Да почнеме со нашиот омилен плоштад.
Пример 9
Квадрат комплексен број
Овде можете да одите на два начина, првиот начин е да го препишете степенот како производ на множители и да ги множите броевите според правилото за множење полиноми.
Вториот метод е да се користи добро познатата училишна формула за скратено множење:
За сложен број лесно е да се изведе сопствена скратена формула за множење:
Слична формула може да се изведе за квадратот на разликата, како и за коцката на збирот и коцката на разликата. Но, овие формули се порелевантни за сложени проблеми со анализа. Што ако треба да подигнете сложен број на, да речеме, 5-та, 10-тата или 100-тата моќност? Јасно е дека е речиси невозможно да се изведе таков трик во алгебарска форма; навистина, размислете како ќе решите пример како?
И тука на помош доаѓа тригонометриската форма на комплексен број и т.н Формулата на Моивр: Ако комплексен број е претставен во тригонометриска форма, тогаш кога е подигнат до природна моќност, важи следнава формула:
Тоа е само срамота.
Пример 10
Со оглед на сложениот број, најдете.
Што треба да се направи? Прво треба да го претставите овој број во тригонометриска форма. Внимателните читатели ќе забележале дека во Пример 8 веќе го направивме ова:
Потоа, според формулата на Моивр:
Не дај Боже, не треба да сметате на калкулатор, но во повеќето случаи аголот треба да се поедностави. Како да се поедностави? Фигуративно кажано, треба да се ослободите од непотребните вртења. Една револуција е радијан или 360 степени. Ајде да дознаеме колку кривини имаме во аргументот. За погодност, ја правиме фракцијата точна:, по што станува јасно видливо дека можете да намалите една револуција:. Се надевам дека сите разбираат дека ова е истиот агол.
Така, конечниот одговор ќе биде напишан вака:
Посебна варијација на проблемот со степенување е степенувањето на чисто имагинарни броеви.
Пример 12
Подигнете сложени броеви до моќи
И овде сè е едноставно, главната работа е да се потсетиме на познатата еднаквост.
Ако имагинарната единица е подигната на рамномерна моќност, тогаш техниката на решение е како што следува:
Ако имагинарната единица е подигната на непарна моќност, тогаш ние „откачуваме“ едно „и“, добивајќи парна моќност:
Ако има минус (или кој било реален коефициент), тогаш прво мора да се одвои:
Извлекување корени од сложени броеви. Квадратна равенка со сложени корени
Ајде да погледнеме на пример:
Не можете да го извадите коренот? Ако зборуваме за реални бројки, тогаш тоа навистина е невозможно. Можно е да се извлече коренот на сложените броеви! Поточно, двакорен:
Дали се пронајдените корени навистина решение за равенката? Ајде да провериме:
Што требаше да се провери.
Често се користи скратена нотација; двата корени се напишани на една линија под „ист чешел“: .
Овие корени се нарекуваат и конјугирани комплексни корени.
Мислам дека сите разбираат како да извлечат квадратни корени од негативни броеви: ,,,, итн. Во сите случаи излегува дваконјугирани комплексни корени.
Да почнеме со нашиот омилен плоштад.
Пример 9
Квадрат комплексен број
Овде можете да одите на два начина, првиот начин е да го препишете степенот како производ на множители и да ги множите броевите според правилото за множење полиноми.
Вториот метод е да се користи добро познатата училишна формула за скратено множење:
За сложен број лесно е да се изведе сопствена скратена формула за множење:
Слична формула може да се изведе за квадратот на разликата, како и за коцката на збирот и коцката на разликата. Но, овие формули се порелевантни за сложени проблеми со анализа. Што ако треба да подигнете сложен број на, да речеме, 5-та, 10-тата или 100-тата моќност? Јасно е дека е речиси невозможно да се изведе таков трик во алгебарска форма; навистина, размислете како ќе решите пример како?
И тука на помош доаѓа тригонометриската форма на комплексен број и т.н Формулата на Моивр: Ако комплексен број е претставен во тригонометриска форма, тогаш кога е подигнат до природна моќност, важи следнава формула:
Тоа е само срамота.
Пример 10
Со оглед на сложениот број, најдете.
Што треба да се направи? Прво треба да го претставите овој број во тригонометриска форма. Внимателните читатели ќе забележале дека во Пример 8 веќе го направивме ова:
Потоа, според формулата на Моивр:
Не дај Боже, не треба да сметате на калкулатор, но во повеќето случаи аголот треба да се поедностави. Како да се поедностави? Фигуративно кажано, треба да се ослободите од непотребните вртења. Една револуција е радијан или 360 степени. Ајде да дознаеме колку кривини имаме во аргументот. За погодност, ја правиме фракцијата точна:, по што станува јасно видливо дека можете да намалите една револуција:. Се надевам дека сите разбираат дека ова е истиот агол.
Така, конечниот одговор ќе биде напишан вака:
Посебна варијација на проблемот со степенување е степенувањето на чисто имагинарни броеви.
Пример 12
Подигнете сложени броеви до моќи
И овде сè е едноставно, главната работа е да се потсетиме на познатата еднаквост.
Ако имагинарната единица е подигната на рамномерна моќност, тогаш техниката на решение е како што следува:
Ако имагинарната единица е подигната на непарна моќност, тогаш ние „откачуваме“ едно „и“, добивајќи парна моќност:
Ако има минус (или кој било реален коефициент), тогаш прво мора да се одвои:
Извлекување корени од сложени броеви. Квадратна равенка со сложени корени
Ајде да погледнеме на пример:
Не можете да го извадите коренот? Ако зборуваме за реални бројки, тогаш тоа навистина е невозможно. Можно е да се извлече коренот на сложените броеви! Поточно, двакорен:
Дали се пронајдените корени навистина решение за равенката? Ајде да провериме:
Што требаше да се провери.
Често се користи скратена нотација; двата корени се напишани на една линија под „ист чешел“: .
Овие корени се нарекуваат и конјугирани комплексни корени.
Мислам дека сите разбираат како да извлечат квадратни корени од негативни броеви: ,,,, итн. Во сите случаи излегува дваконјугирани комплексни корени.
Пример 13
Реши квадратна равенка
Да ја пресметаме дискриминаторот:
Дискриминантата е негативна, а равенката нема решение во реални броеви. Но, коренот може да се извлече во сложени броеви!
Користејќи познати училишни формули, добиваме два корени: – конјугира сложени корени
Така, равенката има два конјугирани комплексни корени:
Сега можете да решите која било квадратна равенка!
И воопшто, секоја равенка со полином од „n-ти“ степен има еднакви корени, од кои некои може да бидат сложени.
Едноставен пример за решавање самостојно:
Пример 14
Најдете ги корените на равенката и множете го квадратниот бином.
Факторизацијата повторно се врши според стандардната училишна формула.