Теоремата на Виета (поточно, теоремата инверзна на теоремата на Виета) ви овозможува да го намалите времето за решавање на квадратни равенки. Вие само треба да знаете како да го користите. Како да научите да решавате квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета? Не е тешко ако размислите малку.
Сега ќе зборуваме само за решението на теоремата на Виета за намалената квадратна равенка. квадратна равенкае равенка во која a, односно коефициентот x², еднаков на еден. Исто така, можно е да се решат квадратни равенки кои не се дадени со помош на теоремата на Виета, но барем еден од корените не е цел број. Потешко е да се погодат.
Инверзната теорема на теоремата на Виета вели: ако броевите x1 и x2 се такви што
тогаш x1 и x2 се корените на квадратната равенка
При решавање на квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета, можни се само 4 опции. Ако се сеќавате на линијата на расудување, можете многу брзо да научите да наоѓате цели корени.
I. Ако q е позитивен број,
тоа значи дека корените x1 и x2 се броеви со ист знак (бидејќи само кога се множат броевите со идентични знациизлегува дека е позитивен број).
И.а. Ако -p е позитивен број, (соодветно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — позитивни бројки(бидејќи додадовме броеви со ист знак и добивме позитивен број).
И.б. Ако -p - негативен број, (соодветно, p>0), тогаш двата корени се негативни броеви (додадовме броеви со ист знак и добивме негативен број).
II. Ако q е негативен број,
тоа значи дека корените x1 и x2 имаат различни знаци (при множење на броеви, негативен број се добива само кога знаците на факторите се различни). Во овој случај, x1+x2 повеќе не е збир, туку разлика (на крајот на краиштата, кога се собираат броеви со различни знациго одземаме помалото од поголемото). Според тоа, x1+x2 покажува колку корените x1 и x2 се разликуваат, односно колку еден корен е поголем од другиот (во апсолутна вредност).
II.а. Ако -p е позитивен број, (односно, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.б. Ако -p е негативен број, (p>0), тогаш поголемиот (модуло) корен е негативен број.
Ајде да размислиме за решавање на квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета користејќи примери.
Решете ја дадената квадратна равенка користејќи ја теоремата на Виета:
Тука q=12>0, значи корените x1 и x2 се броеви со ист знак. Нивниот збир е -p=7>0, така што двата корени се позитивни броеви. Избираме цели броеви чиј производ е еднаков на 12. Тоа се 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Збирот е 7 за парот 3 и 4. Тоа значи дека 3 и 4 се корените на равенката.
ВО во овој пример q=16>0, што значи дека корените x1 и x2 се броеви со ист знак. Нивниот збир е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Еве q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогаш поголемиот број е позитивен. Значи, корените се 5 и -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Постојат голем број на врски во квадратните равенки. Главните се односите помеѓу корените и коефициентите. Исто така, во квадратните равенки има голем број на врски кои се дадени со теоремата на Виета.
Во оваа тема ќе ја претставиме самата теорема на Виета и нејзиниот доказ за квадратна равенка, теоремата инверзна на теоремата на Виета и ќе анализираме голем број примери за решавање проблеми. Во материјалот посебно внимание ќе посветиме на разгледувањето на формулите на Виета, кои ја дефинираат врската помеѓу вистинските корени на алгебарската равенка на степен nи неговите коефициенти.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Формулација и доказ на теоремата на Виета
Формула за корените на квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0од формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, каде што D = b 2 − 4 a c, воспоставува односи x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Ова е потврдено со теоремата на Виета.
Теорема 1
Во квадратна равенка a x 2 + b x + c = 0, Каде x 1И x 2– корени, збирот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите бИ а, кој е земен со спротивен знак, а производот на корените ќе биде еднаков на односот на коефициентите вИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Доказ 1
Ви ја нудиме следната шема за извршување на докажувањето: земете ја формулата на корените, составете го збирот и производот на корените на квадратната равенка и потоа трансформирајте ги добиените изрази за да бидете сигурни дека тие се еднакви -б аИ в асоодветно.
Да го направиме збирот на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Да ги доведеме дропките до заеднички именител - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Да ги отвориме заградите во броителот на добиената дропка и да претставиме слични поими: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Да ја намалиме дропката за: 2 - b a = - b a.
Така ја докажавме првата релација на теоремата на Виета, која се однесува на збирот на корените на квадратна равенка.
Сега да преминеме на втората врска.
За да го направите ова, треба да го составиме производот од корените на квадратната равенка: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Да се потсетиме на правилото за множење дропки и да го запишеме последниот производ на следниов начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Ајде да помножиме една заграда со заграда во броителот на дропката или да ја користиме формулата за разлика на квадрати за да го трансформираме овој производ побрзо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Да ја искористиме дефиницијата за квадратен корен за да го направиме следниот премин: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 a cодговара на дискриминантата на квадратна равенка, затоа, во дропка наместо во Дможе да се замени b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Да ги отвориме заградите, да додадеме слични поими и да добиеме: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го скратиме на 4 а, тогаш она што останува е c a . Така ја докажавме втората релација на теоремата на Виета за производот на корените.
Доказот за теоремата на Виета може да се напише во многу лаконска форма ако ги испуштиме објаснувањата:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Кога дискриминантата на квадратна равенка е еднаква на нула, равенката ќе има само еден корен. За да можеме да ја примениме теоремата на Виета на таква равенка, можеме да претпоставиме дека равенката, со дискриминанта еднаква на нула, има два идентични корени. Навистина, кога D=0коренот на квадратната равенка е: - b 2 · a, потоа x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и бидејќи D = 0, односно б 2 - 4 · a · c = 0, од каде b 2 = 4 · a · c, потоа b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Најчесто во пракса, теоремата на Виета се применува на намалената квадратна равенка на формата x 2 + p x + q = 0, каде водечкиот коефициент a е еднаков на 1. Во овој поглед, теоремата на Виета е формулирана специјално за равенки од овој тип. Ова не ја ограничува општоста поради фактот што секоја квадратна равенка може да се замени со еквивалентна равенка. За да го направите ова, треба да ги поделите двата негови делови со број различен од нула.
Да дадеме уште една формулација на теоремата на Виета.
Теорема 2
Збир на корени во дадената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе биде еднаков на коефициентот x, кој се зема со спротивен знак, производот на корените ќе биде еднаков на слободниот член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Теоремата е во спротивност со теоремата на Виета
Ако внимателно ја погледнете втората формулација на теоремата на Виета, можете да видите дека за корените x 1И x 2намалена квадратна равенка x 2 + p x + q = 0ќе важат следните релации: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Од овие релации x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следува дека x 1И x 2се корените на квадратната равенка x 2 + p x + q = 0. Така, доаѓаме до изјава која е обратна од теоремата на Виета.
Сега предлагаме да ја формализираме оваа изјава како теорема и да го спроведеме неговото докажување.
Теорема 3
Доколку бројките x 1И x 2се такви што x 1 + x 2 = − стрИ x 1 x 2 = q, Тоа x 1И x 2се корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0.
Доказ 2
Замена на шансите стрИ qна нивното изразување преку x 1И x 2ви овозможува да ја трансформирате равенката x 2 + p x + q = 0во еквивалент .
Ако го замениме бројот во добиената равенка x 1наместо x, тогаш ја добиваме еднаквоста x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ова е еднаквост за секој x 1И x 2се претвора во вистинска нумеричка еднаквост 0 = 0 , бидејќи x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Тоа значи дека x 1- корен на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Па што x 1е и коренот на еквивалентната равенка x 2 + p x + q = 0.
Замена во равенка x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0броеви x 2наместо x ни овозможува да добиеме еднаквост x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Оваа еднаквост може да се смета за вистинита, бидејќи x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Излегува дека x 2е коренот на равенката x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, па оттука и равенките x 2 + p x + q = 0.
Спротивното на теоремата на Виета е докажано.
Примери за користење на теоремата на Виета
Ајде сега да започнеме да ги анализираме најтипичните примери на темата. Да почнеме со анализа на проблемите кои бараат примена на теоремата инверзна на теоремата на Виета. Може да се користи за проверка на броеви произведени со пресметки за да се види дали тие се корени на дадена квадратна равенка. За да го направите ова, треба да го пресметате нивниот збир и разлика, а потоа да ја проверите валидноста на односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.
Исполнувањето на двете релации укажува дека бројките добиени при пресметките се корени на равенката. Ако видиме дека барем еден од условите не е исполнет, тогаш овие бројки не можат да бидат корени на квадратната равенка дадена во исказот на проблемот.
Пример 1
Кој од паровите броеви 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е пар корени на квадратна равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Решение
Да ги најдеме коефициентите на квадратната равенка 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Ова е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета, збирот на корените на квадратната равенка мора да биде еднаков на -б а, тоа е, 16 4 = 4 , а производот на корените мора да биде еднаков в а, тоа е, 9 4 .
Да ги провериме добиените броеви со пресметување на збирот и производот на броевите од три дадени парови и споредувајќи ги со добиените вредности.
Во првиот случај x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Оваа вредност е различна од 4, затоа, проверката не треба да се продолжи. Според теоремата обратна на теоремата на Виета, веднаш можеме да заклучиме дека првиот пар на броеви не се корените на оваа квадратна равенка.
Во вториот случај, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Гледаме дека првиот услов е исполнет. Но, вториот услов не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Вредноста што ја добивме е различна од 9 4 . Ова значи дека вториот пар на броеви не се корените на квадратната равенка.
Ајде да продолжиме да го разгледуваме третиот пар. Тука x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двата услови се исполнети, што значи x 1И x 2се корени на дадена квадратна равенка.
Одговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2
Можеме да ја искористиме и обратната страна на теоремата на Виета за да ги најдеме корените на квадратната равенка. Наједноставниот начин е да се изберат целобројни корени од дадените квадратни равенки со целобројни коефициенти. Може да се разгледаат и други опции. Но, ова може значително да ги комплицира пресметките.
За да избереме корени, го користиме фактот дека ако збирот на два броја е еднаков на вториот коефициент на квадратната равенка, земен со знакот минус, а производот од овие броеви е еднаков на слободниот член, тогаш овие броеви се корените на оваа квадратна равенка.
Пример 2
Како пример, ја користиме квадратната равенка x 2 − 5 x + 6 = 0. Броеви x 1И x 2може да бидат корените на оваа равенка ако се задоволени две еднаквости x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Ајде да ги избереме овие бројки. Ова се броевите 2 и 3, бидејќи 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Излегува дека 2 и 3 се корените на оваа квадратна равенка.
Спротивното на теоремата на Виета може да се користи за да се најде вториот корен кога првиот е познат или очигледен. За да го направите ова, можеме да ги користиме односите x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Пример 3
Размислете за квадратната равенка 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Неопходно е да се најдат корените на оваа равенка.
Решение
Првиот корен на равенката е 1, бидејќи збирот на коефициентите на оваа квадратна равенка е нула. Излегува дека x 1 = 1.
Сега да го најдеме вториот корен. За ова можете да ја користите врската x 1 x 2 = c a. Излегува дека 1 x 2 = − 3.512, каде x 2 = - 3.512.
Одговор:корените на квадратната равенка наведени во изјавата за проблемот 1 И - 3 512 .
Можно е да се изберат корени користејќи ја теоремата инверзна на теоремата на Виета само во едноставни случаи. Во други случаи, подобро е да се пребарува користејќи ја формулата за корените на квадратната равенка преку дискриминатор.
Благодарение на обратната страна на теоремата на Виета, можеме да конструираме и квадратни равенки користејќи ги постоечките корени x 1И x 2. За да го направите ова, треба да го пресметаме збирот на корените, што го дава коефициентот за xсо спротивен знак од дадената квадратна равенка, и производ од корените, кој го дава слободниот член.
Пример 4
Напиши квадратна равенка чии корени се броеви − 11 И 23 .
Решение
Да претпоставиме дека x 1 = − 11И x 2 = 23. Збирот и производот на овие броеви ќе бидат еднакви: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Ова значи дека вториот коефициент е 12, слободниот член − 253.
Ајде да направиме равенка: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Одговори: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Можеме да ја користиме теоремата на Виета за да ги решиме проблемите што ги вклучуваат знаците на корените на квадратните равенки. Врската помеѓу теоремата на Виета е поврзана со знаците на корените на намалената квадратна равенка x 2 + p x + q = 0на следниот начин:
- ако квадратната равенка има реални корени и ако членот за пресек qе позитивен број, тогаш овие корени ќе го имаат истиот знак „+“ или „-“;
- ако квадратната равенка има корени и ако членот за пресек qе негативен број, тогаш еден корен ќе биде „+“, а вториот „-“.
И двете од овие изјави се последица на формулата x 1 x 2 = qи правила за множење позитивни и негативни броеви, како и броеви со различни знаци.
Пример 5
Дали се корените на квадратна равенка x 2 − 64 x − 21 = 0позитивно?
Решение
Според теоремата на Виета, корените на оваа равенка не можат да бидат позитивни, бидејќи тие мора да ја задоволат еднаквоста x 1 x 2 = − 21. Ова е невозможно со позитивно x 1И x 2.
Одговор:Бр
Пример 6
На кои параметри вредности рквадратна равенка x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ќе има два вистински корени со различни знаци.
Решение
Да почнеме со наоѓање на чии вредности р, за што равенката ќе има два корени. Ајде да го најдеме дискриминаторот и да видиме што ртоа ќе потрае позитивни вредности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Вредност на изразување r 2 + 8позитивно за секој вистински р, според тоа, дискриминаторот ќе биде поголем од нула за секој реален р. Ова значи дека оригиналната квадратна равенка ќе има два корени за сите реални вредности на параметарот р.
Сега да видиме кога корените имаат различни знаци. Ова е можно ако нивниот производ е негативен. Според теоремата на Виета, производот од корените на намалената квадратна равенка е еднаков на слободниот член. Тоа значи дека точното решение ќе бидат тие вредности р, за кој слободниот член r − 1 е негативен. Да ја решиме линеарната неравенка r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Одговор:на р< 1 .
Формулите на Виета
Постојат голем број на формули кои се применливи за извршување на операции со корени и коефициенти на не само квадратни, туку и кубни и други видови равенки. Тие се нарекуваат формули на Виета.
За алгебарска равенка на степен nод формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се смета дека равенката има nвистински корени x 1 , x 2 , ... , x n, меѓу кои може да биде истото:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Дефиниција 1
Формулите на Виета ни помагаат да добиеме:
- теорема за разложување на полином на линеарни множители;
- определување на еднакви полиноми преку еднаквост на сите нивни соодветни коефициенти.
Така, полиномот a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и негово проширување во линеарни фактори од формата a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) се еднакви.
Ако ги отвориме заградите во последниот производ и ги изедначиме соодветните коефициенти, ги добиваме формулите Vieta. Земајќи n = 2, можеме да ја добиеме формулата на Виета за квадратната равенка: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Дефиниција 2
Формулата на Виета за кубната равенка:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Левата страна на формулата Виета ги содржи таканаречените елементарни симетрични полиноми.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Секоја целосна квадратна равенка секира 2 + bx + c = 0може да се донесе на ум x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, ако прво го поделите секој член со коефициентот a претходно x 2. И ако воведеме нови нотации (б/а) = стрИ (c/a) = q, тогаш ќе ја имаме равенката x 2 + px + q = 0, кој во математиката се нарекува дадена квадратна равенка.
Корени на намалената квадратна равенка и коефициенти стрИ qповрзани едни со други. Потврдено е Теорема на Виета, именувана по францускиот математичар Франсоа Виета, кој живеел на крајот на 16 век.
Теорема. Збир на корените на намалената квадратна равенка x 2 + px + q = 0еднаков на вториот коефициент стр, земен со спротивен знак, а производот од корените - до слободниот термин q.
Да ги напишеме овие релации во следнава форма:
Нека x 1И x 2различни корени на дадената равенка x 2 + px + q = 0. Според теоремата на Виета x 1 + x 2 = -стрИ x 1 x 2 = q.
За да го докажеме ова, да ги замениме секој од корените x 1 и x 2 во равенката. Добиваме две вистински еднаквости:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Да ја одземеме втората од првата еднаквост. Добиваме: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Ги прошируваме првите два члена користејќи ја формулата за разлика од квадрати:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
По услов, корените x 1 и x 2 се различни. Затоа, можеме да ја намалиме еднаквоста на (x 1 – x 2) ≠ 0 и да изразиме стр.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -стр.
Првата еднаквост е докажана.
За да ја докажеме втората еднаквост, ја заменуваме првата равенка
x 1 2 + px 1 + q = 0 наместо коефициентот p, еднаков број е (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Трансформирајќи ја левата страна на равенката, добиваме:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, што требаше да се докаже.
Теоремата на Виета е добра затоа што Дури и без да ги знаеме корените на квадратната равенка, можеме да го пресметаме нивниот збир и производ .
Теоремата на Виета помага да се одредат целобројните корени на дадена квадратна равенка. Но, за многу студенти ова предизвикува потешкотии поради фактот што не знаат јасен алгоритам на дејствување, особено ако корените на равенката имаат различни знаци.
Значи, горната квадратна равенка ја има формата x 2 + px + q = 0, каде што x 1 и x 2 се нејзините корени. Според теоремата на Виета, x 1 + x 2 = -p и x 1 · x 2 = q.
Може да се извлече следниов заклучок.
Ако на последниот член во равенката му претходи знак минус, тогаш корените x 1 и x 2 имаат различни знаци. Покрај тоа, знакот на помалиот корен се совпаѓа со знакот на вториот коефициент во равенката.
Врз основа на фактот дека кога се собираат броеви со различни знаци, нивните модули се одземаат, а на добиениот резултат му претходи знакот на поголемиот број во апсолутна вредност, треба да постапите на следниов начин:
- да ги определи факторите на бројот q така што нивната разлика е еднаква на бројот p;
- стави го знакот на вториот коефициент од равенката пред помалиот од добиените броеви; вториот корен ќе има спротивен знак.
Ајде да погледнеме неколку примери.
Пример 1.
Решете ја равенката x 2 – 2x – 15 = 0.
Решение.
Ајде да се обидеме да ја решиме оваа равенка користејќи ги правилата предложени погоре. Тогаш можеме со сигурност да кажеме дека оваа равенка ќе има два различни корени, бидејќи D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Сега, од сите фактори на бројот 15 (1 и 15, 3 и 5) ги избираме оние чија разлика е 2. Тоа ќе бидат броевите 3 и 5. Пред помалиот број ставаме знак минус, т.е. знак на вториот коефициент на равенката. Така, ги добиваме корените на равенката x 1 = -3 и x 2 = 5.
Одговори. x 1 = -3 и x 2 = 5.
Пример 2.
Решете ја равенката x 2 + 5x – 6 = 0.
Решение.
Ајде да провериме дали оваа равенка има корени. За да го направите ова, наоѓаме дискриминатор:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Равенката има два различни корени.
Можни фактори на бројот 6 се 2 и 3, 6 и 1. Разликата е 5 за парот 6 и 1. Во овој пример, коефициентот на вториот член има знак плус, така што помалиот број ќе има ист знак . Но, пред вториот број ќе има знак минус.
Одговор: x 1 = -6 и x 2 = 1.
Теоремата на Виета може да се напише и за целосна квадратна равенка. Значи, ако квадратната равенка секира 2 + bx + c = 0има корени x 1 и x 2, тогаш за нив важат еднаквостите
x 1 + x 2 = -(b/a)И x 1 x 2 = (c/a). Меѓутоа, примената на оваа теорема во целосна квадратна равенка е доста проблематична, бидејќи ако има корени, барем еден од нив е дробен број. И работата со избирање дропки е доста тешка. Но сепак има излез.
Размислете за целосната квадратна равенка ax 2 + bx + c = 0. Помножете ја нејзината лева и десна страна со коефициентот a. Равенката ќе има форма (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Сега да воведеме нова променлива, на пример t = ax.
Во овој случај, добиената равенка ќе се претвори во намалена квадратна равенка од формата t 2 + bt + ac = 0, чии корени t 1 и t 2 (ако ги има) може да се одредат со теоремата на Виета.
Во овој случај, корените на оригиналната квадратна равенка ќе бидат
x 1 = (t 1 / a) и x 2 = (t 2 / a).
Пример 3.
Решете ја равенката 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Решение.
Ајде да создадеме помошна равенка. Ајде да го помножиме секој член од равенката со 15:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Ние правиме замена t = 15x. Ние имаме:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Според теоремата на Виета, корените на оваа равенка ќе бидат t 1 = 5 и t 2 = 6.
Се враќаме на замена t = 15x:
5 = 15x или 6 = 15x. Значи x 1 = 5/15 и x 2 = 6/15. Намалуваме и го добиваме конечниот одговор: x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
Одговори. x 1 = 1/3 и x 2 = 2/5.
За да го совладаат решавањето квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета, студентите треба да вежбаат што е можно повеќе. Токму ова е тајната на успехот.
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.