Што е рационална дропка примери. Рационални дропки

Дефиниција.Збирот на целобројните ненегативни сили на непознат X, земен со одредени нумерички коефициенти, се нарекува полином.

Еве: - реални броеви.

n- степен на полиномот.

Операции на полиноми.

1). При собирање (одземање) два полиноми, коефициентите се собираат (одземаат) еднакви степенинепознат x.

2). Два полиноми се еднакви ако имаат ист степен и еднакви коефициенти со исти моќи на X.

3). Степенот на полиномот добиен со множење на два полиноми е еднаков на збирот на степените на полиномите што се множат.

4). Линеарните операции на полиноми имаат својства на асоцијативност, комутативност и дистрибутивност.

5) Поделбата на полином со полином може да се направи со користење на правилото „поделба со агол“.

Дефиниција. Бројот x=a се нарекува корен на полином ако неговата замена во полином го претвора во нула, т.е.

Теорема на Безут. Полиномен остаток
по бином (x-a) е еднаква на вредноста на полиномот при x=a, т.е.

Доказ.

Нека каде

Ставајќи x=a во еднаквоста, добиваме

1). Кога се дели полином со бином (x-a), остатокот секогаш ќе биде број.

2). Ако a е корен на полином, тогаш полиномот е делив со биномот (x-a) без остаток.

3) При делење на полином од степен n со бином (x-a), добиваме полином со степен (n-1).

Основна теорема на алгебра.Било кој полином на степенn (n>1) има барем еден корен(претставен без доказ).

Последица.Било кој полином на степен n има точно n корени и над полето на сложени броеви се разложува во производ n линеарни фактори, т.е. Меѓу корените на полиномот може да има повторливи броеви (повеќе корени). За полиноми со реални коефициенти, сложените корени можат да се појават само во конјугирани парови. Да ја докажеме последната изјава.

Нека
- комплексен коренполином, потоа Врз основа на општ имотЗатоа може да се наведат сложени броеви
- исто така корен.

Секој пар сложени конјугирани корени на полином одговара на квадратен трином со реални коефициенти.

Еве стр, q- реални броеви (покажи пример).

Заклучок.Секој полином можеме да го претставиме како производ на линеарни множители и квадратни триноми со реални коефициенти.

Рационални дропки.

Рационална дропка е однос на два полиноми.

Ако
, тогаш рационалната дропка се нарекува правилна. ВО во спротивнодропката е неточна. Секоја неправилна дропка може да се претстави како збир на полином (количник) и правилна рационална дропка со делење на полиномот во броителот со полиномот во именителот.

- неправилна рационална дропка.

Оваа неправилна рационална дропка сега може да се претстави во следнава форма.

Земајќи го предвид прикажаното, во иднина ќе ги разгледуваме само соодветните рационални дропки.

Постојат таканаречени едноставни рационални дропки - тоа се дропки кои не можат да се поедностават на кој било начин. Овие наједноставни дропки изгледаат вака:

Правилната рационална дропка од посложена форма секогаш може да се претстави како збир од наједноставните рационални дропки. Множеството дропки се определува со множеството корени на полиномот што се појавува во именителот на соодветната нередуцирана рационална дропка. Правилото за разложување на дропка на наједноставно е следново.

Нека рационалната дропка е претставена во следнава форма.

Овде, броителот на наједноставните дропки содржи непознати коефициенти, кои секогаш може да се одредат со методот неизвесни коефициенти. Суштината на методот е да се изедначат коефициентите со исти моќи на X за полиномот во броителот на првобитната дропка и полиномот во броителот на дропката добиен по намалувањето на наједноставните дропки на заеднички именител.

Да ги изедначиме коефициентите за истите сили на X.

Решавајќи го системот равенки за непознати коефициенти, добиваме.

Значи, дадена дропкаможе да се претстави со множество од следните едноставни дропки.

Водејќи до заеднички именителСе грижиме дека проблемот е решен правилно.

Секој фракционен израз (клаузула 48) може да се напише во форма , каде што P и Q се рационални изрази, а Q нужно содржи променливи. Таквата дропка се нарекува рационална дропка.

Примери на рационални дропки:

Главното својство на дропка се изразува со идентитет кој е праведен под условите овде - цел рационален израз. Тоа значи дека броителот и именителот на рационална дропка може да се помножат или поделат со ист ненулти број, моном или полином.

На пример, својството на дропка може да се користи за промена на знаците на членовите на дропка. Ако броителот и именителот на дропка се помножат со -1, добиваме Така, вредноста на дропката нема да се промени ако знаците на броителот и именителот се менуваат истовремено. Ако го промените знакот само на броителот или само на именителот, тогаш дропката ќе го промени својот знак:

На пример,

60. Намалување на рационални дропки.

Да се ​​намали дропка значи да се подели броителот и именителот на дропката со заеднички фактор. Можноста за такво намалување се должи на основното својство на дропот.

За да намалите рационална дропка, треба да ги факторирате броителот и именителот. Ако се покаже дека броителот и именителот имаат заеднички фактори, тогаш дропот може да се намали. Ако нема заеднички фактори, тогаш конвертирањето на дропка преку редукција е невозможно.

Пример. Намалете ја фракцијата

Решение. Ние имаме

Намалувањето на дропка се врши под услов .

61. Намалување на рационалните дропки на заеднички именител.

Заеднички именител на неколку рационални дропки е цел рационален израз кој се дели со именителот на секоја дропка (види став 54).

На пример, заедничкиот именител на дропките е полином бидејќи е делив и со и со и со полином и со полином и со полином, итн. Обично тие земаат таков заеднички именител што секој друг заеднички именител е делив со Ехосен. Таков наједноставен именителпонекогаш се нарекува и најмал заеднички именител.

Во примерот дискутиран погоре, заедничкиот именител е Имаме

Намалувањето на овие дропки на заеднички именител се постигнува со множење на броителот и именителот на првата дропка со 2. а броителот и именителот на втората дропка со полиноми се нарекуваат дополнителни множители за првата и втората дропка, соодветно. Дополнителниот фактор за дадена дропка е еднаков на количникот на делење на заедничкиот именител со именителот на дадената дропка.

За да намалите неколку рационални дропки на заеднички именител, потребно е:

1) фактор на именителот на секоја дропка;

2) создаде заеднички именител со вклучување како фактори на сите фактори добиени во чекор 1) од проширувањата; ако одреден фактор е присутен во неколку проширувања, тогаш тој се зема со експонент еднаков на најголемиот од достапните;

3) најдете дополнителни фактори за секоја од дропките (за ова, заедничкиот именител се дели со именителот на дропката);

4) со множење на броителот и именителот на секоја дропка со дополнителен фактор, доведете ја дропката до заеднички именител.

Пример. Намали дропка на заеднички именител

Решение. Ајде да ги факторизираме именителот:

Во заедничкиот именител мора да бидат вклучени следните фактори: и најмалиот заеднички множител на броевите 12, 18, 24, т.е. Тоа значи дека заедничкиот именител ја има формата

Дополнителни фактори: за првата дропка за втората за третата. Значи, добиваме:

62. Собирање и одземање на рационални дропки.

Збирот од два (и воопшто било кој конечен број) рационални дропки со исти именителие идентично еднаква на дропка со ист именител и броител, еднаков на износотброители на додадени дропки:

Слична е ситуацијата и во случај на одземање на дропки со слични именители:

Пример 1: Поедноставете израз

Решение.

Да се ​​собираат или одземаат рационалните дропки со различни именителиПрво мора да ги намалите дропките на заеднички именител, а потоа да извршите операции на добиените дропки со исти именители.

Пример 2: Поедноставете израз

Решение. Ние имаме

63. Множење и делење на рационални дропки.

Производот на две (и воопшто кој било конечен број) рационални дропки е идентично еднаков на дропката чиј броител еднаков на производотброителите, а именителот - производ на именители на помножените дропки:

Количникот на делење две рационални дропки е идентично еднаков на дропка чиј броител е еднаков на производот на броителот на првата дропка и именителот на втората дропка, а именителот е производ на именителот на првата дропка и броител на втората дропка:

Формулираните правила за множење и делење важат и за случајот на множење или делење со полином: доволно е да се напише овој полином во форма на дропка со именител 1.

Со оглед на можноста за намалување на рационална дропка добиена како резултат на множење или делење на рационални дропки, тие обично се стремат да ги факторизираат броителите и именители на оригиналните дропки пред да ги извршат овие операции.

Пример 1: Изведете множење

Решение. Ние имаме

Користејќи го правилото за множење дропки, добиваме:

Пример 2: Изведете делење

Решение. Ние имаме

Користејќи го правилото за поделба, добиваме:

64. Подигнување на рационална дропка до цела сила.

Да се ​​подигне рационална дропка - до природен степен, треба посебно да го подигнете броителот и именителот на дропот на оваа моќност; првиот израз е броител, а вториот израз е именителот на резултатот:

Пример 1: Претворете во дел од моќноста 3.

Решение Решение.

При подигање на дропка на цел број негативен степенсе користи идентитет кој важи за сите вредности на променливите за кои .

Пример 2: Претворете израз во дропка

65. Трансформација на рационални изрази.

Трансформирањето на кој било рационален израз се сведува на собирање, одземање, множење и делење на рационални дропки, како и подигање на дропка до природна моќност. Секој рационален израз може да се претвори во дропка, чиј броител и именител се цели рационални изрази; ова, по правило, е целта на идентитетските трансформации рационални изрази.

Пример. Поедностави израз

66. Наједноставни трансформации на аритметички корени (радикали).

При конвертирање на аритметички кории, се користат нивните својства (види став 35).

Ајде да погледнеме неколку примери за користење својства аритметички корениза наједноставните трансформации на радикалите. Во овој случај, ќе сметаме дека сите променливи земаат само ненегативни вредности.

Пример 1. Извлечете го коренот на производот

Решение. Применувајќи го својството 1°, добиваме:

Пример 2. Отстранете го множителот под знакот за корен

Решение.

Оваа трансформација се нарекува отстранување на факторот под знакот на коренот. Целта на трансформацијата е да се поедностави радикалниот израз.

Пример 3: Поедностави.

Решение. Со својството 3° имаме.Обично се обидуваат да го поедностават радикалниот израз, за ​​што ги вадат факторите од знакот кориум. Ние имаме

Пример 4: Поедностави

Решение. Да го трансформираме изразот со воведување фактор под знакот на коренот: По својство 4° имаме

Пример 5: Поедностави

Решение. Со својството 5°, имаме право да ги поделиме експонентот на коренот и експонентот на радикалниот израз на иста работа природен број. Ако во разгледуваниот пример ги поделиме наведените индикатори со 3, добиваме .

Пример 6. Поедноставете ги изразите:

Решение, а) Според својството 1°, откриваме дека за множење корени од ист степен, доволно е да се помножат радикалните изрази и да се извлече коренот од истиот степен од добиениот резултат. Средства,

б) Пред сè, мора да ги намалиме радикалите на еден индикатор. Според својството 5°, можеме да ги помножиме експонентот на коренот и експонентот на радикалниот израз со ист природен број. Затоа, Следно, сега го имаме добиениот резултат со делење на експонентите на коренот и степенот на радикалниот израз со 3, добиваме.

Да почнеме со некои дефиниции. Полином n-ти степен(или n-ти ред) ќе повикаме израз од формата $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i)x^(n-i)=a_(0)x^(n )+ a_(1)x^(n-1)+a_(2)x^(n-2)+\ldots+a_(n-1)x+a_n$. На пример, изразот $4x^(14)+87x^2+4x-11$ е полином чиј степен е $14$. Може да се означи на следниов начин: $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$.

Односот на два полиноми $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарекува рационална функцијаили рационална дропка. Да бидам попрецизен, ова е рационална функцијаедна променлива (т.е. променлива $x$).

Се нарекува рационалната дропка точно, ако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, помал степенполином во именителот. Во спротивно (ако $n ≥ m$) се повикува дропката погрешно.

Пример бр. 1

Наведете кои од наведените дропки се рационални. Ако дропката е рационална, тогаш дознајте дали е точна или не.

1. $\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
2. $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
3. $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))(5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
4. $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$.

1) Оваа дропка не е рационална бидејќи содржи $\sin x$. Рационална дропка не го дозволува тоа.

2) Имаме однос на два полиноми: $5x^2+3x-8$ и $11x^9+25x^2-4$. Според тоа, според дефиницијата, изразот $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ е рационална дропка. Бидејќи степенот на полиномот во броителот е еднаков на $2 $, а степенот на полиномот во именителот е еднаков на $9 $, тогаш оваа дропка е соодветна (бидејќи $2< 9$).

3) И броителот и именителот на оваа дропка содржат полиноми (факторирани). Воопшто не ни е важно во каква форма се претставени полиномите на броителот и именителот: дали се факторизирани или не. Бидејќи имаме однос од два полиноми, тогаш според дефиницијата изразот $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ е рационална дропка.

За да се одговори на прашањето дали дадената дропка е соодветна, мора да се одредат моќите на полиномите во броителот и именителот. Да почнеме со броителот, т.е. од изразот $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$. За да го одредите степенот на овој полином, можете, се разбира, да ги отворите заградите. Сепак, многу е поедноставно да се постапува рационално, бидејќи само нас не интересира најголем степенпроменлива $x$. Од секоја заграда ја избираме променливата $x$ до најголем степен. Од заградата $(2x^3+8x+4)$ земаме $x^3$, од заградата $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ земаме $(x^4) ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$, а од заградата $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ избираме $x^7$. Потоа, по отворањето на заградите, најголемата моќност на променливата $x$ ќе биде вака:

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46). $$

Степенот на полиномот лоциран во броителот е $46$. Сега да се свртиме кон именителот, т.е. на изразот $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$. Степенот на овој полином се одредува на ист начин како и за броителот, т.е.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41). $$

Именителот содржи полином со степен 41. Бидејќи степенот на полиномот во броителот (т.е. 46) не е помал од степенот на полиномот во именителот (т.е. 41), тогаш рационалната дропка е $\frac((2x^3+8x+4)(8x ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ е неточно.

4) Броителот на дропката $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ го содржи бројот $3$, т.е. полином нула степен. Формално, броителот може да се запише на следниов начин: $3x^0=3\cdot1=3$. Во именителот имаме полином чиј степен е еднаков на $6\cdot 4=24$. Односот на два полиноми е рационална дропка. Од $0< 24$, то данная дробь является правильной.

Одговори: 1) дропката не е рационална; 2) рационална дропка (соодветна); 3) рационална дропка (неправилна); 4) рационална дропка (соодветна).

Сега да преминеме на концептот на елементарни дропки (тие се нарекуваат и наједноставни рационални дропки). Постојат четири типа на елементарни рационални дропки:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4,\ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забелешка (пожелно за поцелосно разбирање на текстот): прикажи/скриј

Зошто е потребен условот $p^2-4q?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратна равенка$x^2+px+q=0$. Дискриминантата на оваа равенка е $D=p^2-4q$. Во суштина, состојбата $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет вистински корени. Оние. изразот $x^2+px+q$ не може да се факторизира. Токму оваа неразградливост нè интересира.

На пример, за изразот $x^2+5x+10$ добиваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Бидејќи $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Патем, за оваа проверка воопшто не е потребно коефициентот пред $x^2$ да биде еднаков на 1. На пример, за $5x^2+7x-3=0$ добиваме: $D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Бидејќи $D > 0$, изразот $5x^2+7x-3$ може да се факторизира.

Задачата е следна: дадена точнопретставуваат рационална дропка како збир од елементарни рационални дропки. Материјалот презентиран на оваа страница е посветен на решавање на овој проблем. Прво треба да бидете сигурни дека сте завршиле следниот услов: полиномот во именителот на правилна рационална дропка е факторизиран на таков начин што оваа експанзија содржи само загради од формата $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p ^ 2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

1. Секоја заграда од формата $(x-a)$ сместена во именителот одговара на дропка $\frac(A)(x-a)$.
2. Секоја заграда од формата $(x-a)^n$ ($n=2,3,4,\ldots$) сместена во именителот одговара на збир од $n$ дропки: $\frac(A_1)(x-a)+ \frac( A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$.
3. Секоја заграда од формата $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
4. Секоја заграда од формата $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

Ако дропката е неправилна, тогаш пред да ја примените горната шема, треба да ја поделите на збирот на целобројниот дел (полином) и правилната рационална дропка. Ќе погледнеме како точно тоа е направено понатаму (види пример бр. 2, точка 3). Неколку зборови за ознаките на буквите во броителите (т.е. $A$, $A_1$, $C_2$ и слично). Можете да користите какви било букви за да одговараат на вашиот вкус. Важно е само овие букви да бидат различниво сите елементарни дропки. За да ги пронајдете вредностите на овие параметри, користете го методот на неодредени коефициенти или методот на замена на делумни вредности (види примери бр. 3, бр. 4 и бр. 5).

Пример бр. 2

Разложете ги дадените рационални дропки на елементарни (без да ги најдете параметрите):

1. $\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
2. $\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
3. $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$.

1) Имаме рационална дропка. Бројачот на оваа дропка содржи полином од степен 4, а именителот содржи полином чиј степен е еднаков на $17$ (како да се одреди овој степен е детално објаснето во став бр. 3 од примерот бр. 1). Бидејќи степенот на полиномот во броителот е помал од степенот на полиномот во именителот, оваа дропка е соодветна. Да се ​​свртиме кон именителот на оваа дропка. Да почнеме со заградите $(x-5)$ и $(x+2)^4$, кои целосно потпаѓаат во формата $(x-a)^n$. Покрај тоа, има и загради $(x^2+3x+10)$ и $(x^2+11)^5$. Изразот $(x^2+3x+10)$ има форма $(x^2+px+q)^n$, каде што $p=3$; $q=10$, $n=1$. Бидејќи $p^2-4q=9-40=-31< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем следниот излез: полиномот во именителот е факторизиран на тој начин што оваа размножување содржи само загради од формата $(x-a)^n$ или $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

Резултатот може да се запише на следниов начин:

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

Тогаш дропката $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ може да се претстави во друга форма:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2 +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+ 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8). $$

Дропката $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ е правилна рационална дропка, бидејќи степенот на полиномот во броителот (т.е. 2) е помал од степенот на полиномот во именителот (т.е. 3). Сега да го погледнеме именителот на оваа дропка. Именителот содржи полином што треба да се факторизира. Понекогаш шемата на Хорнер е корисна за факторизирање, но во нашиот случај полесно е да се помине со стандардниот „училишен“ метод на групирање поими:

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x -2)\cdot(x^2+4)) $$

Користејќи ги истите методи како во претходните ставови, добиваме:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

Значи, конечно имаме:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4) $$

Оваа тема ќе продолжи во вториот дел.

Од курсот за алгебра училишна наставна програмаАјде да се фаќаме за специфики. Во оваа статија ќе проучуваме детално посебен видрационални изрази - рационални дропки, а исто така размислете која карактеристика е идентична конверзии на рационални дропкизавземи место.

Веднаш да забележиме дека рационалните дропки во смисла во која ги дефинираме подолу се нарекуваат алгебарски дропки во некои алгебарски учебници. Односно, во оваа статија ќе ги разбереме рационалните и алгебарските дропки како иста работа.

Како и обично, да почнеме со дефиниција и примери. Следно, ќе зборуваме за доведување на рационална дропка до нов именител и за промена на знаците на членовите на дропката. После ова, ќе погледнеме како да ги намалиме фракциите. Конечно, да го разгледаме претставувањето на рационална дропка како збир од неколку дропки. Ќе ги обезбедиме сите информации со примери детални описиодлуки.

Навигација на страницата.

Дефиниција и примери на рационални дропки

Рационални дропкисе изучуваат на часови по алгебра во 8 одделение. Ќе ја искористиме дефиницијата за рационална дропка, која е дадена во учебникот за алгебра за 8 одделение од Ју.Н.Макаричев и др.

ВО оваа дефиницијане е одредено дали полиномите во броителот и именителот на рационална дропка мора да бидат полиноми стандарден погледили не. Според тоа, ќе претпоставиме дека ознаките за рационални дропки можат да содржат и стандардни и нестандардни полиноми.

Еве неколку примери на рационални дропки. Значи, x/8 и - рационални дропки. И дропки и не одговараат на наведената дефиниција за рационална дропка, бидејќи во првата од нив броителот не содржи полином, а во втората и броителот и именителот содржат изрази кои не се полиноми.

Претворање на броител и именител на рационална дропка

Броителот и именителот на која било дропка се самодоволни математички изрази, во случај на рационални дропки, тоа се полиноми, во одреден случај, мономи и броеви. Затоа, идентични трансформации може да се извршат со броител и именител на рационална дропка, како и со секој израз. Со други зборови, изразот во броителот на рационална дропка може да се замени со идентично еднаков израз, исто како именителот.

Можете да извршите идентични трансформации во броителот и именителот на рационална дропка. На пример, во броителот можете да групирате и намалите слични термини, а во именителот заменете го производот од неколку броеви со неговата вредност. И бидејќи броителот и именителот на рационална дропка се полиноми, можно е со нив да се извршат трансформации карактеристични за полиномите, на пример, намалување на стандардна форма или претставување во форма на производ.

За јасност, да разгледаме решенија за неколку примери.

Пример.

Конвертирај рационална дропка така што броителот содржи полином со стандардна форма, а именителот содржи производ на полиноми.

Решение.

Намалувањето на рационалните дропки на нов именител главно се користи при собирање и одземање на рационални дропки.

Менување на знаци пред дропка, како и во неговиот броител и именител

Главното својство на дропка може да се користи за промена на знаците на членовите на дропка. Навистина, множењето на броителот и именителот на рационалната дропка со -1 е еквивалентно на промена на нивните знаци, а резултатот е дропка идентично еднаква на дадената. Оваа трансформација треба да се користи доста често кога се работи со рационални дропки.

Така, ако истовремено ги промените знаците на броителот и именителот на дропка, ќе добиете дропка еднаква на првобитната. Оваа изјава е одговорена со еднаквост.

Да дадеме пример. Рационална дропка може да се замени со идентично еднаква дропка со променети знаци на броителот и именителот на формата.

Можете да направите уште една работа со дропки: трансформација на идентитетот, во која се менува знакот или на броителот или на именителот. Да го наведеме соодветното правило. Ако го замените знакот на дропка заедно со знакот на броителот или именителот, ќе добиете дропка која е идентично еднаква на првобитната. Писмената изјава одговара на еднаквостите и .

Докажувањето на овие еднаквости не е тешко. Доказот се заснова на својствата на множење на броеви. Да го докажеме првиот од нив: . Со помош на слични трансформации се докажува еднаквоста.

На пример, дропка може да се замени со изразот или.

За да ја заклучиме оваа точка, презентираме уште две корисни еднаквости и . Односно, ако го промените знакот само на броителот или само на именителот, дропката ќе го промени својот знак. На пример, И .

Разгледаните трансформации, кои овозможуваат менување на знакот на членовите на дропка, често се користат при трансформација на фракциони рационални изрази.

Намалување на рационални дропки

Следната трансформација на рационални дропки, наречена редукција на рационални дропки, се заснова на истото основно својство на дропката. Оваа трансформација одговара на еднаквоста , каде што a, b и c се некои полиноми, а b и c се не-нула.

Од горенаведената еднаквост станува јасно дека намалувањето на рационална дропка подразбира ослободување од заеднички мултипликаторво неговиот броител и именител.

Пример.

Откажете рационална дропка.

Решение.

Заедничкиот фактор 2 е веднаш видлив, ајде да извршиме намалување со него (при пишувањето, погодно е да се пречкртаат заедничките фактори што се намалуваат). Ние имаме . Бидејќи x 2 =x x и y 7 =y 3 y 4 (види ако е потребно), јасно е дека x е заеднички фактор на броителот и именителот на добиената дропка, како и y 3. Да се ​​намалиме со овие фактори: . Ова го комплетира намалувањето.

Погоре го извршивме намалувањето на рационалните дропки последователно. Или беше можно да се изврши намалувањето во еден чекор, веднаш намалувајќи ја дропот за 2 x y 3. Во овој случај, решението ќе изгледа вака: .

Одговор:

.

Кога се намалуваат рационалните дропки, главниот проблем е што заедничкиот фактор на броителот и именителот не е секогаш видлив. Покрај тоа, не секогаш постои. За да пронајдете заеднички фактор или да го потврдите неговото отсуство, треба да ги пресметате броителот и именителот на рационална дропка. Ако нема заеднички фактор, тогаш првобитната рационална фракција не треба да се намалува, во спротивно, се врши намалување.

Различни нијанси може да се појават во процесот на намалување на рационалните фракции. Главните суптилности се дискутирани во написот за намалување на алгебарските фракции користејќи примери и детално.

Завршувајќи го разговорот за намалувањето на рационалните дропки, забележуваме дека оваа трансформација е идентична, а главната тешкотија во нејзината имплементација лежи во факторингирање на полиномите во броителот и именителот.

Претставување на рационална дропка како збир на дропки

Сосема специфична, но во некои случаи многу корисна е трансформацијата на рационална дропка, која се состои во нејзино претставување како збир од неколку дропки или збир на цел израз и дропка.

Рационална дропка, чиј броител содржи полином што претставува збир од неколку мономи, секогаш може да се запише како збир на дропки со исти именители, чии броителите ги содржат соодветните мономи. На пример, . Ова претставување се објаснува со правилото за собирање и одземање на алгебарски дропки со слични именители.

Општо земено, секоја рационална дропка може да се претстави како збир од дропки на многу различни начини. На пример, дропката a/b може да се претстави како збир од две дропки - произволна дропка c/d и дропка еднаква на разликата помеѓу дропките a/b и c/d. Оваа изјава е вистинита, бидејќи важи еднаквоста . На пример, рационална дропка може да се претстави како збир на дропки различни начини: Да ја замислиме оригиналната дропка како збир од цел број израз и дропка. Со делење на броителот со именителот со колона, се добива еднаквост . Вредноста на изразот n 3 +4 за кој било цел број n е цел број. А вредноста на дропка е цел број ако и само ако нејзиниот именител е 1, −1, 3 или −3. Овие вредности одговараат на вредностите n=3, n=1, n=5 и n=−1, соодветно.

Одговор:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 7-мо одделение. Во 14 часот Дел 1. Учебник за ученици образовните институции/ А. Г. Мордкович. - 13. изд., рев. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 стр.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа.Дел 1. Учебник за студенти на општообразовни институции / А.Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.