متجه عمودي على متجهين. العثور على متجه عمودي على متجه معين والأمثلة والحلول

أوم للقيام بذلك، نقدم أولاً مفهوم القطعة.

التعريف 1

سنسمي القطعة جزءًا من الخط الذي يحده نقاط على كلا الجانبين.

التعريف 2

نهايات القطعة هي النقاط التي تحدها.

لتقديم تعريف المتجه، نسمي أحد طرفي القطعة بدايته.

التعريف 3

سوف نسمي المتجه (القطعة الموجهة) المقطع الذي يُشار فيه إلى النقطة الحدودية التي هي بدايته والتي هي نهايته.

ملاحظة: ‎\overline(AB) هو متجه AB يبدأ عند النقطة A وينتهي عند النقطة B.

بخلاف ذلك، بحرف واحد صغير: \overline(a) (الشكل 1).

التعريف 4

سنسمي المتجه الصفري أي نقطة تنتمي إلى المستوى.

الرمز: \overline(0) .

دعونا الآن نقدم مباشرة تعريف المتجهات الخطية.

وسنقدم أيضًا تعريف المنتج العددي، والذي سنحتاج إليه لاحقًا.

التعريف 6

المنتج القياسي لمتجهين محددين هو رقم (أو رقم) يساوي منتج أطوال هذين المتجهين مع جيب تمام الزاوية بين هذين المتجهين.

رياضيا قد يبدو مثل هذا:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

يمكن أيضًا إيجاد حاصل الضرب النقطي باستخدام إحداثيات المتجهات كما يلي

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

علامة العمودية من خلال التناسب

النظرية 1

لكي تكون المتجهات غير الصفرية متعامدة مع بعضها البعض، من الضروري والكافي أن يكون حاصل ضربها القياسي لهذه المتجهات يساوي صفرًا.

دليل.

ضرورة: دعونا نحصل على المتجهات \overline(α) و \overline(β) التي لها إحداثيات (α_1,α_2,α_3) و (β_1,β_2,β_3) على التوالي، وهي متعامدة مع بعضها البعض. ثم نحن بحاجة إلى إثبات المساواة التالية

نظرًا لأن المتجهين ‎\overline(α) و\overline(β) متعامدان، فإن الزاوية بينهما هي 90^0. دعونا نوجد المنتج القياسي لهذه المتجهات باستخدام الصيغة من التعريف 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

الكفاية : لتكن المساواة صحيحة \overline(α)\cdot \overline(β)=0. دعونا نثبت أن المتجهين ‎\overline(α) و\overline(β) سيكونان متعامدين مع بعضهما البعض.

بموجب التعريف 6، ستكون المساواة صحيحة

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

لذلك، فإن المتجهين \overline(α) و \overline(β) سيكونان متعامدين مع بعضهما البعض.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال 1

أثبت أن المتجهات ذات الإحداثيات (1,-5,2) و (2,1,3/2) متعامدة.

دليل.

دعونا نجد المنتج القياسي لهذه المتجهات باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

وهذا يعني، وفقًا للنظرية 1، أن هذه المتجهات متعامدة.

إيجاد متجه عمودي على متجهين معلومين باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي

دعونا أولاً نقدم مفهوم المنتج المتجه.

التعريف 7

سيكون حاصل الضرب المتجه لمتجهين متجهًا متعامدًا على كلا المتجهين المعطاين، وسيكون طوله مساويًا لمنتج أطوال هذين المتجهين مع جيب الزاوية بين هذين المتجهين، وكذلك هذا المتجه الذي له اثنين الأولية لها نفس اتجاه نظام الإحداثيات الديكارتية.

تعيين: \overline(α)x\overline(β)x.

للعثور على المنتج المتجه، سوف نستخدم الصيغة

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

بما أن متجه حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين متعامد على كلا المتجهين، فسيكون هو المتجه. وهذا يعني أنه من أجل العثور على متجه عمودي على متجهين، تحتاج فقط إلى العثور على منتجهما المتجه.

مثال 2

ابحث عن متجه عمودي على المتجهات بإحداثيات \overline(α)=(1,2,3) و \overline(β)=(-1,0,3)

دعونا نجد المنتج المتجه لهذه المتجهات.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) س

تكشف هذه المقالة معنى عمودي متجهين على مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد وإيجاد إحداثيات متجه عمودي على واحد أو زوج كامل من المتجهات. ينطبق هذا الموضوع على المسائل التي تتضمن معادلات الخطوط والمستويات.

سننظر في الشرط الضروري والكافي لتعامد متجهين، ونحل طريقة إيجاد متجه عمودي على متجه معين، ونتطرق إلى حالات العثور على متجه عمودي على متجهين.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

شرط ضروري وكاف لتعامد متجهين

دعونا نطبق القاعدة المتعلقة بالمتجهات المتعامدة على المستوى وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد.

التعريف 1

بشرط أن تكون الزاوية بين متجهين غير صفريين تساوي 90 درجة (π 2 راديان) تسمى عمودي.

ماذا يعني هذا، وفي أي الحالات من الضروري معرفة عموديهما؟

من الممكن إنشاء عمودي من خلال الرسم. عند رسم متجه على مستوى من نقاط معينة، يمكنك قياس الزاوية بينهما هندسيًا. حتى لو تم تحديد عمودي المتجهات، فلن يكون دقيقًا تمامًا. في أغلب الأحيان، لا تسمح لك هذه المهام بالقيام بذلك باستخدام المنقلة، لذا فإن هذه الطريقة قابلة للتطبيق فقط عندما لا يكون هناك أي شيء آخر معروف عن المتجهات.

معظم حالات إثبات تعامد متجهين غير صفريين على المستوى أو في الفضاء تتم باستخدام شرط ضروري وكاف لتعامد متجهين.

النظرية 1

المنتج العددي لمتجهين غير صفريين a → و b → يساوي الصفر لتحقيق المساواة a → , b → = 0 يكفي لتعامدهما.

الدليل 1

دع المتجهات المعطاة a → و b → تكون متعامدة، ثم سنثبت المساواة a ⇀ , b → = 0 .

من تعريف المنتج النقطي للمتجهاتونحن نعلم أنه يساوي حاصل ضرب أطوال المتجهات المعطاة وجيب تمام الزاوية بينهما. حسب الحالة، فإن a → و b → متعامدان، مما يعني، بناءً على التعريف، أن الزاوية بينهما هي 90 درجة. ثم لدينا → , b → = a → · b → · cos (a → , b → ^) = a → · b → · cos 90 ° = 0 .

الجزء الثاني من الإثبات

بشرط أن يكون a ⇀، b → = 0، يثبت عمودي a → و b →.

والواقع أن الدليل هو عكس الدليل السابق. من المعروف أن a → و b → غير صفر، مما يعني أنه من المساواة a ⇀ , b → = a → · b → · cos (a → , b →) ^ نجد جيب التمام. ثم نحصل على cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . نظرًا لأن جيب التمام هو صفر، يمكننا أن نستنتج أن الزاوية a →، b → ^ للمتجهات a → وb → تساوي 90 درجة. بحكم التعريف، هذه خاصية ضرورية وكافية.

حالة العمودية على المستوى الإحداثي

الفصل المنتج العددي في الإحداثياتيوضح عدم المساواة (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , صالحة للمتجهات ذات الإحداثيات a → = (a x , a y) و b → = (b x , b y)، على المستوى و (a → , b → ) = a x · b x + a y · b y للمتجهات a → = (a x , a y , az) و b → = (b x , b y , b z) في الفضاء. الشرط الضروري والكافي لتعامد متجهين في المستوى الإحداثي هو a x · b x + a y · b y = 0، للفضاء ثلاثي الأبعاد a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0.

دعونا نضع ذلك موضع التنفيذ وننظر إلى الأمثلة.

مثال 1

تحقق من خاصية التعامد بين متجهين a → = (2, - 3), b → = (- 6, - 4).

حل

لحل هذه المشكلة، تحتاج إلى العثور على المنتج العددي. فإذا كان حسب الشرط يساوي صفراً، فإنهما متعامدان.

(أ → , ب →) = أ س · ب س + أ ص · ب ص = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . تم استيفاء الشرط، وهو ما يعني أن المتجهات المعطاة متعامدة مع المستوى.

إجابة:نعم، المتجهان a → وb → متعامدان.

مثال 2

يتم إعطاء المتجهات الإحداثية i →، j →، k →. تحقق مما إذا كانت المتجهات i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → يمكن أن تكون متعامدة.

حل

لكي تتذكر كيفية تحديد إحداثيات المتجهات، عليك قراءة المقال عنه إحداثيات المتجهات في نظام الإحداثيات المستطيل.وهكذا، نجد أن المتجهات المعطاة i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → لها إحداثيات مقابلة (1، - 1، 0) و (1، 2، 2). نعوض بالقيم العددية ونحصل على: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → - j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = - 1 .

التعبير لا يساوي الصفر، (i → + 2 j → + 2 k →، i → - j →) ≠ 0، مما يعني أن المتجهات i → - j → وi → + 2 j → + 2 k → ليست متعامدة، لأن الشرط لم يتحقق.

إجابة:لا، المتجهات i → - j → وi → + 2 · j → + 2 · k → ليست متعامدة.

مثال 3

بالنظر إلى المتجهات a → = (1, 0, - 2) و b → = (lect, 5, 1). أوجد قيمة  التي تكون عندها هذه المتجهات متعامدة.

حل

نستخدم شرط تعامد متجهين في الفضاء على شكل مربع، ثم نحصل عليه

أ x ب x + أ y ب y + أ ض ب ض = 0 ⇔ 1 lect + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ lect = 2

إجابة:تكون المتجهات متعامدة عند القيمة lect = 2.

هناك حالات تكون فيها مسألة التعامد مستحيلة حتى في ظل ظروف ضرورية وكافية. بالنظر إلى البيانات المعروفة على الجوانب الثلاثة للمثلث على متجهين، فمن الممكن العثور عليها الزاوية بين المتجهاتوالتحقق من ذلك.

مثال 4

إذا كان لديك مثلث A B C أضلاعه A B = 8، A C = 6، B C = 10 سم، تحقق من المتجهين A B → و A C → للتعامد.

حل

إذا كان المتجهان A B → و A C → متعامدين، فإن المثلث A B C يعتبر مستطيلاً. ثم نطبق نظرية فيثاغورس، حيث B C هو وتر المثلث. المساواة ب ج 2 = أ ب 2 + أ ج 2 يجب أن تكون صحيحة. يترتب على ذلك أن 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100. هذا يعني أن A B و A C هما ساقان للمثلث A B C، وبالتالي فإن A B → و A C → متعامدان.

من المهم أن تتعلم كيفية العثور على إحداثيات المتجه المتعامد مع المتجه المعطى. وهذا ممكن على المستوى وفي الفضاء، بشرط أن تكون المتجهات متعامدة.

إيجاد متجه عمودي على متجه معين في المستوى.

يمكن أن يحتوي المتجه غير الصفري a → على عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة على المستوى. دعونا نصور هذا على خط الإحداثيات.

نظرًا لمتجه غير صفري a → يقع على الخط المستقيم أ. ثم يصبح b →، الموجود على أي خط عمودي على الخط a، عموديًا على →. إذا كان المتجه i → متعامدًا مع المتجه j → أو أي من المتجهات lect · j → مع lect يساوي أي رقم حقيقي غير الصفر، ثم ابحث عن إحداثيات المتجه b → المتعامد مع a → = (a x , a y ) يتم اختزاله إلى مجموعة لا حصر لها من الحلول. لكن من الضروري إيجاد إحداثيات المتجه العمودي على a → = (a x , a y) . للقيام بذلك، من الضروري كتابة حالة عمودية المتجهات بالشكل التالي: a x · b x + a y · b y = 0. لدينا b x وb y، وهما الإحداثيات المطلوبة للمتجه العمودي. عندما تكون a x ≠ 0، تكون قيمة b y غير صفرية، ويمكن حساب b x من عدم المساواة a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. بالنسبة لـ a x = 0 و a y ≠ 0، نقوم بتعيين b x أي قيمة غير الصفر، ونجد b y من التعبير b y = - a x · b x a y .

مثال 5

بالنظر إلى متجه بإحداثيات a → = (- 2 , 2) . أوجد متجهًا عموديًا على هذا.

حل

دعونا نشير إلى المتجه المطلوب كـ b → (b x , b y) . يمكن إيجاد إحداثياتها بشرط أن يكون المتجهان a → و b → متعامدين. ثم نحصل على: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = - 2 · b x + 2 · b y = 0 . لنخصص b y = 1 ونعوض: - 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ - 2 · b x + 2 = 0 . وبالتالي، من الصيغة نحصل على b x = - 2 - 2 = 1 2. هذا يعني أن المتجه b → = (1 2 , 1) هو متجه عمودي على a → .

إجابة:ب → = (1 2 ، 1) .

وإذا طرح السؤال عن الفضاء ثلاثي الأبعاد، فإن المشكلة تحل وفق نفس المبدأ. بالنسبة لمتجه معين a → = (a x , a y , a z) يوجد عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة. سيتم إصلاح هذا على مستوى الإحداثيات ثلاثي الأبعاد. نظرا → الكذب على الخط أ. يُشار إلى المستوى المتعامد على المستقيم a بالرمز α. في هذه الحالة، أي متجه غير صفري b → من المستوى α يكون متعامدًا مع →.

من الضروري إيجاد إحداثيات b → عمودي على المتجه غير الصفري a → = (a x , a y , a z) .

دع b → يُعطى بالإحداثيات b x و b y و b z . للعثور عليهم، من الضروري تطبيق تعريف حالة عمودي متجهين. يجب استيفاء المساواة a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0. من الشرط أن → غير صفر، مما يعني أن أحد الإحداثيات له قيمة لا تساوي الصفر. لنفترض أن x ≠ 0، (a y ≠ 0 أو z ≠ 0). لذلك، لدينا الحق في تقسيم المتباينة بأكملها a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 على هذا الإحداثي، نحصل على التعبير b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = - a y · b y + أ ض · ب ض أ س . نقوم بتعيين أي قيمة للإحداثيات b y و b x، ونحسب قيمة b x بناءً على الصيغة، b x = - a y · b y + a z · b z a x. سيكون للمتجه العمودي المطلوب القيمة a → = (a x, a y, a z).

دعونا نلقي نظرة على الدليل باستخدام مثال.

مثال 6

نظرًا لمتجه بإحداثيات a → = (1، 2، 3) . أوجد المتجه العمودي على المتجه المعطى.

حل

دعونا نشير إلى المتجه المطلوب بواسطة b → = (b x , b y , b z) . بناءً على شرط أن تكون المتجهات متعامدة، يجب أن يكون حاصل الضرب القياسي مساويًا للصفر.

أ ⇀ , ب ⇀ = 0 ⇔ أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ض = 0 ⇔ 1 ب س + 2 ب ص + 3 ب ض = 0 ⇔ ب س = - (2 ب ص + 3 ب ض)

إذا كانت قيمة b y = 1، b z = 1، فإن b x = - 2 b y - 3 b z = - (2 1 + 3 1) = - 5. ويترتب على ذلك أن إحداثيات المتجه b → (- 5 , 1 , 1) . المتجه b → هو أحد المتجهات المتعامدة مع المعطى.

إجابة:ب → = (- 5 , 1 , 1) .

إيجاد إحداثيات متجه عمودي على متجهين معلومين

علينا إيجاد إحداثيات المتجه في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وهو عمودي على المتجهات غير الخطية a → (a x , a y , a z) و b → = (b x , b y , b z) . بشرط أن يكون المتجهان a → و b → على خط واحد، سيكون كافيًا العثور على متجه عمودي على a → أو b → في المشكلة.

عند الحل، يتم استخدام مفهوم المنتج المتجه للمتجهات.

منتج متجه من المتجهات a → و b → هو متجه متعامد في نفس الوقت على كل من a → و b →. لحل هذه المشكلة، يتم استخدام المنتج المتجه a → × b →. بالنسبة للفضاء ثلاثي الأبعاد، يكون له الشكل a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

دعونا نلقي نظرة على المنتج المتجه بمزيد من التفاصيل باستخدام مثال للمسألة.

مثال 7

يتم إعطاء المتجهات b → = (0، 2، 3) و → = (2، 1، 0). ابحث عن إحداثيات أي متجه عمودي على البيانات في وقت واحد.

حل

لحل هذه المشكلة، عليك إيجاد حاصل ضرب المتجهات للمتجهات. (يرجى الرجوع إلى الفقرة حساب محدد المصفوفةللعثور على المتجه). نحن نحصل:

أ → × ب → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 ط → + (- 6) ي → + 4 ك →

إجابة: (3 , - 6 , 4) - إحداثيات المتجه المتعامد في نفس الوقت على المعطى a → و b → .

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

في القسم الخاص بالسؤال، ابحث عن متجه عمودي على متجهين محددين ذكرهما المؤلف آنا أفاناسييفاأفضل إجابة هي: تم العثور على متجه عمودي على متجهين غير متوازيين باعتباره منتجهما المتجه xb، للعثور عليه تحتاج إلى تكوين محدد، يتكون السطر الأول منه من متجهات الوحدة I، j، k، the الثانية من إحداثيات المتجه أ، والثالثة من إحداثيات المتجه ب . يعتبر المحدد امتدادًا على طول السطر الأول، وفي حالتك تحصل على akhv=20i-10k، أو ahv=(20,0,-10).

الإجابة من 22 إجابة[المعلم]

مرحبًا! فيما يلي مجموعة مختارة من المواضيع التي تحتوي على إجابات لسؤالك: ابحث عن متجه عمودي على متجهين محددين

الإجابة من تمتد[مبتدئ]
تم العثور على متجه عمودي على متجهين غير متوازيين كمنتج متجه xb، للعثور عليه تحتاج إلى تكوين محدد، يتكون السطر الأول منه من ناقلات الوحدة I، j، k، والثاني - من الإحداثيات المتجه أ، الثالث - من إحداثيات المتجه ب. يعتبر المحدد امتدادًا على طول السطر الأول، وفي حالتك تحصل على akhv=20i-10k، أو ahv=(20,0,-10).

الإجابة من القش كا[المعلم]
حلها تقريبًا مثل هذا؛ ولكن أولا، اقرأ كل شيء بنفسك!! !
احسب المنتج العددي للمتجهين d وr إذا كان d=-c+a+2b; ص=-ب+2أ.
معامل المتجه a هو 4، ومعامل المتجه b هو 6. الزاوية بين المتجهين a و b هي 60 درجة، والمتجه c عمودي على المتجهين a و b.
تقع النقطتان E وF على التوالي على الجانبين AD وBC من متوازي الأضلاع ABCD، حيث AE = ED، BF: FC = 4: 3. أ) عبر عن المتجه EF بدلالة المتجهات m = المتجه AB والمتجه n = المتجه AD. ب) هل يمكن لمتجه المساواة EF = x مضروبًا في القرص المضغوط المتجه أن يحمل أي قيمة لـ x؟ .

تعليمات

إذا تم تصوير المتجه الأصلي في الرسم في نظام إحداثيات مستطيل ثنائي الأبعاد ويحتاج إلى إنشاء نظام عمودي هناك، فانتقل من تعريف عمودي المتجهات على المستوى. تنص على أن الزاوية بين هذا الزوج من الأجزاء الموجهة يجب أن تكون مساوية 90 درجة. يمكن بناء عدد لا نهائي من هذه المتجهات. لذلك، ارسم عموديًا على المتجه الأصلي في أي مكان مناسب على المستوى، ثم ضع قطعة عليه تساوي طول زوج معين من النقاط وقم بتعيين أحد طرفيه كبداية للمتجه العمودي. افعل ذلك باستخدام المنقلة والمسطرة.

إذا تم إعطاء المتجه الأصلي بإحداثيات ثنائية الأبعاد ā = (X₁;Y₁)، فافترض أن المنتج القياسي لزوج من المتجهات المتعامدة يجب أن يساوي الصفر. هذا يعني أنك بحاجة إلى تحديد المتجه المطلوب ō = (X₂,Y₂) مثل هذه الإحداثيات التي ستحمل المساواة (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. يمكن القيام بذلك على النحو التالي: اختر أي قيمة غير صفرية للإحداثي X₂، وحساب الإحداثي Y₂ باستخدام الصيغة Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه ā = (15;5) سيكون هناك متجه ō، مع الإحداثي يساوي واحدًا والإحداثي يساوي -(15*1)/5 = -3، أي. ō = (1؛-3).

بالنسبة لنظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد وأي نظام إحداثيات متعامد آخر، يكون نفس الشرط الضروري والكافي لتعامد المتجهات صحيحًا - يجب أن يكون منتجها العددي مساويًا للصفر. لذلك، إذا تم إعطاء المقطع الموجه الأولي بالإحداثيات ā = (X₁,Y₁,Z₁)، فحدد لزوج النقاط المرتب ō = (X₂,Y₂,Z₂) المتعامد عليه مثل الإحداثيات التي تستوفي الشرط (ā,ō) ) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. أسهل طريقة هي تعيين قيم فردية لـ X₂ وY₂، وحساب Z₂ من المساواة المبسطة Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁* 1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه ā = (3,5,4) سيأخذ هذا الشكل التالي: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. ثم خذ الإحداثي الإحداثي والإحداثي للخط المتجه المتعامد هو واحد، وفي هذه الحالة سيكون مساويًا لـ -(3+5)/4 = -2.

مصادر:

أوجد المتجه إذا كان متعامدًا

يطلق عليهم عمودي المتجه، الزاوية بينهما 90 درجة. يتم إنشاء المتجهات المتعامدة باستخدام أدوات الرسم. إذا كانت إحداثياتها معروفة، فيمكن التحقق من عمودي المتجهات أو العثور عليه باستخدام الطرق التحليلية.

سوف تحتاج

- منقلة
- بوصلة؛
- مسطرة.

تعليمات

أنشئ متجهًا عموديًا على المعطى المعطى. للقيام بذلك، عند النقطة التي هي بداية المتجه، قم باستعادة عمودي عليه. ويمكن القيام بذلك باستخدام منقلة، وضبط زاوية قدرها 90 درجة. إذا لم يكن لديك منقلة، استخدم البوصلة للقيام بذلك.

اضبطه على نقطة البداية للمتجه. ارسم دائرة بنصف قطر عشوائي. ثم قم ببناء اثنين مركزهما عند النقاط التي تقاطعت فيها الدائرة الأولى مع الخط الذي يقع عليه المتجه. يجب أن تكون أنصاف أقطار هذه الدوائر متساوية مع بعضها البعض وأكبر من الدائرة الأولى التي تم إنشاؤها. عند نقاط تقاطع الدوائر، أنشئ خطًا مستقيمًا يكون متعامدًا مع المتجه الأصلي عند أصله، ثم رسم عليه متجهًا عموديًا على هذا المتجه.

متجه الوحدة هو: ، أين – وحدة المتجهات.

إجابة:
.

ملحوظة.يجب ألا تكون إحداثيات متجه الوحدة أكثر من واحد.

6.3. أوجد طول وجيب تمام الاتجاه للمتجه . قارن مع الإجابة في الفقرة السابقة. استخلاص النتائج.

طول المتجه هو معامله:

ويمكننا إيجاد اتجاه جيب التمام باستخدام صيغة إحدى طرق تحديد المتجهات:

من هذا نرى أن اتجاه جيب التمام هو إحداثيات متجه الوحدة.

إجابة:
,
,
,
.

6.4. يجد
.

من الضروري تنفيذ إجراءات ضرب المتجه برقم وإضافة ومعامل.

نضرب إحداثيات المتجهات بعدد حد بحد.

نضيف إحداثيات المتجهات حدًا تلو الآخر.

العثور على معامل المتجه.

إجابة:

6.5. تحديد إحداثيات المتجهات
، على خط مستقيم مع المتجه ، مع العلم أن
ويتم توجيهه في الاتجاه المعاكس للناقل .

المتجه خطية على المتجه مما يعني أن متجه الوحدة الخاص به يساوي متجه الوحدة فقط مع علامة الطرح، لأن موجهة في الاتجاه المعاكس.

طول متجه الوحدة يساوي 1، مما يعني أنه إذا ضربته في 5، فإن طوله يساوي خمسة.

نجد

إجابة:

6.6. حساب المنتجات النقطية
و
. هل المتجهات متعامدة؟ و ,و بين أنفسهم؟

دعونا نحسب المنتج العددي للمتجهات.

إذا كانت المتجهات متعامدة، فإن حاصل ضربها القياسي يساوي صفرًا.

نرى ذلك في حالتنا المتجهات و عمودي.

إجابة:
,
، المتجهات ليست متعامدة.

ملحوظة.المعنى الهندسي للمنتج العددي ليس له فائدة تذكر في الممارسة العملية، لكنه لا يزال موجودا. يمكن تصوير نتيجة مثل هذا الإجراء وحسابها هندسيًا.

6.7. أوجد الشغل الذي تبذله نقطة مادية تؤثر عليها قوة
عند نقله من النقطة B إلى النقطة C.

المعنى المادي للمنتج العددي هو العمل. ناقل القوة هنا ، ناقل الإزاحة هو
. وسيكون نتاج هذه المتجهات هو العمل المطلوب.

ابحث عن عمل

6.8. أوجد الزاوية الداخلية عند الرأس أ وزاوية الرأس الخارجية ج مثلث اي بي سي .

من تعريف المنتج العددي للمتجهات، نحصل على صيغة إيجاد الزاوية: .

في
سنبحث عن الزاوية الداخلية باعتبارها الزاوية بين المتجهات الخارجة من نقطة واحدة.

للعثور على الزاوية الخارجية، عليك دمج المتجهات بحيث تخرج من نقطة واحدة. الصورة توضح ذلك.

ومن الجدير بالذكر أن
، فقط لديك إحداثيات أولية مختلفة.

إيجاد المتجهات والزوايا اللازمة

الجواب: الزاوية الداخلية عند الرأس A = الزاوية الخارجية عند الرأس B = .

6.9. أوجد إسقاطات المتجهات: و

دعونا نتذكر ناقلات المتجهات:
,
,
.

تم العثور على الإسقاط أيضًا من المنتج العددي

-تنبؤ بعلى أ.

ناقلات تم الحصول عليها سابقا

,
,

العثور على الإسقاط

العثور على الإسقاط الثاني

إجابة:
,

ملحوظة.علامة الطرح عند العثور على الإسقاط تعني أن الإسقاط لا ينزل على المتجه نفسه، ولكن في الاتجاه المعاكس، على الخط الذي يقع عليه هذا المتجه.

6.10. احسب
.

دعونا نفعل المنتج المتجه للمتجهات

دعونا نجد الوحدة

نجد جيب الزاوية بين المتجهات من تعريف حاصل ضرب المتجهات للمتجهات

إجابة:
,
,
.

6.11. أوجد مساحة المثلث اي بي سي وطول الارتفاع ينحدر من النقطة C.

المعنى الهندسي لمعامل المنتج المتجه هو أنه مساحة متوازي الأضلاع التي تشكلها هذه المتجهات. ومساحة المثلث تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع.

يمكن أيضًا إيجاد مساحة المثلث كحاصل ضرب الارتفاع والقاعدة مقسومة على اثنين، ومنها يمكن استخلاص صيغة إيجاد الارتفاع.

وهكذا نجد الارتفاع

إجابة:
,
.

6.12. أوجد متجه الوحدة المتعامد مع المتجهات و .

نتيجة الضرب النقطي هي متجه متعامد مع المتجهين الأصليين. ومتجه الوحدة هو المتجه مقسومًا على طوله.

في السابق وجدنا:

إجابة:
.

6.13. تحديد حجم واتجاه جيب التمام لحظة القوة
، مطبق على A نسبة إلى النقطة C.

المعنى المادي للمنتج المتجه هو لحظة القوة. دعونا نعطي مثالا لهذه المهمة.

العثور على لحظة القوة

إجابة:
.

6.14. هل النواقل تكذب ,و في نفس الطائرة؟ هل يمكن لهذه المتجهات أن تشكل أساس الفضاء؟ لماذا؟ إذا استطاعوا، قم بتوسيع المتجه إلى هذا الأساس
.

للتحقق مما إذا كانت المتجهات تقع في نفس المستوى، فمن الضروري إجراء منتج مختلط من هذه المتجهات.

المنتج المختلط لا يساوي الصفر، وبالتالي فإن المتجهات لا تقع في نفس المستوى (ليست متحدة المستوى) ويمكن أن تشكل أساسًا. دعونا تتحلل على هذا الأساس.

دعونا نتوسع حسب الأساس من خلال حل المعادلة

الجواب: المتجهات ,و لا تكذب في نفس الطائرة.
.

6.15. يجد
. ما هو حجم الهرم الذي رؤوسه A، B، C، D وارتفاعه ينخفض من النقطة A إلى القاعدة BCD.

ز المعنى الهندسي للمنتج المختلط هو أنه حجم متوازي السطوح الذي تشكله هذه المتجهات.

حجم الهرم أقل بست مرات من حجم متوازي السطوح.

يمكن أيضًا العثور على حجم الهرم على النحو التالي:

لقد حصلنا على صيغة إيجاد الارتفاع

العثور على الارتفاع

الجواب: الحجم = 2.5، الارتفاع = .

6.16. احسب
و
.

- ندعوك للتفكير في هذه المهمة بنفسك.

- دعونا نؤدي العمل.

وردت سابقا

إجابة:
.

6.17. احسب

دعونا نفعل الخطوات في أجزاء

دعونا نلخص القيم التي تم الحصول عليها

إجابة:
.

6.18. البحث عن ناقلات
مع العلم أنه متعامد على المتجهات و ، وإسقاطه على المتجه يساوي 5.

دعونا نقسم هذه المهمة إلى مهمتين فرعيتين

1) ابحث عن متجه عمودي على المتجهات و طول تعسفي.

نحصل على المتجه العمودي كنتيجة لمنتج المتجه

في السابق وجدنا:

يختلف المتجه المطلوب فقط في الطول عن المتجه المستلم

2) دعونا نجد من خلال المعادلة

6.19. البحث عن ناقلات
، مستوفية الشروط
,
,
.

دعونا نفكر في هذه الشروط بمزيد من التفصيل.

هذا هو نظام المعادلات الخطية. دعونا نؤلف ونحل هذا النظام.

إجابة:

6.20. تحديد إحداثيات المتجه
، متحد المستوى مع المتجهات و ، وعمودي على المتجه
.

هناك شرطان في هذه المهمة: اشتراك المستوي للمتجهات والتعامد، فلنحقق الشرط الأول أولاً، ثم الشرط الثاني.

1) إذا كانت المتجهات متحدة المستوى، فإن حاصل ضربها المختلط يساوي صفرًا.

من هنا نحصل على بعض الاعتماد على إحداثيات المتجه

دعونا نجد المتجه .

2) إذا كان المتجهان متعامدين فإن حاصل ضربهما القياسي يساوي صفراً

لقد حصلنا على الاعتماد الثاني لإحداثيات المتجه المطلوب

لأي قيمة سوف يفي المتجه بالشروط. دعونا نستبدل
.

إجابة:
.

الهندسة التحليلية