\]

Ајде да го трансформираме првиот термин:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\лево(1-\cos 2x \десно)\cточка \sin x\]

Сега да го замениме сето ова во нашата оригинална конструкција:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\име на оператор(cosx)-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \десно)+2\sin x+4\cos x=5\]

Да го претставиме нашиот амандман:

Запишуваме:

\[\frac(3)(5)\sin x+\frac(4)(5)\cos x=1\]

Нема $\alpha $ за кои $\sin $ или $\cos $ би биле еднакви на $\frac(3)(5)$ и $\frac(4)(5)$ во тригонометриската табела. Значи, да го напишеме вака и да го намалиме изразот на синусот на збирот:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \десно)=1\]

Ова е посебен случај, наједноставната тригонометриска конструкција:

Останува да се најде на што е еднакво $\varphi $. Ова е местото каде што многу студенти грешат. Факт е дека $\varphi $ подлежи на два барања:

\[\лево\( \почеток(порамни)& \cos \varphi =\frac(3)(5) \\& \sin \varphi =\frac(4)(5) \\\крај (порамни) \десно .\]

Ајде да нацртаме радар и да видиме каде се појавуваат такви вредности:

Враќајќи се на нашиот израз, го пишуваме следново:

Но, овој запис може малку да се оптимизира. Затоа што го знаеме следново:

\[\алфа:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(2)),\]

тогаш во нашиот случај можеме да го напишеме вака:

Пример бр. 2

Ова ќе бара уште подлабоко разбирање на техниките за решавање на стандардни проблеми без тригонометрија. Но, за да го решиме овој пример го користиме и методот на помошен агол.\[\]

Првото нешто што ви паѓа во очи е дека нема степени повисоки од првиот и затоа ништо не може да се прошири според формулите за разложување на степени. Користете обратни пресметки:

Зошто издвоив 5 долари. Погледнете тука:

Можеме да ја напишеме единицата според основниот тригонометриски идентитет како $((\sin )^(2))x+((\cos )^(2))x$:

Што ни дава таков рекорд? Факт е дека првата заграда содржи точен квадрат. Ајде да го срушиме и да добиеме:

Предлагам да се воведе нова променлива:

\[\sin x+\cos x=t\]

Во овој случај ќе го добиеме изразот:

\[((t)_(1))=\frac(5+1)(4)=\frac(3)(2)\]

\[((t)_(2))=\frac(5-1)(4)=1\]

Вкупно добиваме:

\[\лево[ \почеток(порамни)& \sin x+\cos x=\frac(3)(2) \\& \sin x+\cos x=1 \\\крај (порамни) \десно.\]

Се разбира, упатените студенти сега ќе кажат дека ваквите конструкции лесно се решаваат со нивно сведување на хомогена структура. Сепак, секоја равенка ќе ја решиме користејќи го методот на помошен агол. За да го направите ова, прво ја пресметуваме исправката $l$:

\[\sqrt(l)=\sqrt(2)\]

Ајде да поделиме сè со $\sqrt(2)$:

\[\лево[ \почеток(порамни)& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(3)(2\ sqrt(2)) \\& \frac(\sqrt(2))(2)\sin x+\frac(\sqrt(2))(2)\cos x=\frac(\sqrt(2))(2 ) \\\крај (порамни) \десно.\]

Ајде да намалиме сè на $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\sin x\sin \frac(\text( )\!\ !\pi\!\!\text( ))(\text(4))\]

\[\лево[ \почеток(порамни)& \cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4)) \десно) =\frac(3)(2\sqrt(2)) \\& \cos \left(x-\frac(\text()\!\!\pi\!\!\text())(4) \ десно)=\frac(\sqrt(2))(2) \\\крај (порамни) \десно.\]

Ајде да погледнеме во секој од овие изрази.

Првата равенка нема корени, а за докажување на овој факт ќе ни помогне ирационалноста во именителот. Да го забележиме следново:

\[\sqrt(2)<1,5\]

\[\frac(3)(2\sqrt(2))>\frac(3)(3\cdot 1.5)=\frac(3)(3)=1\]

Севкупно, јасно докажавме дека е потребно $\cos \left(x-\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4) \right)$ да биде еднаков на бројот кој е поголем од „еден“ и затоа оваа конструкција нема корени.

Ајде да се справиме со второто:

Ајде да ја решиме оваа конструкција:

Во принцип, можете да го оставите одговорот вака или да го запишете:

Важни точки

Како заклучок, би сакал уште еднаш да го свртам вашето внимание на работа со „грди“ аргументи, т.е. кога $\sin $ и $\cos $ не се вредности на табелата. Проблемот е што ако кажеме дека во нашата равенка $\frac(3)(5)$ е $\cos $ и $\frac(4)(5)$ е $\sin $, тогаш на крајот, откако ние одлучуваме за дизајнот, треба да ги земеме предвид и двете овие барања. Добиваме систем од две равенки. Ако ова не го земеме предвид, ќе ја добиеме следната ситуација. Во овој случај, ќе добиеме два поени и на местото на $\varphi $ ќе имаме два броја: $\arcsin \frac(4)(5)$ и $-\arcsin \frac(4)(5)$, но ова последново никако не сме задоволни. Истото ќе се случи и со точката $\frac(3)(5)$.

Овој проблем се јавува само кога зборуваме за „грди“ аргументи. Кога имаме вредности на табелата, нема ништо слично.

Се надевам дека денешната лекција ви помогна да разберете што е методот на помошен агол и како да го примените на примери со различни нивоа на сложеност. Но, ова не е единствената лекција посветена на решавање проблеми со помош на методот на помошен агол. Затоа останете во тек!

Тема на лекцијата:Метод за воведување помошен агол при решавање на тригонометриски равенки.

Ажурирање.

Наставник.

Момчиња! Се запознавме со различни видови тригонометриски равенки и научивме како да ги решиме. Денес ќе ги генерализираме знаењата за методите за решавање на тригонометриски равенки од различни типови. За да го направите ова, ве замолувам да работите на класификација на равенките што ви се предложени (види равенки бр. 1-10 во Додаток - на крајот од апстрактот во форма на PDF)

Пополнете ја табелата: наведете го типот на равенката, методот за нејзино решавање и поврзете ги броевите на равенките со типот на кој припаѓаат.

Студенти.Пополнете ја табелата.

Вид на равенка	Метод на решение	Равенки
Протозои	Корени формули	№1
Може да се сведе на квадрат	Метод за замена на променлива	№2,3
Комплексен тригонометриски приказ	Поедноставување на позната форма користејќи формули за тригонометрија	№4,5
Хомоген прв степен	Поделете ја равенката член по член со косинус на променлива	№6
Хомоген втор степен	Поделете ја равенката член по член со квадратот на косинусот на променливата	№7

Проблематизација.

При пополнување на табелата, учениците се соочуваат со проблем. Тие не можат да го одредат видот и начинот на решавање на три равенки: бр.8,9,10.

Наставник.Дали успеавте да ги класифицирате сите равенки според нивната форма и метод на решавање?

Одговор на ученикот.Не, три равенки не можеа да се стават во табелата.

Наставник.Зошто?

Одговор на ученикот.Тие не се слични на познатите видови. Методот на решение е нејасен.

Поставување на цел.

Наставник.Како тогаш ја формулираме целта на нашата лекција?

Учениците одговараат. Одреди го откриениот нов тип равенки и најде метод за нивно решавање.

Наставник. Дали е можно да се формулира темата на часот ако не го знаеме видот на откриените равенки и начинот на нивно решавање?

Одговор на ученикот. Не, но можеме да го направиме ова подоцна, кога ќе сфатиме со што имаме работа.

Планирање на активности.

Наставник.Да ги планираме нашите активности. Обично го одредуваме типот и потоа бараме метод за решавање на тригонометриски равенки. Во нашата сегашна ситуација, дали е можно да се даде конкретно име на видот на откриените равенки? И воопшто, дали припаѓаат на ист вид?

Одговор на ученикот.Тешко е да се направи.

Наставник.Потоа размислете, можеби тие имаат нешто заедничко или се слични на некој тип?

Одговор на ученикот.Левата страна на овие равенки е иста како онаа на хомогените равенки, но нивната десна страна не е еднаква на нула. Ова значи дека делењето со косинус само ќе го комплицира решението.

Наставник.Можеби да започнеме со наоѓање метод на решение, а потоа да го одредиме типот на равенката? Која од 3-те равенки ви изгледа наједноставна?

Учениците одговараат, но нема консензус. Можеби некој ќе погоди дека коефициентите во равенката бр. 8 треба да се изразат како синус и косинус на аголот на табелата. И тогаш класата ќе ја одреди равенката што може прво да се реши. Ако не, тогаш наставникот предлага да се разгледа дополнителна равенка (види равенка бр. 11 во Додаток - на крајот од резимето во форма на PDF). Во него коефициентите се еднакви на синусот и косинусот на познат агол, а учениците треба да го забележат тоа.

Наставникот предлага редослед на точки на активност. ( Види равенки во Додаток - во PDF форма, на крајот од резимето).

1. Решете ја првата равенка (№11), заменување на коефициентите со вредностите на синус и косинус од познат агол и примена на синусот на формулата за сума.
2. Обидете се да ги претворите другите равенки во форма на првата и применете го истиот метод. ( види ја равенката бр. 8,9, 12)
3. Генерализирајте го и проширете го методот до сите коефициенти и конструирајте општ алгоритам на дејства (види равенка бр. 10).
4. Примени го методот за решавање на други равенки од ист тип. (види равенки бр. 12,13, 14).

Спроведување на планот.

Наставник. Па, направивме план. Да почнеме да го спроведуваме.

На табла ученикот ја решава равенката бр.11.

Вториот ученик ја решава следната равенка бр. 8, откако претходно ја подели со константен број и со тоа ја сведе ситуацијата на веќе пронајденото решение.

Наставникот предлага самостојно решавање на равенките бр.9 и 12. Ја проверува исправноста на трансформациите и повеќе решенија.

Наставник.Дечки, како да го наречеме аголот што се појавува наместо коефициентите на равенката и ни помага да дојдеме до решение?

Одговор на ученикот.Дополнителни. (Опција: помошна).

Наставник.Не е секогаш лесно да се избере таков помошен агол. Дали е можно да се најде ако коефициентите не се синус и косинус на познатите агли? Каков идентитет треба да задоволат таквите коефициенти ако сакаме да ги претставиме како синус и косинус на помошниот агол?

Одговори.Основен тригонометриски идентитет.

Наставник.Добро сторено! Во право! Тоа значи дека нашата задача е да добиеме такви коефициенти што збирот на нивните квадрати е еднаков на еден! Обидете се да дојдете до број со кој ќе ја поделите равенката така што условот што го наведовме да биде исполнет.

Учениците размислуваат и можеби предлагаат сè да се подели со квадратниот корен од збирот на квадратите на коефициентите на равенката. Ако не, тогаш наставникот ги води до оваа идеја.

Наставник.Треба само да избереме кој од новите коефициенти да го означиме со синус на помошниот агол, а кој со косинус. Постојат две опции. Изборот зависи од преминот кон наједноставната равенка со синус или косинус.

СтудентиТие нудат решение, а наставникот го комплетира, внимавајќи на формата на запишување на резонирањето и одговорот. Решете ја равенката број 10.

Наставник. Дали откривме метод за решавање на нов тип равенки? Како да го наречеме овој тип?

Одговори.Работевме со пребарување на помошен агол. Можеби равенките треба да се наречат равенки што може да се решат со помош на помошни агли?

Наставник.Секако дека можеш. Можете ли да смислите формула за нивниот тип? Ова ќе биде пократко.

Одговори.Да. Равенки со коефициенти A, B и C.

Наставник.Ајде да го генерализираме методот за произволни коефициенти.

Наставникот дискутира и ги запишува на табла формулите за помошен агол синус и косинус за генерализирани коефициенти. Потоа со нивна помош ги решава равенките бр.13 и 14.

Наставник.Дали доволно добро го совладавме методот?

Одговори.бр. Неопходно е да се решат таквите равенки и да се консолидира способноста за користење на методот на помошен агол.

Наставник.Како ќе разбереме дека сме го совладале методот?

Одговори.Ако сами решиме неколку равенки.

Наставник.Да воспоставиме квалитативна скала за совладување на методот.

Запознајте ги карактеристиките на нивоата и поставете ги на скала што го одразува нивото на владеење во оваа вештина. Поврзете ги карактеристиките на нивоата и резултатот (од 0 до 3)

• Можам да решавам равенки со различни коефициенти
• Не можам да решавам равенки
• Можам да решавам сложени равенки
• Можам да решавам равенки со табеларни коефициенти

Наставник.(Откако учениците ќе одговорат) Значи, нашата скала за оценување е следна:

Користејќи го истиот принцип, ќе ја оцениме самостојната работа на темата во следната лекција.

Сега, ве молиме решете ги равенките бр. 1148 g, 1149 g, 1150 g и одреди го нивото на владеење на темата.

Не заборавајте да ги пополните записите во табелата и да ја именувате темата: „Воведување на помошен агол при решавање на тригонометриски равенки“.

Рефлексија на патот до постигнување на целта.

Наставник.Момци, дали ја постигнавме целта на лекцијата?

Ученикот одговара. Да, научивме да препознаваме нов тип равенки.

Најдовме метод за нивно решавање користејќи помошен агол.

Научивме да го применуваме методот во пракса.

Наставник.Како постапивме? Како сфати што треба да направиме?

Одговори.Испитавме неколку посебни случаи на равенки со „препознатливи“ коефициенти и ја проширивме оваа логика на која било вредност на A, B и C.

Наставник.Ова е индуктивен начин на размислување: врз основа на неколку случаи, изведовме метод и го применивме во слични случаи.

Перспектива.Каде можеме да го примениме овој вид на размислување? (одговори на учениците)

Добра работа завршивте денес на час. Дома прочитајте го описот на методот на помошен агол во учебникот и решете ги бр.1148 (a, b, c), 1149 (a, b, c), 1150 (a, b, c). Се надевам дека во следната лекција сите ќе имате одлично време користејќи го овој метод за решавање на тригонометриски равенки.

Ви благодариме за вашата работа на час!