На оваа страница ќе ги најдете сите основни тригонометриски формули кои ќе ви помогнат да решите многу вежби, значително поедноставувајќи го самиот израз.
Тригонометриските формули се математички еднаквости за тригонометриските функции кои се задоволуваат за сите валидни вредности на аргументот.
Формулите ги одредуваат односите помеѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента, котангента.
Синус на агол е y координата на точка (ордината) на единечната кружница. Косинусот на аголот е х координатата на точката (апсциса).
Тангента и котангента се, соодветно, односот на синус и косинус и обратно.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \\alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`
И две што се користат поретко - секант, косекант. Тие ги претставуваат соодносите од 1 спрема косинус и синус.
`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`
Од дефинициите на тригонометриските функции јасно се гледа какви знаци имаат во секој квадрант. Знакот на функцијата зависи само од тоа во кој квадрант се наоѓа аргументот.
При менување на знакот на аргументот од „+“ во „-“, само функцијата косинус не ја менува својата вредност. Тоа се нарекува дури. Неговиот график е симетричен во однос на оската на ординатите.
Останатите функции (синус, тангента, котангента) се непарни. При менување на знакот на аргументот од „+“ во „-“, нивната вредност исто така се менува во негативна. Нивните графикони се симетрични во однос на потеклото.
`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`
Основни тригонометриски идентитети
Основните тригонометриски идентитети се формули кои воспоставуваат врска помеѓу тригонометриските функции од еден агол (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) и кои ви овозможуваат да ја пронајдете вредноста на секоја од овие функции преку која било позната друга.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`
Формули за збир и разлика на агли на тригонометриски функции
Формулите за собирање и одземање аргументи изразуваат тригонометриски функции од збирот или разликата на два агли во однос на тригонометриските функции на овие агли.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \\alpha+tg \\beta)(1-tg \\alpha\ tg \\beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \\alpha-tg \\beta)(1+tg \\alpha \ tg \\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \\alpha \ ctg \\beta-1)(ctg \\beta+ctg \\alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \\alpha\ ctg \\beta+1)(ctg \\beta-ctg \\alpha)`
Формули со двоен агол
`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \алфа )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \\alpha+ctg \\alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\алфа)(1+tg^2\алфа)=\frac(ctg^2\алфа-1)(ctg^2\алфа+1)=` `\frac(ctg \\алфа-tg \\алфа) (ctg \ \ алфа+tg \ \ алфа) `
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \\alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \\alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\ frac 2 (\ ctg \ \ alpha-tg \ \ алфа)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \\alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
Формули со троен агол
`sin \ 3 \ алфа = 3 \ sin \ \ alpha-4sin^3 \ alpha`
`cos \ 3 \ алфа = 4cos^3 \ алфа-3 \ cos \ \ алфа`
`Tg \ 3 \ алфа = \ frac (3 \ tg \ \ alpha-tg^3 \ алфа) (1-3 \ tg^2 \ алфа)`
`ctg \ 3 \ алфа = \ frac (ctg^3 \ алфа-3 \ ctg \ \ алфа) (3 \ ctg^2 \ алфа-1)`
Формули за половина агол
`sin \ \ frac \ алфа 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ алфа) 2)`
`cos \ \ frac \ алфа 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1+cos \ \ алфа) 2)`
`Tg \ \ frac \ алфа 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1-cos \ \ алфа) (1+cos \ \ алфа)) =` `\ frac (sin \ \ алфа) (1+cos \ \ алфа)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \ frac \ алфа 2 = \ pm \ sqrt (\ frac (1+cos \ \ алфа) (1-cos \ \ алфа)) =` `` frac (sin \ \ алфа) (1-cos \ \ алфа)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
Формулите за половина, двоен и троен аргумент ги изразуваат функциите `sin, \cos, \tg, \ctg` од овие аргументи (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) преку овие функционални аргументи `\alpha`.
Нивниот заклучок може да се добие од претходната група (собирање и одземање на аргументи). На пример, идентитетите со двоен агол лесно се добиваат со замена на `\beta` со `\alpha`.
Формули за намалување на степенот
Формулите на квадрати (коцки и сл.) на тригонометриски функции ви дозволуваат да се движите од 2,3,... степени до тригонометриски функции од прв степен, но повеќе агли (`\алфа, \3\алфа, \... ` или `2\алфа, \ 4\алфа, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \\alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \\alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \\alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \\alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Формули за збир и разлика на тригонометриски функции
Формулите се трансформации на збирот и разликата на тригонометриските функции на различни аргументи во производ.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ бета)2\sin\frac(\бета-\алфа)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \\alpha \ cos \\beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`
Тука се случува трансформација на собирање и одземање на функции на еден аргумент во производ.
`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`
Следниве формули ги претвораат збирот и разликата на една и тригонометриска функција во производ.
`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \\alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ бета \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \\alpha \ sin \\beta)`
Формули за конвертирање производи на функции
Формули за претворање на производот на тригонометриските функции со аргументи `\alpha` и `\beta` во збир (разлика) на овие аргументи.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \алфа \ tg \ \бета =` `\frac(cos(\алфа - \бета)-cos(\алфа + \бета))(cos(\алфа - \бета)+cos(\алфа + \ бета)) =` `\frac(tg \ \алфа + tg \\бета)(ctg \\алфа + ctg \\бета)`
`ctg \ \алфа \ ctg \ \бета =` `\frac(cos(\алфа - \бета)+cos(\алфа + \бета))(cos(\алфа - \бета)-cos(\алфа + \ бета)) =` `\frac(ctg \\алфа + ctg \\бета)(tg \\алфа + tg \\бета)`
`tg \ \алфа \ ctg \ \бета =` `\frac(sin(\алфа - \бета)+sin(\алфа + \бета))(sin(\алфа + \бета)-sin(\алфа - \ бета))`
Универзална тригонометриска замена
Овие формули изразуваат тригонометриски функции во однос на тангента на половина агол.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \ in z`
`cos \ \алфа= \frac(1 - tg^(2)\frac(\алфа)(2))(1 + tg^(2)\frac(\алфа)(2)),` ` \алфа \ ne \ pi +2 \ pi n, n \ in z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \алфа = \frac(1 - tg^(2)\frac(\алфа)(2))(2tg\frac(\алфа)(2),` ` \alpha \ne \pi n, n \во Z,` `\алфа \ne \pi + 2\pi n, n \во Z`
Формули за намалување
Формулите за редукција може да се добијат со користење на такви својства на тригонометриските функции како периодичност, симетрија и својство на поместување за даден агол. Тие овозможуваат функциите од произволен агол да се претворат во функции чиј агол е помеѓу 0 и 90 степени.
За агол (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \\alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За агол (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
За агол (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
За агол (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Изразување на некои тригонометриски функции во однос на други
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \\alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \\alpha)=` `\frac (cos \\alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \алфа))=\frac 1(tg \\алфа)`
Тригонометријата буквално се преведува како „мерење на триаголници“. Почнува да се изучува на училиште, а подетално продолжува на универзитетите. Затоа, потребни се основни формули во тригонометријата почнувајќи од 10 одделение, како и за полагање на обединет државен испит. Тие означуваат врски помеѓу функциите, и бидејќи има многу од овие врски, постојат многу формули. Не е лесно да ги запомните сите, и не е неопходно - доколку е потребно, сите може да се прикажат.
Тригонометриските формули се користат во интегрално пресметување, како и во тригонометриски поедноставувања, пресметки и трансформации.
Вежбајте.
Пронајдете ја вредноста на x на.
Решение.
Наоѓањето на вредноста на аргументот на функцијата во која е еднаква на која било вредност значи да се определи кај кои аргументи вредноста на синусот ќе биде точно како што е наведено во условот.
Во овој случај, треба да откриеме во кои вредности синусната вредност ќе биде еднаква на 1/2. Ова може да се направи на неколку начини.
На пример, користете , со што ќе се одреди при кои вредности на x синусната функција ќе биде еднаква на 1/2.
Друг начин е да се користи. Дозволете ми да ве потсетам дека вредностите на синусите лежат на оската Ој.
Највообичаен начин е да се користи, особено кога се работи со вредности кои се стандардни за оваа функција, како што е 1/2.
Во сите случаи, не треба да се заборави за една од најважните својства на синусот - нејзиниот период.
Ајде да ја најдеме вредноста 1/2 за синус во табелата и да видиме кои аргументи одговараат на тоа. Аргументите за кои не интересира се Pi / 6 и 5Pi / 6.
Да ги запишеме сите корени што ја задоволуваат дадената равенка. За да го направите ова, го запишуваме непознатиот аргумент x што не интересира и една од вредностите на аргументот добиен од табелата, односно Pi / 6. Запишуваме за тоа, земајќи го предвид периодот на синусот , сите вредности на аргументот:
Да ја земеме втората вредност и да ги следиме истите чекори како во претходниот случај:
Целосното решение на оригиналната равенка ќе биде: 
И 
qможе да ја земе вредноста на кој било цел број.
Наједноставните тригонометриски идентитети
Количникот на делење на синусот на аголот алфа со косинус од истиот агол е еднаков на тангентата на овој агол (Формула 1). Видете го и доказот за исправноста на трансформацијата на наједноставните тригонометриски идентитети.
Количникот на делење на косинус на аголот алфа со синусот од истиот агол е еднаков на котангенсот од истиот агол (Формула 2)
Секантот на аголот е еднаков на еден поделен со косинус од истиот агол (Формула 3)
Збирот на квадратите на синусот и косинусот од истиот агол е еднаков на еден (Формула 4). види и доказ за збирот на квадратите на косинус и синус.
Збирот на еден и тангентата на аголот е еднаков на односот еден на квадратот на косинусот на овој агол (Формула 5)
Еден плус котангента на агол е еднаков на количникот на еден поделен со синусниот квадрат на овој агол (Формула 6)
Производот на тангента и котангента од истиот агол е еднаков на еден (Формула 7).
Конвертирање негативни агли на тригонометриски функции (парни и непарни)
За да се ослободите од негативната вредност на степенот на аголот при пресметување на синус, косинус или тангента, можете да ги користите следните тригонометриски трансформации (идентитети) врз основа на принципите на парни или непарни тригонометриски функции.
Како што се гледа, косинусИ секторот е дури и функција, синус, тангента и котангента се непарни функции.
Синус на негативен агол е еднаков на негативната вредност на синусот од истиот позитивен агол (минус синус алфа).
Косинусот минус алфа ќе ја даде истата вредност како косинусот на алфа аголот.
Тангента минус алфа е еднаква на минус тангента алфа.
Формули за намалување на двојните агли (синус, косинус, тангента и котангента на двојни агли)
Ако треба да поделите агол на половина, или обратно, да се движите од двоен агол до еден агол, можете да ги користите следните тригонометриски идентитети:
Конверзија на двојно агол (синус со двоен агол, косинус со двоен агол и тангента на двоен агол) во сингл се јавува според следниве правила:
Синус од двоен аголеднакво на двојно повеќе од производот на синусот и косинусот од еден агол
Косинус на двоен аголеднаква на разликата помеѓу квадратот на косинус на еден агол и квадратот на синусот на овој агол
Косинус на двоен аголеднакво на двапати од квадратот на косинус на еден агол минус еден
Косинус на двоен аголеднакво на еден минус двоен синус квадрат еден агол
Тангента на двоен аголе еднаква на дропка чиј броител е двојно поголем од тангентата на еден агол, а именителот е еднаков на еден минус тангентата на квадрат на еден агол.
Котангенс со двоен аголе еднаква на дропка чиј броител е квадратот на котангенсот на еден агол минус еден, а именителот е еднаков на двојно поголем котангенс на еден агол
Формули за универзална тригонометриска замена
Формулите за конверзија подолу може да бидат корисни кога треба да го поделите аргументот на тригонометриската функција (sin α, cos α, tan α) со два и да го намалите изразот на вредноста на половина агол. Од вредноста на α добиваме α/2.Овие формули се нарекуваат формули на универзална тригонометриска замена. Нивната вредност лежи во тоа што со нивна помош тригонометрискиот израз се сведува на изразување на тангента на половина агол, без оглед на тоа кои тригонометриски функции (sin cos tan ctg) биле првично во изразот. По ова, равенката со тангента на половина агол е многу полесно да се реши.
Тригонометриски идентитети за полуаголни трансформации
Следниве се формулите за тригонометриско претворање на половина агол на целата негова вредност.Вредноста на аргументот на тригонометриската функција α/2 се сведува на вредноста на аргументот на тригонометриската функција α.
Тригонометриски формули за собирање агли
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = грев α cos β + грев β cos α
грев (α - β) = грев α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Тангента и котангента на збирот на аглиАлфа и Бета можат да се претворат со помош на следниве правила за конвертирање на тригонометриски функции:
Тангента на збирот на аглие еднаква на дропка чиј броител е збир на тангента на првиот и тангента на вториот агол, а именителот е еден минус производот на тангентата на првиот агол и тангентата на вториот агол.
Тангента на агол разликае еднаква на дропка чиј броител е еднаков на разликата помеѓу тангентата на аголот што се намалува и тангентата на аголот што се одзема, а именителот е еден плус производот на тангентите на овие агли.
Котангента на збирот на аглие еднаква на дропка чиј броител е еднаков на производот на котангентите на овие агли плус еден, а именителот е еднаков на разликата помеѓу котангенсот од вториот агол и котангенсот од првиот агол.
Котангента на разликата во аголоте еднаква на дропка чиј броител е производ на котангентите на овие агли минус еден, а именителот е еднаков на збирот на котангентите на овие агли.
Овие тригонометриски идентитети се погодни за употреба кога треба да ја пресметате, на пример, тангентата од 105 степени (TG 105). Ако го замислите како tg (45 + 60), тогаш можете да ги користите дадените идентични трансформации на тангентата на збирот на аглите, а потоа едноставно да ги замените табеларните вредности на тангента 45 и тангента 60 степени.
Формули за конвертирање на збирот или разликата на тригонометриските функции
Изразите што претставуваат збир на формата sin α + sin β може да се трансформираат со помош на следниве формули:
Формули со троен агол - претворање на sin3α cos3α TAN3α во sinα cosα tanα
Понекогаш е потребно да се трансформира тројната вредност на аголот така што аргументот на тригонометриската функција да стане агол α наместо 3α.Во овој случај, можете да ги користите формулите за трансформација на тројниот агол (идентитети):
Формули за конвертирање на производи од тригонометриски функции
Ако има потреба да се трансформира производ на синуси од различни агли, косинуси од различни агли, па дури и производ на синус и косинус, тогаш можете да ги користите следните тригонометриски идентитети:
Во овој случај, производот од синусните, косинусните или тангентните функции од различни агли ќе се претворат во збир или разлика.
Формули за намалување на тригонометриските функции
Треба да ја користите табелата за намалување на следниов начин. Во линијата ја избираме функцијата што не интересира. Во колоната има агол. На пример, синусот на аголот (α+90) на пресекот на првата редица и првата колона, дознаваме дека sin (α+90) = cos α.
|БД| - должина на лакот на круг со центар во точката А.
α е агол изразен кај радијани.
Тангента ( тен α) е тригонометриска функција во зависност од аголот α помеѓу хипотенузата и кракот на правоаголен триаголник, еднаков на односот на должината на спротивната катета |BC| до должината на соседниот крак |AB| .
Котангента ( ctg α) е тригонометриска функција во зависност од аголот α помеѓу хипотенузата и кракот на правоаголен триаголник, еднаков на односот на должината на соседната катета |AB| до должината на спротивниот крак |П.н.е.| .
Тангента
Каде n- целина.
Во западната литература, тангентата се означува на следниов начин:
.
;
;
.
График на функцијата тангента, y = tan x
Котангенс
Каде n- целина.
Во западната литература, котангенсот се означува на следниов начин:
.
Прифатени се и следните ознаки:
;
;
.
График на функцијата котангента, y = ctg x
Својства на тангента и котангента
Периодичноста
Функции y = tg xи y = ctg xсе периодични со период π.
Паритет
Функциите тангента и котангента се непарни.
Области на дефиниција и вредности, зголемување, намалување
Функциите тангента и котангента се континуирани во нивниот домен на дефиниција (види доказ за континуитет). Главните својства на тангента и котангента се прикажани на табелата ( n- целина).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Опсег и континуитет | ||
| Опсег на вредности | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Зголемување | - | |
| Опаѓачки | - | |
| Екстреми | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Изрази со употреба на синус и косинус
;
;
;
;
;
Формули за тангента и котангента од сума и разлика
Останатите формули се лесни за добивање, на пример
Производ на тангенти
Формула за збир и разлика на тангенти
Оваа табела ги прикажува вредностите на тангентите и котангентите за одредени вредности на аргументот. 
Изрази кои користат сложени броеви
Изрази преку хиперболични функции
;
;
Деривати
; .
.
Дериват на деветтиот ред во однос на променливата x на функцијата:
.
Изведување формули за тангента > > > ; за котангента > > >
Интеграли
Проширувања на сериите
За да добиете проширување на тангентата во моќта на X, треба да земете неколку термини за проширување во серија за напојување за функциите грев хИ cos xи поделете ги овие полиноми еден со друг, . Ова ги произведува следните формули.
Во .
во .
Каде Бн- Броеви на Бернули. Тие се утврдени или од односот на повторување:
;
;
Каде.
Или според формулата на Лаплас: 
Инверзни функции
Инверзните функции на тангента и котангента се арктангентни и лакови, соодветно.
Арктангенс, арктг
, Каде n- целина.
Аркотангента, arcctg
, Каде n- целина.
Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.
G. Korn, Прирачник за математика за научници и инженери, 2012 година.