Ќе ја започнеме нашата студија за тригонометријата со правоаголен триаголник. Ајде да дефинираме што се синус и косинус, како и тангента и котангента на остар агол. Ова се основите на тригонометријата.
Да ве потсетиме дека прав аголе агол еднаков на 90 степени. Со други зборови, половина свртен агол.
Остар агол- помалку од 90 степени.
Тап агол- поголема од 90 степени. Во однос на таков агол, „тап“ не е навреда, туку математички термин :-)
Ајде да нацртаме правоаголен триаголник. Правиот агол обично се означува со . Ве молиме имајте предвид дека страната спроти аголот е означена со истата буква, само мала. Така, се означува страната спротивна на аголот А.
Аголот се означува со соодветната грчка буква.
Хипотенузана правоаголен триаголник е страната спротивна на правиот агол.
Нозете- страни што лежат спроти акутни агли.
Ногата што лежи спроти аголот се нарекува спротивно(во однос на аголот). Другата нога, која лежи на една од страните на аголот, се нарекува соседните.
СинусОстриот агол во правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата:
Косинусотостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната нога до хипотенузата:
Тангентаостар агол во правоаголен триаголник - односот на спротивната страна со соседната:
Друга (еквивалентна) дефиниција: тангентата на остар агол е односот на синусот на аголот и неговиот косинус:
Котангенсостар агол во правоаголен триаголник - односот на соседната страна кон спротивната (или, што е исто, односот на косинус и синус):
Забележете ги основните односи за синус, косинус, тангента и котангента подолу. Тие ќе ни бидат корисни при решавање на проблеми.
Ајде да докажеме некои од нив.
Добро, дадовме дефиниции и запишавме формули. Но, зошто сè уште ни се потребни синус, косинус, тангента и котангента?
Ние го знаеме тоа збирот на аглите на кој било триаголник е еднаков на.
Ја знаеме врската помеѓу забавиправоаголен триаголник. Ова е Питагоровата теорема: .
Излегува дека знаејќи два агли во триаголник, можете да го најдете третиот. Знаејќи ги двете страни на правоаголен триаголник, можете да ја најдете третата. Тоа значи дека аглите имаат свој сооднос, а страните имаат свој. Но, што треба да направите ако во правоаголен триаголник знаете еден агол (освен правиот агол) и едната страна, но треба да ги најдете другите страни?
Ова е она што луѓето во минатото го сретнале кога правеле мапи на областа и ѕвезденото небо. На крајот на краиштата, не е секогаш можно директно да се измерат сите страни на триаголникот.
Синус, косинус и тангента - тие се нарекуваат и функции на тригонометриски агол- даде односи меѓу забавиИ аглитетријаголник. Знаејќи го аголот, можете да ги најдете сите негови тригонометриски функции користејќи специјални табели. И знаејќи ги синусите, косинусите и тангентите на аглите на триаголникот и една од неговите страни, можете да ги најдете останатите.
Ќе нацртаме и табела со вредностите на синус, косинус, тангента и котангента за „добри“ агли од до.
Забележете ги двете црвени цртички во табелата. При соодветни аголни вредности, тангента и котангента не постојат.
Ајде да погледнеме неколку тригонометриски проблеми од FIPI Task Bank.
1. Во триаголник, аголот е , . Најдете .
Проблемот е решен за четири секунди.
Затоа што , .
2. Во триаголник, аголот е , , . Најдете .
Ајде да го најдеме користејќи ја Питагоровата теорема.
Проблемот е решен.
Често во проблемите има триаголници со агли и или со агли и. Запомнете ги основните соодноси за нив напамет!
За триаголник со агли и кракот спроти аголот во е еднаков на половина од хипотенузата.
Триаголник со агли и е рамнокрак. Во него хипотенузата е пати поголема од ногата.
Разгледавме проблеми за решавање правоаголни триаголници - односно наоѓање непознати страни или агли. Но, тоа не е се! Има многу проблеми во Обединетиот државен испит по математика кои вклучуваат синус, косинус, тангента или котангента на надворешен агол на триаголник. Повеќе за ова во следната статија.
Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Цели на лекцијата:
- воведување на концептите на синус, косинус и тангента на остар агол на правоаголен триаголник;
- покаже како синус, косинус и тангента се користат при решавање на проблеми;
- развој на вештини за набљудување, споредување, анализа и извлекување заклучоци.
За време на часовите
Ажурирање на знаењето (идентификување на главниот проблем на лекцијата)
Спроведено во форма на фронтална анкета.
Наставник.На таблата гледате резиме од 6 проблеми< Рисунок 1>. Запомнете кои од овие проблеми веќе знаете како да ги решите? Решете ги овие проблеми. Формулирајте ги соодветните теореми.
Слика 1
Студенти:
Задача 1.Одговор: 5. Во правоаголен триаголник, кракот спроти аголот од 30° е еднаков на половина од хипотенузата.
Задача 2.Одговор: 41°. Збирот на внатрешните агли на триаголникот е 180°.
Задача 3.Одговор: 10. Квадратот на хипотенузата на правоаголен триаголник е еднаков на збирот на квадратите на катетите.
Проблеми 4-6не можеме да одлучиме.
Наставник.Зошто не можете да ги решите проблемите 4-6? Кое прашање се поставува?
Студенти.Не знаеме што се tgB, sinA, cosB.
Наставник. sinA, cosB, tanB се чита: „синус од аголот A“, „косинус од аголот B“ и „тангента на аголот B“. Денес ќе научиме што значи секој од овие изрази и ќе научиме како да решаваме проблеми како 4-6.
Воведување на нов материјал
Спроведено во форма на хеуристички разговор.
Наставник.Нацртајте правоаголни триаголници со катетите 3 и 4, 6 и 8. Означете ги ABC и A 1 B 1 C 1 така што B и B 1 се агли спротивни на катетите 4 и 8, а правите агли се C, C 1. Дали аглите B и B1 се еднакви? Зошто?
Студенти. Еднакви бидејќи триаголниците се слични. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) и аглите меѓу нив се правилни.<Рисунок 2>
Наставник. Равенства на кои други односи следуваат од сличноста на триаголниците ABC и A 1 B 1 C 1?
Студенти. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.
Наставник. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.
BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. Кракот AC е спротивен на аголот B, а кракот BC е во непосредна близина на овој агол. Наведете ги дефинициите за синус, косинус и тангента.
Студенти. Синус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со хипотенузата.
Косинус на остар агол на правоаголен триаголник е односот на соседната катета со хипотенузата.
Тангента на остар агол на правоаголен триаголник е односот на спротивната страна со соседната страна.
Наставник. Сами запишете ги синусот, косинусот и тангентата на аголот А (слајд 1). Добиените формули (1), (2), (3):
(1)
Така, научивме што се синус, косинус и тангента на остар агол на правоаголен триаголник. Во принцип, концептите на синус, косинус и тангента имаат долга историја. Со проучување на односот помеѓу страните и аглите на триаголникот, античките научници пронајдоа начини да ги пресметаат различните елементи на триаголникот. Ова знаење главно се користело за решавање на проблеми од практична астрономија, за одредување на недостапни растојанија.
Консолидација
Наставник. Да го решиме проблемот бр. 591 (а, б).
Задачата се прикажува на екранот (слајд 2). Задачата „а“ се решава на табла со целосно објаснување; „б“ – независно, проследено со меѓусебно проверување.
Најдете ги синусот, косинусот и тангентата на аглите A и B на триаголникот ABC со прав агол C, ако: а) BC = 8, AB = 17; б) BC = 21, AC = 20.
Решение. а) = . = , користејќи ја Питагоровата теорема наоѓаме AC = 15,
= ; б), користејќи ја Питагоровата теорема наоѓаме AB = 29, . . .Наставник.Сега да се вратиме на проблемите 4–6<Рисунок 1>. Ајде да разговараме што е познато во задачите 4-6 и што треба да се најде?
Задача 4.Што е познато? Што треба да најдете?
Студенти. BC = 7 и tan B = 3,5 се познати. Треба да го најдеме AC.
Наставник. Што е tg B?
Студенти. .
Наставник. Работиме со формулата. Формулата се состои од три компоненти. Именувајте ги. Кои компоненти се познати? Која компонента е непозната? Можете ли да го најдете? Најди го.
Студенти. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5
Наставник. Користејќи го овој пример, решете ги задачите 5 и 6<Рисунок 1>. 1 ученик работи на затворена табла
Наставник.
1. Кажи ми, дали успеа да ги најдеш бараните непознати?
2. Каков беше редоследот на вашите постапки?
3. Можеби има други решенија?
Студенти.1. Да. Лесно. Следејќи го примерот. Задача 5. Одговор: 10. Задача 6. Одговор: 2.5
2. Прво ги заменуваме синусите и косинусите на соодветните агли по дефиниција со соодветните односи, потоа познатите податоци ги ставаме во добиените пропорции, по што ги наоѓаме непознатите непознати.
Наставник. Каков општ заклучок може да се извлече по решавањето на задачите 4-6? Кои нови проблеми научивме да ги решаваме во правоаголен триаголник? Размислете и формулирајте го вашиот заклучок.
Студенти. Ако во правоаголен триаголник ја знаете едната страна и односот на таа страна со едната друга страна, или едната страна и односот на едната од другите страни кон познатата страна (синус, косинус или тангента), тогаш може да ја најде оваа втора страна.
Решавање на проблем.
Сега обидете се да ги решите овие проблеми 7–9<Рисунок 3>.
Слика 3
Студенти. Не знаеме како да ги решиме.
Наставник. Да се вратиме на проблемот 1<Рисунок 1>. Ајде да ја промениме состојбата на проблемот. Нека NK = 5, NM = 10. Најдете го аголот М.
Студенти.Аголот М е еднаков на 30°, бидејќи кракот спроти аголот М е еднаков на половина од хипотенузата.
Наставник. Тоа е, излегува дека ако синусот на аголот е 0,5, тогаш аголот е 30 °. Сега да ги решиме задачите бр. 592 (а, в, г)
бр.592. Конструирај агол а, ако: а) в) г) .
Решение.
а) На страните на правиот агол ќе поставиме отсечки со должина 1 и 2 и ќе ги поврземе краевите на отсечките. Во добиениот триаголник, аголот спроти кракот 1 е саканиот агол а;
в) 0,2 = . На едната страна од правиот агол од неговото теме оставаме отсечка со должина 1. Конструирај круг со радиус 5 со центарот на крајот од отпуштениот сегмент. Точката на пресек на кругот со втората страна од правиот агол е поврзана со крајот на сегментот поставен на првата страна од аголот. Во добиениот триаголник, аголот во непосредна близина на кракот со должина 1 е аголот а; (слајд 4)
д) На едната страна од правиот агол од неговото теме оставаме отсечка со должина 1. Конструирај круг со радиус 2 со центарот на крајот од отпуштениот сегмент. Точката на пресек на кругот со втората страна од правиот агол е поврзана со крајот на сегментот поставен на првата страна од аголот. Во добиениот триаголник, аголот спротивен на кракот со должина 1 е саканиот агол а.(слајд 5)
Ги изградивте аглите, што значи дека сте ги нашле аглите. Тие можат да се измерат и да се претстават во форма на табела.
Слично на тоа, можете да ги решите проблемите 7-9<Рисунок 3>
Сумирајќи
Наставник.Одговори на прашањата:
1. Кои се синусот, косинусот и тангентата на прав агол во правоаголен триаголник?
2. Во правоаголен триаголник има 6 елементи. Кои нови проблеми научивте да ги решавате денес? Кој е вашиот редослед на дејствување? Тестирајте ја вашата способност правилно да ги извршите овие дејства (Поединечните картички се дистрибуираат).
Приближна содржина на картите: 1. Во триаголникот ABC, аголот C е прав агол, BC = 2, Најдете AB. 2. Во триаголникот ABC, аголот C е права линија, AC = 8, . Најдете AB. 3. Во триаголникот ABC, аголот C е 90°, AC = 6, . Најдете го сонцето.
Учениците ја споредуваат својата работа со готови решенија на соодветните картички.
Домашни задачи:прашање 15 на страна 159; Бр. 591(c,d),592(b,d,f) (слајд 6)
Референци
- Геометрија. Одделение 7–9: учебник. за образовни организации / [Л.С. Атанасјан, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и други]. – 2-ри изд. – М.: Образование, 2014 година.
Тригонометријата е гранка на математичката наука која ги проучува тригонометриските функции и нивната употреба во геометријата. Развојот на тригонометријата започна во античка Грција. Во текот на средниот век, научниците од Блискиот Исток и Индија дадоа важен придонес во развојот на оваа наука.
Оваа статија е посветена на основните концепти и дефиниции за тригонометријата. Се дискутира за дефинициите на основните тригонометриски функции: синус, косинус, тангента и котангента. Нивното значење е објаснето и илустрирано во контекст на геометријата.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Првично, дефинициите на тригонометриските функции чиј аргумент е агол беа изразени во однос на односот на страните на правоаголен триаголник.
Дефиниции на тригонометриски функции
Синус на агол (sin α) е односот на кракот спроти овој агол со хипотенузата.
Косинусот на аголот (cos α) - односот на соседната нога до хипотенузата.
Аголна тангента (t g α) - односот на спротивната страна со соседната страна.
Агол котангенс (c t g α) - односот на соседната страна со спротивната страна.
Овие дефиниции се дадени за остриот агол на правоаголен триаголник!
Ајде да дадеме илустрација.
Во триаголникот ABC со прав агол C, синусот на аголот A е еднаков на односот на кракот BC и хипотенузата AB.
Дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на овие функции од познатите должини на страните на триаголникот.
Важно е да се запамети!
Опсегот на вредности на синус и косинус е од -1 до 1. Со други зборови, синусот и косинусот земаат вредности од -1 до 1. Опсегот на вредности на тангента и котангента е целата нумеричка линија. односно овие функции можат да добијат какви било вредности.
Дефинициите дадени погоре се однесуваат на акутните агли. Во тригонометријата се воведува концепт на агол на ротација чија вредност за разлика од остриот агол не е ограничена на 0 до 90 степени.Аголот на ротација во степени или радијани се изразува со кој било реален број од - ∞ до + ∞ .
Во овој контекст, можеме да дефинираме синус, косинус, тангента и котангента со агол со произволна големина. Дозволете ни да замислиме единечен круг со неговиот центар на почетокот на Декартовиот координатен систем.
Почетната точка А со координати (1, 0) се врти околу центарот на единечниот круг низ одреден агол α и оди до точката А 1. Дефиницијата е дадена во однос на координатите на точката A 1 (x, y).
Синус (грев) на аголот на ротација
Синус на аголот на ротација α е ординатата на точката A 1 (x, y). sin α = y
Косинусот (cos) на аголот на ротација
Косинусот на аголот на ротација α е апсциса на точката A 1 (x, y). cos α = x
Тангента (tg) на аголот на ротација
Тангентата на аголот на вртење α е односот на ординатата на точката A 1 (x, y) до нејзината апсциса. t g α = y x
Котангенс (ctg) на аголот на ротација
Котангенсот на аголот на ротација α е односот на апсцисата на точката A 1 (x, y) до нејзината ордината. c t g α = x y
Синус и косинус се дефинирани за секој агол на ротација. Ова е логично, бидејќи апсцисата и ординатата на точка по ротација може да се одредат под кој било агол. Поинаква е ситуацијата со тангентата и котангентата. Тангентата е недефинирана кога точка по ротација оди во точка со нулта апсциса (0, 1) и (0, - 1). Во такви случаи, изразот за тангента t g α = y x едноставно нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Слична е ситуацијата и со котангенсот. Разликата е во тоа што котангенсот не е дефиниран во случаи кога ординатата на точка оди на нула.
Важно е да се запамети!
Синус и косинус се дефинирани за сите агли α.
Тангентата е дефинирана за сите агли освен α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Котангенсот е дефиниран за сите агли освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Кога решавате практични примери, не кажувајте „синус на аголот на ротација α“. Зборовите „агол на ротација“ се едноставно изоставени, што значи дека веќе е јасно од контекстот што се дискутира.
Броеви
Што е со дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента на број, а не за аголот на ротација?
Синус, косинус, тангента, котангента на број
Синус, косинус, тангента и котангента на број те број што е соодветно еднаков на синус, косинус, тангента и котангента во традијан.
На пример, синусот на бројот 10 π е еднаков на синусот на аголот на ротација од 10 π rad.
Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Ајде да го разгледаме подетално.
Било кој реален број тточка на единечниот круг е поврзана со центарот на потеклото на правоаголниот Декартов координатен систем. Синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка.
Почетна точка на кругот е точката А со координати (1, 0).
Позитивен број т
Негативен број тодговара на точката до која ќе оди почетната точка ако се движи околу кругот спротивно од стрелките на часовникот и ја помине патеката т.
Сега кога е воспоставена врската помеѓу број и точка на круг, преминуваме на дефиницијата на синус, косинус, тангента и котангента.
Синус (грев) на т
Синус на број т- ордината на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. sin t = y
Косинусот (cos) на т
Косинусот на број т- апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот т. cos t = x
Тангента (tg) на т
Тангента на број т- односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот т. t g t = y x = грев t cos t
Најновите дефиниции се во согласност и не се во спротивност со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Точка на кругот што одговара на бројот т, се совпаѓа со точката до која оди почетната точка по вртење за агол традијан.
Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент
Секоја вредност на аголот α одговара на одредена вредност на синусот и косинусот на овој агол. Исто како и сите агли α освен α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) одговараат на одредена тангента вредност. Котангента, како што е наведено погоре, е дефинирана за сите α, освен α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Можеме да кажеме дека sin α, cos α, t g α, c t g α се функции на аголот алфа, или функции на аголниот аргумент.
Слично на тоа, можеме да зборуваме за синус, косинус, тангента и котангента како функции на нумерички аргумент. Секој реален број тодговара на одредена вредност на синусот или косинусот на некој број т. Сите броеви освен π 2 + π · k, k ∈ Z, одговараат на тангента вредност. Котангента, слично, е дефинирана за сите броеви освен π · k, k ∈ Z.
Основни функции на тригонометријата
Синус, косинус, тангента и котангента се основните тригонометриски функции.
Обично од контекстот е јасно со кој аргумент на тригонометриската функција (аголен аргумент или нумерички аргумент) имаме работа.
Да се вратиме на дефинициите дадени на самиот почеток и на алфа аголот, кој се наоѓа во опсег од 0 до 90 степени. Тригонометриските дефиниции за синус, косинус, тангента и котангенс се целосно конзистентни со геометриските дефиниции дадени со односот на страничниот агол на правоаголен триаголник. Ајде да го покажеме.
Да земеме единична кружница со центар во правоаголен Декартов координатен систем. Ајде да ја ротираме почетната точка A (1, 0) за агол до 90 степени и да нацртаме нормална на оската на апсцисата од добиената точка A 1 (x, y). Во добиениот правоаголен триаголник, аголот A 1 O H е еднаков на аголот на ротација α, должината на кракот O H е еднаква на апсцисата на точката A 1 (x, y). Должината на кракот спроти аголот е еднаква на ординатата на точката A 1 (x, y), а должината на хипотенузата е еднаква на еден, бидејќи е радиус на единечната кружница.
Во согласност со дефиницијата од геометријата, синусот на аголот α е еднаков на односот на спротивната страна со хипотенузата.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Ова значи дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник низ односот на аспект е еквивалентно на одредување на синусот на аголот на ротација α, при што алфата лежи во опсег од 0 до 90 степени.
Слично на тоа, кореспонденцијата на дефинициите може да се прикаже за косинус, тангента и котангента.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Во оваа статија ќе покажеме како да дадеме дефиниции за синус, косинус, тангента и котангента на агол и број во тригонометријата. Овде ќе зборуваме за нотации, ќе дадеме примери на записи и ќе дадеме графички илустрации. Како заклучок, да направиме паралела помеѓу дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента во тригонометријата и геометријата.
Навигација на страницата.
Дефиниција на синус, косинус, тангента и котангента
Ајде да видиме како идејата за синус, косинус, тангента и котангента се формира на училишниот курс по математика. Во лекциите по геометрија, дадена е дефиниција за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. А подоцна се изучува тригонометријата, која зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација и број. Да ги претставиме сите овие дефиниции, да дадеме примери и да ги дадеме потребните коментари.
Остар агол во правоаголен триаголник
Од курсот по геометрија ги знаеме дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник. Тие се дадени како однос на страните на правоаголен триаголник. Да ги дадеме нивните формулации.
Дефиниција.
Синус од остар агол во правоаголен триаголнике односот на спротивната страна со хипотенузата.
Дефиниција.
Косинусот на остар агол во правоаголен триаголнике односот на соседната нога со хипотенузата.
Дефиниција.
Тангента на остар агол во правоаголен триаголник– ова е односот на спротивната страна со соседната страна.
Дефиниција.
Котангенс на остар агол во правоаголен триаголник- ова е односот на соседната страна со спротивната страна.
Таму се воведени и ознаките за синус, косинус, тангента и котангента - sin, cos, tg и ctg, соодветно.
На пример, ако ABC е правоаголен триаголник со прав агол C, тогаш синусот на акутниот агол A е еднаков на односот на спротивната страна BC со хипотенузата AB, односно sin∠A=BC/AB.
Овие дефиниции ви овозможуваат да ги пресметате вредностите на синус, косинус, тангента и котангента на остар агол од познатите должини на страните на правоаголен триаголник, како и од познатите вредности на синус, косинус, тангента, котангента и должината на една од страните за да се најдат должините на другите страни. На пример, ако знаевме дека во правоаголен триаголник кракот AC е еднаков на 3, а хипотенузата AB е еднаква на 7, тогаш би можеле да ја пресметаме вредноста на косинусот на акутниот агол A по дефиниција: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Агол на ротација
Во тригонометријата, тие почнуваат да гледаат на аголот пошироко - тие го воведуваат концептот на агол на ротација. Големината на аголот на ротација, за разлика од остриот агол, не е ограничена на 0 до 90 степени; аголот на ротација во степени (и во радијани) може да се изрази со кој било реален број од -∞ до +∞.
Во оваа светлина, дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента се дадени не за остар агол, туку за агол со произволна големина - агол на ротација. Тие се дадени преку x и y координатите на точката A 1, до која оди таканаречената почетна точка A(1, 0) по нејзиното ротирање за агол α околу точката O - почеток на правоаголниот Декартов координатен систем. и центарот на единечниот круг.
Дефиниција.
Синус на агол на ротацијаα е ордината на точката A 1, односно sinα=y.
Дефиниција.
Косинусот на аголот на ротацијаα се нарекува апсциса на точката A 1, односно cosα=x.
Дефиниција.
Тангента на аголот на ротацијаα е односот на ординатата на точката A 1 со нејзината апсциса, односно tanα=y/x.
Дефиниција.
Котангенс на аголот на ротацијаα е односот на апсцисата на точката A 1 со нејзината ордината, односно ctgα=x/y.
Синус и косинус се дефинирани за секој агол α, бидејќи секогаш можеме да ја одредиме апсцисата и ординатата на точката, кои се добиваат со ротирање на почетната точка по агол α. Но тангента и котангента не се дефинирани за ниту еден агол. Тангентата не е дефинирана за аглите α на кои почетната точка оди до точка со нула апсциса (0, 1) или (0, −1), а тоа се случува при агли 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Навистина, при такви агли на ротација, изразот tgα=y/x нема смисла, бидејќи содржи делење со нула. Што се однесува до котангенсот, тој не е дефиниран за аглите α на кои почетната точка оди до точката со нулта ордината (1, 0) или (−1, 0), а тоа се случува за аглите 180° k, k ∈Z (π·k rad).
Значи, синус и косинус се дефинирани за сите агли на ротација, тангента е дефинирана за сите агли освен 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), а котангента е дефинирана за сите агли освен 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Дефинициите ги вклучуваат ознаките што ни се веќе познати sin, cos, tg и ctg, тие се користат и за означување на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација (понекогаш можете да ги најдете ознаките tan и cot што одговараат на тангента и котангента) . Значи, синусот на аголот на ротација од 30 степени може да се запише како sin30°, записите tg(−24°17′) и ctgα одговараат на тангентата на аголот на ротација −24 степени 17 минути и котангента на аголот на ротација α . Потсетете се дека при пишување на радијанската мерка на агол, ознаката „рад“ често се испушта. На пример, косинус на агол на ротација од три pi rad обично се означува cos3·π.
Како заклучок на оваа точка, вреди да се напомене дека кога се зборува за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација, често се испушта фразата „агол на ротација“ или зборот „ротација“. Односно, наместо фразата „синус на аголот на ротација алфа“, обично се користи фразата „синус на алфа аголот“ или уште пократка, „синус алфа“. Истото важи и за косинус, тангента и котангента.
Исто така, ќе кажеме дека дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник се конзистентни со дефинициите штотуку дадени за синус, косинус, тангента и котангента на агол на ротација што се движи од 0 до 90 степени. Ова ќе го оправдаме.
Броеви
Дефиниција.
Синус, косинус, тангента и котангента на број t е број еднаков на синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во t радијани, соодветно.
На пример, косинусот на бројот 8·π по дефиниција е број еднаков на косинусот на аголот од 8·π rad. И косинус од агол од 8·π rad е еднаков на еден, затоа, косинусот на бројот 8·π е еднаков на 1.
Постои уште еден пристап за одредување на синус, косинус, тангента и котангента на број. Се состои во тоа што секој реален број t е поврзан со точка на единечниот круг со центар на почетокот на правоаголниот координатен систем, а синус, косинус, тангента и котангента се одредуваат преку координатите на оваа точка. Ајде да го разгледаме ова подетално.
Да покажеме како се воспоставува кореспонденција помеѓу реалните броеви и точките на кругот:
- на бројот 0 му се доделува почетна точка A(1, 0);
- позитивниот број t се поврзува со точка на единечната кружница, до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во спротивна насока од стрелките на часовникот и одиме по патека со должина t;
- негативниот број t се поврзува со точка на единечната кружница, до која ќе дојдеме ако се движиме по кругот од почетната точка во насока на стрелките на часовникот и одиме по патека со должина |t| .
Сега преминуваме на дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на бројот t. Да претпоставиме дека бројот t одговара на точка на кругот A 1 (x, y) (на пример, бројот &pi/2; одговара на точката A 1 (0, 1) ).
Дефиниција.
Синус на бројот t е ордината на точката на единечната кружница што одговара на бројот t, односно sint=y.
Дефиниција.
Косинусот на бројот t се нарекува апсциса на точката на единечниот круг што одговара на бројот t, односно чинење=x.
Дефиниција.
Тангента на бројот t е односот на ординатата и апсцисата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно tgt=y/x. Во друга еквивалентна формулација, тангентата на бројот t е односот на синусот на овој број со косинусот, односно tgt=sint/cost.
Дефиниција.
Котангента на бројот t е односот на апсцисата со ординатата на точка на единечната кружница што одговара на бројот t, односно ctgt=x/y. Друга формулација е оваа: тангента на бројот t е односот на косинус на бројот t со синусот на бројот t: ctgt=cost/sint.
Овде забележуваме дека штотуку дадените дефиниции се конзистентни со дефиницијата дадена на почетокот на овој став. Навистина, точката на единечниот круг што одговара на бројот t се совпаѓа со точката добиена со ротирање на почетната точка за агол од t радијани.
Сè уште вреди да се разјасни оваа точка. Да речеме дека го имаме записот sin3. Како можеме да разбереме дали зборуваме за синус на бројот 3 или за синус на аголот на ротација од 3 радијани? Ова обично е јасно од контекстот, инаку веројатно нема фундаментално значење.
Тригонометриски функции на аголен и нумерички аргумент
Според дефинициите дадени во претходниот пасус, секој агол на ротација α одговара на многу специфична вредност sinα, како и на вредноста cosα. Дополнително, сите агли на ротација различни од 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) одговараат на вредностите tgα и вредностите кои не се 180°k, k∈Z (πk rad ) – вредности на ctgα. Затоа sinα, cosα, tanα и ctgα се функции на аголот α. Со други зборови, ова се функции на аголниот аргумент.
Слично можеме да зборуваме за функциите синус, косинус, тангента и котангента на нумерички аргумент. Навистина, секој реален број t одговара на многу специфична вредност sint, како и на трошоците. Покрај тоа, сите броеви освен π/2+π·k, k∈Z одговараат на вредностите tgt, а броевите π·k, k∈Z - вредности ctgt.
Функциите синус, косинус, тангента и котангенс се нарекуваат основни тригонометриски функции.
Обично од контекстот е јасно дали имаме работа со тригонометриски функции на аголен аргумент или нумерички аргумент. Во спротивно, независната променлива можеме да ја замислиме и како мерка на аголот (аголен аргумент) и како нумерички аргумент.
Меѓутоа, на училиште главно проучуваме нумерички функции, односно функции чии аргументи, како и нивните соодветни функционални вредности се броеви. Затоа, ако зборуваме конкретно за функции, тогаш препорачливо е да се земат предвид тригонометриските функции како функции на нумерички аргументи.
Врска помеѓу дефинициите од геометријата и тригонометријата
Ако го земеме предвид аголот на ротација α кој се движи од 0 до 90 степени, тогаш дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на аголот на ротација во контекст на тригонометријата се целосно конзистентни со дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол во правоаголен триаголник, кои се дадени во курсот по геометрија. Да го оправдаме ова.
Дозволете ни да го прикажеме единечниот круг во правоаголниот Декартов координатен систем Oxy. Да ја означиме почетната точка A(1, 0) . Да го ротираме за агол α кој се движи од 0 до 90 степени, добиваме точка A 1 (x, y). Да ја спуштиме нормалната A 1 H од точката A 1 до оската Ox.
Лесно е да се види дека во правоаголен триаголник, аголот A 1 OH е еднаков на аголот на ротација α, должината на кракот OH во непосредна близина на овој агол е еднаква на апсцисата на точката A 1, односно |OH |=x, должината на кракот A 1 H спроти аголот е еднаква на ординатата на точката A 1, односно |A 1 H|=y, а должината на хипотенузата OA 1 е еднаква на една, бидејќи тоа е радиусот на единечниот круг. Тогаш, по дефиниција од геометријата, синусот на остар агол α во правоаголен триаголник A 1 OH е еднаков на односот на спротивната катета со хипотенузата, односно sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. И по дефиниција од тригонометријата, синусот на аголот на ротација α е еднаков на ординатата на точката A 1, односно sinα=y. Ова покажува дека одредувањето на синусот на остар агол во правоаголен триаголник е еквивалентно на одредувањето на синусот на аголот на ротација α кога α е од 0 до 90 степени.
Слично, може да се покаже дека дефинициите за косинус, тангента и котангента на остар агол α се конзистентни со дефинициите за косинус, тангента и котангента на аголот на ротација α.
Библиографија.
- Геометрија. 7-9 одделение: тетратка за општо образование институции / [Л. С. Атанасјан, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, итн.]. - 20-ти изд. М.: Образование, 2010. - 384 стр.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Погорелов А.В.Геометрија: Учебник. за 7-9 одделение. општо образование институции / А. В. Погорелов. - 2. издание - М.: Образование, 2001. - 224 стр.: илустр. - ISBN 5-09-010803-X.
- Алгебра и елементарни функции: Учебник за ученици од 9-то одделение од гимназијата / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Изменето од доктор по физичко-математички науки О. Н. Головин - 4-ти изд. М.: Образование, 1969 година.
- Алгебра:Тетратка за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С.А. Телјаковски - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: лошо. - ISBN 5-09-002727-7
- Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.
- Мордкович А.Г.Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10. Во 2 дела. 1 дел: учебник за општообразовни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 4то издание, додај. - М.: Мнемозина, 2007. - 424 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Алгебраи почетокот на математичката анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа /[Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од А.Б. Жижченко. - 3-то издание. - I.: Образование, 2010.- 368 стр.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.
Една од областите на математиката со која студентите најмногу се борат е тригонометријата. Не е изненадувачки: за слободно да ја совладате оваа област на знаење, потребно ви е просторно размислување, способност да пронајдете синуси, косинуси, тангенти, котангенти користејќи формули, да ги поедноставите изразите и да можете да го користите бројот пи во пресметки. Дополнително, треба да бидете способни да користите тригонометрија при докажување теореми, а за тоа е потребна или развиена математичка меморија или способност за изведување сложени логички синџири.
Потекло на тригонометријата
Запознавањето со оваа наука треба да започне со дефиниција на синус, косинус и тангента на агол, но прво треба да разберете што прави тригонометријата воопшто.
Историски гледано, главниот предмет на проучување во оваа гранка на математичката наука биле правоаголните триаголници. Присуството на агол од 90 степени овозможува да се извршат различни операции кои овозможуваат да се одредат вредностите на сите параметри на предметната фигура користејќи две страни и еден агол или два агли и една страна. Во минатото, луѓето ја забележаа оваа шема и почнаа активно да ја користат во изградбата на згради, навигацијата, астрономијата, па дури и во уметноста.
Прва фаза
Првично, луѓето зборуваа за односот помеѓу аглите и страните исклучиво користејќи го примерот на правоаголни триаголници. Тогаш беа откриени посебни формули кои овозможија проширување на границите на употреба во секојдневниот живот на оваа математичка гранка.
Изучувањето на тригонометријата во училиште денес започнува со правоаголни триаголници, по што учениците го користат стекнатото знаење по физика и решавање на апстрактни тригонометриски равенки, кои започнуваат во средно училиште.
Сферична тригонометрија
Подоцна, кога науката го достигнала следното ниво на развој, формулите со синус, косинус, тангента и котангента почнале да се користат во сферичната геометрија, каде што важат различни правила, а збирот на аглите во триаголникот е секогаш повеќе од 180 степени. Овој дел не се изучува во училиште, но потребно е да се знае за неговото постоење, барем затоа што површината на земјата и површината на која било друга планета е конвексна, што значи дека секое обележување на површината ќе биде „во облик на лак“ во тродимензионален простор.
Земете го глобусот и конецот. Прицврстете го конецот на кои било две точки на глобусот така што ќе биде затегнато. Ве молиме имајте предвид - доби форма на лак. Со такви форми се занимава сферичната геометрија, која се користи во геодезијата, астрономијата и други теоретски и применети области.
Правоаголен триаголник
Откако научивме малку за начините на користење на тригонометријата, да се вратиме на основната тригонометрија со цел дополнително да разбереме што се синус, косинус, тангента, кои пресметки може да се извршат со нивна помош и кои формули да се користат.
Првиот чекор е да се разберат концептите поврзани со правоаголен триаголник. Прво, хипотенузата е страната спротивна на аголот од 90 степени. Тоа е најдолго. Се сеќаваме дека според Питагоровата теорема, неговата нумеричка вредност е еднаква на коренот на збирот на квадратите на другите две страни.
На пример, ако двете страни се 3 и 4 сантиметри соодветно, должината на хипотенузата ќе биде 5 сантиметри. Патем, старите Египќани знаеле за ова пред околу четири и пол илјади години.
Двете преостанати страни, кои формираат прав агол, се нарекуваат нозе. Покрај тоа, мораме да запомниме дека збирот на аглите во триаголник во правоаголен координатен систем е еднаков на 180 степени.
Дефиниција
Конечно, со цврсто разбирање на геометриската основа, може да се свртиме кон дефиницијата на синус, косинус и тангента на аголот.
Синус на аголот е односот на спротивната катета (т.е. страната спроти саканиот агол) со хипотенузата. Косинусот на аголот е односот на соседната страна со хипотенузата.
Запомнете дека ниту синус ниту косинус не можат да бидат поголеми од еден! Зошто? Бидејќи хипотенузата е стандардно најдолга.Колку и да е долга ногата, таа ќе биде пократка од хипотенузата, што значи дека нивниот сооднос секогаш ќе биде помал од еден. Така, ако во вашиот одговор на проблем добиете синус или косинус со вредност поголема од 1, побарајте грешка во пресметките или расудувањето. Овој одговор е очигледно неточен.
Конечно, тангентата на аголот е односот на спротивната страна со соседната страна. Поделувањето на синусот со косинус ќе го даде истиот резултат. Погледнете: според формулата, ја делиме должината на страната со хипотенузата, потоа ја делиме со должината на втората страна и се множиме со хипотенузата. Така, ја добиваме истата врска како во дефиницијата за тангента.
Котангента, соодветно, е односот на страната во непосредна близина на аголот до спротивната страна. Истиот резултат го добиваме со делење на една со тангента.
Значи, ги разгледавме дефинициите за тоа што се синус, косинус, тангента и котангента и можеме да преминеме на формули.
Наједноставните формули
Во тригонометријата не можете без формули - како да најдете синус, косинус, тангента, котангента без нив? Но, тоа е токму она што се бара при решавање на проблемите.
Првата формула што треба да ја знаете кога започнувате да ја проучувате тригонометријата вели дека збирот на квадратите на синусот и косинусот на аголот е еднаков на еден. Оваа формула е директна последица на Питагоровата теорема, но заштедува време ако треба да ја знаете големината на аголот наместо страната.
Многу ученици не можат да се сетат на втората формула, која е исто така многу популарна при решавање на училишни проблеми: збирот на еден и квадратот на тангентата на аголот е еднаков на еден поделен со квадратот на косинусот на аголот. Погледнете подетално: ова е истата изјава како во првата формула, само двете страни на идентитетот беа поделени со квадратот на косинус. Излегува дека едноставна математичка операција ја прави тригонометриската формула целосно непрепознатлива. Запомнете: знаејќи што се синус, косинус, тангента и котангента, правила за трансформација и неколку основни формули, можете во секое време да ги изведете потребните посложени формули на лист хартија.
Формули за двојни агли и собирање аргументи
Уште две формули што треба да ги научите се поврзани со вредностите на синус и косинус за збирот и разликата на аглите. Тие се претставени на сликата подолу. Забележете дека во првиот случај, синусот и косинусот се множат и двата пати, а во вториот, се додава парниот производ на синус и косинус.
Исто така, постојат формули поврзани со аргументи со двоен агол. Целосно се изведени од претходните - како практика, обидете се сами да ги добиете земајќи го алфа аголот еднаков на бета аголот.
Конечно, забележете дека формулите со двоен агол може да се преуредат за да се намали моќта на синус, косинус, тангентна алфа.
Теореми
Двете главни теореми во основната тригонометрија се синусната теорема и косинусовата теорема. Со помош на овие теореми, можете лесно да разберете како да ги пронајдете синусот, косинусот и тангентата, а со тоа и површината на фигурата и големината на секоја страна итн.
Синусната теорема вели дека делењето на должината на секоја страна на триаголникот со спротивниот агол резултира со ист број. Покрај тоа, овој број ќе биде еднаков на два радиуси на ограничената кружница, односно кругот што ги содржи сите точки на даден триаголник.
Теоремата на косинус ја генерализира Питагоровата теорема, проектирајќи ја на кој било триаголник. Излегува дека од збирот на квадратите на двете страни, одземете го нивниот производ помножен со двојниот косинус на соседниот агол - добиената вредност ќе биде еднаква на квадратот на третата страна. Така, Питагоровата теорема се покажува како посебен случај на косинусовата теорема.
Невнимателни грешки
Дури и знаејќи што се синус, косинус и тангента, лесно е да се направи грешка поради отсутност или грешка во наједноставните пресметки. За да избегнеме вакви грешки, да ги погледнеме најпопуларните.
Прво, не треба да ги претворате дропките во децимали додека не го добиете конечниот резултат - може да го оставите одговорот како дропка, освен ако не е поинаку наведено во условите. Таквата трансформација не може да се нарече грешка, но треба да се запомни дека во секоја фаза од проблемот може да се појават нови корени, кои, според идејата на авторот, треба да се намалат. Во овој случај, ќе го трошите вашето време на непотребни математички операции. Ова е особено точно за вредности како што се коренот на три или коренот на два, бидејќи тие се наоѓаат во проблеми на секој чекор. Истото важи и за заокружување на „грди“ броеви.
Понатаму, забележете дека косинусовата теорема се применува на кој било триаголник, но не и на Питагоровата теорема! Ако погрешно заборавите да одземе двапати од производот на страните помножен со косинус на аголот меѓу нив, не само што ќе добиете сосема погрешен резултат, туку и ќе покажете целосно недоволно разбирање на темата. Ова е полошо од невнимателна грешка.
Трето, не мешајте ги вредностите за агли од 30 и 60 степени за синуси, косинуси, тангенти, котангенти. Запомнете ги овие вредности, бидејќи синусот од 30 степени е еднаков на косинусот од 60, и обратно. Лесно е да ги збуните, како резултат на што неизбежно ќе добиете погрешен резултат.
Апликација
Многу студенти не брзаат да започнат со изучување на тригонометријата бидејќи не го разбираат нејзиното практично значење. Што е синус, косинус, тангента за инженер или астроном? Ова се концепти со кои можете да го пресметате растојанието до далечните ѕвезди, да предвидите пад на метеорит или да испратите истражувачка сонда на друга планета. Без нив, невозможно е да се изгради зграда, да се дизајнира автомобил, да се пресмета оптоварувањето на површината или траекторијата на објектот. И ова се само најочигледните примери! На крајот на краиштата, тригонометријата во една или друга форма се користи насекаде, од музика до медицина.
Конечно
Значи ти си синус, косинус, тангента. Можете да ги користите во пресметките и успешно да ги решавате училишните проблеми.
Целата поента на тригонометријата се сведува на фактот дека користејќи ги познатите параметри на триаголникот треба да ги пресметате непознатите. Вкупно има шест параметри: должина на три страни и големина на три агли. Единствената разлика во задачите лежи во тоа што се дадени различни влезни податоци.
Сега знаете како да најдете синус, косинус, тангента врз основа на познатите должини на нозете или хипотенузата. Бидејќи овие поими не значат ништо повеќе од однос, а односот е дропка, главната цел на проблемот со тригонометрија е да се најдат корените на обична равенка или систем на равенки. И тука ќе ви помогне редовната училишна математика.