اللوغاريتمات حل المعادلات. المعادلات اللوغاريتمية

سنتعلم اليوم كيفية حل أبسط المعادلات اللوغاريتمية، حيث لا يلزم إجراء تحويلات أولية أو اختيار الجذور. ولكن إذا تعلمت حل هذه المعادلات، فسيكون الأمر أسهل بكثير.

أبسط معادلة لوغاريتمية هي معادلة على شكل سجل a f (x) = b، حيث a، b أرقام (a > 0، a ≠ 1)، f (x) هي دالة معينة.

السمة المميزة لجميع المعادلات اللوغاريتمية هي وجود المتغير x تحت علامة اللوغاريتم. إذا كانت هذه هي المعادلة المعطاة في البداية في المشكلة، فإنها تسمى الأبسط. يتم اختزال أي معادلات لوغاريتمية أخرى إلى أبسطها عن طريق تحويلات خاصة (انظر "الخصائص الأساسية للوغاريتمات"). ومع ذلك، يجب أن تؤخذ العديد من التفاصيل الدقيقة في الاعتبار: قد تنشأ جذور إضافية، لذلك سيتم النظر في المعادلات اللوغاريتمية المعقدة بشكل منفصل.

كيفية حل مثل هذه المعادلات؟ يكفي استبدال الرقم الموجود على يمين علامة المساواة بلوغاريتم في نفس الأساس الموجود على اليسار. ثم يمكنك التخلص من علامة اللوغاريتم. نحن نحصل:

سجل أ و (س) = ب ⇒ سجل أ و (س) = سجل أ أ ب ⇒ و (س) = أ ب

لقد حصلنا على المعادلة المعتادة. جذورها هي جذور المعادلة الأصلية.

اخراج درجات

في كثير من الأحيان، يتم حل المعادلات اللوغاريتمية، التي تبدو ظاهريًا معقدة وخطيرة، حرفيًا في سطرين دون إشراك الصيغ المعقدة. سننظر اليوم إلى مثل هذه المشكلات، حيث كل ما هو مطلوب منك هو تقليل الصيغة بعناية إلى الشكل القانوني وعدم الخلط عند البحث عن مجال تعريف اللوغاريتمات.

اليوم، كما خمنت على الأرجح من العنوان، سنحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام صيغ للانتقال إلى النموذج القانوني. "الحيلة" الرئيسية لدرس الفيديو هذا هي العمل بالدرجات، أو بالأحرى، استنتاج الدرجة من الأساس والحجة. دعونا ننظر إلى القاعدة:

وبالمثل، يمكنك استخلاص الدرجة من القاعدة:

كما نرى، إذا أزلنا الدرجة من سعة اللوغاريتم، كان لدينا ببساطة عامل إضافي في المقدمة، فعندما أزلنا الدرجة من القاعدة، لا نحصل على مجرد عامل، بل عاملًا مقلوبًا. هذا يحتاج إلى أن نتذكر.

وأخيرا، الشيء الأكثر إثارة للاهتمام. ويمكن دمج هذه الصيغ فنحصل على:

وبطبيعة الحال، عند إجراء هذه التحولات، هناك بعض المزالق المرتبطة بالتوسيع المحتمل لنطاق التعريف أو، على العكس من ذلك، تضييق نطاق التعريف. أحكم لنفسك:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 ×

إذا كان x في الحالة الأولى يمكن أن يكون أي رقم غير 0، أي المتطلب x ≠ 0، ففي الحالة الثانية نكون راضين عن x فقط، والتي ليست فقط غير متساوية، ولكنها أكبر تمامًا من 0، لأن مجال تعريف اللوغاريتم هو أن الحجة تكون أكبر من 0. لذلك، اسمحوا لي أن أذكركم صيغة رائعةمن دورة الجبر من الصف الثامن إلى التاسع:

أي أننا يجب أن نكتب صيغتنا على النحو التالي:

سجل 3 × 2 = 2 ∙ سجل 3 |س |

عندها لن يحدث أي تضييق لنطاق التعريف.

ومع ذلك، في الفيديو التعليمي اليوم لن تكون هناك مربعات. إذا نظرت إلى مهامنا، فلن ترى سوى الجذور. ولذلك، فإننا لن نطبق هذه القاعدة، ولكن لا يزال من الضروري أن نضعها في الاعتبار حتى ذلك الحين اللحظة المناسبةعندما ترى وظيفة من الدرجة الثانيةفي وسيطة أو قاعدة اللوغاريتم، سوف تتذكر هذه القاعدة وتنفذ جميع التحويلات بشكل صحيح.

إذن المعادلة الأولى هي:

لحل هذه المشكلة، أقترح أن ننظر بعناية في كل من المصطلحات الموجودة في الصيغة.

دعونا نعيد كتابة الحد الأول كقوة مع مؤشر عقلاني:

ننظر إلى الحد الثاني: log 3 (1 - x). ليست هناك حاجة لفعل أي شيء هنا، كل شيء قد تحول هنا بالفعل.

أخيرًا، 0، 5. كما قلت في الدروس السابقة، عند حل المعادلات والصيغ اللوغاريتمية، أوصي بشدة بالانتقال من الكسور العشرية إلى الكسور الشائعة. هيا بنا نقوم بذلك:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة صيغتنا الأصلية مع الأخذ بعين الاعتبار المصطلحات الناتجة:

سجل 3 (1 − س ) = 1

الآن دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:

سجل 3 (1 − x ) = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم عن طريق مساواة الوسيطات:

1 - س = 3

-س = 2

س = −2

هذا كل شيء، لقد حللنا المعادلة. ومع ذلك، دعونا نواصل اللعب بأمان ونبحث عن مجال التعريف. للقيام بذلك، دعونا نعود إلى الصيغة الأصلية ونرى:

1 - س > 0

−س > −1

س< 1

جذرنا x = −2 يفي بهذا المطلب، لذلك x = −2 هو حل للمعادلة الأصلية. الآن حصلنا على تبرير صارم وواضح. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

دعونا ننظر إلى كل مصطلح على حدة.

لنكتب أول واحد:

لقد حولنا الفصل الأول. نحن نعمل مع الفصل الثاني:

وأخيراً الحد الأخير الذي على يمين علامة التساوي:

نستبدل التعبيرات الناتجة بدلاً من المصطلحات في الصيغة الناتجة:

سجل 3 × = 1

دعنا ننتقل إلى النموذج القانوني:

سجل 3 س = سجل 3 3

نتخلص من علامة اللوغاريتم، ومساواة الحجج، ونحصل على:

س = 3

مرة أخرى، لكي نكون على الجانب الآمن، دعونا نعود إلى المعادلة الأصلية ونلقي نظرة. في الصيغة الأصلية، المتغير x موجود فقط في الوسيطة، لذلك،

س> 0

في اللوغاريتم الثاني، x يقع تحت الجذر، ولكن مرة أخرى في الوسيطة، يجب أن يكون الجذر أكبر من 0، أي أن التعبير الجذري يجب أن يكون أكبر من 0. نحن ننظر إلى جذرنا x = 3. من الواضح أنه يفي بهذا المطلب. وبالتالي فإن x = 3 هو حل للمعادلة اللوغاريتمية الأصلية. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

هناك نقطتان رئيسيتان في الفيديو التعليمي اليوم:

1) لا تخف من تحويل اللوغاريتمات، وعلى وجه الخصوص، لا تخف من إزالة القوى من علامة اللوغاريتم، مع تذكر صيغتنا الأساسية: عند إزالة القوة من الوسيطة، يتم إخراجها ببساطة دون تغييرات كمضاعف، وعند إزالة قوة من القاعدة، يتم عكس هذه القوة.

2) النقطة الثانية تتعلق بالشكل القانوني نفسه. لقد قمنا بالانتقال إلى الشكل القانوني في نهاية تحويل صيغة المعادلة اللوغاريتمية. دعني أذكرك بالصيغة التالية:

أ = السجل ب ب أ

وبالطبع أقصد بتعبير "أي رقم ب" تلك الأرقام التي تلبي المتطلبات المفروضة على قاعدة اللوغاريتم، أي.

1 ≠ ب > 0

لمثل هذا ب، وبما أننا نعرف الأساس بالفعل، فسيتم استيفاء هذا المطلب تلقائيًا. ولكن لمثل هذا ب - أي الذي يلبي هذا المطلب - يمكن إجراء هذا الانتقال، وسوف نحصل على شكل قانوني يمكننا من خلاله التخلص من علامة اللوغاريتم.

توسيع مجال التعريف والجذور الإضافية

في عملية تحويل المعادلات اللوغاريتمية، قد يحدث توسع ضمني في مجال التعريف. في كثير من الأحيان لا يلاحظ الطلاب ذلك، مما يؤدي إلى ارتكاب أخطاء وإجابات غير صحيحة.

لنبدأ بأبسط التصاميم. أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و(س) = ب

لاحظ أن x موجود في وسيطة واحدة فقط لوغاريتم واحد. كيف نحل مثل هذه المعادلات؟ نحن نستخدم النموذج الكنسي. للقيام بذلك، تخيل الرقم ب = سجل أ أ ب، وسيتم إعادة كتابة معادلتنا على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا الإدخال يسمى النموذج القانوني. ولهذا يجب عليك تقليل أي معادلة لوغاريتمية ستواجهها ليس فقط في درس اليوم، ولكن أيضًا في أي عمل مستقل واختباري.

إن كيفية الوصول إلى الشكل القانوني والتقنيات التي يجب استخدامها هي مسألة ممارسة. الشيء الرئيسي الذي يجب فهمه هو أنه بمجرد تلقي مثل هذا السجل، يمكنك اعتبار أن المشكلة قد تم حلها. لأن الخطوة التاليةسيكون هناك إدخال:

و (خ) = أ ب

بمعنى آخر، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج ببساطة.

لماذا كل هذا الكلام؟ والحقيقة هي أن النموذج الكنسي لا ينطبق فقط على أبسط المشاكل، ولكن أيضا على أي مشاكل أخرى. على وجه الخصوص، لأولئك الذين سنقررهم اليوم. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

ما هي المشكلة في هذه المعادلة؟ الحقيقة هي أن الدالة موجودة في لوغاريتمين في وقت واحد. يمكن اختصار المشكلة إلى أبسطها عن طريق طرح لوغاريتم واحد من الآخر. ولكن تنشأ مشاكل في منطقة التعريف: قد تظهر جذور إضافية. لذلك دعونا نحرك أحد اللوغاريتمات إلى اليمين:

هذا الإدخال يشبه إلى حد كبير النموذج الأساسي. ولكن هناك فارق بسيط آخر: في الشكل القانوني، يجب أن تكون الحجج هي نفسها. وعلى اليسار لدينا اللوغاريتم في الأساس 3، وعلى اليمين في الأساس 1/3. وهو يعلم أن هذه القواعد تحتاج إلى رفعها إلى نفس العدد. على سبيل المثال، دعونا نتذكر ما هي القوى السلبية:

وبعد ذلك سنستخدم الأس "−1" خارج السجل كمضاعف:

يرجى ملاحظة: الدرجة التي كانت عند القاعدة تنقلب وتتحول إلى كسر. لقد حصلنا على تدوين قانوني تقريبًا من خلال التخلص من القواعد المختلفة، ولكن في المقابل حصلنا على العامل "-1" على اليمين. دعونا نحلل هذا العامل في الوسيطة بتحويله إلى قوة:

بالطبع، بعد أن تلقينا النموذج الكنسي، فإننا نعبر بجرأة علامة اللوغاريتم ونساوي الحجج. في الوقت نفسه، اسمحوا لي أن أذكرك أنه عند رفعه إلى القوة "−1"، يتم قلب الكسر ببساطة - يتم الحصول على نسبة.

دعونا نستخدم خاصية التناسب الأساسية ونضربها بالعرض:

(س − 4) (2س − 1) = (س − 5) (3س − 4)

2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20

2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20

س 2 − 10س + 16 = 0

ما أمامنا هو معادلة من الدرجة الثانيةلذلك قمنا بحلها باستخدام صيغ فييتا:

(س − 8)(س − 2) = 0

س 1 = 8؛ × 2 = 2

هذا كل شئ. هل تعتقد أن المعادلة قد تم حلها؟ لا! لمثل هذا الحل سوف نحصل على 0 نقطة، لأنه في المعادلة الأصلية هناك لوغاريتمان مع المتغير x. ولذلك، فمن الضروري أن تأخذ في الاعتبار مجال التعريف.

وهذا هو المكان الذي تبدأ فيه المتعة. معظم الطلاب في حيرة من أمرهم: ما هو مجال تعريف اللوغاريتم؟ بالطبع، جميع الوسيطات (لدينا اثنتين) يجب أن تكون أكبر من الصفر:

(x − 4)/(3x − 4) > 0

(س − 5)/(2س − 1) > 0

يجب حل كل من هذه المتباينات، ووضع علامة عليها على خط مستقيم، وتقاطعها، وعندها فقط معرفة الجذور التي تقع عند التقاطع.

سأكون صادقًا: هذه التقنية لها الحق في الوجود، فهي موثوقة، وستحصل على الإجابة الصحيحة، ولكن يوجد بها الكثير. الإجراءات غير الضرورية. لذلك دعونا نراجع الحل مرة أخرى ونرى: أين نحتاج بالضبط إلى تطبيق النطاق؟ بمعنى آخر، عليك أن تفهم بوضوح متى تظهر الجذور الإضافية بالضبط.

1. في البداية كان لدينا لوغاريتمين. ثم قمنا بنقل إحداها إلى اليمين، لكن ذلك لم يؤثر على منطقة التعريف.
2. ثم نقوم بإزالة القوة من القاعدة، ولكن لا يزال هناك لوغاريتمين، وفي كل منهما يوجد متغير x.
3. أخيرًا، نشطب علامات السجل ونحصل على الكلاسيكية كسور معادلة عقلانية.

وفي الخطوة الأخيرة يتم توسيع نطاق التعريف! وبمجرد انتقالنا إلى معادلة كسرية عقلانية، والتخلص من العلامات اللوغاريتمية، تغيرت متطلبات المتغير x بشكل كبير!

وبالتالي، لا يمكن اعتبار مجال التعريف في بداية الحل، ولكن فقط في الخطوة المذكورة - قبل مساواة الحجج مباشرة.

وهنا تكمن فرصة التحسين. من ناحية، مطلوب منا أن تكون كلتا الوسيطتين أكبر من الصفر. ومن ناحية أخرى، فإننا نساوي هذه الحجج أيضًا. لذلك، إذا كان واحد منهم على الأقل إيجابيا، فإن الثاني سيكون إيجابيا أيضا!

لذا فقد تبين أن اشتراط تحقيق متباينتين في وقت واحد هو أمر مبالغ فيه. يكفي النظر في واحد فقط من هذه الكسور. أيها؟ الذي هو أبسط. على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى الكسر الأيمن:

(س − 5)/(2س − 1) > 0

هذا نموذجي عدم المساواة العقلانية الكسرية، نحلها باستخدام طريقة الفاصل:

كيفية وضع العلامات؟ لنأخذ رقمًا من الواضح أنه أكبر من جميع جذورنا. على سبيل المثال، 1 مليار ونعوض بكسرها. نحن نحصل رقم موجب، عدد إيجابي، أي. ستكون هناك علامة زائد على يمين الجذر x = 5.

ثم تتناوب العلامات، لأنه لا توجد جذور للتعدد في أي مكان. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها الدالة موجبة. وبالتالي، x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

الآن دعونا نتذكر الإجابات: x = 8 و x = 2. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه ليست إجابات بعد، ولكنها مجرد مرشحات للإجابة. أي واحد ينتمي إلى المجموعة المحددة؟ بالطبع x = 8. لكن x = 2 لا تناسبنا من حيث مجال تعريفها.

في المجمل، ستكون إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى هي x = 8. والآن حصلنا على المعادلة الصحيحة، قرار مستنيرمع مراعاة مجال التعريف.

لننتقل إلى المعادلة الثانية:

سجل 5 (س − 9) = سجل 0.5 4 − سجل 5 (س − 5) + 3

اسمحوا لي أن أذكرك أنه إذا كان هناك كسر عشري في المعادلة، فعليك التخلص منه. بمعنى آخر، دعونا نعيد كتابة 0.5 في النموذج جزء مشترك. نلاحظ على الفور أن اللوغاريتم الذي يحتوي على هذا الأساس يمكن حسابه بسهولة:

هذه لحظة مهمة جدا! عندما يكون لدينا درجات في كل من القاعدة والوسيطة، يمكننا استخلاص مؤشرات هذه الدرجات باستخدام الصيغة:

دعنا نعود إلى المعادلة اللوغاريتمية الأصلية ونعيد كتابتها:

سجل 5 (س − 9) = 1 - سجل 5 (س − 5)

لقد حصلنا على تصميم قريب جدًا من الشكل الأساسي. ومع ذلك، نحن في حيرة من أمرنا بشأن المصطلحات وعلامة الطرح الموجودة على يمين علامة المساواة. لنمثل واحدًا على هيئة لوغاريتم للأساس 5:

سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5 1 − سجل 5 (س − 5)

اطرح اللوغاريتمات الموجودة على اليمين (في هذه الحالة يتم تقسيم حججها):

سجل 5 (س − 9) = سجل 5 5/(س − 5)

رائع. لذلك حصلنا على الشكل القانوني! نقوم بشطب علامات السجل ومساواة الحجج:

(س − 9)/1 = 5/(س − 5)

هذه نسبة يمكن حلها بسهولة عن طريق الضرب بالعرض:

(x − 9)(x − 5) = 5 1

س 2 − 9س − 5س + 45 = 5

س 2 − 14س + 40 = 0

من الواضح أن لدينا معادلة تربيعية مخفضة. يمكن حلها بسهولة باستخدام صيغ فييتا:

(س − 10)(س − 4) = 0

× 1 = 10

× 2 = 4

لقد حصلنا على جذرين. لكن هذه ليست إجابات نهائية، بل مجرد إجابات مرشحة، لأن المعادلة اللوغاريتمية تتطلب أيضًا التحقق من مجال التعريف.

أذكرك: ليست هناك حاجة للبحث متى كلمن الحجج ستكون أكبر من الصفر. يكفي أن نشترط أن تكون الوسيطة الواحدة — إما x − 9 أو 5/(x − 5) — أكبر من الصفر. النظر في الحجة الأولى:

س − 9 > 0

س > 9

من الواضح أن x = 10 فقط يفي بهذا الشرط. تم حل المشكلة برمتها.

مرة أخرى، الأفكار الرئيسية لدرس اليوم:

1. بمجرد ظهور المتغير x في عدة لوغاريتمات، تتوقف المعادلة عن أن تكون أولية، وسيتعين حساب مجال تعريفها. بخلاف ذلك، يمكنك بسهولة كتابة جذور إضافية في الإجابة.
2. يمكن تبسيط العمل مع المجال نفسه بشكل كبير إذا لم نكتب عدم المساواة على الفور، ولكن بالضبط في اللحظة التي نتخلص فيها من علامات السجل. بعد كل شيء، عندما تتساوى الحجج مع بعضها البعض، يكفي أن نشترط أن تكون واحدة منها فقط أكبر من الصفر.

بالطبع، نحن أنفسنا نختار الحجة التي سنستخدمها لتكوين المتباينة، لذا فمن المنطقي أن نختار أبسطها. على سبيل المثال، في المعادلة الثانية اخترنا الوسيط (x − 9) - دالة خطية، على عكس الحجة الثانية العقلانية الكسرية. أوافق على أن حل المتراجحة x − 9 > 0 أسهل بكثير من 5/(x − 5) > 0. على الرغم من أن النتيجة واحدة.

تعمل هذه الملاحظة على تبسيط البحث عن ODZ إلى حد كبير، ولكن كن حذرًا: يمكنك استخدام متباينة واحدة بدلاً من متباينتين فقط إذا كانت الوسيطات دقيقة متساوون مع بعضهم البعض!

وبطبيعة الحال، سوف يتساءل شخص ما الآن: ما الذي يحدث بشكل مختلف؟ نعم احيانا. على سبيل المثال، في الخطوة نفسها، عندما نضرب وسيطتين تحتويان على متغير، يكون هناك خطر جذور اضافية.

احكم بنفسك: أولاً يشترط أن تكون كل وسيطة أكبر من الصفر، ولكن بعد الضرب يكفي أن يكون حاصل ضربها أكبر من الصفر. ونتيجة لذلك، يتم تفويت الحالة التي يكون فيها كل من هذه الكسور سالبة.

لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في فهم المعادلات اللوغاريتمية المعقدة، فلا تضاعف تحت أي ظرف من الظروف اللوغاريتمات التي تحتوي على المتغير x - وهذا سيؤدي في كثير من الأحيان إلى ظهور جذور غير ضرورية. من الأفضل اتخاذ خطوة إضافية، ونقل مصطلح واحد إلى الجانب الآخر وإنشاء نموذج أساسي.

حسنًا، ماذا تفعل إذا لم تتمكن من فعل ذلك دون مضاعفة هذه اللوغاريتمات، سنناقشها في درس الفيديو التالي :)

مرة أخرى عن القوى في المعادلة

سنتناول اليوم موضوعًا زلقًا بعض الشيء يتعلق بالمعادلات اللوغاريتمية، أو بشكل أدق، إزالة القوى من حجج وأسس اللوغاريتمات.

أود أن أقول حتى سنتحدثحول إزالة القوى الزوجية، لأنه مع القوى الزوجية تنشأ معظم الصعوبات عند حل المعادلات اللوغاريتمية الحقيقية.

لنبدأ بالشكل القانوني. لنفترض أن لدينا معادلة بالصيغة log a f (x) = b. في هذه الحالة، نعيد كتابة الرقم b باستخدام الصيغة b = log a a b . اتضح ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نقوم بمساواة الحجج:

و (خ) = أ ب

تسمى الصيغة قبل الأخيرة بالشكل القانوني. ولهذا يحاولون اختزال أي معادلة لوغاريتمية، مهما بدت معقدة ومخيفة للوهلة الأولى.

لذلك دعونا نحاول ذلك. لنبدأ بالمهمة الأولى:

ملاحظة أولية: كما قلت، كل شيء الكسور العشريةفي المعادلة اللوغاريتمية من الأفضل تحويلها إلى معادلة عادية:

0,5 = 5/10 = 1/2

دعونا نعيد كتابة المعادلة مع أخذ هذه الحقيقة في الاعتبار. لاحظ أن كلا من 1/1000 و100 هما من قوى العشرة، ثم دعونا نحذف القوى أينما كانت: من الحجج وحتى من قاعدة اللوغاريتمات:

وهنا لدى العديد من الطلاب سؤال: "من أين أتت الوحدة الموجودة على اليمين؟" في الواقع، لماذا لا نكتب ببساطة (x − 1)؟ بالطبع سنكتب الآن (x − 1)، لكن مع مراعاة مجال التعريف يمنحنا الحق في مثل هذا التدوين. ففي النهاية، هناك لوغاريتم آخر يحتوي بالفعل على (x − 1)، ويجب أن يكون هذا التعبير أكبر من الصفر.

لكن عندما نزيل المربع من قاعدة اللوغاريتم، يجب أن نترك الوحدة تمامًا عند القاعدة. اسمحوا لي أن أشرح لماذا.

والحقيقة هي أنه من وجهة نظر رياضية، فإن الحصول على درجة هو بمثابة أخذ الجذر. على وجه الخصوص، عندما نقوم بتربيع التعبير (x − 1) 2، فإننا نأخذ الجذر الثاني. لكن الجذر التربيعي ليس أكثر من مجرد معامل. بالضبط وحدةلأنه حتى لو كان التعبير x - 1 سالبًا، فعند التربيع، سيظل "الطرح" محترقًا. المزيد من استخراج الجذر سيعطينا رقمًا موجبًا - دون أي سلبيات.

بشكل عام، لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية، تذكر مرة واحدة وإلى الأبد:

جذر القوة الزوجية لأي دالة مرفوعة إلى نفس القوة لا يساوي الدالة نفسها، بل يساوي معاملها:

دعنا نعود إلى معادلتنا اللوغاريتمية. في معرض حديثه عن الوحدة، قلت أنه يمكننا إزالتها دون ألم. هذا صحيح. الآن سأشرح السبب. بالمعنى الدقيق للكلمة، كان علينا أن ننظر في خيارين:

1. x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = س - 1
2. س - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

وسيتعين معالجة كل خيار من هذه الخيارات. لكن هناك مشكلة واحدة: الصيغة الأصلية تحتوي بالفعل على الدالة (x − 1) بدون أي معامل. وباتباع مجال تعريف اللوغاريتمات، لدينا الحق في كتابة ذلك x − 1 > 0 على الفور.

يجب تلبية هذا المطلب بغض النظر عن أي وحدات أو تحويلات أخرى نقوم بها أثناء عملية الحل. لذلك، لا معنى للنظر في الخيار الثاني - فلن ينشأ أبدا. حتى لو حصلنا على بعض الأرقام عند حل هذا الفرع من المتباينة، فلن يتم تضمينها في الإجابة النهائية.

نحن الآن على بعد خطوة واحدة من الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. لنمثل الوحدة على النحو التالي:

1 = السجل س − 1 (س − 1) 1

بالإضافة إلى ذلك، نقوم بإدخال العامل −4، الموجود على اليمين، في الوسيطة:

سجل x − 1 10 −4 = سجل x − 1 (x − 1)

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية. نتخلص من علامة اللوغاريتم:

10 −4 = س − 1

ولكن بما أن الأساس كان دالة (وليس عددًا أوليًا)، فإننا نطلب بالإضافة إلى ذلك أن تكون هذه الدالة أكبر من الصفر ولا تساوي واحدًا. النظام الناتج سيكون:

بما أن المتطلب x − 1 > 0 قد تم استيفاؤه تلقائيًا (في النهاية x − 1 = 10 −4)، يمكن حذف إحدى المتباينات من نظامنا. يمكن أيضًا شطب الشرط الثاني، لأن x − 1 = 0.0001< 1. Итого получаем:

س = 1 + 0.0001 = 1.0001

هذا هو الجذر الوحيد الذي يلبي تلقائيًا جميع متطلبات مجال تعريف اللوغاريتم (ومع ذلك، تم إلغاء جميع المتطلبات كما هو واضح في ظروف مشكلتنا).

إذن المعادلة الثانية هي:

3 سجل 3 × س = 2 سجل 9 × × 2

كيف تختلف هذه المعادلة جوهريا عن المعادلة السابقة؟ فقط من خلال حقيقة أن أسس اللوغاريتمات - 3x و 9x - ليست كذلك درجات طبيعيةبعضها البعض. ولذلك، فإن الانتقال الذي استخدمناه في الحل السابق غير ممكن.

دعونا على الأقل نتخلص من الدرجات العلمية. وفي حالتنا الدرجة الوحيدة هي في الحجة الثانية:

3 سجل 3 x x = 2 ∙ 2 سجل 9 x |x |

ومع ذلك، يمكن إزالة علامة المعامل، لأن المتغير x موجود أيضًا في القاعدة، أي. س > 0 ⇒ |س| = س. دعونا نعيد كتابة المعادلة اللوغاريتمية:

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

لقد حصلنا على اللوغاريتمات التي تكون فيها الحجج هي نفسها، ولكن أسباب مختلفة. ما العمل التالي؟ هناك العديد من الخيارات هنا، لكننا سننظر في اثنين منها فقط، وهما الأكثر منطقية، والأهم من ذلك، أنها تقنيات سريعة ومفهومة لمعظم الطلاب.

لقد نظرنا بالفعل في الخيار الأول: في أي موقف غير واضح، قم بتحويل اللوغاريتمات ذات الأساس المتغير إلى قاعدة ثابتة. على سبيل المثال، إلى الشيطان. صيغة الانتقال بسيطة:

وبطبيعة الحال، ينبغي أن يكون دور المتغير ج رقم عادي: 1 ≠ ج > 0. دع في حالتنا ج = 2. الآن أمامنا المعادلة العقلانية الكسرية المعتادة. نقوم بجمع كل العناصر الموجودة على اليسار:

من الواضح أنه من الأفضل إزالة العامل log 2 x، لأنه موجود في الكسرين الأول والثاني.

سجل 2 س = 0؛

3 سجل 2 9س = 4 سجل 2 3س

نحن نقسم كل سجل إلى فترتين:

سجل 2 9x = سجل 2 9 + سجل 2 x = 2 سجل 2 3 + سجل 2 x;

سجل 2 3س = سجل 2 3 + سجل 2 س

دعونا نعيد كتابة طرفي المساواة مع الأخذ بعين الاعتبار هذه الحقائق:

3 (2 سجل 2 3 + سجل 2 x ) = 4 (سجل 2 3 + سجل 2 x )

6 سجل 2 3 + 3 سجل 2 س = 4 سجل 2 3 + 4 سجل 2 س

2 سجل 2 3 = سجل 2 س

الآن كل ما تبقى هو إدخال اثنين تحت علامة اللوغاريتم (سوف يتحول إلى قوة: 3 2 = 9):

سجل 2 9 = سجل 2 س

أمامنا الشكل القانوني الكلاسيكي، نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على:

وكما هو متوقع، تبين أن هذا الجذر أكبر من الصفر. يبقى للتحقق من مجال التعريف. دعونا ننظر إلى الأسباب:

لكن الجذر x = 9 يلبي هذه المتطلبات. ولذلك، فهو القرار النهائي.

الاستنتاج من هذا القراربسيط: لا تخف من التخطيطات الطويلة! لقد اخترنا في البداية قاعدة جديدة بشكل عشوائي - وهذا أدى إلى تعقيد العملية بشكل كبير.

ولكن بعد ذلك يطرح السؤال: ما هو الأساس؟ أفضل؟ سأتحدث عن هذا في الطريقة الثانية.

لنعد إلى معادلتنا الأصلية:

3 سجل 3x x = 2 سجل 9x x 2

3 سجل 3x x = 2 ∙ 2 سجل 9x |x |

س > 0 ⇒ |س| = س

3 سجل 3 × س = 4 سجل 9 × ×

الآن دعونا نفكر قليلاً: ما هو الرقم أو الوظيفة التي ستكون الأساس الأمثل؟ من الواضح أن الخيار الأفضلسيكون هناك c = x - ما هو موجود بالفعل في الوسائط. في هذه الحالة، الصيغة log a b = log c b /log c a سوف تأخذ الشكل:

وبعبارة أخرى، يتم عكس التعبير ببساطة. في هذه الحالة، تتغير الحجة والأساس.

هذه الصيغة مفيدة جدًا وتستخدم كثيرًا في حل المعادلات اللوغاريتمية المعقدة. ومع ذلك، هناك مأزق خطير للغاية عند استخدام هذه الصيغة. إذا قمنا باستبدال المتغير x بدلاً من الأساس، فسيتم فرض قيود عليه لم يتم ملاحظتها من قبل:

لم يكن هناك مثل هذا القيد في المعادلة الأصلية. لذلك، يجب أن نتحقق بشكل منفصل من الحالة عندما تكون x = 1. نعوض بهذه القيمة في المعادلة:

3 سجل 3 1 = 4 سجل 9 1

الحصول على الحق المساواة العددية. وبالتالي فإن x = 1 هو جذر. لقد وجدنا نفس الجذر تمامًا في الطريقة السابقة في بداية الحل.

ولكن الآن بعد أن نظرنا إلى هذا بشكل منفصل حالة خاصة، نفترض بأمان أن x ≠ 1. ثم ستتم إعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية بالشكل التالي:

3 سجل × 9x = 4 سجل × 3x

نقوم بتوسيع كلا اللوغاريتمات باستخدام نفس الصيغة كما في السابق. لاحظ أن السجل x x = 1:

3 (سجل x 9 + سجل x x ) = 4 (سجل x 3 + سجل x x )

3 لوغاريتم × 9 + 3 = 4 لوغاريتم × 3 + 4

3 سجل × 3 2 − 4 سجل × 3 = 4 − 3

2 سجل × 3 = 1

لذلك وصلنا إلى الشكل القانوني:

السجل × 9 = السجل × × 1

س = 9

لقد حصلنا على الجذر الثاني. إنه يفي بالمتطلبات x ≠ 1. لذلك، x = 9 مع x = 1 هي الإجابة النهائية.

كما ترون، انخفض حجم العمليات الحسابية قليلاً. لكن عند حل معادلة لوغاريتمية حقيقية، سيكون عدد الخطوات أقل بكثير أيضًا لأنه ليس مطلوبًا منك وصف كل خطوة بمثل هذه التفاصيل.

القاعدة الأساسية لدرس اليوم هي ما يلي: إذا كانت المشكلة تحتوي على درجة زوجية، والتي يتم استخراج جذر نفس الدرجة منها، فسيكون الناتج عبارة عن معامل. ومع ذلك، يمكن إزالة هذه الوحدة إذا انتبهت إلى مجال تعريف اللوغاريتمات.

لكن كن حذرًا: بعد هذا الدرس، يعتقد معظم الطلاب أنهم يفهمون كل شيء. ولكن عند اتخاذ القرار مشاكل حقيقيةلا يمكنهم إعادة إنتاج السلسلة المنطقية بأكملها. ونتيجة لذلك، تكتسب المعادلة جذورًا غير ضرورية، ويتبين أن الإجابة غير صحيحة.

بهذا الفيديو أبدأ سلسلة طويلة من الدروس حول المعادلات اللوغاريتمية. الآن أمامك ثلاثة أمثلة، على أساسها سنتعلم حل أكبر عدد ممكن مهام بسيطة، والتي تسمى بذلك - الكائنات الاوليه.

سجل 0.5 (3س - 1) = −3

سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5

دعني أذكرك أن أبسط معادلة لوغاريتمية هي كما يلي:

سجل و(س) = ب

في هذه الحالة، من المهم أن يكون المتغير x موجودًا فقط داخل الوسيطة، أي في الدالة f (x) فقط. والرقمان a وb هما مجرد أرقام، وليسا بأي حال من الأحوال دوال تحتوي على المتغير x.

طرق الحل الأساسية

هناك طرق عديدة لحل مثل هذه الهياكل. على سبيل المثال، يقدم معظم المعلمين في المدرسة هذه الطريقة: التعبير فورًا عن الدالة f (x) باستخدام الصيغة F ( س) = أ ب . وهذا هو، عندما تصادف أبسط البناء، يمكنك الانتقال على الفور إلى الحل دون إجراءات وإنشاءات إضافية.

نعم بالطبع القرار سيكون صحيحا. ومع ذلك، فإن المشكلة في هذه الصيغة هي أن معظم الطلاب لا تفهمومن أين يأتي ولماذا نرفع حرف أ إلى حرف ب.

ونتيجة لذلك، كثيرا ما أرى أخطاء مزعجة للغاية عندما يتم، على سبيل المثال، تبديل هذه الحروف. هذه الصيغةتحتاج إما إلى الفهم أو الحشو، والطريقة الثانية تؤدي إلى أخطاء في أكثر اللحظات غير المناسبة والأكثر أهمية: في الامتحانات والاختبارات وما إلى ذلك.

ولهذا السبب أقترح على جميع طلابي التخلي عن الصيغة المدرسية القياسية واستخدام الطريقة الثانية لحل المعادلات اللوغاريتمية، والتي تسمى، كما خمنت على الأرجح من الاسم الشكل الكنسي.

الفكرة وراء الشكل القانوني بسيطة. دعونا نلقي نظرة على مشكلتنا مرة أخرى: على اليسار لدينا سجل a، ونعني بالحرف a رقمًا، وليس بأي حال من الأحوال دالة تحتوي على المتغير x. وبالتالي فإن هذه الرسالة تخضع لجميع القيود التي تفرض على أساس اللوغاريتم. يسمى:

1 ≠ أ > 0

ومن ناحية أخرى، من نفس المعادلة نرى أن اللوغاريتم يجب أن يكون كذلك يساوي العددب، ولا توجد قيود على هذا الحرف، لأنه يمكن أن يأخذ أي قيم - إيجابية وسلبية. كل هذا يتوقف على القيم التي تأخذها الدالة f(x).

وهنا نتذكر قاعدتنا الرائعة التي تنص على أن أي رقم b يمكن تمثيله لوغاريتم للأساس a لـ a أس b:

ب = سجل أ ب

كيف تتذكر هذه الصيغة؟ نعم، بسيط جدا. لنكتب البناء التالي:

ب = ب 1 = ب سجل أ

بالطبع، في هذه الحالة تنشأ جميع القيود التي كتبناها في البداية. الآن دعونا نستخدم الخاصية الأساسية للوغاريتم ونقدم المضاعف b كقوة a. نحن نحصل:

ب = ب 1 = ب سجل أ = سجل أ أ ب

ونتيجة لذلك، سيتم إعادة كتابة المعادلة الأصلية على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب → و (س) = أ ب

هذا كل شئ. ميزة جديدةلم تعد تحتوي على لوغاريتم ويمكن حلها باستخدام التقنيات الجبرية القياسية.

بالطبع، سوف يعترض شخص ما الآن: لماذا كان من الضروري التوصل إلى نوع من الصيغة الأساسية على الإطلاق، لماذا قم بإجراء خطوتين إضافيتين غير ضروريتين إذا كان من الممكن الانتقال على الفور من التصميم الأصلي إلى الصيغة النهائية؟ نعم، فقط لأن معظم الطلاب لا يفهمون من أين تأتي هذه الصيغة، ونتيجة لذلك، يرتكبون أخطاء بانتظام عند تطبيقها.

لكن هذا التسلسل من الإجراءات، الذي يتكون من ثلاث خطوات، يسمح لك بحل المعادلة اللوغاريتمية الأصلية، حتى لو كنت لا تفهم من أين تأتي الصيغة النهائية. بالمناسبة، الصيغة الكنسيةهذا الإدخال يسمى:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

تكمن ملاءمة الشكل القانوني أيضًا في حقيقة أنه يمكن استخدامه لحل فئة واسعة جدًا من المعادلات اللوغاريتمية، وليس فقط أبسط المعادلات التي نفكر فيها اليوم.

أمثلة على الحلول

الآن دعونا نلقي نظرة أمثلة حقيقية. لذلك، دعونا نقرر:

سجل 0.5 (3س - 1) = −3

دعنا نعيد كتابتها هكذا:

سجل 0.5 (3س − 1) = سجل 0.5 0.5 −3

العديد من الطلاب في عجلة من أمرهم ويحاولون رفع الرقم 0.5 على الفور إلى القوة التي أتت إلينا من المشكلة الأصلية. في الواقع، عندما تكون مدربًا جيدًا على حل مثل هذه المشكلات، يمكنك تنفيذ هذه الخطوة على الفور.

ومع ذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة هذا الموضوع، فمن الأفضل عدم التسرع في أي مكان لتجنب ارتكاب الأخطاء الهجومية. إذن، لدينا الشكل القانوني. لدينا:

3س − 1 = 0.5 −3

لم تعد هذه معادلة لوغاريتمية، بل خطية بالنسبة للمتغير x. لحلها، دعونا نلقي نظرة أولًا على الرقم 0.5 أس −3. لاحظ أن 0.5 هو 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

تحويل جميع الكسور العشرية إلى كسور عادية عند حل معادلة لوغاريتمية.

نعيد الكتابة ونحصل على:

3س - 1 = 8
3س = 9
س = 3

هذا كل شيء، حصلنا على الجواب. تم حل المشكلة الأولى.

المهمة الثانية

لننتقل إلى المهمة الثانية:

وكما نرى فإن هذه المعادلة لم تعد هي الأبسط. فقط لأنه يوجد فرق على اليسار، وليس لوغاريتمًا واحدًا لقاعدة واحدة.

لذلك، نحن بحاجة إلى التخلص بطريقة أو بأخرى من هذا الاختلاف. في في هذه الحالةكل شيء بسيط جدا. دعونا نلقي نظرة فاحصة على القواعد: على اليسار يوجد الرقم الموجود تحت الجذر:

توصية عامة: في جميع المعادلات اللوغاريتمية، حاول التخلص من الجذور، أي من المدخلات ذات الجذور والانتقال إلى وظائف الطاقة، وذلك ببساطة لأن أسس هذه القوى يتم إخراجها بسهولة من علامة اللوغاريتم، وفي النهاية، يؤدي هذا التدوين إلى تبسيط العمليات الحسابية وتسريعها بشكل كبير. دعنا نكتبها هكذا:

الآن نتذكر خاصية رائعةاللوغاريتم: يمكن اشتقاق القوى من الوسيطة، وكذلك من القاعدة. وفي حالة الأسباب يحدث ما يلي:

سجل أ ك ب = 1/ك سجل ب

بمعنى آخر، يتم تقديم الرقم الذي كان في القوة الأساسية للأمام وفي نفس الوقت مقلوبًا، أي يصبح رقم متبادل. في حالتنا، كانت الدرجة الأساسية 1/2. لذلك يمكننا إخراجها على أنها 2/1. نحن نحصل:

5 2 سجل 5 x − سجل 5 x = 18
10 سجل 5 س - سجل 5 س = 18

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال التخلص من اللوغاريتمات في هذه الخطوة. تذكر رياضيات الصف الرابع إلى الخامس وترتيب العمليات: يتم إجراء الضرب أولاً، وبعد ذلك فقط الجمع والطرح. في هذه الحالة نطرح أحد العناصر نفسها من 10 عناصر:

9 سجل 5 × = 18
سجل 5 × = 2

الآن تبدو المعادلة كما ينبغي. هذا هو البناء الأبسط، ونحله باستخدام الصيغة الأساسية:

سجل 5 س = سجل 5 5 2
س = 5 2
س = 25

هذا كل شئ. تم حل المشكلة الثانية.

المثال الثالث

لننتقل إلى المهمة الثالثة:

سجل (س + 3) = 3 + 2 سجل 5

دعني أذكرك بالصيغة التالية:

سجل ب = سجل 10 ب

إذا كنت مرتبكًا لسبب ما من خلال سجل التدوين b، فعند إجراء جميع الحسابات، يمكنك ببساطة كتابة السجل 10 b. يمكنك العمل مع اللوغاريتمات العشرية بنفس الطريقة كما هو الحال مع الآخرين: خذ الصلاحيات وأضف وتمثل أي أرقام في النموذج lg 10.

هذه هي الخصائص التي سنستخدمها الآن لحل المشكلة، لأنها ليست أبسط ما كتبناه في بداية درسنا.

أولاً، لاحظ أنه يمكن إضافة العامل 2 أمام lg 5 ويصبح قوة للأساس 5. بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تمثيل الحد الحر 3 على هيئة لوغاريتم - وهذا من السهل جدًا ملاحظته من خلال تدويننا.

احكم بنفسك: يمكن تمثيل أي رقم على أنه سجل للأساس 10:

3 = سجل 10 10 3 = سجل 10 3

لنعد كتابة المشكلة الأصلية مع مراعاة التغييرات التي تم الحصول عليها:

سجل (س - 3) = سجل 1000 + سجل 25
سجل (س − 3) = سجل 1000 25
سجل (س - 3) = سجل 25000

أمامنا مرة أخرى الشكل القانوني، وقد حصلنا عليه دون المرور بمرحلة التحويل، أي أن أبسط معادلة لوغاريتمية لم تظهر في أي مكان.

هذا هو بالضبط ما تحدثت عنه في بداية الدرس. يتيح لك النموذج الأساسي حل فئة أكبر من المشكلات مقارنة بالمشكلة القياسية صيغة المدرسةوالتي يقدمها معظم معلمي المدارس.

حسنًا، هذا كل شيء، لقد تخلصنا من إشارة اللوغاريتم العشري، وحصلنا على بناء خطي بسيط:

س + 3 = 25000
س = 24,997

الجميع! حلت المشكلة.

ملاحظة حول النطاق

وأود هنا أن أبدي ملاحظة هامة فيما يتعلق بنطاق التعريف. بالتأكيد سيكون هناك الآن طلاب ومعلمون سيقولون: "عندما نحل تعبيرات باللوغاريتمات، يجب أن نتذكر أن الوسيطة f (x) يجب أن تكون أكبر من الصفر!" وفي هذا الصدد يبرز سؤال منطقي: لماذا لم نشترط استيفاء هذا التفاوت في أي من المسائل المطروحة؟

لا تقلق. في هذه الحالات، لن تظهر أي جذور إضافية. وهذه خدعة رائعة أخرى تسمح لك بتسريع الحل. اعلم فقط أنه إذا كان المتغير x في المشكلة يظهر في مكان واحد فقط (أو بالأحرى، في وسيطة واحدة لوغاريتم واحد)، ولم يظهر المتغير x في أي مكان آخر في حالتنا، فاكتب مجال التعريف لا حاجةلأنه سيتم تنفيذه تلقائيًا.

احكم بنفسك: في المعادلة الأولى حصلنا على 3x − 1، أي أن الوسيطة يجب أن تساوي 8. وهذا يعني تلقائيًا أن 3x − 1 سيكون أكبر من الصفر.

وبنفس النجاح يمكننا أن نكتب أنه في الحالة الثانية يجب أن يكون x مساوياً لـ 5 2، أي أنه بالتأكيد أكبر من الصفر. وفي الحالة الثالثة، حيث x + 3 = 25000، أي مرة أخرى، من الواضح أنها أكبر من الصفر. بمعنى آخر، يتم استيفاء النطاق تلقائيًا، ولكن فقط في حالة ظهور x فقط في وسيطة لوغاريتم واحد فقط.

هذا كل ما تحتاج إلى معرفته لحل أبسط المشاكل. ستسمح لك هذه القاعدة وحدها، إلى جانب قواعد التحويل، بحل فئة واسعة جدًا من المشكلات.

ولكن دعونا نكون صادقين: لفهم هذه التقنية أخيرًا، وتعلم كيفية تطبيق الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لا يكفي مجرد مشاهدة درس فيديو واحد. لذا قم بتنزيل الخيارات الآن لـ قرار مستقل، المرفقة بدرس الفيديو هذا وابدأ في حل واحد على الأقل من هذين العملين المستقلين.

سوف يأخذك حرفيا بضع دقائق. لكن تأثير هذا التدريب سيكون أعلى بكثير مما لو شاهدت درس الفيديو هذا ببساطة.

آمل أن يساعدك هذا الدرس على فهم المعادلات اللوغاريتمية. استخدم النموذج الأساسي، وقم بتبسيط التعبيرات باستخدام قواعد العمل مع اللوغاريتمات - ولن تخاف من أي مشاكل. هذا كل ما لدي لهذا اليوم.

مع مراعاة مجال التعريف

الآن دعونا نتحدث عن مجال التعريف وظيفة لوغاريتميةوكذلك كيفية تأثير ذلك على حل المعادلات اللوغاريتمية. النظر في بناء النموذج

سجل و(س) = ب

يسمى هذا التعبير الأبسط - فهو يحتوي على دالة واحدة فقط، والأرقام a و b مجرد أرقام، وليست بأي حال من الأحوال دالة تعتمد على المتغير x. يمكن حلها بكل بساطة. تحتاج فقط إلى استخدام الصيغة:

ب = سجل أ ب

هذه الصيغة هي إحدى الخصائص الأساسية للوغاريتم، وعند التعويض في التعبير الأصلي نحصل على ما يلي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

و (خ) = أ ب

هذه صيغة مألوفة من الكتب المدرسية. من المحتمل أن يكون لدى العديد من الطلاب سؤال: نظرًا لأن الوظيفة f (x) موجودة في التعبير الأصلي تحت علامة السجل، فقد تم فرض القيود التالية عليها:

و(خ) > 0

ينطبق هذا القيد لأن لوغاريتم أرقام سلبيةغير موجود. لذلك، ربما، نتيجة لهذا القيد، ينبغي تقديم التحقق من الإجابات؟ ربما يحتاجون إلى إدراجها في المصدر؟

لا، في أبسط المعادلات اللوغاريتمية، لا يلزم إجراء فحص إضافي. وهذا هو السبب. ألق نظرة على الصيغة النهائية لدينا:

و (خ) = أ ب

الحقيقة هي أن الرقم a أكبر من 0 بأي حال من الأحوال - وهذا المطلب يفرضه اللوغاريتم أيضًا. الرقم أ هو الأساس في هذه الحالة، لا يتم فرض أي قيود على الرقم ب. لكن هذا لا يهم، لأنه بغض النظر عن القوة التي نرفع إليها عددًا موجبًا، سنحصل على عدد موجب عند المخرج. وبالتالي، يتم استيفاء المتطلب f (x) > 0 تلقائيًا.

ما يستحق التحقق حقًا هو مجال الوظيفة الموجود أسفل علامة السجل. قد تكون هناك هياكل معقدة للغاية، ومن المؤكد أنك تحتاج إلى مراقبتها أثناء عملية الحل. دعونا نلقي نظرة.

المهمة الأولى:

الخطوة الأولى: تحويل الكسر الموجود على اليمين. نحن نحصل:

نتخلص من علامة اللوغاريتم ونحصل على المعتاد معادلة غير عقلانية:

من الجذور التي تم الحصول عليها، فقط الأول يناسبنا، لأن الجذر الثاني أقل من الصفر. الإجابة الوحيدة ستكون الرقم 9. خلاص تم حل المشكلة. ليست هناك حاجة إلى فحوصات إضافية للتأكد من أن التعبير تحت علامة اللوغاريتم أكبر من 0، لأنه ليس أكبر من 0 فقط، ولكن حسب شرط المعادلة يساوي 2. لذلك فإن شرط "أكبر من صفر" "يتم رضاه تلقائيًا.

لننتقل إلى المهمة الثانية:

كل شيء هو نفسه هنا. نعيد كتابة البناء ونستبدل الثلاثي:

نتخلص من علامات اللوغاريتم ونحصل على معادلة غير منطقية:

نقوم بتربيع الجانبين مع مراعاة القيود ونحصل على:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

س 2 + 8س + 16 −4 + ​​​​6س + س 2 = 0

2س 2 + 14س + 12 = 0 |:2

× 2 + 7س + 6 = 0

نحل المعادلة الناتجة من خلال المميز:

د = 49 − 24 = 25

س 1 = −1

س 2 = −6

لكن x = −6 لا يناسبنا، لأننا إذا عوضنا بهذا الرقم في متباينتنا، نحصل على:

−6 + 4 = −2 < 0

في حالتنا، يجب أن يكون أكبر من 0، أو في الحالات القصوى، يساوي. لكن x = −1 يناسبنا:

−1 + 4 = 3 > 0

الإجابة الوحيدة في حالتنا ستكون x = −1. هذا هو الحل. دعنا نعود إلى بداية حساباتنا.

الدرس الرئيسي المستفاد من هذا الدرس هو أنك لا تحتاج إلى التحقق من القيود المفروضة على دالة في المعادلات اللوغاريتمية البسيطة. لأنه أثناء عملية الحل يتم استيفاء جميع القيود تلقائيًا.

ومع ذلك، هذا لا يعني بأي حال من الأحوال أنه يمكنك نسيان التحقق تمامًا. وفي عملية العمل على معادلة لوغاريتمية قد تتحول إلى معادلة غير عقلانية، والتي سيكون لها قيودها ومتطلباتها الخاصة بالجانب الأيمن، وهو ما رأيناه اليوم في مثالين مختلفين.

لا تتردد في حل مثل هذه المشاكل وكن حذرًا بشكل خاص إذا كان هناك جذر في الحجة.

المعادلات اللوغاريتمية ذات الأساسات المختلفة

نواصل دراسة المعادلات اللوغاريتمية وننظر إلى تقنيتين أكثر إثارة للاهتمام والتي من المألوف حلها أكثر تصاميم معقدة. لكن أولاً، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشكلات:

سجل و(س) = ب

في هذا الإدخال، a و b عبارة عن أرقام، وفي الدالة f (x) يجب أن يكون المتغير x موجودًا، وهناك فقط، أي يجب أن يكون x في الوسيطة فقط. سنقوم بتحويل هذه المعادلات اللوغاريتمية باستخدام الصورة الأساسية. للقيام بذلك، لاحظ ذلك

ب = سجل أ ب

علاوة على ذلك، فإن a b هي على وجه التحديد حجة. دعونا نعيد كتابة هذا التعبير على النحو التالي:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

هذا هو بالضبط ما نحاول تحقيقه، بحيث يكون هناك لوغاريتم يرتكز على كل من اليسار واليمين. في هذه الحالة، يمكننا، مجازيًا، شطب علامات السجل، ومن وجهة نظر رياضية يمكننا القول أننا ببساطة نساوي بين الحجج:

و (خ) = أ ب

ونتيجة لذلك، سوف نحصل على تعبير جديد سيكون حله أسهل بكثير. دعونا نطبق هذه القاعدة على مشاكلنا اليوم.

إذن التصميم الأول :

أولًا، ألاحظ أن على اليمين يوجد كسر مقامه لوغاريتم. عندما ترى تعبيرًا مثل هذا، فمن الجيد أن تتذكر خاصية رائعة للوغاريتمات:

وهذا يعني ترجمته إلى اللغة الروسية أنه يمكن تمثيل أي لوغاريتم كحاصل لوغاريتمين مع أي أساس c. بالطبع 0< с ≠ 1.

إذن: هذه الصيغة لها حالة خاصة رائعة، عندما يكون المتغير c مساويًا للمتغير ب. في هذه الحالة نحصل على بناء مثل:

وهذا هو بالضبط البناء الذي نراه من العلامة الموجودة على اليمين في المعادلة. لنستبدل هذا البناء بـ log a b، نحصل على:

بمعنى آخر، بالمقارنة مع المهمة الأصلية، قمنا بتبديل الوسيطة وأساس اللوغاريتم. وبدلًا من ذلك، كان علينا عكس الكسر.

ونذكر أنه يمكن اشتقاق أي درجة من القاعدة وفقا للقاعدة التالية:

بمعنى آخر، يتم التعبير عن المعامل k، وهو قوة القاعدة، ككسر مقلوب. لنجعله كسرًا مقلوبًا:

ولا يمكن ترك العامل الكسري في المقدمة، لأننا في هذه الحالة لن نتمكن من تمثيله هذا الإدخالكشكل قانوني (بعد كل شيء، في الشكل الكنسي لا يوجد عامل إضافي قبل اللوغاريتم الثاني). لذلك، دعونا نضيف الكسر 1/4 إلى الوسيط كقوة:

الآن نحن نساوي بين الحجج التي أسسها متماثلة (وأساساتنا متماثلة بالفعل)، ونكتب:

س + 5 = 1

س = −4

هذا كل شئ. لقد حصلنا على إجابة المعادلة اللوغاريتمية الأولى. يرجى ملاحظة: في المشكلة الأصلية، يظهر المتغير x في سجل واحد فقط، ويظهر في الوسيط الخاص به. لذلك، ليست هناك حاجة للتحقق من المجال، ورقمنا x = −4 هو الجواب بالفعل.

والآن ننتقل إلى التعبير الثاني:

سجل 56 = سجل 2 سجل 2 7 − 3سجل (س + 4)

هنا، بالإضافة إلى اللوغاريتمات المعتادة، سيتعين علينا العمل مع السجل f (x). كيفية حل مثل هذه المعادلة؟ بالنسبة للطالب غير المستعد، قد يبدو أن هذه مهمة صعبة نوعًا ما، ولكن في الواقع يمكن حل كل شيء بطريقة أولية.

ألق نظرة فاحصة على المصطلح lg 2 log 2 7. ماذا يمكننا أن نقول عنه؟ أسس ووسائط log وlg هي نفسها، وهذا ينبغي أن يعطي بعض الأفكار. دعونا نتذكر مرة أخرى كيف يتم إخراج القوى من تحت علامة اللوغاريتم:

سجل أ ب ن = نسجل أ ب

بمعنى آخر، ما كان قوة b في الوسيطة يصبح عاملاً أمام السجل نفسه. دعونا نطبق هذه الصيغة على التعبير lg 2 log 2 7. لا تخف من lg 2 - هذا هو التعبير الأكثر شيوعًا. يمكنك إعادة كتابتها على النحو التالي:

جميع القواعد التي تنطبق على أي لوغاريتم آخر صالحة لذلك. على وجه الخصوص، يمكن إضافة العامل الموجود في المقدمة إلى درجة الوسيطة. دعنا نكتبها:

في كثير من الأحيان، لا يرى الطلاب هذا الإجراء مباشرة، لأنه ليس من الجيد إدخال سجل واحد تحت علامة آخر. في الواقع، لا يوجد شيء إجرامي في هذا الأمر. علاوة على ذلك، حصلنا على صيغة يسهل حسابها إذا كنت تتذكر قاعدة مهمة:

يمكن اعتبار هذه الصيغة كتعريف وكأحد خصائصها. على أية حال، إذا كنت تقوم بتحويل معادلة لوغاريتمية، فيجب أن تعرف هذه الصيغة تمامًا كما تعرف التمثيل اللوغاريتمي لأي رقم.

دعونا نعود إلى مهمتنا. نعيد كتابتها مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الحد الأول على يمين علامة التساوي سيكون ببساطة مساويًا لـ lg 7. لدينا:

إل جي 56 = إل جي 7 - 3 إل جي (س + 4)

لنحرك lg 7 إلى اليسار، فنحصل على:

إل جي 56 - سجل 7 = −3lg (س + 4)

نطرح التعبيرات الموجودة على اليسار لأنها لها نفس الأساس:

إل جي (56/7) = −3إل جي (س + 4)

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على المعادلة التي حصلنا عليها. إنه الشكل القانوني عمليا، ولكن هناك عامل −3 على اليمين. دعنا نضيفها إلى الوسيطة lg الصحيحة:

سجل 8 = سجل (س + 4) −3

أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، لذلك نقوم بشطب علامات lg ومساواة الحجج:

(س + 4) −3 = 8

س + 4 = 0.5

هذا كل شئ! لقد حللنا المعادلة اللوغاريتمية الثانية. في هذه الحالة، لا يلزم إجراء فحوصات إضافية، لأنه في المشكلة الأصلية كانت x موجودة في وسيطة واحدة فقط.

سأدرجها مرة أخرى النقاط الرئيسيةهذا الدرس.

الصيغة الرئيسية التي يتم تدريسها في جميع الدروس في هذه الصفحة المخصصة لحل المعادلات اللوغاريتمية هي الصيغة الأساسية. ولا تخف من حقيقة أنه في معظم الكتب المدرسية يتم تعليمك كيفية حلها مهام مماثلةبشكل مختلف. تعمل هذه الأداة بشكل فعال للغاية وتتيح لك حل فئة أكبر بكثير من المشكلات مقارنة بأبسط المشكلات التي درسناها في بداية درسنا.

بالإضافة إلى ذلك، لحل المعادلات اللوغاريتمية سيكون من المفيد معرفة الخصائص الأساسية. يسمى:

1. صيغة الانتقال إلى قاعدة واحدة والحالة الخاصة عندما نقوم بعكس السجل (كان هذا مفيدًا جدًا لنا في المشكلة الأولى)؛
2. صيغة لإضافة وطرح القوى من علامة اللوغاريتم. وهنا، يتعثر العديد من الطلاب ولا يرون أن الدرجة التي تم أخذها وتقديمها يمكن أن تحتوي في حد ذاتها على السجل f (x). لا حرج في ذلك. يمكننا إدخال سجل واحد حسب إشارة الآخر وفي نفس الوقت تبسيط حل المشكلة بشكل كبير، وهو ما نلاحظه في الحالة الثانية.

في الختام، أود أن أضيف أنه ليس من الضروري التحقق من مجال التعريف في كل حالة من هذه الحالات، لأنه في كل مكان يكون المتغير x موجودًا في علامة سجل واحدة فقط، وفي نفس الوقت موجود في حجته. ونتيجة لذلك، يتم استيفاء جميع متطلبات النطاق تلقائيًا.

مشاكل مع قاعدة متغيرة

سننظر اليوم إلى المعادلات اللوغاريتمية، والتي تبدو للعديد من الطلاب غير قياسية، إن لم تكن غير قابلة للحل تمامًا. إنه على وشكحول التعبيرات التي لا تعتمد على الأرقام، بل على المتغيرات وحتى الوظائف. سوف نقوم بحل مثل هذه الإنشاءات باستخدام تقنيتنا القياسية، أي من خلال الشكل القانوني.

بادئ ذي بدء، دعونا نتذكر كيف يتم حل أبسط المشاكل، على أساس أرقام عادية. لذلك، يسمى أبسط البناء

سجل و(س) = ب

لحل مثل هذه المشاكل يمكننا استخدام الصيغة التالية:

ب = سجل أ ب

نعيد كتابة التعبير الأصلي ونحصل على:

سجل أ و (س) = سجل أ أ ب

ثم نساوي بين الحجج، أي نكتب:

و (خ) = أ ب

وهكذا نتخلص من علامة السجل ونحل المشكلة المعتادة. في هذه الحالة، الجذور التي تم الحصول عليها من الحل ستكون جذور المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بالإضافة إلى ذلك، فإن السجل الذي يكون فيه كل من اليسار واليمين في نفس اللوغاريتم مع نفس الأساس يسمى على وجه التحديد بالشكل القانوني. إنه لمثل هذا السجل أننا سنحاول تقليل تصاميم اليوم. إذا هيا بنا.

المهمة الأولى:

السجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

استبدل 1 ب السجل x − 2 (x − 2) 1 . الدرجة التي نلاحظها في الوسيطة هي في الواقع الرقم b الذي يقع على يمين علامة المساواة. وبالتالي، دعونا نعيد كتابة تعبيرنا. نحن نحصل:

سجل x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = سجل x − 2 (x − 2)

ماذا نرى؟ أمامنا الشكل القانوني للمعادلة اللوغاريتمية، حتى نتمكن من مساواة الحجج بأمان. نحن نحصل:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

لكن الحل لا ينتهي عند هذا الحد، لأن معادلة معينةلا يعادل الأصلي. بعد كل شيء، يتكون البناء الناتج من وظائف محددة على خط الأعداد بأكمله، ولم يتم تعريف اللوغاريتمات الأصلية في كل مكان وليس دائمًا.

ولذلك، يجب علينا أن نكتب مجال التعريف بشكل منفصل. دعونا لا نقسم الشعر ونكتب أولاً جميع المتطلبات:

أولاً، يجب أن تكون وسيطة كل من اللوغاريتمات أكبر من 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

س − 2 > 0

ثانيًا، يجب ألا يكون الأساس أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا أن يكون مختلفًا عن 1:

س − 2 ≠ 1

ونتيجة لذلك نحصل على النظام:

ولكن لا تنزعج: عند معالجة المعادلات اللوغاريتمية، يمكن تبسيط هذا النظام بشكل كبير.

احكم بنفسك: من ناحية، مطلوب منا أن تكون الدالة التربيعية أكبر من الصفر، ومن ناحية أخرى، هذه الدالة التربيعية تعادل معينة التعبير الخطي، والذي يشترط أيضًا أن يكون أكبر من الصفر.

في هذه الحالة، إذا طلبنا ذلك x − 2 > 0، فسيتم تلبية المطلب 2x 2 − 13x + 18 > 0 تلقائيًا، لذلك يمكننا شطب المتراجحة التي تحتوي على الدالة التربيعية بأمان. وبالتالي، سيتم تقليل عدد التعبيرات الموجودة في نظامنا إلى ثلاثة.

بالطبع، يمكننا أيضًا الشطب عدم المساواة الخطية، أي قم بشطب x − 2 > 0 واطلب أن 2x 2 − 13x + 18 > 0. لكن يجب أن توافق على أن حل أبسط المتباينة الخطية أسرع وأسهل بكثير من حل المتباينة التربيعية، حتى لو كان ذلك نتيجة لحل المتباينة بأكملها هذا النظام سوف نحصل على نفس الجذور.

بشكل عام، حاول تحسين الحسابات كلما أمكن ذلك. وفي حالة المعادلات اللوغاريتمية، شطب المتباينات الأكثر صعوبة.

دعونا نعيد كتابة نظامنا:

هنا نظام من ثلاثة تعبيرات، اثنان منها، في الواقع، تعاملنا معهما بالفعل. لنكتب المعادلة التربيعية بشكل منفصل ونحلها:

2س 2 − 14س + 20 = 0

س 2 − 7س + 10 = 0

المعطى أمامنا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةوبالتالي، يمكننا استخدام صيغ فييتا. نحن نحصل:

(س − 5)(س − 2) = 0

× 1 = 5

× 2 = 2

نعود الآن إلى نظامنا ونجد أن x = 2 لا تناسبنا، لأننا مطالبون بأن تكون x أكبر من 2.

لكن x = 5 يناسبنا تمامًا: الرقم 5 أكبر من 2، وفي نفس الوقت 5 لا يساوي 3. لذلك، الحل الوحيدلهذا النظام سيكون x = 5.

كل شيء، تم حل المشكلة، بما في ذلك مراعاة ODZ. دعنا ننتقل إلى المعادلة الثانية. حسابات أكثر إثارة للاهتمام وغنية بالمعلومات تنتظرنا هنا:

الخطوة الأولى: كما في آخر مرة، نأتي بهذا الأمر برمته إلى الشكل القانوني. وللقيام بذلك يمكننا كتابة الرقم 9 على النحو التالي:

ليس من الضروري أن تلمس القاعدة بالجذر، ولكن من الأفضل تحويل الوسيطة. دعنا ننتقل من الجذر إلى القوة باستخدام الأس العقلاني. دعونا نكتب:

اسمحوا لي ألا أعيد كتابة معادلتنا اللوغاريتمية الكبيرة بأكملها، ولكن فقط سأقوم بمساواة الحجج على الفور:

س 3 + 10س 2 + 31س + 30 = س 3 + 9س 2 + 27س + 27

× 2 + 4س + 3 = 0

أمامنا ثلاثية حدود تربيعية مختزلة حديثًا، فلنستخدم صيغ فييتا ونكتب:

(س + 3)(س + 1) = 0

س 1 = −3

س 2 = −1

إذن، حصلنا على الجذور، لكن لم يضمن لنا أحد أنها ستناسب المعادلة اللوغاريتمية الأصلية. بعد كل شيء، فرض علامات السجل قيود إضافية(هنا كان يجب أن نكتب النظام، ولكن نظرًا للطبيعة المرهقة للبنية بأكملها، قررت حساب مجال التعريف بشكل منفصل).

أولاً، تذكر أن الوسائط يجب أن تكون أكبر من 0، وهي:

هذه هي المتطلبات التي يفرضها نطاق التعريف.

نلاحظ على الفور أنه بما أننا نساوي التعبيرين الأولين للنظام مع بعضهما البعض، فيمكننا شطب أي منهما. لنحذف الأول لأنه يبدو أكثر تهديدًا من الثاني.

بالإضافة إلى ذلك، لاحظ أن حل المتباينتين الثانية والثالثة سيكون من نفس المجموعات (مكعب رقم ما أكبر من الصفر، إذا كان هذا الرقم نفسه أكبر من الصفر؛ وبالمثل، مع جذر الدرجة الثالثة - هذه المتباينات متشابهان تمامًا، حتى نتمكن من شطبهما).

لكن مع عدم المساواة الثالث، لن ينجح هذا. دعونا نتخلص من علامة الجذر الموجودة على اليسار من خلال رفع كلا الجزأين إلى مكعب. نحن نحصل:

لذلك نحصل على المتطلبات التالية:

− 2 ≠ س > −3

أي من جذورنا: x 1 = −3 أو x 2 = −1 يلبي هذه المتطلبات؟ من الواضح أن x = −1 فقط، لأن x = −3 لا تحقق المتباينة الأولى (نظرًا لأن متباينتنا صارمة). لذا، وبالعودة إلى مسألتنا، نحصل على جذر واحد: x = −1. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.

مرة أخرى، النقاط الرئيسية لهذه المهمة:

1. لا تتردد في تطبيق وحل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام النموذج المتعارف عليه. الطلاب الذين يكتبون بهذه الطريقة، بدلاً من الانتقال مباشرة من المشكلة الأصلية إلى بناء مثل log a f (x) = b، يسمحون بالكثير أخطاء أقلمن أولئك الذين هم في عجلة من أمرهم في مكان ما، وتخطي الخطوات الوسيطة للحسابات؛
2. بمجرد ظهور اللوغاريتم قاعدة متغيرة، لم تعد المهمة هي الأبسط. لذلك، عند حلها، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار مجال التعريف: يجب أن تكون الحجج أكبر من الصفر، ويجب ألا تكون القواعد أكبر من 0 فحسب، بل يجب أيضًا ألا تساوي 1.

يمكن تطبيق المتطلبات النهائية على الإجابات النهائية بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكنك حل نظام كامل يحتوي على جميع متطلبات مجال التعريف. من ناحية أخرى، يمكنك أولا حل المشكلة نفسها، ثم تذكر مجال التعريف، والعمل بشكل منفصل في شكل نظام وتطبيقه على الجذور التي تم الحصول عليها.

إن الطريقة التي تختارها عند حل معادلة لوغاريتمية معينة أمر متروك لك. وفي كل الأحوال فإن الجواب سيكون هو نفسه.

تعليمات

اكتب التعبير اللوغاريتمي المعطى. إذا كان التعبير يستخدم لوغاريتم 10، فسيتم اختصار تدوينه ويبدو كما يلي: lg b هو اللوغاريتم العشري. إذا كان اللوغاريتم يحتوي على الرقم e كأساس له، فاكتب التعبير: ln b – اللوغاريتم الطبيعي. ومن المفهوم أن نتيجة أي هي القوة التي يجب رفع الرقم الأساسي إليها للحصول على الرقم ب.

عند إيجاد مجموع دالتين، ما عليك سوى التمييز بينهما واحدة تلو الأخرى وإضافة النتائج: (u+v)" = u"+v";

عند إيجاد مشتقة حاصل ضرب دالتين من الضروري ضرب مشتقة الدالة الأولى في الثانية وإضافة مشتقة الدالة الثانية مضروبة في الدالة الأولى: (u*v)" = u"*v +v"*u;

من أجل العثور على مشتق حاصل قسمة دالتين، من الضروري طرح ناتج مشتقة المقسوم مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ناتج مشتقة المقسوم عليه مضروبًا في دالة المقسوم عليه، ثم القسمة كل هذا من خلال دالة المقسوم عليها. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

إذا أعطيت وظيفة معقدة، فمن الضروري مضاعفة مشتق وظيفة داخليةوالمشتق من الخارج . دع y=u(v(x)) ثم y"(x)=y"(u)*v"(x).

باستخدام النتائج التي تم الحصول عليها أعلاه، يمكنك التمييز بين أي وظيفة تقريبًا. لذلك دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *س));
هناك أيضًا مشاكل تتعلق بحساب المشتق عند نقطة ما. افترض أن الدالة y=e^(x^2+6x+5) معطاة، فأنت بحاجة إلى إيجاد قيمة الدالة عند النقطة x=1.
1) أوجد مشتقة الدالة: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) احسب قيمة الدالة نقطة معينةص"(1)=8*ه^0=8

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة

تعلم جدول المشتقات الأولية. وهذا سيوفر الوقت بشكل كبير.

مصادر:

• مشتق من ثابت

إذًا، ما الفرق بين المعادلة غير العقلانية والمعادلة العقلانية؟ إذا كان المتغير غير المعروف تحت العلامة الجذر التربيعي، فإن المعادلة تعتبر غير عقلانية.

تعليمات

الطريقة الرئيسية لحل مثل هذه المعادلات هي طريقة بناء كلا الطرفين المعادلاتفي مربع. لكن. هذا أمر طبيعي، أول شيء عليك فعله هو التخلص من العلامة. هذه الطريقة ليست صعبة من الناحية الفنية، ولكنها قد تؤدي في بعض الأحيان إلى مشاكل. على سبيل المثال، المعادلة هي v(2x-5)=v(4x-7). بتربيع الطرفين تحصل على 2x-5=4x-7. إن حل مثل هذه المعادلة ليس بالأمر الصعب؛ س = 1. ولكن لن يتم إعطاء الرقم 1 المعادلات. لماذا؟ استبدل واحدًا في المعادلة بدلًا من قيمة x وسيحتوي الجانبان الأيمن والأيسر على تعبيرات لا معنى لها. هذه القيمة غير صالحة للجذر التربيعي. لذلك، 1 هو جذر خارجي، وبالتالي فإن هذه المعادلة ليس لها جذور.

إذن، يتم حل المعادلة غير النسبية باستخدام طريقة تربيع طرفيها. وبعد حل المعادلة، من الضروري قطع الجذور الدخيلة. للقيام بذلك، قم بالتعويض بالجذور الموجودة في المعادلة الأصلية.

النظر في واحد آخر.
2x+vx-3=0
وبالطبع يمكن حل هذه المعادلة باستخدام نفس المعادلة السابقة. تحرك المركبات المعادلاتالتي ليس لها جذر تربيعي، إلى الجانب الأيمن ثم استخدم طريقة التربيع. حل المعادلة العقلانية الناتجة والجذور. ولكن أيضًا واحدة أخرى أكثر أناقة. أدخل متغيرا جديدا. vx=y. وبناء على ذلك، سوف تحصل على معادلة على الشكل 2y2+y-3=0. أي معادلة تربيعية عادية. ابحث عن جذوره؛ y1=1 و y2=-3/2. التالي حل اثنين المعادلات vx=1; vx=-3/2. المعادلة الثانية ليس لها جذور؛ من الأولى نجد أن x=1. لا تنس التحقق من الجذور.

حل الهويات بسيط للغاية. للقيام بذلك عليك أن تفعل تحولات الهويةحتى يتحقق الهدف. وهكذا، بمساعدة أبسط عمليات حسابيةسيتم حل المهمة المطروحة.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم.

تعليمات

أبسط هذه التحويلات هي الضربات الجبرية المختصرة (مثل مربع المجموع (الفرق)، فرق المربعات، المجموع (الفرق)، مكعب المجموع (الفرق)). بالإضافة إلى ذلك، هناك العديد من و الصيغ المثلثية، والتي هي في الأساس نفس الهويات.

في الواقع، مربع مجموع فترتين يساوي مربعالأول زائد ضعف ناتج الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الثاني، أي (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=أ^2+2اب +ب^2.

بسّط كلا الأمرين

المبادئ العامة للحل

كرر وفقا للكتاب المدرسي التحليل الرياضيأو الرياضيات العليا، وهو تكامل محدد. كما هو معروف الحل تكامل محددهناك دالة يعطي مشتقها التكامل. هذه الوظيفةويسمى مشتق مضاد. بواسطة هذا المبدأويبني التكاملات الرئيسية.
حدد حسب نوع التكامل وأي من تكاملات الجدول مناسب في هذه الحالة. ليس من الممكن دائمًا تحديد ذلك على الفور. في كثير من الأحيان، يصبح الشكل الجدولي ملحوظًا فقط بعد عدة تحويلات لتبسيط التكامل.

طريقة الاستبدال المتغيرة

إذا كانت الدالة integrand هي وظيفة المثلثية، التي تحتوي حجتها على كثيرات الحدود، فحاول استخدام طريقة استبدال المتغير. من أجل القيام بذلك، استبدل كثير الحدود في وسيطة التكامل بمتغير جديد. بناءً على العلاقة بين المتغيرات الجديدة والقديمة، حدد الحدود الجديدة للتكامل. من خلال التمييز بين هذا التعبير، ابحث عن التفاضل الجديد في . لذلك سوف تحصل النوع الجديدالتكامل السابق، قريب أو حتى مطابق لأي تكامل جدولي.

حل التكاملات من النوع الثاني

إذا كان التكامل تكاملًا من النوع الثاني، وهو شكل متجه للتكامل، فستحتاج إلى استخدام قواعد الانتقال من هذه التكاملات إلى التكاملات العددية. إحدى هذه القواعد هي علاقة أوستروجرادسكي-غاوس. هذا القانونيسمح لك بالانتقال من التدفق الدوار لبعض وظائف المتجهات إلى التكامل الثلاثي على انحراف مجال متجه معين.

استبدال حدود التكامل

بعد إيجاد المشتقة العكسية، من الضروري التعويض بحدود التكامل. قم أولاً باستبدال القيمة الحد الأعلىفي تعبير عن المشتق العكسي. سوف تحصل على بعض الرقم. بعد ذلك، اطرح من الرقم الناتج رقمًا آخر تم الحصول عليه من الحد الأدنى إلى المشتق العكسي. إذا كان أحد حدود التكامل هو ما لا نهاية، فعند التعويض به في وظيفة مضادمن الضروري الذهاب إلى الحد الأقصى والعثور على ما يسعى إليه التعبير.
إذا كان التكامل ثنائي أو ثلاثي الأبعاد، فسيتعين عليك تمثيل حدود التكامل هندسيًا لفهم كيفية حساب التكامل. في الواقع، في حالة التكامل ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، يمكن أن تكون حدود التكامل مستويات كاملة تحد من الحجم الجاري تكامله.

كما تعلم، عند ضرب التعبيرات بالقوى، فإن أسسها دائمًا ما تكون مجمعة (a b *a c = a b+c). هذا القانون الرياضياشتقها أرخميدس، وفي وقت لاحق، في القرن الثامن، أنشأ عالم الرياضيات فيراسين جدولًا لأسس الأعداد الصحيحة. وكانوا هم الذين خدموا ل مزيد من الافتتاحاللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في أي مكان تقريبًا حيث تحتاج إلى تبسيط الضرب المرهق عن طريق الجمع البسيط. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال، فسنشرح لك ما هي اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. بلغة بسيطة وسهلة المنال.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير بالشكل التالي: log a b=c، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب(أي أي موجب) "b" بقاعدتها "a" تعتبر قوة "c" التي يجب رفع الأساس "a" إليها من أجل الحصول في النهاية على القيمة "b". دعونا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة، لنفترض أن هناك سجل تعبير 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية، تحتاج إلى العثور على قوة بحيث تحصل على 8 من 2 إلى القوة المطلوبة. وبعد إجراء بعض الحسابات في رأسك، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح، لأن 2 أس 3 يعطي الإجابة 8.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب، يبدو هذا الموضوع معقدا وغير مفهوم، ولكن في الواقع اللوغاريتمات ليست مخيفة للغاية، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة الأنواع الفرديةالتعبيرات اللوغاريتمية:

1. اللوغاريتم الطبيعي ln a، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
2. العشري أ، حيث الأساس هو 10.
3. لوغاريتم أي رقم ب للأساس أ> 1.

يتم تحديد كل واحد منهم بطريقة قياسية، والذي يتضمن التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات، يجب أن تتذكر خصائصها وتسلسل الإجراءات عند حلها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات، هناك العديد من القيود والقواعد التي يتم قبولها كبديهية، أي أنها لا تخضع للمناقشة وهي الحقيقة. على سبيل المثال، من المستحيل قسمة الأعداد على صفر، ومن المستحيل أيضًا استخراج الجذر الزوجي للأعداد السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة، والتي يمكنك من خلالها تعلم كيفية العمل بسهولة حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

• يجب أن يكون الأساس "أ" دائمًا أكبر من الصفر، ولا يساوي 1، وإلا فسيفقد التعبير معناه، لأن "1" و"0" بأي درجة متساويان دائمًا لقيمتهما؛
• إذا كانت a > 0، ثم b >0، يتبين أن "c" يجب أن تكون أيضًا أكبر من الصفر.

كيفية حل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال، تم تكليفك بمهمة العثور على إجابة المعادلة 10 × = 100. هذا سهل للغاية، تحتاج إلى اختيار قوة عن طريق رفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. وهذا بالطبع هو 10 2 = 100.

الآن دعونا نتخيل هذا التعبيرفي شكل لوغاريتمي. نحصل على سجل 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات، تتلاقى جميع الإجراءات عمليا للعثور على القوة التي من الضروري إدخال قاعدة اللوغاريتم من أجل الحصول على رقم معين.

لتحديد القيمة بدقة درجة غير معروفةعليك أن تتعلم كيفية العمل مع جدول الدرجات. تبدو هكذا:

كما ترون، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقل تقني ومعرفة بجدول الضرب. ولكن ل قيم كبيرةسوف تحتاج إلى جدول الدرجات. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يعرفون شيئًا على الإطلاق عن التعقيد مواضيع رياضية. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (الأساس أ)، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع تحتوي الخلايا على القيم الرقمية التي هي الجواب (أ ج = ب). لنأخذ، على سبيل المثال، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 ونقوم بتربيعها، ونحصل على القيمة 100، والتي تتم الإشارة إليها عند تقاطع الخليتين لدينا. كل شيء بسيط وسهل لدرجة أن حتى أكثر الإنسانيين صدقًا سوف يفهمونه!

المعادلات والمتباينات

اتضح أنه في ظل ظروف معينة يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك، أي رياضية التعبيرات العدديةيمكن كتابتها كمعادلة لوغاريتمية. على سبيل المثال، 3 4 = 81 يمكن كتابتها على أنها اللوغاريتم ذو الأساس 3 للرقم 81 يساوي أربعة (سجل 3 81 = 4). ل القوى السلبيةالقواعد هي نفسها: 2 -5 = 1/32 نكتبها على شكل لوغاريتم، ونحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أروع أقسام الرياضيات هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول المعادلات أدناه مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على الشكل الذي تبدو عليه المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يعطى تعبير بالشكل التالي: log 2 (x-1) > 3 - it is عدم المساواة اللوغاريتميةلأن القيمة المجهولة "x" تقع تحت إشارة اللوغاريتم. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب للأساس اثنين أكبر من الرقم ثلاثة.

الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال، اللوغاريتم 2 x = √9) تتضمن إجابة واحدة أو أكثر محددة. القيم العددية، بينما عند حل أوجه عدم المساواة يتم تعريفها على أنها المنطقة القيم المقبولةونقاط توقف هذه الوظيفة. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية، كما هو الحال في الإجابة على المعادلة، بل بالأحرى سلسلة مستمرةأو مجموعة من الأرقام

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة، أولا وقبل كل شيء، من الضروري أن نفهم بوضوح ونطبق في الممارسة العملية جميع الخصائص الأساسية للوغاريتمات. سننظر في أمثلة المعادلات لاحقًا، فلننظر أولاً إلى كل خاصية بمزيد من التفصيل.

1. الهوية الرئيسية تبدو كالتالي: a logaB =B. وينطبق هذا فقط عندما تكون a أكبر من 0، ولا تساوي واحدًا، وتكون B أكبر من الصفر.
2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج في الصيغة التالية: سجل d (s 1 *s 2) = سجل d s 1 + سجل d s 2. في هذه الحالة المتطلبات المسبقةهو: د، ق 1 و ق 2 > 0؛ أ≠1. يمكنك تقديم دليل على هذه الصيغة اللوغاريتمية، مع الأمثلة والحل. دعونا سجل a s 1 = f 1 ونسجل a s 2 = f 2، ثم a f1 = s 1، a f2 = s 2. نحصل على أن s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خصائص درجات )، ومن ثم حسب التعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. تأخذ النظرية في شكل صيغة العرض التالي: سجل أ ف ب ن = ن/ف سجل أ ب.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية، وهذا ليس مفاجئا، لأن كل الرياضيات مبنية على مسلمات طبيعية. دعونا ننظر إلى الدليل.

دعونا سجل أ ب = ر، اتضح أن ر = ب. إذا رفعنا كلا الجزأين للأس m: a tn = b n ;

ولكن بما أن a tn = (a q) nt/q = b n، لذلك سجل a q b n = (n*t)/t، ثم سجل a q b n = n/q سجل a b. تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع المسائل شيوعًا في اللوغاريتمات هي أمثلة المعادلات والمتباينات. وهي موجودة في جميع كتب المسائل تقريبًا، كما أنها مدرجة فيها أيضًا الجزء الإلزاميامتحانات في الرياضيات. للقبول في الجامعة أو النجاح امتحانات القبولفي الرياضيات عليك أن تعرف كيفية حل مثل هذه المشاكل بشكل صحيح.

ولسوء الحظ، لا توجد خطة أو مخطط واحد للحل والتحديد قيمة غير معروفةلا يوجد شيء اسمه لوغاريتم، ولكن يمكنك تطبيقه على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. قواعد معينة. بادئ ذي بدء، يجب عليك معرفة ما إذا كان يمكن تبسيط التعبير أو يؤدي إليه المظهر العام. تبسيط تلك الطويلة التعبيرات اللوغاريتميةممكن إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعونا نتعرف عليهم بسرعة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، يجب علينا تحديد نوع اللوغاريتم الذي لدينا: قد يحتوي تعبير المثال على لوغاريتم طبيعي أو عشري.

وفيما يلي أمثلة ln100، ln1026. يتلخص الحل الذي توصلوا إليه في حقيقة أنهم بحاجة إلى تحديد القدرة التي يساوي فيها الأساس 10 100 و1026 على التوالي. للحصول على حلول اللوغاريتمات الطبيعيةبحاجة إلى تطبيق الهويات اللوغاريتميةأو خصائصهم. دعونا ننظر إلى الحل مع الأمثلة مشاكل لوغاريتميةأنواع مختلفة.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

لذلك، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات.

1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون من الضروري توسيعها أهمية عظيمةالأعداد ب إلى عوامل أبسط على سبيل المثال، سجل 2 4 + سجل 2 128 = سجل 2 (4*128) = سجل 2 512. الإجابة هي 9.
2. سجل 4 8 = سجل 2 2 2 3 = 3/2 سجل 2 2 = 1.5 - كما ترون، باستخدام الخاصية الرابعة لقوة اللوغاريتم، تمكنا من حل تعبير يبدو معقدًا وغير قابل للحل. كل ما عليك فعله هو تحليل الأساس ثم إخراج القيم الأسية من علامة اللوغاريتم.

واجبات من امتحان الدولة الموحدة

غالبًا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبولوخاصة الكثير من المسائل اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة ( امتحان الدولةلجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء اختبار من الامتحان)، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر تعقيدًا وحجمًا). يتطلب الاختبار معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

الأمثلة والحلول للمشاكل مأخوذة من المسؤول خيارات امتحان الدولة الموحدة. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

بالنظر إلى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير، ونبسطه قليلًا log 2 (2x-1) = 2 2، ومن خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4، وبالتالي 2x = 17؛ س = 8.5.

• من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس حتى لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
• تتم الإشارة إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها إيجابية، لذلك، عندما يتم إخراج أس التعبير الموجود تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته كمضاعف، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بذلك عروض فريدة من نوعهاوالترقيات وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• يجوز لنا أيضًا استخدام المعلومات الشخصية لأغراض داخلية مثل التدقيق وتحليل البيانات و دراسات مختلفةمن أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، الخامس محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من وكالات الحكومةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.