Неравенки кои содржат тригонометриски функции, кога се решаваат, се сведуваат на наједноставните неравенки од формата cos(t)>a, sint(t)=a и слични. И веќе наједноставните неравенки се решени. Ајде да погледнеме разни примериначини за решавање едноставни тригонометриски неравенки.
Пример 1. Решете ја неравенката sin(t) > = -1/2.
Нацртајте единечен круг. Бидејќи sin(t) по дефиниција е координатата y, ја означуваме точката y = -1/2 на оската Oy. Ние повлекуваме права линија низ неа, паралелно со оскатаО. Каде што правата се вкрстува со графикот единица кругозначете ги точките Pt1 и Pt2. Потеклото на координатите со точките Pt1 и Pt2 го поврзуваме со два сегменти.
Решението за оваа неравенка ќе бидат сите точки од единечниот круг лоцирани над овие точки. Со други зборови, решението ќе биде лакот l.. Сега е неопходно да се наведат условите под кои произволна точкаќе припаѓа на лак l.
Pt1 лежи во десниот полукруг, неговата ордината е -1/2, потоа t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. За да ја опишете точката Pt1, можете да ја напишете следната формула:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Како резултат на тоа, ја добиваме следната неравенка за t:
Ги зачувуваме нееднаквостите. А бидејќи синусната функција е периодична, тоа значи дека решенијата ќе се повторуваат на секои 2*pi. Овој услов го додаваме на добиената неравенка за t и го запишуваме одговорот.
Одговор: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
Пример 2.Решавање на cos(t) нееднаквост<1/2.
Ајде да нацртаме единечен круг. Бидејќи, според дефиницијата, cos(t) е x координата, ја означуваме точката x = 1/2 на графикот на оската Ox.
Повлекуваме права линија низ оваа точка паралелна со оската Oy. На пресекот на правата линија со графикот на единечната кружница, означете ги точките Pt1 и Pt2. Потеклото на координатите со точките Pt1 и Pt2 го поврзуваме со два сегменти.
Решенија ќе бидат сите точки од единечната кружница кои припаѓаат на лакот l. Да ги најдеме точките t1 и t2.
t1 = arccos (1/2) = pi/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
Ја добивме неравенката за t: pi/3 Бидејќи косинус е периодична функција, решенијата ќе се повторуваат на секои 2*pi. Овој услов го додаваме на добиената неравенка за t и го запишуваме одговорот. Одговор: пи/3+2*пи*н Пример 3.Решавање на неравенка tg(t)< = 1. Периодот на тангента е еднаков на пи. Да најдеме решенија кои припаѓаат на интервалот (-pi/2;pi/2) десен полукруг. Следно, користејќи ја периодичноста на тангентата, ги запишуваме сите решенија на оваа неравенка. Ајде да нацртаме единична кружница и да означиме линија на тангенти на неа. Ако t е решение за неравенството, тогаш ординатата на точката T = tg(t) мора да биде помала или еднаква на 1. Множеството од такви точки ќе го сочинува зракот AT. Множеството точки Pt што ќе одговараат на точките на овој зрак е лакот l. Покрај тоа, точката P(-pi/2) не припаѓа на овој лак. Повеќето студенти не сакаат тригонометриски неравенки. Но залудно. Како што велеше еден лик, „Едноставно не знаете како да ги готвите“ Значи, како да „готвиме“ и со што да поднесеме нееднаквост со синус, ќе дознаеме во оваа статија. Ќе го решиме на наједноставен начин - користејќи го единечниот круг. Значи, пред сè, ни треба следниов алгоритам. Важно: гдаден алгоритам не функционираза неравенки од формата $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. Исто така, важно е да се забележат следните случаи, кои се многу попогодни за логично решавање без користење на горенаведениот алгоритам. Специјален случај 1.Решете ја нееднаквоста: $\sin(x)\leq 1.$ Поради фактот што опсегот на вредностите на тригонометриската функција $y=\sin(x)$ не е поголем од модулот $1$, тогаш левата страна на неравенката на било кој$x$ од доменот на дефиниција (и доменот на дефиниција на синусот се сите реални броеви) не е повеќе од $1$. И, според тоа, во одговорот пишуваме: $x \во R$. Последица: $\sin(x)\geq -1.$ Специјален случај 2.Решете ја нееднаквоста: $\sin(x)< 1.$ Применувајќи го резонирањето слично на специјалниот случај 1, откриваме дека левата страна на неравенката е помала од $1$ за сите $x \во R$, освен за точките што се решенија на равенката $\sin(x) = 1$. Решавајќи ја оваа равенка, ќе имаме: $x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$ И затоа, во одговорот пишуваме: $x \in R \назадната црта \лево\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\десно\)$. Последица:неравенството се решава слично $\sin(x) > -1.$ Пример 1:Решете ја нееднаквоста: $\sin(x) \geq \frac(1)(2).$ Така, решението ќе има форма: $x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\десно], \n \во Z.$ Пример 2:Решете ја нееднаквоста: $\sin(x)< -\frac{1}{2}$ Да ја означиме координатата $-\frac(1)(2)$ на синусната оска и да нацртаме права линија паралелна со косинусната оска и која минува низ оваа точка. Да ги означиме пресечните точки. Тие нема да бидат засенчени, бидејќи нееднаквоста е строга. Знакот за нееднаквост $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin(x)=-\frac(1)(2)$ $x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\десно))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$. Понатаму, под претпоставка $n=0$, ја наоѓаме првата пресечна точка: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Нашата област оди во негативна насока од првата точка, што значи дека поставивме $n$ еднакво на $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$. $x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\десно), \n \in Z.$ Пример 3:Решете ја нееднаквоста: $1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\десно)) \leq 0.$ Овој пример не може веднаш да се реши со користење на алгоритам. Прво треба да го трансформирате. Го правиме токму она што би го направиле со равенката, но не заборавајте за знакот. Со делење или множење со негативен број се менува! Значи, да го преместиме сето она што не содржи тригонометриска функција на десната страна. Добиваме: $ - 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\десно)) \leq -1.$ Ајде да ги поделиме левата и десната страна со $-2$ (не заборавајте за знакот!). Ќе имаме: $\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\десно)) \geq \frac(1)(2).$ Повторно имаме нееднаквост што не можеме да ја решиме со помош на алгоритам. Но, тука е доволно да ја смените променливата: $t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$ Добиваме тригонометриска неравенка што може да се реши со помош на алгоритмот: $\sin(t) \geq \frac(1)(2).$ Оваа неравенка беше решена во Пример 1, па да го позајмиме одговорот од таму: $t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\десно].$ Сепак, одлуката се уште не е завршена. Треба да се вратиме на оригиналната променлива. $(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\десно].$ Да го замислиме интервалот како систем: $\left\(\begin(низа)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end (низа) \десно.$ На левата страна на системот има израз ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), кој припаѓа на интервалот. Левата граница на интервалот е одговорна за првата нееднаквост, а десната граница е одговорна за втората. Згора на тоа, заградите играат важна улога: ако заградата е квадратна, тогаш нееднаквоста ќе биде опуштена, а ако е тркалезна, тогаш ќе биде строга. нашата задача е да добиеме $x$ лево во двете нееднаквости. Да го преместиме $\frac(\pi)(6)$ од левата страна на десната страна, добиваме: $\left\(\begin(низа)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end (низа) \десно.$ Со поедноставување, ќе имаме: $\left\(\begin(низа)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(низа) \десно.$ Помножувајќи ја левата и десната страна со 4$, добиваме: $\left\(\begin(низа)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end (низа) \десно. $ Составувајќи го системот во интервалот, го добиваме одговорот: $x \in \лево[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\десно], \n \во Z.$ Да го разгледаме решението на тригонометриските неравенки од формата tgx>a и tgx
За да решиме, потребен ни е цртеж на единица круг и. Радиусот на единечниот круг е еднаков на 1, затоа, исцртувајќи отсечки на линијата на тангенти чија должина е еднаква на радиусот, добиваме, соодветно, точки во кои тангентата е еднаква на 1, 2, 3, итн. и надолу - -1, -2, -3 и сл. На линијата тангента, вредностите на тангентите се поголеми од а одговараат на делот што се наоѓа над точката а. Засенчете го соодветниот зрак. Сега повлекуваме права линија низ точката О - почеток - и точка a на тангентата линија. Ја сече кружницата во точката арктан a. Според тоа, на кругот решението tgx неравенки>a одговара на лакот од точката арктан a до p/2. За да ги земеме предвид сите решенија (а има бесконечен број од нив, земајќи ја предвид периодичноста на тангентата), додаваме nn на секој крај од интервалот, каде што n е цел број (n припаѓа на Z). За да се реши неравенката tgx>a, сосема е доволен полукруг од -n/2 до n/2. Но, ако треба да најдете, на пример, решение за систем на неравенки со тангента и синус, тогаш ви треба целиот круг. Ако неравенството не е строга, во одговорот ја вклучуваме точката со арктан a (ја засенчуваме на сликата и ја запишуваме во одговорот со квадратна заграда). Точката n/2 никогаш не е вклучена во одговорот, бидејќи не е вклучена во областа на дефиниција на тангентата (точката е пробиена, заградата е тркалезна). За да ја решиме неравенката tgx>-a, резонираме на ист начин како и за неравенството tgx>a. Бидејќи arctg (-a)=-arctg a, ова е единствената разлика во одговорот.Алгоритам за решавање на неравенки со синус:
Ограничување на алгоритам
Посебни случаи при решавање на неравенки со синус
Примери за решавање на неравенки со помош на алгоритам.
Значи, решението за оваа нееднаквост ќе биде интервалот:
